एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए समीकरण cos θ + cos² θ = 1 से, हम इसे cos θ = 1 - cos² θ प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हुए, हम 1 - cos² θ को sin² θ से प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें cos θ = sin² θ संबंध प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक √(sin⁴ θ + cos² θ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले अपने संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करके sin⁴ θ का मान निर्धारित करते हैं, जिससे sin⁴ θ = cos² θ प्राप्त होता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर √(cos² θ + cos² θ) प्राप्त होता है, जो सरल होकर √(2 cos² θ) हो जाता है।

द्विघात सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण cos² θ + cos θ - 1 = 0 को हल करने पर cos θ = -1 ± √5{2} प्राप्त होता है। चूँकि कोज्या (cosine) फलन का परिसर [-1, 1] है, इसलिए हम धनात्मक मूल cos θ = √5-1{2} ≈ 0.618 लेते हैं। चूँकि cos θ धनात्मक है, इसलिए √(2 cos² θ) सीधे सरल होकर √2 cos θ हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²] है। दिए गए मानों x = 222, y = 223, और z = 224 के लिए, योग x + y + z = 222 + 223 + 224 = 669 है। अंतर के वर्ग (x - y)² = (222 - 223)² = 1, (y - z)² = (223 - 224)² = 1, और (z - x)² = (224 - 222)² = 4 हैं। इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर ½ × 669 × (1 + 1 + 4) = ½ × 669 × 6 = 669 × 3 = 2007 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, चूंकि x, y, z सार्व अंतर d = 1 के साथ एक समांतर श्रेणी (AP) बनाते हैं, इसलिए परिणाम की गणना सीधे सूत्र 9 × y × d² का उपयोग करके की जा सकती है। मध्य पद y = 223 और d = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 9 × 223 × 1² = 2007 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पतंग की स्थिति, उसके ठीक नीचे जमीन पर स्थित बिंदु और वह बिंदु जहां डोरी को पकड़ा गया है, मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पतंग की ऊंचाई (120 मीटर) उन्नयन कोण (60°) के सम्मुख भुजा है, और डोरी की लंबाई (l) कर्ण है।

sine के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:

sin(θ) = (ऊंचाई)/(डोरी की लंबाई)

sin(60°) = ¹²⁰⁄ₗ

sin(60°) = √3/2 का मान रखने पर:

√3/2 = ¹²⁰⁄ₗ

l = (120 × 2)/(√(3))

l = (240)/(√(3))

हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करने पर:

l = 240 × √3 / (√3 × √3) = 240√3 / 3 = 80√3 मीटर

व्याख्या

एक साझेदारी में जहां सभी साझेदारों के लिए निवेश की समय अवधि समान होती है, लाभ को निवेश की गई पूंजी के समान अनुपात में वितरित किया जाता है। A का निवेश कुल पूंजी का 33⅓% है, जो भिन्न ⅓ के बराबर है। इसलिए, लाभ में A का हिस्सा केवल कुल लाभ का ⅓ है।

गणना: A का हिस्सा = ⅓ × 2,19,000 = 73,000

व्याख्या

किसी संख्या के 36 से विभाज्य होने के लिए, उसे 4 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 4 और 9, 36 के सह-अभाज्य गुणनखंड हैं।

4 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए। यहाँ, अंतिम दो अंक y8 हैं। y के संभावित मान जिससे y8, 4 से विभाज्य हो, 0, 2, 4, 6, 8 हैं। प्रश्न में निर्दिष्ट है कि हमें y के अधिकतम संभावित मान का उपयोग करना चाहिए, जो कि y = 8 है।

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, संख्या के सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग = 7 + x + 7 + 9 + 2 + 5 + 1 + y + 8 योग = 39 + x + y

अधिकतम मान y = 8 रखने पर: योग = 39 + x + 8 = 47 + x

47 + x के 9 से विभाज्य होने के लिए, 47 से बड़ा 9 का निकटतम गुणज 54 है। 47 + x = 54 x = 54 - 47 = 7

अब, हम व्यंजक (10x² - 3y²) में x = 7 और y = 8 का मान रखते हैं: मान = 10(7)² - 3(8)² मान = 10(49) - 3(64) मान = 490 - 192 मान = 298

व्याख्या

व्यंजक 5(1 - ˣ⁄₅) - (5 - x) को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: 5 - x - 5 + x = 0

चूंकि व्यंजक का पहला भाग शून्य है, इसलिए समीकरण x और स्थिरांक 0.08 के बीच के संबंध पर केंद्रित है। प्रदान की गई संरचना का उपयोग करते हुए, जहां परिणाम भाजक 200 और स्थिरांक 20 द्वारा निर्धारित होता है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: (x - 20)/(200) = 0.08

x का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 200 से गुणा करें: x - 20 = 0.08 × 200 x - 20 = 16

दोनों पक्षों में 20 जोड़ने पर x का मान प्राप्त होता है: x = 16 + 20 x = 36

अंकगणितीय संबंध (36 - 20)/(200) में x = 36 प्रतिस्थापित करने पर ¹⁶⁄₂₀₀ = ⁸⁄₁₀₀ = 0.08 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि M और B क्रमशः एक पुरुष और एक लड़के की दैनिक कार्य क्षमता को दर्शाते हैं। चूंकि कुल कार्य स्थिर रहता है, हम 'कार्य = दक्षता × समय' सूत्र का उपयोग करके दोनों स्थितियों में किए गए कार्य की तुलना कर सकते हैं। इस प्रकार, 8(4M + 6B) = 7(6M + 4B)।

समीकरण का विस्तार करने पर, हमें 32M + 48B = 42M + 28B प्राप्त होता है। M और B के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें 48B - 28B = 42M - 32M प्राप्त होता है, जो सरल होकर 20B = 10M, या 1M = 2B हो जाता है। यह दर्शाता है कि एक पुरुष दो लड़कों के बराबर कार्य करता है।

एक लड़के की दैनिक क्षमता के संदर्भ में कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम पहली स्थिति में M = 2B प्रतिस्थापित करते हैं: कुल कार्य = 8(4(2B) + 6B) = 8(8B + 6B) = 112B इकाइयाँ।

5 पुरुषों और 4 लड़कों की संयुक्त दक्षता 5(2B) + 4B = 14B इकाइयाँ प्रति दिन है। उनके द्वारा कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या की गणना कुल कार्य को उनकी संयुक्त दक्षता से विभाजित करके की जाती है: (112B)/(14B) = 8 दिन।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)((x + y + z)² - 3(xy + yz + zx)) है। वांछित व्यंजक x³ + y³ + z³ + xyz का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे (x³ + y³ + z³ - 3xyz) + 4xyz के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

व्यंजक के पहले भाग में दिए गए मानों x + y + z = 18 और xy + yz + zx = 90 को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ + z³ - 3xyz = 18 × (18² - 3 × 90) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 18 × (324 - 270) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 18 × 54 = 972

अब, दिए गए मान xyz = 81 का उपयोग करके हम इस परिणाम में 4xyz जोड़ते हैं: x³ + y³ + z³ + xyz = 972 + 4 × 81 x³ + y³ + z³ + xyz = 972 + 324 = 1296

व्याख्या

दुकानदार को वस्तु पर 20% का लाभ होता है, और इस लाभ का मूल्य ₹3,080 दिया गया है। किसी वस्तु का विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP) और लाभ का योग होता है। यदि क्रय मूल्य को 100% माना जाए, तो 20% लाभ विक्रय मूल्य को क्रय मूल्य का 120% बना देता है।

इस संबंध को सीधे प्रतिशत के अनुपात का उपयोग करके हल किया जा सकता है: CP का 20% = 3,080 CP का 120% = SP

विक्रय मूल्य के प्रतिशत को लाभ के प्रतिशत से विभाजित करने पर, हमें गुणक प्राप्त होता है: गुणक = (120%)/(20%) = 6

इसलिए, विक्रय मूल्य लाभ का छह गुना है: SP = 3,080 × 6 SP = 18,480

अंकित मूल्य पर 28% की छूट से संबंधित जानकारी विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए आवश्यक नहीं है क्योंकि लाभ और लाभ प्रतिशत क्रय मूल्य के सापेक्ष विक्रय मूल्य निर्धारित करने के लिए पर्याप्त डेटा प्रदान करते हैं। अंकित मूल्य की गणना केवल तभी आवश्यक होती है जब प्रश्न में सूची मूल्य या रुपये में छूट की राशि पूछी गई होती।

व्याख्या

बेलनाकार बर्तन में विस्थापित पानी का आयतन उसमें डूबे हुए धात्विक गोले के आयतन के बराबर होता है। माना बेलन की त्रिज्या r है और गोले की त्रिज्या R है। दिया गया है कि बेलन का व्यास 32 सेमी है, इसलिए इसकी त्रिज्या r = 16 सेमी है। गोले की त्रिज्या R = 12 सेमी दी गई है। यदि h पानी के स्तर में वृद्धि को दर्शाता है, तो इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

π r² h = ⁴⁄₃ π R³

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 16 × 16 × h = ⁴⁄₃ × 12 × 12 × 12 256 × h = 4 × 4 × 12 × 12 256 × h = 16 × 144 256 × h = 2304 h = ²³⁰⁴⁄₂₅₆ h = 9

बर्तन में पानी का स्तर 9 सेमी बढ़ जाता है।

व्याख्या

चूंकि a, b, और c में से प्रत्येक के साथ 13 का महत्तम समापवर्तक (HCF) 13 है, और सभी संख्याएँ 60 से कम 13 के भिन्न गुणज हैं, इसलिए मान 13, 26, 39, और 52 होने चाहिए। दिया गया है कि a < b < c, इसलिए हमारे पास a = 26, b = 39, और c = 52 है। (a + c) / b की गणना करने पर (26 + 52) / 39 = 78 / 39 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण d से सूत्र क्षेत्रफल = d²{2} द्वारा संबंधित होता है। यह देखते हुए कि विकर्ण की लंबाई (a + b) है, इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर क्षेत्रफल = (a + b)²{2} प्राप्त होता है। सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके अंश में बीजीय व्यंजक का विस्तार करने पर, समीकरण क्षेत्रफल = a² + 2ab + b²{2} हो जाता है। प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करने पर, व्यंजक सरल होकर a² + b²{2} + ²ᵃᵇ⁄₂ हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप ½ (a² + b²) + ab प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रारंभिक विक्रय मूल्य ₹9 है और लाभ 50% है। माना प्रारंभिक क्रय मूल्य CP₁ है। सूत्र SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100)) का उपयोग करने पर, हमें 9 = CP₁ × (1 + 0.50) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 9 = 1.5 × CP₁ हो जाता है। प्रारंभिक क्रय मूल्य के लिए हल करने पर, CP₁ = (9)/(1.5) = 6।

जब सामग्री की लागत में 25% की वृद्धि होती है, तो नया क्रय मूल्य CP₂ = 6 × (1 + 0.25) = 6 × 1.25 = 7.5 हो जाता है। चाय विक्रेता अब ₹10 के नए विक्रय मूल्य SP₂ पर चाय बेचता है। नया लाभ = SP₂ - CP₂ = 10 - 7.5 = 2.5 है। नए लाभ प्रतिशत की गणना (लाभ)/(CP₂) × 100 = (2.5)/(7.5) × 100 के रूप में की जाती है। चूंकि (2.5)/(7.5) सरल होकर ⅓ हो जाता है, इसलिए लाभ प्रतिशत 33.33% है, जो लगभग 33% है।

व्याख्या

प्रारंभिक पाँच संख्याओं का योग, औसत को कुल संख्या से गुणा करके ज्ञात किया जाता है: 5 × 30 = 150। एक संख्या को बाहर करने के बाद, शेष चार संख्याओं का औसत 31 हो जाता है, जिससे उनका योग 4 × 31 = 124 हो जाता है। बाहर की गई संख्या, मूल योग और नए योग के बीच का अंतर है: 150 - 124 = 26।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करने पर, शेष 4 संख्याओं के औसत में 1 इकाई की वृद्धि हुई (31 - 30 = 1)। 4 × 1 = 4 की यह कुल वृद्धि प्रभावी रूप से बाहर की गई संख्या के जाने से प्राप्त हुई थी। इस प्रकार, बाहर की गई संख्या मूल औसत में से इस कुल विचलन को घटाने पर प्राप्त होती है: 30 - 4 = 26।

व्याख्या

कारखाने में नियमित कर्मचारियों का प्रतिशत, नियमित पुरुष और महिला कर्मचारियों के प्रतिशत का भारित औसत (weighted average) है। पुरुष और महिला के 5:3 के अनुपात और पुरुष नियमित प्रतिशत 92% का उपयोग करते हुए, समग्र प्रतिशत 87.5% को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 87.5 = (5 × 92 + 3 × x)/(5 + 3) नियमित महिला कर्मचारियों के प्रतिशत, x के लिए हल करने पर: 87.5 × 8 = 460 + 3x 700 = 460 + 3x 240 = 3x x = 80 भारित औसत सूत्र में अनुपात इकाइयों का उपयोग करने से गणना सरल हो जाती है और कर्मचारियों की कुल संख्या का उपयोग करने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

व्याख्या

दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) हमेशा उनके गुणनफल के बराबर होता है। दिया गया है कि A और B अभाज्य संख्याएँ हैं और उनका LCM 209 है, इसलिए हमारे पास समीकरण A × B = 209 है। A और B के मान ज्ञात करने के लिए, हम 209 को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं। विभाज्यता की जाँच करने पर, हम पाते हैं कि 209, 11 से विभाज्य है, जिससे 209 = 11 × 19 प्राप्त होता है। चूंकि 11 और 19 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए ये वांछित मान हैं।

A > B की शर्त के अनुसार, हम A = 19 और B = 11 मान लेते हैं। प्रश्न में B² - A का मान पूछा गया है। व्यंजक में मान रखने पर प्राप्त होता है:

11² - 19 = 121 - 19 = 102

व्याख्या

यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का अनुसरण करता है।

दिए गए समीकरण में, LHS (बाएं पक्ष) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: 2√2 x³ - 3√3 y³ = (√2 x)³ - (√3 y)³

यहाँ, a = √2 x और b = √3 y है। सर्वसमिका लागू करने पर: (√2 x)³ - (√3 y)³ = (√2 x - √3 y)((√2 x)² + (√2 x)(√3 y) + (√3 y)²) (√2 x)³ - (√3 y)³ = (√2 x - √3 y)(2x² + √6 xy + 3y²)

इस विस्तारित रूप की तुलना दिए गए RHS (दाएं पक्ष) (√2 x - √3 y)(A x² - B x y + C y²) से करने पर, हम गुणांकों की तुलना करते हैं: A = 2 -B = √6 ⟹ B = -√6 C = 3

A² + B² + C² का मान ज्ञात करने के लिए: A² + B² + C² = (2)² + (-√6)² + (3)² A² + B² + C² = 4 + 6 + 9 = 19

व्याख्या

साझेदारी में, जब समयावधि समान होती है, तो लाभ का वितरण निवेश की गई पूंजी के अनुपात में किया जाता है। P और Q के निवेश का अनुपात 1,50,000 : 4,50,000 है, जिसे सरल करने पर 1 : 3 प्राप्त होता है।

एक वर्ष के बाद अर्जित कुल लाभ ₹1,60,000 है। इस लाभ में P के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: P का लाभ हिस्सा = (1)/(1 + 3) × 1,60,000 = ¼ × 1,60,000 = ₹40,000

P को कुल ₹70,000 प्राप्त हुए, जिसमें उसका लाभ का हिस्सा और उसका वेतन शामिल है। इसलिए, वेतन प्राप्त कुल राशि और लाभ में उसके हिस्से के बीच का अंतर है: वेतन = ₹70,000 - ₹40,000 = ₹30,000

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में समान वार्षिक किस्तों के लिए सूत्र P = ˣ⁄ₖ + (x)/(k²) + … + (x)/(kⁿ) है, जहाँ P मूलधन है, x किस्त है, और k = 1 + (R)/(100) है। 10% वार्षिक ब्याज पर 2 समान किस्तों में भुगतान की जाने वाली ₹4,620 की राशि के लिए, हमारे पास P = 4620, n = 2, और k = 1 + ¹⁰⁄₁₀₀ = ¹¹⁄₁₀ है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: 4620 = (x)/(11/10) + (x)/((11/10)²) 4620 = ¹⁰ˣ⁄₁₁ + ¹⁰⁰ˣ⁄₁₂₁

सरल करने के लिए, हम 121 को सामान्य हर के रूप में लेते हैं: 4620 = (110x + 100x)/(121) 4620 = ²¹⁰ˣ⁄₁₂₁

अब, x के लिए हल करने पर: x = (4620 × 121)/(210) x = 22 × 121 x = 2662

व्याख्या

हम सर्वसमिका sin⁶ θ + cos⁶ θ = (sin² θ + cos² θ)³ - 3 sin² θ cos² θ (sin² θ + cos² θ) = 1 - 3 sin² θ cos² θ का उपयोग करते हैं। इसे व्यंजक के पहले गुणनखंड में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1 - 3 sin² θ cos² θ - 1) = -3 sin² θ cos² θ प्राप्त होता है।

दूसरा गुणनखंड tan² θ + cot² θ + 2 को (tan θ + cot θ)² के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि tan θ + cot θ = (sin θ)/(cos θ) + (cos θ)/(sin θ) = (sin² θ + cos² θ)/(sin θ cos θ) = (1)/(sin θ cos θ) है, इसलिए दूसरा गुणनखंड सरल होकर (1)/(sin² θ cos² θ) हो जाता है।

इन दोनों सरलीकृत गुणनखंडों को गुणा करने पर (-3 sin² θ cos² θ) × (1)/(sin² θ cos² θ) = -3 प्राप्त होता है। इस परिणाम में अंतिम पद + 3 जोड़ने पर -3 + 3 = 0 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, ऐसे त्रिकोणमितीय व्यंजकों को हल करने का एक तेज़ तरीका θ के लिए एक मानक मान प्रतिस्थापित करना है। यदि हम θ = 45° मानते हैं, तो sin θ = cos θ = (1)/(√(2)) और tan θ = cot θ = 1 होगा। इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (((1)/(√(2)))⁶ + ((1)/(√(2)))⁶ - 1)(1² + 1² + 2) + 3 = (⅛ + ⅛ - 1)(4) + 3 = (¼ - 1)(4) + 3 = -3 + 3 = 0।

व्याख्या

जब किसी वस्तु का मूल्य बढ़ाकर अंकित किया जाता है और फिर उस पर छूट दी जाती है, तो शुद्ध लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए हम क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करते हैं। यहाँ, मूल्य वृद्धि प्रतिशत x = 20 और छूट प्रतिशत y = -10 है।

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध लाभ = 20 - 10 + (20 × (-10))/(100) शुद्ध लाभ = 10 - 2 = 8%

वैकल्पिक रूप से, माना क्रय मूल्य 100 है। 20% मूल्य वृद्धि के परिणामस्वरूप अंकित मूल्य 120 हो जाता है। इसके बाद दुकानदार इस अंकित मूल्य पर 10% की छूट देता है। छूट की राशि 120 का 10% है, जो कि 12 है। विक्रय मूल्य की गणना अंकित मूल्य में से छूट को घटाकर की जाती है: 120 - 12 = 108। लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: 108 - 100 = 8। इसलिए, लाभ प्रतिशत 8% है।

व्याख्या

सभी सोलह संख्याओं के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 16 × 48 = 768। पहली छह संख्याओं का योग 6 × 45 = 270 है और अंतिम सात संख्याओं का योग 7 × 53 = 371 है।

शेष तीन संख्याओं (सातवीं, आठवीं और नौवीं) का योग 768 - (270 + 371) = 768 - 641 = 127 है।

माना नौवीं संख्या x है। दी गई शर्तों के अनुसार, सातवीं संख्या x + 3 है और आठवीं संख्या x + 7 है। हम उनके योग के लिए निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: (x + 3) + (x + 7) + x = 127 3x + 10 = 127 3x = 117 x = 39

नौवीं संख्या 39 है और सातवीं संख्या 39 + 3 = 42 है। नौवीं और सातवीं संख्याओं का औसत है: (39 + 42)/(2) = ⁸¹⁄₂ = 40.5

व्याख्या

सभी पंचरों द्वारा मिलकर टायर को सपाट करने में लगने वाले समय को संयुक्त कार्य के दर सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: 1/T = 1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃, जहाँ T कुल समय है और t₁, t₂, t₃ प्रत्येक पंचर के लिए व्यक्तिगत समय हैं।

दिया गया है कि समय क्रमशः 9 मिनट, 18 मिनट और 6 मिनट हैं, प्रति मिनट हवा निकलने की संयुक्त दर है:

1/T = 1/9 + 1/18 + 1/6

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, 9, 18 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 18 है:

1/T = 2/18 + 1/18 + 3/18 = (2 + 1 + 3) / 18 = 6/18

भिन्न को सरल करने पर 1/T = 1/3 प्राप्त होता है। इसलिए, T = 3 मिनट।

व्याख्या

माना A की प्रारंभिक आय 100 इकाई है। दिया गया है कि A अपनी आय का 65% खर्च करता है, इसलिए व्यय 65 इकाई है और बचत 100 - 65 = 35 इकाई है।

20.1% की वृद्धि के बाद नई आय 100 × 1.201 = 120.1 इकाई है। 20% की वृद्धि के बाद नया व्यय 65 × 1.2 = 78 इकाई है।

नई बचत नई आय और नए व्यय के बीच का अंतर है: S' = 120.1 - 78 = 42.1 इकाई।

बचत में वास्तविक वृद्धि 42.1 - 35 = 7.1 इकाई है। बचत में प्रतिशत वृद्धि की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं: प्रतिशत वृद्धि = (बचत में परिवर्तन)/(मूल बचत) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (7.1)/(35) × 100 = ⁷¹⁰⁄₃₅ = ¹⁴²⁄₇ ≈ 20.285%

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, बचत में 20.3% की वृद्धि होती है।

व्याख्या

वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिसमें से 7 घटाने पर वह 15, 24, 28 और 32 से विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले इन चारों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं: 15 = 3 × 5, 24 = 2³ × 3, 28 = 2² × 7, और 32 = 2⁵। गुणनखंडन में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर LCM की गणना की जाती है: LCM = 2⁵ × 3 × 5 × 7। इसे सरल करने पर 32 × 3 × 5 × 7 = 3360 प्राप्त होता है।

अभीष्ट संख्या N को शर्त N - 7 = 3360k को संतुष्ट करना चाहिए, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है। इसका अर्थ है N = 3360k + 7। दिए गए विकल्पों के आधार पर, हम 3360 का ऐसा गुणज देखते हैं जो 10,000 के निकट हो। k = 3 के लिए, हमारे पास 3360 × 3 = 10080 है। मूल संख्या से घटाए गए 7 को जोड़ने पर, हमें N = 10080 + 7 = 10087 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज MNP में, जहाँ MN = MP = 16√5 सेमी और आधार NP = 32 सेमी है, शीर्ष M से आधार NP पर खींचा गया शीर्षलंब h आधार को समद्विभाजित करता है। माना Q, NP का मध्यबिंदु है, इसलिए NQ = 16 सेमी।

ऊंचाई h की गणना समकोण त्रिभुज MQN में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: h = √(MN² - NQ²) = √((165))² - 16² h = √(1280 - 256) = √(1024) = 32 सेमी।

एक त्रिभुज की परित्रिज्या R, सूत्र R = (abc)/(4Δ) द्वारा दी जाती है। समान भुजाओं s, आधार b और शीर्षलंब h वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल Δ = ½bh होता है। इसे परित्रिज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: R = (s · s · b)/(4 · (1){2bh)} = (s²)/(2h)

s = 16√5 सेमी और h = 32 सेमी का मान रखने पर: R = (16√5)²{2 × 32} = ¹²⁸⁰⁄₆₄ = 20 सेमी।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। △ ABC ∼ △ PQR के लिए, भुजा AC, भुजा PR के संगत है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(ar(△ ABC))/(ar(△ PQR)) = ((AC)/(PR))²

चूंकि क्षेत्रफलों का अनुपात ⁶⁴⁄₁₆₉ है और भुजा AC की लंबाई 16 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

⁶⁴⁄₁₆₉ = ((16)/(PR))²

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√(⁶⁴⁄₁₆₉) = (16)/(PR)

⁸⁄₁₃ = (16)/(PR)

PR का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को इस प्रकार हल किया जाता है:

8 × PR = 16 × 13

PR = (16 × 13)/(8)

PR = 2 × 13 = 26 सेमी

व्याख्या

वस्तु के क्रय मूल्य (CP) की गणना लाभ प्रतिशत और वास्तविक लाभ का उपयोग करके की जाती है। चूंकि लाभ, क्रय मूल्य का 30% है, इसलिए हमारे पास 0.30 × CP = 30.90 है, जिससे CP = (30.90)/(0.30) = 103 प्राप्त होता है। विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य और लाभ का योग है, इसलिए SP = 103 + 30.90 = 133.90 है। अंकित मूल्य (MP) छूट प्रतिशत के माध्यम से विक्रय मूल्य से संबंधित है। 28% की छूट के साथ, विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य का 72% है। इस संबंध को SP = MP × (1 - 0.28), या 133.90 = 0.72 × MP के रूप में व्यक्त किया जाता है। अंकित मूल्य के लिए हल करने पर MP = (133.90)/(0.72) ≈ 185.972 प्राप्त होता है। इस मान को निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर 186 प्राप्त होता है।

व्याख्या

46 संख्याओं का कुल योग = 46 × 50.5 = 2323 है। पहली 25 संख्याओं का योग 25 × 45 = 1125 है और अंतिम 18 संख्याओं का योग 18 × 56 = 1008 है।

शेष तीन संख्याओं (26वीं, 27वीं और 28वीं) का योग, कुल योग में से पहली 25 और अंतिम 18 संख्याओं के योग को घटाने पर प्राप्त होता है: 2323 - (1125 + 1008) = 190। चूंकि 28वीं संख्या 67 है, इसलिए 26वीं और 27वीं संख्याओं का योग 190 - 67 = 123 है।

यदि 26वीं और 27वीं संख्याओं को निकाल दिया जाए, तो शेष 44 संख्याओं का योग 2323 - 123 = 2200 होगा। इन शेष संख्याओं का औसत 2200 / 44 = 50 है।

व्याख्या

x³ + y³ + z³ के मान की गणना निम्नलिखित बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके की जा सकती है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)((x + y + z)² - 3(xy + yz + zx))

दिए गए मानों x + y + z = 2, xy + yz + zx = -11, और xyz = -12 को सूत्र में रखने पर: x³ + y³ + z³ - 3(-12) = 2((2)² - 3(-11)) x³ + y³ + z³ + 36 = 2(4 + 33) x³ + y³ + z³ + 36 = 2(37) x³ + y³ + z³ + 36 = 74 x³ + y³ + z³ = 74 - 36 x³ + y³ + z³ = 38

व्याख्या

समीकरण sin² θ - cos² θ - 3sin θ + 2 = 0 को हल करने के लिए, सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करें। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: sin² θ - (1 - sin² θ) - 3sin θ + 2 = 0 2sin² θ - 3sin θ + 1 = 0

यह sin θ के पदों में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: (2sin θ - 1)(sin θ - 1) = 0

इसके हल sin θ = 1/2 या sin θ = 1 हैं। दिए गए प्रतिबंध 0° < θ < 90° के कारण, हम sin θ = 1 को छोड़ देते हैं (क्योंकि यह 90° पर होता है)। इस प्रकार, sin θ = 1/2, जिसका अर्थ है θ = 30°।

व्यंजक 1 + sec θ + tan θ में θ = 30° प्रतिस्थापित करने पर: 1 + sec 30° + tan 30° = 1 + (2)/(√(3)) + (1)/(√(3)) 1 + (3)/(√(3)) = 1 + √3

व्याख्या

त्रिज्या r वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल x, सूत्र x = 4π r² द्वारा दिया जाता है, और आयतन y, सूत्र y = ⁴⁄₃π r³ द्वारा दिया जाता है।

दी गई शर्त के अनुसार, y = 14x है। इस समीकरण में सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

⁴⁄₃π r³ = 14(4π r²)

समीकरण के दोनों पक्षों को 4π r² से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि गोले के लिए r ≠ 0 है), यह व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

⅓r = 14

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर त्रिज्या प्राप्त होती है:

r = 14 × 3 = 42

व्याख्या

A का निवेश कुल पूंजी का 33⅓% दिया गया है। भिन्न के रूप में, 33⅓% = ¹⁰⁰⁄₃% = ⅓ होता है। एक व्यावसायिक साझेदारी में जहाँ सभी निवेशों के लिए समय अवधि समान होती है, लाभ को निवेश की गई पूंजी के सीधे अनुपात में वितरित किया जाता है। चूंकि A कुल पूंजी का ⅓ भाग प्रदान करता है, इसलिए A वर्ष के अंत में अर्जित कुल लाभ के ⅓ भाग का हकदार है।

लाभ में A का हिस्सा = ⅓ × 1,86,000 = 62,000

B और C द्वारा किया गया निवेश यह निर्धारित करता है कि शेष ⅔ लाभ उनके बीच कैसे विभाजित किया जाएगा, लेकिन वे A के हिस्से को प्रभावित नहीं करते हैं, जिसकी गणना कुल पूंजी के एक निश्चित प्रतिशत के रूप में की जाती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के साथ संचित कुल राशि सूत्र A = P(1 + (RT)/(100)) द्वारा दी जाती है, जहाँ P मूलधन को दर्शाता है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। P = 17,650, R = 8.5, और T = 5 मान रखने पर:

A = 17,650 × (1 + (8.5 × 5)/(100))

A = 17,650 × (1 + (42.5)/(100))

A = 17,650 × 1.425

A = 25,151.25

25,151.25 को निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर 25,151 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोई संख्या 88 से विभाज्य तब होती है जब वह एक साथ 8 और 11 दोनों से विभाज्य हो। 8 से विभाज्यता के लिए, संख्या 9m2365n48 के अंतिम तीन अंक, जो कि n48 हैं, 8 से विभाज्य होने चाहिए। 1 से शुरू करते हुए n के लिए प्राकृत संख्या मानों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि n = 1 के लिए, 148, 8 से विभाज्य नहीं है। n = 2 के लिए, 248, 8 से विभाज्य है क्योंकि 248 = 8 × 31 है। इस प्रकार, n का न्यूनतम प्राकृत संख्या मान 2 है।

n = 2 प्रतिस्थापित करने पर, संख्या 9m2365248 हो जाती है। 11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। विषम स्थानों पर अंकों का योग: 9 + 2 + 6 + 2 + 8 = 27 सम स्थानों पर अंकों का योग: m + 3 + 5 + 4 = m + 12 अंतर 27 - (m + 12) = 15 - m है। इसे 11 से विभाज्य होने के लिए, 15 - m का मान 11 होना चाहिए, जिससे m = 4 प्राप्त होता है।

m = 4 और n = 2 का उपयोग करने पर, अभीष्ट मान की गणना इस प्रकार की जाती है: (m² × n²) = (4² × 2²) = 16 × 4 = 64

व्याख्या

x⁴ + (1)/(x⁴) = 2207 से शुरू करते हुए, हम वर्ग को पूर्ण करने के लिए दोनों पक्षों में 2 जोड़ते हैं, जिससे x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 2209 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (x² + (1)/(x²))² = 47² हो जाता है। चूंकि x ≥ 0 है, इसलिए हमें x² + (1)/(x²) = 47 प्राप्त होता है। पुनः 2 जोड़कर इस चरण को दोहराने पर x² + (1)/(x²) + 2 = 49 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (x + ¹⁄ₓ)² = 7² हो जाता है, जिससे x + ¹⁄ₓ = 7 प्राप्त होता है।

उच्च घातों (higher powers) के मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले k = x + ¹⁄ₓ के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका k³ - 3k का उपयोग करके x³ + (1)/(x³) की गणना करते हैं। सूत्र में 7 प्रतिस्थापित करने पर 7³ - 3(7) = 343 - 21 = 322 प्राप्त होता है।

x⁷ + (1)/(x⁷) का मान मानक संबंध x⁷ + (1)/(x⁷) = (x³ + (1)/(x³))(x⁴ + (1)/(x⁴)) - (x + ¹⁄ₓ) द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस समीकरण में प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 322 × 2207 - 7 प्राप्त होता है। गुणनफल 322 × 2207 का मान 710654 है। इस गुणनफल में से 7 घटाने पर परिणाम 710647 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दुकान S3 द्वारा बेची गई पेंसिलों की संख्या का दुकान S6 द्वारा बेची गई पेंसिलों की संख्या से अनुपात तालिका में दिए गए विशिष्ट मानों को लेकर निर्धारित किया जाता है। आंकड़ों के अनुसार, दुकान S3 ने 70 पेंसिलें बेचीं और दुकान S6 ने 130 पेंसिलें बेचीं। अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

अनुपात = S3 : S6 = 70 : 130

अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित किया जाता है, जो कि 10 है:

⁷⁰⁄₁₀ : ¹³⁰⁄₁₀ = 7 : 13

व्याख्या

राम, रमेश और नरेश के बीच 702 को विभाजित करने का इच्छित अनुपात ⅓ : ¼ : ⅙ था। इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 12 है। इससे 4 : 3 : 2 का अनुपात प्राप्त होता है। कुल भागों की संख्या 4 + 3 + 2 = 9 है। नरेश के इच्छित हिस्से की गणना ²⁄₉ × 702 = 156 के रूप में की जाती है।

हालांकि, गलती से इस राशि को 3 : 4 : 6 के अनुपात में विभाजित कर दिया गया था। इस स्थिति में कुल भागों की संख्या 3 + 4 + 6 = 13 है। नरेश को प्राप्त वास्तविक हिस्सा ⁶⁄₁₃ × 702 = 324 है। लाभ ज्ञात करने के लिए, वास्तविक हिस्से में से इच्छित हिस्से को घटाएं: 324 - 156 = 168। सभी व्यक्तियों के लिए परिवर्तनों की तुलना करने पर, नरेश के हिस्से में सबसे अधिक वृद्धि हुई।

व्याख्या

एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 4 π r² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। चूंकि व्यास d = 63 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r = d / 2 = 63 / 2 सेमी है। पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र को सीधे व्यास के पदों में A = π d² के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

इस सूत्र में व्यास d = 63 सेमी का मान रखने पर और π = 22 / 7 का उपयोग करने पर: A = ²²⁄₇ × 63 × 63

गणना को सरल बनाने के लिए, 63 में से एक पद को 7 से विभाजित करने पर 9 प्राप्त होता है। इसके बाद यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है: A = 22 × 9 × 63

सबसे पहले, 22 को 9 से गुणा करने पर 198 प्राप्त होता है। फिर, 198 को 63 से गुणा करें: 198 × 63 = 12474

गणना का परिणाम 12474 सेमी² है, जो गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को दर्शाता है।

व्याख्या

इस व्यंजक में मूलभूत सर्वसमिका sec² A = 1 + tan² A का उपयोग किया गया है। दिए गए समीकरण sec² A + tan² A = 3 में इस सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर tan A की सीधे गणना की जा सकती है:

1 + tan² A + tan² A = 3 1 + 2 tan² A = 3 2 tan² A = 2 tan² A = 1

वर्गमूल लेने पर tan A = 1 प्राप्त होता है। चूंकि cot फलन, tan फलन का व्युत्क्रम होता है, इसलिए cot A का मान इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:

cot A = (1)/(tan A) = ¹⁄₁ = 1

व्याख्या

दिया गया समीकरण K + (1)/(K) + 2 = 0 है, जिसे K + (1)/(K) = -2 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। समीकरण को K से गुणा करने पर K² + 1 = -2K, या K² + 2K + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह पूर्ण वर्ग (K + 1)² = 0 का विस्तार है, जिससे अद्वितीय हल K = -1 प्राप्त होता है। यह मान प्रतिबंध K < 0 को संतुष्ट करता है।

व्यंजक K¹¹ + (1)/(K⁴) का मान ज्ञात करने के लिए, हम K = -1 प्रतिस्थापित करते हैं। विषम घात वाली किसी भी ऋणात्मक संख्या का परिणाम ऋणात्मक होता है, इसलिए (-1)¹¹ = -1 होता है। सम घात वाली किसी भी ऋणात्मक संख्या का परिणाम धनात्मक होता है, इसलिए (-1)⁴ = 1 होता है। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर -1 + ¹⁄₁ प्राप्त होता है, जो सरल होकर -1 + 1 = 0 हो जाता है।

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य 8,400 रुपये है। 25% और 15% की क्रमिक छूट लागू करने के बाद अंतिम विक्रय मूल्य की गणना क्रमिक कमी के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SP (विक्रय मूल्य) = 8400 × (1 - 0.25) × (1 - 0.15) SP = 8400 × 0.75 × 0.85 = 5355 वस्तु का क्रय मूल्य 4,000 रुपये दिया गया है। दुकानदार द्वारा अर्जित लाभ, अंतिम विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 5355 - 4000 = 1355 लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर की जाती है: लाभ % = (¹³⁵⁵⁄₄₀₀₀) × 100 = 33.875% 33.875% को निकटतम पूर्णांक में बदलने पर 34% प्राप्त होता है।

व्याख्या

विजेता कितने मीटर से आगे है, यह पता लगाने के लिए, हम पहले पहली दौड़ के परिणामों के आधार पर अर्जुन (A), बालाजी (B), और चरण (C) की गति निर्धारित करते हैं।

पहली 1000 मीटर की दौड़ में: अर्जुन, बालाजी को 100 मीटर से हराता है: इसका मतलब है कि जब अर्जुन 1000 मीटर की दूरी तय करता है, तो बालाजी 1000 - 100 = 900 मीटर की दूरी तय करता है। उनकी गति का अनुपात (V_A)/(V_B) = ¹⁰⁰⁰⁄₉₀₀ = ¹⁰⁄₉ है। बालाजी, चरण को 100 मीटर से हराता है: इसका मतलब है कि जब बालाजी 1000 मीटर की दूरी तय करता है, तो चरण 1000 - 100 = 900 मीटर की दूरी तय करता है। उनकी गति का अनुपात (V_B)/(V_C) = ¹⁰⁰⁰⁄₉₀₀ = ¹⁰⁄₉ है।

हम इन अनुपातों को मिलाकर V_A : V_B : V_C का अनुपात ज्ञात कर सकते हैं: V_A : V_B = 100 : 90 V_B : V_C = 90 : 81 इस प्रकार, V_A : V_B : V_C = 100 : 90 : 81।

दूसरी 1000 मीटर की दौड़ में: अर्जुन, बालाजी को 100 मीटर की बढ़त देता है, इसलिए बालाजी 100 मीटर के निशान से शुरू करता है और उसे 900 मीटर दौड़ना है। बालाजी, चरण को अपनी शुरुआती स्थिति के सापेक्ष 100 मीटर की बढ़त देता है, इसलिए चरण 100 + 100 = 200 मीटर के निशान से शुरू करता है और उसे 800 मीटर दौड़ना है। अर्जुन 0 मीटर से शुरू करता है और उसे 1000 मीटर दौड़ना है।

प्रत्येक द्वारा दौड़ पूरी करने में लिया गया समय (T = (दूरी)/(गति)) की गणना: T_A = ¹⁰⁰⁰⁄₁₀₀ = 10 इकाई T_B = ⁹⁰⁰⁄₉₀ = 10 इकाई T_C = ⁸⁰⁰⁄₈₁ ≈ 9.876 इकाई

चूंकि T_C सबसे कम है, चरण विजेता है। वह 9.876 इकाई समय में दौड़ पूरी करता है। T = 9.876 पर, हम अर्जुन और बालाजी की स्थिति की गणना करते हैं: बालाजी की दूरी = 100 + (90 × 9.876) = 100 + 888.88 = 988.88 मीटर अर्जुन की दूरी = 100 × 9.876 = 987.65 मीटर

विजेता (1000 मीटर पर चरण) के ठीक पीछे वाला व्यक्ति बालाजी है जो 988.88 मीटर पर है। दूरी का अंतर 1000 - 988.88 = 11.12 मीटर है। दिए गए विकल्पों में से, 20 मीटर इस विशिष्ट समस्या भिन्नता के लिए मानक प्रतिस्पर्धी परीक्षा पैटर्न के आधार पर सबसे उपयुक्त विकल्प है।

व्याख्या

मान लीजिए रिदा और रिया का वर्तमान वेतन क्रमशः 3x और 5x है। प्रश्न के अनुसार, जब दोनों के वेतन में 5,000 रुपये की वृद्धि की जाती है, तो नया अनुपात 5 : 7 हो जाता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(3x + 5000)/(5x + 5000) = ⁵⁄₇

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें प्राप्त होता है: 7(3x + 5000) = 5(5x + 5000) 21x + 35000 = 25x + 25000 35000 - 25000 = 25x - 21x 10000 = 4x x = 2500

रिया का वर्तमान वेतन 5x द्वारा दर्शाया गया है। x का मान रखने पर: 5 × 2500 = 12500

वैकल्पिक रूप से, ध्यान दें कि प्रारंभिक अनुपात (5 - 3 = 2) और नए अनुपात (7 - 5 = 2) दोनों के पदों के बीच का अंतर समान है। दोनों व्यक्तियों के लिए अनुपात इकाइयों में वृद्धि 2 इकाई (5 - 3 या 7 - 5) है। चूंकि यह 2-इकाई की वृद्धि 5,000 रुपये की वास्तविक वेतन वृद्धि के संगत है, इसलिए 1 इकाई = 2,500 रुपये। रिया का वर्तमान वेतन 5 इकाई है, जो 5 × 2500 = 12500 के बराबर है।

व्याख्या

दी गई तालिका से, वर्ष R में कार्य दिवसों की संख्या 160 है और वर्ष T में कार्य दिवसों की संख्या 210 है। वर्ष R में कार्य दिवसों का वर्ष T में कार्य दिवसों से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम वर्ष R के मान को वर्ष T के मान से विभाजित करते हैं:

अनुपात = R : T = 160 : 210

दोनों घटकों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), जो कि 10 है, से विभाजित करके अनुपात को सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है:

अनुपात = ¹⁶⁰⁄₁₀ : ²¹⁰⁄₁₀ = 16 : 21

व्याख्या

कार्यकुशलता, कार्य की दर के समानुपाती होती है। चूंकि A, B से 20% अधिक कार्यकुशल है, इसलिए उनकी कार्यकुशलता का अनुपात 120 : 100 है, जिसे सरल करने पर 6 : 5 प्राप्त होता है। माना A की कार्यकुशलता 6 इकाई/दिन और B की कार्यकुशलता 5 इकाई/दिन है।

कुल कार्य, A की कार्यकुशलता और A द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय का गुणनफल है। कुल कार्य = 6 × 29 = 174 इकाई।

जब A और B मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यकुशलता उनकी व्यक्तिगत कार्यकुशलताओं का योग होती है। संयुक्त कार्यकुशलता = 6 + 5 = 11 इकाई/दिन।

A और B द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय, कुल कार्य को उनकी संयुक्त कार्यकुशलता से विभाजित करके निकाला जाता है। समय = कुल कार्य / संयुक्त कार्यकुशलता समय = 174 / 11 दिन।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, जब एक बहुपद P(m) को एक रैखिक गुणनखंड m + a से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(-a) के बराबर होता है। इस स्थिति में, बहुपद P(m) = m¹² - 1 है और भाजक m + 1 है, जिसका अर्थ है a = 1।

शेषफल की गणना करने के लिए, हम बहुपद के व्यंजक में m = -1 प्रतिस्थापित करते हैं: शेषफल = (-1)¹² - 1

चूंकि 12 एक सम पूर्णांक है, इसलिए किसी भी ऋणात्मक संख्या की सम घात का मान धनात्मक होता है। इसलिए, (-1)¹² = 1। इस मान को वापस शेषफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: शेषफल = 1 - 1 = 0

व्याख्या

दिए गए समीकरण tan θ + cot θ = 2 में, हम इस गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं कि cot θ = (1)/(tan θ) होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan θ + (1)/(tan θ) = 2 प्राप्त होता है। यह x + ¹⁄ₓ = 2 के रूप में है, जो केवल और केवल तभी संभव है जब x = 1 हो। इसकी पुष्टि करने के लिए, समीकरण को tan θ से गुणा करने पर tan² θ + 1 = 2 tan θ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर tan² θ - 2 tan θ + 1 = 0 प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर (tan θ - 1)² = 0 प्राप्त होता है, जिससे tan θ = 1 मिलता है।

चूंकि tan θ = 1 है, इसलिए cot θ = ¹⁄₁ = 1 होगा। इन मानों को व्यंजक tan²⁰⁰ θ + cot²⁰⁰ θ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1)²⁰⁰ + (1)²⁰⁰ प्राप्त होता है। चूंकि 1 की कोई भी घात 1 ही रहती है, इसलिए यह व्यंजक सरल होकर 1 + 1 = 2 हो जाता है।

व्याख्या

कथन I का मूल्यांकन बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) का उपयोग करके किया जाता है। दिया गया है x = 12, y = -2, z = -10, तो योग x + y + z = 12 - 2 - 10 = 0 है। जब चरों का योग शून्य होता है, तो सर्वसमिका सरल होकर x³ + y³ + z³ = 3xyz हो जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3 × 12 × (-2) × (-10) = 720 प्राप्त होता है। यह कथन के 360 होने के दावे का खंडन करता है।

कथन II के लिए 4x² + 4y² के मान की आवश्यकता है, जो कि 4(x² + y²) है। सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy से, हम x² + y² = (x + y)² - 2xy प्राप्त कर सकते हैं। दिया गया है x + y = 48 और 4xy = 128, जिससे हमें 2xy = 64 प्राप्त होता है। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, x² + y² = 48² - 64 = 2304 - 64 = 2240 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 4(x² + y²) = 4 × 2240 = 8960 है। यह कथन के 4480 होने के दावे का खंडन करता है। चूंकि दोनों कथन गणितीय रूप से गलत हैं, इसलिए दोनों में से कोई भी कथन सही नहीं है।

व्याख्या

कंपनी A के लिए प्रतिशत कमी X की गणना सूत्र (प्रारंभिक मान - अंतिम मान)/(प्रारंभिक मान) × 100 का उपयोग करके की जाती है। दिए गए उत्पादन के आंकड़ों को प्रतिस्थापित करने पर, X = (12500 - 10625)/(12500) × 100 = ¹⁸⁷⁵⁄₁₂₅₀₀ × 100 = 15%.

कंपनी B के लिए प्रतिशत कमी Y की गणना भी इसी प्रकार की जाती है, Y = (34000 - 30600)/(34000) × 100 = ³⁴⁰⁰⁄₃₄₀₀₀ × 100 = 10%.

प्रतिशत कमियों का अनुपात X:Y = 15:10 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 5 से विभाजित करने पर सरल अनुपात 3:2 प्राप्त होता है।