एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

8 की विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो। दी गई 8-अंकीय संख्या 123456xy में, अंतिम तीन अंक संख्या 6xy बनाते हैं। इसे गणितीय रूप से 600 + 10x + y के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

विभाज्यता की जाँच करने के लिए, हम 600 को 8 से विभाजित करते हैं और पाते हैं कि 600 = 8 × 75, जिससे शेषफल 0 बचता है। चूंकि 600, 8 से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए पूरी संख्या की विभाज्यता पूरी तरह से xy द्वारा बनाई गई 2-अंकीय संख्या पर निर्भर करती है, जो कि 10x + y है। इसलिए, 10x + y, 8 का एक गुणज होना चाहिए।

अंक x और y का मान 0 से 9 तक हो सकता है। हमें 0 से 99 तक 8 के सभी गुणजों की पहचान करने की आवश्यकता है। ये गुणज 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 और 96 हैं। (x, y) युग्मों के रूप में, इन्हें (0,0), (0,8), (1,6), (2,4), (3,2), (4,0), (4,8), (5,6), (6,4), (7,2), (8,0), (8,8) और (9,6) के रूप में लिखा जाता है।

इन युग्मों को सूचीबद्ध किए बिना इनकी कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में पदों की संख्या के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: n = (l - a)/(d) + 1. यहाँ, पहला गुणज a = 0 है, 100 से छोटा अंतिम गुणज l = 96 है, और सार्व अंतर (common difference) d = 8 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर n = (96 - 0)/(8) + 1 = 12 + 1 = 13 प्राप्त होता है। इस प्रकार, (x, y) के 13 संभावित युग्म हैं।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360) π r² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r त्रिज्या है। दिया गया क्षेत्रफल A = 308 सेमी² और केंद्रीय कोण θ = 45° है, हम इन मानों को π = ²²⁄₇ के साथ सूत्र में रखते हैं:

308 = ⁴⁵⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × r²

भिन्न ⁴⁵⁄₃₆₀ सरल होकर ⅛ हो जाती है। इसे वापस समीकरण में रखने पर:

308 = ⅛ × ²²⁄₇ × r² 308 = ¹¹⁄₂₈ × r²

r² का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को निम्नानुसार व्यवस्थित करें:

r² = (308 × 28)/(11)

308 को 11 से विभाजित करने पर 28 प्राप्त होता है। इसलिए:

r² = 28 × 28 r = √(28²) r = 28

व्याख्या

जब किसी मात्रा में समान प्रतिशत x% की क्रमिक वृद्धि और कमी होती है, तो शुद्ध परिवर्तन हमेशा एक कमी होती है जिसे सूत्र (x²)/(100)% द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ, x का मान 20 है। इसे सूत्र में रखने पर, शुद्ध प्रतिशत कमी (20²)/(100) = ⁴⁰⁰⁄₁₀₀ = 4% है। वैकल्पिक रूप से, शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करने पर, जहाँ a = 20 और b = -20 है, परिणाम 20 - 20 + (20 × (-20))/(100) = -⁴⁰⁰⁄₁₀₀ = -4% प्राप्त होता है। ऋणात्मक चिह्न शुद्ध कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

स्थिति C₁C₂ = r₁ + r₂ यह दर्शाती है कि दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है। ज्यामितीय रूप से, ऐसा तब होता है जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं। इस विन्यास में, दो उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाएँ (direct common tangents) होती हैं जो दोनों वृत्तों के बाहरी पक्षों पर स्थित होती हैं और एक उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा (transverse common tangent) होती है जो उस स्पर्श बिंदु से होकर गुजरती है जहाँ दोनों वृत्त मिलते हैं। इन्हें आपस में जोड़ने पर, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या 2 + 1 = 3 होती है।

व्याख्या

6-अंकीय संख्या 674pq0 के 3 से विभाज्य होने के लिए, इसके अंकों का योग 3 का एक गुणज होना चाहिए। अंकों का योग 6 + 7 + 4 + p + q + 0 = 17 + p + q है। p = 5 और q = 2 मान रखने पर, योग 17 + 5 + 2 = 24 हो जाता है। चूंकि 24, 3 से विभाज्य है, इसलिए 3 से विभाज्यता की शर्त पूरी होती है।

किसी संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। संख्या 674pq0 के लिए, विषम स्थानों पर अंकों का योग 6 + 4 + q = 10 + q है, और सम स्थानों पर अंकों का योग 7 + p + 0 = 7 + p है। इनका अंतर (10 + q) - (7 + p) = 3 + q - p है। p = 5 और q = 2 रखने पर, अंतर 3 + 2 - 5 = 0 हो जाता है। चूंकि 0, 11 से विभाज्य है, इसलिए 11 से विभाज्यता की शर्त पूरी होती है। आवश्यकतानुसार p और q दोनों गैर-शून्य पूर्णांक हैं।

व्याख्या

पीछा करने की स्थिति में जहां दोनों व्यक्ति एक ही समय पर दौड़ना शुरू करते हैं, पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने तक का समय t दोनों के लिए समान (स्थिर) रहता है। संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, जब समय स्थिर होता है, तो दूरी सीधे गति के समानुपाती होती है (D ∝ S)। इसलिए, तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी गति के अनुपात के बराबर होता है।

चूंकि चोर और पुलिसकर्मी की गति का अनुपात 7:8 दिया गया है, इसलिए तय की गई दूरियों का अनुपात भी 7:8 होगा। माना चोर द्वारा तय की गई दूरी 7x है और पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 8x है। इन दूरियों के बीच का अंतर उनके बीच की प्रारंभिक दूरी 450 मीटर के बराबर होना चाहिए।

8x - 7x = 450 मीटर x = 450 मीटर

पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 8x है: दूरी = 8 × 450 = 3600 मीटर

दूरी को किलोमीटर में बदलने के लिए, 1000 से विभाजित करें: 3600 / 1000 = 3.6 किमी

व्याख्या

एक घन से निकाले जा सकने वाले सबसे बड़े गोले का व्यास d, घन की भुजा की लंबाई a के बराबर होता है। दिया गया है a = 5.6 सेमी, गोले की त्रिज्या r है: r = ᵃ⁄₂ = (5.6)/(2) = 2.8 सेमी

एक गोले के आयतन V की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: V = ⁴⁄₃ π r³

π ≈ ²²⁄₇ मान रखने पर: V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × (2.8)³ V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × 2.8 × 2.8 × 2.8 V = ⁴⁄₃ × 22 × 0.4 × 7.84 V = (88 × 3.136)/(3) V = (275.968)/(3) V ≈ 91.9893

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, आयतन 91.98 सेमी³ है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 4π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यह देखते हुए कि पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करके त्रिज्या r ज्ञात कर सकते हैं: 4 × ²²⁄₇ × r² = 154 r² = (154 × 7)/(4 × 22) r² = (7 × 7)/(4) r = √(⁴⁹⁄₄) = 3.5 सेमी

एक गोले का आयतन सूत्र V = ⁴⁄₃π r³ द्वारा दिया जाता है। सूत्र में r = ⁷⁄₂ सेमी प्रतिस्थापित करने पर: V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × ⁷⁄₂ × ⁷⁄₂ × ⁷⁄₂ V = (11 × 49)/(3) V = ⁵³⁹⁄₃ ≈ 179.666... सेमी³

परिणाम को दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, गोले का आयतन 179.7 सेमी³ है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x + ¹⁄ₓ = -14 के लिए, हम x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करते हैं।

(x - ¹⁄ₓ)² = (-14)² - 4 = 196 - 4 = 192

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x - ¹⁄ₓ = ± √(192) = ± 8√3

अभीष्ट मान x² - (1)/(x²⁾ है, जिसे वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है: x² - (1)/(x²⁾ = (x + ¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ)

x < -1 के लिए (विशेष रूप से x = -7 - 4√3), x - ¹⁄ₓ का मान ऋणात्मक है: x - ¹⁄ₓ = -8√3

गुणनखंडित व्यंजक में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x² - (1)/(x²⁾ = (-14) × (-8√3) = 112√3

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले अक्टूबर महीने में स्टोर P और R द्वारा बेचे गए डोनट्स का योग ज्ञात करें। तालिका में दिए गए आंकड़ों के आधार पर, स्टोर P ने अक्टूबर में 125 इकाइयाँ और स्टोर R ने 960 इकाइयाँ बेचीं। योग₍_P₊_R₎ = 125 + 960 = 1085

इसके बाद, उसी महीने में स्टोर Q और R द्वारा बेचे गए डोनट्स का योग ज्ञात करें। स्टोर Q ने अक्टूबर में 905 इकाइयाँ और स्टोर R ने 960 इकाइयाँ बेचीं। योग₍_Q₊_R₎ = 905 + 960 = 1865

स्टोर P और R द्वारा बेचे गए डोनट्स की कुल संख्या का स्टोर Q और R द्वारा बेचे गए डोनट्स की कुल संख्या से अनुपात इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: अनुपात = 1085 : 1865

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 से विभाजित करें: 1085 ÷ 5 = 217 1865 ÷ 5 = 373

इस सरलीकरण को लागू करने पर, अंतिम अनुपात 217 : 373 प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि एक संख्या दूसरी संख्या का कितना प्रतिशत है, प्रयुक्त सूत्र 'प्रतिशत = (मान / कुल) × 100' है। इस गणना में, मान 0.5 है और कुल 20 है। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर (0.5 / 20) × 100 प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल करने पर, 100 को 20 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, और 0.5 को 5 से गुणा करने पर 2.5 प्राप्त होता है। अतः, 0.5, 20 का 2.5% है।

व्याख्या

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय (Internal Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज का कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो ऐसे खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। त्रिभुज ABC में, चूंकि AD, ∠ A का आंतरिक समद्विभाजक है, इसलिए भुजाओं का अनुपात इस प्रकार होगा:

(AB)/(AC) = (BD)/(DC)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

(8.4)/(5.6) = (BD)/(2.8)

BD ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

BD = (8.4 × 2.8)/(5.6)

चूंकि 5.6 ठीक 2.8 का दोगुना है, इसलिए यह समीकरण सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:

BD = (8.4)/(2) = 4.2 सेमी

भुजा BC की कुल लंबाई, खंडों BD और DC का योग है:

BC = BD + DC BC = 4.2 + 2.8 = 7 सेमी

व्याख्या

1,500 रुपये प्रत्येक की दर से 2 कमरों की बुकिंग की कुल मूल लागत 3,000 रुपये (1,500 × 2) है। चूंकि राकेश ने 2 कमरे बुक किए हैं, इसलिए वह 12% की छूट के लिए पात्र है। पहली छूट के बाद मूल्य 3,000 × (1 - 0.12) = 3,000 × 0.88 = 2,640 रुपये है। इसके अतिरिक्त, चूंकि उसने SBI सिल्वर कार्ड का उपयोग करके भुगतान किया है, इसलिए पहले से ही छूट प्राप्त राशि पर 5% की छूट लागू होती है। भुगतान योग्य अंतिम राशि 2,640 × (1 - 0.05) = 2,640 × 0.95 = 2,508 रुपये है।

व्याख्या

माना राम और रमेश की वर्तमान आयु क्रमशः 3x और 5x है। प्रश्न के अनुसार, 7 वर्ष बाद, उनकी आयु क्रमशः 3x + 7 और 5x + 7 होगी। इन आयु का अनुपात 4 : 5 दिया गया है।

इस संबंध को दर्शाने वाला समीकरण है: (3x + 7)/(5x + 7) = 4/5

वज्र-गुणन (Cross-multiplying) करने पर: 5(3x + 7) = 4(5x + 7) 15x + 35 = 20x + 28

x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: 20x - 15x = 35 - 28 5x = 7 x = 7/5

रमेश की वर्तमान आयु को 5x द्वारा दर्शाया गया है। x का मान रखने पर: रमेश की आयु = 5 × 7/5 = 7 वर्ष

व्याख्या

दिया गया है कि k⁴ + (1)/(k⁴) = 47, घातों को कम करने के लिए हम बीजगणितीय सर्वसमिका x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 का उपयोग करते हैं। दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर k⁴ + (1)/(k⁴) + 2 = 49 प्राप्त होता है, जिसे (k² + (1)/(k²))² = 7² के रूप में लिखा जा सकता है। इससे k² + (1)/(k²) = 7 प्राप्त होता है।

इसी प्रक्रिया को दोहराते हुए, हम फिर से दोनों पक्षों में 2 जोड़ते हैं: k² + (1)/(k²) + 2 = 9, जिससे (k + ¹⁄ₖ)² = 3² प्राप्त होता है। अतः, k + ¹⁄ₖ = 3 है। k³ + (1)/(k³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम घनीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हैं। सूत्र k³ + (1)/(k³) = (k + ¹⁄ₖ)³ - 3(k + ¹⁄ₖ) में k + ¹⁄ₖ = 3 प्रतिस्थापित करने पर, हम गणना करते हैं: 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP), और लाभ/हानि प्रतिशत के बीच के संबंध को सूत्र SP = CP × (1 ± प्रतिशत) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। प्रारंभिक विक्रय मूल्य से सीधे नया विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम लक्षित प्रतिशत का प्रारंभिक प्रतिशत से अनुपात का उपयोग करते हैं:

नया विक्रय मूल्य = प्रारंभिक विक्रय मूल्य × (100 + लाभ%)/(100 - हानि%)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

नया विक्रय मूल्य = 4,00,000 × (100 + 5)/(100 - 20)

नया विक्रय मूल्य = 4,00,000 × ¹⁰⁵⁄₈₀

4,00,000 को 80 से विभाजित करने पर 5,000 प्राप्त होता है।

नया विक्रय मूल्य = 5,000 × 105 = 5,25,000

अतः, 5% का लाभ प्राप्त करने के लिए, भूखंड को 5,25,000 रुपये में बेचा जाना चाहिए।

व्याख्या

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं को बिना कोई शेषफल छोड़े विभाजित करता है। HCF ज्ञात करने का एक उपयोगी नियम यह है कि यदि बड़ी संख्या, छोटी संख्या का एक गुणज (multiple) है, तो छोटी संख्या स्वयं ही HCF होती है। इसकी जांच करने के लिए, हम 1980 को 110 से विभाजित करते हैं: 1980 ÷ 110 = ¹⁹⁸⁰⁄₁₁₀ = ¹⁹⁸⁄₁₁ = 18 चूंकि 1980, 110 से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए 1980 = 110 × 18 होता है। चूंकि 110, 1980 का एक गुणनखंड (factor) है और 110 का सबसे बड़ा संभावित गुणनखंड स्वयं 110 ही है, इसलिए 110 और 1980 का HCF 110 होना चाहिए।

वैकल्पिक रूप से, अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) विधि का उपयोग करने पर: 110 = 2¹ × 5¹ × 11¹ 1980 = 2² × 3² × 5¹ × 11¹ HCF की गणना उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों, जो कि 2, 5 और 11 हैं, की सबसे छोटी घातों के गुणनफल को लेकर की जाती है: HCF = 2¹ × 5¹ × 11¹ = 110

व्याख्या

यह व्यंजक (a+b)³ + (a-b)³ के रूप में है, जो निम्नलिखित बीजगणितीय सर्वसमिका का अनुसरण करता है: (a+b)³ + (a-b)³ = 2(a³ + 3ab²)

दिए गए व्यंजक (x + 2y)³ + (x - 2y)³ में, हम a = x और b = 2y रख सकते हैं। सर्वसमिका में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2(x³ + 3(x)(2y)²) = 2(x³ + 3x(4y²)) = 2(x³ + 12xy²) = 2x³ + 24xy²

वैकल्पिक रूप से, दोनों द्विपद घनों का अलग-अलग विस्तार करने पर: (x + 2y)³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³ (x - 2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

दोनों विस्तारित रूपों को जोड़ने पर: (x³ + x³) + (6x²y - 6x²y) + (12xy² + 12xy²) + (8y³ - 8y³) पद 6x²y और 8y³ विपरीत चिह्नों के होने के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप प्राप्त होता है: 2x³ + 24xy²

व्याख्या

साधारण ब्याज के लिए समयावधि ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले कुल मिश्रधन में से मूलधन को घटाकर अर्जित ब्याज की गणना करते हैं। दिया गया मूलधन P = 5250 और मिश्रधन A = 9870 है, साधारण ब्याज (SI) की गणना इस प्रकार की जाती है: SI = A - P = 9870 - 5250 = 4620

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है। समय T ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: T = (SI × 100)/(P × R)

ज्ञात मानों SI = 4620, P = 5250, और R = 11 को प्रतिस्थापित करने पर: T = (4620 × 100)/(5250 × 11) T = ⁴⁶²⁰⁰⁰⁄₅₇₇₅₀ T = 8

कुल ब्याज को प्रति वर्ष अर्जित ब्याज से विभाजित करके, हमें समयावधि 8 वर्ष प्राप्त होती है।

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले कंपनियों H और I द्वारा ट्रकों के कुल उत्पादन की गणना करें। तालिका से, कंपनी H 400 ट्रकों का उत्पादन करती है और कंपनी I 300 ट्रकों का उत्पादन करती है। H और I के लिए ट्रकों का संयुक्त उत्पादन 400 + 300 = 700 है।

इसके बाद, कंपनियों J और K द्वारा बाइकों के कुल उत्पादन की गणना करें। तालिका दर्शाती है कि कंपनी J 350 बाइकों का उत्पादन करती है और कंपनी K 400 बाइकों का उत्पादन करती है। J और K के लिए बाइकों का संयुक्त उत्पादन 350 + 400 = 750 है।

H और I द्वारा ट्रकों के उत्पादन का, J और K द्वारा बाइकों के उत्पादन से अनुपात इस प्रकार है: अनुपात = 700 : 750

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), जो कि 50 है, से विभाजित करने पर अनुपात सरल हो जाता है: 700 ÷ 50 = 14 750 ÷ 50 = 15

इसके परिणामस्वरूप सरल अनुपात 14 : 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (sin θ + cos θ)² = (√3-1{2√2})² का वर्ग करने पर, हमें 1 + sin 2θ = 4 - 2√3{8} = 2 - √3{4} प्राप्त होता है, जिससे sin 2θ = -(2 + √3){4} प्राप्त होता है। ज्ञात किए जाने वाले व्यंजक में एक सामान्य टंकण त्रुटि (tan θ + cos θ के बजाय tan θ + cot θ के रूप में अभिप्रेत) मानते हुए, हम tan θ + cot θ = (1)/(sin θ cos θ) = (2)/(sin 2θ) = (-8)/(2+√(3)) की गणना करते हैं, जो परिमेयकरण करने पर 8(√3-2) हो जाता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के sec और cosec फलनों से संबंधित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec A = cosec(90° - A) होती है। दिए गए समीकरण sec 2θ = cosec(θ - 36°) में, हम दोनों पक्षों को एक ही फलन के रूप में व्यक्त करके कोणों की तुलना कर सकते हैं या इस गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं कि यदि न्यून कोणों के लिए sec A = cosec B हो, तो A + B = 90° होता है।

कोणों के योग को 90° के बराबर रखने पर: 2θ + (θ - 36°) = 90° 3θ - 36° = 90° 3θ = 90° + 36° 3θ = 126° θ = (126°)/(3) = 42°

चूँकि 2θ = 2(42°) = 84° है, जो कि 90° से कम है, इसलिए यह शर्त कि 2θ एक न्यून कोण है, संतुष्ट होती है।

व्याख्या

उन राज्यों की संख्या निर्धारित करने के लिए जिन्होंने दो लगातार अवधियों (तीन क्रमागत वर्षों) के लिए वर्षा में निरंतर वृद्धि देखी है, हम उन मामलों की पहचान करते हैं जहाँ वर्षा_वर्ष₁ < वर्षा_वर्ष₂ < वर्षा_वर्ष₃ है।

राज्य T: वर्षा 2015 में 80 से बढ़कर 2016 में 85 हो गई, और फिर 2017 में 86 हो गई। यह 2019 में 80 से बढ़कर 2020 में 81 और 2021 में 82 भी हो गई। राज्य A: वर्षा 2018 में 70 से बढ़कर 2019 में 74 हो गई, और फिर 2020 में 75 हो गई। राज्य M: वर्षा 2018 में 96 से बढ़कर 2019 में 97 हो गई, और फिर 2020 में 98 हो गई। राज्य K: वर्षा 2019 में 67 से बढ़कर 2020 में 68 हो गई, और फिर 2021 में 70 हो गई। राज्य R: वर्षा 2016 में 59 से बढ़कर 2017 में 60 हो गई, और फिर 2018 में 61 हो गई।

शेष राज्यों की तुलना करने पर: राज्य N: केवल एक बार वृद्धि 2019 से 2020 (74 से 75) में हुई। राज्य P: वृद्धि निरंतर नहीं थी (60 से 67 और 64 से 65)। राज्य D: वृद्धि निरंतर नहीं थी (70 से 71 और 69 से 75)।

कुल 5 राज्यों (T, A, M, K, और R) में कम से कम एक बार दो वर्ष की क्रमागत अवधि के लिए वर्षा में निरंतर वृद्धि देखी गई।

व्याख्या

व्यंजक का मान त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और पूरक कोणों के गुणों का उपयोग करके निकाला जाता है। सर्वसमिका cos(90° - θ) = sin θ के द्वारा cos 55° को cos(90° - 35°) = sin 35° के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसे दूसरे पद में प्रतिस्थापित करने पर sin 35° · sin 35° = sin² 35° प्राप्त होता है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, पहले दो पदों का योग cos² 35° + sin² 35° = 1 हो जाता है। व्यंजक के अंतिम भाग में आमतौर पर अनुपात (tan 34°)/(cot 56°) शामिल होता है। चूंकि cot θ = tan(90° - θ) है, इसलिए हमें cot 56° = tan(90° - 56°) = tan 34° प्राप्त होता है। इससे अनुपात (tan 34°)/(tan 34°) = 1 हो जाता है। इन मानों को मिलाने पर, परिणाम 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a एक भुजा की लंबाई को दर्शाता है। दिया गया है कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1536 m² है, इसलिए हम समीकरण 6a² = 1536 बनाते हैं। दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर a² = 256 प्राप्त होता है। 256 का वर्गमूल लेने पर भुजा की लंबाई a = 16 m प्राप्त होती है। घन के आयतन की गणना सूत्र V = a³ का उपयोग करके की जाती है। इस सूत्र में भुजा की लंबाई का मान रखने पर V = 16³ = 4096 m³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, जब मूलधन और ब्याज दर स्थिर होते हैं, तो अर्जित ब्याज सीधे समय अवधि के समानुपाती होता है। यदि कोई राशि P स्वयं की n गुनी हो जाती है, तो अर्जित ब्याज SI = (n - 1)P होता है। समय T और गुणक n के बीच के संबंध को (T₁)/(n₁ - 1) = (T₂)/(n₂ - 1) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

यह देखते हुए कि राशि T₁ = 26 वर्षों में तीन गुनी (n₁ = 3) हो जाती है, हम राशि को पांच गुना (n₂ = 5) होने के लिए आवश्यक समय T₂ ज्ञात करने के लिए मान प्रतिस्थापित करते हैं:

(26)/(3 - 1) = (T₂)/(5 - 1)

²⁶⁄₂ = (T₂)/(4)

13 = (T₂)/(4)

T₂ = 13 × 4

T₂ = 52 वर्ष

व्याख्या

यह प्रश्न शेषफल प्रमेय के सिद्धांत का अनुसरण करता है जहाँ यदि किसी संख्या N को D₁ से विभाजित करने पर शेषफल R₁ प्राप्त होता है, और D₂, D₁ का एक गुणनखंड है, तो N को D₂ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल R₂, R₁ D₂ के बराबर होता है। यहाँ, संख्या N को N = 363k + 17 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि 11, 363 का एक गुणनखंड है (363 = 11 × 33), इसलिए भाग 363k, 11 से पूर्णतः विभाज्य है। शेषफल केवल प्रारंभिक शेषफल 17 को 11 से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। विभाजन 17 = (11 × 1) + 6 करने पर शेषफल 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

घनों के अंतर और पदों के अंतर के बीच का संबंध बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) द्वारा दिया गया है।

इस सूत्र में दिए गए मानों a³ - b³ = 80 और a - b = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 80 = (2)³ + 3ab(2) 80 = 8 + 6ab

ab का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 6ab = 80 - 8 6ab = 72 ab = 12

व्याख्या

चारों स्टॉक एक्सचेंजों में कोलगेट शेयरों के लिए उच्च दरों का औसत ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक क्षेत्र में कोलगेट के लिए 'उच्च' (High) कॉलम के अंतर्गत सूचीबद्ध मूल्यों की पहचान करते हैं। तालिका के अनुसार, उच्च दरें मुंबई के लिए 34, उत्तराखंड के लिए 60, राजस्थान के लिए 25 और उत्तर प्रदेश के लिए 20 हैं।

अंकगणितीय माध्य का सूत्र है:

औसत = (उच्च दरों का योग) / (एक्सचेंजों की संख्या)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

उच्च दरों का योग = 34 + 60 + 25 + 20 = 139

एक्सचेंजों की संख्या = 4

औसत = ¹³⁹⁄₄ = 34.75

परिणामी मान निर्दिष्ट बाजारों में कोलगेट के लिए माध्य उच्च व्यापारिक मूल्य को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि शांत जल में नाव की गति u है और नदी की धारा की गति v है। धारा के अनुकूल नाव की गति (u + v) द्वारा और धारा के प्रतिकूल गति (u - v) द्वारा दी जाती है।

चूंकि दोनों मामलों में तय की गई दूरी D समान है, और धारा के प्रतिकूल जाने में लिया गया समय धारा के अनुकूल जाने में लिए गए समय का तीन गुना है (tᵤₚ = 3 × t_dₒ_wₙ), हम गति और समय के बीच व्युत्क्रम संबंध का उपयोग करते हैं: (u + v)/(u - v) = tᵤₚ{t_dₒ_wₙ} (u + v)/(u - v) = ³⁄₁

तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर: u + v = 3(u - v) u + v = 3u - 3v 4v = 2u v = ᵘ⁄₂

शांत जल में नाव की गति u = 40 किमी/घंटा दी गई है, नदी की धारा की गति है: v = ⁴⁰⁄₂ = 20 किमी/घंटा

व्याख्या

अभीष्ट संख्या k × LCM(7, 9, 11) + 3 के रूप में होनी चाहिए, जहाँ k एक पूर्णांक है। चूँकि 7, 9 और 11 परस्पर अभाज्य (pairwise coprime) संख्याएँ हैं, इसलिए उनका LCM = 7 × 9 × 11 = 693 है। इस शर्त को संतुष्ट करने वाली पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले 693 का पाँच अंकों का सबसे बड़ा गुणज ज्ञात करते हैं। हम पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या, 99999 को LCM से विभाजित करते हैं:

99999 ÷ 693 = 144, जिसमें शेषफल 187 बचता है

99999 में से शेषफल को घटाकर, हम 693 का पाँच अंकों का सबसे बड़ा गुणज प्राप्त करते हैं: 99999 - 187 = 99792

यह सुनिश्चित करने के लिए कि संख्या को 7, 9 और 11 से विभाजित करने पर शेषफल 3 बचे, हम इस गुणज में 3 जोड़ते हैं: 99792 + 3 = 99795

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के प्रमेय के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यदि A₁ और A₂ दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल हैं और s₁ और s₂ उनकी संगत भुजाएँ हैं, तो इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

A₁{A₂} = (s₁{s₂})²

संगत भुजाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफलों के अनुपात का वर्गमूल लेते हैं:

s₁{s₂} = √(A₁₎{A₂}

यह मानते हुए कि क्षेत्रफलों का अनुपात √3 : √2 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

s₁{s₂} = √({3){√2}} = √({3)}{√(2)}

करणी के गुणधर्म को लागू करने पर जहाँ √(x) = ⁴√x, हमें प्राप्त होता है:

s₁{s₂} = ⁴√3{⁴√2}

यह सरल होकर ⁴√3 : ⁴√2 का अनुपात बन जाता है।

व्याख्या

सभी विषयों में छात्र A द्वारा प्राप्त कुल अंक 180 + 240 + 360 + 300 + 60 + 330 = 1470 हैं। छात्र B द्वारा प्राप्त कुल अंक 90 + 420 + 390 + 210 + 270 + 120 = 1500 हैं। उनके कुल अंकों के बीच का अंतर 1500 - 1470 = 30 है।

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF सर्वांगसम हैं (△ ABC ≅ △ DEF), इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) के गुणधर्म के अनुसार उनके संगत कोण बराबर होते हैं। इसका अर्थ है कि m∠ A = m∠ D, m∠ B = m∠ E, और m∠ C = m∠ F।

△ ABC में, अंतः कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इसलिए: m∠ A + m∠ B + m∠ C = 180°

यह दिया गया है कि m∠ B = 30° है, हम इस मान को समीकरण में रखते हैं: m∠ A + 30° + m∠ C = 180° m∠ A + m∠ C = 180° - 30° m∠ A + m∠ C = 150°

चूंकि सर्वांगसमता गुणधर्म से m∠ A = m∠ D है, इसलिए हम समीकरण में m∠ A के स्थान पर m∠ D रख सकते हैं: m∠ D + m∠ C = 150°

व्याख्या

सभी विषयों में 60% और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, सभी छह विषयों (अंग्रेजी, विज्ञान, गणित, सामाजिक विज्ञान, हिंदी और कंप्यूटर विज्ञान) में प्रत्येक छात्र के प्रदर्शन की तुलना 60 की सीमा से की जानी चाहिए। चूंकि प्रत्येक विषय के लिए अधिकतम अंक 100 हैं, इसलिए 60% का प्रतिशत 60 अंकों के बराबर है।

छात्र A ने विज्ञान में 58 अंक प्राप्त किए, जो 60 से कम है। छात्र B ने सामाजिक विज्ञान में 36 और हिंदी में 52 अंक प्राप्त किए, जो दोनों ही 60 से कम हैं। छात्र C ने विज्ञान में 58 अंक प्राप्त किए, जो 60 से कम है। छात्र E ने गणित में 59 अंक प्राप्त किए, जो 60 से कम है। ये चार छात्र इस मानदंड को पूरा नहीं करते हैं।

छात्र D ने छह विषयों में क्रमशः 84, 78, 72, 73, 65 और 68 अंक प्राप्त किए। प्रत्येक अंक 60 से अधिक या उसके बराबर है। छात्र F ने छह विषयों में क्रमशः 74, 68, 75, 82, 88 और 86 अंक प्राप्त किए। प्रत्येक अंक 60 से अधिक या उसके बराबर है। इसलिए, केवल छात्र D और छात्र F ही सभी विषयों में 60% या उससे अधिक अंक प्राप्त करने की शर्त को पूरा करते हैं। ऐसे छात्रों की कुल संख्या 2 है।

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90° का होता है। त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, सभी तीन आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यदि एक कोण 35° है और दूसरा 90° है, तो तीसरे कोण x को सूत्र x + 90° + 35° = 180° का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। x के लिए हल करने पर x = 180° - 125° = 55° प्राप्त होता है। इसलिए, दिए गए 35° कोण के अलावा अन्य दो कोण 90° और 55° हैं।

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम प्रभावी अनुपात विधि का उपयोग करते हैं। माना कि वजन की 100 इकाइयों का क्रय मूल्य (CP) 100 है। चूंकि विक्रेता 11% की हानि पर बेचता है, इसलिए नाममात्र वजन के लिए विक्रय मूल्य (SP) 100 - 11 = 89 है।

हालाँकि, विक्रेता 22% कम वजन का उपयोग करता है, जिसका अर्थ है कि वह 100 इकाइयों के पैसे लेकर केवल 78 इकाई वजन देता है। इसलिए वास्तव में वितरित की गई वस्तुओं का वास्तविक क्रय मूल्य 78 है।

कुल लाभ या हानि कुल विक्रय मूल्य और वास्तविक क्रय मूल्य के अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है: कुल अनुपात = (SP)/(CP_वास्तविक) = 89/78

लाभ प्रतिशत = [(SP - CP_वास्तविक) / CP_वास्तविक] × 100 लाभ प्रतिशत = (89 - 78)/(78) × 100 = 11/78 × 100 लाभ प्रतिशत = 1100/78 ≈ 14.102%

चूंकि यह मान धनात्मक है, इसलिए विक्रेता को लगभग 14.1% का लाभ होता है।

व्याख्या

कथन I को सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। क्रमागत पदों के प्रत्येक युग्म का परिणाम निम्न होता है: (100² - 99²) = (100 - 99)(100 + 99) = 199 (98² - 97²) = (98 - 97)(98 + 97) = 195 इस प्रतिरूप को (22² - 21²) = 43 तक जारी रखने पर, व्यंजक एक समांतर श्रेणी का योग बन जाता है: 199 + 195 + 191 + … + 43 पदों की संख्या n, (100 - 22)/(2) + 1 = 40 है। योग सूत्र S = ⁿ⁄₂(प्रथम पद + अंतिम पद) का उपयोग करने पर: S = ⁴⁰⁄₂(199 + 43) = 20 × 242 = 4840 अतः, कथन I सही है।

कथन II में गुणनफल (k² + (1)/(k²⁾)(k - ¹⁄ₖ)(k⁴ + (1)/(k⁴⁾)(k + ¹⁄ₖ)(k⁴ - (1)/(k⁴⁾) शामिल है। पुनर्व्यवस्थित करने और (a - b)(a + b) = a² - b² लागू करने पर: [(k - ¹⁄ₖ)(k + ¹⁄ₖ)] = k² - (1)/(k²⁾ (k² - (1)/(k²⁾)(k² + (1)/(k²⁾) = k⁴ - (1)/(k⁴⁾ अब व्यंजक (k⁴ - (1)/(k⁴⁾)(k⁴ + (1)/(k⁴⁾)(k⁴ - (1)/(k⁴⁾) है। पहले दो पदों को सरल करने पर (k⁸ - (1)/(k⁸⁾) प्राप्त होता है। अंतिम गुणनफल (k⁸ - (1)/(k⁸⁾)(k⁴ - (1)/(k⁴⁾) है, जिसका परिणाम k¹² - k⁴ - (1)/(k⁴⁾ + (1)/(k¹²⁾ होता है। यह k¹⁶ - (1)/(k¹⁶⁾ के बराबर नहीं है, जिससे कथन II गलत हो जाता है।

व्याख्या

परियोजना को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल कार्य की गणना 'मैन-डेज' (पुरुष-दिवस) की अवधारणा का उपयोग करके की जा सकती है। पहले 20 दिनों में, 60 पुरुषों को काम पर लगाया गया था, जिससे कुल 60 × 20 = 1200 पुरुष-दिवस हुए। 80 दिनों की निर्धारित अवधि के शेष 60 दिनों के लिए, कार्यबल को बढ़ाकर 80 पुरुष (60 + 20) कर दिया गया, जिससे कुल 80 × 60 = 4800 पुरुष-दिवस हुए। परियोजना को समय पर पूरा करने के लिए किया गया कुल कार्य 1200 + 4800 = 6000 पुरुष-दिवस है।

यदि अतिरिक्त पुरुषों को काम पर नहीं रखा गया होता, तो मूल 60 पुरुष ही पूरे 6000 पुरुष-दिवस के कार्य के लिए जिम्मेदार होते। 60 पुरुषों को इस कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय T = ⁶⁰⁰⁰⁄₆₀ = 100 दिन है। चूंकि मूल निर्धारित समय 80 दिन था, इसलिए आवश्यक अतिरिक्त दिनों की संख्या 100 - 80 = 20 दिन होगी।

इसकी गणना करने का दूसरा तरीका पहले 20 दिनों के बाद बचे हुए कार्य पर ध्यान केंद्रित करना है। जिस कार्य को 80 पुरुषों ने 60 दिनों में पूरा किया, उसे पूरा करने में 60 पुरुषों को अधिक समय लगेगा। व्युत्क्रमानुपाती संबंध M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करते हुए, हमारे पास 80 × 60 = 60 × D₂ है, जिसके परिणामस्वरूप D₂ = 80 दिन प्राप्त होता है। चूंकि निर्धारित समय में केवल 60 दिन शेष थे, इसलिए आवश्यक अतिरिक्त समय 80 - 60 = 20 दिन है।

व्याख्या

एक घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले के लिए, गोले का व्यास घन की भुजा की लंबाई के बराबर होना चाहिए। चूंकि घन की भुजा 4.2 सेमी दी गई है, इसलिए गोले का व्यास 4.2 सेमी होगा और इसकी त्रिज्या r, 2.1 सेमी होगी।

एक गोले का आयतन V सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × (2.1)³

V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × 2.1 × 2.1 × 2.1

पदों को सरल करने पर, V = 4 × 22 × 0.1 × 2.1 × 2.1

V = 8.8 × 4.41 = 38.808 सेमी³

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, आयतन 38.80 सेमी³ है।

व्याख्या

मूल्य वृद्धि (मार्कअप) के बाद दी जाने वाली छूट के परिणामस्वरूप होने वाला शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है: शुद्ध % परिवर्तन = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀। इस परिदृश्य में, मूल्य वृद्धि x = +20 है और छूट y = -20 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

शुद्ध % परिवर्तन = 20 - 20 + (20 × (-20))/(100)

शुद्ध % परिवर्तन = 0 - ⁴⁰⁰⁄₁₀₀ = -4%

ऋणात्मक परिणाम हानि को दर्शाता है, विशेष रूप से 4% की हानि। वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य 100 है, तो 20% मूल्य वृद्धि के परिणामस्वरूप अंकित मूल्य 120 हो जाता है। 120 पर 20% की छूट 24 के बराबर होती है (0.20 × 120 = 24), जिससे विक्रय मूल्य 120 - 24 = 96 हो जाता है। 96 के विक्रय मूल्य की तुलना 100 के मूल क्रय मूल्य से करने पर 4% की हानि प्राप्त होती है।

व्याख्या

व्यंजक cos x cosec x - sin x sec x है। व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं cosec x = (1)/(sin x) और sec x = (1)/(cos x) का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(cos x)/(sin x) - (sin x)/(cos x)

उभयनिष्ठ हर sin x cos x लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

(cos² x - sin² x)/(sin x cos x)

कोसाइन के द्वि-कोण सूत्र, cos 2x = cos² x - sin² x, और साइन के द्वि-कोण सूत्र, sin 2x = 2 sin x cos x (जिसका अर्थ है sin x cos x = (sin 2x)/(2)) को लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(cos 2x)/(sin 2x){2} = 2 (cos 2x)/(sin 2x) = 2 cot 2x

व्याख्या

चरों के बीच का संबंध समीकरण A = k · √B{C³} द्वारा दिया गया है, जहाँ k आनुपातिकता स्थिरांक है।

समीकरण में प्रारंभिक मानों A = 15, B = 27, और C = 2 को प्रतिस्थापित करने पर हम k का मान ज्ञात कर सकते हैं: 15 = k · √(27){2³} 15 = k · 3√3{8} k = (15 · 8)/(3√(3)) = (40)/(√(3))

अब, B का मान ज्ञात करने के लिए k के मान और शर्तों की दूसरी स्थिति (जहाँ A = 9 और C = 2 है) का उपयोग करने पर: 9 = (40)/(√(3)) · √B{2³} 9 = (40)/(√(3)) · √B{8} 9 = 5√B{√3} √B = 9√3{5}

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: B = (81 · 3)/(25) = ²⁴³⁄₂₅

व्याख्या

नए व्यक्ति के वजन की गणना औसत में परिवर्तन और कुल वजन में परिवर्तन के बीच सीधे संबंध का उपयोग करके की जा सकती है। चूंकि 5 पुरुषों का औसत वजन 3 किग्रा कम हो जाता है, इसलिए समूह का कुल वजन लोगों की संख्या और औसत में परिवर्तन के गुणनफल के बराबर कम होना चाहिए।

कुल वजन में कमी = व्यक्तियों की संख्या × औसत वजन में कमी कुल वजन में कमी = 5 × 3 = 15 किग्रा

नया व्यक्ति 150 किग्रा वजन वाले व्यक्ति का स्थान ले रहा है। चूंकि समूह का कुल वजन 15 किग्रा कम हो गया है, इसलिए नए व्यक्ति का वजन प्रतिस्थापित किए गए व्यक्ति से 15 किग्रा कम होना चाहिए।

नए व्यक्ति का वजन = प्रतिस्थापित व्यक्ति का वजन - कुल वजन में कमी नए व्यक्ति का वजन = 150 - 15 = 135 किग्रा

व्याख्या

यह व्यंजक a³ + b³ + c³ के रूप में है, जहाँ a = 25, b = -75, और c = 50 है। बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a + b + c = 0 हो, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।

दिए गए मानों के लिए स्थिति की जाँच करने पर: a + b + c = 25 + (-75) + 50 = 0

चूंकि पदों का योग शून्य है, इसलिए व्यंजक का मान होगा: 3 × 25 × (-75) × 50 75 × (-75) × 50 -5625 × 50 = -281250

व्याख्या

11, 33, 99 और 121 से विभाज्य 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं: 11 = 11¹, 33 = 3 × 11, 99 = 3² × 11, और 121 = 11²। LCM की गणना संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर की जाती है: LCM = 3² × 11² = 9 × 121 = 1089।

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 1089 का वह सबसे बड़ा गुणज ज्ञात करने के लिए जो 99999 से अधिक न हो, हम 99999 को 1089 से विभाजित करते हैं। 99999 ÷ 1089 का विभाजन करने पर भागफल 91 और शेषफल 900 प्राप्त होता है। इस शेषफल को 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या से घटाने पर, हमें 99999 - 900 = 99099 प्राप्त होता है। यह 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 1089 से पूर्णतः विभाज्य है, और परिणामस्वरूप, यह 11, 33, 99 और 121 से भी विभाज्य है।

व्याख्या

दिया गया है कि tan A = ⅔, हम इस व्यंजक को एक अनुपात 5 sin² A - 2 cos² A{15 sin² A + 3 cos² A} के रूप में मानकर इसका मान ज्ञात करते हैं। दिए गए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cos² A से विभाजित करते हैं:

5 {sin² A{cos² A} - 2 cos² A{cos² A}}{15 sin² A{cos² A} + 3 cos² A{cos² A}} = 5 tan² A - 2{15 tan² A + 3}

tan A = ⅔ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan² A = ⁴⁄₉ प्राप्त होता है। इसे सरलीकृत व्यंजक में रखने पर:

(5(4)/(9)) - 2{15(⁴⁄₉) + 3} = (20)/(9) - 2{⁶⁰⁄₉ + 3}

अंश और हर को हल करने के लिए, उभयनिष्ठ हर 9 लेते हैं:

अंश: (20 - 18)/(9) = ²⁄₉

हर: (60 + 27)/(9) = ⁸⁷⁄₉

अंतिम मान अंश को हर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

²⁄₉ ÷ ⁸⁷⁄₉ = ²⁄₈₇

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के चतुर्थानुपाती को x के रूप में परिभाषित किया जाता है, जैसे कि a : b = c : x, जिसे सरल करने पर x = ᵇᶜ⁄ₐ प्राप्त होता है। दिए गए मानों 12, 24, और 27 को प्रतिस्थापित करने पर: x = (24 × 27)/(12) = 2 × 27 = 54

दो संख्याओं A और B के तृतीयानुपाती को y के रूप में परिभाषित किया जाता है, जैसे कि A : B = B : y, जिसे सरल करने पर y = B²{A} प्राप्त होता है। हमें दिया गया है कि संख्याओं A और 36 के लिए यह तृतीयानुपाती, ऊपर गणना किए गए चतुर्थानुपाती (y = 54) के बराबर है: 54 = 36²{A} A = (36 × 36)/(54)

36 और 54 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक 18 से विभाजित करने पर: A = (2 × 36)/(3) A = 2 × 12 = 24

व्याख्या

दिए गए समीकरण tan θ + cot θ = 2 में, हम cot θ = (1)/(tan θ) प्रतिस्थापित करके tan θ + (1)/(tan θ) = 2 प्राप्त कर सकते हैं। किसी भी चर x के लिए, संबंध x + ¹⁄ₓ = 2 का अर्थ है x² - 2x + 1 = 0, जो सरल होकर (x - 1)² = 0 हो जाता है। इस प्रकार, x = 1। इस संदर्भ में, tan θ = 1। चूंकि θ एक न्यूनकोण है, इसलिए θ = 45°, और परिणामस्वरूप cot θ = 1।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: tan² θ + cot² θ + 2 tan⁵ θ cot⁴ θ = (1)² + (1)² + 2(1)⁵(1)⁴ = 1 + 1 + 2(1)(1) = 2 + 2 = 4

व्याख्या

दो क्रमिक छूट दरों a% और b% के लिए शुद्ध छूट सूत्र a + b - ᵃᵇ⁄₁₀₀ द्वारा दी जाती है। योजना I के लिए, शुद्ध छूट 10 + 10 - (10 × 10)/(100) = 20 - 1 = 19% है। योजना II के लिए, शुद्ध छूट 15 + 5 - (15 × 5)/(100) = 20 - 0.75 = 19.25% है। योजना III 20% की एकल छूट प्रदान करती है। चूंकि 20%, 19.25% और 19% दोनों से अधिक है, इसलिए योजना III अधिकतम छूट प्रतिशत प्रदान करती है।