एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है। वृत्त के ज्यामितीय गुण निम्नलिखित सूत्रों द्वारा परिभाषित हैं: क्षेत्रफल x = π r² परिधि y = 2π r व्यास z = 2r

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक x/yz है। इस सूत्र में x, y और z के मान प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x/yz = (π r²)/((2π r)(2r)) x/yz = (π r²)/(4π r²)

अंश और हर से उभयनिष्ठ पदों π और r² को काटने पर, हमें प्राप्त होता है: x/yz = ¼

मान 1/4 को अनुपात 1 : 4 के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या

व्यंजक √(9 + 216) + ³√(512) का मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक करणी (radical) पद को क्रमिक रूप से सरल करते हैं। सबसे पहले, सबसे आंतरिक वर्गमूल √(16) = 4 है। इसे गुणांक 2 से गुणा करने पर 2 × 4 = 8 प्राप्त होता है। इसके बाद, पद ³√(512) का मान निकाला जाता है। चूंकि 8 × 8 × 8 = 512 है, इसलिए 512 का घनमूल 8 है। इन सरलीकृत मानों को मुख्य व्यंजक में रखने पर √(9 + 8 + 8) प्राप्त होता है। करणी के अंतर्गत पूर्णांकों को जोड़ने पर √(25) प्राप्त होता है। 25 का वर्गमूल 5 है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुज बनते हैं। समचतुर्भुज की भुजा s इन त्रिभुजों के कर्ण के रूप में कार्य करती है, जिसकी अन्य भुजाएँ विकर्णों की लंबाई की आधी (d₁/2 और d₂/2) के बराबर होती हैं।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: s = √(((d₁)/(2))² + ((d₂)/(2))²)

दिया गया है d₁ = 24 सेमी और d₂ = 10 सेमी: s = √((²⁴⁄₂)² + (¹⁰⁄₂)²) s = √(12² + 5²) s = √(144 + 25) = √(169) = 13 सेमी

समचतुर्भुज का परिमाप 4s होता है। परिमाप = 4 × 13 = 52 सेमी।

व्याख्या

एक बेईमान दुकानदार, जो वस्तुओं को क्रय मूल्य पर बेचता है लेकिन गलत वजन का उपयोग करता है, उसके लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (त्रुटि)/(गलत वजन) × 100

इस प्रश्न में, दुकानदार 1 किग्रा (1000 ग्राम) के स्थान पर 950 ग्राम वजन का उपयोग करता है। वजन में त्रुटि, वास्तविक वजन और वास्तव में दिए गए वजन के बीच का अंतर है:

त्रुटि = 1000 ग्राम - 950 ग्राम = 50 ग्राम

सूत्र में मान रखने पर:

लाभ % = ⁵⁰⁄₉₅₀ × 100

अंश और हर दोनों को 50 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

लाभ % = ¹⁄₁₉ × 100 लाभ % = ¹⁰⁰⁄₁₉

जब 100 को 19 से विभाजित किया जाता है, तो भागफल 5 और शेषफल 5 प्राप्त होता है। इसलिए, मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त लाभ प्रतिशत 5 ⁵⁄₁₉% है।

व्याख्या

A की वर्तमान आयु की गणना उसकी भविष्य की आयु में से समयांतराल को घटाकर की जाती है: A = 26 - 6 = 20 वर्ष। दिया गया है कि A की आयु और B की आयु का अनुपात 4:3 है, हम उनकी आयु को एक सामान्य चर x के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जैसे कि A = 4x और B = 3x। पहले समीकरण में A के ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4x = 20 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 5। B की आयु के लिए इस मान का उपयोग करते हुए, हम गणना करते हैं B = 3 × 5 = 15। अतः, B की वर्तमान आयु 15 वर्ष है।

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य को सूत्र x = (Σ xᵢ)/(n) द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ Σ xᵢ सभी प्रेक्षणों के योग को दर्शाता है और n समुच्चय में प्रेक्षणों की कुल संख्या को दर्शाता है। दिए गए डेटा सेट {7, 5, 13, x, 9} के लिए, n = 5 प्रेक्षण हैं और माध्य x, 10 है।

दिए गए मानों को माध्य सूत्र में रखने पर निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होता है: 10 = (7 + 5 + 13 + x + 9)/(5)

x का मान ज्ञात करने के लिए, हर को हटाने के लिए सबसे पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें: 50 = 7 + 5 + 13 + x + 9

इसके बाद, ज्ञात संख्यात्मक मानों को जोड़कर समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल करें: 50 = 34 + x

अंत में, दोनों पक्षों से 34 घटाकर x को अलग करें: x = 50 - 34 x = 16

अंकगणितीय माध्य 10 होने की शर्त को पूरा करने वाला x का मान 16 है।

व्याख्या

दोनों लाभ प्रतिशत के बीच का अंतर उस अतिरिक्त राशि को दर्शाता है जिसके लिए वस्तु बेची गई थी। प्रारंभिक लाभ 15% था और नया लाभ 18% है। क्रय मूल्य के प्रतिशत में अंतर 18% - 15% = 3% है।

प्रश्न के अनुसार, यह 3% का अंतर विक्रय मूल्य में अतिरिक्त ₹ 6 के बराबर है। माना वस्तु का क्रय मूल्य x है।

x का 3% = 6

³⁄₁₀₀ × x = 6

x = (6 × 100)/(3)

x = 2 × 100 = 200

व्यक्ति ने वह वस्तु ₹ 200 में खरीदी थी।

व्याख्या

जब किसी मान में x% और y% के दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन होते हैं, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, वेतन में पहले 50% की कमी की जाती है, इसलिए x = -50, और फिर 50% की वृद्धि की जाती है, इसलिए y = +50। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

शुद्ध परिवर्तन = -50 + 50 + ((-50 × 50))/(100) = 0 - ²⁵⁰⁰⁄₁₀₀ = -25%

ऋणात्मक परिणाम वेतन में शुद्ध कमी या हानि को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक वेतन 100 इकाई माना जाए, तो 50% की कमी इसे घटाकर 50 इकाई कर देती है। इस नई राशि पर बाद में 50% की वृद्धि 25 इकाई (50 का 50%) जोड़ती है, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम वेतन 75 इकाई हो जाता है। कुल हानि 100 - 75 = 25 इकाई है, जो कि मूल 100 इकाई से 25% की कमी है।

व्याख्या

सापेक्ष गति (Relative speed) एक वस्तु की दूसरी वस्तु के संदर्भ में देखी गई गति होती है। चूंकि कार और व्यक्ति एक ही दिशा में गति कर रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति Vᵣₑₗ, कार की गति V_c और व्यक्ति की गति Vₘ के बीच का अंतर है।

दृश्यता दूरी (Visibility distance) वह सापेक्ष दूरी है जो कार द्वारा व्यक्ति के आगे उस समय के दौरान तय की जाती है जब तक वह दिखाई देती है। दिया गया है: दृश्यता दूरी d = 130 मीटर = ¹³⁰⁄₁₀₀₀ किमी = 0.13 किमी समय t = 3 मिनट = ³⁄₆₀ घंटे = ¹⁄₂₀ घंटे व्यक्ति की गति Vₘ = 4 किमी/घंटा

सूत्र का उपयोग करने पर, सापेक्ष गति = (सापेक्ष दूरी)/(समय): V_c - Vₘ = ᵈ⁄ₜ V_c - 4 = (0.13)/(1/20) V_c - 4 = 0.13 × 20 V_c - 4 = 2.6 V_c = 4 + 2.6 = 6.6 किमी/घंटा

दशमलव को मिश्रित भिन्न में बदलने पर: 6.6 = 6 ⁶⁄₁₀ = 6 ⅗ किमी/घंटा

व्याख्या

प्राप्त कुल साधारण ब्याज दोनों ऋणों से प्राप्त ब्याज का योग है। साधारण ब्याज के मानक सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है, कुल ब्याज के लिए समीकरण इस प्रकार स्थापित किया जा सकता है:

कुल ब्याज = P₁ × R × T₁/100 + P₂ × R × T₂/100

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

160 = (400 × R × 3)/(100) + (500 × R × 4)/(100)

पदों को सरल करने पर:

160 = 12R + 20R

160 = 32R

R के लिए हल करने पर:

R = ¹⁶⁰⁄₃₂

R = 5

प्रति वर्ष ब्याज की दर 5% है।

व्याख्या

अंश और हर दोनों को संयुग्मी (√2 - 1) से गुणा करके x के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होता है: x = 1(√2 - 1) / ((√2 + 1)(√2 - 1)) = (√2 - 1) / (2 - 1) = √2 - 1

करणी (अपरिमेय) पद को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: x + 1 = √2

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: (x + 1)² = (√2)² x² + 2x + 1 = 2

दोनों पक्षों से 2 घटाने पर वांछित व्यंजक का मान प्राप्त होता है: x² + 2x + 1 - 2 = 0 x² + 2x - 1 = 0

व्याख्या

व्यंजक (3x)/(x²⁾⁻¹ का मान ज्ञात करने के लिए, इसे (3)/(x - 1){x} के रूप में सरल करने के लिए अंश और हर दोनों को x से विभाजित करें।

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करते हुए, दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = √(13) को प्रतिस्थापित करें:

(x - ¹⁄ₓ)² = (√(13))² - 4 = 13 - 4 = 9

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x - ¹⁄ₓ = 3 प्राप्त होता है। इस मान को वापस सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(3)/(x - 1){x} = ³⁄₃ = 1

व्याख्या

एक वृत्त की त्रिज्या हमेशा स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। माना O वृत्त का केंद्र है, P बाहरी बिंदु है, और T स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है। समकोण त्रिभुज OTP में, T पर कोण 90 डिग्री है, जिससे दूरी OP कर्ण बन जाती है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OT² + PT² = OP²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ त्रिज्या OT = 5 सेमी और दूरी OP = 13 सेमी है: 5² + PT² = 13² 25 + PT² = 169 PT² = 169 - 25 PT² = 144 PT = √(144) = 12 सेमी

बिंदु P से स्पर्श बिंदु तक स्पर्श रेखा की लंबाई 12 सेमी है। यह मानक पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) का अनुसरण करता है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण sin(θ + 18°) = 1/2 में, हम उस कोण की पहचान करते हैं जिसका साइन (sine) मान 1/2 है। एक न्यूनकोण θ के लिए, θ + 18° का मान प्रथम या द्वितीय चतुर्थांश में आता है। चूंकि sin 30° = 1/2 है, हम कोणों की तुलना करते हैं: θ + 18° = 30°। θ के लिए हल करने पर हमें θ = 30° - 18° = 12° प्राप्त होता है। इस मान को वृत्तीय माप में व्यक्त करने के लिए, हम परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हैं जहाँ 180° = π रेडियन होता है। इसलिए, θ = 12 × (π / 180) = π / 15 रेडियन।

व्याख्या

दी गई जानकारी से, कार्य क्षमता के संदर्भ में 18 पुरुष 36 लड़कों के बराबर हैं। इससे कार्यकुशलता का अनुपात स्थापित होता है जहाँ 1 पुरुष (M) = 2 लड़के (B), या 1M = 2B। कुल कार्य की गणना सूत्र W = M × D × H का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ M श्रमिकों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, और H प्रतिदिन घंटों की संख्या है।

पहले मामले के लिए, पुरुषों को आधार इकाई के रूप में उपयोग करने पर: M₁ = 18 D₁ = 24 H₁ = 6

दूसरे मामले के लिए, हम 24 पुरुषों और 24 लड़कों को पुरुषों की एक एकल इकाई में बदलते हैं। चूँकि 2B = 1M, इसलिए 24B = 12M। इस प्रकार, दूसरे समूह की कुल क्षमता 24M + 12M = 36M है। M₂ = 36 H₂ = 9 D₂ = ?

कार्य तुल्यता सूत्र M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ का उपयोग करने पर: 18 × 24 × 6 = 36 × D₂ × 9

D₂ के लिए हल करने पर: 2592 = 324 × D₂ D₂ = ²⁵⁹²⁄₃₂₄ D₂ = 8

व्याख्या

दिए गए समीकरणों से, हमारे पास a(x + y) = 2ab और b(x - y) = 2ab हैं। पहले समीकरण को a से भाग देने पर x + y = 2b प्राप्त होता है, और दूसरे समीकरण को b से भाग देने पर x - y = 2a प्राप्त होता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²) का उपयोग करके, हम ऊपर प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें 2(x² + y²) = (2b)² + (2a)² प्राप्त होता है। समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल करने पर 4b² + 4a² प्राप्त होता है। स्थिरांक को गुणनखंड के रूप में बाहर लेने पर, हमें 4(a² + b²) प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए x + ¹⁄ₓ = 6 से x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं।

दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = 6 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x + ¹⁄ₓ)² = 6² x² + (¹⁄ₓ)² + 2 · x · ¹⁄ₓ = 36 x² + (1)/(x²) + 2 = 36

वांछित व्यंजक को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों से 2 घटाएं: x² + (1)/(x²) = 36 - 2 x² + (1)/(x²) = 34

एक मानक गणितीय शॉर्टकट के रूप में, यदि x + ¹⁄ₓ = k है, तो x² + (1)/(x²) = k² - 2 होता है। इस सूत्र में k = 6 प्रतिस्थापित करने पर 6² - 2 = 36 - 2 = 34 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, शीर्ष से केंद्रक की दूरी त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या R के बराबर होती है। भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, ऊंचाई h सूत्र h = √3/2 a द्वारा दी जाती है। केंद्रक, माध्यिका (जो समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब भी होती है) को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए, दूरी AG की गणना इस प्रकार की जाती है:

AG = ⅔ × h = ⅔ × √3/2 a = a / √3

दी गई भुजा की लंबाई AB = 9 सेमी मानते हुए, हम सूत्र में a = 9 प्रतिस्थापित करते हैं:

AG = 9 / √3

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम अंश और हर को √3 से गुणा करते हैं:

AG = 9√3 / 3 = 3√3 सेमी

भुजा और केंद्रक की दूरी के बीच यह संबंध समबाहु त्रिभुजों का एक मानक गुण है जहाँ परिवृत्त त्रिज्या R = a / √3 और अंतःत्रिज्या r = a / (2√3) होती है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 4sin²θ = 3 से, हम sinθ को इस प्रकार हल करते हैं: sin²θ = ¾ sinθ = √¾ = √3/2

चूंकि θ एक धनात्मक न्यून कोण (0° < θ < 90°) है, इसलिए θ का मान 60° है।

व्यंजक tanθ - cot(θ/2) में θ = 60° रखने पर: tan 60° - cot(60°/2) = tan 60° - cot 30°

मानक त्रिकोणमितीय मानों tan 60° = √3 और cot 30° = √3 को रखने पर: √3 - √3 = 0

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, मान लीजिए कि बिंदु A पर स्पर्श रेखा को A से गुजरने वाली एक रेखा द्वारा दर्शाया गया है। वृत्तों के मूलभूत गुण के अनुसार, त्रिज्या OA स्पर्श बिंदु A पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इस प्रकार, त्रिज्या OA और स्पर्श रेखा के बीच का कुल कोण 90° होता है। प्रश्न में कहा गया है कि जीवा AB, बिंदु A पर स्पर्श रेखा के साथ θ कोण बनाती है। बिंदु A पर ज्यामिति का अवलोकन करने पर, कोण ∠OAB, त्रिज्या और स्पर्श रेखा द्वारा बनाए गए कोण (90°) और जीवा तथा स्पर्श रेखा द्वारा बनाए गए कोण (θ) के बीच का अंतर है। गणितीय रूप से, इस संबंध को ∠OAB = 90° - θ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अब त्रिभुज OAB पर विचार करें। चूंकि OA और OB दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए उनकी लंबाई बराबर है। किसी भी त्रिभुज में जहाँ दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, उन भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। यह △OAB को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है जहाँ आधार कोण ∠OAB और ∠OBA बराबर हैं। चूंकि प्रश्न में ∠ABO का माप पूछा गया है, जो कि ∠OBA के समान ही है, हम सीधे ∠OAB के लिए प्राप्त मान का उपयोग कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, कोण का माप ∠ABO = 90° - θ है।

व्याख्या

माना P पुल पर एक बिंदु है और A, B नदी के विपरीत किनारों पर स्थित बिंदु हैं। नदी के तल से पुल की लंबवत ऊंचाई PD = 2.5 मीटर है। किनारों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं, जो एकांतर अंतःकोणों के गुण के कारण क्रमशः उन्नयन कोण ∠ PAD और ∠ PBD के बराबर हैं।

नदी की चौड़ाई AB = AD + DB है। समकोण त्रिभुज PAD में, आधार AD की गणना PD cot 30° के रूप में की जाती है, जिससे AD = 2.5 × √3 प्राप्त होता है। समकोण त्रिभुज PBD में, आधार DB की गणना PD cot 45° के रूप में की जाती है, जिससे DB = 2.5 × 1 = 2.5 प्राप्त होता है।

नदी की कुल चौड़ाई W = 2.5√3 + 2.5 = 2.5(√3 + 1) है। दिए गए मान √3 = 1.732 को प्रतिस्थापित करने पर: W = 2.5(1.732 + 1) W = 2.5 × 2.732 W = 6.83 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 24 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 24 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 24 / 24 = 1 इकाई प्रति दिन है। A, B और C की मिलकर संयुक्त कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति दिन है। C की व्यक्तिगत कार्यक्षमता इन दोनों दरों के बीच का अंतर है: 3 - 1 = 2 इकाई प्रति दिन। C द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को C की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 24 / 2 = 12 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

एक वर्ग का विकर्ण d उसकी भुजा s से सूत्र d = s√2 द्वारा संबंधित होता है। चूंकि विकर्ण 6√2 सेमी दिया गया है, हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं जिससे 6√2 = s√2 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप s = 6 सेमी मिलता है।

एक वर्ग के अंतर्गत बने वृत्त के लिए, वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। इसलिए, वृत्त का व्यास 6 सेमी है, जिससे इसकी त्रिज्या r = 3 सेमी हो जाती है। वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या का मान रखने पर, हमें A = π × 3² = 9π वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंतिम मूल्य मूल मूल्य पर क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों को लागू करके निर्धारित किया जाता है। छूट और उसके बाद की वृद्धि के बाद अंतिम राशि का सूत्र है:

अंतिम मूल्य = P × (1 - ᵈ⁄₁₀₀) × (1 + ⁱ⁄₁₀₀)

जहाँ P मूल मूल्य है, d छूट प्रतिशत है, और i सेवा अनुबंध के लिए वृद्धि प्रतिशत है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: अंतिम मूल्य = 6000 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) अंतिम मूल्य = 6000 × 0.80 × 1.10

सबसे पहले, 20% छूट के बाद मूल्य की गणना करें: 6000 × 0.80 = 4800

इसके बाद, इस छूट वाले मूल्य पर सेवा अनुबंध के लिए 10% की वृद्धि लागू करें: 4800 × 1.10 = 4800 + 480 = 5280

वैकल्पिक रूप से, दोनों परिवर्तनों के लिए प्रभावी गुणक 0.80 × 1.10 = 0.88 है। मूल मूल्य को इस गुणक से गुणा करने पर 6000 × 0.88 = 5280 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल राशि को 5:6:9 के अनुपात में विभाजित किया गया है, जिससे कुल भागों की संख्या 5 + 6 + 9 = 20 हो जाती है। A का हिस्सा इस कुल के 5 भागों के बराबर है। यह देखते हुए कि 5 भाग = 450 रुपये हैं, एक भाग का मूल्य 450 / 5 = 90 के रूप में निकाला जाता है। विभाजित की गई कुल राशि ज्ञात करने के लिए, एक भाग के मूल्य को भागों की कुल संख्या से गुणा करें: 20 × 90 = 1800।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) और लाभ प्रतिशत (P%) क्रय मूल्य (CP) से इस सूत्र द्वारा संबंधित हैं: SP = CP × (100 + P%)/(100)। चूंकि बैग का क्रय मूल्य स्थिर रहता है, इसलिए विक्रय मूल्य सीधे (100 + P%) के समानुपाती होता है।

प्रारंभ में, 230 रुपये के विक्रय मूल्य पर 15% का लाभ होता है। इसे CP का 115% = 230 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 20% लाभ के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हमें CP के 120% का मान ज्ञात करना होगा।

ऐकिक नियम (unitary method) का उपयोग करने पर: नया विक्रय मूल्य = ²³⁰⁄₁₁₅ × 120

230 को 115 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है। इसलिए: नया विक्रय मूल्य = 2 × 120 = 240

व्याख्या

दूसरी गेंद के सापेक्ष पहली गेंद का भार प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत = (पहली गेंद का भार)/(दूसरी गेंद का भार) × 100

सूत्र में दिए गए मानों को रखें:

प्रतिशत = (3.5)/(7.5) × 100

गणना को सरल बनाने के लिए, दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करें:

प्रतिशत = ³⁵⁄₇₅ × 100

35 और 75 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), जो कि 5 है, से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:

प्रतिशत = ⁷⁄₁₅ × 100

प्रतिशत = ⁷⁰⁰⁄₁₅

700 को 15 से विभाजित करने पर:

प्रतिशत = 46.66...%

इस गणना के लिए पूर्णांक मान 46% है।

व्याख्या

बस द्वारा एक सेकंड में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलना होगा। परिवर्तन कारक इस तथ्य से प्राप्त होता है कि 1 किलोमीटर 1000 मीटर के बराबर होता है और 1 घंटा 3600 सेकंड के बराबर होता है।

1 किमी/घंटा = (1000 मीटर)/(3600 सेकंड) = ⁵⁄₁₈ मी/से

दी गई बस की गति 36 किमी/घंटा है, इसे मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर:

गति (मी/से में) = 36 × ⁵⁄₁₈

गति (मी/से में) = 2 × 5 = 10 मी/से

परिभाषा के अनुसार, मीटर प्रति सेकंड में गति, एक सेकंड में तय की गई मीटर में दूरी को दर्शाती है। इसलिए, 10 मी/से की गति से, बस एक सेकंड में 10 मीटर की दूरी तय करती है।

व्याख्या

व्यंजक (a)/(a-b) + (b)/(b-a) को सरल करने के लिए, हम पहले देखते हैं कि दूसरे पद के हर (denominator), b-a को -(a-b) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a)/(a-b) + (b)/(-(a-b)) प्राप्त होता है, जो (a)/(a-b) - (b)/(a-b) के बराबर है। चूंकि अब दोनों पदों का हर समान है, इसलिए उन्हें एक एकल भिन्न (a-b)/(a-b) में संयोजित किया जा सकता है। अंश (numerator) को समान हर से विभाजित करने पर मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक ₙ₌₁¹⁵ (√n - √(n+1)) के रूप की एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला (telescoping series) है। ऐसी श्रृंखला में, जब पदों का विस्तार किया जाता है, तो प्रत्येक मध्यवर्ती पद अगले पद द्वारा निरस्त (cancel) हो जाता है। योग का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

(1 - √2) + (√2 - √3) + (√3 - √4) + … + (√(14) - √(15)) + (√(15) - √(16))

योग के पैटर्न को देखने पर, पहले कोष्ठक का -√2 दूसरे कोष्ठक के +√2 से निरस्त हो जाता है। इसी प्रकार, -√3 को +√3 द्वारा निरस्त कर दिया जाता है, और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि अंतिम +√(15) को उसके ठीक पहले वाले पद के -√(15) द्वारा निरस्त नहीं कर दिया जाता। सभी संभावित निरस्तीकरणों के बाद, केवल पहले पद का पहला भाग और अंतिम पद का दूसरा भाग ही बचता है।

व्यंजक सरल होकर 1 - √(16) हो जाता है। चूंकि 16 का वर्गमूल 4 है, इसलिए गणना 1 - 4 हो जाती है। जिसके परिणामस्वरूप अंतिम मान -3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। दिया गया है कि Δ ABC ∼ Δ DEF, उनके परिमापों और संगत भुजाओं AB तथा DE के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(परिमाप(Δ ABC))/(परिमाप(Δ DEF)) = (AB)/(DE)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

³⁰⁄₁₈ = (AB)/(36)

AB ज्ञात करने के लिए, हम 30 और 18 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 6 से विभाजित करके परिमापों के अनुपात को सरल कर सकते हैं:

⁵⁄₃ = (AB)/(36)

अब, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके AB का मान ज्ञात करने पर:

AB = ⁵⁄₃ × 36

AB = 5 × 12

AB = 60 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है और L जीवा की लंबाई है। चूंकि L = r है, इसलिए जीवा और केंद्र को जीवा के अंत बिंदुओं से जोड़ने वाली दो त्रिज्याओं द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोण 60° होते हैं।

कोण को डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है: ᵣₐ_d = _dₑ_g × (π)/(180°)

केंद्र कोण का मान रखने पर: ᵣₐ_d = 60° × (π)/(180°) = (π)/(3) रेडियन

केंद्र पर अंतरित कोण का परिमाण (π)/(3) रेडियन है, जहाँ संख्यात्मक गुणांक ⅓ है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करके इस व्यंजक का मान ज्ञात किया जा सकता है। हम जानते हैं कि sec 45° = √2, cot 45° = 1, sin 30° = 1/2, और sin 60° = √3/2। दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(sec² 45° - cot² 45°) - (sin² 30° + sin² 60°) = ((√2)² - (1)²) - ((1/2)² + (√3/2)²) = (2 - 1) - (1/4 + 3/4) = 1 - (4/4) = 1 - 1 = 0

वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, sec² θ - tan² θ = 1 और sin² θ + cos² θ = 1। चूंकि cot 45° = tan 45° = 1, इसलिए पहला पद (sec² 45° - cot² 45°) 1 के बराबर है। चूंकि पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ द्वारा sin 60° = cos 30° होता है, इसलिए दूसरा पद (sin² 30° + sin² 60°), (sin² 30° + cos² 30°) बन जाता है, जो 1 के बराबर है। अंतिम गणना 1 - 1 = 0 है।

व्याख्या

पुरुष कर्मचारियों की संख्या का महिला कर्मचारियों की संख्या से अनुपात मिश्रण (alligation) के नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। मान लीजिए कि M पुरुषों का औसत वेतन है, F महिलाओं का औसत वेतन है, और A सभी कर्मचारियों का माध्य वेतन है।

पुरुषों (nₘ) का महिलाओं (n_f) से अनुपात इस प्रकार दिया गया है: nₘ / n_f = (A - F) / (M - A)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: nₘ / n_f = (5000 - 4200) / (5200 - 5000) = 800 / 200 = 4 / 1

इसका अर्थ है कि प्रत्येक 4 पुरुष कर्मचारियों पर 1 महिला कर्मचारी है। अनुपात में कुल भाग 4 + 1 = 5 हैं।

महिला कर्मचारियों के प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: महिला कर्मचारियों का प्रतिशत = (n_f / (nₘ + n_f)) × 100 महिला कर्मचारियों का प्रतिशत = (1 / 5) × 100 = 20%

व्याख्या

दिए गए बीजगणितीय प्रतिबंध 4x = √5 + 2 से, हम परिमेयकरण (rationalization) के माध्यम से व्युत्क्रम पद ¹⁄₄ₓ का मान ज्ञात करते हैं: ¹⁄₄ₓ = (1)/(√(5) + 2) × √5 - 2{√5 - 2} = √5 - 2{5 - 4} = √5 - 2

x - ¹⁄₁₆ₓ को सबसे कुशलता से हल करने के लिए, हम 4x और ¹⁄₄ₓ पदों का सीधे उपयोग करने के लिए व्यंजक से ¼ को उभयनिष्ठ (factor out) लेते हैं: x - ¹⁄₁₆ₓ = ¼ ( 4x - ¹⁄₄ₓ )

इस परिवर्तित व्यंजक में स्थापित मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: ¼ [(√5 + 2) - (√5 - 2)]

कोष्ठक के भीतर के पदों का विस्तार करने पर अपरिमेय भाग निरस्त हो जाता है: √5 + 2 - √5 + 2 = 4

अंतिम गणना से मान प्राप्त होता है: ¼ × 4 = 1

व्याख्या

105 का घन ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का उपयोग करते हैं। a = 100 और b = 5 रखने पर, प्रसार की गणना निम्नानुसार की जाती है:

105³ = (100 + 5)³ = 100³ + 3(100²)(5) + 3(100)(5²) + 5³ = 1,000,000 + 150,000 + 7,500 + 125 = 1,157,625

वैकल्पिक रूप से, विचलन d = 5 के साथ आधार 100 के निकट की संख्याओं के लिए वैदिक गणित शॉर्टकट का उपयोग करने पर: परिणाम को तीन भागों में विभाजित किया गया है: (100 + 3d) | (3d²) | (d³)। पहला भाग 100 + 3(5) = 115 है। दूसरा भाग 3(5²) = 75 है। तीसरा भाग 5³ = 125 है। चूंकि आधार 100 है, हम दूसरे और तीसरे खंड में केवल दो अंक रखते हैं और किसी भी अतिरिक्त अंक को आगे (हासिल के रूप में) ले जाते हैं। 125 से 1 को मध्य खंड में ले जाने पर 75 + 1 = 76 प्राप्त होता है। भागों को संयोजित करने पर 1157625 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में जहाँ ∠ B = 90° है, कर्ण AC की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है: AC = √(AB² + BC²)। दिए गए मानों AB = 6 सेमी और BC = 8 सेमी का उपयोग करके, हम पाते हैं AC = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √(100) = 10 सेमी।

समकोण त्रिभुजों का एक प्रमुख ज्यामितीय गुण यह है कि समकोण शीर्ष से कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कर्ण का मध्य बिंदु, D, त्रिभुज के परिकेंद्र के रूप में कार्य करता है, जिससे दूरियाँ DA, DC और DB परित्रिज्या R के बराबर हो जाती हैं। चूँकि D, AC का मध्य बिंदु है, इसलिए BD कर्ण पर माध्यिका है, और इसकी लंबाई BD = (AC)/(2) = ¹⁰⁄₂ = 5 सेमी है।

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल A उसके विकर्ण d का उपयोग करके सूत्र A = d²{2} द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। चूंकि क्षेत्रफल विकर्ण के वर्ग के समानुपाती होता है, इसलिए दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके विकर्णों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

दिया गया है कि विकर्णों का अनुपात d₁ : d₂ = 5 : 2 है, उनके क्षेत्रफलों के अनुपात A₁ : A₂ की गणना इस प्रकार की जाती है:

A₁{A₂} = (1)/(2) d₁²{½ d₂²} = (d₁{d₂})²

दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:

(⁵⁄₂)² = ²⁵⁄₄

इसलिए, क्षेत्रफलों का अनुपात 25:4 है।

व्याख्या

सीढ़ी, दीवार और जमीन द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, सीढ़ी कर्ण के रूप में कार्य करती है जबकि सीढ़ी के पाद से दीवार की दूरी आधार (संलग्न भुजा) को दर्शाती है। दिए गए उन्नयन कोण के लिए आधार और कर्ण के बीच का संबंध कोसाइन (cosine) त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा प्राप्त होता है।

सूत्र इस प्रकार परिभाषित है: cos(θ) = (आधार)/(कर्ण)

यह देखते हुए कि उन्नयन कोण θ = 60° है और दीवार से दूरी (आधार) 4.6 मीटर है, समीकरण है: cos(60°) = (4.6)/(सीढ़ी की लंबाई)

मानक त्रिकोणमितीय मान cos(60°) = 0.5 या ½ का उपयोग करते हुए, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: ½ = (4.6)/(सीढ़ी की लंबाई)

सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर: सीढ़ी की लंबाई = 4.6 × 2 = 9.2 मीटर

व्याख्या

माना कि दो संख्याएँ 12x और 12y हैं, जहाँ x और y सह-अभाज्य (co-prime) पूर्णांक हैं क्योंकि उनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 12 है। दिया गया है कि इन दो 2-अंकीय संख्याओं का गुणनफल 2160 है, इसलिए हमारे पास समीकरण (12x) × (12y) = 2160 है। इसे सरल करने पर, 144xy = 2160 प्राप्त होता है, जिससे xy = ²¹⁶⁰⁄₁₄₄ = 15 प्राप्त होता है।

15 के सह-अभाज्य गुणनखंडों के युग्म (1, 15) और (3, 5) हैं। यदि हम युग्म (1, 15) लेते हैं, तो संख्याएँ 12 × 1 = 12 और 12 × 15 = 180 होंगी। हालाँकि, प्रश्न में कहा गया है कि दोनों 2-अंकीय संख्याएँ हैं, इसलिए 180 को बाहर कर दिया जाता है। युग्म (3, 5) लेने पर, संख्याएँ 12 × 3 = 36 और 12 × 5 = 60 हैं। 36 और 60 दोनों ही 2-अंकीय संख्याएँ हैं जो महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 12 और गुणनफल 2160 होने की दी गई शर्तों को पूरा करती हैं।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का अंतर सूत्र D = P((R)/(100))² द्वारा दिया जाता है, जहाँ D अंतर है, P मूलधन है, और R वार्षिक ब्याज दर है। यह सूत्र इसलिए बनता है क्योंकि दो वर्षों के बाद का अंतर केवल पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज होता है।

यह देखते हुए कि अंतर D = 1 और दर R = 4 है, हम मूलधन ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं:

1 = P × (⁴⁄₁₀₀)²

1 = P × (¹⁄₂₅)²

1 = P × ¹⁄₆₂₅

P = 1 × 625 = 625

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी दर विधि का उपयोग करते हुए, 4% की दर से 2 वर्षों के लिए साधारण ब्याज 4 + 4 = 8% है। 4% की दर से 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज 4 + 4 + (4 × 4)/(100) = 8.16% है। उनके बीच का अंतर 0.16% है। प्रश्न के अनुसार, धनराशि P का 0.16%, 1 रुपये है। इसलिए, P × (0.16)/(100) = 1, जिससे P = (100)/(0.16) = ¹⁰⁰⁰⁰⁄₁₆ = 625 प्राप्त होता है।

व्याख्या

25 लीटर के प्रारंभिक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4:1 है, जिससे कुल भाग 4 + 1 = 5 हो जाते हैं। प्रत्येक भाग का मान 25 / 5 = 5 लीटर है। इस प्रकार, दूध की मात्रा 4 × 5 = 20 लीटर है और पानी की मात्रा 1 × 5 = 5 लीटर है। जब इसमें 3 लीटर पानी और मिलाया जाता है, तो पानी की नई मात्रा 5 + 3 = 8 लीटर हो जाती है। दूध की मात्रा 20 लीटर पर ही अपरिवर्तित रहती है। अतः, दूध और पानी का नया अनुपात 20 : 8 होगा, जिसे दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर सरल रूप में 5 : 2 लिखा जा सकता है।

व्याख्या

A द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय 5 × 3 = 15 दिन है। B द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय 10 × ⁵⁄₂ = 25 दिन है। संयुक्त कार्य सूत्र T = (xy)/(x+y) का उपयोग करके, जहाँ x और y व्यक्तिगत समय हैं, हम गणना करते हैं:

T = (15 × 25)/(15 + 25) = ³⁷⁵⁄₄₀ दिन

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 5 से विभाजित करने पर ⁷⁵⁄₈ दिन प्राप्त होता है। इसे एक मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए, 75 को 8 से विभाजित करें, जिससे भागफल 9 और शेषफल 3 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 9 ⅜ दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

एक लंब पिरामिड का आयतन V सूत्र V = ⅓ × B × h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ B आधार के क्षेत्रफल को दर्शाता है और h ऊर्ध्वाधर ऊंचाई को दर्शाता है। दिया गया है कि आधार का क्षेत्रफल B = 57 वर्ग इकाई और ऊंचाई h = 10 इकाई है, आयतन की गणना V = ⅓ × 57 × 10 के रूप में की जाती है। 57 को 3 से विभाजित करने पर 19 प्राप्त होता है, और 19 को 10 से गुणा करने पर कुल आयतन 190 घन इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) को अंकित मूल्य (MP) में से छूट की राशि घटाकर निर्धारित किया जाता है। मानक संबंध SP = MP × (1 - (छूट %)/(100)) का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मानों MP = 1200 और छूट % = 5 को प्रतिस्थापित करते हैं। गणना इस प्रकार है: SP = 1200 × (1 - ⁵⁄₁₀₀) = 1200 × ⁹⁵⁄₁₀₀ = 12 × 95 = 1140. वैकल्पिक रूप से, 1200 का 5% ज्ञात करने पर 60 प्राप्त होता है, और इसे अंकित मूल्य से घटाने पर 1200 - 60 = 1140 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना A और B क्रमशः उनकी आय को दर्शाते हैं। दी गई शर्त के अनुसार: A का 35% = B का 25% ³⁵⁄₁₀₀ × A = ²⁵⁄₁₀₀ × B 35 × A = 25 × B

A की आय का B की आय से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: (A)/(B) = ²⁵⁄₃₅

अंश और हर दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: (A)/(B) = ⁵⁄₇

अनुपात A:B, 5:7 है।

व्याख्या

एक व्यावसायिक साझेदारी में जहाँ सभी भागीदारों के लिए निवेश की समय अवधि समान होती है, वहाँ लाभ या हानि को उनके निवेश के सीधे अनुपात में साझा किया जाता है। A और B के निवेश का अनुपात 3000 : 2400 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 600 से विभाजित करने पर, उनके निवेश का सरलीकृत अनुपात 5 : 4 प्राप्त होता है।

कुल हुई हानि 720 रुपये है। B का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, कुल हानि को अनुपात के भागों के योग, 5 + 4 = 9 से विभाजित किया जाता है। अनुपात के प्रति इकाई की हानि 720 / 9 = 80 है। चूंकि B का निवेश कुल अनुपात के 4 भागों का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए हानि में B के हिस्से की गणना 4 × 80 = 320 के रूप में की जाती है। सीधे समानुपात सूत्र का उपयोग करते हुए, B का हिस्सा = (2400)/(3000 + 2400) × 720 = ²⁴⁄₅₄ × 720 = ⁴⁄₉ × 720 = 320।

व्याख्या

व्यंजक 1600 का 6 ¼ % + 800 का 12 ½ % को प्रतिशतों को उनके भिन्नात्मक समकक्षों में परिवर्तित करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।

पहला प्रतिशत 6 ¼ % ²⁵⁄₄ % के बराबर है। इसे भिन्न में बदलने के लिए, हम 100 से विभाजित करते हैं: (25)/(4 × 100) = ²⁵⁄₄₀₀ = ¹⁄₁₆

दूसरा प्रतिशत 12 ½ % ²⁵⁄₂ % के बराबर है। इसे भिन्न में बदलना: (25)/(2 × 100) = ²⁵⁄₂₀₀ = ⅛

अब, हम इन भिन्नों को प्रश्न में दिए गए संबंधित मानों पर लागू करते हैं: पहला भाग: ¹⁄₁₆ × 1600 = 100 दूसरा भाग: ⅛ × 800 = 100

दोनों परिणामों को जोड़ने पर अंतिम मान प्राप्त होता है: 100 + 100 = 200

6.25% और 12.5% जैसे सामान्य प्रतिशतों के लिए इन भिन्नात्मक शॉर्टकट का उपयोग करने से जटिल गुणा को सरल भाग में बदलकर त्वरित गणना की जा सकती है।

व्याख्या

दो स्थानों के बीच की दूरी सूत्र दूरी = चाल × समय द्वारा निर्धारित की जाती है। इस मामले में, शताब्दी एक्सप्रेस 80 किमी/घंटा की औसत चाल बनाए रखती है और कोलकाता से रांची की यात्रा 7 घंटे में पूरी करती है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

दूरी = 80 किमी/घंटा × 7 घंटे = 560 किमी

इस गणना से कुल दूरी 560 किलोमीटर प्राप्त होती है, जो प्रदान की गई औसत चाल की इकाई से मेल खाती है।

व्याख्या

a² + b² का मान मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। हमें दिया गया है कि a³ - b³ = 56 और a - b = 2 है।

सबसे पहले, हम द्विपद के घन के प्रसार का उपयोग करते हैं: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

इस समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 56 = (2)³ + 3ab(2) 56 = 8 + 6ab 48 = 6ab ab = 8

इसके बाद, हम द्विपद के वर्ग का उपयोग करके a² + b² को दिए गए a - b और ज्ञात किए गए ab से संबद्ध करते हैं: (a - b)² = a² + b² - 2ab a² + b² = (a - b)² + 2ab

a - b = 2 और ab = 8 को प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² = (2)² + 2(8) a² + b² = 4 + 16 a² + b² = 20