एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया द्विघात समीकरण x² - 3x + 1 = 0 है, जहाँ x ≠ 0 है। x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पद को x से विभाजित करें:

(x²)/(x) - ³ˣ⁄ₓ + ¹⁄ₓ = ⁰⁄ₓ

यह सरल होकर निम्न रूप में आता है:

x - 3 + ¹⁄ₓ = 0

अचर पद -3 को समीकरण के दाईं ओर पक्षांतरित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x + ¹⁄ₓ = 3

व्याख्या

एक त्रिभुज में मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उस तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है। चूंकि X और Y, △ ABC में भुजाओं AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए XY की लंबाई BC की आधी है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: XY = ½ BC या BC = 2XY

हमें समीकरण दिया गया है: BC + XY = 12

समीकरण में BC = 2XY प्रतिस्थापित करने पर: 2XY + XY = 12 3XY = 12 XY = 4 इकाई

BC का मान ज्ञात करने के लिए इस मान का उपयोग करने पर: BC = 2 × 4 = 8 इकाई

प्रश्न में BC - XY का मान पूछा गया है: BC - XY = 8 - 4 = 4 इकाई

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, परिमाप P को इसकी तीनों भुजाओं के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि इनमें से दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, मान लीजिए कि प्रत्येक बराबर भुजा को s द्वारा और आधार को b द्वारा दर्शाया गया है। परिमाप का सूत्र P = 2s + b है।

दिए गए मान P = 4x - 2y + 6z और b = 2x - 2y + 4z हैं। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 4x - 2y + 6z = 2s + (2x - 2y + 4z)

2s को अलग करने के लिए, हम परिमाप में से आधार को घटाते हैं: 2s = (4x - 2y + 6z) - (2x - 2y + 4z) 2s = 4x - 2x - 2y + 2y + 6z - 4z 2s = 2x + 2z

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हम प्रत्येक बराबर भुजा की लंबाई निर्धारित करते हैं: s = (2x + 2z)/(2) s = x + z

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ = 1 - cos²θ का उपयोग करके समीकरण (cos²θ - 3cosθ + 2)/(sin²θ) = 1 को हल किया जाता है।

इस सर्वसमिका को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: cos²θ - 3cosθ + 2 = 1 - cos²θ

समीकरण के सभी पदों को एक तरफ करने पर, हमें cosθ के पद में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0

रैखिक पद को विभाजित करके इस द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर प्राप्त होता है: (2cosθ - 1)(cosθ - 1) = 0

इससे दो संभावित समाधान प्राप्त होते हैं: cosθ = 1/2 या cosθ = 1। प्रश्न में निर्दिष्ट है कि θ एक न्यून कोण है और θ > 0 है। शर्त θ > 0, cosθ = 1 को अपवर्जित करती है क्योंकि यह θ = 0° के संगत है। शेष मान cosθ = 1/2 के लिए, संगत न्यून कोण 60° है।

व्याख्या

प्रति व्यक्ति औसत शुल्क की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ उपस्थिति का अनुपात संबंधित दैनिक शुल्कों के लिए भार (weights) के रूप में कार्य करता है।

माना पहले, दूसरे और तीसरे दिन दर्शकों की संख्या क्रमशः 2x, 5x और 13x है।

कुल उपस्थिति = 2x + 5x + 13x = 20x

कुल संग्रह = (15 × 2x) + (7.50 × 5x) + (2.50 × 13x) कुल संग्रह = 30x + 37.50x + 32.50x = 100x

प्रति व्यक्ति औसत शुल्क = (कुल संग्रह)/(कुल उपस्थिति) = ¹⁰⁰ˣ⁄₂₀ₓ = 5

सीधे भारित औसत लागू करने पर: औसत = ((2 × 15) + (5 × 7.50) + (13 × 2.50))/(2 + 5 + 13) = (30 + 37.5 + 32.5)/(20) = ¹⁰⁰⁄₂₀ = 5

व्याख्या

दिया गया समीकरण ²⁺ᵃ⁄ₐ + (2+b)/(b) + (2+c)/(c) = 4 है। इसे अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करके सरल किया जा सकता है:

(²⁄ₐ + ᵃ⁄ₐ) + ((2)/(b) + (b)/(b)) + ((2)/(c) + (c)/(c)) = 4 (²⁄ₐ + 1) + ((2)/(b) + 1) + ((2)/(c) + 1) = 4 ²⁄ₐ + (2)/(b) + (2)/(c) + 3 = 4

दोनों पक्षों से 3 घटाने पर प्राप्त होता है: ²⁄ₐ + (2)/(b) + (2)/(c) = 1 2(¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c)) = 1 ¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c) = ½

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (ab+bc+ca)/(abc) है। अंश के प्रत्येक पद को हर abc से विभाजित करने पर: (ab)/(abc) + (bc)/(abc) + (ca)/(abc) = (1)/(c) + ¹⁄ₐ + (1)/(b)

चूंकि हम पहले ही निर्धारित कर चुके हैं कि ¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c) = ½ है, इसलिए वांछित व्यंजक का मान ½ है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण ¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z) = 1 को उभयनिष्ठ हर (common denominator) xyz लेकर सरल किया जा सकता है, जिससे (xy + yz + zx)/(xyz) = 1 प्राप्त होता है। इस व्यंजक में xyz = -1 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें xy + yz + zx = -1 प्राप्त होता है।

x³ + y³ + z³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) का उपयोग करते हैं। x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2(xy + yz + zx) प्रतिस्थापित करने पर, यह सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)((x + y + z)² - 3(xy + yz + zx)) बन जाती है।

अब, सर्वसमिका में ज्ञात मानों x + y + z = 1, xy + yz + zx = -1, और xyz = -1 को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ + z³ - 3(-1) = 1 · (1² - 3(-1)) x³ + y³ + z³ + 3 = 1 · (1 + 3) x³ + y³ + z³ + 3 = 4 x³ + y³ + z³ = 4 - 3 = 1

व्याख्या

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (जिसे थेल्स प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। Δ PQR में, चूंकि रेखा LM, QR के समांतर है, इसलिए भुजा PQ और PR पर बने खंड समानुपाती हैं।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: (PL)/(LQ) = (PM)/(MR)

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: 2/6 = (1.5)/(MR)

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर: 1/3 = (1.5)/(MR)

MR के लिए हल करने पर: MR = 1.5 × 3 = 4.5 सेमी

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए कि OM, केंद्र O से जीवा AB की लंबवत दूरी है। इस ज्यामिति में, M, AB का मध्यबिंदु है, इसलिए AM = (AB)/(2) = ⁸⁄₂ = 4 सेमी।

केंद्र O को बिंदु A से जोड़ने पर, हमें एक समकोण त्रिभुज OMA प्राप्त होता है, जहाँ त्रिज्या OA = 5 सेमी कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: OA² = OM² + AM²। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5² = OM² + 4² प्राप्त होता है, जिससे 25 = OM² + 16 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 16 घटाने पर OM² = 9 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें OM = 3 सेमी प्राप्त होता है। यह मान केंद्र O से जीवा AB की लंबवत दूरी को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि h जमीन से उस बिंदु तक पेड़ की ऊंचाई को दर्शाता है जहां से वह टूटा है, और L टूटे हुए हिस्से की लंबाई को दर्शाता है जो अब झुका हुआ है और जमीन को छू रहा है। ये खंड, पेड़ के आधार से उस बिंदु तक की दूरी के साथ जहां उसका शीर्ष जमीन को छूता है, एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

इस त्रिभुज में, पेड़ के आधार से दूरी आधार (b = 10 मीटर) है, पेड़ का ऊर्ध्वाधर भाग लंब (h) है, और टूटा हुआ भाग कर्ण (L) है। कर्ण और आधार के बीच का कोण 60° दिया गया है।

ऊर्ध्वाधर ऊंचाई ज्ञात करने के लिए tan अनुपात का उपयोग करने पर: tan(60°) = h/10 √3 = h/10 h = 10√3 मीटर

टूटे हुए भाग की लंबाई ज्ञात करने के लिए cos अनुपात का उपयोग करने पर: cos(60°) = (10)/(L) ½ = (10)/(L) L = 20 मीटर

पेड़ की मूल ऊंचाई ऊर्ध्वाधर भाग और टूटे हुए भाग का योग है: मूल ऊंचाई = h + L मूल ऊंचाई = 10√3 + 20 मूल ऊंचाई = 10(2 + √3) मीटर

व्याख्या

दो वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना प्रभावी ब्याज दर के सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके कुशलतापूर्वक की जा सकती है, जहाँ x और y क्रमशः पहले और दूसरे वर्ष की दरें हैं। 5% की वार्षिक दर के लिए, दो वर्षों में प्रभावी ब्याज दर 5 + 5 + (5 × 5)/(100) = 10.25% है।

इस प्रभावी दर को 25000 रुपये के मूलधन पर लागू करने पर: CI = 25000 × (10.25)/(100) CI = 250 × 10.25 CI = 2562.5

वैकल्पिक रूप से, मानक सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का उपयोग करके, मिश्रधन A = 25000(1 + ⁵⁄₁₀₀)² = 25000 × (1.05)² = 25000 × 1.1025 = 27562.5। चक्रवृद्धि ब्याज, मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: 27562.5 - 25000 = 2562.5।

व्याख्या

व्यंजक cot 17° (cot 73° cos² 22° + (1)/(cot 17° sec² 68°)) है। कोष्ठक के भीतर cot 17° का वितरण करने पर cot 17° cot 73° cos² 22° + (cot 17°)/(cot 17° sec² 68°) प्राप्त होता है।

पहले पद में, चूँकि 17° और 73° पूरक कोण हैं (17° + 73° = 90°), हम cot 73° = tan 17° प्राप्त करने के लिए सर्वसमिका cot(90° - θ) = tan θ का उपयोग करते हैं। चूँकि cot θ tan θ = 1 होता है, इसलिए पहला पद सरल होकर 1 · cos² 22° = cos² 22° हो जाता है।

दूसरे पद में, अंश और हर में cot 17° एक-दूसरे से कट जाते हैं, जिससे (1)/(sec² 68°) बचता है, जो cos² 68° के बराबर है।

अब व्यंजक cos² 22° + cos² 68° के रूप में है। पूरक कोण सर्वसमिका cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करने पर, हमें cos 68° = sin 22° प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर cos² 22° + sin² 22° प्राप्त होता है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, अंतिम मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भारत की केंद्र सरकार अपने कराधान का अधिकार संविधान की सातवीं अनुसूची की संघ सूची (सूची I) से प्राप्त करती है। संघ सूची की प्रविष्टि 84 के तहत भारत के भीतर वस्तुओं के निर्माण या उत्पादन पर उत्पाद शुल्क लगाया जाता है। प्रविष्टि 83 के अनुसार, सीमा शुल्क देश में आयातित या देश से निर्यात की जाने वाली वस्तुओं पर लगाया जाने वाला एक अप्रत्यक्ष कर है। प्रविष्टि 82 के अनुसार, आयकर व्यक्तियों और निगमों की आय पर लगाया जाने वाला एक प्रत्यक्ष कर है, जिसमें कृषि आय शामिल नहीं है। वर्ष 2016 में मौजूद वित्तीय ढांचे में, राष्ट्रीय व्यय और विकास परियोजनाओं के वित्तपोषण के लिए वित्त मंत्रालय के माध्यम से संघ सरकार द्वारा इन करों को एकत्र और प्रबंधित किया जाता था।

व्याख्या

मैंगनीज एक प्राकृतिक रूप से पाया जाने वाला खनिज है जो आमतौर पर भूजल स्रोतों में पाया जाता है। जब घुले हुए मैंगनीज युक्त पानी को ऑक्सीजन या क्लोरीन जैसे रासायनिक ऑक्सीकारकों के संपर्क में लाया जाता है, तो यह मैंगनीज डाइऑक्साइड बनाने के लिए एक रासायनिक प्रतिक्रिया से गुजरता है। यह अघुलनशील अवक्षेप गहरे भूरे या काले रंग के तलछट के रूप में दिखाई देता है जो सतहों से चिपक जाता है। यह प्रक्रिया कपड़ों (लॉन्ड्री), चीनी मिट्टी के बर्तनों (पॉर्सिलेन फिक्स्चर) और कांच के बर्तनों पर पाए जाने वाले विशिष्ट भूरे या काले रंग के धब्बों के लिए जिम्मेदार है। 0.05 मिलीग्राम/लीटर जितनी कम सांद्रता में भी, मैंगनीज घरेलू जल प्रणालियों में ध्यान देने योग्य रंगहीनता और धब्बे पैदा कर सकता है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का आयतन सूत्र V_गोला = ⁴⁄₃ π r³ द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन सूत्र V_बेलन = π r² h द्वारा दिया जाता है।

चूंकि गोले और बेलन के आयतन बराबर हैं, हम दोनों सूत्रों को एक दूसरे के बराबर रख सकते हैं:

⁴⁄₃ π r³ = π r² h

बेलन की ऊँचाई और त्रिज्या का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम ʰ⁄ᵣ का मान ज्ञात करते हैं। सबसे पहले, समीकरण के दोनों पक्षों को π r² से विभाजित करें:

⁴⁄₃ r = h

ʰ⁄ᵣ अनुपात को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

ʰ⁄ᵣ = ⁴⁄₃

इस प्रकार, बेलन की ऊँचाई का उसकी त्रिज्या से अनुपात 4:3 है।

व्याख्या

माना अंकित मूल्य M है। प्रश्न के अनुसार, 42 रुपये की छूट के बाद, मूल्य मूल अंकित मूल्य का 86% हो जाता है। इसका अर्थ है कि 42 रुपये की छूट पूर्ण मूल्य और घटे हुए मूल्य के बीच के अंतर को दर्शाती है, जो कि अंकित मूल्य का 100% - 86% = 14% है।

छूट के मूल्य और उसके प्रतिशत के बीच के संबंध का उपयोग करने पर: M का 14% = 42 ¹⁴⁄₁₀₀ × M = 42 M = (42 × 100)/(14) M = 3 × 100 M = 300

वैकल्पिक रूप से, यदि 14% का मान 42 है, तो 1% का मान 42 / 14 = 3 होगा। इसलिए, 100% अंकित मूल्य 3 × 100 = 300 है। वस्तु का अंकित मूल्य 300 रुपये है।

व्याख्या

दूध का कुल क्रय मूल्य (CP) दूध की मात्रा को प्रति लीटर मूल्य से गुणा करके निकाला जाता है: क्रय मूल्य (CP) = 25 × 12 = ₹ 300। जब 25 लीटर दूध में 5 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो मिश्रण की कुल मात्रा 25 + 5 = 30 लीटर हो जाती है। व्यापारी इस पूरे मिश्रण को ₹ 10.40 प्रति लीटर की दर से बेचता है, इसलिए कुल विक्रय मूल्य (SP) = 30 × 10.40 = ₹ 312 है। अर्जित लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 312 - 300 = ₹ 12। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ¹²⁄₃₀₀ × 100 = 4% प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति की कुल आय को I द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, खर्च इस आय का 15% है। यह देखते हुए कि खर्च 75 रुपये है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

I का 15% = 75 ¹⁵⁄₁₀₀ × I = 75

I का मान ज्ञात करने के लिए, चर को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

I = (75 × 100)/(15) I = 5 × 100 I = 500

वैकल्पिक रूप से, ऐकिक नियम (unitary method) का उपयोग करते हुए, यदि आय का 15% 75 रुपये के बराबर है, तो आय का 1% = 75 / 15 = 5 के बराबर है। चूंकि कुल आय 100% को दर्शाती है, इसलिए कुल आय की गणना 100 × 5 = 500 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

जब तय की गई दूरी स्थिर होती है, तो गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जैसा कि संबंध S₁ T₁ = S₂ T₂ द्वारा व्यक्त किया गया है। इस प्रश्न में, प्रारंभिक गति S₁ 60 किमी/घंटा है और प्रारंभिक समय T₁ 15 घंटे है। 12 घंटे के समय T₂ के लिए आवश्यक गति S₂ ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण 60 × 15 = S₂ × 12 बनाते हैं। S₂ का मान ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर S₂ = (60 × 15) / 12 प्राप्त होता है। चूंकि 60 को 12 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, इसलिए गणना सरल होकर 5 × 15 हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 75 किमी/घंटा प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, पहले कुल दूरी की गणना करने पर 60 × 15 = 900 किमी प्राप्त होता है, और इस दूरी को नए समय 12 घंटे से विभाजित करने पर 900 / 12 = 75 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

क्रमागत पूर्णांकों की किसी भी विषम संख्या के लिए, मध्य पूर्णांक श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है। मान लीजिए कि तीन क्रमागत पूर्णांक x-1, x और x+1 हैं, जहाँ x मध्य पूर्णांक को दर्शाता है। इन पूर्णांकों का योग (x-1) + x + (x+1) = 3x है। प्रश्न के अनुसार, यह योग 51 है। समीकरण 3x = 51 बनाकर और दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर, हमें x = 17 प्राप्त होता है। अतः, मध्य पूर्णांक 17 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = 5 से, हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करके वांछित व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं।

व्यंजक (5x)/(x² + 5x + 1) है। प्रत्येक पद को x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(5x)/(x){(x²)/(x) + ⁵ˣ⁄ₓ + ¹⁄ₓ} = (5)/(x + 5 + 1){x}

हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(5)/((x + 1){x) + 5}

हर में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

(5)/(5 + 5) = ⁵⁄₁₀ = ½

व्याख्या

केंद्रक वह संगामी बिंदु है जहाँ किसी त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। एक माध्यिका को एक ऐसे रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जो त्रिभुज के एक शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। प्रत्येक त्रिभुज में ठीक तीन माध्यिकाएँ होती हैं, और वे हमेशा एक ही आंतरिक बिंदु पर मिलती हैं। केंद्रक त्रिभुज के ज्यामितीय केंद्र या द्रव्यमान केंद्र के रूप में कार्य करता है। केंद्रक का एक मूलभूत गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में दो भागों में विभाजित करता है, जिसमें शीर्ष से केंद्रक तक का भाग, केंद्रक से भुजा के मध्य बिंदु तक के भाग की तुलना में दोगुना लंबा होता है। (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) पर शीर्षों वाले एक त्रिभुज के लिए, केंद्रक के निर्देशांकों की गणना (x₁ + x₂ + x₃{3}, y₁ + y₂ + y₃{3}) के रूप में की जाती है।

व्याख्या

शीर्ष O(0, 0), A(0, 8), और B(5, 0) मूल बिंदु O पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। चूंकि शीर्ष A, y-अक्ष पर स्थित है और शीर्ष B, x-अक्ष पर स्थित है, इसलिए त्रिभुज की भुजाएं परस्पर लंबवत हैं। आधार OB की लंबाई (0, 0) से (5, 0) की दूरी है, जो 5 इकाई है। ऊंचाई OA की लंबाई (0, 0) से (0, 8) की दूरी है, जो 8 इकाई है। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = ½ × 5 × 8 = 20 वर्ग इकाई प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, दिए गए बिंदुओं के लिए निर्देशांक ज्यामिति सूत्र क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)| को लागू करने पर ½ |0(0 - 8) + 5(8 - 0) + 0(0 - 0)| = ½ |40| = 20 वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

9, 11, और 13 से विभाजित करने पर 6 शेषफल देने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इन भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। चूंकि 9, 11, और 13 आपस में सह-अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM केवल उनका गुणनफल होगा: LCM(9, 11, 13) = 9 × 11 × 13 = 1287।

इन तीनों संख्याओं से विभाजित करने पर 6 शेषफल देने वाली कोई भी संख्या 1287k + 6 के रूप में होनी चाहिए, जहाँ k एक पूर्णांक है। k = 1 के लिए, 1287 से बड़ी ऐसी सबसे छोटी संख्या 1287 + 6 = 1293 है। इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए 1294 में से घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं: 1294 - 1293 = 1।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 72, 120 और 90 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 360 इकाई है।

दैनिक कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) इस प्रकार है: A + B की कार्यक्षमता = ³⁶⁰⁄₇₂ = 5 इकाई/दिन B + C की कार्यक्षमता = ³⁶⁰⁄₁₂₀ = 3 इकाई/दिन A + C की कार्यक्षमता = ³⁶⁰⁄₉₀ = 4 इकाई/दिन

इन कार्यक्षमताओं को जोड़ने पर युग्मों की संयुक्त कार्यक्षमता प्राप्त होती है: 2(A + B + C) = 5 + 3 + 4 = 12 इकाई/दिन संयुक्त कार्यक्षमता A + B + C = ¹²⁄₂ = 6 इकाई/दिन

अकेले A की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, संयुक्त कार्यक्षमता में से (B + C) की कार्यक्षमता को घटाएं: A की कार्यक्षमता = (A + B + C) - (B + C) = 6 - 3 = 3 इकाई/दिन

अकेले A द्वारा लिया गया समय = (कुल कार्य)/(A की कार्यक्षमता) = ³⁶⁰⁄₃ = 120 दिन।

व्याख्या

A और B के हिस्सों के बीच का संबंध A:B = 3:4 के रूप में दिया गया है। B और C के हिस्सों के बीच का संबंध B:C = 3.5:3 के रूप में दिया गया है। दूसरे अनुपात को सरल बनाने के लिए, हम दोनों पदों को 2 से गुणा करते हैं, जिससे B:C = 7:6 प्राप्त होता है।

संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, हम 4 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके दोनों अनुपातों में B के मान को बराबर करते हैं, जो कि 28 है। पहले अनुपात को 7 से और दूसरे अनुपात को 4 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: A:B = 21:28 B:C = 28:24 इसलिए, A:B:C = 21:28:24।

अनुपात के भागों का योग 21 + 28 + 24 = 73 है। चूंकि विभाजित की जाने वाली कुल राशि 730 रुपये है, इसलिए प्रत्येक अनुपात इकाई का मूल्य 730 / 73 = 10 है। B का हिस्सा 28 × 10 = 280 है और C का हिस्सा 24 × 10 = 240 है। B के हिस्से और C के हिस्से के बीच का अंतर 280 - 240 = 40 है। वैकल्पिक रूप से, अनुपात के भागों में अंतर 28 - 24 = 4 इकाई है, जो 4 × 10 = 40 के बराबर है।

व्याख्या

कक्षा के कुल अंकों के योग की गणना छात्रों की संख्या को कक्षा के औसत से गुणा करके की जाती है: 50 × 70 = 3500। पहले 25 छात्रों के अंकों का योग 25 × 60 = 1500 है। अगले 24 छात्रों के अंकों का योग 24 × 80 = 1920 है। अंतिम छात्र के अंक ज्ञात करने के लिए, हम पहले 49 छात्रों के संयुक्त योग को कक्षा के कुल योग से घटाते हैं: 3500 - (1500 + 1920) = 3500 - 3420 = 80।

व्याख्या

दिया गया समीकरण ¹⁄ₐ (a² + 1) = 3 है, जिसे कोष्ठक के प्रत्येक पद को a से विभाजित करके a + ¹⁄ₐ = 3 के रूप में सरल किया जा सकता है।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (a⁶ + 1)/(a³) है, जिसे a³ + (1)/(a³) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) का उपयोग करते हुए, हम x = a और y = ¹⁄ₐ मानते हैं। इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a)(¹⁄ₐ)(a + ¹⁄ₐ) प्राप्त होता है, जो सरल होकर (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ) हो जाता है।

सूत्र में a + ¹⁄ₐ = 3 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक ¹⁄ₐ₊₁ + (1)/(b+1) का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले a = √2 + 1 और b = √2 - 1 के दिए गए मानों को हर में प्रतिस्थापित करें: a + 1 = (√2 + 1) + 1 = √2 + 2 b + 1 = (√2 - 1) + 1 = √2

इन्हें मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (1)/(√(2) + 2) + (1)/(√(2))

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, पदों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें: √2 + (√2 + 2){(√2 + 2)(√2)}

अंश और हर को सरल करें: अंश: √2 + √2 + 2 = 2√2 + 2 हर: (√2 × √2) + (2 × √2) = 2 + 2√2

व्यंजक इस प्रकार बनता है: 2√2 + 2{2 + 2√2} = 1

व्याख्या

एक त्रिभुज का केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ शीर्ष से केंद्रक की दूरी, केंद्रक से सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु की दूरी की दोगुनी होती है। यदि d शीर्ष से केंद्रक की दूरी है, तो संगत माध्यिका m की कुल लंबाई की गणना सूत्र m = ³⁄₂ d का उपयोग करके की जाती है। दिए गए शीर्ष दूरियों 4 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी के लिए, तीनों माध्यिकाओं की लंबाई ³⁄₂ × 4 = 6 सेमी, ³⁄₂ × 6 = 9 सेमी और ³⁄₂ × 8 = 12 सेमी है। इन परिणामों की तुलना करने पर, सबसे छोटी माध्यिका की लंबाई 6 सेमी है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण sinθ - cosθ = 0 है, जिसका अर्थ है sinθ = cosθ। दोनों पक्षों को cosθ से विभाजित करने पर, हमें tanθ = 1 प्राप्त होता है। एक धनात्मक न्यून कोण के लिए, यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब θ = 45° हो। secθ + cosecθ का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक में θ = 45° प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें sec 45° + cosec 45° प्राप्त होता है। चूंकि sec 45° = √2 और cosec 45° = √2 है, इसलिए योग √2 + √2 = 2√2 है।

व्याख्या

यह व्यंजक पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करता है, विशेष रूप से tan(90° - θ) = cot θ और cot(90° - θ) = tan θ।

पहले पद में, चूंकि 37° = 90° - 53° है, इसलिए cot 37° = cot(90° - 53°) = tan 53° होगा। इसे भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (2 tan 53°)/(tan 53°) = 2

दूसरे पद में, चूंकि 10° = 90° - 80° है, इसलिए tan 10° = tan(90° - 80°) = cot 80° होगा। इसे भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (cot 80°)/(cot 80°) = 1

दोनों पदों के परिणामों को घटाने पर 2 - 1 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक दर आधी हो जाती है और समय अवधि दोगुनी हो जाती है। दिया गया है कि मूलधन P = रु. 24000, वार्षिक दर R = 10%, और समय T = 1.5 वर्ष है, गणना के लिए समायोजित मान इस प्रकार हैं:

प्रति छमाही दर r = (10%)/(2) = 5% छमाही अवधियों की संख्या n = 1.5 × 2 = 3

मिश्रधन A का सूत्र है: A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ A = 24000(1 + ⁵⁄₁₀₀)³ A = 24000(²¹⁄₂₀)³ A = 24000 × ⁹²⁶¹⁄₈₀₀₀ A = 3 × 9261 = रु. 27783

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना इस प्रकार की जाती है: CI = A - P CI = 27783 - 24000 = रु. 3783

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रेक्षण मीनार की ऊँचाई h है। 50 मीटर की दूरी पर नाव की प्रारंभिक स्थिति से, अवनमन कोण 60° है। त्रिकोणमितीय अनुपात tan θ = ऊँचाई/आधार का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: tan 60° = h/50 √3 = h/50 ⟹ h = 50√3 मीटर।

8 सेकंड के बाद, नाव मीनार से एक नई दूरी D पर चली जाती है जहाँ अवनमन कोण 30° हो जाता है। उसी अनुपात का उपयोग करने पर: tan 30° = (h)/(D) (1)/(√3) = 50√3/D ⟹ D = 50 × 3 = 150 मीटर।

8 सेकंड में नाव द्वारा तय की गई दूरी अंतिम और प्रारंभिक दूरियों के बीच का अंतर है: दूरी = 150 - 50 = 100 मीटर। मीटर/सेकंड में चाल = (दूरी)/(समय) = ¹⁰⁰⁄₈ = 12.5 मीटर/सेकंड।

चाल को किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें: किमी/घंटा में चाल = 12.5 × ¹⁸⁄₅ = 2.5 × 18 = 45 किमी/घंटा।

व्याख्या

एक कर्मचारी की कार्यक्षमता प्रति इकाई समय में किए गए कार्य की मात्रा को परिभाषित करती है। चूंकि A, B से दोगुना कार्यकुशल है, इसलिए A और B की कार्यक्षमता का अनुपात 2:1 है। यदि हम मानते हैं कि B प्रति दिन 1 इकाई कार्य पूरा करता है, तो A प्रति दिन 2 इकाई कार्य पूरा करता है। एक साथ, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 1 = 3 इकाई कार्य प्रति दिन है।

चूंकि वे मिलकर कार्य को 16 दिनों में पूरा करते हैं, कुल कार्य की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल कार्य = संयुक्त कार्यक्षमता × समय = 3 × 16 = 48 इकाई।

अकेले A को कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय, कुल कार्य को A की विशिष्ट कार्यक्षमता से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: समय_A = (कुल कार्य)/(A की कार्यक्षमता) = ⁴⁸⁄₂ = 24 दिन।

व्याख्या

कई क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना मूल्य के अंतिम गुणक को निर्धारित करके की जाती है। यदि प्रारंभिक अंकित मूल्य 100 है, तो 15%, 20% और 25% की तीन क्रमिक छूटों के बाद मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है:

अंतिम मूल्य = 100 × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁵⁄₁₀₀) अंतिम मूल्य = 100 × ⁸⁵⁄₁₀₀ × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁷⁵⁄₁₀₀ अंतिम मूल्य = 100 × 0.85 × 0.8 × 0.75 अंतिम मूल्य = 85 × 0.8 × 0.75 = 68 × 0.75 = 51

एकल समतुल्य छूट मूल मूल्य से हुई कुल कमी है: समतुल्य छूट = 100 - 51 = 49%

वैकल्पिक रूप से, दो क्रमिक छूटों x% और y% के लिए सूत्र का उपयोग करके, जो कि x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ है: 15% और 20% को मिलाने पर: 15 + 20 - (15 × 20)/(100) = 35 - 3 = 32% प्राप्त परिणाम 32% को 25% के साथ मिलाने पर: 32 + 25 - (32 × 25)/(100) = 57 - 8 = 49%

व्याख्या

दिया गया अनुपात x:y:z = 2:3:5 है और उनका योग 80 है, हम इनके मानों की गणना x = 16, y = 24, और z = 40 के रूप में करते हैं। समीकरण z = ax - 8 में z = 40 और x = 16 प्रतिस्थापित करने पर 40 = 16a - 8 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 48 = 16a प्राप्त होता है और इससे a = 3 मिलता है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत का निर्धारण लाभ और क्रय मूल्य (CP) के अनुपात द्वारा किया जाता है। दिया गया है कि क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य (SP) का अनुपात 10:11 है, हम मान सकते हैं कि CP = 10 और SP = 11 है। लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 11 - 10 = 1 है। लाभ प्रतिशत के सूत्र का उपयोग करने पर:

लाभ प्रतिशत = ( (लाभ)/(क्रय मूल्य) ) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

( ⅒ ) × 100 = 10%

व्याख्या

मान लीजिए कि चावल की मूल कीमत 100 इकाई है। 60% की वृद्धि के बाद, नई कीमत की गणना 100 + (100 का 60%) = 160 इकाई के रूप में की जाती है। 100 इकाई की मूल कीमत को वापस बहाल करने के लिए, नई कीमत में 160 - 100 = 60 इकाई की कमी की जानी चाहिए।

आवश्यक प्रतिशत कमी की गणना 160 की नई कीमत के सापेक्ष की जाती है। प्रतिशत कमी के सूत्र का उपयोग करने पर: प्रतिशत कमी = ((कमी की मात्रा)/(नई कीमत)) × 100 प्रतिशत कमी = (⁶⁰⁄₁₆₀) × 100

अंश और हर दोनों को 20 से विभाजित करके भिन्न ⁶⁰⁄₁₆₀ को सरल करने पर ⅜ प्राप्त होता है। इस भिन्न को प्रतिशत में बदलने पर: ⅜ × 100 = 3 × 12.5% = 37.5% 37.5% का मान मिश्रित भिन्न 37 ½% के बराबर है।

वैकल्पिक रूप से, इसे प्रारंभिक मानों को बहाल करने के लिए प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके सीधे हल किया जा सकता है: ((r)/(100 + r)) × 100, जहाँ r प्रतिशत वृद्धि है। सूत्र में r = 60 रखने पर हमें ((60)/(100 + 60)) × 100 = (⁶⁰⁄₁₆₀) × 100 = 37 ½% प्राप्त होता है।

व्याख्या

औसत गति की गणना तय की गई कुल दूरी और यात्रा में लगे कुल समय के अनुपात के रूप में की जाती है। यात्रा के पहले भाग के लिए, तय की गई दूरी d₁ = गति × समय = 20 किमी/घंटा × 2 घंटे = 40 किमी है। चूंकि कुल दूरी 100 किमी है, इसलिए दूसरे भाग के लिए शेष दूरी d₂ = 100 किमी - 40 किमी = 60 किमी है।

10 किमी/घंटा की गति से यात्रा के दूसरे भाग में लिया गया समय t₂ = (दूरी₂)/(गति₂) = (60 किमी)/(10 किमी/घंटा) = 6 घंटे है। इस प्रकार, पूरी यात्रा में लिया गया कुल समय T = 2 घंटे + 6 घंटे = 8 घंटे है।

औसत गति के सूत्र का उपयोग करने पर: औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) = (100 किमी)/(8 घंटे) = 12.5 किमी/घंटा

मिश्रित भिन्न के रूप में, 12.5 किमी/घंटा, 12 ½ किमी/घंटा के बराबर है।

व्याख्या

समीकरण के बाएं पक्ष (x - 2)(x - p) का विस्तार करने पर x² - (p + 2)x + 2p प्राप्त होता है। इस विस्तार के गुणांकों की तुलना दिए गए व्यंजक x² - ax + 6 से करने पर, हम x के गुणांकों और अचर पदों को बराबर रखते हैं। x के गुणांकों की तुलना करने पर a = p + 2 प्राप्त होता है। प्रश्न में पूछे गए पदों को अलग करने के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें सीधे a - p = 2 प्राप्त होता है। इसके अतिरिक्त, अचर पदों की तुलना करने पर 2p = 6 प्राप्त होता है, जिससे p = 3 प्राप्त होता है। इसे वापस पहले संबंध में प्रतिस्थापित करने पर a = 3 + 2 = 5 प्राप्त होता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि a - p = 5 - 3 = 2 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2x + ²⁄ₓ = 3 को 2 से भाग देने पर x + ¹⁄ₓ = ³⁄₂ प्राप्त होता है।

घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, यदि x + ¹⁄ₓ = k, तो x³ + (1)/(x³) = k³ - 3k होता है। k = ³⁄₂ प्रतिस्थापित करने पर:

x³ + (1)/(x³) = (³⁄₂)³ - 3(³⁄₂)

x³ + (1)/(x³) = ²⁷⁄₈ - ⁹⁄₂

इन भिन्नों को घटाने के लिए, एक समान हर (common denominator) ज्ञात करें:

x³ + (1)/(x³) = ²⁷⁄₈ - ³⁶⁄₈ = -⁹⁄₈

इसके बाद इस परिणाम में 2 जोड़कर व्यंजक x³ + (1)/(x³) + 2 का मान ज्ञात किया जाता है:

-⁹⁄₈ + 2 = (-9 + 16)/(8) = ⅞

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतः कोणों का योग 180° होता है, जिससे संबंध ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° प्राप्त होता है। दिए गए पहले समीकरण ∠ A + ∠ C = 140° से, हम त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म में इसे प्रतिस्थापित करके ∠ B का मान ज्ञात कर सकते हैं: ∠ B = 180° - (∠ A + ∠ C) = 180° - 140° = 40°।

प्रश्न में समीकरण ∠ A + 3∠ B = 180° भी दिया गया है। इस समीकरण में ∠ B = 40° का परिकलित मान प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: ∠ A + 3(40°) = 180° ∠ A + 120° = 180° ∠ A = 180° - 120° = 60°।

व्याख्या

रेखाखंड OP, दो स्पर्श रेखाओं PA और PB के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ APO = ½ ∠ APB = (80°)/(2) = 40° होता है। इस ज्यामितीय प्रमेय के आधार पर कि वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है, ∠ OAP = 90° है। △ OAP में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। इसलिए:

∠ AOP + ∠ OAP + ∠ APO = 180° ∠ AOP + 90° + 40° = 180° ∠ AOP = 180° - 130° = 50°

वैकल्पिक रूप से, चतुर्भुज OAPB में, चूंकि ∠ OAP = ∠ OBP = 90° है, इसलिए कोण ∠ AOB और ∠ APB संपूरक हैं। इस प्रकार, ∠ AOB = 180° - 80° = 100°। चूंकि △ OAP और △ OBP सर्वांगसम हैं, इसलिए OP, ∠ AOB को समद्विभाजित करता है, जिससे ∠ AOP = (100°)/(2) = 50° प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि A + B = 90° हो, तो tan A = cot B होता है। दिए गए समीकरण tan (5x - 10°) = cot (5y + 20°) में, हम कोणों के योग को 90° के बराबर रख सकते हैं:

(5x - 10°) + (5y + 20°) = 90°

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

5x + 5y + 10° = 90°

दोनों पक्षों से 10° घटाने पर:

5(x + y) = 80°

5 से भाग देने पर:

x + y = (80°)/(5) = 16°

व्याख्या

धनात्मक पूर्णांकों के वे युग्म जिनका गुणनफल 24 है, (1, 24), (2, 12), (3, 8) और (4, 6) हैं। उनके संबंधित योग क्रमशः 25, 14, 11 और 10 हैं, जिससे दिए गए विकल्पों में से 10 न्यूनतम संभावित योग बन जाता है। यद्यपि ऋणात्मक पूर्णांकों से कम योग प्राप्त होगा, लेकिन विकल्पों में कोई भी ऋणात्मक पूर्णांक मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि प्रश्न धनात्मक पूर्णांकों को संदर्भित करता है।

व्याख्या

कक्षा के कुल अंक, छात्रों की कुल संख्या को उनके औसत अंकों से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं: 60 × 65 = 3900। पहले आधे छात्रों (30 छात्रों) के अंकों का योग 30 × 85 = 2550 है। शेष 30 छात्रों के कुल अंक, कक्षा के कुल अंकों और पहले आधे छात्रों के अंकों के बीच का अंतर है: 3900 - 2550 = 1350। इसलिए, शेष छात्रों के औसत अंक 1350 / 30 = 45 हैं।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि छात्रों को दो बराबर समूहों में विभाजित किया गया है, इसलिए कुल औसत दोनों आधे भागों के औसत का सरल अंकगणितीय माध्य है। माना x शेष छात्रों का औसत है। इस संबंध को 65 = (85 + x) / 2 के रूप में व्यक्त किया जाता है। x के लिए हल करने पर 130 = 85 + x प्राप्त होता है, जिससे x = 45 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक x⁴ + y⁴ - 2x²y² एक पूर्ण वर्ग है जिसे बीजीय सर्वसमिका (m - n)² = m² + n² - 2mn का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। m = x² और n = y² प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: x⁴ + y⁴ - 2x²y² = (x² - y²)²

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका x² - y² = (x + y)(x - y) का उपयोग करने पर, व्यंजक और सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (x² - y²)² = [(x + y)(x - y)]²

अब, x और y के दिए गए मानों के योग और अंतर की गणना करें: x + y = (√a + (1)/(√(a))) + (√a - (1)/(√(a))) = 2√a x - y = (√a + (1)/(√(a))) - (√a - (1)/(√(a))) = (2)/(√(a))

इन परिणामों को वापस सरलीकृत सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: (x + y)(x - y) = (2√a) × ((2)/(√(a))) = 4

इस मान का वर्ग करने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है: 4² = 16

व्याख्या

दिया गया समीकरण x = ³√(x² + 11) - 2 है। वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़कर घनमूल को अलग करें: x + 2 = ³√(x² + 11)

अब, करणी को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) करें: (x + 2)³ = (³√(x² + 11))³

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का उपयोग करने पर, इसका विस्तार इस प्रकार होगा: x³ + 3(x²)(2) + 3(x)(2²) + 2³ = x² + 11 x³ + 6x² + 12x + 8 = x² + 11

वांछित व्यंजक x³ + 5x² + 12x प्राप्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हुए, दोनों पक्षों से x² और 8 घटाएं: x³ + (6x² - x²) + 12x = 11 - 8 x³ + 5x² + 12x = 3

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किन्हीं तीन भुजाओं की लंबाई से एक त्रिभुज बनने के लिए, किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए (a + b > c)। इस स्थिति में, दो छोटी भुजाएँ 5 सेमी और 8 सेमी हैं। उनके योग की गणना करने पर 5 + 8 = 13 सेमी प्राप्त होता है। चूंकि 13 सेमी सबसे लंबी भुजा की लंबाई, 15 सेमी से कम है (13 < 15), इसलिए त्रिभुज असमानता नियम का उल्लंघन होता है, और एक त्रिभुज का निर्माण नहीं किया जा सकता है।