एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

भुजा a = 24 सेमी वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A_T = (√3/4) a² द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को रखने पर, A_T = (1.732)/(4) × 24² = 1.732 × 144 = 249.408 सेमी²।

एक समबाहु त्रिभुज में अंतःवृत्त की त्रिज्या r = (a)/(2√(3)) होती है। 24 सेमी की भुजा के लिए, r = (24)/(2√(3)) = (12)/(√(3)) = 4√3 सेमी। इस अंतःवृत्त का क्षेत्रफल A_C = π r² = ²²⁄₇ × (4√3)² = ²²⁄₇ × 48 = ¹⁰⁵⁶⁄₇ ≈ 150.857 सेमी² है।

त्रिभुज के शेष भाग का क्षेत्रफल, त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है: 249.408 - 150.857 = 98.551 सेमी²। यह मान लगभग 98.5 सेमी² है।

व्याख्या

जब सूर्य का उन्नयन कोण θ हो, तो h ऊंचाई वाले खंभे की छाया की लंबाई s को सूत्र s = h cot θ द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिया गया है कि खंभे की ऊंचाई h = 15 मीटर है, हम दोनों उन्नयन कोणों के लिए छाया की लम्बाइयों की गणना करते हैं।

जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° होता है, तो छाया की लंबाई s₁ = 15 cot 30° होती है। चूंकि cot 30° = √3 है, इसलिए लंबाई s₁ = 15√3 मीटर होगी।

जब सूर्य का उन्नयन कोण बढ़कर 60° हो जाता है, तो छाया की लंबाई s₂ = 15 cot 60° होती है। चूंकि cot 60° = (1)/(√(3)) है, इसलिए लंबाई s₂ = (15)/(√(3)) होगी। हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को √3 से गुणा करने पर s₂ = 15√3/3 = 5√3 मीटर प्राप्त होता है।

छाया की लम्बाइयों के बीच का अंतर s₁ - s₂ = 15√3 - 5√3 = 10√3 मीटर है।

व्याख्या

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है। दिया गया है: मूलधन P = 12500 रुपये, वार्षिक दर R = 12%, और समय T = 1 वर्ष, इसलिए प्रति छह महीने की अवधि के लिए दर r = 12% / 2 = 6% है, और अवधियों की संख्या n = 2 है।

अर्जित ब्याज (CI) की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: CI = P [(1 + r/100)ⁿ - 1] CI = 12500 [(1 + 6/100)² - 1] CI = 12500 [(1.06)² - 1] CI = 12500 [1.1236 - 1] CI = 12500 × 0.1236 CI = 1545

वैकल्पिक रूप से, पहले 6 महीनों के लिए ब्याज 12500 का 6% है, जो 750 रुपये के बराबर है। दूसरे 6 महीनों के लिए, ब्याज की गणना पहली अवधि के अंत में प्राप्त राशि पर की जाती है, जो कि 12500 + 750 = 13250 रुपये है। दूसरी अवधि के लिए ब्याज 13250 का 6% है, जो 795 रुपये के बराबर है। वर्ष भर में अर्जित कुल ब्याज 750 + 795 = 1545 रुपये है।

व्याख्या

α का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए ताकि α, β > 0 हो, हम दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों के समीकरणों पर विचार करते हैं:

tan(α - β) = 1 ⟹ α - β = 45°, 225°, … या 180° n + 45°. sec(α + β) = 2/√3 ⟹ cos(α + β) = √3/2 ⟹ α + β = 30°, 330°, 390°, … या 360° m ± 30°.

चूंकि α और β धनात्मक हैं, इसलिए यह आवश्यक है कि α + β > α - β (क्योंकि β > 0) और α + β > β - α (क्योंकि α > 0) हो। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि α + β > |α - β|.

अंतर के लिए न्यूनतम धनात्मक मान लेने पर, α - β = 45°। इस मान के लिए, α + β का मान 45° से अधिक होना चाहिए। समुच्चय {30°, 330°, 390°, …} में सबसे छोटा मान जो α + β > 45° को संतुष्ट करता है, वह 330° है।

प्राप्त रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने पर: α + β = 330° α - β = 45°

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2α = 330° + 45° = 375° α = 375°/2 = 187.5°

यह मान विकल्पों में 187½ या 187.5 के रूप में व्यक्त किया गया है। समीकरणों को घटाने पर 2β = 285° प्राप्त होता है, जिससे β = 142.5° प्राप्त होता है। चूंकि α और β दोनों धनात्मक हैं और मूल समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, इसलिए परिणाम सुसंगत है।

व्याख्या

उबेर कप, जिसे आधिकारिक तौर पर महिलाओं के लिए विश्व टीम चैंपियनशिप के रूप में जाना जाता है, महिला राष्ट्रीय टीमों द्वारा खेली जाने वाली प्रमुख अंतर्राष्ट्रीय बैडमिंटन प्रतियोगिता है। इस प्रतियोगिता की स्थापना 1956 में पूर्व ब्रिटिश बैडमिंटन खिलाड़ी बेट्टी उबेर के प्रस्ताव के बाद की गई थी, जिन्होंने पुरुषों के थॉमस कप के समकक्ष महिलाओं के लिए एक प्रतियोगिता बनाने का प्रयास किया था। बैडमिंटन वर्ल्ड फेडरेशन (BWF) द्वारा आयोजित, यह आयोजन द्विवार्षिक रूप से आयोजित किया जाता है और वैश्विक बैडमिंटन में सबसे प्रतिष्ठित टीम खिताबों में से एक है, जो महिला वर्ग में विश्व चैंपियन देश का निर्धारण करता है।

व्याख्या

प्याज अपने खाद्य भंडार को अपने गूदेदार पर्ण-शल्कों (fleshy leaf scales) के भीतर शर्करा, विशेष रूप से फ्रुक्टान के रूप में संचित करते हैं। अधिकांश अन्य पौधों के विपरीत, जो स्टार्च के रूप में ऊर्जा संचित करते हैं, प्याज में स्टार्च की मात्रा नगण्य या बिल्कुल नहीं होती है, और सेल्युलोज केवल कोशिका भित्ति के एक संरचनात्मक घटक के रूप में कार्य करता है।

व्याख्या

माना कि अभीष्ट संख्या x है। प्रश्नानुसार, संख्या का 4/5 भाग उसके 3/4 भाग से 8 अधिक है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

4/5x - 3/4x = 8

x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 20 है:

(16x - 15x)/(20) = 8

x/20 = 8

x = 8 × 20

x = 160

भिन्नात्मक अंतर विधि का उपयोग करते हुए, दोनों भागों के बीच का अंतर 4/5 - 3/4 = (16 - 15)/(20) = 1/20 है। चूंकि संख्या का 1/20 भाग 8 के बराबर है, इसलिए कुल मान 8 × 20 = 160 है।

व्याख्या

कमीज का अंकित मूल्य (MP) छूट लागू होने से पहले की कुल कीमत है, जिसे विक्रय मूल्य (SP) और छूट की राशि को जोड़कर ज्ञात किया जाता है। MP = SP + छूट = 546 + 109 = 655

छूट की दर की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके अंकित मूल्य के सापेक्ष छूट के प्रतिशत के रूप में की जाती है: छूट की दर = (छूट)/(अंकित मूल्य) × 100

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: छूट की दर = ¹⁰⁹⁄₆₅₅ × 100 ≈ 16.64%

यह परिणाम लगभग 16% है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 1:5 के आधार पर दो संख्याएँ x और 5x हैं। इन संख्याओं का गुणनफल 320 दिया गया है।

x × 5x = 320 5x² = 320 x² = ³²⁰⁄₅ = 64 x = √(64) = 8

दोनों संख्याएँ 8 और 5 × 8 = 40 हैं। इन संख्याओं के वर्ग 8² = 64 और 40² = 1600 हैं। वर्गों के बीच का अंतर है:

1600 - 64 = 1536

वैकल्पिक रूप से, वर्गों के अंतर के व्यंजक का उपयोग करने पर: (5x)² - x² = 25x² - x² = 24x² x² = 64 प्रतिस्थापित करने पर: 24 × 64 = 1536

व्याख्या

औसत आयु की गणना सभी व्यक्तियों की कुल आयु को व्यक्तियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। लड़कों की कुल आयु bx है और लड़कियों की कुल आयु ay है, जिससे कुल योग bx + ay हो जाता है, जबकि कुल संख्या x + y है। इसलिए, औसत आयु (bx + ay) / (x + y) है।

व्याख्या

व्यक्ति के लिए कुल क्रय मूल्य में प्रारंभिक खरीद मूल्य और मरम्मत पर किया गया खर्च शामिल है। प्रति मशीन क्रय मूल्य की गणना प्रति मशीन विक्रय मूल्य से प्रति मशीन लाभ को घटाकर की जाती है: क्रय मूल्य (प्रति इकाई) = विक्रय मूल्य (प्रति इकाई) - लाभ (प्रति इकाई) = 300 - 150 = 150 रुपये।

सभी 30 मशीनों के लिए, कुल क्रय मूल्य 30 × 150 = 4500 रुपये है। यह देखते हुए कि 30 खराब मशीनों का प्रारंभिक खरीद मूल्य 1000 रुपये था, मरम्मत पर खर्च की गई राशि कुल क्रय मूल्य और खरीद मूल्य के बीच का अंतर है: 4500 - 1000 = 3500 रुपये।

व्याख्या

दिया गया है कि x, y से 5 गुना लंबा है, हम इस संबंध को x = 5y के रूप में स्थापित कर सकते हैं। y, x से कितने प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए, हम दोनों मानों के बीच के अंतर की गणना करते हैं और इसे संदर्भ मान x से विभाजित करते हैं।

मानों के बीच का अंतर x - y है। x = 5y प्रतिस्थापित करने पर, अंतर 5y - y = 4y है।

y, x से जितने प्रतिशत कम है, वह इस सूत्र द्वारा दिया गया है: प्रतिशत = (x - y)/(x) × 100

ज्ञात संबंध को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = (5y - y)/(5y) × 100 प्रतिशत = (4y)/(5y) × 100 प्रतिशत = ⅘ × 100 = 80%

चूंकि y का मान x का 20 प्रतिशत है, इसलिए यह x से 80 प्रतिशत कम है।

व्याख्या

यात्रा के लिए आवश्यक कुल राशि की गणना पहले आवश्यक ईंधन की मात्रा निर्धारित करके और फिर उसे प्रति लीटर की कीमत से गुणा करके की जाती है।

आवश्यक ईंधन (लीटर) = (कुल दूरी)/(औसत) आवश्यक ईंधन = (540 किमी)/(45 किमी/लीटर) = 12 लीटर

कुल लागत (रुपये) = आवश्यक ईंधन × प्रति लीटर लागत कुल लागत = 12 लीटर × 20 रुपये/लीटर = 240 रुपये

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर्गत मूलधन P और अंतिम मिश्रधन A के बीच का संबंध सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वार्षिक ब्याज दर है और n वर्षों की संख्या है। इस स्थिति में, A = 6655, r = 10%, और n = 3 है। सूत्र में इन मानों को रखने पर 6655 = P(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)³ प्राप्त होता है, जो सरल होकर 6655 = P(¹¹⁄₁₀)³ हो जाता है। भिन्न के घन की गणना करने पर, हमें 6655 = P × ¹³³¹⁄₁₀₀₀ प्राप्त होता है। मूलधन ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को P = (6655 × 1000)/(1331) के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। चूंकि 1331 × 5 = 6655 है, इसलिए यह गणना सरल होकर P = 5 × 1000 = 5000 हो जाती है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - 4x + 1 = 0 के दोनों पक्षों को x से विभाजित करके इसे पुनः व्यवस्थित किया जा सकता है, जिससे x - 4 + ¹⁄ₓ = 0, या x + ¹⁄ₓ = 4 प्राप्त होता है।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (x⁶ + 1)/(x³) है, जो सरल होने पर x³ + (1)/(x³) हो जाता है।

x + ¹⁄ₓ = k के रूप वाले किसी भी व्यंजक के लिए, x³ + (1)/(x³) का मान सूत्र k³ - 3k द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र में k = 4 रखने पर:

x³ + (1)/(x³) = 4³ - 3(4) x³ + (1)/(x³) = 64 - 12 = 52

व्याख्या

(a + 2)² + (1)/((a + 2)²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण (a - 2) + (1)/((a + 2)) = -1 के दोनों पक्षों में 4 जोड़कर इसे रूपांतरित करते हैं। यह संशोधन हमें समीकरण को (a + 2) के पदों में व्यक्त करने की अनुमति देता है: (a - 2) + 4 + (1)/(a + 2) = -1 + 4 (a + 2) + (1)/(a + 2) = 3

माना x = a + 2, जिससे समीकरण x + ¹⁄ₓ = 3 का रूप ले लेता है। वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम योग के वर्ग की बीजगणितीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) + 2 का उपयोग करते हैं। x + ¹⁄ₓ = 3 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + ¹⁄ₓ)² = 3² x² + (1)/(x²) + 2 = 9 x² + (1)/(x²) = 9 - 2 = 7

x के स्थान पर पुनः (a + 2) प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि (a + 2)² + (1)/((a + 2)²) = 7।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, वर्गमूल हटाने के लिए समीकरण √(1 + ˣ⁄₁₄₄) = ¹³⁄₁₂ के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

1 + ˣ⁄₁₄₄ = ¹⁶⁹⁄₁₄₄

x वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 1 घटाएं:

ˣ⁄₁₄₄ = ¹⁶⁹⁄₁₄₄ - 1

ˣ⁄₁₄₄ = (169 - 144)/(144)

ˣ⁄₁₄₄ = ²⁵⁄₁₄₄

दोनों पक्षों के भिन्नों के अंशों की तुलना करने पर, हमें x = 25 प्राप्त होता है।

यह प्रश्न एक मानक पैटर्न का अनुसरण करता है जहाँ √(1 + (x)/(n²)) = (n + 1)/(n) होता है। ऐसे मामलों में, x का मान हमेशा अंश और हर के वर्गों का अंतर होता है:

x = 13² - 12² = 169 - 144 = 25

व्याख्या

एक त्रिभुज में, अंतःकेंद्र वह बिंदु होता है जहाँ आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुज की किसी भी भुजा द्वारा अंतःकेंद्र पर अंतरित कोण हमेशा 90° और उस भुजा के सम्मुख शीर्ष कोण के आधे के योग के बराबर होता है।

अंतःकेंद्र O वाले Δ PQR के लिए, ∠ POR और उसके सम्मुख शीर्ष कोण ∠ PQR के बीच का संबंध है: ∠ POR = 90° + ½ ∠ PQR

दिया गया है कि ∠ POR = 115°, हम इस मान को सूत्र में रखते हैं: 115° = 90° + ½ ∠ PQR 115° - 90° = ½ ∠ PQR 25° = ½ ∠ PQR ∠ PQR = 25° × 2 ∠ PQR = 50°

व्याख्या

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल A, उसकी अंतःत्रिज्या r और अर्ध-परिमाप s से सूत्र A = r · s द्वारा संबंधित है। अर्ध-परिमाप को कुल परिमाप P के आधे के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे s = (P)/(2) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्षेत्रफल के सूत्र में अर्ध-परिमाप के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = r · (P)/(2) प्राप्त होता है।

परिमाप ज्ञात करने के लिए, सूत्र को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: P = (2A)/(r)

यह देखते हुए कि क्षेत्रफल A = 34 वर्ग सेमी और अंतःत्रिज्या r = 4 सेमी है, गणना इस प्रकार है: P = (2 × 34)/(4) P = ⁶⁸⁄₄ P = 17 सेमी

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण tanθ + cotθ = 2 में, हम cotθ को tanθ के व्युत्क्रम (reciprocal) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जिससे tanθ + (1)/(tanθ) = 2 प्राप्त होता है। tanθ का मान ज्ञात करने के लिए, माना x = tanθ। समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 हो जाता है, जिससे x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर (x - 1)² = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 1। अतः, tanθ = 1 और cotθ = ¹⁄₁ = 1। इस बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए कि किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान 1 होता है, हम व्यंजक tan⁰θ + cot⁰θ = 1⁰ + 1⁰ = 1 + 1 = 2 का मान ज्ञात करते हैं।

व्याख्या

सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ के अनुसार, किया गया कार्य स्थिर है और व्यक्तियों की संख्या तथा लिए गए समय के गुणनफल के समानुपाती होता है। माना व्यक्तियों की प्रारंभिक संख्या x है। हमें दिया गया है कि ये व्यक्ति कार्य को D₁ = 60 दिनों में पूरा कर सकते हैं। जब व्यक्तियों की संख्या में 6 की वृद्धि होती है, तो व्यक्तियों की नई संख्या M₂ = x + 6 हो जाती है, और कार्य 20 दिन पहले समाप्त हो जाता है, जिससे नया समय D₂ = 60 - 20 = 40 दिन हो जाता है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: x × 60 = (x + 6) × 40 60x = 40x + 240 20x = 240 x = 12

कार्यरत व्यक्तियों की प्रारंभिक संख्या 12 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² = b + c, b² = c + a, और c² = a + b हैं, हम प्रत्येक पद को एक समान हर (denominator) में बदलकर व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। पहले पद के लिए, अंश (numerator) और हर (denominator) को a से गुणा करें: ¹⁄ₐ₊₁ = ᵃ⁄ₐ₍ₐ₊₁₎ = (a)/(a²+a)

हर में दी गई सर्वसमिका a² = b + c को प्रतिस्थापित करने पर: (a)/(a²+a) = (a)/(b+c+a) = (a)/(a+b+c)

इसी प्रकार, दूसरे और तीसरे पदों के लिए, क्रमशः b/b और c/c से गुणा करें और दी गई सर्वसमिकाओं b² = c + a और c² = a + b को प्रतिस्थापित करें: (1)/(b+1) = (b)/(b²+b) = (b)/(c+a+b) = (b)/(a+b+c) (1)/(c+1) = (c)/(c²+c) = (c)/(a+b+c) = (c)/(a+b+c)

कोष्ठक के भीतर इन पदों को जोड़ने पर: (a)/(a+b+c) + (b)/(a+b+c) + (c)/(a+b+c) = (a+b+c)/(a+b+c) = 1

संपूर्ण व्यंजक का मान 3 × (1) = 3 है। वैकल्पिक रूप से, समरूपता (symmetry) के द्वारा, हम मान सकते हैं कि a = b = c है। तब a² = 2a, जिससे a = 2 प्राप्त होता है। व्यंजक में a=b=c=2 प्रतिस्थापित करने पर 3 × (⅓ + ⅓ + ⅓) = 3 × 1 = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, P, BC का मध्यबिंदु है क्योंकि CP = PB है। चूंकि त्रिभुज ABP और ABC शीर्ष A से आधार BC तक एक ही ऊंचाई साझा करते हैं, इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों के अनुपात के बराबर होता है। इस प्रकार, क्षेत्रफल(ABP) = (BP/BC) × क्षेत्रफल(ABC)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, क्षेत्रफल(ABP) = (1/2) × 10.8 = 5.4 वर्ग सेमी।

त्रिभुज ABP में, बिंदु Q, AB पर इस प्रकार स्थित है कि 2AQ = QB है। इसका अर्थ है कि AB = AQ + QB = AQ + 2AQ = 3AQ, या AQ = (1/3)AB। त्रिभुज APQ और ABP शीर्ष P से आधार AB तक एक ही ऊंचाई साझा करते हैं। इसलिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात AB के अनुदिश उनके आधारों की लंबाई के समानुपाती होता है। क्षेत्रफल(APQ) = (AQ/AB) × क्षेत्रफल(ABP)। परिकलित क्षेत्रफल का मान रखने पर, क्षेत्रफल(APQ) = (1/3) × 5.4 = 1.8 वर्ग सेमी।

व्याख्या

एक मीनार की ऊंचाई h को एक भवन की ऊंचाई H और उसके शीर्ष तथा आधार के अवनमन कोण ₁ और ₂ से सूत्र h = H (1 - (tan ₁)/(tan ₂)) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया है H = 60 मीटर, ₁ = 30°, और ₂ = 60°, हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

h = 60 × (1 - (tan 30°)/(tan 60°))

h = 60 × (1 - 1/√3{√3})

h = 60 × (1 - ⅓)

h = 60 × ⅔

h = 40 मीटर

व्याख्या

माना बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 12 सेमी और आंतरिक संकेंद्रीय वृत्त की त्रिज्या r सेमी है। संकेंद्रीय वृत्त बड़े वृत्त के कुल क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल बड़े वृत्त के क्षेत्रफल का ठीक आधा है। क्षेत्रफल के सूत्र A = π r² का उपयोग करने पर, यह संबंध इस प्रकार प्राप्त होता है:

π r² = ½ π R²

r² = R²/2

r = (R)/(√(2))

समीकरण में दिए गए मान R = 12 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

r = (12)/(√(2))

हर का परिमेयकरण करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

r = 12 × √2/2 = 6√2 सेमी।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका cos θ = sin(90° - θ) का उपयोग करने पर, पहले समीकरण cos x = sin y से प्राप्त होता है कि x + y = 90°।

सर्वसमिका tan θ = cot(90° - θ) का उपयोग करने पर, दूसरे समीकरण cot(x - 40°) = tan(50° - y) को इस प्रकार लिखा जा सकता है: cot(x - 40°) = cot(90° - (50° - y)) x - 40° = 40° + y x - y = 80°

अब, रैखिक समीकरण निकाय को हल करने पर:

1. x + y = 90°
2. x - y = 80°

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 170° x = 85°

पहले समीकरण में x = 85° का मान रखने पर: 85° + y = 90° y = 5°

व्याख्या

राम (R) और हरि (H) की संयुक्त दर R + H = (12 किग्रा)/(2 दिन) = 6 किग्रा/दिन है। पहले 5 दिनों में, उन्होंने एक साथ काम किया और कुल 5 × 6 = 30 किग्रा नट्स काटे। काटे जाने वाले नट्स की शेष मात्रा 58 - 30 = 28 किग्रा है। चूंकि राम को शेष नट्स काटने में 8 अतिरिक्त दिन लगे, इसलिए राम की व्यक्तिगत दर R = (28 किग्रा)/(8 दिन) = 3.5 किग्रा/दिन है।

हरि की दर ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त दर से राम की दर को घटाते हैं: H = 6 - 3.5 = 2.5 किग्रा/दिन। हरि द्वारा 10 किग्रा नट्स काटने में लिया गया समय लक्ष्य मात्रा को उसकी दैनिक दर से विभाजित करके निकाला जाता है: (10 किग्रा)/(2.5 किग्रा/दिन) = 4 दिन।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है:

(MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

दिए गए मानों को रखने पर, जहाँ CP = 720, लाभ = 15%, और छूट = 10%:

(MP)/(720) = (100 + 15)/(100 - 10)

(MP)/(720) = ¹¹⁵⁄₉₀

MP = ¹¹⁵⁄₉₀ × 720

MP = 115 × 8

MP = 920

व्याख्या

माना कुल राशि T है। कुल राशि के भिन्न के रूप में व्यक्त A और B का संयुक्त हिस्सा 1/2 + 1/3 = 5/6 है। चूंकि राशि पूरी तरह से A, B और C के बीच वितरित की गई है, इसलिए C द्वारा प्राप्त भिन्न 1 - 5/6 = 1/6 है। यह देखते हुए कि C को ₹ 1200 प्राप्त होते हैं, हम समीकरण T/6 = 1200 बना सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप कुल राशि T = 7200 प्राप्त होती है। A को इस कुल राशि का 1/2 भाग प्राप्त होता है, इसलिए A का हिस्सा 7200 / 2 = 3600 है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र लाभ % = (SP - CP)/(CP) × 100 का उपयोग करके की जाती है। प्रश्न के अनुसार, विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP) का 8/5 है, जिसे SP = 8/5 CP के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ((8/5)CP - CP)/CP × 100 प्राप्त होता है। यह सरल होकर (3/5)CP/CP × 100 = 3/5 × 100 = 60% हो जाता है। अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, यदि क्रय मूल्य को 5 इकाई माना जाए, तो विक्रय मूल्य 8 इकाई हो जाता है। लाभ 3 इकाई है, और लाभ प्रतिशत की गणना 3/5 × 100 के रूप में की जाती है, जो 60% के बराबर है।

व्याख्या

यदि मनोज का वेतन सुभाष के वेतन से x% कम है, तो सुभाष का वेतन मनोज के वेतन से जितने प्रतिशत अधिक है, उसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

प्रतिशत अधिक = (x)/(100 - x) × 100%

दिया गया है x = 40, सूत्र में मान रखने पर:

प्रतिशत अधिक = (40)/(100 - 40) × 100 = ⁴⁰⁄₆₀ × 100

प्रतिशत अधिक = ⅔ × 100 = 66 ⅔%

वैकल्पिक रूप से, माना सुभाष का वेतन 100 है। चूंकि मनोज का वेतन 40% कम है, इसलिए मनोज का वेतन 100 - 40 = 60 है। उनके वेतन के बीच का अंतर 40 है। यह ज्ञात करने के लिए कि सुभाष का वेतन मनोज के वेतन से प्रतिशत में कितना अधिक है, हम इस अंतर की तुलना मनोज के वेतन से करते हैं: ⁴⁰⁄₆₀ × 100, जो सरल होकर 66.66% या 66 ⅔% हो जाता है।

व्याख्या

18265 को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसमें से घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम वर्गमूल ज्ञात करने की भाग विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, अंकों को दाईं से बाईं ओर जोड़ों में समूहित करें: 1, 82, 65।

1 से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा वर्ग 1² = 1 है। 1 में से 1 घटाने पर 0 बचता है। अगला जोड़ा, 82 नीचे लाएं। वर्तमान भागफल (1) को दोगुना करके 2 प्राप्त करें। हमें एक ऐसा अंक x ज्ञात करना होगा जिससे 2x × x ≤ 82 हो। मानों का परीक्षण करने पर, 23 × 3 = 69 जबकि 24 × 4 = 96 है। इसलिए, भागफल में अगला अंक 3 है। 82 में से 69 घटाने पर शेषफल 13 बचता है।

अब, अंतिम जोड़ा, 65 नीचे लाएं, जिससे 1365 प्राप्त होता है। वर्तमान भागफल (13) को दोगुना करके 26 प्राप्त करें। हमें एक ऐसा अंक x ज्ञात करना होगा जिससे 26x × x ≤ 1365 हो। मानों का परीक्षण करने पर, 265 × 5 = 1325 और 266 × 6 = 1596 है। सही अंक 5 है। 1365 में से 1325 घटाने पर शेषफल 40 बचता है।

यह शेषफल 40 दर्शाता है कि 18265 निकटतम पूर्ण वर्ग से 40 अधिक है, जो कि 135² = 18225 है। इस प्रकार, 18265 में से घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या 40 है ताकि एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो सके।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दी गई अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(36, 24, 18) = 72 इकाई है। युग्मों की दैनिक कार्यक्षमता की गणना कुल कार्य को उनके द्वारा लिए गए संबंधित समय से विभाजित करके की जाती है। इस प्रकार, A + B की कार्यक्षमता 72 / 36 = 2 इकाई/दिन है, B + C की कार्यक्षमता 72 / 24 = 3 इकाई/दिन है, और A + C की कार्यक्षमता 72 / 18 = 4 इकाई/दिन है।

इन कार्यक्षमताओं को आपस में जोड़ने पर, हमें सभी युग्मों की संयुक्त कार्यक्षमता प्राप्त होती है: (A + B) + (B + C) + (A + C) = 2 + 3 + 4 = 9 इकाई/दिन। यह योग 2(A + B + C) को दर्शाता है, इसलिए एक साथ कार्य करने वाले A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 9 / 2 = 4.5 इकाई/दिन है। तीनों को मिलकर कार्य समाप्त करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को उनकी संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करें: 72 / 4.5 = 16 दिन।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज को उसका विकर्ण दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इसकी दो आसन्न भुजाओं और विकर्ण द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होता है।

दिया गया है कि त्रिभुज की भुजाएँ a = 21 सेमी, b = 20 सेमी, और c = 29 सेमी हैं, हम जाँच करते हैं कि क्या वे एक पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: 20² + 21² = 400 + 441 = 841 29² = 841

चूंकि a² + b² = c², इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसमें 20 सेमी और 21 सेमी की भुजाएँ आधार और ऊँचाई का कार्य करती हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 20 × 21 = 210 वर्ग सेमी।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 × त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × 210 = 420 वर्ग सेमी।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत (P), मूल्य वृद्धि प्रतिशत (M), और छूट प्रतिशत (D) के बीच का संबंध सूत्र P = M - D - (M × D)/(100) द्वारा दिया गया है। क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों से प्राप्त यह सूत्र यह दर्शाता है कि कैसे क्रय मूल्य को मूल्य वृद्धि द्वारा बढ़ाया जाता है और बाद में छूट द्वारा कम किया जाता है जिसके परिणामस्वरूप अंतिम लाभ मार्जिन प्राप्त होता है। यह देखते हुए कि व्यापारी वस्तुओं पर क्रय मूल्य से 20% अधिक मूल्य अंकित करता है (M = 20) और 8% का लाभ प्राप्त करता है (P = 8), हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:

8 = 20 - D - (20 × D)/(100)

8 = 20 - D - 0.2D

1.2D = 20 - 8

1.2D = 12

D = (12)/(1.2) = 10%

व्याख्या

माना दो संख्याएँ x और y हैं। दी गई शर्त के अनुसार, दोनों संख्याओं का योग उनके अंतर का तीन गुना है। इस संबंध को बीजगणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

x + y = 3(x - y)

समीकरण का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

x + y = 3x - 3y

पदों को पुनर्व्यवस्थित करके x को एक तरफ और y को दूसरी तरफ लाने पर, हमें प्राप्त होता है:

y + 3y = 3x - x

4y = 2x

दोनों संख्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम x/y के मान की गणना करते हैं:

x/y = 4/2

x/y = 2/1

अतः, संख्याओं का अनुपात 2:1 है।

व्याख्या

शिक्षक की आयु की गणना शिक्षक को शामिल करने से पहले और बाद में समूह की कुल आयु की तुलना करके की जा सकती है। 36 छात्रों की कुल आयु की गणना छात्रों की संख्या को उनकी औसत आयु से गुणा करके की जाती है: 36 × 14 = 504 वर्ष। जब शिक्षक को समूह में शामिल किया जाता है, तो लोगों की कुल संख्या 37 हो जाती है, और नया औसत एक वर्ष बढ़कर 14 + 1 = 15 वर्ष हो जाता है। 37 लोगों की कुल आयु 37 × 15 = 555 वर्ष है। शिक्षक की आयु इन दोनों योगों के बीच का अंतर है: 555 - 504 = 51 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, इसे नए शामिल होने वाले व्यक्ति की आयु के संक्षिप्त सूत्र (शॉर्टकट फॉर्मूला) का उपयोग करके हल किया जा सकता है: नए शामिल होने वाले व्यक्ति की आयु = पुराना औसत + (नई कुल संख्या × औसत में वृद्धि) दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शिक्षक की आयु = 14 + (37 × 1) = 51 वर्ष।

व्याख्या

विक्रेता 1000 ग्राम के पैसे लेकर 875 ग्राम बेचता है, जिससे बेचे गए प्रत्येक 875 ग्राम पर 125 ग्राम का लाभ होता है। लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: (त्रुटि / वास्तविक वजन) × 100, जो कि (125 / 875) × 100 = 1/7 × 100 = 14 2/7% है।

व्याख्या

B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत तुलना के मानक संबंध का उपयोग करते हैं। यदि एक मान दूसरे मान से r% अधिक है, तो दूसरा मान पहले मान से [(r)/(100 + r) × 100]% कम होता है।

दिया गया है कि A का वेतन B के वेतन से r = 50% अधिक है, हम इसे सूत्र में रखते हैं: प्रतिशत कमी = [(50)/(100 + 50) × 100]% प्रतिशत कमी = ⁵⁰⁄₁₅₀ × 100 = ⅓ × 100 = 33 ⅓%

वैकल्पिक रूप से, मान लें कि B का वेतन 100 इकाई है, तो A का वेतन 100 + 50 = 150 इकाई होगा। अंतर 50 इकाई है। A के संदर्भ में प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए, हम (⁵⁰⁄₁₅₀) × 100 की गणना करते हैं, जो सरल होकर 33 ⅓% हो जाता है।

व्याख्या

धारा की गति की गणना सूत्र v = (D - U)/(2) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ D धारा के अनुकूल (downstream) नाव की गति है और U धारा के प्रतिकूल (upstream) नाव की गति है। दिया गया है D = 14 किमी/घंटा और U = 8 किमी/घंटा, इन मानों को सूत्र में रखने पर v = (14 - 8)/(2) = ⁶⁄₂ = 3 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

आगे निकलने के बिंदु पर दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरी समान है। यात्री गाड़ी 80 किमी/घंटा की चाल से 4 घंटे तक यात्रा करती है, इसलिए तय की गई कुल दूरी D = 80 किमी/घंटा × 4 घंटे = 320 किमी है। मालगाड़ी यात्री गाड़ी से 6 घंटे पहले चली थी और यात्री गाड़ी द्वारा पकड़े जाने में लगे 4 घंटों के दौरान भी चलती रही, जिससे कुल यात्रा समय 6 + 4 = 10 घंटे हो गया। यदि v मालगाड़ी की चाल है, तो इसके द्वारा तय की गई दूरी v × 10 है। दोनों दूरियों को बराबर रखने पर 10v = 320 प्राप्त होता है, जिससे v = 32 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

ब्याज की दर की गणना साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जा सकती है। दिया गया है कि मूलधन P = 1 रुपया (जो कि 100 पैसे है), साधारण ब्याज SI = 1 पैसा है, और समय T = 1 माह (जो कि ¹⁄₁₂ वर्ष है) है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: 1 = (100 × R × 1)/(12){100}

समीकरण को सरल करने पर, अंश और हर में मौजूद 100 एक-दूसरे से कट जाते हैं, जिससे बचता है: 1 = (R)/(12) R = 12%

वैकल्पिक रूप से, चूंकि एक महीने में 100 पैसे पर 1 पैसा ब्याज अर्जित होता है, इसलिए मासिक ब्याज दर 1% है। वार्षिक दर (प्रति वर्ष दर प्रतिशत) ज्ञात करने के लिए, हम मासिक दर को 12 महीनों से गुणा करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 12% प्रति वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (a)/(b) + ᵇ⁄ₐ = 1 है। बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, हमें (a² + b²)/(ab) = 1 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को ab से गुणा करने पर a² + b² = ab प्राप्त होता है, जिसे a² - ab + b² = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) है। इस सर्वसमिका में प्राप्त मान a² - ab + b² = 0 प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक a³ + b³ = (a + b) × 0 हो जाता है। अतः, a³ + b³ का मान 0 है।

व्याख्या

व्यंजक p(p² + 3p + 3) को p³ + 3p² + 3p के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। यह विस्तार द्विपद सूत्र (binomial formula) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ से काफी मिलता-जुलता है। विशेष रूप से, जब b = 1 हो, तो यह सूत्र (p + 1)³ = p³ + 3p² + 3p + 1 बन जाता है।

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर, हमें p³ + 3p² + 3p = (p + 1)³ - 1 प्राप्त होता है। इस समीकरण में दिए गए मान p = 99 को प्रतिस्थापित करने पर (99 + 1)³ - 1 प्राप्त होता है। यह सरल होकर 100³ - 1 हो जाता है, और चूँकि 100³ = 1,000,000 होता है, इसलिए गणना का परिणाम 1,000,000 - 1 = 999,999 होगा।

व्याख्या

घनों के अंतर को पदों के अंतर से संबंधित करने वाली बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) है। दिए गए मान a - b = 1 और a³ - b³ = 61 को सीधे सूत्र में रखने पर:

61 = (1)³ + 3ab(1) 61 = 1 + 3ab 3ab = 61 - 1 3ab = 60 ab = 20

यह सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) के विस्तार से प्राप्त होती है, और ज्ञात चरों के मान प्रतिस्थापित करने पर गुणनफल ab का मान आसानी से प्राप्त हो जाता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (x)/(a+b) + 1 = (x)/(a-b) + (a-b)/(a+b) है। x का मान ज्ञात करने के लिए, पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें कि x वाले पद एक तरफ और अचर पद दूसरी तरफ हो जाएं:

1 - (a-b)/(a+b) = (x)/(a-b) - (x)/(a+b)

उभयनिष्ठ हर (common denominator) (a+b) लेकर बाएं पक्ष को सरल करें:

((a+b) - (a-b))/(a+b) = (a+b-a+b)/(a+b) = (2b)/(a+b)

उभयनिष्ठ हर (a-b)(a+b) लेकर दाएं पक्ष को सरल करें:

x ( ((a+b) - (a-b))/((a-b)(a+b)) ) = x ( (2b)/((a-b)(a+b)) )

सरलीकृत पक्षों को बराबर रखने पर:

(2b)/(a+b) = (2bx)/((a-b)(a+b))

दोनों पक्षों को (2b)/(a+b) से विभाजित करने पर, समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:

1 = (x)/(a-b)

दोनों पक्षों को (a-b) से गुणा करने पर x = a-b प्राप्त होता है।

व्याख्या

केंद्रक वह बिंदु है जहाँ एक त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। एक माध्यिका को त्रिभुज के एक शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया जाता है। यूक्लिडीय ज्यामिति में, किसी भी त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ हमेशा संगामी होती हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक ही बिंदु पर मिलती हैं जो त्रिभुज की सीमाओं के भीतर स्थित होता है। यह प्रतिच्छेदन बिंदु, जिसे केंद्रक कहा जाता है, समान घनत्व वाले त्रिभुज के लिए गुरुत्व के ज्यामितीय केंद्र के रूप में भी कार्य करता है। केंद्रक का एक मूलभूत गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ लंबा खंड वह होता है जो शीर्ष से जुड़ा होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज Δ ABC में, जिसमें ∠ B = 90° है, कर्ण AC की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जाती है: AC = √(AB² + BC²)। दिया गया है कि AB = 3 सेमी और BC = 4 सेमी, इसलिए कर्ण AC = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √(25) = 5 सेमी। एक समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcenter) ठीक कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। यदि D परिकेंद्र है, तो यह शीर्षों A, B और C से समान दूरी पर है। परिणामस्वरूप, दूरी BD त्रिभुज की परित्रिज्या (circumradius) है, जो कर्ण की लंबाई के आधे के बराबर होती है। इस प्रकार, BD = (AC)/(2) = ⁵⁄₂ = 2.5 सेमी।

व्याख्या

△ ABC में, D और E भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, रेखाखंड DE, AC के समानांतर है और इसकी लंबाई AC की आधी है, इसलिए DE = ½ AC। चूंकि DE ∥ AC है, इसलिए △ DBE, △ ABC के समरूप है।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, △ DBE के क्षेत्रफल का △ ABC के क्षेत्रफल से अनुपात है:

(△ DBE का क्षेत्रफल)/(△ ABC का क्षेत्रफल) = ((DE)/(AC))² = (½)² = ¼

यदि △ ABC के क्षेत्रफल को 4 इकाई माना जाए, तो △ DBE का क्षेत्रफल 1 इकाई होगा। समलंब ADEC का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज और छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है:

समलंब ADEC का क्षेत्रफल = △ ABC का क्षेत्रफल - △ DBE का क्षेत्रफल = 4 - 1 = 3 इकाई

अतः, △ ABC के क्षेत्रफल का समलंब ADEC के क्षेत्रफल से अनुपात 4 : 3 है।

व्याख्या

समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, चूंकि AB = AC है, इसलिए आधार कोण ∠ B और ∠ C बराबर हैं। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार, ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° होता है। दिए गए मान ∠ A = 30° को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 30° + 2∠ B = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2∠ B = 150° प्राप्त होता है, इसलिए ∠ B = 75° है।

चूंकि XY ∥ BC है और AB एक तिर्यक रेखा के रूप में कार्य करती है, इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं। इसलिए, ∠ BXY + ∠ B = 180°। ∠ B का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ BXY + 75° = 180° प्राप्त होता है। अज्ञात कोण के लिए हल करने पर, ∠ BXY = 180° - 75° = 105°।