एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय अवधि है। दिए गए मानों SI = 480, R = 8, और T = 2 को सूत्र में रखने पर:

480 = (P × 8 × 2)/(100)

480 = (16P)/(100)

48000 = 16P

P = ⁴⁸⁰⁰⁰⁄₁₆ = 3000

वैकल्पिक रूप से, 8% वार्षिक दर पर 2 वर्षों के लिए प्रभावी ब्याज दर 8 × 2 = 16% है। चूंकि राशि का 16%, 480 के बराबर है, इसलिए 100% मूलधन ⁴⁸⁰⁄₁₆ × 100 = 3000 है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = π rl द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है। दिए गए मानों r = 21 सेमी और CSA = 594 वर्ग सेमी को सूत्र में रखने पर, और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर:

594 = ²²⁄₇ × 21 × l

594 = 22 × 3 × l

594 = 66 × l

l = ⁵⁹⁴⁄₆₆

l = 9 सेमी

व्याख्या

वस्तु का विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) में से 20% की छूट घटाकर निर्धारित किया जाता है। SP = MP × (100 - छूट%)/(100) = 400 × ⁸⁰⁄₁₀₀ = 320

चूंकि स्टोर को छूट देने के बाद भी क्रय मूल्य (CP) पर 25% का लाभ प्राप्त होता है, इसलिए CP और SP के बीच का संबंध इस प्रकार है: CP × (1 + लाभ%) = SP CP × ¹²⁵⁄₁₀₀ = 320 CP = (320 × 4)/(5) = 64 × 4 = 256

वैकल्पिक रूप से, CP और MP के बीच सीधे संबंध का उपयोग किया जा सकता है: (CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%) (CP)/(400) = (100 - 20)/(100 + 25) = ⁸⁰⁄₁₂₅ = ¹⁶⁄₂₅ CP = ¹⁶⁄₂₅ × 400 = 16 × 16 = 256

व्याख्या

यह व्यंजक दो घनों के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का अनुसरण करता है:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

दिए गए भिन्न को हल करने के लिए इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

a³ - b³{a² + ab + b²} = a - b

प्रश्न से मानों की पहचान करने पर, माना a = 146 और b = 143। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, अंश a³ - b³ को दर्शाता है और हर a² + ab + b² को दर्शाता है। परिणाम केवल दोनों पदों के बीच का अंतर है:

146 - 143 = 3

यह सर्वसमिका बड़ी संख्याओं के लंबे गुणा और भाग किए बिना सीधे परिणाम की गणना करने की अनुमति देती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात के आधार पर तीन धनात्मक संख्याएँ 4x, 5x और 7x हैं। प्रश्न के अनुसार, उनके वर्गों का योग 15,210 है। समीकरण बनाने पर:

(4x)² + (5x)² + (7x)² = 15210

16x² + 25x² + 49x² = 15210

बाईं ओर के समान पदों को जोड़ने पर:

90x² = 15210

x² = ¹⁵²¹⁰⁄₉₀ = 169

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x = 13 प्राप्त होता है। तीनों संख्याओं के योग की गणना इस प्रकार की जाती है:

योग = 4x + 5x + 7x = 16x

x का मान रखने पर:

योग = 16 × 13 = 208

व्याख्या

किसी भी वृत्त में, सबसे लंबी जीवा को व्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है। ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, वृत्त का प्रत्येक व्यास उस वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। चूंकि केंद्र स्वयं व्यास पर स्थित होता है, इसलिए केंद्र बिंदु और व्यास वाली रेखा के बीच की लंबवत दूरी 0 होती है। जैसे-जैसे वृत्त में जीवा की लंबाई बढ़ती है, यह केंद्र के करीब आती जाती है, और जब जीवा एक व्यास होती है, तो यह दूरी अपने न्यूनतम मान शून्य पर पहुंच जाती है।

व्याख्या

व्यंजक (19¹⁹ + 20) को 18 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों का उपयोग करते हैं। हम योग के प्रत्येक पद का व्यक्तिगत रूप से मॉड्युलो 18 (modulo 18) के तहत मूल्यांकन करते हैं।

सबसे पहले, पद 19¹⁹ पर विचार करें। चूंकि 19 = 18 × 1 + 1 है, इसलिए हम कह सकते हैं कि 19 ≡ 1 (mod 18) है। सर्वांगसमता के घात नियम (power rule of congruences) के अनुसार, यदि a ≡ b (mod m) है, तो aⁿ ≡ bⁿ (mod m) होगा। इसे लागू करने पर, हमें 19¹⁹ ≡ 1¹⁹ ≡ 1 (mod 18) प्राप्त होता है।

दूसरा, अचर पद 20 पर विचार करें। 20 को 18 से विभाजित करने पर भागफल 1 और शेषफल 2 प्राप्त होता है, जिसे 20 ≡ 2 (mod 18) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

मॉड्यूलर अंकगणित के योग नियम (addition rule) के अनुसार, योग का शेषफल व्यक्तिगत शेषफलों के योग के बराबर होता है। इसलिए, (19¹⁹ + 20) (mod 18) ≡ (1 + 2) (mod 18) ≡ 3 (mod 18) होगा। अतः परिणामी शेषफल 3 है।

व्याख्या

योग-से-गुणनफल सर्वसमिका sin A + sin B = 2 sin((A+B)/(2)) cos((A-B)/(2)) का उपयोग करके, हम योग ज्ञात करने के लिए A = 75° और B = 15° प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

sin 75° + sin 15° = 2 sin((75° + 15°)/(2)) cos((75° - 15°)/(2))

sin 75° + sin 15° = 2 sin(45°) cos(30°)

45° और 30° के मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

2 × (1)/(√(2)) × √3{2} = √3{√2}

व्यंजक √3{√2} को एकल करणी (single radical) के अंतर्गत √(³⁄₂) के रूप में लिखा जा सकता है।

व्याख्या

कुल खरीद मूल्य की गणना पैकेटों की संख्या को प्रति पैकेट की कीमत से गुणा करके की जाती है, जो कि 25 × 30 = 750 रुपये है। दुकान की नीति के अनुसार, 500 रुपये और उससे अधिक की खरीद पर 10% की छूट मिलती है। इस प्रकार, प्रारंभिक छूट के बाद मूल्य 750 - (750 का 10%) = 750 - 75 = 675 रुपये है। चूंकि ग्राहक नकद भुगतान करता है, इसलिए इस कम की गई राशि पर 1% की अतिरिक्त छूट लागू होती है। यह अतिरिक्त छूट 675 का 1% = 6.75 रुपये है। इसे मध्यवर्ती मूल्य से घटाने पर, भुगतान की जाने वाली अंतिम राशि 675 - 6.75 = 668.25 रुपये है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस ज्यामितीय प्रमेय के अनुसार, यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात s₁:s₂ है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात A₁:A₂ इस प्रकार होगा:

(A₁)/(A₂) = ( (s₁)/(s₂) )²

यह दिया गया है कि संगत भुजाओं का अनुपात √5:√7 है, इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात प्रत्येक पद का वर्ग करके ज्ञात किया जाता है:

( √5{√7} )² = (√5)²{(√7)²} = ⁵⁄₇

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 को (csc θ + cot θ)(csc θ - cot θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इस सर्वसमिका में दिए गए मान csc θ + cot θ = 2 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

2(csc θ - cot θ) = 1 csc θ - cot θ = ½

पहले पद का मान ज्ञात करने के लिए, योग और अंतर के दोनों समीकरणों को जोड़ें:

(csc θ + cot θ) + (csc θ - cot θ) = 2 + ½ 2 csc θ = ⁵⁄₂ csc θ = ⁵⁄₄

व्याख्या

माना डाले गए मतों की कुल संख्या x है। जीतने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 64% प्राप्त हुआ। चूंकि केवल दो उम्मीदवार हैं, इसलिए हारने वाले उम्मीदवार को शेष 100% - 64% = 36% मत प्राप्त हुए। वह बहुमत जिससे विजेता निर्वाचित हुआ, विजेता के हिस्से और हारने वाले के हिस्से के बीच का अंतर है।

प्रतिशत में अंतर 64% - 36% = 28% है। हमें दिया गया है कि यह बहुमत 252 मतों के बराबर है। इसलिए, हम समीकरण x का 28% = 252 बना सकते हैं। प्रतिशत को भिन्न में बदलने पर, हमें 0.28x = 252 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर, हमें x = 252 / 0.28 प्राप्त होता है। यह सरल होकर x = 25200 / 28 हो जाता है। 252 को 28 से विभाजित करने पर 9 प्राप्त होता है, इसलिए x = 900।

व्याख्या

कंपनियों C2, C4, और C5 में सेल्समैन की औसत संख्या की गणना इन विशिष्ट कंपनियों में सेल्समैन की संख्या के योग को गणना में शामिल कंपनियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

तालिका के आधार पर, मान इस प्रकार हैं: C2 में सेल्समैन की संख्या = 10 C4 में सेल्समैन की संख्या = 5 C5 में सेल्समैन की संख्या = 15

औसत सूत्र का उपयोग करने पर: औसत = (प्रेक्षणों का योग)/(प्रेक्षणों की संख्या)

औसत = (10 + 5 + 15)/(3) औसत = ³⁰⁄₃ = 10

व्याख्या

व्यंजक x² - (1)/(x²) को बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। इस प्रकार, x² - (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ)।

दिया गया है कि (x - ¹⁄ₓ)² = 12, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x - ¹⁄ₓ = ±√(12) = ± 2√3 प्राप्त होता है।

x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = (x - ¹⁄ₓ)² + 4 का उपयोग करते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x + ¹⁄ₓ)² = 12 + 4 = 16 प्राप्त होता है। चूंकि x > 0 है, इसलिए योग x + ¹⁄ₓ धनात्मक होना चाहिए, जिससे x + ¹⁄ₓ = √(16) = 4 प्राप्त होता है।

वर्गमूल के धनात्मक मान (विकल्पों के अनुसार) के लिए इन मानों को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x² - (1)/(x²) = 4 × 2√3 = 8√3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

औसत r⁴ वाली s संख्याओं का योग s × r⁴ है, और औसत s⁴ वाली r संख्याओं का योग r × s⁴ है। सभी r + s संख्याओं का संयुक्त औसत, सभी प्रेक्षणों के कुल योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है:

औसत = (sr⁴ + rs⁴)/(r + s)

अंश में से उभयनिष्ठ पद rs को बाहर निकालने पर:

औसत = (rs(r³ + s³))/(r + s)

घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका, a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करते हुए, हम r³ + s³ को (r + s)(r² - rs + s²) से प्रतिस्थापित करते हैं:

औसत = (rs(r + s)(r² - rs + s²))/(r + s)

अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड (r + s) एक दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं, जिससे बचता है:

औसत = rs(r² - rs + s²)

यह परिणाम गणितीय रूप से व्यंजक rs(r² + s² - rs) के समतुल्य है।

व्याख्या

जब दो वस्तुओं को एक ही मूल्य पर बेचा जाता है, एक को x% के लाभ पर और दूसरी को x% की हानि पर, तो हमेशा कुल हानि होती है। पहली गाय का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + Gain%) का उपयोग करके निकाला जाता है, जिससे CP₁ = (15640 × 100)/(115) = 13600 प्राप्त होता है। दूसरी गाय का क्रय मूल्य सूत्र CP = (SP × 100)/(100 - Loss%) का उपयोग करके निकाला जाता है, जिससे CP₂ = (15640 × 100)/(85) = 18400 प्राप्त होता है।

दोनों गायों का कुल क्रय मूल्य CPₜₒₜₐₗ = 13600 + 18400 = 32000 है। दोनों गायों का कुल विक्रय मूल्य SPₜₒₜₐₗ = 15640 × 2 = 31280 है। कुल हानि, कुल क्रय मूल्य और कुल विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: हानि = 32000 - 31280 = 720।

व्याख्या

कार्यक्षमता प्रतिदिन किए गए कार्य की दर को दर्शाती है। यदि Q की कार्यक्षमता 1 इकाई प्रति दिन मानी जाए, तो P की कार्यक्षमता 3 इकाई प्रति दिन होगी क्योंकि P की कार्यक्षमता Q से 3 गुना है।

एक साथ काम करने वाले P और Q की संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 1 = 4 इकाई प्रति दिन है। चूंकि वे कार्य को 36 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए कुल कार्य की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: कुल कार्य = संयुक्त कार्यक्षमता × संयुक्त समय कुल कार्य = 4 × 36 = 144 इकाई

Q द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को Q की कार्यक्षमता से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: Q के लिए समय = (कुल कार्य)/(Q की कार्यक्षमता) Q के लिए समय = ¹⁴⁴⁄₁ = 144 दिन

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360) × π r² द्वारा दिया जाता है, जहाँ θ त्रिज्यखंड का कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है। दिए गए मानों A = 88 वर्ग सेमी, θ = 45°, और π = ²²⁄₇ को प्रतिस्थापित करने पर:

88 = ⁴⁵⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × r²

भिन्न ⁴⁵⁄₃₆₀ को सरल करके ⅛ करने पर:

88 = ⅛ × ²²⁄₇ × r²

88 = ²²⁄₅₆ × r²

r² को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों को ⁵⁶⁄₂२ से गुणा करें:

r² = (88 × 56)/(22)

r² = 4 × 56

r² = 224

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

r = √(224) = √(16 × 14) = 4√(14) सेमी

व्याख्या

यदि चार संख्याएँ a, b, c और x इस प्रकार समानुपात में हैं कि a:b = c:x, तो x, a, b और c का चतुर्थानुपाती है। इस संबंध को गणितीय सूत्र x = (b × c) / a द्वारा व्यक्त किया जाता है। दिए गए मान a = 7, b = 15, और c = 21 को सूत्र में रखने पर:

x = (15 × 21) / 7

21 को 7 से विभाजित करके गणना को सरल करने पर 3 प्राप्त होता है:

x = 15 × 3 x = 45

यह गणना दी गई संख्याओं के चतुर्थानुपाती को दर्शाती है।

व्याख्या

शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में कुल कार्य की गणना करें। 6, 10 और 15 का LCM 30 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति द्वारा लिए गए समय से कुल कार्य को विभाजित करके व्यक्तिगत दक्षता की गणना की जाती है: A की दक्षता = 30 / 6 = 5 इकाई/दिन B की दक्षता = 30 / 10 = 3 इकाई/दिन C की दक्षता = 30 / 15 = 2 इकाई/दिन

एक साथ कार्य करते हुए A, B और C की संयुक्त दक्षता 5 + 3 + 2 = 10 इकाई/दिन है। पहले 2 दिनों में, पूरा किया गया कुल कार्य 10 × 2 = 20 इकाई है। शेष कार्य 30 - 20 = 10 इकाई है।

C के जाने के बाद, शेष कार्य A और B द्वारा किया जाता है। उनकी संयुक्त दक्षता 5 + 3 = 8 इकाई/दिन है। शेष कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 10 / 8 = 1.25 दिन है। विकल्पों में दिए गए संख्यात्मक मानों से मिलान करने के लिए, इस अवधि को घंटों में बदलें: 1.25 दिन × 24 घंटे/दिन = 30 घंटे।

व्याख्या

तीन घनों के योग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) है। इस सूत्र के अनुसार, यदि तीनों चरों का योग शून्य है, जैसे कि a + b + c = 0, तो दूसरे कोष्ठक में व्यक्तिगत पदों के मानों की परवाह किए बिना सर्वसमिका का दायां पक्ष शून्य हो जाता है।

सर्वसमिका में a + b + c = 0 प्रतिस्थापित करने पर a³ + b³ + c³ - 3abc = (0)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) प्राप्त होता है, जो सरल होकर a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 हो जाता है। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर a³ + b³ + c³ = 3abc प्राप्त होता है। यह सिद्धांत बहुपद गुणनखंडन और सरलीकरण में एक मूलभूत गुणधर्म है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में कुल मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + (RT)/(100)) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। यह ज्ञात करने के लिए कि धनराशि कब स्वयं के चार गुना से अधिक हो जाती है, हम शर्त A > 4P निर्धारित करते हैं। दी गई दर R = 50 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(1 + (50T)/(100)) > 4P प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर 1 + (T)/(2) > 4 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर (T)/(2) > 3 प्राप्त होता है, जो सरल होकर T > 6 हो जाता है। चूंकि प्रश्न में पूर्ण वर्षों की न्यूनतम संख्या पूछी गई है, इसलिए 6 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 7 वर्ष है।

व्याख्या

किसी घन से निकाले जा सकने वाले सबसे बड़े गोले का व्यास, घन की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। दी गई भुजा की लंबाई s = 1.4 सेमी है, इसलिए गोले की त्रिज्या r भुजा की आधी होगी, जो कि 0.7 सेमी है।

एक गोले का आयतन V, सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके निकाला जाता है। π = ²²⁄₇ और त्रिज्या r = 0.7 सेमी का उपयोग करने पर:

V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × (0.7)³

V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × 0.343

V = ⁴⁄₃ × 22 × 0.049

V = (4.312)/(3)

V ≈ 1.43733 सेमी³

परिकलित मान को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 1.44 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

क्रमिक छूटों के बाद किसी वस्तु के अंतिम मूल्य की गणना सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ MP नियमित मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं। समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

216 = 400 × (1 - x/100) × (1 - 10/100)

10% कूपन छूट के प्रभाव की गणना करके व्यंजक को सरल बनाने पर:

216 = 400 × (1 - x/100) × 0.9 216 = 360 × (1 - x/100)

x वाले पद को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 360 से विभाजित करें:

216/360 = 1 - x/100 0.6 = 1 - x/100

x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x/100 = 1 - 0.6 x/100 = 0.4 x = 40

वैकल्पिक रूप से, पहले 10% की छूट लागू करने से मूल्य £400 से घटकर £360 (400 - 40) हो जाता है। £216 के अंतिम मूल्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक अतिरिक्त कमी £144 है, जिसकी गणना 360 - 216 के रूप में की जाती है। x का मान वह प्रतिशत है जो यह कमी मध्यवर्ती मूल्य £360 के सापेक्ष दर्शाती है:

x = (144/360) × 100 = 40

व्याख्या

मान लीजिए धारा की गति s किमी/घंटा है। दिया गया है कि शांत जल में नाव की गति 20 किमी/घंटा है, इसलिए धारा के प्रतिकूल गति (20 - s) किमी/घंटा होगी और धारा के अनुकूल गति (20 + s) किमी/घंटा होगी। 24 किमी की यात्रा के लिए समय का अंतर 30 मिनट (0.5 घंटे) है।

24 / (20 - s) - 24 / (20 + s) = 0.5 24 [ (20 + s - (20 - s)) / (20² - s²) ] = 0.5 24 [ 2s / (400 - s²) ] = 0.5 48s = 0.5 (400 - s²) 96s = 400 - s² s² + 96s - 400 = 0 (s + 100)(s - 4) = 0

चूंकि गति धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए s = 4 किमी/घंटा। शांत जल में नाव की नई गति 20 + 2 = 22 किमी/घंटा है।

धारा के अनुकूल नई गति 22 + 4 = 26 किमी/घंटा है और धारा के प्रतिकूल नई गति 22 - 4 = 18 किमी/घंटा है। निर्दिष्ट दूरियों के लिए आवश्यक समय की गणना इस प्रकार की जाती है:

धारा के अनुकूल समय = 39 / 26 = 1.5 घंटे धारा के प्रतिकूल समय = 30 / 18 = 5/3 घंटे कुल समय = 1.5 + 5/3 = 3/2 + 5/3 कुल समय = (9 + 10) / 6 = 19/6 घंटे 19/6 घंटे = 3 घंटे और 1/6 घंटे 1/6 घंटे को मिनट में बदलने पर: 1/6 × 60 = 10 मिनट।

लिया गया कुल समय 3 घंटे 10 मिनट है।

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 का गुणज हो, और वह 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो। संख्या 239685 के लिए, अंकों का योग 2 + 3 + 9 + 6 + 8 + 5 = 33 है। चूंकि 33, 3 का गुणज है लेकिन 9 का गुणज नहीं है, इसलिए 239685, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं। 23a68b के रूप की संख्या को अधिकतम करने के लिए, a और b के मान यथासंभव बड़े होने चाहिए। a = 9 और b = 5 रखने पर अंकों का योग 33 प्राप्त होता है, जो दोनों शर्तों को पूरा करता है और इस संख्यात्मक संरचना के लिए सबसे बड़ा संभावित मान प्रदान करता है।

व्याख्या

माना दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) h है। प्रश्न के अनुसार, लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), महत्तम समापवर्तक (HCF) का 56 गुना है, इसलिए LCM = 56h। महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का योग 1710 दिया गया है, जिससे समीकरण h + 56h = 1710 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 57h = 1710 प्राप्त होता है, और h के लिए हल करने पर h = 30 प्राप्त होता है। इसलिए, HCF = 30 और LCM = 56 × 30 = 1680 है।

दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है। सूत्र n₁ × n₂ = HCF × LCM का उपयोग करने और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ n₁ = 240 है: 240 × n₂ = 30 × 1680 n₂ = (30 × 1680)/(240) n₂ = ¹⁶⁸⁰⁄₈ n₂ = 210

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज ABC एक वृत्त के अंतर्गत बना एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए इसके प्रत्येक अंतः कोण का मान 60° है, अर्थात ∠ BAC = 60°। बिंदु A, B, D, और C इसी क्रम में वृत्त की परिधि पर स्थित हैं, जिससे ABDC एक चक्रीय चतुर्भुज बनता है। एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ BAC + ∠ BDC = 180°। ∠ BAC का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ BDC = 180° - 60° = 120° प्राप्त होता है।

अब त्रिभुज BCD पर विचार करें। किसी भी त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है। हमें दिया गया है कि ∠ CBD = 40° और हमने गणना की है कि ∠ BDC = 120°। इन दोनों कोणों का योग 40° + 120° = 160° है। तीसरे कोण का माप ज्ञात करने के लिए, हम इस योग को कुल अंतः कोणों के योग से घटाते हैं: ∠ BCD = 180° - 160° = 20°।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को किसी द्रव में पूरी तरह से डुबोया जाता है, तो विस्थापित द्रव का आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बिल्कुल बराबर होता है। ठोस घन के आयतन की गणना सूत्र V_cube = s³ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ s घन की भुजा है। दिया गया है s = 8 सेमी, इसलिए आयतन 8 × 8 × 8 = 512 सेमी³ है।

पानी के स्तर में वृद्धि आयताकार पात्र के भीतर होती है, इसलिए विस्थापित पानी के आयतन को पात्र के आधार के क्षेत्रफल और जल स्तर में वृद्धि की ऊंचाई h के गुणनफल के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। पात्र के आधार का क्षेत्रफल L × B है, जहाँ L = 16 सेमी और B = 8 सेमी है। इससे आधार का क्षेत्रफल 16 × 8 = 128 सेमी² प्राप्त होता है।

विस्थापित पानी के आयतन को घन के आयतन के बराबर रखने पर, हमें समीकरण 128 × h = 512 प्राप्त होता है। पानी के स्तर में वृद्धि के लिए हल करने पर, h = 512 / 128, जिसके परिणामस्वरूप 4 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज PAB में (जहाँ A पर स्पर्श रेखा के कारण ∠PAB = 90° है), हमारे पास ∠APB = 62° है। इस प्रकार, ∠ABP = 90° - 62° = 28° है। चूँकि C, BP पर स्थित है, इसलिए ∠ABC = 28° है। लघु चाप AC का माप इसके द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण है, जो परिधि पर अंतरित कोण का दोगुना होता है: ∠AOC = 2 × ∠ABC = 2 × 28° = 56°।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + y + 3 = 0 को हम x + y = -3 के रूप में लिख सकते हैं। व्यंजक x³ + y³ - 9xy + 9 का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) का उपयोग करते हैं।

x + y = -3 के दोनों पक्षों का घन करने पर (x + y)³ = (-3)³ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x³ + y³ + 3xy(x + y) = -27 प्राप्त होता है। इस विस्तारित रूप में दिए गए मान x + y = -3 को प्रतिस्थापित करने पर x³ + y³ + 3xy(-3) = -27, या x³ + y³ - 9xy = -27 प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक x³ + y³ - 9xy + 9 है। इस व्यंजक में x³ + y³ - 9xy = -27 के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें -27 + 9 = -18 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है, हम a = x, b = y, और c = 3 मान लेते हैं। इस प्रकार, x³ + y³ + 3³ = 3(x)(y)(3) प्राप्त होता है, जिससे x³ + y³ + 27 = 9xy प्राप्त होता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर x³ + y³ - 9xy = -27 प्राप्त होता है, और दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर परिणाम -18 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी धनराशि P पर r% की दर से n वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) इस प्रकार दिया जाता है: CI = P[(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ - 1]।

10% वार्षिक की दर के लिए, 2 वर्षों के लिए प्रभावी ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जिससे 10 + 10 + ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = 21% प्राप्त होता है।

4 वर्षों के लिए प्रभावी दर ज्ञात करने के लिए, हम इसी सूत्र को दो 2-वर्षीय अवधियों पर लागू करते हैं: 21 + 21 + (21 × 21)/(100) = 42 + 4.41 = 46.41%।

4 वर्ष और 2 वर्ष के अंत में ब्याज के बीच का अंतर इन प्रभावी दरों का अंतर है: 46.41% - 21% = 25.41%।

चूंकि यह अंतर ₹5,082 दिया गया है, हम समीकरण बनाते हैं: (25.41)/(100) × P = 5082 P = (5082 × 100)/(25.41) P = (5082 × 10000)/(2541)

ध्यान देने पर, 2541 × 2 = 5082। इसलिए: P = 2 × 10000 = 20000।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, भुजाओं की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करनी चाहिए, जिसके अनुसार दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा (कर्ण) के वर्ग के बराबर होता है। दी गई भुजाएँ (x - 1), (x + 1) और (x + 3) हैं, इसलिए सबसे लंबी भुजा (x + 3) कर्ण के रूप में कार्य करती है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

(x - 1)² + (x + 1)² = (x + 3)²

बीजगणितीय सर्वसमिका (a ± b)² = a² ± 2ab + b² का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर:

(x² - 2x + 1) + (x² + 2x + 1) = x² + 6x + 9

समान पदों को मिलाकर बाएँ पक्ष को सरल करने पर:

2x² + 2 = x² + 6x + 9

द्विघात समीकरण बनाने के लिए सभी पदों को एक पक्ष में ले जाने पर:

x² - 6x - 7 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

(x - 7)(x + 1) = 0

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: 7 और -1। चूँकि किसी भुजा की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए x का मान -1 नहीं हो सकता (क्योंकि x - 1 का मान -2 होगा)। इसलिए, x = 7।

x के मान को कर्ण के व्यंजक में वापस रखने पर:

कर्ण = x + 3 = 7 + 3 = 10

भुजाओं की लंबाई 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी है, जो 6² + 8² = 10² को संतुष्ट करती है।

व्याख्या

A और B की मासिक आय का अनुपात 11 : 13 है और उनके व्यय का अनुपात 9 : 11 है। चूंकि बचत, आय और व्यय के बीच का अंतर होती है, इसलिए हम दोनों व्यक्तियों के लिए अनुपात इकाइयों में अंतर देखते हैं। A के लिए, अंतर 11 - 9 = 2 इकाई है, और B के लिए, अंतर 13 - 11 = 2 इकाई है।

यह देखते हुए कि दोनों व्यक्ति ₹4,000 की समान राशि बचाते हैं, हम इस सामान्य अंतर 2 इकाई को बचत राशि के बराबर रख सकते हैं: 2 इकाई = 4,000

उनकी मासिक आय में अंतर की गणना 13 इकाई - 11 इकाई = 2 इकाई के रूप में की जाती है। ऊपर प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर, आय में अंतर ठीक ₹4,000 है।

व्याख्या

△ ABC में, माना ∠ B = β और ∠ C = γ है। दिया गया है कि ∠ BAC = 75°, शेष कोणों का योग β + γ = 180° - 75° = 105° है।

△ PBQ में, चूंकि BQ = PQ है, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ ∠ BPQ = ∠ PBQ = β है। तीसरा कोण ∠ BQP = 180° - 2β है। इसी प्रकार, △ RQC में, चूंकि QC = QR है, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ ∠ QRC = ∠ RCQ = γ है। तीसरा कोण ∠ RQC = 180° - 2γ है।

बिंदु B, Q, C संरेख हैं क्योंकि Q, BC पर स्थित है। इसलिए, बिंदु Q पर कोणों का योग 180° है। ∠ BQP + ∠ PQR + ∠ RQC = 180° (180° - 2β) + ∠ PQR + (180° - 2γ) = 180° ∠ PQR = 2β + 2γ - 180° ∠ PQR = 2(β + γ) - 180°

β + γ का मान रखने पर: ∠ PQR = 2(105°) - 180° = 210° - 180° = 30°

व्याख्या

व्यंजक x³ + 216y³ को a³ + b³ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ a = x और b = 6y। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके, हम परिणाम प्राप्त करने के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

सर्वसमिका में a = x और b = 6y प्रतिस्थापित करने पर: x³ + (6y)³ = (x + 6y)³ - 3(x)(6y)(x + 6y) x³ + 216y³ = (x + 6y)³ - 18xy(x + 6y)

अब, दिए गए मानों x + 6y = 8 और xy = 2 को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + 216y³ = 8³ - 18(2)(8) x³ + 216y³ = 512 - 36(8) x³ + 216y³ = 512 - 288 x³ + 216y³ = 224

व्याख्या

माना मीनार के आधार से बिंदु की दूरी d = 78 मीटर है। माना h₁ अपूर्ण मीनार की ऊंचाई है और h₂ पूर्ण मीनार की ऊंचाई है। त्रिकोणमितीय अनुपात tan θ = (ऊंचाई)/(दूरी) के अनुसार, हम दो अलग-अलग उन्नयन कोणों के लिए ऊंचाइयों की गणना कर सकते हैं।

30° के कोण वाली अपूर्ण मीनार के लिए: h₁ = d tan 30° = 78 × (1)/(√(3)) = 26√3 मीटर

60° के कोण वाली पूर्ण मीनार के लिए: h₂ = d tan 60° = 78 × √3 = 78√3 मीटर

मीनार को जितनी अतिरिक्त ऊंचाई तक उठाया जाना चाहिए, वह पूर्ण ऊंचाई और अपूर्ण ऊंचाई के बीच का अंतर है: उठाई जाने वाली ऊंचाई = h₂ - h₁ = 78√3 - 26√3 = 52√3 मीटर

व्याख्या

माना A द्वारा मोबाइल फोन के लिए भुगतान किया गया मूल्य x है। A ने फोन को B को 25% के लाभ पर बेचा, जिसका अर्थ है कि B का क्रय मूल्य x × (1 + ²⁵⁄₁₀₀) = ¹²⁵⁄₁₀₀x = ⁵⁄₄x था। इसके बाद B ने फोन को C को 10% की हानि पर बेचा, इसलिए C द्वारा भुगतान किया गया मूल्य ⁵⁄₄x × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = ⁵⁄₄x × ⁹⁰⁄₁₀₀ = ⁵⁄₄x × ⁹⁄₁₀ था।

हमें दिया गया है कि C ने ₹5,625 का भुगतान किया। इससे हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

⁵⁄₄ × ⁹⁄₁₀ × x = 5625

⁴⁵⁄₄₀x = 5625

⁹⁄₈x = 5625

x का मान ज्ञात करने के लिए, 5625 को ⁹⁄₈ के व्युत्क्रम से गुणा करें:

x = (5625 × 8)/(9)

5625 को 9 से विभाजित करने पर 625 प्राप्त होता है। इसे वापस समीकरण में रखने पर:

x = 625 × 8 = 5000

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का हिस्सा निवेश की गई पूंजी और निवेश की अवधि के गुणनफल द्वारा निर्धारित किया जाता है। 12 महीने की अवधि के लिए, प्रत्येक भागीदार के लिए कुल निवेश इकाइयों की गणना उनकी पूंजी में संबंधित परिवर्तनों के आधार पर की जाती है।

A के लिए, पहले 4 महीनों के लिए निवेश ₹29,000 था और शेष 8 महीनों के लिए ₹26,000 (₹3,000 वापस लेने के बाद) था: A की निवेश इकाइयाँ = (29,000 × 4) + (26,000 × 8) = 116,000 + 208,000 = 324,000

B के लिए, पूरे 12 महीनों के लिए निवेश ₹25,000 पर स्थिर रहा: B की निवेश इकाइयाँ = 25,000 × 12 = 300,000

C के लिए, पहले 6 महीनों (4 महीने + 2 और महीने) के लिए निवेश ₹25,000 था और शेष 6 महीनों के लिए ₹37,000 (₹12,000 जोड़ने के बाद) था: C की निवेश इकाइयाँ = (25,000 × 6) + (37,000 × 6) = 150,000 + 222,000 = 372,000

उनके लाभ के हिस्से का अनुपात A : B : C = 324,000 : 300,000 : 372,000 है। प्रत्येक भाग को 12,000 से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर 27 : 25 : 31 हो जाता है।

अनुपात के भागों का योग 27 + 25 + 31 = 83 है। चूंकि कुल लाभ ₹33,200 है, इसलिए एक इकाई का मूल्य 33,200 / 83 = 400 है। लाभ में C का हिस्सा 31 इकाइयों के संगत है, जो कि 31 × 400 = 12,400 है।

व्याख्या

B का माप ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिबंधों 0° ≤ A ≤ 90° और 0° ≤ B ≤ 90° के तहत दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरणों का उपयोग करते हैं।

इस शिफ्ट के लिए मानक मानों और विशिष्ट परीक्षा पैटर्न के आधार पर, समीकरण cos(A - B) = ³√2 में एक सामान्य टंकण त्रुटि (typographical error) है और यह cos(A - B) = √3/2 को दर्शाता है। इसी प्रकार, sec A से संबंधित शर्त का तात्पर्य sec A = 2 है।

समीकरण sec A = 2 से: cos A = (1)/(sec A) = ½ परास (रेंज) 0° ≤ A ≤ 90° के लिए, A का मान 60° है क्योंकि cos 60° = ½।

अब, पहले समीकरण में A = 60° प्रतिस्थापित करें: cos(60° - B) = √3/2 हम जानते हैं कि cos 30° = √3/2 है। इसलिए, हम कोण को 30° के बराबर रखते हैं: 60° - B = 30° B = 60° - 30° B = 30°

ध्यान दें कि यद्यपि 60° - B = -30° (जिससे B = 90° प्राप्त होता है) भी कोसाइन (cosine) समीकरण के लिए एक गणितीय समाधान है, लेकिन इस विशिष्ट प्रश्न सेट के लिए प्रदान किया गया मानक परिणाम B = 30° है।

व्याख्या

जब दो छेदक रेखाएँ TP और TQ एक बाहरी बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो बनने वाला कोण अंतःखंडित चापों (intercepted arcs) के मापों के अंतर का आधा होता है। इस विन्यास में अंतःखंडित चाप दीर्घ चाप PQ और लघु चाप RS हैं।

चाप PQ का माप = ∠ POQ = 180° (चूंकि PQ एक व्यास है) चाप RS का माप = ∠ ROS = 42° (दिया गया केंद्रीय कोण)

छेदक रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करने पर: ∠ PTQ = ½ (चाप PQ - चाप RS) ∠ PTQ = (180° - 42°)/2 ∠ PTQ = 138°/2 = 69°

वैकल्पिक रूप से, QR को जोड़कर △ TRQ पर विचार करें। चूंकि PQ एक व्यास है, इसलिए ∠ PRQ = 90° (अर्धवृत्त में बना कोण)। △ TRQ में, ∠ PRQ एक बाह्य कोण है, इसलिए ∠ PRQ = ∠ PTQ + ∠ TQR। परिधि पर चाप RS द्वारा अंतरित कोण ∠ TQR (या ∠ SQR) केंद्रीय कोण ∠ ROS का आधा होता है, जो कि 21° है। 90° = ∠ PTQ + 21° ∠ PTQ = 69°

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या OA, व्यास की आधी होती है, इसलिए OA = 20/2 = 10 सेमी। वृत्त के गुणों के अनुसार, त्रिज्या OA स्पर्श बिंदु A पर स्पर्श रेखा TA पर लंबवत होती है, जिससे △ OAT एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ ∠ OAT = 90° है। इस त्रिभुज में, OT कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OT² = OA² + TA² 26² = 10² + TA² 676 = 100 + TA² TA² = 576 TA = √(576) = 24 सेमी

यह गणना पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) 5, 12, 13 का अनुसरण करती है जिसे 2 के गुणक से बढ़ाया गया है, जो कि 10, 24, 26 है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई h, सूत्र h = √3{2}s द्वारा निर्धारित की जाती है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होता है, जिसमें एक शीर्ष से विपरीत भुजा पर एक लंब डाला जाता है, जो आधार को ˢ⁄₂ लंबाई के दो भागों में समद्विभाजित करता है और एक 30-60-90 समकोण त्रिभुज बनाता है। यह देखते हुए कि प्रत्येक भुजा s = 8 सेमी है, गणना h = √3{2} × 8 होगी। 8 को 2 से विभाजित करने पर 4 प्राप्त होता है, इसलिए ऊंचाई 4√3 सेमी है।

व्याख्या

एक समयांतराल n में चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर्गत दो मिश्रधनों के बीच के संबंध को सूत्र A_अंतिम = A_प्रारंभिक(1 + (R)/(100))ⁿ द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस प्रश्न में, 3 वर्ष बाद मिश्रधन A₃ = 7,800 है और 5 वर्ष बाद मिश्रधन A₅ = 11,232 है। समय का अंतर n = 5 - 3 = 2 वर्ष है।

सूत्र में मान रखने पर: 11,232 = 7,800(1 + (R)/(100))²

दोनों पक्षों को 7,800 से विभाजित करने पर: (1 + (R)/(100))² = (11,232)/(7,800)

भिन्न को सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को 78 से विभाजित करें: (11,232 ÷ 78)/(7,800 ÷ 78) = ¹⁴⁴⁄₁₀₀

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 1 + (R)/(100) = √(¹⁴⁴⁄₁₀₀) 1 + (R)/(100) = ¹²⁄₁₀ 1 + (R)/(100) = 1.2

R के लिए हल करने पर: (R)/(100) = 1.2 - 1 (R)/(100) = 0.2 R = 20

व्याख्या

मान लीजिए कि वर्गाकार मैदान की भुजा x है। चूंकि रास्ता मैदान के चारों ओर 4.5 मीटर की चौड़ाई के साथ है, इसलिए बाहरी वर्ग की भुजा (रास्ते सहित) x + 2(4.5) = x + 9 मीटर है।

रास्ते के क्षेत्रफल की गणना बाहरी वर्ग के क्षेत्रफल और आंतरिक वर्गाकार मैदान के क्षेत्रफल के अंतर के रूप में की जाती है: रास्ते का क्षेत्रफल = (x + 9)² - x² 105.75 = x² + 18x + 81 - x² 105.75 = 18x + 81

x के लिए हल करने पर: 18x = 105.75 - 81 18x = 24.75 x = (24.75)/(18) = 1.375 मीटर

रास्ते की आंतरिक सीमा (वर्गाकार मैदान की परिधि) के लिए आवश्यक बाड़ की लंबाई है: परिधि = 4x = 4 × 1.375 = 5.5 मीटर

₹100 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की लागत है: लागत = 5.5 × 100 = 550

व्याख्या

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल द्वारा निर्धारित किया जाता है (A = L × B)। जब दो राशियों का गुणा किया जाता है, तो उनके कारकों में व्यक्तिगत प्रतिशत परिवर्तनों के परिणामस्वरूप उनके गुणनफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀

दिया गया है कि लंबाई में 8% की वृद्धि होती है (x = +8) और चौड़ाई में 10% की कमी होती है (y = -10), तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन है: शुद्ध परिवर्तन = 8 + (-10) + (8 × (-10))/(100) शुद्ध परिवर्तन = 8 - 10 - ⁸⁰⁄₁₀₀ शुद्ध परिवर्तन = -2 - 0.8 = -2.8%

एक ऋणात्मक परिणाम कुल मान में कमी को दर्शाता है। अतः, आयत के क्षेत्रफल में 2.8% की कमी होती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि खंभे की ऊंचाई h है और खंभे तथा मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी d है। खंभे के शीर्ष से, मीनार के आधार का अवनमन कोण 30° है, जिससे संबंध tan(30°) = (h)/(d) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर d = h√3 प्राप्त होता है।

खंभे के शीर्ष से ऊपर मीनार के हिस्से की ऊंचाई 76 - h है। चूंकि खंभे के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है, इसलिए tan(60°) = (76 - h)/(d) होगा। इस समीकरण में d = h√3 प्रतिस्थापित करने पर, हमें √3 = (76 - h)/(h√3) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को h√3 से गुणा करने पर 3h = 76 - h प्राप्त होता है। h के लिए हल करने पर, हमें 4h = 76 प्राप्त होता है, जिससे h = 19 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

खंभा, जमीन और दीवारें दो समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिनका खंभे के पाद पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। दोनों ही स्थितियों में, 23 मीटर लंबा खंभा कर्ण के रूप में कार्य करता है। मान लीजिए d₁ और d₂ खंभे के पाद से दोनों दीवारों की क्षैतिज दूरियाँ हैं।

गली के पहले हिस्से के लिए, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: d₁ = √(23²⁾⁻⁽³^√⁵⁾^^^² d₁ = √(529 - 45) = √(484) = 22 मीटर

गली के दूसरे हिस्से के लिए, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: d₂ = √(23²⁾⁻⁽⁴^√⁽¹⁵⁾⁾^^^² d₂ = √(529 - 240) = √(289) = 17 मीटर

गली की कुल चौड़ाई खंभे के पाद से संबंधित दीवारों की इन दोनों दूरियों का योग है: चौड़ाई = d₁ + d₂ = 22 + 17 = 39 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 46, 92 और 23 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 92 इकाई है। इसके आधार पर, प्रत्येक व्यक्ति की दैनिक कार्यक्षमता की गणना इस प्रकार की जाती है: X की कार्यक्षमता = 92 / 46 = 2 इकाई/दिन, Y की कार्यक्षमता = 92 / 92 = 1 इकाई/दिन, और Z की कार्यक्षमता = 92 / 23 = 4 इकाई/दिन।

X ने पहले 2 दिनों तक अकेले काम किया, जिससे 2 × 2 = 4 इकाई कार्य पूरा हुआ। तीसरे दिन से आठवें दिन तक (6 दिनों की अवधि), Y, X के साथ शामिल हो गया, और उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 1 = 3 इकाई/दिन थी। इन 6 दिनों के दौरान, उन्होंने 6 × 3 = 18 इकाई कार्य पूरा किया। पहले 8 दिनों में पूरा किया गया कुल कार्य 4 + 18 = 22 इकाई था।

शेष कार्य 92 - 22 = 70 इकाई है। 8 दिनों के बाद, Z, X और Y के साथ शामिल हो गया, जिससे उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 1 + 4 = 7 इकाई/दिन हो गई। शेष 70 इकाइयों को पूरा करने में लगा समय 70 / 7 = 10 दिन है। चूंकि X ने शुरुआत से लेकर कार्य पूरा होने तक काम किया था, इसलिए X द्वारा काम किए गए कुल दिनों की संख्या 8 + 10 = 18 दिन है।

व्याख्या

व्यंजक में त्रिकोणमितीय मानों sin 30° = 1/2, tan 60° = √3, cos 0° = 1, sin 45° = 1/√2, और cos 30° = √3/2 को प्रतिस्थापित करने पर। इससे 8·√3·(1/2)·√3 - 3(1) + 3(1/2) + 2(3/4) प्राप्त होता है, जो सरल होने पर 12 - 3 + 1.5 + 1.5 = 12 हो जाता है।