एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

ऊंचाई h और सिरों की त्रिज्याओं R और r वाले एक शंकु के छिन्नक का आयतन V, सूत्र V = ⅓ π h (R² + r² + Rr) द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों h = 7 सेमी, R = 5 सेमी, और r = 3 सेमी, तथा π = ²²⁄₇ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

V = ⅓ × ²²⁄₇ × 7 × (5² + 3² + 5 × 3)

V = ⅓ × 22 × (25 + 9 + 15)

V = ⅓ × 22 × 49

V = ¹⁰⁷⁸⁄₃ = 359.333...

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, आयतन 359.3 सेमी³ है।

व्याख्या

माना शांत जल में नाव की चाल u है और धारा की चाल v है। धारा के प्रतिकूल (upstream) दूरी तय करने में लिया गया समय tᵤ = 9 घंटे 36 मिनट है, जो कि 9 + ³⁶⁄₆₀ = 9 + ⅗ = ⁴⁸⁄₅ घंटे है। धारा के अनुकूल (downstream) समान दूरी तय करने में लिया गया समय t_d = 6 घंटे है।

चूंकि दूरी स्थिर है, इसलिए चालों का अनुपात लिए गए समय के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है। (u + v)/(u - v) = (tᵤ)/(t_d) = (48/5)/(6) = ⁸⁄₅

योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo rule) लागू करने पर: ((u + v) + (u - v))/((u + v) - (u - v)) = (8 + 5)/(8 - 5) ²ᵘ⁄₂ᵥ = ¹³⁄₃ ᵘ⁄ᵥ = ¹³⁄₃

शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल का अनुपात 13:3 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 15, 20 और 25 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। कुल कार्य = LCM(15, 20, 25) = 300 इकाई।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता की गणना इस प्रकार की जाती है: राजू की कार्यक्षमता = 300 / 15 = 20 इकाई/दिन शोभ की कार्यक्षमता = 300 / 20 = 15 इकाई/दिन मोहन की कार्यक्षमता = 300 / 25 = 12 इकाई/दिन

तीन दिनों के एक चक्र में (जहाँ वे बारी-बारी से कार्य करते हैं), पूरा किया गया कार्य: 3 दिनों में किया गया कार्य = 20 + 15 + 12 = 47 इकाई।

पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को प्रति चक्र किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 300 / 47 = शेषफल के साथ 6 पूर्ण चक्र। 6 चक्रों (6 × 3 = 18 दिन) में किया गया कार्य = 47 × 6 = 282 इकाई।

शेष कार्य = 300 - 282 = 18 इकाई।

19वें दिन, कार्य करने की बारी राजू की है। राजू की कार्यक्षमता 20 इकाई प्रति दिन है। राजू द्वारा शेष 18 इकाइयों को पूरा करने में लिया गया समय = 18 / 20 = 9/10 दिन।

कार्य पूरा करने में लगा कुल समय = 18 + 9/10 = 18 ⁹⁄₁₀ दिन।

व्याख्या

एक त्रिपद के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx है। व्यंजक a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ca का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसकी तुलना मानक सर्वसमिका से करते हैं। वर्ग पद a², b², और c² क्रमशः x², y², और z² के संगत हैं। गुणनफल पदों को देखने पर, -2ab और -2bc ऋणात्मक हैं, जबकि +2ca धनात्मक है। यह दर्शाता है कि चर b का चिह्न a और c की तुलना में विपरीत होना चाहिए। x = a, y = -b, और z = c रखने पर, सर्वसमिका का विस्तार इस प्रकार होता है: (a - b + c)² = a² + (-b)² + c² + 2(a)(-b) + 2(-b)(c) + 2(c)(a) = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ca। यह दिए गए व्यंजक से पूरी तरह मेल खाता है।

व्याख्या

एक ऐसी यात्रा के लिए औसत चाल, जहाँ दो अलग-अलग चालों v₁ और v₂ पर समान दूरियाँ तय की जाती हैं, चालों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) द्वारा निर्धारित की जाती है:

औसत चाल = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

यह देखते हुए कि जीप v₁ = 60 किमी/घंटा की चाल से गंतव्य तक जाती है और v₂ = 30 किमी/घंटा की चाल से समान दूरी वापस आती है, गणना इस प्रकार है:

औसत चाल = (2 × 60 × 30)/(60 + 30)

औसत चाल = 3600/90

औसत चाल = 40 किमी/घंटा

इस परिणाम को कुल दूरी और कुल समय विधि का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है। जाने की यात्रा में लगा समय = 300 / 60 = 5 घंटे, और वापसी की यात्रा में लगा समय = 300 / 30 = 10 घंटे है। पूरी यात्रा (आने-जाने) की कुल दूरी = 300 + 300 = 600 किमी है, और लिया गया कुल समय = 5 + 10 = 15 घंटे है। कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर 600 / 15 = 40 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

औसत की गणना मानों के कुल योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। सूत्र औसत = (सभी मानों का योग)/(मानों की कुल संख्या) का उपयोग करके, हम सबसे पहले सभी पांच राज्यों में लोगों का योग ज्ञात करते हैं।

योग = 474 + 500 + 444 + 495 + 580 = 2493

कुल 5 राज्य (F, G, H, I, और J) हैं।

औसत = ²⁴⁹³⁄₅ = 498.6

व्याख्या

पुरुष और उसके पुत्र की आयु का योग उनकी औसत आयु को व्यक्तियों की संख्या से गुणा करके निकाला जाता है: 55 × 2 = 110 वर्ष। चूंकि उनकी वर्तमान आयु का अनुपात 7:4 है, इसलिए अनुपात इकाइयों का योग 7 + 4 = 11 इकाई है।

एक अनुपात इकाई का मान ज्ञात करने के लिए, कुल योग को कुल इकाइयों से विभाजित करें: 110 / 11 = 10 वर्ष। इसलिए, पुरुष की वर्तमान आयु 7 × 10 = 70 वर्ष है, और पुत्र की वर्तमान आयु 4 × 10 = 40 वर्ष है।

6 वर्ष बाद, पुरुष की आयु 70 + 6 = 76 वर्ष होगी और पुत्र की आयु 40 + 6 = 46 वर्ष होगी। 6 वर्ष बाद उनकी आयु का अभीष्ट अनुपात 76:46 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 2 से विभाजित करके सरल करने पर अंतिम अनुपात 38:23 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ऐसे मामलों में जहाँ एक बेईमान व्यापारी गलत वजन का उपयोग करके क्रय मूल्य पर सामान बेचता है, लाभ प्रतिशत का सूत्र इस प्रकार है:

लाभ % = (दावा किया गया वजन - वास्तविक वजन)/(वास्तविक वजन) × 100

दिया गया है कि लाभ 15% है और दावा किया गया वजन 1 किग्रा या 1000 ग्राम है, मान लीजिए कि उपयोग किया गया वास्तविक वजन x ग्राम है। सूत्र में मान रखने पर:

15 = (1000 - x)/(x) × 100

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर:

3 = (1000 - x)/(x) × 20 3x = 20000 - 20x 23x = 20000 x = ²⁰⁰⁰⁰⁄₂₃

विभाजन करने पर:

x ≈ 869.565...

दशमलव के बाद एक अंक तक पूर्णांकित करने पर, हमें 869.6 ग्राम प्राप्त होता है। इस प्रकार, व्यापारी प्रत्येक किलोग्राम के लिए 869.6 ग्राम वजन का उपयोग करता है।

व्याख्या

नारियल के पेड़ के तने की गति एक वृत्त के चाप को दर्शाती है जहाँ पेड़ की लंबाई त्रिज्या r के अनुरूप होती है और पेड़ के शीर्ष द्वारा तय की गई दूरी चाप की लंबाई s होती है। इन चरों के बीच के संबंध को सूत्र s = rθ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ θ रेडियन में कोण है।

सबसे पहले, कोण को डिग्री से रेडियन में बदलें। दिया गया है कि 180° = π रेडियन: θ = 18° × (π)/(180°) = (π)/(10) रेडियन

सूत्र में चाप की लंबाई s = 44 मीटर और कोण θ = (π)/(10) का मान रखने पर: 44 = r × (π)/(10)

r का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: r = (44 × 10)/(π)

π ≈ ²²⁄₇ का मान रखने पर: r = (440)/(22){7} = (440 × 7)/(22) r = 20 × 7 = 140 मीटर

व्याख्या

सबसे अधिक कुल निर्यात वाले वर्ष का पता लगाने के लिए, तालिका में दिए गए प्रत्येक वर्ष के लिए कंपनियों P, Q और R के निर्यात के योग की गणना करें:

2015 में कुल निर्यात: 2000 + 4000 + 3000 = 9000 2016 में कुल निर्यात: 1000 + 5000 + 2000 = 8000 2017 में कुल निर्यात: 2000 + 4000 + 4000 = 10000 2018 में कुल निर्यात: 3000 + 5000 + 4000 = 12000 2019 में कुल निर्यात: 4000 + 3000 + 5000 = 12000

अधिकतम कुल निर्यात मूल्य 12000 है। विकल्पों में सूचीबद्ध वर्षों में से, वर्ष 2019 यह अधिकतम कुल निर्यात प्रदान करता है।

व्याख्या

जब दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी d = C₁C₂ उनकी त्रिज्याओं के योग r₁ + r₂ के ठीक बराबर होती है, तो दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से एक ही बिंदु पर स्पर्श करते हैं। इस ज्यामितीय विन्यास में, ठीक तीन उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं। इनमें से दो अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ (direct common tangents) होती हैं जो वृत्तों के बाहरी पक्षों पर स्थित होती हैं। तीसरी एक अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (transverse common tangent) होती है जो बाह्य स्पर्श बिंदु से होकर गुजरती है और केंद्रों C₁C₂ को मिलाने वाली रेखा के लंबवत होती है। अतः, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या तीन है।

व्याख्या

व्यंजक (1 + sin θ)/(cos θ) को सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को अंश के संयुग्मी (conjugate), जो कि 1 - sin θ है, से गुणा करें। इससे प्राप्त होता है:

(1 + sin θ)/(cos θ) · (1 - sin θ)/(1 - sin θ) = (1 - sin² θ)/(cos θ(1 - sin θ))

पाइथागोरस सर्वसमिका (Pythagorean identity) sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, पद 1 - sin² θ, cos² θ के बराबर होता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(cos² θ)/(cos θ(1 - sin θ))

चूँकि θ ≠ (π)/(2) है, इसलिए cos θ का मान शून्य नहीं है, जिससे अंश और हर दोनों से cos θ के एक गुणनखंड (factor) को काटा (cancel किया) जा सकता है। यह व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:

(cos θ)/(1 - sin θ)

व्याख्या

बचत सभी खर्चों को घटाने के बाद बची हुई आय के हिस्से को दर्शाती है। चूंकि पंकज अपनी कुल कमाई का 65% खर्च करता है, इसलिए उसकी बचत का प्रतिशत उसके खर्च का पूरक है, जो कि 100% - 65% = 35% है।

उसकी बचत का वास्तविक मूल्य निर्धारित करने के लिए, इस प्रतिशत को उसकी 720 रुपये की कुल कमाई पर लागू करें: बचत = 35% × 720 बचत = ³⁵⁄₁₀₀ × 720

इसे भिन्न को सरल करके या दशमलव गुणन का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: बचत = ⁷⁄₂₀ × 720 बचत = 7 × 36 बचत = 252

व्याख्या

जब r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनकी सरल उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई मानक सूत्र L = 2√(r₁ r₂) द्वारा दी जाती है। यह सूत्र सरल उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के सामान्य व्यंजक, L = √(d² - (r₁ - r₂)²), से प्राप्त होता है, जहाँ बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए केंद्रों के बीच की दूरी d = r₁ + r₂ होती है। दिए गए मानों r₁ = 18 सेमी और r₂ = 8 सेमी को सूत्र में रखने पर L = 2√(18 × 8) = 2√(144) प्राप्त होता है। वर्गमूल की गणना करने पर परिणाम 2 × 12 = 24 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि ब्याज को प्रत्येक दूसरे वर्ष मूलधन में जोड़ा जाता है, इसलिए गणना को दो 2-वर्षीय अवधियों में विभाजित किया गया है। पहले दो वर्षों के लिए, मूलधन P₁ = 15,600, दर R = 10%, और समय T = 2 वर्ष है। ब्याज I₁ की गणना सूत्र I = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है:

I₁ = (15,600 × 10 × 2)/(100) = 3,120

शर्त के अनुसार, इस ब्याज को अगली अवधि के लिए मूलधन में जोड़ा जाता है। तीसरे और चौथे वर्ष के लिए नया मूलधन P₂ हो जाता है:

P₂ = 15,600 + 3,120 = 18,720

अगले दो वर्षों के लिए ब्याज I₂ की गणना इस नए मूलधन पर की जाती है:

I₂ = (18,720 × 10 × 2)/(100) = 3,744

4 वर्ष के अंत में अर्जित कुल ब्याज दोनों अवधियों के ब्याज का योग है:

कुल ब्याज = I₁ + I₂ = 3,120 + 3,744 = 6,864

व्याख्या

एक घनाकार कमरे में, फर्श 'a' भुजा वाला एक वर्ग होता है। फर्श का क्षेत्रफल a² = 64 m² दिया गया है, जिसका अर्थ है कि घन की भुजा की लंबाई a = √(64) = 8 मीटर है। घनाकार कमरे के भीतर रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ घन के विकर्ण के बराबर होती है। 'a' भुजा वाले घन के विकर्ण की लंबाई का सूत्र d = a√3 होता है। भुजा की लंबाई का मान रखने पर, सबसे लंबी छड़ की लंबाई 8√3 मीटर होगी।

व्याख्या

एक समानुपात a : b :: c : d में, पहले दो पदों का अनुपात अंतिम दो पदों के अनुपात के बराबर होता है, जिसे गणितीय रूप से a/b = c/d के रूप में दर्शाया जाता है। इस संबंध को बाह्य पदों (extremes) का गुणनफल मध्य पदों (means) के गुणनफल के बराबर होने के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, ad = bc।

दिए गए पद a = 51, b = 68, और d = 108 हैं, तीसरे पद c को ज्ञात करने के लिए हम इन्हें समानुपात के सूत्र में रखते हैं:

51/68 = c/108

गणना को सरल बनाने के लिए, ध्यान दें कि 51 और 68 दोनों 17 के गुणज हैं। भिन्न 51/68 को सरल करने पर 3/4 प्राप्त होता है। इसके बाद समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

3/4 = c/108

दोनों पक्षों को 108 से गुणा करके c का मान ज्ञात करने पर:

c = (3/4) × 108

108 को 4 से विभाजित करने पर 27 प्राप्त होता है। इसलिए:

c = 3 × 27 = 81

व्याख्या

कोण-भुजा-कोण (ASA) सर्वांगसमता नियम यह बताता है कि दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनके अंतर्गत आने वाली भुजा, दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों और उनके अंतर्गत आने वाली भुजा के बराबर हो। ज्यामिति में, अंतर्गत भुजा वह भुजा होती है जो दोनों कोणों में उभयनिष्ठ (common) होती है, जो प्रभावी रूप से उन दोनों शीर्षों को जोड़ती है जहाँ कोण स्थित होते हैं। उदाहरण के लिए, △ ABC और △ DEF में, यदि ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F, और इन कोणों को जोड़ने वाली भुजा बराबर है (BC = EF), तो ASA मानदंड के अनुसार त्रिभुज सर्वांगसम हैं। यह नियम यह सुनिश्चित करता है कि एक बार जब दो कोणों की स्थिति और उनके बीच की भुजा की लंबाई निश्चित हो जाती है, तो त्रिभुज की संपूर्ण ज्यामिति विशिष्ट रूप से निर्धारित हो जाती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 2 sin θ + 2 sin² θ = 2 है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें sin θ + sin² θ = 1 प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें sin θ = 1 - sin² θ प्राप्त होता है।

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करके, हम इसे अपने सरलीकृत समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं जिससे हमें sin θ = cos² θ प्राप्त होता है। इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर sin² θ = cos⁴ θ प्राप्त होता है।

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक 2 cos⁴ θ + 2 cos² θ है। cos⁴ θ के स्थान पर sin² θ और cos² θ के स्थान पर sin θ प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक 2 sin² θ + 2 sin θ बन जाता है। चूंकि मूल समीकरण में दिया गया है कि 2 sin θ + 2 sin² θ = 2 है, इसलिए आवश्यक व्यंजक का मान 2 है।

व्याख्या

secant और tangent से संबंधित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 है। इसे वर्गों के अंतर के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1

दिया गया है कि sec θ + tan θ = √5, इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

√5 (sec θ - tan θ) = 1

sec θ - tan θ के लिए हल करने पर:

sec θ - tan θ = (1)/(√(5))

विकल्पों के प्रारूप से मिलान करने के लिए, अंश और हर दोनों को √5 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर:

sec θ - tan θ = 1 × √5{√5 × √5} = √5{5}

व्याख्या

माना B की कार्यक्षमता 5 इकाई प्रति दिन है। चूंकि A, B से 40% अधिक कार्यकुशल है, इसलिए A की कार्यक्षमता 5 + (5 का 40%) = 7 इकाई प्रति दिन है। A और B की कार्यक्षमताओं का अनुपात 7 : 5 है। कुल कार्य, B की कार्यक्षमता और B द्वारा अकेले लिए गए समय का गुणनफल है: कुल कार्य = 5 × 36 = 180 इकाई। एक साथ मिलकर कार्य करने पर, A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 7 + 5 = 12 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, दोनों द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = (कुल कार्य)/(संयुक्त कार्यक्षमता) = ¹⁸⁰⁄₁₂ = 15 दिन है।

व्याख्या

बीजीय व्यंजक p³ + q³ + r³ - 3pqr का मान सर्वसमिका p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - rp) द्वारा निर्धारित होता है। इस विशिष्ट मामले में, चरों का योग p + q + r = 8.15 + 9.06 + (-17.21) है। धनात्मक पदों को जोड़ने पर 8.15 + 9.06 = 17.21 प्राप्त होता है, और तीसरे पद को घटाने पर परिणाम 17.21 - 17.21 = 0 प्राप्त होता है। चूंकि पद (p + q + r) शून्य के बराबर है, इसलिए शून्य और सर्वसमिका में शेष द्विघात गुणनखंड का गुणनफल भी शून्य ही होना चाहिए।

व्याख्या

98, 175 और 210 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) निर्धारित करते हैं: 98 = 2 × 7 × 7 = 2 × 7² 175 = 5 × 5 × 7 = 5² × 7 210 = 2 × 3 × 5 × 7

HCF की गणना सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों (lowest powers) के गुणनफल को लेकर की जाती है। संख्याओं के इस समूह में, तीनों गुणनखंडों में उपस्थित एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 7 है। 7 की घातों (7², 7¹ और 7¹) की तुलना करने पर, न्यूनतम घात 7¹ है। अतः, महत्तम समापवर्तक (HCF) 7 है।

वैकल्पिक रूप से, विभाज्यता की जाँच करने पर पता चलता है कि 7, 98 (14 × 7), 175 (25 × 7) और 210 (30 × 7) को विभाजित करता है, और यह तीनों को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक है।

व्याख्या

सात अंकों की संख्या 52A6B7C के 33 से विभाज्य होने के लिए, इसे 3 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 11 का एक गुणज होना चाहिए: (5 + A + B + C) - (2 + 6 + 7) = A + B + C - 10 = 11k चूंकि A, B, और C अभाज्य अंक हैं, इसलिए वे समुच्चय {2, 3, 5, 7} से होने चाहिए। न्यूनतम संभावित योग A+B+C, 2+2+2=6 है और अधिकतम 7+7+7=21 है। इस सीमा के भीतर, A + B + C - 10 केवल 0 (जिसके परिणामस्वरूप A + B + C = 10 होगा) या 11 (जिसके परिणामस्वरूप A + B + C = 21 होगा) हो सकता है।

3 से विभाज्यता के लिए, अंकों का कुल योग 3 का एक गुणज होना चाहिए: 5 + 2 + A + 6 + B + 7 + C = 20 + (A + B + C) = 3m यदि A + B + C = 21 है, तो योग 20 + 21 = 41 होता है, जो 3 से विभाज्य नहीं है। यदि A + B + C = 10 है, तो योग 20 + 10 = 30 होता है, जो 3 से विभाज्य है। इस प्रकार, A + B + C = 10 है।

तीन अभाज्य अंकों का एकमात्र समुच्चय जिसका योग 10 है, {2, 3, 5} है। 2A + 3B + C के मान को अधिकतम करने के लिए, हम सबसे बड़े अंक (5) को सबसे बड़ा भार (3) और अगले सबसे बड़े अंक (3) को अगला सबसे बड़ा भार (2) प्रदान करते हैं। B = 5, A = 3, C = 2 रखने पर: 2(3) + 3(5) + 2 = 6 + 15 + 2 = 23

व्याख्या

दोनों कंपनियों P और Q द्वारा बेचे गए ट्रैक्टर T5 की कुल संख्या उनकी व्यक्तिगत बिक्री का योग है, जो कि 110 + 150 = 260 है। इसी प्रकार, दोनों कंपनियों द्वारा बेचे गए ट्रैक्टर T2 की कुल संख्या 40 + 50 = 90 है।

T2 की तुलना में T5 की बिक्री कितने प्रतिशत अधिक है, यह ज्ञात करने के लिए प्रतिशत वृद्धि सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत वृद्धि = (कुल T5 - कुल T2)/(कुल T2) × 100

परिकल्पित मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (260 - 90)/(90) × 100

प्रतिशत वृद्धि = ¹⁷⁰⁄₉₀ × 100 = ¹⁷⁰⁰⁄₉

1700 को 9 से विभाजित करने पर लगभग 188.88% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई तालिका से, दुकानदार R द्वारा बेची गई कैंचियों की संख्या 45 है और दुकानदार S द्वारा बेची गई कैंचियों की संख्या 25 है। R द्वारा बेची गई कैंचियों की संख्या का S द्वारा बेची गई कैंचियों की संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध स्थापित करते हैं: अनुपात = (R)/(S) = ⁴⁵⁄₂₅ इस भिन्न को सरल करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करते हैं, जो कि 5 है: अनुपात = (45 ÷ 5)/(25 ÷ 5) = ⁹⁄₅ इसे अनुपात के रूप में व्यक्त करने पर 9:5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) की गणना 1,500 रुपये के क्रय मूल्य (CP) पर 40% की मूल्य वृद्धि (मार्कअप) लागू करके की जाती है। सूत्र MP = CP × (1 + (मार्कअप%)/(100)) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: MP = 1500 × (1 + 0.40) = 1500 × 1.4 = 2100। 75 रुपये का लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य और वांछित लाभ का योग होना चाहिए, जो कि SP = CP + लाभ = 1500 + 75 = 1575 है।

छूट की राशि अंकित मूल्य से विक्रय मूल्य में की गई कमी है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: छूट = MP - SP = 2100 - 1575 = 525। इसके बाद छूट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए छूट की राशि को अंकित मूल्य से विभाजित किया जाता है और 100 से गुणा किया जाता है। सूत्र छूट% = ((छूट)/(MP)) × 100 लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: ⁵²⁵⁄₂₁₀₀ × 100 = ⁵²⁵⁄₂₁ = 25%।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan A · tan B = 1 का तात्पर्य है कि A + B = 90°, क्योंकि tan A = (1)/(tan B) = cot B = tan(90° - B) है।

दिए गए समीकरण tan 3θ · tan 7θ = 1 से, हम रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

3θ + 7θ = 90° 10θ = 90° θ = 9°

हम इस शर्त को सत्यापित करते हैं कि 7θ एक न्यूनकोण है: 7 × 9° = 63°, जो वास्तव में एक न्यूनकोण है। अब, हम व्यंजक cot 15θ में θ = 9° प्रतिस्थापित करते हैं:

cot(15 × 9°) = cot 135°

cot 135° का मान ज्ञात करने के लिए, हम चतुर्थांश नियम cot(180° - x) = -cot x का उपयोग करते हैं:

cot 135° = cot(180° - 45°) = -cot 45°

चूंकि cot 45° का मान 1 होता है, हमें प्राप्त होता है:

-cot 45° = -1

व्याख्या

x + 2/x का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों में 2(x²)(4/x²) = 8 जोड़कर x² + 4/x² का मान ज्ञात करते हैं, जिससे (x² + 4/x²)² = 15617 + 8 = 15625 प्राप्त होता है, जो x² + 4/x² = 125 देता है। इसके बाद, हम 125 में 2(x)(2/x) = 4 जोड़कर (x + 2/x)² का मान ज्ञात करते हैं, जिससे (x + 2/x)² = 129 प्राप्त होता है। अतः, x + 2/x = √129।

व्याख्या

दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या उनके केंद्रों के बीच की दूरी d की तुलना उनकी त्रिज्याओं r₁ और r₂ के योग और अंतर से करके निर्धारित की जाती है। दिया गया है कि व्यास क्रमशः 12 सेमी और 20 सेमी हैं, इसलिए त्रिज्याएँ r₁ = ¹²⁄₂ = 6 सेमी और r₂ = ²⁰⁄₂ = 10 सेमी हैं। त्रिज्याओं का योग r₁ + r₂ = 6 + 10 = 16 सेमी है। केंद्रों के बीच की दूरी d = 16 सेमी दी गई है। चूंकि d = r₁ + r₂ है, इसलिए दोनों वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं। बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों के लिए, ठीक तीन उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं: दो सरल उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ (direct common tangents) और एक तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (transverse common tangent) जो स्पर्श बिंदु से होकर गुजरती है।

व्याख्या

प्रत्येक उत्पाद के लिए वृद्धि प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: वृद्धि % = (2022 में मूल्य - 2021 में मूल्य)/(2021 में मूल्य) × 100

इसे उत्पाद E पर लागू करने पर, उत्पादन 2021 में 30 से बढ़कर 2022 में 50 हो गया। वृद्धि (50 - 30)/(30) × 100 = ²⁰⁄₃₀ × 100 = 66.67% है।

तुलना के लिए, अन्य उत्पादों के लिए वृद्धि प्रतिशत इस प्रकार हैं: उत्पाद A का ³⁰⁄₁₂₀ × 100 = 25% है; उत्पाद B का ⁴⁰⁄₁₆₀ × 100 = 25% है; उत्पाद C का ⁵⁰⁄₂₅₀ × 100 = 20% है; उत्पाद D का ³⁰⁄₆₀ × 100 = 50% है; और उत्पाद F का ²²⁄₁₁₀ × 100 = 20% है। उत्पाद E सूचीबद्ध सभी उत्पादों में सबसे अधिक वृद्धि दर दर्शाता है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = (√3/4) a² द्वारा ज्ञात किया जाता है। दिया गया है कि भुजा की लंबाई a = 16 सेमी है, इस मान को सूत्र में रखने पर A = (√3/4) × (16)² प्राप्त होता है। चूंकि 16² = 256 है, इसलिए यह व्यंजक सरल होकर A = (√3/4) × 256 हो जाता है। 256 को 4 से विभाजित करने पर 64 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप क्षेत्रफल 64√3 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक में एक संख्या को उसी में से घटाया गया है (1.6 के घन में से 1.6 का घन घटाना)। किसी भी संख्या को स्वयं में से घटाने पर परिणाम शून्य प्राप्त होता है।

व्याख्या

राम द्वारा बिंदु A से बिंदु B तक यात्रा करने में लिया गया समय 6 घंटे है (सुबह 8 बजे से दोपहर 2 बजे तक)। राजू द्वारा बिंदु B से बिंदु A तक यात्रा करने में लिया गया समय 10 घंटे है (सुबह 8 बजे से शाम 6 बजे तक)। चूंकि दोनों एक ही समय (सुबह 8 बजे) चलना शुरू करते हैं और एक ही ट्रैक पर एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं, इसलिए उनके मिलने में लगने वाले समय की गणना सापेक्ष गति (relative speed) के सूत्र या एक साथ शुरू होने के शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

माना A और B के बीच की दूरी D है। राम की गति S₁ = D/6 है और राजू की गति S₂ = D/10 है। सुबह 8 बजे के बाद का समय t जब वे मिलते हैं, दूरी को उनकी सापेक्ष गति से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

t = (D)/(S₁ + S₂) = (D)/(D){6 + (D)/(10)}

t = (1)/(5+3){30} = ³⁰⁄₈ = 3.75 घंटे

वैकल्पिक रूप से, मिलने के समय के शॉर्टकट सूत्र t = (T₁ × T₂)/(T₁ + T₂) का उपयोग करने पर, जहाँ T₁ और T₂ व्यक्तिगत समय हैं:

t = (6 × 10)/(6 + 10) = ⁶⁰⁄₁₆ = 3.75 घंटे

3.75 घंटे को घंटे और मिनट में बदलने पर: 3 घंटे + 0.75 × 60 मिनट = 3 घंटे 45 मिनट।

शुरुआती समय सुबह 8 बजे में 3 घंटे और 45 मिनट जोड़ने पर पूर्वाह्न 11:45 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब पानी को शंक्वाकार बर्तन से बेलनाकार बर्तन में स्थानांतरित किया जाता है, तो पानी का आयतन समान रहता है। शंकु का आयतन V_शंकु = ⅓ π r² h द्वारा और बेलन का आयतन V_बेलन = π R² H द्वारा दिया जाता है।

शंकु के लिए दिया गया है: आंतरिक त्रिज्या r = 20 सेमी और ऊँचाई h = 27 सेमी। बेलन के लिए दिया गया है: आंतरिक त्रिज्या R = 15 सेमी।

आयतनों की तुलना करने पर: ⅓ π (20)² (27) = π (15)² H

दोनों पक्षों से नियतांक π कट जाता है: ⅓ × 400 × 27 = 225 × H 400 × 9 = 225 × H 3600 = 225 × H

H का मान ज्ञात करने के लिए, 3600 को 225 से विभाजित करें: H = ³⁶⁰⁰⁄₂₂₅ = 16 सेमी

बेलनाकार बर्तन में पानी 16 सेमी की ऊँचाई तक चढ़ेगा।

व्याख्या

इस संबंध को X = kY² के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ k आनुपातिकता नियतांक है। समीकरण में प्रारंभिक मान X = 12 और Y = 2 रखने पर 12 = k(2²) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 12 = 4k प्राप्त होता है, इसलिए k = 3 है। जब Y = 3 हो, तो X का मान ज्ञात करने के लिए, मूल सूत्र में k = 3 और Y = 3 रखें: X = 3(3²)। इस गणना से X = 3 × 9 प्राप्त होता है, जो 27 के बराबर है।

व्याख्या

महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो दी गई प्रत्येक संख्या को बिना कोई शेषफल छोड़े पूर्णतः विभाजित करता है। 60, 148 और 382 का HCF ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निर्धारित करते हैं:

60 = 2² × 3 × 5 148 = 2² × 37 382 = 2 × 191

HCF की गणना प्रत्येक उभयनिष्ठ (common) अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात के गुणनफल को लेकर की जाती है। इस मामले में, तीनों संख्याओं में मौजूद एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 है। तीनों गुणनखंडों में 2 की सबसे छोटी घात 2¹ है। इसलिए, HCF 2 है।

वैकल्पिक रूप से, हम दिए गए विकल्पों के लिए विभाज्यता के नियम का उपयोग कर सकते हैं। जबकि 60 और 148, 4 से विभाज्य हैं, 382 नहीं है क्योंकि इसके अंतिम दो अंक (82) 4 से विभाज्य नहीं हैं। इसके अलावा, 382, 3 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसके अंकों का योग (3 + 8 + 2 = 13) 3 का गुणज नहीं है, जो संभावित उभयनिष्ठ गुणनखंडों के रूप में 6 और 24 को खारिज करता है। चूंकि तीनों संख्याएं सम हैं, इसलिए वे सभी 2 से विभाज्य हैं।

व्याख्या

चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर है क्योंकि वे एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं। सापेक्ष गति vᵣₑₗ = vₚₒₗᵢ_cₑₘₐₙ - vₜₕᵢₑ_f = 12 - 10 = 2 मीटर/सेकंड।

40 मीटर की प्रारंभिक दूरी को समाप्त करने के लिए आवश्यक समय t की गणना इस प्रकार की जाती है: t = (प्रारंभिक दूरी)/(सापेक्ष गति) = ⁴⁰⁄₂ = 20 सेकंड।

चोर को पकड़ने के लिए पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई कुल दूरी उसकी गति और लिए गए समय का गुणनफल है: दूरी = vₚₒₗᵢ_cₑₘₐₙ × t = 12 × 20 = 240 मीटर।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि दोनों के लिए समय स्थिर है, इसलिए तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी गतियों के अनुपात के बराबर होता है। पुलिसकर्मी की गति का चोर की गति से अनुपात 12:10 या 6:5 है। अनुपात में 1 इकाई का अंतर 40 मीटर की बढ़त को दर्शाता है। इसलिए, पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 6 × 40 = 240 मीटर है।

व्याख्या

न्यूनतम मूल्य ज्ञात करने के लिए, हमें दोनों कूपन विकल्पों के तहत अंतिम लागतों की तुलना करनी होगी। तीनों शर्ट की कीमतें 1,250 रुपये, 1,540 रुपये और 1,375 रुपये हैं।

पहले कूपन का उपयोग करने पर, कीमतों के कुल योग पर 30% की छूट लागू होती है। छूट से पहले कुल लागत 1250 + 1540 + 1375 = 4165 है। छूट की राशि 4165 का 30% = 0.30 × 4165 = 1249.5 है। इस प्रकार, पहले कूपन का उपयोग करके अंतिम मूल्य 4165 - 1249.5 = 2915.5 है।

दूसरे कूपन का उपयोग करने पर, केवल सबसे महंगी शर्ट पर 80% की छूट लागू होती है, जो कि 1,540 रुपये है। इस शर्ट पर छूट 1540 का 80% = 0.80 × 1540 = 1232 है। सबसे महंगी शर्ट की घटी हुई कीमत 1540 - 1232 = 308 हो जाती है। दूसरे कूपन का उपयोग करने पर कुल मूल्य दो सामान्य कीमत वाली शर्ट और छूट वाली शर्ट का योग है: 1250 + 1375 + 308 = 2933।

दोनों अंतिम मूल्यों, 2,915.50 रुपये और 2,933 रुपये की तुलना करने पर, वह न्यूनतम मूल्य जिस पर राघव तीनों शर्ट खरीद सकता है, 2,915.50 रुपये है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, एक निश्चित मूलधन और ब्याज दर के लिए अर्जित ब्याज समय के सीधे समानुपाती होता है। जब कोई धनराशि दोगुनी हो जाती है, तो अर्जित ब्याज मूलधन P के बराबर होता है (चूंकि मिश्रधन = मूलधन + ब्याज, और 2P = P + P)। यह ब्याज P, 7 वर्षों की अवधि में संचित होता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि धनराशि को स्वयं का 5 गुना होने में कितना समय लगेगा, आवश्यक कुल ब्याज 5P - P = 4P है। साधारण ब्याज के समय के लिए मानक संबंध का उपयोग करने पर: T₁/T₂ = (n₁ - 1)/(n₂ - 1)

जहाँ T₁ = 7 वर्ष, n₁ = 2 (दोगुना), और n₂ = 5 (पाँच गुना)। इन मानों को सूत्र में रखने पर: (7)/(T₂) = (2 - 1)/(5 - 1) (7)/(T₂) = 1/4 T₂ = 7 × 4 = 28

अतः, धनराशि को स्वयं का 5 गुना होने में 28 वर्ष का समय लगेगा।

व्याख्या

अभीष्ट अंतर ज्ञात करने के लिए, हम वर्ष 2015 से 2019 तक सभी वर्षों में दोनों श्रेणियों के लिए शामिल होने वाले कर्मचारियों के योग की गणना करते हैं।

शामिल होने वाले बिजनेस एनालिस्ट की कुल संख्या 80 + 63 + 78 + 42 + 67 = 330 है।

शामिल होने वाले सेल्स रिप्रेजेंटेटिव की कुल संख्या 50 + 46 + 38 + 34 + 22 = 190 है।

शामिल होने वाले बिजनेस एनालिस्ट की कुल संख्या और शामिल होने वाले सेल्स रिप्रेजेंटेटिव की कुल संख्या के बीच का अंतर 330 - 190 = 140 है।

व्याख्या

तीन चरों के योग, उनके वर्गों और उनके युग्मवार गुणनफलों को जोड़ने वाली बीजीय सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) है। इस सूत्र में दिए गए मानों x + y + z = 0 और x² + y² + z² = 40 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

0² = 40 + 2(xy + yz + zx)

0 = 40 + 2(xy + yz + zx)

-40 = 2(xy + yz + zx)

xy + yz + zx = ⁻⁴⁰⁄₂

xy + yz + zx = -20

व्याख्या

कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज हो। संख्या 54p3987 के लिए, हम बाईं ओर से शुरू करते हुए इन योगों की गणना करते हैं। विषम स्थानों पर अंक 5, p, 9 और 7 हैं, इसलिए उनका योग 5 + p + 9 + 7 = 21 + p है। सम स्थानों पर अंक 4, 3 और 8 हैं, इसलिए उनका योग 4 + 3 + 8 = 15 है।

इन योगों के बीच का अंतर (21 + p) - 15 = 6 + p है। संख्या को 11 से विभाज्य होने के लिए, यह अंतर 6 + p, 11 का गुणज होना चाहिए। चूंकि p, 0 से 9 तक की एक एकल-अंकीय पूर्णांक संख्या है, इसलिए 6 + p के संभावित मान 6 से 15 तक होंगे। इस सीमा के भीतर, 11 का एकमात्र गुणज स्वयं 11 ही है। 6 + p = 11 रखने पर p = 11 - 6 = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, 1000 इकाइयों के मानक वजन के सापेक्ष क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) पर विचार करें। माना प्रति इकाई क्रय मूल्य ₹1 है, इसलिए 1000 इकाइयों का मूल्य ₹1000 होगा। व्यापारी क्रय मूल्य पर 7% की हानि पर बेचता है, जिससे विक्रय मूल्य (SP) = 1000 × (1 - 0.07) = ₹930 हो जाता है। चूंकि व्यापारी 18% कम वजन का उपयोग करता है, इसलिए दी गई वास्तविक मात्रा 1000 × (1 - 0.18) = 820 इकाइयां है। इस मात्रा के लिए व्यापारी का वास्तविक क्रय मूल्य ₹820 है।

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र (SP - CP)/(CP) × 100 का उपयोग करके की जाती है। वास्तविक मानों को प्रतिस्थापित करने पर (930 - 820)/(820) × 100 = ¹¹⁰⁄₈₂₀ × 100 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर ¹¹⁰⁰⁄₈₂ प्राप्त होता है, जो लगभग 13.4146% के बराबर है। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, लाभ प्रतिशत 13.41% है।

व्याख्या

परिवार के छह सदस्यों की मूल औसत आयु 40 वर्ष है। जब एक अतिथि को शामिल किया जाता है, तो लोगों की कुल संख्या 7 हो जाती है, और औसत आयु में 12.5% की वृद्धि होती है।

औसत आयु में वृद्धि की गणना 40 के 12.5% के रूप में की जाती है: वृद्धि = 40 × (12.5)/(100) = 40 × ⅛ = 5 वर्ष।

7 लोगों की नई औसत आयु 40 + 5 = 45 वर्ष है।

अतिथि की आयु ज्ञात करने के लिए, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि नए सदस्य की आयु पुराने औसत और पूरे समूह में उनके द्वारा लाई गई कुल वृद्धि के योग के बराबर होनी चाहिए: अतिथि की आयु = पुराना औसत + (नए कुल सदस्य × औसत में वृद्धि) अतिथि की आयु = 40 + (7 × 5) अतिथि की आयु = 40 + 35 = 75 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, योग विधि का उपयोग करके: 6 सदस्यों की आयु का योग = 6 × 40 = 240 7 लोगों की आयु का योग = 7 × 45 = 315 अतिथि की आयु = 315 - 240 = 75 वर्ष।

व्याख्या

इस व्यंजक में मानक सर्वसमिकाओं का उपयोग करके त्रिकोणमितीय पदों का सरलीकरण शामिल है। हम जानते हैं कि 1 + tan² A = sec² A। इसे व्यंजक के पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर:

(tan A)/(1 + tan² A) = (tan A)/(sec² A)

tan A और sec A को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करने पर:

(sin A / cos A)/(1 / cos² A) = (sin A)/(cos A) × cos² A = sin A cos A

अब, व्यंजक के दूसरे भाग को सरल करने पर:

(sin A)/(sec A) = sin A × (1)/(sec A) = sin A cos A

चूंकि दोनों पद सरल होकर sin A cos A हो जाते हैं, इसलिए उनका अंतर है:

sin A cos A - sin A cos A = 0

व्याख्या

α और β मूलों वाले समीकरण से α² और β² मूलों वाला समीकरण प्राप्त करने के लिए, मूल समीकरण में x को √x से प्रतिस्थापित करें। 6x² + 13x + 7 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर 6(√x)² + 13√x + 7 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 6x + 7 = -13√x हो जाता है। करणी (radical) को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (6x + 7)² = (-13√x)² प्राप्त होता है। पदों का विस्तार करने पर 36x² + 84x + 49 = 169x प्राप्त होता है। समीकरण के सभी पदों को एक पक्ष में करने पर 36x² - 85x + 49 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब एक ठोस धात्विक गोले को पिघलाकर एक शंकु में ढाला जाता है, तो आयतन समान रहता है। माना गोले की त्रिज्या R = 12 सेमी है। शंकु के आधार का व्यास 12 सेमी है, इसलिए इसकी त्रिज्या r = 6 सेमी है। माना शंकु की ऊँचाई h है।

गोले का आयतन Vₛ = ⁴⁄₃ π R³ द्वारा और शंकु का आयतन V_c = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है। दोनों आयतनों को बराबर करने पर:

⁴⁄₃ π R³ = ⅓ π r² h

दोनों पक्षों से ⅓ π को निरस्त करने पर, हमें प्राप्त होता है:

4 R³ = r² h

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

4 × (12)³ = (6)² × h

4 × 1728 = 36 × h

h = (4 × 1728)/(36)

h = ⁶⁹¹²⁄₃₆ = 192 सेमी

व्याख्या

माना प्रारंभिक वेतन 100 है। प्रारंभिक जीवन-यापन व्यय 100 का 60% है, जो कि 60 है। प्रारंभिक बचत वेतन और व्यय के बीच का अंतर है: 100 - 60 = 40।

वेतन में 30% और 60% की दो क्रमिक वृद्धियाँ होती हैं। नया वेतन = 100 × (1 + ³⁰⁄₁₀₀) × (1 + ⁶⁰⁄₁₀₀) नया वेतन = 100 × 1.3 × 1.6 = 208।

बचत में प्रारंभिक बचत के 250% की वृद्धि होती है। बचत में वृद्धि = ²⁵⁰⁄₁₀₀ × 40 = 100। नई बचत = प्रारंभिक बचत + वृद्धि = 40 + 100 = 140।

नया जीवन-यापन व्यय नए वेतन और नई बचत के बीच का अंतर है: नया व्यय = 208 - 140 = 68।

यह ज्ञात करने के लिए कि नया व्यय बढ़े हुए वेतन का कितना प्रतिशत है: प्रतिशत = ((नया व्यय)/(नया वेतन)) × 100 प्रतिशत = (⁶⁸⁄₂₀₈) × 100 = ¹⁷⁄₅₂ × 100 ≈ 32.692%।

विकल्पों द्वारा दर्शाए गए अनुसार निकटतम दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, मान 32.7% है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत रैखिक विमाओं (जैसे कि शीर्षलंब, माध्यिका, या भुजाओं) के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। माना दो त्रिभुज जिनके क्षेत्रफल A₁ और A₂ हैं तथा संगत ऊंचाइयाँ h₁ और h₂ हैं, तो उनके बीच के संबंध को (A₁)/(A₂) = ((h₁)/(h₂))² के रूप में व्यक्त किया जाता है।

सूत्र में क्षेत्रफलों के दिए गए अनुपात x²: y² को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x²)/(y²) = ((h₁)/(h₂))²। ऊंचाइयों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं: √((x²)/(y²)) = (h₁)/(h₂), जो सरल होकर (x)/(y) = (h₁)/(h₂) हो जाता है। अतः, संगत ऊंचाइयों का अनुपात x: y है।