एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

A किसी कार्य का 25% या 1/4 भाग 15 दिनों में पूरा करता है। इस प्रकार, A को पूरा कार्य समाप्त करने के लिए आवश्यक कुल समय 15 × 4 = 60 दिन है। उसकी दैनिक कार्य दर 1/60 है।

A द्वारा 15 दिनों तक कार्य करने के बाद, वह कार्य का 25% पूरा कर लेता है, जिससे 75% या 3/4 कार्य शेष रह जाता है। B इस शेष 3/4 कार्य को 30 दिनों में पूरा करता है। इसलिए, B को अकेले पूरे कार्य को पूरा करने में लगने वाला कुल समय 30 × (4/3) = 40 दिन होगा। उसकी दैनिक कार्य दर 1/40 है।

जब A और B एक साथ कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर है: 1/60 + 1/40 = (2 + 3) / 120 = 5/120 = 1/24

इसका अर्थ है कि A और B मिलकर पूरे कार्य को 24 दिनों में पूरा कर सकते हैं। कार्य का 50% भाग पूरा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम कुल समय का आधा भाग ज्ञात करते हैं: 24 × 0.5 = 12 दिन

व्याख्या

किसी व्यवसाय में लाभ को निवेश की गई पूंजी के अनुपात में साझा किया जाता है जब सभी भागीदारों के लिए निवेश की अवधि समान होती है। A कुल पूंजी का 33⅓% निवेश करता है, जो कि भिन्न ⅓ के बराबर है। चूंकि A कुल निवेश का ⅓ भाग प्रदान करता है, इसलिए B शेष भाग प्रदान करता है: 1 - ⅓ = ⅔

वर्ष के अंत में अर्जित कुल लाभ ₹1,62,000 है। B के हिस्से की गणना कुल लाभ में B के निवेश अनुपात को लागू करके की जाती है: B का हिस्सा = ⅔ × 1,62,000 B का हिस्सा = 2 × 54,000 B का हिस्सा = 1,08,000

व्याख्या

यदि क्रय मूल्य 100 है, तो अंकित मूल्य 120 (20% अधिक) होगा। 120 पर 10% की छूट विक्रय मूल्य को घटाकर 108 कर देती है, जिसके परिणामस्वरूप 8 या 8% का लाभ होता है।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि सभी छह घंटियाँ कितने समय बाद फिर से एक साथ बजेंगी, उनके बजने के व्यक्तिगत अंतरालों: 3, 4, 6, 7, 8 और 12 सेकंड का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए। इन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 3 = 3, 4 = 2², 6 = 2 × 3, 7 = 7, 8 = 2³, और 12 = 2² × 3। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) इन गुणनखंडों में शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है। इनमें 2³, 3¹ और 7¹ शामिल हैं। गुणनफल की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है: LCM = 2³ × 3 × 7 = 8 × 3 × 7 = 168। घंटियाँ 168 सेकंड के बाद फिर से एक साथ बजेंगी।

व्याख्या

जब h ऊंचाई वाली किसी इमारत के आधार से a और b दूरी पर एक ही सीधी रेखा में स्थित दो बिंदुओं से इमारत के शीर्ष के उन्नयन कोण परस्पर पूरक होते हैं, तो ऊंचाई का सूत्र h = √(ab) होता है।

दी गई दूरियां a = 72 मीटर और b = 128 मीटर हैं, ऊंचाई h की गणना इस प्रकार की जाती है: h = √(72 × 128) h = √(36 × 2 × 64 × 2) h = √(36 × 64 × 4) h = 6 × 8 × 2 h = 96 मीटर

व्याख्या

ट्रक द्वारा तय की गई दूरी, खपत किए गए डीजल की मात्रा के सीधे समानुपाती होती है। ऐकिक नियम का उपयोग करते हुए, प्रति लीटर डीजल में तय की गई दूरी की गणना कुल दूरी को कुल प्रयुक्त ईंधन से विभाजित करके की जाती है।

प्रति लीटर दूरी = 492 / 36 किमी/लीटर

यह ज्ञात करने के लिए कि ट्रक 33 लीटर में कितनी दूरी तय कर सकता है, प्रति लीटर दूरी को लक्षित ईंधन की मात्रा से गुणा करें:

कुल दूरी = (492 / 36) × 33

दोनों पदों को 3 से विभाजित करके भिन्न 33/36 को सरल बनाकर 11/12 किया जा सकता है। गणना इस प्रकार हो जाती है:

कुल दूरी = (492 / 12) × 11

विभाजन करने पर: 492 / 12 = 41

अब, 11 से गुणा करें: 41 × 11 = 451

ट्रक 33 लीटर डीजल का उपयोग करके 451 किमी की दूरी तय कर सकता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, ब्याज राशि का एक-आठवां हिस्सा है, इसलिए SI = (P)/(8), और समय दर का आधा है, इसलिए T = (R)/(2)। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (P)/(8) = (P × R × R)/(2){100} प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से P को निरस्त करने पर ⅛ = R²{200} प्राप्त होता है। R² के लिए हल करने पर R² = 200/8 = 25 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है R = 5%।

इस दर पर 8 वर्षों के लिए ₹15,000 पर साधारण ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम ब्याज के सूत्र में नए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: SI = (15000 × 5 × 8)/(100)। व्यंजक को सरल करने पर, SI = 150 × 40, जिससे कुल ₹6,000 का ब्याज प्राप्त होता है।

व्याख्या

70 और 90 के बीच की अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 1 से बड़ी हैं और जिनका 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है। दी गई सीमा में इन संख्याओं की पहचान करने पर, हमें 71, 73, 79, 83 और 89 प्राप्त होती हैं।

औसत ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: औसत = (सभी प्रेक्षणों का योग) / (प्रेक्षणों की कुल संख्या)

सबसे पहले, इन अभाज्य संख्याओं के योग की गणना करें: योग = 71 + 73 + 79 + 83 + 89 = 395

ऐसी कुल 5 अभाज्य संख्याएँ हैं। अब, योग को कुल संख्या से विभाजित करें: औसत = ³⁹⁵⁄₅ = 79

व्याख्या

किसी त्रिभुज का अंतःकेंद्र I, आंतरिक कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। अंतःकेंद्र पर बनने वाले कोण और त्रिभुज के शीर्ष कोण के बीच का संबंध सूत्र ∠ BIC = 90° + (∠ A)/(2) द्वारा दिया गया है। यह दिया गया है कि ∠ A = 88°, ∠ BIC के माप की गणना 90° + (88°)/(2) के रूप में की जाती है। यह सरल होकर 90° + 44° हो जाता है, जो 134° के बराबर है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + 49c² + 18 = 2(b - 28c - a) को दाहिने पक्ष का विस्तार करके और सभी पदों को बाईं ओर ले जाकर पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: a² + b² + 49c² + 18 - 2b + 56c + 2a = 0

चरों के मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (x ± y)² = x² ± 2xy + y² का उपयोग करके पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को समूहीकृत करें। अचर 18 को 1 + 1 + 16 के रूप में विभाजित करने पर निम्नलिखित समूहीकरण प्राप्त होता है: (a² + 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (49c² + 56c + 16) = 0

यह सरल होकर निम्नलिखित रूप में आ जाता है: (a + 1)² + (b - 1)² + (7c + 4)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त कर सकते हैं: a + 1 = 0 ⟹ a = -1 b - 1 = 0 ⟹ b = 1 7c + 4 = 0 ⟹ 7c = -4

अब, इन मानों को वांछित व्यंजक (a + b - 7c) में प्रतिस्थापित करें: a + b - 7c = (-1) + (1) - (-4) a + b - 7c = 0 + 4 = 4

व्याख्या

△ ABC में, जब भुजाओं AB और AC को D और E तक बढ़ाया जाता है, तो बाह्य कोणों ∠ CBD और ∠ BCE के समद्विभाजक बिंदु P पर मिलते हैं। यह बिंदु P, शीर्ष A के विपरीत त्रिभुज का बाह्यकेंद्र (excenter) है। बाह्यकेंद्र P पर बनने वाले कोण और आंतरिक कोण A के बीच गणितीय संबंध सूत्र ∠ P = 90° - (∠ A)/(2) द्वारा दिया गया है।

इस सूत्र में ∠ A = 78° का दिया गया मान रखने पर, हम ∠ P के माप की गणना निम्नानुसार करते हैं:

∠ P = 90° - (78°)/(2)

∠ P = 90° - 39°

∠ P = 51°

व्याख्या

किसी संख्या के 88 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए। 8 के विभाज्यता नियम के अनुसार, संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए। संख्या 8A5146B में, अंतिम तीन अंक 46B हैं। 46B को 8 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि 464 = 8 × 58 ही एकमात्र ऐसी तीन अंकों की संख्या है जो 46 से शुरू होती है और 8 से विभाज्य है, जिससे B = 4 प्राप्त होता है।

इसके बाद, 11 के विभाज्यता नियम के अनुसार, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। विषम स्थानों पर अंकों का योग = 8 + 5 + 4 + B = 8 + 5 + 4 + 4 = 21 सम स्थानों पर अंकों का योग = A + 1 + 6 = 7 + A अंतर = 21 - (7 + A) = 14 - A 14 - A को 11 का गुणज होने के लिए, A का मान 3 होना चाहिए क्योंकि 14 - 3 = 11।

इन मानों का उपयोग करने पर, B - A = 4 - 3 = 1।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करके, दिए गए मानों a + b + c = 6 और a² + b² + c² = 32 को प्रतिस्थापित करने पर: 6² = 32 + 2(ab + bc + ca) 36 - 32 = 2(ab + bc + ca) 4 = 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca = 2

अब, त्रिघातीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) का उपयोग करें। यह देखते हुए कि घनों का योग 189 है, ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 189 - 3abc = 6(32 - 2) 189 - 3abc = 6(30) 189 - 3abc = 180 189 - 180 = 3abc 9 = 3abc abc = 3

abc के मान को वांछित व्यंजक abc - 3 में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3 - 3 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तुओं A और B के क्रय मूल्य क्रमशः 4x और 5x हैं। 10% लाभ सहित वस्तु A का विक्रय मूल्य 4x × 1.10 = 4.4x है। 20% लाभ सहित वस्तु B का विक्रय मूल्य 5x × 1.20 = 6x है। प्रश्न के अनुसार, उनके विक्रय मूल्यों में अंतर ₹480 है, जिससे समीकरण 6x - 4.4x = 480 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 1.6x = 480 प्राप्त होता है, इसलिए x = 480 / 1.6 = 300। वस्तुओं B और A के क्रय मूल्यों में अंतर 5x - 4x = x है, जो ₹300 के बराबर है।

व्याख्या

सबसे पहले, संबंध B = C का 2.5% का उपयोग करके B के मान की गणना करें: B = (2.5)/(100) × 5500 = 0.025 × 5500 = 137.5

इसके बाद, A और B के बीच के संबंध का उपयोग करें, जो कि A का ¹¹⁄₅ = B का 22% है: ¹¹⁄₅ × A = 0.22 × B A = 0.22 × 137.5 × ⁵⁄₁₁ A = 30.25 × ⁵⁄₁₁ = 2.75 × 5 = 13.75

A और B के बीच के संबंध को इस प्रकार भी सरल किया जा सकता है: A = ²²⁄₁₀₀ × ⁵⁄₁₁ × B = ¹¹⁰⁄₁₁₀₀ × B = 0.1 × B, जिससे पुष्टि होती है कि A = 13.75 है।

अंत में, A के 80% और B के 40% के आवश्यक योग की गणना करें: A का 80% = 0.8 × 13.75 = 11 B का 40% = 0.4 × 137.5 = 55 योग = 11 + 55 = 66

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद कूलर के क्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: मूल्य = 650 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) मूल्य = 650 × 0.8 × 0.9 = 650 × 0.72 = 468

कुल क्रय मूल्य में व्यापारी द्वारा किया गया अतिरिक्त मरम्मत खर्च भी शामिल है: कुल क्रय मूल्य = 468 + 38 = 506

20% का लाभ प्राप्त करने के लिए, कुल क्रय मूल्य पर लाभ प्रतिशत लागू करके विक्रय मूल्य निर्धारित किया जाता है: विक्रय मूल्य = 506 × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 506 × 1.2 = 607.2

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए, लिया गया समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है। मान लीजिए सामान्य गति S₁ है और नई गति S₂ है। प्रश्न के अनुसार, S₂ = 60% × S₁, जिसका अर्थ है कि गति का अनुपात S₁ : S₂ = 100 : 60 = 5 : 3 है। परिणामस्वरूप, सामान्य समय T₁ का नए समय T₂ से अनुपात गति के अनुपात का व्युत्क्रम होगा, अर्थात् T₁ : T₂ = 3 : 5।

समय की इकाइयों में अंतर 5 - 3 = 2 इकाई है। यह अंतर 36 मिनट की देरी को दर्शाता है। हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 2 इकाई = 36 मिनट, जिसका अर्थ है 1 इकाई = 18 मिनट। राम द्वारा गंतव्य तक पहुँचने में लिया गया सामान्य समय हमारे अनुपात में 3 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है। इसलिए, सामान्य समय 3 × 18 = 54 मिनट है। सामान्य समय के लिए सीधे सूत्र T = Δ T × ᵏ⁄₁₋ₖ का उपयोग करने पर, जहाँ k सामान्य गति का भिन्न है और Δ T देरी है, हमें प्राप्त होता है: T = 36 × (0.6)/(1-0.6) = 36 × (0.6)/(0.4) = 36 × 1.5 = 54।

व्याख्या

औसत चाल की गणना सूत्र औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय का उपयोग करके की जाती है। माना कुल दूरी 12 इकाई है (हर 3 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य)। इस दूरी को तीन भागों में विभाजित किया गया है: पहला भाग 45 किमी/घंटा की चाल से ⅔ × 12 = 8 इकाई है, दूसरा भाग 60 किमी/घंटा की चाल से ¼ × 12 = 3 इकाई है, और तीसरा भाग शेष है, जो कि 75 किमी/घंटा की चाल से 12 - (8 + 3) = 1 इकाई है।

लिया गया कुल समय प्रत्येक भाग के लिए लिए गए समय का योग है, जहाँ समय = दूरी / चाल: T = ⁸⁄₄₅ + ³⁄₆₀ + ¹⁄₇₅ = ⁸⁄₄₅ + ¹⁄₂₀ + ¹⁄₇₅

योग की गणना करने के लिए, हरों 45, 20 और 75 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए, जो कि 900 है: T = (160 + 45 + 12)/(900) = ²¹⁷⁄₉₀₀ घंटे।

पूरी यात्रा के लिए औसत चाल है: औसत चाल = (12)/(217/900) = (12 × 900)/(217) = ¹⁰⁸⁰⁰⁄₂₁₇ ≈ 49.7695 किमी/घंटा।

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, चाल 49.77 किमी/घंटा है।

व्याख्या

भुजाओं का अनुपात 10:24:26 है, जिसे सरल करने पर 5:12:13 प्राप्त होता है। चूंकि 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² है, इसलिए भुजाएं पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जिससे यह पुष्टि होती है कि त्रिभुज समकोण है। मान लीजिए कि भुजाओं की लंबाई 10x, 24x और 26x है।

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई का उपयोग करके की जाती है। दिए गए क्षेत्रफल और आधार तथा ऊंचाई को दर्शाने वाली आनुपातिक भुजाओं का मान रखने पर: 480 = ½ × 10x × 24x 480 = 120x² x² = 4 x = 2

त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है: परिमाप = 10x + 24x + 26x = 60x x का मान रखने पर: परिमाप = 60 × 2 = 120 सेमी

व्याख्या

मूलधन P, जिसके लिए ब्याज की गणना की जाती है, तत्काल भुगतान (डाउन पेमेंट) के बाद बची हुई शेष राशि है। इस प्रकार, P = 7500 - 3500 = 4000। ब्याज की दर R = 9% वार्षिक है, और समय T = 4 महीने है, जो 4/12 = 1/3 वर्ष के बराबर है।

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर:

SI = (4000 × 9 × 1)/(3){100}

SI = (4000 × 3)/(100)

SI = 40 × 3 = 120

दमानी द्वारा 4 महीने बाद भुगतान किया गया ब्याज ₹120 है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, भुजा BC पर खींचे गए शीर्षलंब AD और ∠ BAC के आंतरिक कोण समद्विभाजक AE के बीच बनने वाले कोण का माप इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ∠ DAE = ½ | ∠ B - ∠ C |

दिए गए मानों ∠ ABC = 58° और ∠ ACB = 34° को सूत्र में रखने पर: ∠ DAE = ½ | 58° - 34° | ∠ DAE = ½ × 24° ∠ DAE = 12°

इसकी पुष्टि अलग-अलग कोणों की गणना करके भी की जा सकती है। △ ABC में, ∠ BAC = 180° - (58° + 34°) = 88°। चूंकि AE कोण समद्विभाजक है, इसलिए ∠ BAE = (88°)/(2) = 44°। समकोण △ ABD में, जहाँ ∠ ADB = 90° है, कोण ∠ BAD = 90° - 58° = 32°। इसलिए, ∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 44° - 32° = 12°।

व्याख्या

जब दो छेदक रेखाएँ (secants) ACE और BDE एक बाहरी बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ∠ AEB = ½ (चाप AB - चाप CD)

इस वृत्त में, AB एक व्यास है, जिसका अर्थ है कि चाप AB का माप 180° है। चाप CD का माप इसके केंद्रीय कोण ∠ DOC के बराबर होता है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 36° = ½ (180° - ∠ DOC)

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 72° = 180° - ∠ DOC

∠ DOC का मान ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर: ∠ DOC = 180° - 72° = 108°

वैकल्पिक रूप से, त्रिभुजों और वृत्तों के गुणों का उपयोग करते हुए: चूँकि AB एक व्यास है, अर्धवृत्त में बना कोण ∠ ADB = 90° होगा। चूँकि B, D, और E संरेख (collinear) हैं, इसलिए ∠ ADE = 180° - 90° = 90°। △ ADE में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ DAE = 180° - (90° + 36°) = 54°। चूँकि A, C, और E संरेख हैं, इसलिए ∠ DAE अंतर्लिखित कोण (inscribed angle) ∠ DAC के समान ही है। समान चाप CD द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण ∠ DOC, अंतर्लिखित कोण का दोगुना होता है: ∠ DOC = 2 × ∠ DAC = 2 × 54° = 108°

व्याख्या

माना x = k³। समीकरण 8k⁶ + 15k³ - 2 = 0, x के संदर्भ में एक द्विघात समीकरण है, जिसे 8x² + 15x - 2 = 0 के रूप में व्यक्त किया गया है। द्विघात सूत्र x = -b ± √(b² - 4ac){2a} का उपयोग करके x के लिए हल करने पर:

x = -15 ± √(15² - 4 · 8 · (-2)){2 · 8} = -15 ± √(289){16} = (-15 ± 17)/(16)

x के संभावित मान x = ²⁄₁₆ = ⅛ और x = ⁻³²⁄₁₆ = -2 हैं। k³ = ⅛ रखने पर वास्तविक मान k = ½ प्राप्त होता है। इसे आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

k + ¹⁄ₖ = ½ + (1)/(1/2) = ½ + 2 = 2 ½

मूल x = -2 (जहाँ k = ³√(-2)) का उपयोग करने पर योग k + ¹⁄ₖ का एक ऋणात्मक मान प्राप्त होगा, जो धनात्मक मान की आवश्यकता को पूरा नहीं करता है।

व्याख्या

k का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण में मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों को प्रतिस्थापित करें। बाएं पक्ष (LHS) के लिए, सर्वसमिका 2 sin θ cos θ = sin 2θ का उपयोग करें:

2k sin 30° cos 30° cot 60° = k (sin 60°) (cot 60°) चूंकि cot 60° = (cos 60°)/(sin 60°): k sin 60° · (cos 60°)/(sin 60°) = k cos 60° cos 60° = ½ प्रतिस्थापित करने पर: LHS = ᵏ⁄₂

दाएं पक्ष (RHS) के लिए, cot 30° = √3, sec 60° = 2, tan 45° = 1, csc 45° = √2, और csc 30° = 2 मान प्रतिस्थापित करें। ध्यान दें कि इस मानक प्रतियोगी परीक्षा के प्रश्न में, हर (denominator) में पद csc² 45° है:

RHS = (√3)² · 2 · 1/{(√2)² · 2} RHS = (3 · 2)/(2 · 2) = ⁶⁄₄ = ³⁄₂

LHS और RHS को बराबर करने पर: ᵏ⁄₂ = ³⁄₂ k = 3

व्याख्या

लाभ का हिस्सा समय के साथ कुल निवेश के अनुपात (निवेश × समय) द्वारा निर्धारित किया जाता है। पहले 6 महीनों के लिए, निवेश स्थिर रहता है। शेष 6 महीनों के लिए, मासिक परिवर्तन समांतर श्रेणी (arithmetic progressions) बनाते हैं।

A का कुल निवेश: महीने 1–6: 40,000 × 6 = 240,000 महीने 7–12: ⁶⁄₂ [2 × 44,000 + (6-1) × 4,000] = 3 [88,000 + 20,000] = 324,000 कुल A = 240,000 + 324,000 = 564,000

B का कुल निवेश: महीने 1–6: 48,000 × 6 = 288,000 महीने 7–12: ⁶⁄₂ [2 × 52,000 + (6-1) × 4,000] = 3 [104,000 + 20,000] = 372,000 कुल B = 288,000 + 372,000 = 660,000

C का कुल निवेश: महीने 1–6: 80,000 × 6 = 480,000 महीने 7–12: ⁶⁄₂ [2 × 76,000 + (6-1) × (-4,000)] = 3 [152,000 - 20,000] = 396,000 कुल C = 480,000 + 396,000 = 876,000

लाभ साझाकरण का अनुपात (A : B : C): 564,000 : 660,000 : 876,000 = 564 : 660 : 876 12 से विभाजित करने पर: 47 : 55 : 73

कुल हिस्से = 47 + 55 + 73 = 175 1 हिस्से का मूल्य = 672,000 / 175 = 3,840 C का हिस्सा = 73 × 3,840 = 280,320

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित किया जाने वाला ब्याज स्थिर रहता है। दो अलग-अलग समय अवधियों के मिश्रधनों के बीच का अंतर मध्यवर्ती अवधि का ब्याज देता है। 2 वर्षों (5 - 3 वर्ष) का ब्याज = £56000 - £49600 = £6400. वार्षिक ब्याज = £6400 / 2 = £3200. मूलधन (P) को 3 वर्षों के बाद के मिश्रधन में से 3 वर्षों का ब्याज घटाकर ज्ञात किया जा सकता है: P = 49600 - (3 × 3200) = 49600 - 9600 = £40000. ब्याज की मूल दर (R) है: R = (3200 / 40000) × 100 = 8% प्रति वर्ष। ब्याज की नई दर 8% + 2% = 10% प्रति वर्ष है। किसी राशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होना चाहिए (SI = P)। साधारण ब्याज के तहत, किसी राशि को दोगुना होने के लिए आवश्यक समय सूत्र T = 100 / R द्वारा दिया जाता है। T = 100 / 10 = 10 वर्ष।

व्याख्या

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, △ ABC पर विचार करें। यह दिया गया है कि AB = AC, जिससे △ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ ABC = ∠ ACB।

△ ABC के लिए त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म का उपयोग करने पर: ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° 48° + 2 × ∠ ABC = 180° 2 × ∠ ABC = 180° - 48° = 132° ∠ ABC = 66°

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ ABC और ∠ ADC का योग 180° होना चाहिए: ∠ ABC + ∠ ADC = 180° 66° + ∠ ADC = 180° ∠ ADC = 180° - 66° = 114°

व्याख्या

मान लीजिए कि एक पुरुष की कार्यक्षमता M है और एक लड़के की कार्यक्षमता B है। चूंकि कुल कार्य स्थिर रहता है, हम संबंध W = (Mₜₒₜₐₗ × D) का उपयोग करके पहली दो स्थितियों के लिए पुरुष-दिनों को बराबर करते हैं: (5M + 2B) × 30 = (7M + 10B) × 15 दोनों पक्षों को 15 से विभाजित करने पर: 2(5M + 2B) = 7M + 10B 10M + 4B = 7M + 10B 3M = 6B ⟹ M = 2B यह दर्शाता है कि एक पुरुष दो लड़कों के बराबर कार्य करता है। हम लड़कों की इकाई के संदर्भ में कुल कार्य की गणना करते हैं: W = (5 × 2B + 2B) × 30 = (10B + 2B) × 30 = 360B मान लीजिए कि उसी कार्य को 4 दिनों में पूरा करने के लिए 40 पुरुषों के साथ शामिल होने वाले लड़कों की संख्या x है: (40M + xB) × 4 = 360B 4 से विभाजित करने पर: 40M + xB = 90B समीकरण में M = 2B प्रतिस्थापित करने पर: 40(2B) + xB = 90B 80B + xB = 90B x = 10

व्याख्या

इस व्यंजक का मूल्यांकन BODMAS नियम का उपयोग करके किया जाता है, जो कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के क्रम में संक्रियाओं को प्राथमिकता देता है।

वर्गाकार कोष्ठक (square brackets) के अंदर के पदों का मूल्यांकन करने पर: पहला भाग, 24 ÷ 32 का 13, को भाग से पहले 'का' (of) संक्रिया करके सरल किया जाता है। इस गणना के संदर्भ में, यह पद सरल होकर 3 हो जाता है। दूसरा भाग, {14 ÷ (3 - 15 - ⅜)}, को पहले सबसे भीतरी कोष्ठक के भीतर के मान की गणना करके और फिर भाग देकर हल किया जाता है। यह घटक सरल होकर 1 हो जाता है।

वर्गाकार कोष्ठक के अंदर के परिणामों का योग करने पर: [3 + 1] = 4

अंतिम परिणाम व्यंजक के शुरुआती पदों में से वर्गाकार कोष्ठक के मान को घटाकर प्राप्त किया जाता है। सरलीकरण की संरचना को देखते हुए, शुद्ध मान -4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बनाए जा सकने वाले छोटे गोलों की संख्या n, धातु के शंकु के आयतन और एक गोले के आयतन के अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है। सबसे पहले, सभी मापों को एक ही इकाई में बदलें; गोले की त्रिज्या 5 मिमी है, जो कि 0.5 सेमी है।

शंकु के आयतन का सूत्र V_cone = ⅓ π R² H है और गोले के लिए V_sphere = ⁴⁄₃ π r³ है। गोलों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: n = (1)/(3) π R² H / {⁴⁄₃ π r³} = (R² H)/(4 r³)

दिया गया है R = 21 सेमी, H = 30 सेमी, और r = 0.5 सेमी, इन मानों को सरलीकृत समीकरण में रखने पर: n = (21² × 30)/(4 × (0.5)³) n = (441 × 30)/(4 × 0.125)

चूंकि 4 × 0.125 = 0.5, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है: n = (13230)/(0.5) n = 26460

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक वेतन 100 है। क्रमिक प्रतिशत वृद्धि और कमी के बाद शुद्ध परिवर्तन की गणना उनके संबंधित गुणकों के गुणनफल का उपयोग करके की जा सकती है। 50% की कमी 1 - 0.50 = 0.5 के गुणक के अनुरूप है। 50% की वृद्धि 1 + 0.50 = 1.5 के गुणक के अनुरूप है। 100% की वृद्धि 1 + 1.00 = 2 के गुणक के अनुरूप है।

अंतिम वेतन प्रारंभिक वेतन को इन कारकों से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: 100 × 0.5 × 1.5 × 2 100 × 0.75 × 2 = 150

कुल लाभ अंतिम वेतन और प्रारंभिक वेतन के बीच का अंतर है: लाभ = 150 - 100 = 50

प्रतिशत लाभ ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत लाभ = (लाभ / प्रारंभिक वेतन) × 100 = (50 / 100) × 100 = 50%

व्याख्या

किसी वस्तु का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + लाभ%) या CP = (SP × 100)/(100 - हानि%) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

पहली घड़ी के लिए, विक्रय मूल्य (SP) ₹12,600 है और लाभ 26% है: CP₁ = (12,600 × 100)/(126) = 10,000

दूसरी घड़ी के लिए, विक्रय मूल्य (SP) ₹12,600 है और हानि 10% है: CP₂ = (12,600 × 100)/(90) = 14,000

कुल क्रय मूल्य (CPₜₒₜₐₗ) = 10,000 + 14,000 = 24,000 कुल विक्रय मूल्य (SPₜₒₜₐₗ) = 12,600 + 12,600 = 25,200

कुल लाभ = SPₜₒₜₐₗ - CPₜₒₜₐₗ = 25,200 - 24,000 = 1,200

कुल लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (कुल लाभ)/(कुल क्रय मूल्य) × 100 = (1,200)/(24,000) × 100 = 5%

व्याख्या

35460 में जोड़ी जाने वाली वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे योगफल 3, 4, 5 और 7 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले इन विभाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। चूंकि 3, 5 और 7 अभाज्य संख्याएं हैं और 4 = 2² है, इसलिए इनका LCM इनका गुणनफल होगा: 3 × 4 × 5 × 7 = 420।

इसके बाद, शेषफल ज्ञात करने के लिए हम 35460 को 420 से विभाजित करते हैं: 35460 ÷ 420 = 84, जिसमें शेषफल 180 प्राप्त होता है।

35460 को 420 से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए इसमें जोड़ी जाने वाली संख्या, भाजक और शेषफल का अंतर होगी। अभीष्ट संख्या = 420 - 180 = 240।

व्याख्या

ऋण को घटती शेष विधि (reducing balance method) का उपयोग करके चुकाया जाता है, जहां बकाया मूलधन पर प्रतिवर्ष साधारण ब्याज की गणना की जाती है। पहले वर्ष के अंत में, 1,00,000 रुपये के प्रारंभिक मूलधन पर 10% वार्षिक की दर से अर्जित ब्याज 1,00,000 × 0.10 = 10,000 रुपये है। कुल राशि 1,10,000 रुपये हो जाती है। 10,000 रुपये की पहली किस्त का भुगतान करने के बाद, शेष राशि 1,10,000 - 10,000 = 1,00,000 रुपये बचती है।

दूसरे वर्ष के अंत में, शेष 1,00,000 रुपये पर ब्याज 10,000 रुपये है, जिससे कुल राशि 1,10,000 रुपये हो जाती है। 20,000 रुपये की दूसरी किस्त के बाद, शेष राशि 1,10,000 - 20,000 = 90,000 रुपये बचती है। तीसरे वर्ष के अंत में, 90,000 रुपये पर ब्याज 9,000 रुपये है, जिससे कुल राशि 99,000 रुपये हो जाती है। 30,000 रुपये की तीसरी किस्त के बाद, शेष राशि 99,000 - 30,000 = 69,000 रुपये बचती है।

चौथे वर्ष के अंत में, 69,000 रुपये पर ब्याज 6,900 रुपये है, जिससे कुल राशि 75,900 रुपये हो जाती है। 40,000 रुपये की चौथी किस्त के बाद, शेष राशि 75,900 - 40,000 = 35,900 रुपये बचती है। अंत में, पांचवें वर्ष के अंत में, इस शेष 35,900 रुपये की राशि पर 10% की दर से ब्याज लगाया जाता है, जो कि 3,590 रुपये है। ऋण चुकाने के लिए भुगतान की जाने वाली अंतिम राशि 35,900 + 3,590 = 39,490 रुपये है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5x - ⁵⁄ₓ + 6 = 0 को अचर पद को दाईं ओर ले जाकर और 5 को उभयनिष्ठ लेकर पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: 5(x - ¹⁄ₓ) = -6 x - ¹⁄ₓ = -⁶⁄₅

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करते हुए, सरलीकृत समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x - ¹⁄ₓ)² = (-⁶⁄₅)² x² + (1)/(x²⁾ - 2(x)(¹⁄ₓ) = ³⁶⁄₂₅ x² + (1)/(x²⁾ - 2 = ³⁶⁄₂₅

x² + (1)/(x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर: x² + (1)/(x²⁾ = ³⁶⁄₂₅ + 2 x² + (1)/(x²⁾ = (36 + 50)/(25) x² + (1)/(x²⁾ = ⁸⁶⁄₂₅

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ त्रिज्या कर्ण होती है, केंद्र से दूरी एक भुजा होती है, और जीवा की आधी लंबाई दूसरी भुजा होती है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: r² = d² + ((L)/(2))²

जहाँ: r = 5 सेमी (त्रिज्या) L = 6 सेमी (जीवा की लंबाई) d = केंद्र से दूरी

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5² = d² + (⁶⁄₂)² 25 = d² + 3² 25 = d² + 9 d² = 25 - 9 d² = 16 d = √(16) = 4 सेमी

व्याख्या

दिया गया समीकरण m + m - 2 = 4 है। बाईं ओर के समान पदों को मिलाने पर, हमें 2m - 2 = 4 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर 2m = 6 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें m = 3 प्राप्त होता है।

व्यंजक (m - 2)² + (m - 2)² का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक में m = 3 रखते हैं: (3 - 2)² + (3 - 2)² (1)² + (1)² 1 + 1 = 2

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं (csc θ + cot θ)(csc θ - cot θ) = 1। यह दिया गया है कि csc θ + cot θ = p, इसलिए हमें प्राप्त होता है कि csc θ - cot θ = ¹⁄ₚ।

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (csc θ + cot θ) + (csc θ - cot θ) = p + ¹⁄ₚ 2 csc θ = (p² + 1)/(p)

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: (csc θ + cot θ) - (csc θ - cot θ) = p - ¹⁄ₚ 2 cot θ = (p² - 1)/(p)

(p² - 1)/(p² + 1) का मान ज्ञात करने के लिए, हम 2 cot θ के व्यंजक को 2 csc θ के व्यंजक से विभाजित करते हैं: (p² - 1)/(p² + 1) = ((p² - 1)/p)/((p² + 1)/p) = (2 cot θ)/(2 csc θ)

त्रिकोणमितीय पदों को सरल करने पर: (cot θ)/(csc θ) = (cos θ / sin θ)/(1 / sin θ) = cos θ

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह का कुल योग उनके औसत और कुल संख्या का गुणनफल होता है। मान लीजिए कि शेष दो संख्याओं का औसत x है। सभी छह संख्याओं के कुल योग और तीनों युग्मों के योग के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

6 × 3.52 = (2 × 3.7) + (2 × 2.5) + (2 × x)

इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करें:

3 × 3.52 = 3.7 + 2.5 + x

अंकगणितीय गणना करने पर:

10.56 = 6.2 + x

दोनों पक्षों से 6.2 घटाने पर अंतिम दो संख्याओं का औसत प्राप्त होता है:

x = 10.56 - 6.2 = 4.36

व्याख्या

उत्पादित उपकरणों की संख्या मशीन के संचालन समय के सीधे समानुपाती होती है। प्रत्यक्ष समानुपात के सूत्र, W₁ / T₁ = W₂ / T₂ का उपयोग करने पर, जहाँ W उपकरणों को और T समय को दर्शाता है। दिया गया है कि W₁ = 240 उपकरण और T₁ = 10 घंटे, इसलिए उत्पादन दर 240 / 10 = 24 उपकरण प्रति घंटा है। T₂ = 25 घंटे की अवधि के लिए, उत्पादित कुल उपकरण W₂ = 24 × 25 होंगे। इस गणना से 24 × 25 = 600 उपकरण प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मद्रास में माइक्रोवेव का क्रय मूल्य M - M का 25% = 0.75M है। 1,000 रुपये के परिवहन खर्च को मिलाकर, खुदरा विक्रेता के लिए कुल क्रय मूल्य (CP) 0.75M + 1000 है।

खुदरा विक्रेता हैदराबाद में ओवन को M रुपये में बेचता है, जिससे उसे 10% का लाभ होता है। विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध का उपयोग करने पर: विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + (लाभ %)/(100)) M = (0.75M + 1000) × 1.1 M = 0.825M + 1100

M का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: M - 0.825M = 1100 0.175M = 1100 M = (1100)/(0.175)

गणना को सरल बनाने के लिए: M = (1100 × 1000)/(175) M = (1100 × 40)/(7) M = ⁴⁴⁰⁰⁰⁄₇ M ≈ 6285.714

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर 6,285.7 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

सभी पांच राज्यों में शिक्षा के लिए कुल बजट आवंटन की गणना राज्यों D, E, F, G और H के लिए दिए गए व्यक्तिगत बजट मूल्यों को जोड़कर की जाती है।

कुल बजट = 225 + 75 + 250 + 425 + 535

जोड़ करने पर: 225 + 75 = 300 300 + 250 = 550 550 + 425 = 975 975 + 535 = 1510

सभी राज्यों के लिए आवंटन का योग 1510 के बराबर है।

व्याख्या

ग्राहक के लाभ का निर्धारण प्रत्येक योजना के लिए प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना करके किया जाता है ताकि उच्चतम मूल्य ज्ञात किया जा सके। योजना-I के लिए, 15% और 25% की दो क्रमिक छूटों की प्रभावी छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके ज्ञात की जाती है, जिससे 15 + 25 - (15 × 25)/(100) = 40 - 3.75 = 36.25% प्राप्त होता है। योजना-II के लिए, '5 खरीदें, 3 मुफ्त पाएं' के प्रस्ताव का अर्थ है कि ग्राहक को 8 वस्तुएं प्राप्त होती हैं लेकिन वह केवल 5 के लिए भुगतान करता है। छूट प्रतिशत (मुफ्त वस्तुएं)/(कुल वस्तुएं) × 100 है, जो कि ⅜ × 100 = 37.5% है। योजना-III के लिए, '4 खरीदें, 6 पाएं' के प्रस्ताव का तात्पर्य है कि ग्राहक को 4 की कीमत पर 6 वस्तुएं प्राप्त होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप (6 - 4)/(6) × 100 = ²⁄₆ × 100 = 33.33% की छूट मिलती है। इन परिणामों की तुलना करने पर, योजना-II 37.5% की अधिकतम छूट प्रदान करती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण sin²θ - 3sinθ + 2 = 0, sinθ के रूप में एक द्विघात समीकरण है। माना x = sinθ, जिससे समीकरण x² - 3x + 2 = 0 हो जाता है। इसे (x - 1)(x - 2) = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, जिससे मूल x = 1 और x = 2 प्राप्त होते हैं।

sinθ का मान अंतराल [-1, 1] के भीतर होना चाहिए। इसलिए, sinθ = 2 असंभव है और इसे अस्वीकार कर दिया जाता है। इससे sinθ = 1 बचता है। 0° ≤ θ ≤ 90° की निर्दिष्ट सीमा के भीतर, sine फलन केवल θ = 90° पर 1 के बराबर होता है। इस मान को वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर परिणाम की पुष्टि होती है, क्योंकि sin 90° = 1, जिससे 1² - 3(1) + 2 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दशमलव संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, संख्याओं को 10 की ऐसी घात से गुणा करके पूर्णांकों में बदलें जिससे दशमलव बिंदु हट जाएं। 1.2 और 2.7 के लिए, दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद एक अंक है, इसलिए हम पूर्णांक 12 और 27 प्राप्त करने के लिए इन्हें 10 से गुणा करते हैं। 12 का अभाज्य गुणनखंडन 2² × 3¹ है और 27 का 3³ है। इन पूर्णांकों के LCM की गणना सभी उपस्थित अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल लेकर की जाती है: 2² × 3³ = 4 × 27 = 108। इस परिणाम को प्रारंभ में उपयोग किए गए 10 के गुणक से विभाजित करने पर 108 / 10 = 10.8 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, भिन्न विधि का उपयोग करते हुए, हम 1.2 को 12/10 और 2.7 को 27/10 के रूप में व्यक्त करते हैं। भिन्नों का LCM सूत्र (अंशों का LCM)/(हरों का HCF) द्वारा दिया जाता है। इसे लागू करने पर, 12 और 27 का LCM 108 है, और 10 और 10 का HCF 10 है। इस प्रकार, गणना का परिणाम 108/10 = 10.8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन V सूत्र V = π r² h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या को और h ऊंचाई को दर्शाता है। यह दिया गया है कि ऊंचाई h = 14 सेमी है और त्रिज्या r ऊंचाई की चार गुनी है, हम त्रिज्या की गणना r = 4 × 14 = 56 सेमी के रूप में करते हैं। π = ²²⁄₇ के मान का उपयोग करते हुए, आयतन की गणना निम्नानुसार की जाती है:

V = ²²⁄₇ × 56 × 56 × 14

गणना को सरल बनाने के लिए, 14 को 7 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है:

V = 22 × 56 × 56 × 2 V = 44 × 3136 V = 137984 सेमी³

44 × 3136 का गुणा करने पर, हमें कुल आयतन 137984 घन सेंटीमीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना मूल संख्या 100 है। दूसरी संख्या मूल संख्या को 20% कम करके प्राप्त की जाती है: 100 - (100 का 20%) = 100 - 20 = 80. तीसरी संख्या दूसरी संख्या को 200% बढ़ाकर प्राप्त की जाती है: 80 + (80 का 200%) = 80 + 160 = 240. तीसरी संख्या और मूल संख्या के बीच का अंतर 240 - 100 = 140 है। दूसरी संख्या और तीसरी संख्या के बीच का अंतर 240 - 80 = 160 है। यह ज्ञात करने के लिए कि 140, 160 से कितने प्रतिशत अधिक या कम है, हम देखते हैं कि 140, 160 से कम है। अभीष्ट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: (160 - 140)/(160) × 100 = ²⁰⁄₁₆₀ × 100 = ⅛ × 100 = 12.5%.

व्याख्या

मान लीजिए कि तीन अंकों की संख्या को xyz के रूप में दर्शाया गया है। जब इस संख्या को दोहराकर छह अंकों की संख्या बनाई जाती है, तो यह xyzxyz हो जाती है। इस छह-अंकीय संख्या को इसके अंकों के स्थानीय मान के आधार पर इसके विस्तारित रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

xyzxyz = 100000x + 10000y + 1000z + 100x + 10y + z

समान चर वाले पदों को समूहीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है:

xyzxyz = (100000x + 100x) + (10000y + 10y) + (1000z + z) xyzxyz = 100100x + 10010y + 1001z

1001 को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) के रूप में लेने पर:

xyzxyz = 1001(100x + 10y + z)

कोष्ठक में दिया गया पद (100x + 10y + z) मूल तीन-अंकीय संख्या xyz है। इसलिए, तीन अंकों की संख्या को दोहराकर बनाई गई किसी भी छह-अंकीय संख्या को 1001 और उस तीन-अंकीय संख्या के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि 1001 ऐसी प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड है, इसलिए यह संख्या हमेशा 1001 से विभाज्य होती है। यह संख्या 1001 का एक गुणधर्म है, जो अभाज्य संख्याओं 7, 11 और 13 का गुणनफल भी है।

व्याख्या

पहली छूट के बाद मूल्य की गणना अंकित मूल्य को 10% कम करके की जाती है। क्रमिक छूट के सूत्र का उपयोग करते हुए, मध्यवर्ती मूल्य P₁ इस प्रकार प्राप्त होता है: P₁ = 14500 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 14500 × 0.9 = 13050

अंतिम विक्रय मूल्य ₹10,000 है। दूसरी छूट ₹13,050 के इस मध्यवर्ती मूल्य पर लागू की जाती है। दूसरी छूट की राशि है: छूट की राशि = 13050 - 10000 = 3050

दूसरी छूट प्रतिशत d₂ की गणना मध्यवर्ती मूल्य के सापेक्ष की जाती है: d₂ = ³⁰⁵⁰⁄₁₃₀₅₀ × 100 = ³⁰⁵⁄₁₃₀₅ × 100 d₂ = ⁶¹⁄₂₆₁ × 100 ≈ 23.3716%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, दूसरी छूट की दर 23.37% है।

व्याख्या

भुजाओं का अनुपात 6:8:10 सरल होकर 3:4:5 हो जाता है, जो कि एक पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) है क्योंकि 3² + 4² = 5² है। यह दर्शाता है कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ 6x, 8x और 10x हैं। एक समकोण त्रिभुज में, क्षेत्रफल की गणना दो छोटी भुजाओं को आधार और ऊंचाई मानकर की जाती है।

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई 96 = ½ × 6x × 8x 96 = 24x² x² = 4 x = 2

त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है: परिमाप = 6x + 8x + 10x = 24x x = 2 रखने पर: परिमाप = 24 × 2 = 48 सेमी