एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कई खंडों वाली यात्रा के लिए औसत चाल की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय।

सबसे पहले, यात्रा में तय की गई कुल दूरी की गणना करें: कुल दूरी = 275 + 315 = 590 किमी।

इसके बाद, समय = दूरी / चाल के संबंध का उपयोग करके प्रत्येक खंड के लिए लिया गया समय ज्ञात करें: पहले खंड के लिए लिया गया समय t₁ = ²⁷⁵⁄₅₀ = 5.5 घंटे। दूसरे खंड के लिए लिया गया समय t₂ = ³¹⁵⁄₇₀ = 4.5 घंटे।

फिर, पूरी यात्रा के लिए कुल समय ज्ञात करें: कुल समय = t₁ + t₂ = 5.5 + 4.5 = 10 घंटे।

अंत में, औसत चाल के सूत्र का उपयोग करें: औसत चाल = ⁵⁹⁰⁄₁₀ = 59 किमी/घंटा।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ + (a - b)³ = 2a(a² + 3b²) का उपयोग करते हुए, माना a = 4x और b = 2y है।

(4x + 2y)³ + (4x - 2y)³ = 2(4x)((4x)² + 3(2y)²) = 8x(16x² + 3 × 4y²) = 8x(16x² + 12y²) = 128x³ + 96xy²

चूंकि यह व्यंजक 16(Ax³ + Bxy²) के बराबर दिया गया है, हम परिणाम में से 16 को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: 128x³ + 96xy² = 16(8x³ + 6xy²)

संगत पदों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: A = 8 B = 6

अभीष्ट मान की गणना निम्नानुसार की जाती है: ½ √(A² + B²) = ½ √(8² + 6²) = ½ √(64 + 36) = ½ √(100) = ¹⁰⁄₂ = 5

व्याख्या

तीन दी गई संख्याओं a, b, और c को विभाजित करने वाली और प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम संख्याओं के बीच के निरपेक्ष अंतरों: |a - b|, |b - c|, और |c - a| का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं।

दी गई संख्याएँ 108, 124, और 156 हैं, हम सबसे पहले अंतरों की गणना करते हैं: |124 - 108| = 16 |156 - 124| = 32 |156 - 108| = 48

इसके बाद, हम 16, 32, और 48 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं। हम इन संख्याओं को उनके गुणनखंडों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: 16 = 16 × 1 32 = 16 × 2 48 = 16 × 3

चूंकि 16 तीनों अंतरों का एक गुणनखंड है और ऐसा सबसे बड़ा मान है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (HCF) 16 है। मूल संख्याओं को 16 से विभाजित करने पर परिणाम की पुष्टि होती है: 108 = (16 × 6) + 12 124 = (16 × 7) + 12 156 = (16 × 9) + 12

प्रत्येक स्थिति में, शेषफल 12 प्राप्त होता है, जो प्रश्न की शर्त को पूरा करता है। अतः, 16 वह सबसे बड़ी संख्या है जो 108, 124, और 156 को विभाजित करने पर समान शेषफल छोड़ती है।

व्याख्या

जब किसी वस्तु को एक मूल्य पर बेचने से अर्जित लाभ, उसे दूसरे मूल्य पर बेचने से हुई हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों का अंकगणितीय माध्य होता है।

क्रय मूल्य (CP) = (SP₁ + SP₂)/2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP = (832 + 448)/(2) = ¹²⁸⁰⁄₂ = 640

10% की हानि पर विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करने के लिए, हम निम्न सूत्र का उपयोग करते हैं: SP = CP × (1 - (हानि%)/(100))

SP = 640 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) SP = 640 × 0.9 SP = 576

व्याख्या

पहले 10 ओवरों में बनाए गए कुल रनों की गणना रन रेट को ओवरों की संख्या से गुणा करके की जाती है: 10 × 7.2 = 72 रन। चूंकि लक्ष्य स्कोर 272 रन है, इसलिए शेष 40 ओवरों में आवश्यक रन 272 - 72 = 200 रन हैं। आवश्यक औसत रन रेट, शेष रनों का शेष ओवरों से अनुपात है: ²⁰⁰⁄₄₀ = 5 रन प्रति ओवर।

व्याख्या

अंतराल [500, 650] में उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जो न तो 3 से और न ही 7 से विभाज्य हैं, हम सबसे पहले इस अंतराल में संख्याओं की कुल संख्या की गणना करते हैं और फिर समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत (principle of inclusion-exclusion) का उपयोग करके उन संख्याओं को घटाते हैं जो 3, 7 या दोनों से विभाज्य हैं।

500 से 650 तक (दोनों को मिलाकर) पूर्णांकों की कुल संख्या N = 650 - 500 + 1 = 151 है।

सबसे पहले, हम इस अंतराल में 3 से विभाज्य संख्याओं की संख्या ज्ञात करते हैं। 3 का सबसे छोटा गुणज जो ≥ 500 है, वह 501 है, और 3 का सबसे बड़ा गुणज जो ≤ 650 है, वह 648 है। पदों की संख्या n(3) की गणना इस प्रकार की जाती है: n(3) = (648 - 501)/(3) + 1 = ¹⁴⁷⁄₃ + 1 = 49 + 1 = 50

इसके बाद, हम 7 से विभाज्य संख्याओं की संख्या ज्ञात करते हैं। 7 का सबसे छोटा गुणज जो ≥ 500 है, वह 504 (7 × 72) है, और सबसे बड़ा गुणज जो ≤ 650 है, वह 644 (7 × 92) है। पदों की संख्या n(7) है: n(7) = (644 - 504)/(7) + 1 = ¹⁴⁰⁄₇ + 1 = 20 + 1 = 21

अब, हम उन संख्याओं की संख्या ज्ञात करते हैं जो 3 और 7 दोनों से विभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि वे LCM(3, 7) = 21 से विभाज्य हैं। 21 का सबसे छोटा गुणज जो ≥ 500 है, वह 504 (21 × 24) है, और सबसे बड़ा गुणज जो ≤ 650 है, वह 630 (21 × 30) है। पदों की संख्या n(21) है: n(21) = (630 - 504)/(21) + 1 = ¹²⁶⁄₂₁ + 1 = 6 + 1 = 7

समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, 3 या 7 से विभाज्य पूर्णांकों की संख्या है: n(3 ∪ 7) = n(3) + n(7) - n(3 ∩ 7) = 50 + 21 - 7 = 64

न तो 3 से और न ही 7 से विभाज्य पूर्णांकों की संख्या, कुल संख्या में से 3 या 7 से विभाज्य संख्याओं को घटाने पर प्राप्त होती है: परिणाम = 151 - 64 = 87

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: यदि X + Y + Z = 0, तो X³ + Y³ + Z³ = 3XYZ।

अंश में, माना X = a² - 4b², Y = 4(b² - 4c²) = 4b² - 16c², और Z = 16c² - a²। योगफल X + Y + Z = (a² - 4b²) + (4b² - 16c²) + (16c² - a²) = 0 है। इस प्रकार, अंश इस प्रकार हो जाता है: 3(a² - 4b²)(4b² - 16c²)(16c² - a²) वर्गों के अंतर के सूत्र x² - y² = (x - y)(x + y) का उपयोग करने पर, इसका विस्तार इस प्रकार होता है: 3(a - 2b)(a + 2b) · 4(b - 2c)(b + 2c) · (4c - a)(4c + a) 12(a - 2b)(a + 2b)(b - 2c)(b + 2c)(4c - a)(4c + a)

हर में, माना p = a - 2b, q = 2b - 4c = 2(b - 2c), और r = 4c - a। योगफल p + q + r = (a - 2b) + (2b - 4c) + (4c - a) = 0 है। इस प्रकार, हर इस प्रकार हो जाता है: 3(a - 2b)(2b - 4c)(4c - a) = 3(a - 2b) · 2(b - 2c) · (4c - a) = 6(a - 2b)(b - 2c)(4c - a)

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर: (12(a - 2b)(a + 2b)(b - 2c)(b + 2c)(4c - a)(4c + a))/(6(a - 2b)(b - 2c)(4c - a)) उभयनिष्ठ पदों (a - 2b), (b - 2c), और (4c - a) को निरस्त करने पर बचता है: ¹²⁄₆(a + 2b)(b + 2c)(4c + a) = 2(a + 2b)(b + 2c)(4c + a)

व्याख्या

x² + (1)/(x²) का मान सर्वसमिका x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

दिया गया है x = 4 + √(15), हर का परिमेयकरण करके व्युत्क्रम ¹⁄ₓ ज्ञात किया जाता है: ¹⁄ₓ = (1)/(4 + √(15)) × 4 - √(15){4 - √(15)} = 4 - √(15){16 - 15} = 4 - √(15)

x और इसके व्युत्क्रम के योग की गणना करने पर: x + ¹⁄ₓ = (4 + √(15)) + (4 - √(15)) = 8

इस मान को वर्ग सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: x² + (1)/(x²) = 8² - 2 = 64 - 2 = 62

व्याख्या

18% की हानि और 12% के लाभ के बीच कुल प्रतिशत अंतर 18% + 12% = 30% है। प्रश्न के अनुसार, यह 30% का अंतर ₹960 की मूल्य वृद्धि के बराबर है।

क्रय मूल्य (CP) की गणना इस प्रकार की जाती है: क्रय मूल्य (CP) = (मूल्य में अंतर)/(प्रतिशत में अंतर) × 100 CP = ⁹⁶⁰⁄₃₀ × 100 = ₹3,200

जब वस्तु को ₹3,840 में बेचा जाता है, तो अर्जित लाभ है: लाभ = 3,840 - 3,200 = ₹640

लाभ प्रतिशत की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = (640)/(3,200) × 100 = 20%

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, दो कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से बनने वाला कोण सूत्र 90° + ½A द्वारा दिया जाता है, जहाँ A त्रिभुज का तीसरा कोण है। △ LMN में, ∠ L और ∠ N के समद्विभाजक 112° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। सूत्र का उपयोग करने पर:

112° = 90° + (∠ M)/(2)

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर:

22° = (∠ M)/(2)

2 से गुणा करने पर:

∠ M = 44°

व्याख्या

माना शांत जल में नाव की गति u = 9 किमी/घंटा है और धारा की गति v किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल गति u + v है और धारा के प्रतिकूल गति u - v है। पहली शर्त के आधार पर:

(44)/(9 + v) + (35)/(9 - v) = 9

v का मान ज्ञात करने के लिए, हम छोटे पूर्णांक मानों का परीक्षण कर सकते हैं या 44(9 - v) + 35(9 + v) = 9(81 - v²) से प्राप्त द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। इसे सरल करने पर 711 - 9v = 729 - 9v² प्राप्त होता है, जो घटकर v² - v - 2 = 0 हो जाता है। द्विघात समीकरण (v - 2)(v + 1) = 0 का गुणनखंड करने पर v = 2 प्राप्त होता है (ऋणात्मक मान की उपेक्षा करने पर)।

v = 2 किमी/घंटा के साथ, धारा के अनुकूल गति 9 + 2 = 11 किमी/घंटा है और धारा के प्रतिकूल गति 9 - 2 = 7 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल 33 किमी और धारा के प्रतिकूल 28 किमी नाव चलाने के लिए आवश्यक समय T है:

T = ³³⁄₁₁ + ²⁸⁄₇ = 3 + 4 = 7 घंटे

व्याख्या

पतंग की ऊंचाई, भूमि और डोरी द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, 90 मीटर की ऊंचाई दिए गए उन्नयन कोण के विपरीत लंब भुजा को दर्शाती है, जबकि डोरी कर्ण को दर्शाती है। दिए गए कोण θ के लिए लंब भुजा और कर्ण को जोड़ने वाला त्रिकोणमितीय अनुपात साइन (sine) फलन है:

sin(θ) = (लंब)/(कर्ण)

दी गई ऊंचाई h = 90 मीटर और कोण θ = 30° को सूत्र में रखने पर:

sin(30°) = (90)/(L)

sin(30°) का मान ½ है। इसे समीकरण में लागू करने पर:

½ = (90)/(L)

L = 90 × 2 = 180 मीटर

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज किश्त योजना में उधार ली गई राशि P की गणना वार्षिकी के वर्तमान मूल्य के सूत्र का उपयोग करके की जाती है। दर r पर दो समान वार्षिक किश्तों I के लिए, सूत्र P = (I)/(1 + r/100) + (I)/((1 + r/100)²) है।

दिया गया है I = 980 और r = 4%, गुणनखंड 1 + r/100 = 1 + 4/100 = 26/25 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें P = (980)/(26/25) + (980)/((26/25)²) प्राप्त होता है। यह सरल होकर P = 980 × 25/26 + 980 × 625/676 हो जाता है।

980 × 25/26 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, हमें P = 980 × 25/26 × (1 + 25/26) = 980 × 25/26 × 51/26 प्राप्त होता है। अंश की गणना करने पर 980 × 25 × 51 = 1,249,500 प्राप्त होता है, और हर 26 × 26 = 676 है। इन्हें विभाजित करने पर P = (1,249,500)/(676) ≈ 1848.37 प्राप्त होता है। 1848.37 को निकटतम दहाई तक पूर्णांकित करने पर 1,850 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से बिंदु T पर स्पर्श करते हैं और उनकी एक प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PQ होती है (जहाँ P और Q वृत्तों पर स्पर्श बिंदु हैं), तो स्पर्श बिंदु T पर रेखाखंड PQ द्वारा अंतरित कोण हमेशा 90° होता है। इसे T से होकर जाने वाली एक उभयनिष्ठ आंतरिक स्पर्श रेखा खींचकर दिखाया जा सकता है जो PQ को एक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है। चूंकि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए MP = MT और MQ = MT। इससे M, PQ का मध्यबिंदु बन जाता है जिससे MP = MQ = MT होता है, जिसका अर्थ है कि T, PQ को व्यास मानकर खींचे गए एक अर्धवृत्त पर स्थित है। इसलिए, ∠ PTQ = 90°। Δ PTQ में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ TPQ = 42° और ∠ PTQ = 90°, तो शेष कोण ∠ PQT = 180° - (90° + 42°) = 48°।

व्याख्या

दिया गया है कि sec A = ¹⁷⁄₈, हम समकोण त्रिभुज के घटकों को कर्ण (H) = 17 और आधार (B) = 8 के रूप में पहचानते हैं। पाइथागोरियन त्रिक (8, 15, 17) का उपयोग करके, लंब (P) की गणना इस प्रकार की जाती है: P = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √(225) = 15

इन मानों से, हम आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों को निर्धारित करते हैं: sin A = (P)/(H) = ¹⁵⁄₁₇ cos A = (B)/(H) = ⁸⁄₁₇ tan A = (P)/(B) = ¹⁵⁄₈ cot A = (B)/(P) = ⁸⁄₁₅

इन अनुपातों को व्यंजक (34 sin A + 15 cot A)/(68 cos A - 16 tan A) में प्रतिस्थापित करने पर: अंश: 34 (¹⁵⁄₁₇) + 15 (⁸⁄₁₅) = 2(15) + 8 = 30 + 8 = 38 हर: 68 (⁸⁄₁₇) - 16 (¹⁵⁄₈) = 4(8) - 2(15) = 32 - 30 = 2

व्यंजक का मान ³⁸⁄₂ = 19 है।

व्याख्या

चूंकि AB वृत्त का व्यास है, इसलिए परिधि पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण समकोण होते हैं। इसलिए, ∠ ACB = 90° और ∠ ADB = 90°। △ ACB में त्रिभुज के कोण योग गुण को लागू करके, जहाँ ∠ CAB = 42° है, हम ∠ CBA = 180° - (90° + 42°) = 48° की गणना करते हैं। इसी प्रकार, △ ADB में, जहाँ ∠ ABD = 57° है, हम ∠ DAB = 180° - (90° + 57°) = 33° की गणना करते हैं।

चूंकि C और D व्यास AB के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, इसलिए ∠ CAD का माप ∠ CAB और ∠ DAB का योग है। इससे ∠ CAD = 42° + 33° = 75° प्राप्त होता है। ∠ CBD का माप ∠ CBA और ∠ ABD का योग है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ CBD = 48° + 57° = 105° प्राप्त होता है। गणनाओं से दोनों कोणों के क्रमशः माप 75° और 105° प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

इस प्रश्न में मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) का उपयोग किया गया है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) दिए गए मानों a² + b² + c² = 6.25 और गुणनफलों के योग (ab + bc + ca) = 0.52 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a + b + c)² = 6.25 + 2(0.52) (a + b + c)² = 6.25 + 1.04 = 7.29 दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: a + b + c = ± √(7.29) = ± 2.7 प्रश्न में प्रतिबंध (a + b + c) < 0 निर्दिष्ट है। इसलिए, हम धनात्मक मान को छोड़ देते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं: a + b + c = -2.7

व्याख्या

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे 156, 181 और 331 को विभाजित करने पर शेषफल 6 बचता है, हम प्रत्येक संख्या में से शेषफल घटाने के बाद प्राप्त संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि कोई संख्या x, n को विभाजित करने पर शेषफल r छोड़ती है, तो x को (n - r) का एक गुणनखंड होना चाहिए।

प्रत्येक संख्या में से शेषफल 6 घटाने पर: 156 - 6 = 150 181 - 6 = 175 331 - 6 = 325

इसके बाद, हम 150, 175 और 325 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं। अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करने पर: 150 = 2 × 3 × 5² 175 = 5² × 7 325 = 5² × 13

इन तीनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंड 5² है, जो 25 के बराबर है। इसलिए, 25, 150, 175 और 325 का महत्तम समापवर्तक है। जब इस भाजक को मूल संख्याओं 156, 181 और 331 से विभाजित किया जाता है, तो यह प्रत्येक स्थिति में 6 शेषफल छोड़ता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 48 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 240 इकाई है। A की कार्यक्षमता 240 / 48 = 5 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 240 / 60 = 4 इकाई प्रति दिन है। एक साथ कार्य करते हुए, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 4 = 9 इकाई प्रति दिन है।

12 दिनों में, A और B मिलकर 12 × 9 = 108 इकाई कार्य पूरा करते हैं। शेष कार्य 240 - 108 = 132 इकाई है। B को इस शेष कार्य का 25% पूरा करना है, जिसकी गणना 132 × 0.25 = 33 इकाई के रूप में की जाती है। B द्वारा इस भाग को पूरा करने में लिया गया समय 33 / 4 = 8.25 दिन है। दशमलव भाग को घंटों में बदलने के लिए, 0.25 × 24 = 6 घंटे। इसके परिणामस्वरूप कुल समय 8 दिन 6 घंटे होता है।

व्याख्या

छिन्नक के आकार की बाल्टी में पानी का आयतन बेलनाकार ड्रम में स्थानांतरित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि दोनों आयतन बराबर हैं। छिन्नक का आयतन सूत्र V_f = ⅓ π h (R² + r² + Rr) द्वारा दिया जाता है, जहाँ h = 35 सेमी, R = 18 सेमी, और r = 12 सेमी है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

V_f = ⅓ π × 35 × (18² + 12² + 18 × 12) V_f = (35π)/(3) × (324 + 144 + 216) V_f = (35π)/(3) × 684 = 35π × 228

बेलनाकार ड्रम में पानी का आयतन V_c = π R_d² h_d है, जहाँ R_d = 20 सेमी और h_d पानी की ऊँचाई है। V_c = V_f रखने पर:

π × 20² × h_d = 35π × 228 400 × h_d = 35 × 228 h_d = (35 × 228)/(400) h_d = (7 × 228)/(80) h_d = (7 × 57)/(20) = ³⁹⁹⁄₂₀ h_d = 19.95 सेमी

व्याख्या

दिया गया द्विघात समीकरण tan² A + 2 tan A - 63 = 0 है। माना tan A = x। समीकरण x² + 2x - 63 = 0 हो जाता है। द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x² + 9x - 7x - 63 = 0 (x + 9)(x - 7) = 0

इस प्रकार, tan A = 7 या tan A = -9। चूंकि यह दिया गया है कि 0 < A < (π)/(2), कोण A प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में स्थित है जहाँ सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होते हैं। इसलिए, tan A = 7।

एक समकोण त्रिभुज में, यदि हम लंब p = 7 और आधार b = 1 लेते हैं, तो tan A = p/b = 7/1 = 7। कर्ण h की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है:

h = √(p² + b²) = √(7² + 1²) = √(49 + 1) = √(50)

sine और cosine की परिभाषाओं का उपयोग करने पर: sin A = ᵖ⁄ₕ = (7)/(√(50)) cos A = ᵇ⁄ₕ = (1)/(√(50))

इन मानों को अभीष्ट व्यंजक में रखने पर: 2 sin A + 5 cos A = 2((7)/(√(50))) + 5((1)/(√(50))) = (14)/(√(50)) + (5)/(√(50)) = (19)/(√(50))

व्याख्या

किसी संख्या के 56 से विभाज्य होने के लिए, उसे 7 और 8 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि ये 56 के सह-अभाज्य गुणनखंड हैं।

कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों। संख्या x8942y4 के लिए, अंतिम तीन अंक 2y4 हैं। अंक y के संभावित मानों का परीक्षण करने पर: यदि y = 2, तो 224 / 8 = 28. यदि y = 6, तो 264 / 8 = 33. 0 से 9 तक y के अन्य सभी मानों के लिए, 2y4, 8 से विभाज्य नहीं है। प्रश्न में y के सबसे बड़े मान को निर्दिष्ट किया गया है, इसलिए हम y = 6 लेते हैं।

अब, संख्या x894264 के 7 से विभाज्य होने के लिए, हम 7 के विभाज्यता नियम को लागू करते हैं। एक विधि दाएं से बाएं तीन अंकों के ब्लॉकों के वैकल्पिक योग की जांच करना है: 264 - 894 + x = x - 630। संख्या को 7 से विभाज्य होने के लिए, यह परिणाम 7 का गुणज होना चाहिए। चूंकि 630, 7 से पूर्णतः विभाज्य है (7 × 90 = 630), इसलिए x का मान भी 7 का गुणज होना चाहिए। चूंकि x एक 7-अंकीय प्राकृतिक संख्या का पहला अंक है, इसलिए x का एकमात्र संभावित मान 7 है।

x = 7 और y = 6 के साथ, हम आवश्यक मान की गणना करते हैं: x² + y = 7² + 6 = 49 + 6 = 55

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का पालन करते हैं। दोनों खंडों की अलग-अलग गणना करके और फिर उनका गुणनफल ज्ञात करके व्यंजक का मान निकाला जा सकता है:

खंड 1: ³⁄₂ + ⁵⁄₃ ÷ ⅓ × ⁵⁄₄ - ⁵⁄₂ पहले, भाग करें: ⁵⁄₃ ÷ ⅓ = ⁵⁄₃ × 3 = 5। इसके बाद, गुणा करें: 5 × ⁵⁄₄ = ²⁵⁄₄। फिर, जोड़ और घटाव करें: ³⁄₂ + ²⁵⁄₄ - ⁵⁄₂ = ⁶⁄₄ + ²⁵⁄₄ - ¹⁰⁄₄ = ²¹⁄₄।

खंड 2: ½ × ⅓ - ⁶⁄₂ पहले, गुणा करें: ½ × ⅓ = ⅙। फिर, घटाव करें: ⅙ - 3 = (1 - 18)/(6) = -¹⁷⁄₆।

अंतिम गणना: यह मानते हुए कि दोनों खंडों का गुणा किया गया है (जैसा कि मानक है जब व्यंजक एक-दूसरे के बगल में रखे जाते हैं): ²¹⁄₄ × (-¹⁷⁄₆) = ⁷⁄₄ × (-¹⁷⁄₂) = -¹¹⁹⁄₈

दिए गए विकल्पों को देखते हुए, मान -¹¹⁹⁄₈ (जो कि -14.875 है) अभीष्ट परिणाम है, जिसे अक्सर इस तरह के परीक्षा प्रारूपों में मुद्रण (typographical) विविधताओं के साथ दर्शाया जाता है।

व्याख्या

व्यंजक 16cos³(π)/(6) - 12cos (π)/(6) में से 4 को बाहर निकालकर 4(4cos³(π)/(6) - 3cos (π)/(6)) के रूप में सरल किया जा सकता है। त्रि-कोण सर्वसमिका (triple angle identity) cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ का उपयोग करने पर, जहाँ θ = (π)/(6) है, यह व्यंजक 4cos(3 × (π)/(6)) हो जाता है। यह सरल होकर 4cos (π)/(2) हो जाता है। चूंकि cos (π)/(2) = 0 है, इसलिए व्यंजक का मान 4 × 0 = 0 है।

वैकल्पिक रूप से, व्यंजक में मानक मान cos (π)/(6) = √3{2} प्रतिस्थापित करने पर 16(√3{2})³ - 12(√3{2}) प्राप्त होता है। इसकी गणना करने पर 16(3√3{8}) - 6√3 = 6√3 - 6√3 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कंपनी B द्वारा बेची गई साइकिलों की संख्या 90 है और कंपनी D द्वारा बेची गई साइकिलों की संख्या 165 है। B द्वारा बेची गई साइकिलों का D द्वारा बेची गई साइकिलों से अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है:

अनुपात = (B)/(D)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = ⁹⁰⁄₁₆₅

भिन्न को सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करें, जो कि 15 है:

90 ÷ 15 = 6 165 ÷ 15 = 11

सरलीकृत अनुपात 6:11 है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या r व्यास की आधी होती है, इसलिए r = 58/2 = 29 सेमी। वृत्त के केंद्र से L लंबाई की जीवा की लंबवत दूरी h की गणना सूत्र h = √(r² - (L/2)²) का उपयोग करके की जाती है।

42 सेमी लंबी जीवा के लिए, केंद्र से दूरी h₁ = √(29² - (42/2)²) = √(29² - 21²) है। सर्वसमिका a² - b² = (a-b)(a+b) का उपयोग करने पर, हमें h₁ = √((29-21)(29+21)) = √(8 × 50) = √(400) = 20 सेमी प्राप्त होता है।

40 सेमी लंबी जीवा के लिए, केंद्र से दूरी h₂ = √(29² - (40/2)²) = √(29² - 20²) = √((29-20)(29+20)) = √(9 × 49) = √(441) = 21 सेमी है।

दो समानांतर जीवाओं के बीच न्यूनतम दूरी तब होती है जब दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर स्थित हों। इस स्थिति में, उनके बीच की दूरी केंद्र से उनकी दूरियों का अंतर होती है, जो कि |h₂ - h₁| = 21 - 20 = 1 सेमी है।

व्याख्या

श्रमिक समूहों की कार्यक्षमता और लिए गए समय के बीच का संबंध सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ द्वारा नियंत्रित होता है, जहाँ M समूह की कार्यक्षमता है और D दिनों की संख्या है। पहले समूह (6 पुरुष और 8 महिलाएं) की तुलना लक्षित समूह (15 पुरुष और 20 महिलाएं) से करने पर, लक्षित समूह एक प्रत्यक्ष अदिश गुणज (scalar multiple) है: 15 पुरुष + 20 महिलाएं = 2.5 × (6 पुरुष + 8 महिलाएं)

इसे कार्य-समतुल्यता समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (6M + 8W) × 10 = 2.5(6M + 8W) × D₂ 10 = 2.5 × D₂ D₂ = 4

दी गई स्थितियों से पुरुष-से-महिला कार्यक्षमता अनुपात की गणना करके इस परिणाम को सत्यापित किया जा सकता है: 10(6M + 8W) = 2(26M + 48W) 60M + 80W = 52M + 96W 8M = 16W ⟹ 1M = 2W

महिला इकाइयों के संदर्भ में कुल कार्य 10(6(2W) + 8W) = 200W है। लक्षित समूह की सामूहिक कार्यक्षमता 15(2W) + 20W = 50W है। लिया गया समय (200W)/(50W) = 4 दिन के रूप में परिकलित किया जाता है।

व्याख्या

व्यंजक 70³ + 20³ - 90³ उस बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) का अनुसरण करता है जहाँ यदि a + b + c = 0 हो, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।

a = 70, b = 20, और c = -90 मानकर, हम पदों के योग की जाँच करते हैं:

a + b + c = 70 + 20 + (-90) = 90 - 90 = 0

चूंकि शर्त a + b + c = 0 संतुष्ट होती है, इसलिए व्यंजक के मान की गणना इस प्रकार की जाती है:

3abc = 3 × 70 × 20 × (-90) = 3 × (70 × 20) × (-90) = 3 × 1400 × (-90) = 4200 × (-90) = -378000

व्याख्या

4 वर्षों की अवधि में अर्जित ब्याज, 10 वर्षों और 6 वर्षों के मिश्रधनों के बीच का अंतर है। 4 वर्षों का ब्याज = ₹72,000 - ₹59,200 = ₹12,800। इसलिए, एक वर्ष का साधारण ब्याज = ₹12,800 / 4 = ₹3,200 है।

6 वर्षों का ब्याज = 6 × ₹3,200 = ₹19,200 है। इसे 6 वर्षों के बाद के मिश्रधन में से घटाने पर मूलधन P प्राप्त होता है = ₹59,200 - ₹19,200 = ₹40,000। ब्याज की मूल दर R की गणना सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके की जा सकती है। एक वर्ष के लिए मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 3,200 = (40,000 × R × 1) / 100, जिसे सरल करने पर R = 8% प्राप्त होता है।

यदि ब्याज की दर में 2% की वृद्धि की जाती है, तो नई दर R' = 8% + 2% = 10% हो जाती है। धनराशि को ₹76,000 होने के लिए आवश्यक समय T ज्ञात करने के लिए, हम पहले आवश्यक कुल ब्याज निर्धारित करते हैं: SI' = ₹76,000 - ₹40,000 = ₹36,000। साधारण ब्याज के सूत्र का पुनः उपयोग करने पर, 36,000 = (40,000 × 10 × T) / 100, जिसे सरल करने पर 36,000 = 4,000 × T प्राप्त होता है। T के लिए हल करने पर, T = 36,000 / 4,000 = 9 वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना समकोण त्रिभुज की दो लंबवत भुजाओं की लंबाई a और b है, और कर्ण c है। प्रश्न के अनुसार, a - b = 17 और क्षेत्रफल ½ ab = 84 है। इससे प्राप्त होता है कि ab = 168।

गुणनफल समीकरण में a = b + 17 प्रतिस्थापित करने पर (b + 17)b = 168 प्राप्त होता है, जो द्विघात समीकरण b² + 17b - 168 = 0 में सरल हो जाता है। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें (b + 24)(b - 7) = 0 प्राप्त होता है। चूंकि लंबाई धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए b = 7 सेमी और a = 24 सेमी।

परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण की गणना करते हैं: c = √(a² + b²) = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √(625) = 25 सेमी।

त्रिभुज की भुजाएँ मानक पाइथागोरस त्रिक (7, 24, 25) बनाती हैं, जो अंतर की शर्त 24 - 7 = 17 और क्षेत्रफल की शर्त ½ × 7 × 24 = 84 दोनों को संतुष्ट करती हैं। परिमाप तीनों भुजाओं का योग है: परिमाप = a + b + c = 24 + 7 + 25 = 56 सेमी।

व्याख्या

दोनों भागों को अंश और हर के रूप में मानकर व्यंजक का मूल्यांकन किया जाता है। BODMAS नियम का पालन करते हुए, अंश को निम्नानुसार सरल किया गया है:

अंश: 5 - 35 ÷ 5 × 15 + 5 सबसे पहले, भाग करें: 35 ÷ 5 = 7 इसके बाद, गुणा करें: 7 × 15 = 105 फिर, जोड़ और घटाव करें: 5 - 105 + 5 = -95

हर: 12 - 2 घटाव करें: 12 - 2 = 10

अंतिम मान अंश को हर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: -95 ÷ 10 = -9.5

व्याख्या

n क्रमागत संख्याओं की एक श्रृंखला के लिए जहाँ n विषम है, समांतर माध्य श्रृंखला के मध्य पद के बराबर होता है। n = 9 क्रमागत संख्याओं के साथ, मध्य पद ⁹⁺¹⁄₂ = 5वाँ पद है। दिया गया है कि औसत 20 है, इसलिए 5वाँ पद 20 है। चूंकि संख्याएं क्रमागत हैं, इसलिए सबसे छोटी संख्या (पहला पद) 5वें पद से 4 घटाकर प्राप्त की जाती है।

सबसे छोटी संख्या = औसत - ⁿ⁻¹⁄₂ सबसे छोटी संख्या = 20 - ⁹⁻¹⁄₂ सबसे छोटी संख्या = 20 - 4 = 16

व्याख्या

मासिक व्यय में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सूत्र 'खपत = कुल दूरी / माइलेज' का उपयोग करके प्रति माह खपत होने वाले पेट्रोल की कुल मात्रा की गणना करें। 3045 किमी की दूरी और 15 किमी प्रति लीटर के माइलेज को देखते हुए, मासिक खपत 3045 / 15 = 203 लीटर है।

प्रति लीटर कीमत में वृद्धि की गणना 82 रुपये की मूल कीमत के 5% के रूप में की जाती है। इसके परिणामस्वरूप प्रति लीटर 82 × 0.05 = 4.1 रुपये की वृद्धि होती है। मासिक व्यय में कुल वृद्धि, कुल मासिक खपत और प्रति लीटर कीमत में हुई वृद्धि का गुणनफल है, जो कि 203 × 4.1 = 832.3 है। निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर यह 832 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रारंभिक हानि के बाद वांछित लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य (SP) की गणना निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

SPₙₑ_w = SPₒₗ_d × (100 + लाभ%)/(100 - हानि%)

इस मामले में, प्रारंभिक विक्रय मूल्य 425 है, हानि प्रतिशत 15% है, और लक्षित लाभ प्रतिशत 5% है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

SPₙₑ_w = 425 × (100 + 5)/(100 - 15)

SPₙₑ_w = 425 × ¹⁰⁵⁄₈₅

425 को 85 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है। इसलिए:

SPₙₑ_w = 5 × 105 = 525

वैकल्पिक रूप से, पहले क्रय मूल्य (CP) ज्ञात किया जा सकता है। चूंकि 15% हानि का अर्थ है कि विक्रय मूल्य, CP का 85% है:

CP = (425)/(0.85) = 500

5% लाभ अर्जित करने के लिए, वस्तु को CP के 105% पर बेचा जाना चाहिए:

SPₙₑ_w = 500 × 1.05 = 525

व्याख्या

म्यूचुअल फंड कंपनी के लिए प्रदान की गई अभिदान तालिका के अनुसार, दिसंबर महीने में योजना X के लिए अभिदान राशि 40 थी। फरवरी महीने में, उसी योजना X के लिए अभिदान 30 था। इन दोनों महीनों के बीच योजना X के अभिदान में अंतर ज्ञात करने के लिए, हम दोनों मानों के बीच के अंतर की गणना करते हैं:

अंतर = 40 - 30 = 10

विकल्पों में दी गई इकाइयों के आधार पर, यह संख्यात्मक अंतर 10 करोड़ के बराबर है।

व्याख्या

एक साथ काम करने वाले व्यक्तियों के लिए मजदूरी का हिस्सा उनकी कार्यक्षमताओं के अनुपात में वितरित किया जाता है। कार्यक्षमता, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

माना A, B और C द्वारा लिया गया समय क्रमशः 8, 10 और 12 दिन है, तो उनकी कार्यक्षमता का अनुपात है: A : B : C = ⅛ : ⅒ : ¹⁄₁₂

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, 8, 10 और 12 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 120 है: A = ¹²⁰⁄₈ = 15 B = ¹²⁰⁄₁₀ = 12 C = ¹²⁰⁄₁₂ = 10

उनके हिस्सों का अनुपात 15 : 12 : 10 है। कुल भागों की संख्या 15 + 12 + 10 = 37 है।

B के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: B = ¹²⁄₃₇ × 5550 B = 12 × 150 B = 1800

व्याख्या

एक गोले के आयतन की गणना सूत्र Vₛ = ⁴⁄₃ π R³ का उपयोग करके की जाती है और एक शंकु के आयतन की गणना V_c = ⅓ π r² h का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि गोले और शंकु दोनों की त्रिज्या R = r = 7 सेमी है, और शंकु की ऊंचाई h = 10 सेमी है, उनके आयतनों में अंतर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

अंतर = ⁴⁄₃ π R³ - ⅓ π R² h = ⅓ π R² (4R - h)

समीकरण में दिए गए मानों R = 7, h = 10, और π = ²²⁄₇ को प्रतिस्थापित करने पर:

अंतर = ⅓ × ²²⁄₇ × 7² × (4 × 7 - 10) अंतर = ⅓ × 22 × 7 × (28 - 10) अंतर = ¹⁵⁴⁄₃ × 18 अंतर = 154 × 6 = 924

आयतनों में अंतर ठीक 924 सेमी³ है।

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार, AD और DC का अनुपात, AB और BC के अनुपात के बराबर होता है, जो कि 12:18 या 2:3 है। चूंकि AC की कुल लंबाई 15 सेमी है, इसलिए AD की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: (2 / (2 + 3)) * 15 = 6 सेमी।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप (a³ + b³)/(a² - ab + b²) का अनुसरण करता है, जहाँ a = 428 और b = 348 है। दो घनों के योग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) होता है।

जब हम इस सर्वसमिका को भिन्न के अंश में प्रतिस्थापित करते हैं, तो पद (a² - ab + b²) अंश और हर दोनों में दिखाई देता है, जिससे वे एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं:

((a + b)(a² - ab + b²))/((a² - ab + b²)) = a + b

सरलीकृत व्यंजक में संख्यात्मक मानों को वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

428 + 348 = 776

व्याख्या

पहली रेलगाड़ी की चाल सूत्र चाल = (दूरी)/(समय) द्वारा निर्धारित की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, पहली रेलगाड़ी की चाल (250 किमी)/(5 घंटे) = 50 किमी/घंटा है।

दोनों रेलगाड़ियों की चाल का अनुपात 2:7 है। इस अनुपात में, पहली रेलगाड़ी की चाल 2 भागों के संगत है। इसलिए, 2 इकाई = 50 किमी/घंटा, जिसका अर्थ है 1 इकाई = 25 किमी/घंटा।

चाल का योग ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात के घटकों को जोड़ते हैं: 2 + 7 = 9 इकाई। कुल इकाइयों को प्रति इकाई मान से गुणा करने पर, हमें 9 × 25 किमी/घंटा = 225 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

इन पदों से संबंधित बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) है। सबसे पहले, (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) प्रसार का उपयोग करके x² + y² + z² का मान ज्ञात किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 11² = x² + y² + z² + 2(-6), जिससे 121 = x² + y² + z² - 12 प्राप्त होता है। इसे हल करने पर, x² + y² + z² = 133 प्राप्त होता है।

अब, ज्ञात मानों को त्रिघात सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: 1604 - 3xyz = 11[133 - (-6)]। यह सरल होकर 1604 - 3xyz = 11(139) हो जाता है। 11 को 139 से गुणा करने पर 1529 प्राप्त होता है। इस प्रकार, समीकरण 1604 - 3xyz = 1529 बन जाता है। गुणनफल पद को हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर 3xyz = 1604 - 1529 = 75 प्राप्त होता है। 3 से भाग देने पर xyz = 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि खंभे की ऊंचाई h = 24 मीटर है और मीनार की ऊंचाई H है। मान लीजिए कि समतल भूमि पर खंभे और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी d है। खंभे के शीर्ष से, मीनार के आधार का अवनमन कोण 30° है, जिससे संबंध tan 30° = (h)/(d) प्राप्त होता है। खंभे की ज्ञात ऊंचाई का मान रखने पर, हमें (1)/(√(3)) = (24)/(d) प्राप्त होता है, जिससे d = 24√3 मीटर मिलता है।

मीनार की कुल ऊंचाई H को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: खंभे की ऊंचाई के बराबर का भाग (24 मीटर) और खंभे के शीर्ष के स्तर से ऊपर की अतिरिक्त ऊंचाई h'। ऊपरी भाग के लिए, उन्नयन कोण 60° है, जिससे tan 60° = (h')/(d) प्राप्त होता है। d का मान रखने पर, हमें √3 = (h')/(24√(3)) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर h' = 24 × 3 = 72 मीटर मिलता है। मीनार की कुल ऊंचाई इन दोनों भागों का योग है: H = 24 + 72 = 96 मीटर।

व्याख्या

यदि कोई संख्या 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होनी चाहिए। चूंकि 3, 7 और 11 अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए उनका LCM 3 × 7 × 11 = 231 है।

P और Q के मान ज्ञात करने के लिए, हम 750 से शुरू होने वाली सबसे छोटी संभावित 5-अंकीय संख्या, जो कि 75000 है, को 231 से विभाजित करते हैं।

75000 = 231 × 324 + 156

750 से शुरू होने वाले 231 के अगले गुणज को ज्ञात करने के लिए, हम भाजक और शेषफल के बीच के अंतर को 75000 में जोड़ते हैं: 75000 + (231 - 156) = 75000 + 75 = 75075

75075 की तुलना दिए गए रूप 750PQ से करने पर, हम पाते हैं कि P = 7 और Q = 5 है। इसके बाद का कोई भी गुणज, जैसे कि 75075 + 231 = 75306, तीसरे अंक को 0 से बदलकर 3 कर देगा, जिससे यह 750PQ के प्रारूप से मेल नहीं खाएगा।

P = 7 और Q = 5 मानों का उपयोग करने पर, अभीष्ट मान है: P + 2Q = 7 + 2(5) = 7 + 10 = 17

व्याख्या

माना V डाले गए मतों की कुल संख्या को दर्शाता है। प्रश्न के अनुसार, राजू को V का 30% और रवि को V का 32% प्राप्त हुआ। इसके अतिरिक्त, कुल मतों का 5% अवैध था। अशोक का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, हम कुल 100% में से राजू, रवि और अवैध मतों के प्रतिशत को घटाते हैं: अशोक के मत = 100% - (30% + 32% + 5%) = 100% - 67% = V का 33%।

तीनों उम्मीदवारों के हिस्सों की तुलना करने पर, अशोक कुल मतों के 33% के साथ विजेता है, और राजू को 30% के साथ सबसे कम मत प्राप्त हुए हैं। विजेता और सबसे कम मत प्राप्त करने वाले व्यक्ति के बीच का अंतर 5136 दिया गया है। हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: V का 33% - V का 30% = 5136 V का 3% = 5136 0.03V = 5136

डाले गए मतों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम V का मान ज्ञात करते हैं: V = (5136)/(0.03) V = ⁵¹³⁶⁰⁰⁄₃ V = 171200

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP) और लाभ प्रतिशत (P) के बीच का संबंध सूत्र SP = CP × (100 + P)/(100) द्वारा दिया गया है। क्रय मूल्य की अलग से गणना किए बिना एक अलग लाभ मार्जिन के लिए नया विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम दोनों विक्रय मूल्यों के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं:

SPₙₑ_w = SPₒₗ_d × (100 + Pₙₑ_w) / (100 + Pₒₗ_d)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ SPₒₗ_d = 60,000, Pₒₗ_d = 20%, और Pₙₑ_w = 30%:

SPₙₑ_w = 60,000 × (100 + 30)/(100 + 20) SPₙₑ_w = 60,000 × ¹³⁰⁄₁₂₀ SPₙₑ_w = 60,000 × ¹³⁄₁₂

60,000 को 12 से विभाजित करने पर 5,000 प्राप्त होता है। इसे 13 से गुणा करने पर:

SPₙₑ_w = 5,000 × 13 = 65,000

वैकल्पिक रूप से, पहले क्रय मूल्य की गणना करने पर: CP = (60,000 × 100)/(120) = 50,000 30% लाभ के लिए नया विक्रय मूल्य है: SPₙₑ_w = 50,000 × ¹³⁰⁄₁₀₀ = 65,000

व्याख्या

p³ + q³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका p³ + q³ = (p + q)³ - 3pq(p + q) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इस व्यंजक में दिए गए मानों p + q = 6 और pq = 4 को प्रतिस्थापित करने पर:

p³ + q³ = (6)³ - 3(4)(6)

घातों और गुणनफलों का मान निकालने पर, 6³ = 216 और 3 × 4 × 6 = 72 प्राप्त होता है। इन मानों को वापस समीकरण में रखने पर:

p³ + q³ = 216 - 72 = 144

यह सर्वसमिका (p + q)³ = p³ + q³ + 3pq(p + q) के विस्तार से प्राप्त होती है। घनों के योग को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से चरों के ज्ञात योग और गुणनफल का उपयोग करके सीधे गणना की जा सकती है।

व्याख्या

दोनों संख्याओं की गणना उनके अनुपातों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) से गुणा करके की जा सकती है, जिससे 5 × 4 = 20 और 4 × 4 = 16 प्राप्त होता है। 20 और 16 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 80 है। वैकल्पिक रूप से, लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = महत्तम समापवर्तक (HCF) × सरलतम रूप में अनुपातों का गुणनफल, जो कि 4 × 5 × 4 = 80 है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कोण A के कोसाइन (cos) को आधार (b) और कर्ण (h) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि cos A = ⁹⁄₄₁, इसलिए हम b = 9 और h = 41 मान लेते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंब (p) की गणना p = √(h²⁾⁻ᵇ^^^² के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, p = √(41²⁾⁻⁹^^^² = √(1681 - 81) = √(1600) = 40 प्राप्त होता है। कोण A के कोटिस्पर्शज्या (cot) को आधार और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, यानी cot A = ᵇ⁄ₚ। इसलिए, cot A = ⁹⁄₄₀।

व्याख्या

किसी भी चतुर्भुज ABCD में, दो आसन्न कोणों के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से बना कोण शेष दो कोणों के योग के आधे के बराबर होता है। इस गुण को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: ∠ CED = (∠ A + ∠ B)/(2)

यह संबंध इसलिए होता है क्योंकि चतुर्भुज ABCD के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है, जिसका अर्थ है ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360°। त्रिभुज CED में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ CED + ½∠ C + ½∠ D = 180°। त्रिभुज के समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2∠ CED + ∠ C + ∠ D = 360° प्राप्त होता है। 360° के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर ∠ A + ∠ B = 2∠ CED प्राप्त होता है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 57° = (47° + ∠ B)/(2) 114° = 47° + ∠ B ∠ B = 114° - 47° = 67°

व्याख्या

इस व्यंजक का मान VBODMAS नियम का उपयोग करके निकाला जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्दिष्ट करता है।

सबसे पहले, वर्गाकार कोष्ठक के अंदर की संक्रियाओं को हल करें। आंतरिक कोष्ठक के पदों का मान निकालने पर 12 - 9 = 3 और 3 - 8 = -5 प्राप्त होता है। इसके बाद, कोष्ठक के अंदर 'का' (of) संक्रिया को प्राथमिकता दी जाती है, जिससे 3 का 5 = 15 प्राप्त होता है। इसके बाद वर्गाकार कोष्ठक के अंदर का व्यंजक 18 ÷ 6 × 15 - (-5) हो जाता है। संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, हम पहले भाग 18 ÷ 6 = 3 करते हैं, फिर गुणा 3 × 15 = 45 करते हैं, और अंत में घटाव 45 - (-5) = 45 + 5 = 50 करते हैं।

इसके बाद, वर्गाकार कोष्ठक के बाहर 'का' (of) संक्रिया का मान ज्ञात करते हैं, जो कि 5 का 2 = 10 है। संपूर्ण व्यंजक सरल होकर 40 ÷ 10 × 50 ÷ 25 हो जाता है। भाग और गुणा के लिए बाएं से दाएं संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, हम पहले 40 ÷ 10 = 4 की गणना करते हैं। फिर, हम इस परिणाम को वर्गाकार कोष्ठक के मान से गुणा करते हैं जिससे हमें 4 × 50 = 200 प्राप्त होता है। अंत में, 200 को 25 से भाग देने पर परिणाम 8 प्राप्त होता है।