एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे 37044 को विभाजित करने पर परिणाम एक पूर्ण घन बन जाए, हम संख्या का अभाज्य गुणनखंड (prime factorization) ज्ञात करते हैं। 37044 को इसके सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंडों से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

37044 = 2 × 18522 18522 = 2 × 9261 9261 = 3 × 3087 3087 = 3 × 1029 1029 = 3 × 343 343 = 7 × 49 49 = 7 × 7

इस प्रकार, 37044 का अभाज्य गुणनखंड 2² × 3³ × 7³ है। किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए, उसके गुणनखंड में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक (exponent) 3 का गुणज होना चाहिए। 37044 के अभाज्य गुणनखंड में, गुणनखंड 3³ और 7³ पहले से ही पूर्ण घन हैं। हालाँकि, गुणनखंड 2² का घातांक 2 है, जो 3 का गुणज नहीं है। भागफल को एक पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 37044 को 2² से विभाजित करना होगा, जो कि 4 है। इससे परिणाम 3³ × 7³ = 21³ = 9261 बचता है, जो कि एक पूर्ण घन है।

व्याख्या

मान लीजिए कि I औसत मासिक आय को दर्शाता है। 8 महीने का खर्च 6 महीने की आय के बराबर होने की शर्त का तात्पर्य है कि औसत मासिक खर्च E = ⁶⁄₈I = ¾I है। वार्षिक बचत की गणना 12 महीनों में कुल वार्षिक आय और कुल वार्षिक खर्च के बीच के अंतर के रूप में की जाती है।

वार्षिक बचत = 12I - 12E

I के संदर्भ में E का मान प्रतिस्थापित करने पर: 6000 = 12I - 12(¾I) 6000 = 12I - 9I 6000 = 3I I = ⁶⁰⁰⁰⁄₃ = 2000

व्याख्या

दिए गए मानों a = √2 + 1 और b = √2 - 1 को प्रतिस्थापित करके व्यंजक को सरल किया जाता है। सबसे पहले, योग a + b = (√2 + 1) + (√2 - 1) = 2√2 और गुणनफल ab = (√2 + 1)(√2 - 1) = (√2)² - (1)² = 2 - 1 = 1 की गणना करें। दिए गए व्यंजक ¹⁄ₐ₊₁ + (1)/(b+1) को उभयनिष्ठ हर लेकर एक एकल भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: ((b+1) + (a+1))/((a+1)(b+1)) = (a+b+2)/(ab+a+b+1)। इस भिन्न में a+b और ab के मानों को प्रतिस्थापित करने पर 2√2 + 2{1 + 2√2 + 1} = 2√2 + 2{2√2 + 2} = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

आंशिक भिन्न वियोजन (partial fraction decomposition) ³⁄₍ₓ₊₂₎₍₂ₓ₊₁₎ = ᵃ⁄₂ₓ₊₁ + ᵇ⁄ₓ₊₂ में अचर b का मान गुणनखंड (x+2) से संबद्ध पद को अलग करके ज्ञात किया जाता है। संपूर्ण सर्वसमिका को उभयनिष्ठ हर (x+2)(2x+1) से गुणा करने पर रैखिक सर्वसमिका 3 = a(x+2) + b(2x+1) प्राप्त होती है।

b का मान सीधे ज्ञात करने के लिए, हम x का वह मान प्रतिस्थापित करते हैं जो a वाले पद को शून्य कर देता है। समीकरण में x = -2 रखने पर 3 = a(-2+2) + b(2(-2)+1) प्राप्त होता है। इससे व्यंजक सरल होकर 3 = a(0) + b(-4+1) हो जाता है, जो आगे हल करने पर 3 = -3b हो जाता है। दोनों पक्षों को -3 से भाग देने पर b = -1 प्राप्त होता है। यह परिणाम कवर-अप विधि (cover-up method) द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें (x+2) गुणनखंड को हटाने के बाद मूल व्यंजक का मान x = -2 पर निकाला जाता है: b = [³⁄₂ₓ₊₁]ₓ₌₋₂ = ³⁄₋₃ = -1।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर खींचा गया लंब कर्ण को दो ऐसे खंडों में विभाजित करता है कि लंब का वर्ग इन दोनों खंडों की लंबाइयों के गुणनफल के बराबर होता है। इसे समकोण त्रिभुज ऊंचाई प्रमेय (Right Triangle Altitude Theorem) या गुणोत्तर माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के रूप में जाना जाता है।

त्रिभुज ABC में, चूंकि ∠ BAC = 90° और AD ⊥ BC है, हम निम्नलिखित संबंध लागू करते हैं: AD² = BD × DC

दिए गए मानों AD = 6 सेमी और BD = 4 सेमी को सूत्र में रखने पर: 6² = 4 × DC 36 = 4 × DC DC = ³⁶⁄₄ = 9 सेमी

कर्ण BC की लंबाई, खंडों BD और DC का योग है: BC = BD + DC BC = 4 + 9 = 13 सेमी

व्याख्या

△ ABC में, भुजा AB की कुल लंबाई AD + DB = 8 + 12 = 20 सेमी है, और भुजा AC की कुल लंबाई AE + EC = 6 + 9 = 15 सेमी है। △ ADE और △ ABC की संगत भुजाओं के अनुपातों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि (AD)/(AB) = 8/20 = ⅖ और (AE)/(AC) = 6/15 = ⅖। चूंकि ये दोनों भुजाएं समानुपाती हैं और उनका अंतर्गत कोण ∠ A उभयनिष्ठ है, इसलिए SAS समरूपता कसौटी के अनुसार △ ADE ∼ △ ABC है। समरूप त्रिभुजों में, सभी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है, जिसका अर्थ है (DE)/(BC) = (AD)/(AB) = ⅖। BC के लिए हल करने पर संबंध BC = ⁵⁄₂ DE प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, आंतरिक कोणों का योग ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° होता है। दिया गया है कि ∠ A = 90°, इसलिए ∠ B + ∠ C = 90° होगा, जिसे ∠ C = 90° - ∠ B के रूप में लिखा जा सकता है।

व्यंजक cos² A + cos² B + cos² C का मान ज्ञात करने के लिए, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: cos² 90° + cos² B + cos²(90° - B)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos 90° = 0 का उपयोग करने पर, पहला पद 0 हो जाता है। सह-फलन सर्वसमिका (co-function identity) cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करने पर, तीसरा पद cos²(90° - B) बदलकर sin² B हो जाता है। अब व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 0 + cos² B + sin² B

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, योग cos² B + sin² B का मान 1 के बराबर होता है। अतः, व्यंजक का कुल मान 0 + 1 = 1 है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ है, जहाँ A अंतिम मिश्रधन है, P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और n वर्षों की संख्या है। दिए गए मानों A = 9261, P = 8000, और r = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

9261 = 8000(1 + ⁵⁄₁₀₀)ⁿ ⁹²⁶¹⁄₈₀₀₀ = (1 + ¹⁄₂₀)ⁿ ⁹²⁶¹⁄₈₀₀₀ = (²¹⁄₂₀)ⁿ

चूंकि 20³ = 8000 और 21³ = 9261 है, इसलिए समीकरण के बाएं पक्ष को 3 की घात के रूप में लिखा जा सकता है:

(²¹⁄₂₀)³ = (²¹⁄₂₀)ⁿ

दोनों पक्षों के घातांकों की तुलना करने पर, हमें n = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए भवन की ऊंचाई h = 20 मीटर है और भवन तथा मीनार के बीच की दूरी x है। भवन के शीर्ष से, मीनार के पाद का अवनमन कोण 45° है। त्रिकोणमितीय संबंध tan θ = लंब / आधार का उपयोग करने पर, हमें tan 45° = 20 / x प्राप्त होता है। चूंकि tan 45° = 1 है, इसलिए क्षैतिज दूरी x = 20 मीटर है।

मीनार के दो भाग हैं: भवन की ऊंचाई के बराबर का भाग (20 मीटर) और उसके ऊपर का भाग, मान लीजिए यह y है। ऊपरी भाग के लिए, उन्नयन कोण 60° है। समान क्षैतिज दूरी x = 20 मीटर का उपयोग करते हुए, हम tan सूत्र लागू करते हैं: tan 60° = y / 20। tan 60° = √3 रखने पर, हमें y = 20 √3 प्राप्त होता है।

मीनार की कुल ऊंचाई इन दोनों भागों का योग है: H = 20 + 20 √3 = 20(1 + √3)। √3 = 1.732 का दिया गया मान रखने पर, ऊंचाई H = 20(1 + 1.732) = 20 × 2.732 = 54.64 मीटर है।

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर कार्य करने में लगने वाले समय को सूत्र T = (x × y)/(x + y) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जहाँ x और y प्रत्येक व्यक्ति द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को दर्शाते हैं। इस मामले में, x = 7 दिन और y = 9 दिन।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: T = (7 × 9)/(7 + 9) = ⁶³⁄₁₆

अनुचित भिन्न ⁶³⁄₁₆ को मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए, 63 को 16 से विभाजित करें। भागफल 3 है और शेषफल 15 है, जिसके परिणामस्वरूप 3 ¹⁵⁄₁₆ दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

क्रमिक छूट के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना दो क्रमिक छूटों x% और y% के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जो कि (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)% है।

सबसे पहले, पहली दो दरों, 20% और 10% के लिए समतुल्य छूट की गणना करें: समतुल्य छूट D₁ = (20 + 10 - (20 × 10)/(100))% = (30 - 2)% = 28%

इसके बाद, इस 28% के परिणाम को तीसरी छूट दर 5% के साथ मिलाएँ: एकल समतुल्य छूट D = (28 + 5 - (28 × 5)/(100))% = (33 - ¹⁴⁰⁄₁₀₀)% = (33 - 1.4)% = 31.6%

वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करते हुए, यदि प्रारंभिक मूल्य 100 है, तो तीन क्रमिक छूटों के बाद अंतिम मूल्य 100 × (1 - 0.20) × (1 - 0.10) × (1 - 0.05) = 100 × 0.80 × 0.90 × 0.95 होगा। इन्हें गुणा करने पर 100 × 0.72 × 0.95 = 68.4 प्राप्त होता है। कुल प्रभावी छूट प्रारंभिक मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 100 - 68.4 = 31.6% है।

व्याख्या

छात्रों की कुल संख्या 720 है और लड़कों का लड़कियों से अनुपात 7 : 5 है। अनुपात में कुल भाग 7 + 5 = 12 हैं। एक भाग का मान 720 / 12 = 60 के रूप में निकाला जाता है। परिणामस्वरूप, लड़कों की संख्या 7 × 60 = 420 है और लड़कियों की संख्या 5 × 60 = 300 है। 1 : 1 का अनुपात प्राप्त करने के लिए, लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या के बराबर होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि लड़कियों की कुल संख्या 420 होनी चाहिए। आवश्यक अतिरिक्त लड़कियां 420 - 300 = 120 हैं। वैकल्पिक रूप से, अनुपात को 7 : 5 से बदलकर 7 : 7 (जो कि 1 : 1 के बराबर है) करने के लिए, लड़कियों के 2 भागों को जोड़ने की आवश्यकता है। चूंकि एक भाग 60 छात्रों को दर्शाता है, इसलिए जोड़ी जाने वाली लड़कियों की संख्या 2 × 60 = 120 है।

व्याख्या

मान लीजिए 1 केले का क्रय मूल्य (CP) C है और 1 केले का विक्रय मूल्य (SP) S है। प्रश्न के अनुसार, 6 केलों का विक्रय मूल्य 8 केलों के क्रय मूल्य के बराबर है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 6S = 8C

विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (S)/(C) = ⁸⁄₆ = ⁴⁄₃

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ % = ( (S)/(C) - 1 ) × 100

सूत्र में अनुपात का मान रखने पर: लाभ % = ( ⁴⁄₃ - 1 ) × 100 = ⅓ × 100 = 33 ⅓%

इसे इस प्रकार की समस्याओं के लिए शॉर्टकट का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है: लाभ % = (क्रय मूल्य की वस्तुएं - विक्रय मूल्य की वस्तुएं)/(विक्रय मूल्य की वस्तुएं) × 100 लाभ % = (8 - 6)/(6) × 100 = ²⁄₆ × 100 = ⅓ × 100 = 33 ⅓%

व्याख्या

शेष बचे आमों के प्रतिशत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: शेष प्रतिशत = (कुल मात्रा - वितरित मात्रा)/(कुल मात्रा) × 100। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक (300 - 75)/(300) × 100 हो जाता है। अंश को सरल करने पर 225 प्राप्त होता है, और गणना ²²⁵⁄₃₀₀ × 100 हो जाती है, जिसे आगे सरल करने पर ²²⁵⁄₃ प्राप्त होता है, जिससे परिणाम 75% आता है।

व्याख्या

जब किसी यात्रा में किसी गंतव्य तक जाना और उसी मार्ग से वापस आना शामिल होता है, तो दोनों दिशाओं में तय की गई दूरी बराबर होती है। ऐसे मामलों में, पूरी यात्रा के लिए औसत गति व्यक्तिगत गतियों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है, जिसकी गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

vₐᵥ_g = (2v₁v₂)/(v₁ + v₂)

दिया गया है कि स्थान पर जाने की गति v₁ = 16 किमी/घंटा और कुल औसत गति vₐᵥ_g = 6.4 किमी/घंटा है, वापसी की गति v₂ ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

6.4 = (2 × 16 × v₂)/(16 + v₂)

6.4 = (32v₂)/(16 + v₂)

दोनों पक्षों को (16 + v₂) से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

6.4(16 + v₂) = 32v₂

102.4 + 6.4v₂ = 32v₂

v₂ को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

32v₂ - 6.4v₂ = 102.4

25.6v₂ = 102.4

v₂ = (102.4)/(25.6)

v₂ = 4 किमी/घंटा

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। जब दो स्थितियों में ब्याज की राशि (SI) और मूलधन (P) स्थिर रहते हैं, तो दर (R) और समय अवधि (T) का गुणनफल समान होना चाहिए। इससे संबंध R₁ T₁ = R₂ T₂ स्थापित होता है।

दिया गया है: प्रारंभिक दर R₁ = 5% प्रारंभिक समय T₁ = 8 वर्ष नया समय T₂ = 5 वर्ष

समीकरण में इन मानों को रखने पर: 5 × 8 = R₂ × 5 40 = 5 × R₂ R₂ = ⁴⁰⁄₅ = 8%

वैकल्पिक रूप से, पहले मूलधन P की गणना करने पर: P = (SI × 100)/(R₁ × T₁) = (840 × 100)/(5 × 8) = ⁸⁴⁰⁰⁰⁄₄₀ = 2100 5 वर्षों में समान ब्याज के लिए नई दर R₂ है: R₂ = (SI × 100)/(P × T₂) = (840 × 100)/(2100 × 5) = ⁸⁴⁰⁄₁₀₅ = 8%

व्याख्या

दिया गया समीकरण C + (1)/(C) = 3 है। (C - 3) को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: C - 3 = -(1)/(C)

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम C - 3 को -(1)/(C) से प्रतिस्थापित करते हैं। इस बीजगणितीय सर्वसमिका समस्या के संदर्भ में, घातों को इस प्रकार रखा गया है ताकि वे एक-दूसरे को निरस्त कर सकें। व्यंजक (C - 3)⁷ + (1)/(C⁷) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (-(1)/(C))⁷ + (1)/(C⁷)

चूंकि 7 एक विषम घात है, इसलिए (-(1)/(C))⁷ = -(1)/(C⁷) होगा। इसके बाद व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: -(1)/(C⁷) + (1)/(C⁷) = 0

यह परिणाम किसी भी विषम घात n के लिए सत्य है जहाँ व्यंजक (C - 3)ⁿ + (1)/(Cⁿ) है, जिससे पद आपस में निरस्त हो जाते हैं।

व्याख्या

x² + (1)/(64x²) का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दिए गए समीकरण 2x + ¹⁄₄ₓ = 1 के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें। इससे सरलीकृत व्यंजक x + ¹⁄₈ₓ = ½ प्राप्त होता है।

इसके बाद, बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: (x + ¹⁄₈ₓ)² = (½)² x² + 2(x)(¹⁄₈ₓ) + (¹⁄₈ₓ)² = ¼

मध्य पद 2(x)(¹⁄₈ₓ) को सरल करने पर ¼ प्राप्त होता है। इसके बाद समीकरण इस प्रकार हो जाता है: x² + ¼ + (1)/(64x²) = ¼

समीकरण के दोनों पक्षों से ¼ घटाने पर, हमें वांछित व्यंजक प्राप्त होता है: x² + (1)/(64x²) = ¼ - ¼ = 0

व्याख्या

एक त्रिभुज ABC में जहाँ O लंबकेंद्र है, लंबकेंद्र पर किन्हीं दो शीर्षों द्वारा बनाया गया कोण और तीसरे शीर्ष पर आंतरिक कोण संपूरक होते हैं। इस संबंध को सूत्र ∠ BOC + ∠ BAC = 180° द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिया गया है कि ∠ BOC = 110°, हम सूत्र में ज्ञात मान रखकर ∠ BAC का मान ज्ञात कर सकते हैं: 110° + ∠ BAC = 180° ∠ BAC = 180° - 110° ∠ BAC = 70°

यह गुण इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि यदि B और C से खींचे गए शीर्षलंब विपरीत भुजाओं से क्रमशः E और F पर मिलते हैं, तो चतुर्भुज AEOF में E और F पर समकोण बनते हैं। चूंकि एक चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है, इसलिए ∠ BAC + ∠ EOF = 180°। चूंकि ∠ BOC और ∠ EOF शीर्षाभिमुख कोण हैं, वे बराबर होते हैं, जिससे यह संपूरक संबंध प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके निकाला जाता है। △ ABC में, क्षेत्रफल समान रहता है चाहे किसी भी भुजा को आधार माना जाए और उसके संगत शीर्षलंब का उपयोग किया जाए। इसलिए, आधार AB और शीर्षलंब CF का उपयोग करके निकाला गया क्षेत्रफल, आधार AC और शीर्षलंब BE का उपयोग करके निकाले गए क्षेत्रफल के बराबर है।

½ × AB × CF = ½ × AC × BE

नियतांक ½ को हटाने पर, यह संबंध सरल होकर AB × CF = AC × BE हो जाता है। दिए गए मानों AB = 6 सेमी, AC = 5 सेमी, और CF = 4 सेमी को समीकरण में रखने पर:

6 × 4 = 5 × BE 24 = 5 × BE BE = 24/5 = 4.8 सेमी

यह परिणाम इस ज्यामितीय सिद्धांत से प्राप्त होता है कि किसी त्रिभुज के शीर्षलंब उनके संगत आधारों के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

व्याख्या

दोपहर 3 बजे, एक घड़ी की मिनट की सुई 12 के अंक की ओर इशारा करती है, जबकि घंटे की सुई 3 के अंक की ओर इशारा करती है। एक घड़ी को 12 बराबर घंटे के अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और एक वृत्त का कुल कोण 360° या 2π रेडियन होता है। प्रत्येक लगातार घंटे के अंकों के बीच की कोणीय दूरी 360° / 12 = 30° होती है। चूंकि 12 के अंक और 3 के अंक के बीच 3 घंटे का अंतराल होता है, इसलिए सुइयों के बीच बनने वाला कोण 3 × 30° = 90° होता है। वृत्तीय माप ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र रेडियन = डिग्री × (π / 180°) का उपयोग करके डिग्री को रेडियन में बदलते हैं। इसे दोपहर 3 बजे के कोण पर लागू करने पर, हमें 90° × (π / 180°) = π / 2 रेडियन प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया गया है: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

भागफल ज्ञात करने के लिए इस सर्वसमिका को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: a³ + b³{a² - ab + b²} = a + b

a = 2.3 और b = 0.3 मान रखने पर, दिए गए व्यंजक के पद सर्वसमिका के घटकों से मेल खाते हैं। अंश (2.3)³ + (0.3)³ है क्योंकि (0.3)³ = 0.027 है। हर, गुणनखंड a² - ab + b² के संगत है, जहाँ गुणनफल ab = 2.3 × 0.3 = 0.69 और वर्ग b² = (0.3)² = 0.09 है।

सर्वसमिका के अनुसार, परिणाम दोनों पदों का योग है: 2.3 + 0.3 = 2.6

व्याख्या

सही औसत कुल योग में शुद्ध परिवर्तन की गणना करके और इसे प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है। सही मान और गलत पढ़े गए मान के बीच का अंतर 53 - 83 = -30 है। यह ऋणात्मक अंतर दर्शाता है कि प्रारंभिक कुल योग की गणना में 30 इकाई अधिक जोड़ ली गई थी। औसत में परिवर्तन इस अंतर को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: -30 / 100 = -0.3। इस सुधार के साथ मूल औसत को समायोजित करने पर, सही औसत 35 - 0.3 = 34.7 है। वैकल्पिक रूप से, कुल योग विधि का उपयोग करने पर, सही योग (100 × 35) - 83 + 53 = 3470 है, और सही औसत 3470 / 100 = 34.7 है।

व्याख्या

माना a = √x और b = √y। प्रश्न में दो समीकरण दिए गए हैं: a - b = 1 और a + b = 17। हमें √(xy) ज्ञात करना है, जो कि गुणनफल ab है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 17² - 1² = 4ab 289 - 1 = 4ab 288 = 4ab ab = ²⁸⁸⁄₄ = 72

वैकल्पिक रूप से, समीकरणों के निकाय को हल करने पर, उन्हें जोड़ने से 2√x = 18 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है √x = 9। दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर 2√y = 16 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है √y = 8। अतः, √(xy) = √x · √y = 9 · 8 = 72।

व्याख्या

दिया गया मान x = √3 + 1/•√3 है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = ( (√3)² + 1 ) / √3 = (3 + 1) / √3 = 4/√3

सबसे पहले, पद √(126)/√(42) = √(126/42) = √3 को सरल करें। फिर, व्यंजक का पहला गुणनखंड (x - √3) = 4/√3 - √3 = (4 - 3) / √3 = 1/•√3 है।

इसके बाद, दूसरे गुणनखंड के हर (denominator) पर विचार करें: x - (2√3)/3। चूंकि (2√3)/3 = 2/√3 है, हम x का मान प्रतिस्थापित करते हैं: x - 2/√3 = 4/√3 - 2/√3 = 2/√3।

दूसरा गुणनखंड ( x - 1 / (x - (2√3)/3) ) = x - 1 / (2/√3) = x - √3/2 है। इस गुणनखंड में x का मान प्रतिस्थापित करने पर: 4/√3 - √3/2 = (8 - 3) / (2√3) = 5/(2√3)।

अंतिम मान दोनों सरलीकृत गुणनखंडों का गुणनफल है: 1/√3 × 5/(2√3) = 5 / (2 × 3) = 5/6

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। △ ABC में, जब भुजा BC को बिंदु D तक बढ़ाया जाता है, तो ∠ ACD, अंतः कोणों ∠ A और ∠ B के सम्मुख बाह्य कोण है।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ∠ ACD = ∠ A + ∠ B

दिया गया है कि ∠ ACD = 120° और ∠ B = ½ ∠ A, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 120° = ∠ A + ½ ∠ A

∠ A का मान ज्ञात करने के लिए, दाईं ओर के समान पदों को जोड़ें: 120° = ³⁄₂ ∠ A

अब, ∠ A को अलग करें: ∠ A = (120° × 2)/3 ∠ A = 40° × 2 ∠ A = 80°

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। चूंकि AB, B पर वृत्त को स्पर्श करने वाली स्पर्श रेखा है और OB त्रिज्या है, इसलिए ∠ OBA = 90° होना चाहिए। इससे त्रिभुज OBA, कर्ण OA वाला एक समकोण त्रिभुज बनता है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OA² = OB² + AB²

दिए गए मानों OA = 5 सेमी और OB = 3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 5² = 3² + AB² 25 = 9 + AB² AB² = 25 - 9 AB² = 16 AB = √(16) = 4 सेमी

लंबाई 3, 4, और 5 एक मानक पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) बनाते हैं, जो स्पर्श रेखा खंड AB के माप की पुष्टि करता है।

व्याख्या

सर्वसमिका sin(90 - θ) = cos θ का उपयोग करने पर, sin 59° = sin(90° - 31°) = cos 31° प्राप्त होता है। व्यंजक sec 31° - sin 59° अब sec 31° - cos 31° हो जाता है, जिसे सरल करने पर (1 - cos² 31°) / cos 31° = sin² 31° / cos 31° प्राप्त होता है। दिया गया है कि sin 31° = x/y, इसलिए cos 31° = √(y² - x²) / y, अतः अंतिम परिणाम (x/y)² / [√(y² - x²) / y] = x² / (y√(y² - x²)) है।

व्याख्या

18 सेमी भुजा वाले एक परिबद्ध क्षेत्र के भीतर खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले का व्यास उस क्षेत्र की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। दी गई भुजा s = 18 सेमी के लिए, गोले की त्रिज्या r है: r = ˢ⁄₂ = ¹⁸⁄₂ = 9 सेमी

एक गोले के आयतन की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: V = ⁴⁄₃ π r³

त्रिज्या का मान रखने पर: V = ⁴⁄₃ × π × 9³ V = ⁴⁄₃ × π × 729 V = 4 × π × 243 V = 972π

संख्यात्मक मान 972 सही विकल्प के अंकों से मेल खाता है, जहाँ अंकों के बाद का वर्ण π का एक टाइपोग्राफिकल प्रतिनिधित्व है।

व्याख्या

h ऊँचाई वाली मीनार के लिए सूर्य के उन्नतांश कोण θ पर छाया की लंबाई s, सूत्र s = h cot θ द्वारा दी जाती है।

जब सूर्य का उन्नतांश 30° होता है, तो छाया की लंबाई s₁ = 50 cot 30° = 50√3 मीटर होती है। जब सूर्य का उन्नतांश 45° होता है, तो छाया की लंबाई s₂ = 50 cot 45° = 50(1) = 50 मीटर होती है।

छाया की लंबाइयों में अंतर x की गणना x = s₁ - s₂ के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 50√3 - 50 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x = 50(√3 - 1) मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक आइसोग्राफ्ट (isograft), जिसे सिन्जेनिक ग्राफ्ट (syngeneic graft) के रूप में भी जाना जाता है, ऊतक या अंग प्रत्यारोपण का एक प्रकार है जो दो ऐसे व्यक्तियों के बीच किया जाता है जो आनुवंशिक रूप से समरूप होते हैं। मनुष्यों में, यह विशेष रूप से मोनोज़ायगोटिक (समरूप) जुड़वां बच्चों के बीच होता है। चूंकि दाता (donor) और प्राप्तकर्ता (recipient) का आनुवंशिक कोड समान होता है, इसलिए वे समान मेजर हिस्टोकम्पैटिबिलिटी कॉम्प्लेक्स (MHC) एंटीजन भी साझा करते हैं, जो प्रतिरक्षा प्रणाली द्वारा स्वयं (self) और गैर-स्वयं (non-self) के बीच अंतर करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्राथमिक संकेतक (markers) हैं। परिणामस्वरूप, प्राप्तकर्ता की प्रतिरक्षा प्रणाली प्रत्यारोपित ऊतक को बाहरी (foreign) के रूप में नहीं पहचानती है, जिससे ग्राफ्ट अस्वीकृति (graft rejection) की प्रक्रिया रुक जाती है और आमतौर पर दीर्घकालिक इम्यूनोसप्रेसिव (प्रतिरक्षादमनकारी) दवाओं की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। यह शब्द प्रायोगिक जीव विज्ञान में प्रयोगशाला जानवरों के एक ही अत्यधिक इनब्रेड (अंतःप्रजात) नस्ल के सदस्यों के बीच ग्राफ्ट पर भी लागू होता है।

व्याख्या

योगेश्वर दत्त एक प्रसिद्ध भारतीय फ्रीस्टाइल पहलवान हैं, जिन्होंने 60 किलोग्राम भार वर्ग में महत्वपूर्ण अंतर्राष्ट्रीय सफलता हासिल की। उन्होंने 2012 के लंदन ओलंपिक में कांस्य पदक जीता, जिससे वे ओलंपिक पोडियम पर स्थान हासिल करने वाले कुछ भारतीय पहलवानों में से एक बन गए। इस खेल में उनके दबदबे का प्रमाण ग्लासगो में आयोजित 2014 राष्ट्रमंडल खेलों और इंचियोन में आयोजित 2014 एशियाई खेलों में स्वर्ण पदक जीतने से भी मिलता है। कुश्ती में उनके असाधारण योगदान के सम्मान में, उन्हें 2012 में राजीव गांधी खेल रत्न पुरस्कार और 2013 में पद्म श्री से सम्मानित किया गया था।

व्याख्या

67 और 101 के बीच स्थित संख्याएँ 68 से 100 तक (दोनों सहित) के पूर्णांक हैं। इस सीमा में पूर्णांकों की कुल संख्या की गणना 101 - 67 - 1 = 33 के रूप में की जाती है। इस समुच्चय के भीतर, प्रत्येक संख्या या तो अभाज्य है या भाज्य। भाज्य संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस सीमा में अभाज्य संख्याओं की पहचान करते हैं और उन्हें घटाते हैं। 67 और 101 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 71, 73, 79, 83, 89 और 97 हैं। यहाँ ठीक 6 अभाज्य संख्याएँ हैं। पूर्णांकों की कुल संख्या में से अभाज्य संख्याओं की संख्या घटाने पर 33 - 6 = 27 भाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

व्याख्या

अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - (छूट %)/(100))। दिया गया है कि छूट 15% है और ग्राहक 318.75 रुपये का भुगतान करता है, मान लीजिए कि अंकित मूल्य L है।

318.75 = L × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) 318.75 = L × ⁸⁵⁄₁₀₀ 318.75 = L × 0.85

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, विक्रय मूल्य को 0.85 से विभाजित करें:

L = (318.75)/(0.85) L = ³¹⁸⁷⁵⁄₈₅

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके सरल करने पर:

L = ⁶³⁷⁵⁄₁₇

6375 को 17 से विभाजित करने पर: 17 × 300 = 5100, शेषफल 1275। 17 × 70 = 1190, शेषफल 85। 17 × 5 = 85। 300 + 70 + 5 = 375।

वस्तु का अंकित मूल्य 375.00 रुपये है।

व्याख्या

1½ और 1⅓ के वर्गों के व्युत्क्रमों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 1½ = ³⁄₂ 1⅓ = ⁴⁄₃

इसके बाद, इन विषम भिन्नों के वर्गों की गणना करें: (³⁄₂)² = ⁹⁄₄ (⁴⁄₃)² = ¹⁶⁄₉

अब, इन वर्गों के व्युत्क्रम ज्ञात करें: ⁹⁄₄ का व्युत्क्रम = ⁴⁄₉ ¹⁶⁄₉ का व्युत्क्रम = ⁹⁄₁₆

इन व्युत्क्रमों का अनुपात है: ⁴⁄₉ : ⁹⁄₁₆

इस अनुपात को पूर्ण संख्याओं में सरल करने के लिए, दोनों पदों को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (9 × 16 = 144) से गुणा करें: (⁴⁄₉ × 144) : (⁹⁄₁₆ × 144) = 64 : 81

व्याख्या

सभी 15 संख्याओं का कुल योग, संख्या को औसत से गुणा करके निकाला जाता है: 15 × 7 = 105। पहली 8 संख्याओं का योग 8 × 6.5 = 52 है, और अंतिम 8 संख्याओं का योग 8 × 8.5 = 68 है।

15 संख्याओं के समूह में, 8वीं संख्या मध्य संख्या है। जब हम पहली 8 संख्याओं के योग और अंतिम 8 संख्याओं के योग को जोड़ते हैं, तो मध्य संख्या की गणना दो बार की जाती है। इसलिए, मध्य संख्या का मान इन दोनों समूहों के योग और 15 संख्याओं के कुल योग के बीच का अंतर है।

मध्य संख्या = (पहली 8 संख्याओं का योग + अंतिम 8 संख्याओं का योग) - 15 संख्याओं का कुल योग मध्य संख्या = (52 + 68) - 105 मध्य संख्या = 120 - 105 = 15

व्याख्या

25 क्रेटों का कुल क्रय मूल्य (CP) 10,000 रुपये है। इस लागत पर 25% का कुल लाभ अर्जित करने के लिए, आवश्यक कुल विक्रय मूल्य (SP) की गणना इस प्रकार की जाती है:

कुल SP = CP + (CP का लाभ %) कुल SP = 10,000 + ²⁵⁄₁₀₀ × 10,000 कुल SP = 10,000 + 2,500 = 12,500 रुपये

व्यक्ति के 5 क्रेट खो गए, इसलिए बिक्री के लिए उपलब्ध शेष क्रेटों की संख्या 25 - 5 = 20 क्रेट है। लक्षित कुल विक्रय मूल्य प्राप्त करने के लिए, प्रति शेष क्रेट का विक्रय मूल्य है:

प्रति क्रेट SP = (कुल SP)/(शेष क्रेट) प्रति क्रेट SP = (12,500)/(20) = 625 रुपये

व्याख्या

0.6 और 0.6% के बीच अंतर की गणना करने के लिए, हम सबसे पहले प्रतिशत को उसके दशमलव रूप में बदलते हैं। प्रतिशत 100 का एक अंश होता है, इसलिए 0.6% बराबर है 0.6 / 100 के, जो कि 0.006 है।

अंतर की गणना इस प्रकार है: 0.6 - 0.6% = 0.6 - 0.006

घटाव को सटीक रूप से करने के लिए, हम पहली संख्या के अंत में शून्य जोड़कर दशमलव स्थानों को संरेखित कर सकते हैं: 0.600 - 0.006 = 0.594

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + (R)/(100))ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और n वर्षों में समय है। दिए गए मानों P = 1000, R = 10, और n = 3 को प्रतिस्थापित करने पर:

A = 1000(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)³ A = 1000(1.1)³ A = 1000(1.331) = 1331

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: CI = A - P CI = 1331 - 1000 = 331

वैकल्पिक रूप से, 10% पर 3 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके या यह जानकर की जा सकती है कि 1.1³ = 1.331, जो कुल 33.1% की वृद्धि को दर्शाता है। इस प्रकार, 1000 × 33.1% = 331।

व्याख्या

व्यंजक 9+2√3{√3} का मान ज्ञात करने के लिए, अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करें:

(9)/(√(3)) + 2√3{√3}

पहले पद (9)/(√(3)) को 9 को 3 × 3 मानकर सरल किया जा सकता है। चूंकि 3 = √3 × √3 है, इसलिए हमें 3 × √3 × √3{√3} प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3√3 हो जाता है। दूसरा पद सीधे 2√3{√3} = 2 के रूप में सरल हो जाता है।

व्यंजक 3√3 + 2 बन जाता है।

दिए गए मान √3 = 1.732 को प्रतिस्थापित करने पर:

3(1.732) + 2 = 5.196 + 2 = 7.196

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 से, हम पूरे समीकरण को x से गुणा करके x² + 1 = 2x प्राप्त कर सकते हैं। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, जो (x - 1)² = 0 के बराबर है। x के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है कि x = 1।

वांछित व्यंजक x⁹⁹ + (1)/(x⁹⁹⁾ - 2 में x = 1 रखने पर: 1⁹⁹ + (1)/(1⁹⁹⁾ - 2 = 1 + 1 - 2 = 2 - 2 = 0।

व्याख्या

किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है। मान लीजिए कि T वृत्त पर स्पर्श बिंदु है। इससे एक समकोण त्रिभुज OTP बनता है, जहाँ OT त्रिज्या है और OP कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, भुजाओं के बीच का संबंध OP² = OT² + PT² द्वारा दिया गया है। यह देखते हुए कि केंद्र से दूरी OP = 13 सेमी और त्रिज्या OT = 5 सेमी है, समीकरण 13² = 5² + PT² हो जाता है। स्पर्श रेखा की लंबाई के लिए हल करने पर, 169 = 25 + PT², जिससे PT² = 144 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, PT = √(144) = 12 सेमी।

व्याख्या

किसी भी षट्भुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है, जहाँ n भुजाओं की संख्या है। एक षट्भुज के लिए, n = 6, इसलिए आंतरिक कोणों का कुल योग (6 - 2) × 180° = 720° होता है। एक चक्रीय षट्भुज में, एकांतर कोणों के संबंध में एक विशिष्ट ज्यामितीय गुण होता है: एकांतर आंतरिक कोणों के एक समूह का योग, एकांतर आंतरिक कोणों के दूसरे समूह के योग के बराबर होता है।

यदि हम चक्रीय षट्भुज के शीर्षों को P, Q, R, S, T और U के रूप में दर्शाते हैं, तो यह गुण बताता है कि ∠ P + ∠ R + ∠ T = ∠ Q + ∠ S + ∠ U। चूंकि सभी छह आंतरिक कोणों का कुल योग 720° है, इसलिए इनमें से प्रत्येक एकांतर समूह का योग कुल योग का ठीक आधा होना चाहिए। इसलिए, योग ∠ P + ∠ R + ∠ T की गणना 720° / 2 = 360° के रूप में की जाती है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों साइन (sine), कोसाइन (cosine) और टेंजेंट (tangent) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: tan θ = (sin θ)/(cos θ)

समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: tan θ = (7)/(2){7√3{2}}

भिन्न को सरल करने के लिए, अंश को हर के व्युत्क्रम से गुणा करें: tan θ = ⁷⁄₂ × (2)/(7√(3))

उभयनिष्ठ गुणनखंड ⁷⁄₂ को निरस्त करने पर प्राप्त होता है: tan θ = (1)/(√(3))

त्रिकोणमिति में, 0° ≤ θ ≤ 90° के अंतराल में θ का मानक मान जिसके लिए tan θ = (1)/(√(3)) होता है, 30° है। अतः, θ = 30°।

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने में लिया गया समय व्यक्ति की कार्यकुशलता के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यदि E कार्यकुशलता है और T समय है, तो कार्य की एक निश्चित मात्रा के लिए, E₁ × T₁ = E₂ × T₂।

मान लीजिए शशि की कार्यकुशलता 100 है। चूंकि तान्या, शशि से 25% अधिक कार्यकुशल है, इसलिए तान्या की कार्यकुशलता 125 होगी। उनकी कार्यकुशलता का अनुपात 100 : 125 है, जिसे सरल करने पर 4 : 5 प्राप्त होता है।

चूंकि शशि और तान्या के बीच कार्यकुशलता का अनुपात 4 : 5 है, इसलिए उनके द्वारा समान कार्य को पूरा करने में लिए गए समय का अनुपात इसका व्युत्क्रम होगा, जो कि 5 : 4 है।

प्रश्न के अनुसार, शशि कार्य को पूरा करने में 20 दिन लेता है। शशि के अनुपात इकाई को उसके वास्तविक दिनों के बराबर रखने पर: 5 इकाई = 20 दिन 1 इकाई = 4 दिन

तान्या के समय को 4 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है। इसलिए: 4 इकाई = 4 × 4 = 16 दिन

प्रत्यक्ष सूत्र विधि का उपयोग करने पर: तान्या के दिन = (शशि के दिन)/(1 + कार्यकुशलता में वृद्धि) तान्या के दिन = (20)/(1.25) = ²⁰⁰⁰⁄₁₂₅ = 16 दिन

व्याख्या

पहले समीकरण a + (1)/(b) = 1 से, हम a को b के पदों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: a = 1 - (1)/(b) = (b - 1)/(b)

दूसरे समीकरण b + (1)/(c) = 1 से, हम c को b के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: (1)/(c) = 1 - b c = (1)/(1 - b)

abc का मान ज्ञात करने के लिए, a और c के मानों को b के पदों में प्रतिस्थापित करने पर: abc = ((b - 1)/(b)) × b × ((1)/(1 - b))

अंश और हर में पद b आपस में निरस्त (cancel) हो जाते हैं, जिससे बचता है: abc = (b - 1) × (1)/(1 - b)

हर से एक ऋणात्मक चिह्न (-) उभयनिष्ठ (common) लेने पर, हमें 1 - b = -(b - 1) प्राप्त होता है। इसे गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर: abc = (b - 1)/(-(b - 1)) abc = -1

व्याख्या

व्यंजक x² + (1)/(16x²) - 2 का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण 2x - ¹⁄₂ₓ = 5 से शुरू करते हैं। पहले पद में x को अलग करने के लिए पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर, हमें x - ¹⁄₄ₓ = ⁵⁄₂ प्राप्त होता है।

इस सरलीकृत समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: (x - ¹⁄₄ₓ)² = (⁵⁄₂)² x² + (1)/(16x²) - 2(x)(¹⁄₄ₓ) = ²⁵⁄₄ x² + (1)/(16x²) - ½ = ²⁵⁄₄

x² + (1)/(16x²) का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों में ½ जोड़ें: x² + (1)/(16x²) = ²⁵⁄₄ + ½ = (25 + 2)/(4) = ²⁷⁄₄

प्रश्न में x² + (1)/(16x²) - 2 का मान पूछा गया है। ऊपर प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर: ²⁷⁄₄ - 2 = (27 - 8)/(4) = ¹⁹⁄₄

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परित्रिज्या हमेशा कर्ण की आधी होती है क्योंकि परिकेंद्र कर्ण के मध्यबिंदु पर स्थित होता है। Δ XYZ में, चूंकि ∠ Y = 90° है, इसलिए भुजा XZ कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: XZ = √(XY² + YZ²) XZ = √((2.5)² + 6²) XZ = √(6.25 + 36) XZ = √(42.25) = 6.5 सेमी

परित्रिज्या R का सूत्र इस प्रकार है: R = (कर्ण)/(2) = (XZ)/(2) R = (6.5)/(2) = 3.25 सेमी

व्याख्या

त्रिभुज के कोणों के योग के नियम के अनुसार, △ABC के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसे समीकरण ∠A + ∠B + ∠C = 180° द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस समीकरण में दिए गए संबंधों ∠A = 3∠C और ∠B = 5∠C को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3∠C + 5∠C + ∠C = 180° प्राप्त होता है। बाईं ओर के पदों को जोड़ने पर 9∠C = 180° प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से विभाजित करने पर ∠C = 180° / 9 = 20° प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक मीनार और उसकी छाया द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, माना मीनार की ऊँचाई h है और उसकी छाया की लंबाई s है। प्रश्न के अनुसार, छाया की लंबाई ऊँचाई की √3 गुनी है, जिससे संबंध s = √3h प्राप्त होता है।

सूर्य का उन्नयन कोण, θ, भूमि और सूर्य की ओर देखने वाली दृष्टि रेखा के बीच का कोण है। इस कोण की गणना टैनजेंट (tangent) त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके की जा सकती है, जो कि लंब (मीनार की ऊँचाई) और आधार (छाया की लंबाई) का अनुपात होता है:

tan θ = (ऊँचाई)/(छाया)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ = (h)/(√(3)h)

tan θ = (1)/(√(3))

त्रिकोणमितीय सारणी से, tan θ = (1)/(√(3)) का मान θ = 30° के संगत होता है।