एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है, क्योंकि 17° + 73° = 90° है। किसी भी कोण θ के लिए, सह-फलन सर्वसमिकाएँ दर्शाती हैं कि cot θ = tan(90° - θ) और sec θ = csc(90° - θ) होता है।

दूसरा पद (1)/(tan² 73°), cot² 73° के बराबर है। इसे पूरक कोण 17° में बदलने पर cot² 73° = tan²(90° - 73°) = tan² 17° प्राप्त होता है।

तीसरे पद sin 17° sec 73° को यह ध्यान देकर सरल किया जा सकता है कि sec 73° = csc(90° - 73°) = csc 17° होता है। चूंकि csc 17° = (1)/(sin 17°) है, इसलिए यह पद sin 17° · (1)/(sin 17°) = 1 हो जाता है।

इन मानों को मूल व्यंजक में वापस रखने पर: sec² 17° - tan² 17° - 1

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करते हुए, हम पहले दो पदों के स्थान पर 1 रखते हैं: 1 - 1 = 0

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय अवधि है। दिया गया मूलधन P = 4000 और दर R = 12% वार्षिक है, इसलिए 18 महीने के समय T को वर्षों में परिवर्तित किया जाना चाहिए। 18 महीनों को प्रति वर्ष 12 महीनों से विभाजित करने पर T = 1.5 वर्ष प्राप्त होता है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, गणना SI = (4000 × 12 × 1.5)/(100) हो जाती है। यह सरल होकर 40 × 12 × 1.5 हो जाता है, जो आगे सरल होकर 40 × 18 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल साधारण ब्याज 720 रुपये प्राप्त होता है।

व्याख्या

x²+y²+z² का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

x² + y² + z² = (acosφ)² + (acosφ)² + (asinθ)²

पदों का विस्तार करने पर: x² + y² + z² = a²cos²²φ + a²cos²²φ + a²sin²θ

पहले दो पदों में से उभयनिष्ठ (common) पद a²cos²θ को बाहर निकालने पर: x² + y² + z² = a²cos²θ(cos²φ + sin²φ) + a²sin²θ

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²α + cos²α = 1 का उपयोग करने पर: x² + y² + z² = a²cos²θ(1) + a²sin²θ x² + y² + z² = a²(cos²θ + sin²θ)

पुनः सर्वसमिका लागू करने पर: x² + y² + z² = a²(1) = a²

यह व्यंजक गोलीय निर्देशांक (spherical coordinates) में मूल बिंदु (origin) से किसी बिंदु की दूरी के वर्ग को दर्शाता है जहाँ त्रिज्या r, a के बराबर है।

व्याख्या

मीनार की ऊँचाई प्रेक्षक की दृष्टि रेखा, मीनार तक की क्षैतिज दूरी और प्रेक्षक की आँख के स्तर से ऊपर मीनार के ऊर्ध्वाधर भाग द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज पर विचार करके ज्ञात की जा सकती है। मान लीजिए कि प्रेक्षक की आँख के ऊपर मीनार की ऊँचाई h है। उन्नयन कोण θ के टैन (tangent) के त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करने पर:

tan(θ) = (लंब)/(आधार)

दिया गया है θ = 30° और आधार की दूरी d = 45 मीटर:

h = 45 · tan(30°) = 45 · (1)/(√(3)) = (45)/(√(3))

सरल करने के लिए, अंश और हर को √3 से गुणा करने पर:

h = 45√3/3 = 15√3

√3 = 1.732 का मान रखने पर:

h = 15 × 1.732 = 25.98 मीटर

मीनार की कुल ऊँचाई H, प्रेक्षक की आँख के स्तर से ऊपर की ऊँचाई और प्रेक्षक की ऊँचाई का योग है:

H = h + 1.6 = 25.98 + 1.6 = 27.58 मीटर

व्याख्या

दिया गया समीकरण a + ¹⁄ₐ = 2 है। पूरे समीकरण को a से गुणा करने पर a² + 1 = 2a प्राप्त होता है, जिसे द्विघात रूप a² - 2a + 1 = 0 में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, विशेष रूप से (a - 1)² = 0। a के लिए हल करने पर अद्वितीय मान a = 1 प्राप्त होता है।

a⁵ + (1)/(a⁵) का मान ज्ञात करने के लिए, व्यंजक में a = 1 प्रतिस्थापित करें: 1⁵ + (1)/(1⁵) = 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2.

यह परिणाम बीजगणित के एक सामान्य नियम का अनुसरण करता है जहाँ यदि a + ¹⁄ₐ = 2 है, तो a का मान 1 होना चाहिए, और परिणामस्वरूप किसी भी पूर्णांक घात n के लिए aⁿ + (1)/(aⁿ) का मान हमेशा 2 के बराबर होगा।

व्याख्या

व्यंजक (2+√3{2-√3} - 4√3)² को हल करने के लिए सबसे पहले भिन्नात्मक पद का परिमेयकरण किया जाता है। अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate), (2+√3) से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

2+√3{2-√3} × 2+√3{2+√3} = (2+√3)²{2² - (√3)²}

सर्वसमिका (a+b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके अंश का विस्तार करने और हर को सरल करने पर प्राप्त होता है:

4 + 3 + 4√3{4 - 3} = 7 + 4√3{1} = 7 + 4√3

इस परिणाम को वापस मूल व्यंजक में रखने पर:

(7 + 4√3 - 4√3)²

करणी पद (radical terms) +4√3 और -4√3 एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे कोष्ठक के अंदर का मान सरल होकर 7 हो जाता है। इस परिणाम का वर्ग करने पर 7² = 49 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ज्यामिति में मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई उस तीसरी भुजा की लंबाई की ठीक आधी होती है। △ ABC में, चूंकि P और Q क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए रेखाखंड PQ, BC के समानांतर है और इसकी लंबाई संबंध PQ = ½ BC द्वारा दी गई है।

दिया गया है कि PQ = 6 सेमी, हम भुजा BC की लंबाई ज्ञात करने के लिए इस मान को सूत्र में रख सकते हैं: 6 = ½ BC BC = 6 × 2 BC = 12 सेमी

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि कोणों का अनुपात 5:3:10 है, इसलिए अनुपात में कुल भागों की संख्या 5 + 3 + 10 = 18 भाग है।

एक भाग के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: एक भाग = (180°)/(18) = 10°

सबसे बड़ा कोण सबसे बड़े अनुपात मान, 10 के संगत है, और सबसे छोटा कोण सबसे छोटे अनुपात मान, 3 के संगत है। अनुपात इकाइयों के संदर्भ में इनके बीच का अंतर 10 - 3 = 7 भाग है।

डिग्री में अंतर ज्ञात करने के लिए, भागों के अंतर को एक भाग के मान से गुणा करें: अंतर = 7 × 10° = 70°

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात sinθ = √3/2 (जहाँ 0° < θ < 90° है) के लिए, हम मानक कोणों के संदर्भ में θ का मान ज्ञात करते हैं। चूंकि sin 60° = √3/2 है, इसलिए θ = 60° होगा।

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक tan(θ - 15°) है। θ का मान रखने पर:

tan(60° - 15°) = tan 45°

मानक त्रिकोणमितीय मानों के अनुसार, tan 45° = 1 होता है।

व्याख्या

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो 390, 495 और 300 को बिना कोई शेषफल छोड़े विभाजित कर सके, हम इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं।

अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा: 390 = 2 × 3 × 5 × 13 495 = 3² × 5 × 11 300 = 2² × 3 × 5²

तीनों संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 3 और 5 हैं। HCF ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक उभयनिष्ठ गुणनखंड की न्यूनतम घात का गुणनफल लेते हैं: HCF = 3¹ × 5¹ = 15

वैकल्पिक रूप से, भाग विधि द्वारा: HCF(300, 390): 390 = 300 × 1 + 90 300 = 90 × 3 + 30 90 = 30 × 3 + 0 300 और 390 का HCF 30 है।

अब, HCF(30, 495): 495 = 30 × 16 + 15 30 = 15 × 2 + 0 30 और 495 का HCF 15 है।

वह सबसे बड़ी संख्या जो तीनों संख्याओं को विभाजित करती है, 15 है।

व्याख्या

शिक्षक की आयु का निर्धारण शिक्षक को शामिल करने के बाद कक्षा की कुल आयु और केवल लड़कों की कुल आयु के बीच के अंतर की गणना करके किया जा सकता है। प्रारंभ में, 30 लड़कों की कुल आयु की गणना 30 × 10 = 300 वर्ष के रूप में की जाती है। जब शिक्षक को शामिल किया जाता है, तो समूह में लोगों की कुल संख्या 31 हो जाती है और औसत आयु में एक वर्ष की वृद्धि होती है, जिससे नया औसत 10 + 1 = 11 वर्ष हो जाता है। 31 लोगों की नई कुल आयु 31 × 11 = 341 वर्ष है। शिक्षक की आयु इन दोनों योगों के बीच का अंतर है: 341 - 300 = 41 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, इसे समावेशन के शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है: शिक्षक की आयु = नया औसत + (लोगों की मूल संख्या × औसत में वृद्धि)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, गणना 11 + (30 × 1) = 41 है। यह तर्क इस तथ्य से अनुसरण करता है कि शिक्षक समूह में अपने लिए नए औसत का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त वर्षों के साथ प्रवेश करते हैं, साथ ही वे मूल 30 लड़कों में से प्रत्येक के लिए औसत बढ़ाने के लिए आवश्यक अतिरिक्त वर्ष प्रदान करते हैं।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम तीनों भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) की पहचान करते हैं, जो (p-n)(n-q)(q-p) है। हम प्रत्येक भिन्न को इस प्रकार फिर से लिखते हैं ताकि उन सभी का हर समान हो जाए।

पहले पद (1)/((p-n)(n-q)) को (q-p)/((p-n)(n-q)(q-p)) प्राप्त करने के लिए (q-p)/(q-p) से गुणा किया जाता है।

दूसरे पद (1)/((n-q)(q-p)) को (p-n)/((p-n)(n-q)(q-p)) प्राप्त करने के लिए (p-n)/(p-n) से गुणा किया जाता है।

तीसरे पद (1)/((q-p)(p-n)) को (n-q)/((p-n)(n-q)(q-p)) प्राप्त करने के लिए (n-q)/(n-q) से गुणा किया जाता है।

उभयनिष्ठ हर के साथ इन पदों को आपस में जोड़ने पर निम्नलिखित अंश (numerator) प्राप्त होता है: (q-p) + (p-n) + (n-q)

अंश में समान पदों को मिलाने पर, हमें प्राप्त होता है: q - p + p - n + n - q = 0

चूंकि अंश शून्य है, इसलिए पूरे व्यंजक का मान है: (0)/((p-n)(n-q)(q-p)) = 0

व्याख्या

C द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि कुल कार्य A, B और समूह (A + B + C) द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 20, 15 और 5 का LCM 60 इकाई है।

प्रत्येक घटक की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) की गणना इस प्रकार की जाती है: A की कार्यक्षमता = 60 / 20 = 3 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = 60 / 15 = 4 इकाई/दिन A + B + C की कार्यक्षमता = 60 / 5 = 12 इकाई/दिन

C की कार्यक्षमता तीनों की संयुक्त कार्यक्षमता में से A और B की व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं को घटाकर प्राप्त की जाती है: C की कार्यक्षमता = (A + B + C) - (A + B) = 12 - (3 + 4) = 12 - 7 = 5 इकाई/दिन

C द्वारा अकेले कुल कार्य को पूरा करने में लिया गया समय, कुल कार्य को C की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: C द्वारा लिया गया समय = 60 / 5 = 12 दिन

वैकल्पिक रूप से, कार्य दर सूत्र 1/T_A + 1/T_B + 1/T_C = 1/T_कुल का उपयोग करके: 1/20 + 1/15 + 1/T_C = 1/5 1/T_C = 1/5 - (1/20 + 1/15) 1/T_C = 1/5 - 7/60 1/T_C = (12 - 7) / 60 = 5 / 60 = 1 / 12 T_C = 12 दिन

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर छोटी वस्तुओं में ढाला जाता है, तो कुल आयतन अपरिवर्तित (स्थिर) रहता है। गोले के आयतन की गणना सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके की जाती है। सीसे की छोटी गेंदों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, सीसे की बड़ी गेंद के आयतन को एक छोटी गेंद के आयतन से विभाजित किया जाता है।

सबसे पहले, माप की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। बड़ी गेंद की त्रिज्या R = 6 सेमी है, जो 60 मिमी के बराबर है। प्रत्येक छोटी गेंद की त्रिज्या r = 3 मिमी है। गेंदों की संख्या n, संबंध n = (4)/(3) π R³ / {⁴⁄₃ π r³} द्वारा दी गई है, जो n = ((R)/(r))³ के रूप में सरल हो जाता है क्योंकि अचर पद (constant terms) आपस में कट जाते हैं।

सूत्र में मान रखने पर: n = (⁶⁰⁄₃)³ n = 20³ n = 20 × 20 × 20 n = 8000

व्याख्या

जब लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत दोनों ज्ञात हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

यह देखते हुए कि लाभ 33% है और छूट 5% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर: (MP)/(CP) = (100 + 33)/(100 - 5) = ¹³³⁄₉₅

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 19 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: (MP)/(CP) = ⁷⁄₅ = 1.4

अंकित प्रतिशत (Markup percentage) यह दर्शाता है कि अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से कितना अधिक है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है: अंकित प्रतिशत (Markup%) = ((MP)/(CP) - 1) × 100 अंकित प्रतिशत (Markup%) = (1.4 - 1) × 100 अंकित प्रतिशत (Markup%) = 0.4 × 100 = 40%

व्याख्या

एक चतुर्भुज का परिमाप उसकी चारों भुजाओं का योग होता है। दिया गया है कि भुजाएँ 2:3:4:5 के अनुपात में हैं, मान लीजिए कि भुजाओं की लंबाई 2x, 3x, 4x और 5x है। इन भुजाओं का योग कुल परिमाप 280 मीटर के बराबर होना चाहिए:

2x + 3x + 4x + 5x = 280 14x = 280 x = 280/14 = 20

सबसे लंबी भुजा अनुपात के सबसे बड़े हिस्से से संबंधित है, जो कि 5x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर, सबसे लंबी भुजा की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है:

सबसे लंबी भुजा = 5 × 20 = 100 मीटर

व्याख्या

माना कमल द्वारा खाए गए सेबों की संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, उसने जितने सेब खाए, उससे 40% अधिक बेचे, जिसका अर्थ है कि बेचे गए सेबों की संख्या, खाए गए सेबों की संख्या का 140% है। इस संबंध को सूत्र S = x × (1 + ⁴⁰⁄₁₀₀) द्वारा व्यक्त किया गया है।

चूंकि बेचे गए सेबों की संख्या S, 70 दी गई है, हम समीकरण में मान रख सकते हैं: 1.4x = 70

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम 70 को 1.4 से विभाजित करते हैं: x = (70)/(1.4) x = ⁷⁰⁰⁄₁₄ x = 50

व्याख्या

एक स्थिर व्यक्ति को पार करने में ट्रेन द्वारा लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र t = ᵈ⁄ᵥ का उपयोग करते हैं, जहाँ d तय की गई दूरी है और v गति है। जब कोई ट्रेन किसी व्यक्ति को पार करती है, तो तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है, जो कि 100 मीटर है।

सबसे पहले, गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए: v = 120 × ⁵⁄₁₈ = (20 × 5)/(3) = ¹⁰⁰⁄₃ मीटर/सेकंड

अब, समय के सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें: t = (100)/(100/3) = 100 × ³⁄₁₀₀ = 3 सेकंड

व्याख्या

दिया गया समीकरण x² + 5x + 6 = 0 है। इससे, हम संबंध x² + 6 = -5x प्राप्त कर सकते हैं।

हमें निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात करना है: (2x)/(x² - 7x + 6)

हर (denominator) में पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: (2x)/((x² + 6) - 7x)

हर में x² + 6 = -5x का मान प्रतिस्थापित करने पर: (2x)/(-5x - 7x) = ²ˣ⁄₋₁₂ₓ

अंश (numerator) और हर (denominator) से x को काटने पर, हमें प्राप्त होता है: ²⁄₋₁₂ = -⅙

व्याख्या

a² + b² का मान सीधे बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इस सर्वसमिका में दिए गए मानों a+b = 5 और a-b = 3 को प्रतिस्थापित करने पर 5² + 3² = 2(a² + b²) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 25 + 9 = 2(a² + b²), या 34 = 2(a² + b²) प्राप्त होता है। 2 से भाग देने पर, हमें a² + b² = 17 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, युगपत समीकरणों a+b=5 और a-b=3 को जोड़ने पर 2a=8 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है a=4। पहले समीकरण में a=4 प्रतिस्थापित करने पर 4+b=5 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है b=1। इसलिए, a² + b² = 4² + 1² = 16 + 1 = 17।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि जीवा की लंबाई 12 सेमी दी गई है, इसलिए लंब इसे 6-6 सेमी के दो बराबर भागों में विभाजित करता है। केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी 8 सेमी है। त्रिज्या r, लंबवत दूरी d, और आधी जीवा a मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ त्रिज्या कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: r² = a² + d² r² = 6² + 8² r² = 36 + 64 r² = 100 r = 10 सेमी

वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: व्यास = 2 × r = 2 × 10 = 20 सेमी

व्याख्या

दी गई शर्त (a²)/(b+c) = 1 से, हमें a² = b + c प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में a जोड़ने पर a² + a = a + b + c प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर a(1 + a) = a + b + c प्राप्त होता है। इससे संबंध ¹⁄₁₊ₐ = (a)/(a + b + c) प्राप्त होता है। समीकरणों की चक्रीय समरूपता (cyclic symmetry) के कारण, यही तर्क (b²)/(c+a) = 1 और (c²)/(a+b) = 1 पर लागू करने से क्रमशः (1)/(1+b) = (b)/(a + b + c) और (1)/(1+c) = (c)/(a + b + c) प्राप्त होता है। इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर परिणाम प्राप्त होता है:

¹⁄₁₊ₐ + (1)/(1+b) + (1)/(1+c) = (a)/(a + b + c) + (b)/(a + b + c) + (c)/(a + b + c)

= (a + b + c)/(a + b + c) = 1

प्रतियोगी परीक्षाओं में त्वरित दृष्टिकोण के लिए, प्रतिस्थापन विधि (method of substitution) का उपयोग करें और मान लें कि a = b = c है, क्योंकि यह प्रणाली सममित (symmetric) है। शर्त (a²)/(2a) = 1 सरल होकर ᵃ⁄₂ = 1 हो जाती है, जिससे a = 2 प्राप्त होता है। वांछित व्यंजक में a = b = c = 2 प्रतिस्थापित करने पर ¹⁄₁₊₂ + ¹⁄₁₊₂ + ¹⁄₁₊₂ = ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का अंतःकेंद्र वह संगामी बिंदु होता है जहाँ त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों के समद्विभाजक मिलते हैं। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस कोण को बनाने वाली दोनों किरणों से समदूरस्थ होता है। परिणामस्वरूप, वह बिंदु जहाँ तीनों कोण समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं, त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान लंबवत दूरी पर होना चाहिए। इस उभयनिष्ठ दूरी को अंतःत्रिज्या (r) के रूप में जाना जाता है, और अंतःकेंद्र अंतःवृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है, जो कि वह विशिष्ट वृत्त है जो त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को स्पर्श करता है।

व्याख्या

व्यंजक csc² 60° + sec² 60° - cot² 60° + tan² 30° का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

sin 60° = (√3)/2 ⟹ csc 60° = (2)/(√3) cos 60° = ½ ⟹ sec 60° = 2 tan 60° = √3 ⟹ cot 60° = (1)/(√3) tan 30° = (1)/(√3)

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ((2)/(√3))² + 2² - ((1)/(√3))² + ((1)/(√3))²

पद - ((1)/(√3))² और + ((1)/(√3))² एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं: 4/3 + 4 - ⅓ + ⅓ = 4/3 + 4

वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 का उपयोग करने पर: (csc² 60° - cot² 60°) + sec² 60° + tan² 30° 1 + 2² + ((1)/(√3))² 1 + 4 + ⅓ = 5 + ⅓ = 16/3

अतः व्यंजक का मान 16/3 = 5 1/3 है।

व्याख्या

इस लेनदेन पर कुल लाभ प्रतिशत (10 / 500) × 100 = 2% है। 2% के औसत लाभ के सापेक्ष मेज (10% हानि पर बेची गई) और कुर्सी (10% लाभ पर बेची गई) के क्रय मूल्य का अनुपात निर्धारित करने के लिए मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करने पर, अनुपात की गणना (10 - 2) : (2 - (-10)) = 8 : 12 के रूप में की जाती है, जो सरल होकर 2 : 3 हो जाता है। इस अनुपात के अनुसार 500 रुपये की कुल लागत को विभाजित करके कुर्सी का क्रय मूल्य निर्धारित किया जाता है: (3 / (2 + 3)) × 500 = (3 / 5) × 500 = 300।

व्याख्या

वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे 8961 में जोड़ने पर यह 84 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले शेषफल ज्ञात करने के लिए 8961 को 84 से विभाजित करते हैं।

दीर्घ विभाजन का उपयोग करने पर: 8961 = (84 × 100) + 561 561 = (84 × 6) + 57

कुल भागफल 106 है और शेषफल R, 57 है। किसी संख्या N को भाजक D से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या का सूत्र D - R है।

अभीष्ट संख्या = 84 - 57 = 27

8961 में 27 जोड़ने पर 8988 प्राप्त होता है, जो 84 से पूर्णतः विभाज्य है (84 × 107 = 8988)।

व्याख्या

शिक्षक की आयु किसी समूह में एक नए सदस्य को जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: शिक्षक की आयु = पुराना औसत + (नई कुल संख्या × औसत में वृद्धि)।

39 छात्रों की प्रारंभिक औसत आयु 15 वर्ष है। जब शिक्षक को शामिल किया जाता है, तो लोगों की कुल संख्या 40 (39 छात्र + 1 शिक्षक) हो जाती है। औसत आयु 3 महीने बढ़ जाती है, जो 3/12 = 0.25 वर्ष के बराबर है।

सूत्र में मान रखने पर: शिक्षक की आयु = 15 + (40 × 0.25) शिक्षक की आयु = 15 + 10 = 25 वर्ष

वैकल्पिक रूप से, शिक्षक को शामिल करने से पहले और बाद में समूह की कुल आयु के बीच के अंतर की गणना करके: 40 लोगों की कुल आयु = 40 × 15.25 = 610 वर्ष 39 छात्रों की कुल आयु = 39 × 15 = 585 वर्ष शिक्षक की आयु = 610 - 585 = 25 वर्ष

व्याख्या

व्यंजक x⁴+y⁴-2x²y² बीजगणितीय सर्वसमिका (A-B)² = A²+B²-2AB का अनुसरण करता है, जहाँ A = x² और B = y² है। इसलिए, यह व्यंजक सरल होकर (x²-y²)² हो जाता है। वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके, इसे आगे ((x+y)(x-y))² के रूप में लिखा जा सकता है।

दिया गया है कि x = a + ¹⁄ₐ और y = a - ¹⁄ₐ, हम x और y के योग और अंतर की गणना करते हैं: x + y = (a + ¹⁄ₐ) + (a - ¹⁄ₐ) = 2a x - y = (a + ¹⁄ₐ) - (a - ¹⁄ₐ) = ²⁄ₐ

इन परिणामों को गुणा करने पर (x + y)(x - y) = 2a · ²⁄ₐ = 4 प्राप्त होता है। इस मान को वापस सरलीकृत सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4² = 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो त्रिभुज AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी के अनुसार समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों। इस समरूपता को सही ढंग से व्यक्त करने के लिए, त्रिभुजों के शीर्षों को उस क्रम में लिखा जाना चाहिए जो बराबर कोणों के संगत युग्मों को दर्शाता हो। दिए गए मानों के आधार पर, हम देखते हैं कि ∠ A = ∠ F = 50°, ∠ B = ∠ E = 70°, और ∠ C = ∠ D = 60° है। यह शीर्षों के बीच एक-से-एक संगति को A ↔ F, B ↔ E, और C ↔ D के रूप में स्थापित करता है। इसलिए, त्रिभुज ABC, त्रिभुज FED के समरूप है, जिसे △ ABC ∼ △ FED के रूप में लिखा जाता है।

व्याख्या

△ ABC में, कोणों का योग ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° होता है। दिए गए अनुपात 4 ∠ A = 3 ∠ B = 12 ∠ C के अनुसार, हम प्रत्येक पद को एक स्थिरांक k के बराबर मान सकते हैं। इससे हमें ∠ A = k/4, ∠ B = k/3, और ∠ C = k/12 प्राप्त होता है। इन मानों को कोणों के योग के समीकरण में रखने पर:

k/4 + k/3 + k/12 = 180°

k का मान ज्ञात करने के लिए, उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात कीजिए, जो कि 12 है:

(3k + 4k + k)/12 = 180°

(8k)/12 = 180°

(2k)/3 = 180°

2k = 540°

k = 270°

चूंकि ∠ A = k/4 है, इसलिए हम इसके मान की गणना इस प्रकार करते हैं:

∠ A = 270° / 4 = 67.5°

व्याख्या

किसी भी वास्तविक कोण θ के लिए त्रिकोणमितीय फलनों sinθ और cosθ दोनों का अधिकतम संभावित मान 1 होता है। दी गई स्थिति sinθ + cosθ = 2 के अनुसार, यह समानता केवल तभी संतुष्ट हो सकती है जब दोनों पद एक साथ अपने अधिकतम मान पर पहुँचें, जिसका अर्थ है sinθ = 1 और cosθ = 1।

इन विशिष्ट मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin²θ + cos²θ = (1)² + (1)² = 1 + 1 = 2

व्याख्या

समीकरण 2ˣ⁺⁴ - 2ˣ⁺² = 3 है। घातांक नियम aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ का उपयोग करके, उभयनिष्ठ व्यंजक 2ˣ⁺² को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने के लिए पदों को विस्तारित किया जा सकता है:

2ˣ⁺²(2² - 1) = 3

कोष्ठक के भीतर के पद को सरल करने पर: 2ˣ⁺²(4 - 1) = 3 2ˣ⁺²(3) = 3

समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर प्राप्त होता है: 2ˣ⁺² = 1

चूंकि शून्य की घात वाले किसी भी आधार का मान एक होता है, इसलिए हम दाएं पक्ष को 2 की घात के रूप में व्यक्त करते हैं: 2ˣ⁺² = 2⁰

समान आधारों के घातांकों की तुलना करने पर: x + 2 = 0 x = -2

व्याख्या

एक त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ इसे समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं। त्रिभुज ABC में, माध्यिकाएँ AD, BE और CF केंद्रक O पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे छह घटक त्रिभुज बनते हैं: BOD, COD, COE, AOE, AOF और BOF।

चूंकि त्रिभुज ABC का कुल क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी है, इसलिए प्रत्येक व्यक्तिगत छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल = ⅙ × त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल = 96/6 = 16 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए कि मंदिर की ऊंचाई h = 75 मीटर है। दोनों व्यक्ति मंदिर के विपरीत दिशाओं में हैं। मान लीजिए कि मंदिर के आधार से उनकी दूरियां क्रमशः d₁ और d₂ हैं।

30° के उन्नयन कोण वाले पहले व्यक्ति के लिए, हम संबंध tan θ = लंब / आधार का उपयोग करते हैं: tan 30° = 75 / d₁ 1 / √3 = 75 / d₁ d₁ = 75√3 मीटर

60° के उन्नयन कोण वाले दूसरे व्यक्ति के लिए: tan 60° = 75 / d₂ √3 = 75 / d₂ d₂ = 75 / √3 = 25√3 मीटर

दोनों व्यक्तियों के बीच की कुल दूरी d₁ और d₂ का योग है क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में हैं: D = d₁ + d₂ = 75√3 + 25√3 = 100√3 मीटर

√3 ≈ 1.732 मान का उपयोग करने पर: D = 100 × 1.732 = 173.2 मीटर

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच के अंतर D को सूत्र D = P × (ʳ⁄₁₀₀)² द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ P मूलधन है और r वार्षिक ब्याज दर है।

दिए गए अंतर D = 20 और दर r = 5 को सूत्र में रखने पर: 20 = P × (⁵⁄₁₀₀)² 20 = P × (¹⁄₂₀)² 20 = P × ¹⁄₄₀₀

P का मान ज्ञात करने पर: P = 20 × 400 P = 8000

यह गणितीय संबंध इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि 2 वर्षों में दोनों प्रकार के ब्याजों के बीच का अंतर केवल पहले वर्ष के साधारण ब्याज पर अर्जित ब्याज होता है। चूंकि पहले वर्ष का ब्याज ⁵⁄₁₀₀P है, इसलिए दूसरे वर्ष में उस राशि पर ब्याज ⁵⁄₁₀₀ × (⁵⁄₁₀₀P) होगा, जिसे मूलधन ज्ञात करने के लिए 20 के बराबर रखा गया है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय (Intersecting Chords Theorem) के अनुसार, जब एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और PQ वृत्त के अंदर एक बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। यह संबंध सूत्र AD × DB = PD × QD द्वारा दिया गया है। इस समीकरण में दिए गए मानों AD = 4 सेमी, DB = 6 सेमी, और QD = 3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4 × 6 = PD × 3 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 24 = 3 × PD होता है। दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर PD = 8 सेमी प्राप्त होता है। जीवा PQ की कुल लंबाई इसके दोनों खंडों का योग है, जिसकी गणना PQ = PD + QD = 8 + 3 = 11 सेमी के रूप में की जाती है।

व्याख्या

पानी के स्तर में वृद्धि इस सिद्धांत द्वारा निर्धारित की जाती है कि विस्थापित पानी का आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर होता है। माना कि बेलनाकार बर्तन में पानी के स्तर में वृद्धि h है।

ठोस गोले के आयतन की गणना सूत्र V_गोला = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके की जाती है। गोले की त्रिज्या 3 सेमी दी गई है: V_गोला = ⁴⁄₃ × π × 3³ = ⁴⁄₃ × π × 27 = 36π घन सेमी।

बेलन में विस्थापित पानी का आयतन V_बेलन = π R² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बर्तन की त्रिज्या है। बर्तन की त्रिज्या 4 सेमी दी गई है: V_विस्थापित = π × 4² × h = 16π h घन सेमी।

गोले के आयतन को विस्थापित पानी के आयतन के बराबर रखने पर: 16π h = 36π 16h = 36 h = ³⁶⁄₁₆ = ⁹⁄₄ = 2.25 सेमी।

व्याख्या

माना मीनार की ऊंचाई h है। 25 मीटर की दूरी पर स्थित पहले बिंदु के साथ बनने वाले समकोण त्रिभुज में, संबंध tan(x) = h/25 द्वारा दिया गया है। 64 मीटर की दूरी पर स्थित दूसरे बिंदु के लिए, उन्नयन कोण 90° - x है। इस समकोण त्रिभुज में, tan(90° - x) = h/64 है।

त्रिकोणमितीय गुण tan(90° - x) = cot(x) का उपयोग करने पर, दूसरा समीकरण cot(x) = h/64 हो जाता है। इन दोनों समीकरणों को आपस में गुणा करने पर tan(x) × cot(x) = (h/25) × (h/64) प्राप्त होता है। चूंकि tan(x) × cot(x) = 1 है, इसलिए यह समीकरण सरल होकर 1 = (h²)/(1600) हो जाता है।

h के लिए हल करने पर h² = 1600 प्राप्त होता है, जिससे h = √(1600) = 40 मीटर मिलता है। यह पूरक उन्नयन कोणों वाले a और b दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से देखे जाने वाले h ऊंचाई के मीनार के सामान्य सूत्र का अनुसरण करता है: h = √(ab)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, h = √(25 × 64) = 5 × 8 = 40।

व्याख्या

माना कुल कार्य 72 इकाइयाँ है, जो 24 और 36 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। चूंकि A और B मिलकर कार्य को 24 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 72 / 24 = 3 इकाइयाँ प्रति दिन है। यह दिया गया है कि B कार्य का 1/3 भाग 12 दिनों में पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि B को पूरा कार्य समाप्त करने में 12 × 3 = 36 दिन लगेंगे। इसलिए, B की कार्यक्षमता 72 / 36 = 2 इकाइयाँ प्रति दिन है।

A की कार्यक्षमता संयुक्त कार्यक्षमता और B की कार्यक्षमता के बीच का अंतर है, जिसकी गणना 3 - 2 = 1 इकाई प्रति दिन के रूप में की जाती है। B द्वारा कुल कार्य का 1/3 भाग पूरा करने के बाद शेष कार्य कुल कार्य का 2/3 भाग है, जो कि 2/3 × 72 = 48 इकाइयाँ है। A द्वारा इस शेष कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 48 / 1 = 48 दिन है।

व्याख्या

एक शंकु के आयतन की गणना सूत्र V_शंकु = ⅓ π r₁² h₁ का उपयोग करके की जाती है और एक बेलन के आयतन की गणना V_बेलन = π r₂² h₂ का उपयोग करके की जाती है। प्रश्न के अनुसार, दोनों आकृतियों की ऊँचाइयाँ बराबर हैं (h₁ = h₂ = h) और शंकु की त्रिज्या का बेलन की त्रिज्या से अनुपात 2:1 है (r₁ = 2x और r₂ = x)।

उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को अनुपात के व्यंजक में रखते हैं: V_शंकु / V_बेलन = (1)/(3) π (2x)² h / (π x² h)

उभयनिष्ठ पदों π, x², और h को काटने पर, यह व्यंजक सरल हो जाता है: V_शंकु / V_बेलन = (1)/(3) · 4 / 1 = 4/3

शंकु के आयतन का बेलन के आयतन से अनुपात 4:3 है।

व्याख्या

मूल्य वृद्धि (मार्कअप) और उसके बाद दी जाने वाली छूट के परिणामस्वरूप होने वाले शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: शुद्ध% = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀। इस परिदृश्य में, मूल्य वृद्धि x = +50 है और छूट y = -25 है।

मानों को लागू करने पर: शुद्ध% = 50 - 25 + (50 × (-25))/(100) शुद्ध% = 25 - ¹²⁵⁰⁄₁₀₀ शुद्ध% = 25 - 12.5 = 12.5%

चूंकि परिणाम धनात्मक है, यह 12.5% के लाभ को दर्शाता है। इसे क्रय मूल्य (CP) को 100 मानकर भी सत्यापित किया जा सकता है। 50% की मूल्य वृद्धि अंकित मूल्य (MP) को 150 बना देती है। इस अंकित मूल्य पर 25% की छूट 150 × 0.25 = 37.5 होगी। अंकित मूल्य में से छूट घटाने पर विक्रय मूल्य (SP) 150 - 37.5 = 112.5 प्राप्त होता है। लाभ 112.5 - 100 = 12.5 है, जो मूल लागत पर 12.5% लाभ के संगत है।

व्याख्या

कालांशों की संख्या चाहे जो भी हो, स्कूल का कुल कार्य समय स्थिर रहता है। इसकी गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: कुल समय = कालांशों की संख्या × प्रत्येक कालांश की अवधि।

पहली स्थिति में, कुल कार्य समय = 8 × 45 = 360 मिनट।

दूसरी स्थिति में, स्कूल में समान कुल समय के लिए 9 कालांश हैं। माना प्रत्येक नए कालांश की अवधि x मिनट है। 9 × x = 360 x = ³⁶⁰⁄₉ x = 40 मिनट।

व्याख्या

दिए गए 4:5 के अनुपात के आधार पर, माना क्रय मूल्य (CP) 4x है और विक्रय मूल्य (SP) 5x है।

लाभ की गणना विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर द्वारा की जाती है:

लाभ = SP - CP = 5x - 4x = x

लाभ प्रतिशत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(CP) × 100

सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर:

लाभ प्रतिशत = ˣ⁄₄ₓ × 100 = ¼ × 100 = 25

व्याख्या

सोने और तांबे का अनुपात 3:2 दिया गया है। सोने का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले अनुपात के घटकों को जोड़कर आभूषण में कुल भागों की संख्या की गणना करते हैं: 3 + 2 = 5 भाग। इन 5 भागों में से सोने का हिस्सा 3 भाग है। सोने का प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सोने का प्रतिशत = (सोने का अनुपात)/(कुल अनुपात भाग) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = ⅗ × 100 = 3 × 20 = 60

व्याख्या

शांत जल में नाव की गति की गणना सूत्र u = (D + U)/(2) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ D धारा के अनुकूल गति को दर्शाता है और U धारा के प्रतिकूल गति को दर्शाता है। यह संबंध इसलिए मौजूद है क्योंकि धारा के अनुकूल गति, नाव की गति और धारा की गति का योग (u + v) होती है, जबकि धारा के प्रतिकूल गति, नाव की गति और धारा की गति का अंतर (u - v) होती है।

दिया गया है कि धारा के अनुकूल गति D = 8 किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल गति U = 4 किमी/घंटा है, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

शांत जल में गति = (8 + 4)/(2)

शांत जल में गति = ¹²⁄₂ = 6 किमी/घंटा

दोनों गतियों को जोड़ने से, धारा की गति समाप्त हो जाती है, जिससे नाव की वास्तविक गति की सीधे गणना की जा सकती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण √(3ⁿ) = 2187 है। करणी के गुणधर्म का उपयोग करते हुए जहाँ √x = x¹^/² होता है, समीकरण को (3ⁿ)¹^/² = 2187 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। घात के घात नियम (aᵐ)ᵖ = aᵐᵖ को लागू करने पर, यह सरल होकर 3ⁿ^/² = 2187 हो जाता है।

n का मान ज्ञात करने के लिए, 2187 को 3 की घात के रूप में व्यक्त करें। अभाज्य गुणनखंडन द्वारा, 2187 = 3 × 729 = 3 × 3⁶ = 3⁷। इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर 3ⁿ^/² = 3⁷ प्राप्त होता है। चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होने चाहिए, जिससे रैखिक समीकरण n/2 = 7 प्राप्त होता है। n के लिए हल करने पर n = 7 × 2 = 14 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (6x)/(x²⁾⁺ˣ⁺¹ के अंश और हर को x से विभाजित करने पर:

(6x / x)/((x²⁾⁺ˣ⁺¹⁾^/ˣ = (6)/(x + 1 + 1){x}

हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(6)/((x + 1){x) + 1}

इस व्यंजक में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

(6)/(5 + 1) = ⁶⁄₆ = 1

वैकल्पिक रूप से, दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = 5 के दोनों पक्षों को x से गुणा करके इसे x² + 1 = 5x के रूप में लिखा जा सकता है। मूल व्यंजक के हर में x² + 1 = 5x प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(6x)/((x²⁾⁺¹⁾⁺ˣ = (6x)/(5x + x) = ⁶ˣ⁄₆ₓ = 1

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किन्हीं भी तीन रेखाखंडों द्वारा एक त्रिभुज बनाने के लिए, किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से निश्चित रूप से अधिक होना चाहिए। इस नियम का एक व्यावहारिक अनुप्रयोग यह सत्यापित करना है कि क्या दो छोटी भुजाओं का योग सबसे लंबी भुजा की लंबाई से अधिक है। 11 सेमी, 3 सेमी और 12 सेमी के मापों के मामले में, दो छोटी भुजाएँ 11 सेमी और 3 सेमी हैं। इन्हें आपस में जोड़ने पर 11 + 3 = 14 सेमी प्राप्त होता है। चूंकि 14 सेमी सबसे लंबी भुजा 12 सेमी से अधिक है (14 > 12), इसलिए ये तीनों माप त्रिभुज बनाने की मूलभूत ज्यामितीय आवश्यकता को पूरा करते हैं।

व्याख्या

माना दोनों भुजाओं की लंबाई 4x और 3x है। एक समकोण त्रिभुज में, भुजाओं और कर्ण के बीच का संबंध पाइथागोरस प्रमेय, a² + b² = c² द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(4x)² + (3x)² = 20² 16x² + 9x² = 400 25x² = 400 x² = 16 x = 4

भुजाओं की लंबाई की गणना अनुपात के भागों को उभयनिष्ठ गुणनखंड x से गुणा करके की जाती है। पहली भुजा 4 × 4 = 16 सेमी है और दूसरी भुजा 3 × 4 = 12 सेमी है। आयामों का यह समूह बुनियादी 3-4-5 पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) के एक बड़े (scaled) संस्करण से मेल खाता है, जहाँ प्रत्येक भुजा को 4 से गुणा करने पर 12, 16 और 20 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin A + sin² A = 1 से, हम sin A को पृथक करने के लिए इसे sin A = 1 - sin² A के रूप में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 1 - sin² A = cos² A होता है। इसलिए, हमें sin A = cos² A का संबंध प्राप्त होता है।

इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें sin² A = (cos² A)² = cos⁴ A प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान हमें ज्ञात करना है वह cos² A + cos⁴ A है। इस व्यंजक में प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम cos² A को sin A से और cos⁴ A को sin² A से प्रतिस्थापित करते हैं। यह व्यंजक को sin A + sin² A में परिवर्तित कर देता है। चूंकि sin A + sin² A का मान 1 दिया गया है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि cos² A + cos⁴ A का मान भी 1 होगा।