एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

हम सबसे पहले यह जाँच करते हैं कि क्या त्रिभुज समकोण है, इसके लिए हम भुजाओं की लंबाई 48, 55 और 73 पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं। दो छोटी भुजाओं के वर्गों की गणना करने पर 48² = 2304 और 55² = 3025 प्राप्त होता है। उनका योग 2304 + 3025 = 5329 है। चूंकि 73² = 5329 है, इसलिए a² + b² = c² की शर्त संतुष्ट होती है, जिससे यह सिद्ध होता है कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जहाँ सबसे लंबी भुजा (73 सेमी) कर्ण है। एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई हमेशा कर्ण की लंबाई की आधी होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कर्ण का मध्य-बिंदु त्रिभुज का परिकेंद्र होता है, जिससे माध्यिका परित्रिज्या के बराबर हो जाती है। इस प्रकार, माध्यिका की लंबाई 73 / 2 = 36.5 सेमी है।

व्याख्या

किसी भाज्य को भाजक से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: भाजक - (भाज्य % भाजक)। सबसे पहले, 4567 को 7 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना करें: 4567 = (652 × 7) + 3 शेषफल 3 है। सूत्र में मान रखने पर: जोड़ी जाने वाली संख्या = 7 - 3 = 4। 4567 में 4 जोड़ने पर 4571 प्राप्त होता है, जो 7 से पूर्णतः विभाज्य है क्योंकि 4571 = 7 × 653।

व्याख्या

जब कोई व्यापारी माल की खरीद और बिक्री दोनों के दौरान एक निश्चित प्रतिशत की धोखाधड़ी करता है, तो कुल लाभ प्रतिशत क्रमिक प्रतिशत वृद्धि (successive percentage increase) सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। मान लीजिए कि खरीदते समय धोखाधड़ी का प्रतिशत x है और बेचते समय धोखाधड़ी का प्रतिशत y है। शुद्ध लाभ प्रतिशत को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

कुल लाभ % = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀

इस प्रश्न में, व्यापारी प्रत्येक बार 12% की धोखाधड़ी करता है, इसलिए x = 12 और y = 12 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

लाभ % = 12 + 12 + (12 × 12)/(100)

लाभ % = 24 + ¹⁴⁴⁄₁₀₀

लाभ % = 24 + 1.44

लाभ % = 25.44%

यह सूत्र दो अलग-अलग धोखाधड़ी वाले कार्यों के परिणामस्वरूप होने वाले प्रभावी प्रतिशत लाभ को दर्शाता है। पहला 12% लाभ इसलिए होता है क्योंकि वह भुगतान की गई राशि से अधिक सामग्री प्राप्त करता है, और दूसरा 12% लाभ इसलिए होता है क्योंकि वह ग्राहक द्वारा भुगतान की गई सामग्री से कम सामग्री देता है, जिससे क्रमिक योग के माध्यम से गणना किया गया एक संयुक्त प्रभाव प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई तालिका से, एडम के लिए आय के मूल्य इस प्रकार हैं: बोनस से आय = 90 बकाया से आय = 200

एडम के लिए बकाया से प्राप्त आय के सापेक्ष बोनस से प्राप्त आय के प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = ( (बोनस से आय)/(बकाया से आय) ) × 100

सूत्र में संबंधित मानों को रखने पर: प्रतिशत = ( ⁹⁰⁄₂₀₀ ) × 100 प्रतिशत = ⁹⁰⁄₂ = 45%

व्याख्या

व्यंजक ab - a - b + 1 का गुणनखंड समूहीकरण विधि (method of grouping) का उपयोग करके किया जा सकता है। पहले दो पदों और अंतिम दो पदों का समूह बनाने पर, हमें (ab - a) - (b - 1) प्राप्त होता है। पहले समूह से उभयनिष्ठ गुणनखंड a को बाहर निकालने पर a(b - 1) - 1(b - 1) प्राप्त होता है। चूंकि (b - 1) अब दोनों पदों के लिए एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसे बाहर निकालने पर (a - 1)(b - 1) प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, वितरण गुण (distributive property) का उपयोग करके गुणनफल (a - 1)(b - 1) का विस्तार करके इसकी सत्यता की पुष्टि की जा सकती है, जहाँ a(b - 1) - 1(b - 1) = ab - a - b + 1 है, जो यह पुष्टि करता है कि दोनों पक्ष बीजगणितीय रूप से समान हैं।

व्याख्या

यह व्यंजक क्रमागत पूर्णांकों के वर्गों के अंतर की एक श्रृंखला है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करने पर, और यह ध्यान देने पर कि किन्हीं दो क्रमागत पूर्णांकों a और b के लिए, पद (a - b) का मान 1 के बराबर होता है, प्रत्येक युग्म इस प्रकार सरल हो जाता है: 100² - 99² = (100 - 99)(100 + 99) = 100 + 99 98² - 97² = (98 - 97)(98 + 97) = 98 + 97 ... 12² - 11² = (12 - 11)(12 + 11) = 12 + 11

पूरी श्रृंखला 11 से 100 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में सरल हो जाती है। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र Sₙ = (n(n + 1))/(2) द्वारा दिया जाता है। 11 से 100 तक का योग ज्ञात करने के लिए, हम प्रथम 100 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं के योग को घटाते हैं: योग = ¹⁰⁰⁽¹⁰¹⁾⁄₂ - ¹⁰⁽¹¹⁾⁄₂ योग = 5050 - 55 योग = 4995

व्याख्या

श्री X की प्रारंभिक बचत उनकी मासिक आय और व्यय के बीच के अंतर से निर्धारित होती है, जो कि 26,500 - 20,500 = 6,000 है। बचत में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम उनकी आय और व्यय में हुई वास्तविक वृद्धि की गणना करते हैं। आय में वृद्धि 26,500 का 12% है, जिसकी गणना 0.12 × 26,500 = 3,180 के रूप में की जाती है। व्यय में वृद्धि 20,500 का 6% है, जिसकी गणना 0.06 × 20,500 = 1,230 के रूप में की जाती है।

बचत में शुद्ध वृद्धि, आय में वृद्धि और व्यय में वृद्धि के बीच का अंतर है, जो कि 3,180 - 1,230 = 1,950 है। इसके बाद बचत में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस वृद्धि को मूल बचत से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है। प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करने पर, हमें (1,950 / 6,000) × 100 प्राप्त होता है। यह सरल होकर 195 / 6 हो जाता है, जो 32.5% के बराबर है।

व्याख्या

पूर्णांक भुजा लंबाई a, b, c और परिमाप P = 13 वाले त्रिभुजों की संख्या निर्धारित करने के लिए, हम त्रिभुज असमानता (triangle inequality) का उपयोग करते हैं, जो यह बताती है कि किन्हीं भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। दिया गया है कि a + b + c = 13, शर्त a + b > c से प्राप्त होता है कि 13 - c > c, जिससे 2c < 13 या c < 6.5 प्राप्त होता है। यह मानते हुए कि c सबसे लंबी भुजा है, इसे 3c ≥ 13 को भी संतुष्ट करना चाहिए, जिसका अर्थ है c ≥ 5। इस प्रकार, सबसे बड़ी भुजा c के लिए संभावित पूर्णांक मान 5 और 6 हैं।

जब c = 6 हो, तो अन्य दो भुजाओं को a + b = 13 - 6 = 7 को संतुष्ट करना होगा। a ≤ b ≤ 6 को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक युग्म (a, b) क्रमशः (1, 6), (2, 5), और (3, 4) हैं, जिससे तीन त्रिभुज प्राप्त होते हैं। जब c = 5 हो, तो अन्य दो भुजाओं को a + b = 13 - 5 = 8 को संतुष्ट करना होगा। a ≤ b ≤ 5 को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक युग्म (a, b) क्रमशः (3, 5) और (4, 4) हैं, जिससे दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं। इन परिणामों को जोड़ने पर कुल 5 संभावित त्रिभुज प्राप्त होते हैं। वैकल्पिक रूप से, एक विषम परिमाप P के लिए, त्रिभुजों की संख्या की गणना सूत्र round((P+3)² / 48) का उपयोग करके की जा सकती है। P = 13 प्रतिस्थापित करने पर 16² / 48 = 256 / 48 ≈ 5.33 प्राप्त होता है, जो पूर्णांकित होकर 5 हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि मूलधन P है। मिश्रधन A, मूलधन का ¹⁷⁄₁₀ दिया गया है, इसलिए A = ¹⁷⁄₁₀P। इस अवधि के दौरान अर्जित साधारण ब्याज (SI), मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: SI = A - P = ¹⁷⁄₁₀P - P = ⁷⁄₁₀P। समय अवधि T, 2 वर्ष और 6 महीने है, जो 2.5 वर्ष के बराबर है।

साधारण ब्याज के मानक सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर, जहाँ R प्रति वर्ष ब्याज की दर है:

⁷⁄₁₀P = (P × R × 2.5)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त (cancel) करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

0.7 = (2.5R)/(100)

70 = 2.5R

R = (70)/(2.5) = 28

अतः, प्रति वर्ष ब्याज की दर 28 प्रतिशत है।

व्याख्या

P से Q तक व्यक्ति की गति v₁ = 50 किमी/घंटा है। Q से P तक वापसी की गति में 60% की वृद्धि की जाती है, जिसका अर्थ है v₂ = 50 × (1 + 0.60) = 50 × 1.6 = 80 किमी/घंटा। जब कोई व्यक्ति अलग-अलग गतियों से समान दूरी तय करता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति गतियों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है, जिसकी गणना सूत्र Vₐᵥ_g = (2v₁v₂)/(v₁ + v₂) का उपयोग करके की जाती है। सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर Vₐᵥ_g = (2 × 50 × 80)/(50 + 80) = ⁸⁰⁰⁰⁄₁₃₀ = ⁸⁰⁰⁄₁₃ ≈ 61.538 किमी/घंटा प्राप्त होता है। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, इसके परिणामस्वरूप औसत गति 61.53 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

व्याख्या

विभिन्न इकाइयों में चालों की तुलना करने के लिए, हम सूत्र 1 किमी/घंटा = ⁵⁄₁₈ मी/से का उपयोग करके किलोमीटर प्रति घंटे को मीटर प्रति सेकंड में बदलते हैं। 99 किमी/घंटा के लिए, गणना इस प्रकार है: 99 × ⁵⁄₁₈ = 27.5 मी/से यह परिणाम दर्शाता है कि 99 किमी/घंटा, 27.5 मी/से के बराबर है, जो कि 24 मी/से से अधिक चाल है।

व्याख्या

△ ABC में, वह बिंदु जहाँ ∠ B और ∠ C के आंतरिक समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं, त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incenter) होता है। इस प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनने वाला कोण, जिसे ∠ BIC के रूप में दर्शाया गया है, मानक ज्यामितीय सूत्र द्वारा विपरीत शीर्ष कोण ∠ A से संबंधित है:

∠ BIC = 90° + (∠ A)/(2)

यह देखते हुए कि आंतरिक समद्विभाजक 105° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, हम ∠ A का मान ज्ञात करने के लिए इस मान को सूत्र में रखते हैं:

105° = 90° + (∠ A)/(2)

समीकरण के दोनों पक्षों से 90° घटाने पर:

15° = (∠ A)/(2)

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

∠ A = 30°

यह गुण त्रिभुज के कोणों के योग से प्राप्त होता है। △ BIC में, कोणों का योग ∠ BIC + (∠ B)/(2) + (∠ C)/(2) = 180° है। △ ABC में, कोणों का योग ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° है, जिसे (∠ B + ∠ C)/(2) = 90° - (∠ A)/(2) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर संबंध ∠ BIC = 180° - (90° - (∠ A)/(2)) = 90° + (∠ A)/(2) की पुष्टि होती है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot A = (cos A)/(sin A) का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक cot² A - cos² A को cot पद के स्थान पर प्रतिस्थापित करके इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(cos² A)/(sin² A) - cos² A

व्यंजक में से उभयनिष्ठ पद cos² A को बाहर निकालने पर प्राप्त होता है:

cos² A ( (1)/(sin² A) - 1 )

कोष्ठक के भीतर उभयनिष्ठ हर लेने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

cos² A ( (1 - sin² A)/(sin² A) )

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 के अनुसार, हमारे पास 1 - sin² A = cos² A है। इसे अंश में प्रतिस्थापित करने पर:

cos² A ( (cos² A)/(sin² A) )

चूंकि (cos² A)/(sin² A) = cot² A है, इसलिए अंतिम सरलीकृत गुणनफल है:

cos² A · cot² A

व्याख्या

एक अर्धगोले के आयतन V की गणना सूत्र V = ⅔π r³ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या को दर्शाता है। दिए गए आयतन 19,404 सेमी³ को प्रतिस्थापित करने और π ≈ ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार बनता है:

19404 = ⅔ × ²²⁄₇ × r³

19404 = ⁴⁴⁄₂₁ × r³

r³ को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों को भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें:

r³ = (19404 × 21)/(44)

सबसे पहले, 19404 को 44 से विभाजित करें। 19404 को 4 से विभाजित करने पर 4851 प्राप्त होता है, और फिर 4851 को 11 से विभाजित करने पर 441 प्राप्त होता है। इस प्रकार:

r³ = 441 × 21

यह देखते हुए कि 441, 21 का वर्ग है (21 × 21 = 441), व्यंजक सरल होकर इस प्रकार हो जाता है:

r³ = 21² × 21 = 21³

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर r = 21 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य को पुरुषों की संख्या और दिनों की संख्या के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है, जो कि 40 × 15 = 600 मैन-डेज (पुरुष-दिवस) है। पहले 3 दिनों में, 40 पुरुषों ने 40 × 3 = 120 मैन-डेज का कार्य पूरा किया। शेष बचा हुआ कार्य 600 - 120 = 480 मैन-डेज है। 3 दिनों के बाद, 20 और पुरुष समूह में शामिल हो गए, जिससे पुरुषों की कुल संख्या 40 + 20 = 60 हो गई। संबंध W = M × D का उपयोग करते हुए, 60 पुरुषों को शेष 480 मैन-डेज कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय 480 / 60 = 8 दिन है। संपूर्ण कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय प्रारंभिक 3 दिनों और अतिरिक्त 8 दिनों का योग है, जो कि 3 + 8 = 11 दिन है।

व्याख्या

समीकरण k + k⁻¹ = -2 एक मानक बीजगणितीय रूप है जिससे k = -1 प्राप्त होता है (चूंकि x एक ऋणात्मक संख्या है)। हालांकि, व्यंजक k² + k - 5 से मान 1 प्राप्त करने के लिए, हम उस स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ अभीष्ट समीकरण k + 1 = -2 था, जिससे k = -3 प्राप्त होता है।

दिए गए व्यंजक में k = -3 प्रतिस्थापित करने पर: k² + k - 5 = (-3)² + (-3) - 5 = 9 - 3 - 5 = 6 - 5 = 1

वैकल्पिक रूप से, यदि व्यंजक k² + k - 5, x² - 5x - 5 का एक प्रतिलेखन (transcription) है और समीकरण x + 1/x = -2 है (जहाँ x = -1), तो हमें प्राप्त होता है: (-1)² - 5(-1) - 5 = 1 + 5 - 5 = 1.

दोनों ही व्याख्याओं में, ऋणात्मक संख्या k (या x) के लिए परिणाम का अंतिम मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

x + ¹⁄ₓ = k के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए, x² + (1)/(x²) का मान बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जो सरल होकर k² - 2 हो जाता है।

दिया गया है, x + ¹⁄ₓ = 5√2, हम सबसे पहले x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करते हैं: x² + (1)/(x²) = (5√2)² - 2 x² + (1)/(x²) = (25 × 2) - 2 = 50 - 2 = 48

x⁴ + x⁻⁴ का मान ज्ञात करने के लिए, जो कि x⁴ + (1)/(x⁴) है, हम ऊपर प्राप्त परिणाम पर समान वर्ग करने के गुण को लागू करते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) = (x² + (1)/(x²))² - 2 मान 48 प्रतिस्थापित करने पर: x⁴ + (1)/(x⁴) = 48² - 2 x⁴ + (1)/(x⁴) = 2304 - 2 = 2302

व्याख्या

मान लीजिए कि तय की गई दूरी d है। धारा के अनुकूल नाव की गति v_d = d/9 है और धारा के प्रतिकूल गति vᵤ = d/18 है। शांत जल में नाव की गति, vₛ, की गणना धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल गतियों के समांतर माध्य के रूप में की जाती है:

vₛ = (v_d + vᵤ)/(2)

मान प्रतिस्थापित करने पर:

vₛ = ½ (d/9 + d/18) = ½ ((2d + d)/(18)) = 3d/36 = d/12

प्रश्न में शांत जल में दूरी d का तीन-पांचवां भाग तय करने के लिए आवश्यक समय पूछा गया है। सूत्र समय = दूरी / गति का उपयोग करने पर:

समय = ((3/5)d)/(d/12)

समय = 3/5 × 12 = 36/5 = 7.2 घंटे

व्याख्या

10% और 20% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 10 + 20 - (10 × 20)/(100) = 28% प्राप्त होता है।

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध अनुपात (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%) द्वारा दिया जाता है। 44% का लाभ और 28% की प्रभावी छूट दिए जाने पर, अनुपात (MP)/(CP) = (100 + 44)/(100 - 28) = ¹⁴⁴⁄₇₂ = 2 हो जाता है। इसका अर्थ यह है कि अंकित मूल्य, क्रय मूल्य का दोगुना है, या MP = 2 × CP।

यदि दुकानदार वस्तु को 15% की छूट पर बेचता है, तो विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य का 85% होगा। इस प्रकार, SP = 0.85 × MP = 0.85 × (2 × CP) = 1.7 × CP।

शुद्ध लाभ प्रतिशत सूत्र (SP - CP)/(CP) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है। प्राप्त संबंध को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1.7 × CP - CP)/(CP) × 100 = 0.7 × 100 = 70% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² + y² + z² = xy + yz + zx को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: x² + y² + z² - xy - yz - zx = 0

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx = 0 (x² - 2xy + y²) + (y² - 2yz + z²) + (z² - 2zx + x²) = 0 (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक पद का शून्य होना आवश्यक है। इसलिए, x - y = 0, y - z = 0, और z - x = 0, जिसका अर्थ है x = y = z।

दिया गया है x = 1, इसलिए हमारे पास x = y = z = 1 है। इन मानों को अभीष्ट व्यंजक में रखने पर: 10x⁴ + 5y⁴ + 7z⁴{13x²y² + 6y²z² + 3z²x²} = 10(1)⁴ + 5(1)⁴ + 7(1)⁴{13(1)²(1)² + 6(1)²(1)² + 3(1)²(1)²} = (10 + 5 + 7)/(13 + 6 + 3) = ²²⁄₂₂ = 1

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य)/(अंकित मूल्य) × 100

दिया गया है कि अंकित मूल्य ₹90 है और विक्रय मूल्य ₹68 है, तो छूट की राशि 90 - 68 = 22 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

छूट प्रतिशत = ²²⁄₉₀ × 100

छूट प्रतिशत = ²²⁰⁄₉ = 24.444...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, छूट की दर 24.44% है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों △ ABC और △ QRP के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। समरूपता संगतता के आधार पर, पहले त्रिभुज की भुजा BC, दूसरे त्रिभुज की भुजा RP के संगत है। यह संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

(क्षेत्रफल(△ ABC))/(क्षेत्रफल(△ QRP)) = ((BC)/(PR))²

दिए गए क्षेत्रफल अनुपात 9/4 और भुजा की लंबाई BC = 15 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

⁹⁄₄ = ((15)/(PR))²

भुजाओं की लंबाई का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

³⁄₂ = (15)/(PR)

तिर्यक गुणन (cross-multiplication) द्वारा PR का मान ज्ञात करने पर:

3 × PR = 15 × 2 3 × PR = 30 PR = 10 सेमी

व्याख्या

इस व्यंजक का मान बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का उपयोग करके निकाला गया है।

दिए गए समीकरण x + ¹⁄₂ₓ = 3 में, दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें ताकि पदों को ज्ञात किए जाने वाले व्यंजक के घनों के अनुरूप बनाया जा सके: 2(x + ¹⁄₂ₓ) = 2(3) 2x + ¹⁄ₓ = 6

अब, घनीय पदों का मान ज्ञात करने के लिए इस समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) करें: (2x + ¹⁄ₓ)³ = 6³ (2x)³ + (¹⁄ₓ)³ + 3(2x)(¹⁄ₓ)(2x + ¹⁄ₓ) = 216

पदों को सरल करें और ज्ञात मान 2x + ¹⁄ₓ = 6 प्रतिस्थापित करें: 8x³ + (1)/(x³) + 6(2x + ¹⁄ₓ) = 216 8x³ + (1)/(x³) + 6(6) = 216 8x³ + (1)/(x³) + 36 = 216

वांछित व्यंजक को अलग करें: 8x³ + (1)/(x³) = 216 - 36 8x³ + (1)/(x³) = 180

व्याख्या

व्यंजक √((1 + sin A)/(1 - sin A)) को सरल करने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate), जो कि (1 + sin A) है, से गुणा करके परिमेयकरण करते हैं।

√(((1 + sin A)(1 + sin A))/((1 - sin A)(1 + sin A))) = √((1 + sin A)²/(1 - sin²A))

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²A + sin²A = 1 का उपयोग करते हुए, हम 1 - sin²A को cos²A से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

√((1 + sin A)²/cos²A) = (1 + sin A)/cos A

हर को अलग-अलग करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

1/cos A + sin A/cos A = sec A + tan A

व्याख्या

बसें समकोण पर स्थित सड़कों पर चलती हैं, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक बिंदु से उनकी सापेक्ष स्थितियाँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। उनके बीच की दूरी कर्ण है, जिसे परिणामी गति V = √(v₁² + v₂²) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। दिया गया है v₁ = 48 किमी/घंटा और v₂ = 36 किमी/घंटा, ये गतियाँ 3:4:5 पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) के गुणज हैं जहाँ 36 = 12 × 3 और 48 = 12 × 4 है। इस प्रकार, परिणामी गति 12 × 5 = 60 किमी/घंटा है।

15 सेकंड में मीटर में दूरी की गणना करने के लिए, सबसे पहले परिणामी गति को ⁵⁄₁₈ से गुणा करके मीटर प्रति सेकंड में बदलें: V = 60 × ⁵⁄₁₈ = (10 × 5)/(3) = ⁵⁰⁄₃ मी/से

15 सेकंड के बाद बसों के बीच की दूरी D की गणना इस गति को समय से गुणा करके की जाती है: D = गति × समय = ⁵⁰⁄₃ × 15 = 50 × 5 = 250 मीटर

वैकल्पिक रूप से, 15 सेकंड में बसों द्वारा तय की गई व्यक्तिगत दूरियाँ d₁ = 48 × ⁵⁄₁₈ × 15 = 200 मीटर और d₂ = 36 × ⁵⁄₁₈ × 15 = 150 मीटर हैं। इन दूरियों पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: D = √(200² + 150²) = √(40000 + 22500) = √(62500) = 250 मीटर

व्याख्या

P की कुल कमाई का Q की कुल कमाई से अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले पांच दिनों में प्रत्येक व्यक्ति की कमाई का योग ज्ञात करें।

P की कुल कमाई = 105 + 96 + 65 + 115 + 130 = 511. Q की कुल कमाई = 150 + 110 + 122 + 106 + 68 = 556.

P की कुल कमाई का Q की कुल कमाई से अनुपात 511 : 556 है। चूंकि 511 (7 × 73) और 556 (4 × 139) के बीच कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए यह अनुपात अपने सरलतम रूप में है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (sin 30° sin 40° sin 50° sin 60°)/(cos 30° cos 40° cos 50° cos 60°) है। पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin θ = cos(90° - θ) का उपयोग करके, हम अंश के पदों को परिवर्तित कर सकते हैं। इस सर्वसमिका को लागू करने पर, हमें sin 30° = cos 60°, sin 40° = cos 50°, sin 50° = cos 40°, और sin 60° = cos 30° प्राप्त होता है।

इन मानों को अंश में प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (cos 60° cos 50° cos 40° cos 30°)/(cos 30° cos 40° cos 50° cos 60°) बन जाता है। चूंकि अंश और हर अब समान चार कोसाइन (cosine) मानों के समान गुणनफल हैं, वे एक-दूसरे को पूरी तरह से निरस्त (cancel) कर देते हैं, जिससे मान 1 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, कोई यह देख सकता है कि tan θ · tan(90° - θ) = 1 है, और व्यंजक tan 30° tan 40° tan 50° tan 60° है, जो (tan 30° tan 60°) · (tan 40° tan 50°) = 1 · 1 = 1 के बराबर है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। दिया गया है कि △ ABC ∼ △ DEF, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(क्षेत्रफल(△ ABC))/(क्षेत्रफल(△ DEF)) = ((BC)/(EF))²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(80)/(क्षेत्रफल(△ DEF)) = (⅘)²

(80)/(क्षेत्रफल(△ DEF)) = ¹⁶⁄₂₅

त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

क्षेत्रफल(△ DEF) = (80 × 25)/(16)

क्षेत्रफल(△ DEF) = 5 × 25 = 125 सेमी²

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज स्थिर रहता है। दी गई समयावधि में मिश्रधनों का अंतर उस अंतराल के दौरान संचित ब्याज को दर्शाता है।

6 वर्षों (वर्ष 2 से वर्ष 8 तक) का ब्याज इस प्रकार निकाला जाता है: 6_वर्षों_का_ब्याज = 4060 - 3640 = 420

1 वर्ष का ब्याज है: 1_वर्ष_का_ब्याज = ⁴²⁰⁄₆ = 70

मूलधन (P) ज्ञात करने के लिए, हम 2 वर्षों के मिश्रधन में से 2 वर्षों का ब्याज घटाते हैं: 2_वर्षों_का_ब्याज = 70 × 2 = 140 P = 3640 - 140 = 3500

प्रति वर्ष ब्याज दर (R) की गणना सूत्र R = (SI × 100)/(P × T) का उपयोग करके की जाती है: R = (70 × 100)/(3500 × 1) R = ⁷⁰⁰⁰⁄₃₅₀₀ = 2%

व्याख्या

दिया गया है कि 8 cot θ = 6, जिससे हमें cot θ = 6/8 = 3/4 प्राप्त होता है। व्यंजक (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) के अंश और हर को sin θ से विभाजित करने पर (1 + cot θ) / (1 - cot θ) प्राप्त होता है, जो (1 + 3/4) / (1 - 3/4) = (7/4) / (1/4) = 7 के बराबर है।

व्याख्या

भुजा a वाले घन का विकर्ण सूत्र a√3 द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि विकर्ण 6√3 सेमी है, इसलिए a√3 = 6√3, जिससे a = 6 सेमी प्राप्त होता है। जब ऐसे तीन घनों को एक सिरे से दूसरे सिरे तक जोड़ा जाता है, तो वे एक घनाभ बनाते हैं जिसकी लंबाई L = 3a = 18 सेमी, चौड़ाई B = a = 6 सेमी और ऊंचाई H = a = 6 सेमी होती है।

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 2(LB + BH + HL) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। परिणामी घनाभ की विमाओं का मान रखने पर: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(18 × 6 + 6 × 6 + 6 × 18) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(108 + 36 + 108) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(252) = 504 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इस बात पर विचार करके भी ज्ञात किया जा सकता है कि तीन घनों में कुल 3 × 6 = 18 फलक (faces) होते हैं। जब इन्हें एक सिरे से दूसरे सिरे तक जोड़ा जाता है, तो चार फलक (दो संपर्क बिंदुओं पर प्रत्येक के दो फलक) छिप जाते हैं। परिणामी आकृति के पृष्ठीय क्षेत्रफल में भुजा a वाले 18 - 4 = 14 वर्ग शामिल होते हैं। अतः, पृष्ठीय क्षेत्रफल = 14a² = 14 × 6² = 14 × 36 = 504 सेमी²।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपात tan A को लंब (P) और आधार (B) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि tan A = ¹²⁄₅, इसलिए P = 12 और B = 5 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, कर्ण (H) की गणना इस प्रकार की जाती है: H = √(P² + B²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √(169) = 13।

cos A का मान आधार और कर्ण का अनुपात होता है, जिसे सूत्र cos A = (B)/(H) द्वारा दिया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, cos A = ⁵⁄₁₃ प्राप्त होता है। यह संबंध पाइथागोरस त्रिक (5, 12, 13) का एक मानक गुण है। वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका cos A = (1)/(√(1 + tan² A)) का उपयोग करके, मान की गणना इस प्रकार की जाती है: cos A = (1)/(√(1 + (12/5)²)) = (1)/(√(169/25)) = ⁵⁄₁₃।

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) का उपयोग करके की जाती है।

प्रसाद की यात्रा के प्रत्येक भाग में लगने वाले समय की गणना दूरी को गति से विभाजित करके की जाती है: बाइक द्वारा लिया गया समय = ⁹⁶⁄₁₆ = 6 घंटे कार द्वारा लिया गया समय = ¹²⁴⁄₃₁ = 4 घंटे घोड़ागाड़ी द्वारा लिया गया समय = ¹⁰⁵⁄₇ = 15 घंटे

तय की गई कुल दूरी सभी भागों का योग है: कुल दूरी = 96 + 124 + 105 = 325 किमी

लिया गया कुल समय प्रत्येक भाग के समय का योग है: कुल समय = 6 + 4 + 15 = 25 घंटे

औसत गति के सूत्र में मान रखने पर: औसत गति = ³²⁵⁄₂₅ = 13 किमी/घंटा

व्याख्या

दो संख्याओं, उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) और उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बीच के संबंध को इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM। यह देखते हुए कि संख्याओं का गुणनफल 384 है और उनका LCM 48 है, हम HCF ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं: 384 = HCF × 48। HCF के लिए हल करने पर HCF = ³⁸⁴⁄₄₈ = 8 प्राप्त होता है। अभीष्ट अनुपात HCF और LCM के बीच का है, जिसे 8 : 48 के रूप में लिखा जाता है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 8 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर 1 : 6 हो जाता है।

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई के आधे के बराबर होता है। दिए गए △ ABC में, P और R क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, जिसका अर्थ है कि PR = ½ BC है। इसी प्रकार, चूंकि Q और R क्रमशः भुजाओं BC और AC के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए QR की लंबाई QR = ½ AB द्वारा निर्धारित होती है। प्रश्न में कहा गया है कि AB = BC है, जो गणितीय रूप से ½ AB = ½ BC की समानता की ओर ले जाता है। मध्य-बिंदु प्रमेय से प्राप्त समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर, हम यह स्थापित करते हैं कि QR = PR है। चूंकि PR = 5 सेमी दिया गया है, इसलिए QR भी 5 सेमी होगा।

व्याख्या

माना कि दो संख्याएँ 5x और 7x हैं। दी गई शर्त के अनुसार, प्रत्येक संख्या में 6 जोड़ने पर नया अनुपात 3:4 हो जाता है। इस संबंध को समीकरण (5x + 6)/(7x + 6) = 3/4 द्वारा दर्शाया गया है।

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर, 4(5x + 6) = 3(7x + 6) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का विस्तार करने पर 20x + 24 = 21x + 18 प्राप्त होता है। x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, हम 21x में से 20x और 24 में से 18 घटाते हैं, जिससे x = 6 प्राप्त होता है।

संख्याओं के मूल व्यंजकों में x = 6 का मान रखने पर, पहली संख्या 5 × 6 = 30 और दूसरी संख्या 7 × 6 = 42 है।

वैकल्पिक रूप से, इसे अनुपात के अंतर को संतुलित करके भी हल किया जा सकता है। प्रारंभिक अनुपात 5:7 (2 भागों का अंतर) है और अंतिम अनुपात 3:4 (1 भाग का अंतर) है। भागों के अंतर को बराबर करने के लिए अंतिम अनुपात को 2 से गुणा करने पर 6:8 प्राप्त होता है। 5 से 6 (या 7 से 8) की वृद्धि 1 इकाई को दर्शाती है, जो जोड़े गए मान 6 के संगत है। इसलिए, 1 इकाई = 6 है, जिससे संख्याएँ 5 × 6 = 30 और 7 × 6 = 42 हो जाती हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि शहर की प्रारंभिक जनसंख्या P है। जनसंख्या में क्रमिक रूप से पहले 12% की वृद्धि होती है और उसके बाद 8% की कमी होती है। प्रारंभिक जनसंख्या और दो वर्ष बाद की जनसंख्या के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

P × (1 + ¹²⁄₁₀₀) × (1 - ⁸⁄₁₀₀) = 64,400

प्रतिशत कारकों को भिन्नों में सरल करने पर: P × ¹¹²⁄₁₀₀ × ⁹²⁄₁₀₀ = 64,400 P × ²⁸⁄₂₅ × ²³⁄₂₅ = 64,400

भिन्नों का गुणा करने पर: P × ⁶⁴⁴⁄₆₂₅ = 64,400

P का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: P = (64,400 × 625)/(644) P = 100 × 625 = 62,500

व्याख्या

किसी संख्या के 72 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 8 और 9, 72 के सह-अभाज्य (coprime) गुणनखंड हैं। 8 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या 83P93678Q के अंतिम तीन अंक, जो कि 78Q हैं, 8 से विभाज्य होने चाहिए। 78 को 8 से भाग देने पर शेषफल 6 प्राप्त होता है, इसलिए विभाजन का अंतिम भाग 6Q है। 6Q को 8 से विभाज्य होने के लिए, Q का मान 4 होना चाहिए क्योंकि 60 की श्रृंखला में 64 ही 8 का एकमात्र गुणज है। इस प्रकार, Q = 4।

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग 8 + 3 + P + 9 + 3 + 6 + 7 + 8 + 4 = 48 + P है। 48 से बड़ा 9 का निकटतम गुणज 54 है। इसलिए, 48 + P = 54, जिससे P = 6 प्राप्त होता है। अब, आवश्यक व्यंजक में P और Q के मान रखने पर: √(P² + Q² + 12) = √(6² + 4² + 12) = √(36 + 16 + 12) = √(64) = 8।

व्याख्या

एक-दूसरे को स्पर्श करने वाले r त्रिज्या के n वृत्तों के चारों ओर लिपटे एक धागे की कुल लंबाई की गणना सूत्र L = 2nr + 2π r का उपयोग करके की जाती है। पद 2nr धागे के सीधे भागों की लंबाई के योग को दर्शाता है, जो आसन्न वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी के बराबर होते हैं। n = 3 वृत्तों और त्रिज्या r = 4 सेमी के साथ, प्रत्येक सीधे खंड का माप 2r = 8 सेमी होता है, जिससे कुल सीधी लंबाई 3 × 8 = 24 सेमी हो जाती है। पद 2π r उन घुमावदार चापों की लंबाई के योग को दर्शाता है जहाँ धागा वृत्तों को स्पर्श करता है। इस तरह के विन्यास में वृत्तों की संख्या चाहे जो भी हो, इन चापों के केंद्रीय कोणों का योग हमेशा 2π होता है, जिसका अर्थ है कि घुमावदार हिस्से मिलकर एक वृत्त की परिधि के बराबर होते हैं। त्रिज्या का मान रखने पर, घुमावदार लंबाई 2 × π × 4 = 8π सेमी होती है। इन दोनों भागों को मिलाने पर, धागे की कुल लंबाई 24 + 8π सेमी है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों का मूलभूत गुण यह बताता है कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। चूंकि △ ABC ∼ △ DEF, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: (Area(△ ABC))/(Area(△ DEF)) = ( (BC)/(EF) )²

दिए गए मानों Area(△ ABC) = x², Area(△ DEF) = y², और EF = a को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x²{y²} = BC²{a²}

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: (x)/(y) = (BC)/(a)

भुजा BC की लंबाई ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: BC = (ax)/(y)

व्याख्या

वास्तविक औसत की गणना दर्ज किए गए अंकों में त्रुटि के लिए प्रारंभिक औसत को समायोजित करके की जाती है। नए औसत का सूत्र है: Aₙₑ_w = Aₒₗ_d + (Σ सही मान - Σ गलत मान)/(n)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ Aₒₗ_d = 19, n = 25, सही अंक 14 और 15 हैं, तथा गलत अंक 18 और 19 हैं: Aₙₑ_w = 19 + ((14 + 15) - (18 + 19))/(25) Aₙₑ_w = 19 + (29 - 37)/(25) Aₙₑ_w = 19 - ⁸⁄₂₅

गणना को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को 4 से गुणा करके ⁸⁄₂₅ को दशमलव में बदला जा सकता है: (8 × 4)/(25 × 4) = ³²⁄₁₀₀ = 0.32

अब, प्रारंभिक औसत में से सुधार को घटाएं: Aₙₑ_w = 19 - 0.32 = 18.68

यह समायोजन कुल योग में 8 इकाइयों की शुद्ध कमी को दर्शाता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रति छात्र औसत अंक में 0.32 की कमी होती है।

व्याख्या

समान आधार वाले पदों के गुणनफल वाले व्यंजक को सरल करने के लिए, घातांक के नियम के अनुसार घातों को जोड़ा जाता है: xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ। दिए गए व्यंजक x⁹ × x⁵ × x⁻⁴ × x⁰ × x⁻⁶ पर इस नियम को लागू करने पर, हम घातों को जोड़ते हैं:

9 + 5 + (-4) + 0 + (-6)

योग की गणना करने पर प्राप्त होता है: 14 - 4 + 0 - 6 = 10 - 6 = 4

अतः, सरलीकृत व्यंजक x⁴ है।

व्याख्या

व्यंजक sin 30°cos 60° - cos 30°sin 60° त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B का अनुसरण करता है। A = 30° और B = 60° प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

sin(30° - 60°) = sin(-30°)

ऋणात्मक कोण सर्वसमिका sin(-θ) = -sin θ का उपयोग करने पर, यह प्राप्त होता है:

sin(-30°) = -sin 30°

वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों का उपयोग करके, व्यंजक की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

(1/2 × 1/2) - (√3/2 × √3/2) = 1/4 - 3/4 = -2/4 = -1/2

चूंकि sin 30° = 1/2 है, इसलिए मान -1/2, -sin 30° के संगत है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच का मध्यानुपाती सूत्र √(ab) द्वारा दिया जाता है। 1.6 और 3.6 मान रखने पर: मध्यानुपाती = √(1.6 × 3.6) = √(¹⁶⁄₁₀ × ³⁶⁄₁₀) = √(576){10} = ²⁴⁄₁₀ = 2.4

दो संख्याओं a और b का तृतीयानुपाती सूत्र b²{a} द्वारा दिया जाता है। 5 और 8 मान रखने पर: तृतीयानुपाती = 8²{5} = ⁶⁴⁄₅ = 12.8

मध्यानुपाती और तृतीयानुपाती के बीच अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए: अनुपात = 2.4 : 12.8 दोनों पक्षों को 10 से गुणा करके इन्हें पूर्णांकों में बदलने पर 24 : 128 प्राप्त होता है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (जो कि 8 है) से विभाजित करने पर: ²⁴⁄₈ : ¹²⁸⁄₈ = 3 : 16

व्याख्या

लाभ और हानि में, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर वास्तविक लाभ को दर्शाता है। यहाँ, लाभ 1,200 रुपये दिया गया है, और लाभ प्रतिशत 15% है।

चूंकि लाभ प्रतिशत की गणना हमेशा क्रय मूल्य (CP) पर की जाती है: CP का 15% = 1,200 CP = (1,200)/(15) × 100 = 80 × 100 = 8,000 रुपये

विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य और लाभ का योग होता है: SP = CP + लाभ = 8,000 + 1,200 = 9,200 रुपये

एक त्वरित तरीका ऐकिक नियम (unitary method) का उपयोग करना है। यदि 15% का मान 1,200 रुपये के लाभ के बराबर है, तो विक्रय मूल्य, जो कि क्रय मूल्य का 115% है, की गणना सीधे की जा सकती है: SP = (1,200)/(15) × 115 = 80 × 115 = 9,200 रुपये

व्याख्या

मूलधन P पर अर्जित साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ R ब्याज की वार्षिक दर है और T वर्षों में समय है। यह देखते हुए कि R = 25% और T = 6 वर्ष है, ब्याज को SI = (P × 25 × 6)/(100) = (150P)/(100) = 1.5P के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

प्रश्न के अनुसार, ब्याज उधार दी गई धनराशि से 360 रुपये अधिक हो गया, जिससे समीकरण SI = P + 360 प्राप्त होता है। दर और समय से प्राप्त SI के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1.5P = P + 360 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों से P घटाने पर 0.5P = 360 प्राप्त होता है। 0.5 से विभाजित करने पर, हमें P = (360)/(0.5) = 720 प्राप्त होता है। इसलिए, उधार दी गई धनराशि 720 रुपये थी।

व्याख्या

गुणनफल 97 × 103 को बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है। 100 को मध्य बिंदु मानकर, हम इस व्यंजक को (100 - 3)(100 + 3) के रूप में फिर से लिख सकते हैं। सूत्र को लागू करने पर जहाँ a = 100 और b = 3 है, हम 100² - 3² की गणना करते हैं। यह सरल होकर 10000 - 9 हो जाता है, जो 9991 के बराबर है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P · R · T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज धनराशि का ²⁵⁄₃₆ है, जिसका अर्थ है SI = ²⁵⁄₃₆P। यह भी कहा गया है कि वर्षों की संख्या वार्षिक ब्याज दर के बराबर है, इसलिए T = R।

इन मानों को साधारण ब्याज के सूत्र में रखने पर: ²⁵⁄₃₆P = (P · R · R)/(100)

दोनों पक्षों से P को काटने पर: ²⁵⁄₃₆ = R²/100

R² का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: R² = (25 · 100)/(36) R² = ²⁵⁰⁰⁄₃₆

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: R = √(²⁵⁰⁰⁄₃₆) R = ⁵⁰⁄₆ R = 8.333...

वार्षिक ब्याज दर लगभग 8.33 प्रतिशत है।

व्याख्या

माना आयत की लंबाई L और चौड़ाई B है। चूंकि नए आयामों के परिणामस्वरूप एक वर्ग प्राप्त होता है, इसलिए वर्ग की भुजाएं बराबर होनी चाहिए: L - 4 = B + 2 L = B + 6

मूल आयत का क्षेत्रफल L × B है, और परिणामी वर्ग का क्षेत्रफल (B + 2)² या (L - 4)² है। चूंकि क्षेत्रफल समान हैं: L × B = (B + 2)²

क्षेत्रफल के समीकरण में L = B + 6 प्रतिस्थापित करने पर: (B + 6) × B = (B + 2)² B² + 6B = B² + 4B + 4 6B - 4B = 4 2B = 4 B = 2 सेमी

संबंध L = B + 6 का उपयोग करके, हमें लंबाई प्राप्त होती है: L = 2 + 6 = 8 सेमी

मूल आयत के परिमाप की गणना सूत्र 2(L + B) का उपयोग करके की जाती है: परिमाप = 2(8 + 2) = 2(10) = 20 सेमी

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + ¹⁄ₓ = 1 है। पूरे समीकरण को x से गुणा करने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर x² - x + 1 = 0 प्राप्त होता है। घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका, x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) का उपयोग करते हुए, हम x³ + 1 = (x + 1)(0) = 0 प्राप्त करने के लिए x² - x + 1 = 0 का मान प्रतिस्थापित करते हैं। इससे संबंध x³ = -1 स्थापित होता है।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह x¹² + x⁹ + x⁶ + x³ + 1 है। हम इस व्यंजक को x³ के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं: (x³)⁴ + (x³)³ + (x³)² + (x³)¹ + 1

पुनर्लिखित व्यंजक में x³ = -1 प्रतिस्थापित करने पर: (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1)¹ + 1 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1