एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके, समीकरण के बाएं पक्ष को निम्नानुसार विस्तारित किया जा सकता है: (√3 + 1)² = (√3)² + (1)² + 2(√3)(1) = 3 + 1 + 2√3 = 4 + 2√3

प्राप्त व्यंजक 4 + 2√3 की तुलना दिए गए रूप x + √3y से करने पर, हम परिमेय भागों और अपरिमेय भागों के गुणांकों को बराबर करते हैं। इससे x = 4 और y = 2 प्राप्त होता है।

x + y का मान 4 + 2 = 6 परिकलित किया जाता है।

व्याख्या

किसी वृत्त के बाहर स्थित किसी भी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। बिंदु T, स्पर्श बिंदु P से होकर गुजरने वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा पर स्थित है। बिंदु T से, पहले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं: उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खंड TP और स्पर्श रेखा खंड TA। बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं के गुण के अनुसार, TA = TP। इसी प्रकार, बिंदु T से, दूसरे वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं: उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खंड TP और स्पर्श रेखा खंड TB। इससे प्राप्त होता है कि TB = TP। उभयनिष्ठ खंड TP के माध्यम से इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है कि TA = TB।

व्याख्या

मूलभूत त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) यह बताती है कि किसी भी त्रिभुज के लिए, किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। गणितीय रूप से, XY, YZ और XZ भुजाओं वाले एक त्रिभुज के लिए, इसे XY + XZ > YZ, YZ + XZ > XY, और XY + YZ > XZ के रूप में व्यक्त किया जाता है। इन असमानताओं को पुनर्व्यवस्थित करके, हम भुजा अंतर प्रमेय (Side Difference Theorem) प्राप्त करते हैं, जो यह मानती है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों के बीच का निरपेक्ष अंतर हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है। असमानता XY < YZ + XZ से शुरू करते हुए और दोनों पक्षों से YZ घटाने पर, हमें XY - YZ < XZ प्राप्त होता है। यह स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि तीनों रेखाखंड वास्तव में मिलकर तीन शीर्षों वाला एक बंद बहुभुज बना सकें। यदि अंतर तीसरी भुजा के बराबर या उससे अधिक होता, तो शीर्ष संरेखीय (collinear) होते या भुजाएँ आपस में नहीं मिलतीं, जिससे त्रिभुज का निर्माण नहीं हो पाता।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin A = cos B तब सत्य होती है जब कोण पूरक होते हैं, अर्थात A + B = 90°। दिए गए समीकरण sin (3x - 20°) = cos (3y + 20°) पर इस गुण को लागू करने पर, हम दोनों कोणों के योग को 90° के बराबर रखते हैं:

(3x - 20°) + (3y + 20°) = 90°

समीकरण के बाएं पक्ष को सरल करने पर, अचर पद -20° और +20° एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे बचता है:

3x + 3y = 90°

बाएं पक्ष से 3 को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

3(x + y) = 90°

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर अंतिम मान प्राप्त होता है:

x + y = 30°

व्याख्या

माना कि अभीष्ट संख्या x है। प्रश्नानुसार, संख्या में 1/2 जोड़ा जाता है और प्राप्त योगफल को 3 से गुणा करने पर अंतिम मान 21 प्राप्त होता है। इस संबंध को निम्नलिखित रैखिक समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

3(x + ½) = 21

x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:

x + 0.5 = ²¹⁄₃

x + 0.5 = 7

इसके बाद, x को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों से 0.5 घटाएं:

x = 7 - 0.5

x = 6.5

वह संख्या 6.5 है, क्योंकि इसमें 0.5 जोड़ने पर 7 प्राप्त होता है, और उस योगफल को 3 से गुणा करने पर ठीक 21 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सोमवार, मंगलवार, बुधवार और गुरुवार का कुल तापमान 4 × 48 = 192° है। मंगलवार, बुधवार, गुरुवार और शुक्रवार का कुल तापमान 4 × 52 = 208° है।

पहले योग को दूसरे योग में से घटाने पर, हम शुक्रवार और सोमवार के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए सामान्य दिनों (मंगलवार, बुधवार और गुरुवार) को हटा देते हैं: (शुक्रवार + मंगलवार + बुधवार + गुरुवार) - (सोमवार + मंगलवार + बुधवार + गुरुवार) = 208 - 192 शुक्रवार - सोमवार = 16

चूंकि सोमवार का तापमान 42° था, हम इस मान को समीकरण में रखते हैं: शुक्रवार - 42 = 16 शुक्रवार = 16 + 42 = 58

शुक्रवार का तापमान 58° था।

व्याख्या

धनात्मक पूर्णांकों m और n के लिए दिए गए समीकरण m - n = 2 और mn = 15 हैं, हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढकर मान ज्ञात कर सकते हैं जिनका गुणनफल 15 हो और जिनका अंतर 2 हो। 15 के गुणनखंड (1, 15) और (3, 5) हैं। युग्म m = 5 और n = 3 दोनों शर्तों को पूरा करता है क्योंकि 5 - 3 = 2 और 5 × 3 = 15 है।

इन मानों का उपयोग करके, हम आवश्यक घटकों की गणना करते हैं: m² - n² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16 m³ - n³ = 5³ - 3³ = 125 - 27 = 98

इन परिणामों को आपस में गुणा करने पर: (m² - n²)(m³ - n³) = 16 × 98 16 × 98 = 16 × (100 - 2) = 1600 - 32 = 1568

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: (m + n)² = (m - n)² + 4mn = 2² + 4(15) = 64 ⟹ m + n = 8 m² - n² = (m - n)(m + n) = 2 × 8 = 16 m³ - n³ = (m - n)(m² + mn + n²) = (m - n)((m - n)² + 3mn) = 2(2² + 3(15)) = 2(4 + 45) = 98 गुणनफल 16 × 98 = 1568 है।

व्याख्या

दिए गए मानों को व्यंजक में रखने पर, हमें P² = 9² = 81 और Q² = (√(17))² = 17 प्राप्त होता है। कोष्ठक के अंदर का पद P² - Q² = 81 - 17 = 64 है। इसके बाद व्यंजक सरल होकर (64)⁻¹^/³ हो जाता है। चूंकि 64 को 4³ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए हम घातांक नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ का उपयोग करके (4³)⁻¹^/³ = 4³^×⁽⁻¹^/³⁾ = 4⁻¹ प्राप्त करते हैं। 4⁻¹ का मान 1/4 के बराबर है।

व्याख्या

दो कोणों को संपूरक माना जाता है यदि उनके मापों का योग ठीक 180° हो। दिए गए दो कोणों (5y + 62°) और (22° + y) के आधार पर, हम निम्नलिखित रैखिक समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

(5y + 62) + (22 + y) = 180

y का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले समीकरण के बाईं ओर के समान पदों को जोड़ें:

6y + 84 = 180

इसके बाद, दोनों पक्षों से 84 घटाकर y वाले पद को अलग करें:

6y = 180 - 84 6y = 96

अंत में, y का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करें:

y = ⁹⁶⁄₆ y = 16

व्याख्या

परिकेंद्र I वाले एक त्रिभुज ABC में, किसी भुजा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस प्रमेय के अनुसार, ∠ BIC = 2 × ∠ BAC। दिया गया है कि ∠ BAC = 60°, इसलिए ∠ BIC = 2 × 60° = 120° होगा। त्रिभुज BIC में, रेखाखंड IB और IC बराबर हैं क्योंकि दोनों परिवृत्त की त्रिज्याएँ हैं। इससे △ BIC एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष I से आधार BC पर खींचा गया लंब ID, शीर्ष कोण ∠ BIC के कोण समद्विभाजक के रूप में कार्य करता है। अतः, ∠ BID = ½ ∠ BIC = ½ × 120° = 60°।

व्याख्या

m और n की दी गई परिभाषाओं के अनुसार, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें m² = (cos² α)/(cos² β) और n² = (cos² α)/(sin² β) प्राप्त होता है। इन्हें वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(m² + n²) cos² β = ( (cos² α)/(cos² β) + (cos² α)/(sin² β) ) cos² β

कोष्ठक के भीतर के पदों में से cos² α को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:

cos² α ( (1)/(cos² β) + (1)/(sin² β) ) cos² β

कोष्ठक के भीतर के पदों के लिए एक समान हर (common denominator) का उपयोग करने पर:

cos² α ( (sin² β + cos² β)/(cos² β sin² β) ) cos² β

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² β + cos² β = 1 का उपयोग करने पर, यह व्यंजक बन जाता है:

cos² α ( (1)/(cos² β sin² β) ) cos² β

अंश और हर से cos² β पद को निरस्त (cancel) करने पर प्राप्त होता है:

(cos² α)/(sin² β) = ( (cos α)/(sin β) )²

चूंकि यह दिया गया है कि n = (cos α)/(sin β), इसलिए परिणाम n² है।

व्याख्या

एक गोले का भार W उसके आयतन V और उसके घनत्व या प्रति इकाई आयतन भार ρ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है। एक गोले का आयतन उसकी त्रिज्या r के घन के समानुपाती होता है, जैसे कि V = ⁴⁄₃ π r³। इसलिए, गोले के भार को W = ⁴⁄₃ π r³ ρ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

दिया गया है कि भारों का अनुपात W₁ : W₂ = 8 : 27 है और प्रति 1 cc भार (घनत्व) का अनुपात ₁ : ₂ = 8 : 1 है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

(W₁)/(W₂) = (4)/(3) π r₁³ ₁ / {⁴⁄₃ π r₂³ ₂}

⁸⁄₂₇ = (r₁³)/(r₂³) × ⁸⁄₁

समीकरण के दोनों पक्षों को 8 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

¹⁄₂₇ = (r₁³)/(r₂³)

त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

(r₁)/(r₂) = ³√(¹⁄₂₇) = ⅓

इस प्रकार, दोनों गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 1 : 3 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि h ऊर्ध्वाधर मीनार की ऊंचाई है और p इसके शीर्ष पर लगे ध्वजदंड की ऊंचाई है। जमीन पर स्थित बिंदु मीनार के पाद से 9 मीटर की दूरी पर स्थित है। प्रश्न के अनुसार, ध्वजदंड के निचले हिस्से (मीनार के शीर्ष) का उन्नयन कोण 30° है। मीनार और जमीनी दूरी द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करने पर:

tan 30° = ʰ⁄₉ (1)/(√(3)) = ʰ⁄₉ h = (9)/(√(3)) = 3√3 मीटर

उसी बिंदु से ध्वजदंड के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। मीनार और ध्वजदंड की संयुक्त ऊंचाई द्वारा बनने वाले बड़े समकोण त्रिभुज में:

tan 60° = (h + p)/(9) √3 = (h + p)/(9) h + p = 9√3 मीटर

ध्वजदंड की ऊंचाई p ज्ञात करने के लिए, हम कुल ऊंचाई में से मीनार की ऊंचाई घटाते हैं:

p = (h + p) - h p = 9√3 - 3√3 = 6√3 मीटर

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर किसी कार्य को पूरा करने में लिया गया समय सूत्र (xy)/(x + y) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ x और y क्रमशः प्रत्येक व्यक्ति द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए दिनों की संख्या है। दिए गए मानों x = 8 और y = 10 को प्रतिस्थापित करने पर, लिया गया समय (8 × 10)/(8 + 10) = ⁸⁰⁄₁₈ है। अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल करने पर ⁴⁰⁄₉ दिन प्राप्त होते हैं।

वैकल्पिक रूप से, एलसीएम (LCM) विधि का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि कुल कार्य 40 इकाई है, जो 8 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। A की दैनिक कार्य दर 40 / 8 = 5 इकाई प्रति दिन है, और B की दैनिक कार्य दर 40 / 10 = 4 इकाई प्रति दिन है। संयुक्त दैनिक दर 5 + 4 = 9 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, दोनों द्वारा मिलकर 40 इकाई कार्य को पूरा करने में लिया गया कुल समय ⁴⁰⁄₉ दिन है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ d₁ और d₂ दोनों विकर्णों की लंबाई हैं। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, हमें क्षेत्रफल = ½ × 8 सेमी × 6 सेमी प्राप्त होता है। विकर्णों के गुणनफल की गणना करने पर 48 प्राप्त होता है, और इसे 2 से विभाजित करने पर क्षेत्रफल 24 सेमी² प्राप्त होता है। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त होता है कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे यह आकृति चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाती है, जिनका कुल क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल के आधे के बराबर होता है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल छूट ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)% का उपयोग करते हैं। दिए गए मानों x = 10 और y = 20 के साथ इस सूत्र को लागू करने पर, गणना 10 + 20 - (10 × 20)/(100) हो जाती है। यह सरल होकर 30 - ²⁰⁰⁄₁₀₀ हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 30 - 2 = 28% प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक मूल्य को 100 इकाई माना जा सकता है। 10% की छूट मूल्य को घटाकर 90 इकाई (100 × 0.90) कर देती है। इसके बाद इस घटे हुए 90 इकाई के मूल्य पर 20% की छूट लागू की जाती है, जो कि 90 × 0.20 = 18 इकाई की कमी है। दोनों छूटों के बाद अंतिम मूल्य 90 - 18 = 72 इकाई है। कुल प्रभावी छूट मूल मूल्य से हुई कुल कमी है, जिसकी गणना 100 - 72 = 28 के रूप में की जाती है, जो 28% की एकल छूट के संगत है।

व्याख्या

माना A और B के पास क्रमशः A और B राशि है। कुल राशि A + B = 6300 दी गई है। शर्त के अनुसार, ⁵⁄₁₉A = ⅖B। उनकी राशियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम A/B का मान ज्ञात करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

(A)/(B) = (2/5)/(5/19) = ⅖ × ¹⁹⁄₅ = ³⁸⁄₂₅

इसका अर्थ है कि अनुपात A:B, 38:25 है। अनुपात के भागों का योग 38 + 25 = 63 इकाई है। चूंकि 63 इकाई कुल राशि 6300 रुपये के संगत है, इसलिए एक इकाई का मूल्य 6300 / 63 = 100 रुपये है। इसलिए, B की राशि 25 इकाई × 100 = 2500 रुपये है।

व्याख्या

जब m वस्तुओं का विक्रय मूल्य n वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर हो, तो लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

लाभ या हानि प्रतिशत = (n - m)/(m) × 100

इस प्रश्न में, 40 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (m = 40), 50 वस्तुओं के क्रय मूल्य (n = 50) के बराबर है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत = (50 - 40)/(40) × 100

प्रतिशत = ¹⁰⁄₄₀ × 100

प्रतिशत = ¼ × 100 = 25%

चूंकि परिणाम धनात्मक है, इसलिए यह लाभ को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि एक वस्तु का क्रय मूल्य 1 इकाई है, तो 50 वस्तुओं का क्रय मूल्य 50 इकाई होगा। यह 40 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है। इसलिए, एक वस्तु का विक्रय मूल्य 50 / 40 = 1.25 इकाई है। प्रति वस्तु लाभ 1.25 - 1 = 0.25 इकाई है, जो 25% लाभ के संगत है।

व्याख्या

माना B की आय 100 है। चूंकि A की आय, B की आय से 25% अधिक है, इसलिए A की आय की गणना 100 + 25 = 125 के रूप में की जाती है। A की आय के प्रतिशत के रूप में B की आय ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत = (B की आय)/(A की आय) × 100

सूत्र में मान रखने पर:

प्रतिशत = ¹⁰⁰⁄₁₂₅ × 100

भिन्न ¹⁰⁰⁄₁₂₅ को सरल करके ⅘ करने और 100 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

⅘ × 100 = 80

वैकल्पिक रूप से, यदि A, B से x% अधिक है, तो B, A का ¹⁰⁰⁄₁₀₀₊ₓ × 100 प्रतिशत है। x = 25 रखने पर:

¹⁰⁰⁄₁₂₅ × 100 = 80

व्याख्या

एक टेलीग्राफ खंभे जैसी नगण्य चौड़ाई वाली स्थिर वस्तु को पार करने में रेलगाड़ी द्वारा लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, तय की जाने वाली कुल दूरी रेलगाड़ी की लंबाई के बराबर होती है।

सबसे पहले, रेलगाड़ी की गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलें: गति = 36 × ⁵⁄₁₈ = 10 मीटर/सेकंड

तय की जाने वाली दूरी रेलगाड़ी की लंबाई है, जो कि 60 मीटर है। समय के मानक सूत्र का उपयोग करने पर: समय = (दूरी)/(गति) समय = ⁶⁰⁄₁₀ = 6 सेकंड

व्याख्या

x² + 1/25x² का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दिए गए समीकरण 5x + 1/x = 10 को 5 से विभाजित करने पर x + 1/5x = 2 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x² + 2(x)(1/5x) + 1/25x² = 4 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x² + 1/25x² = 4 - 2/5 = 18/5 प्राप्त होता है। मान 18/5 मिश्रित भिन्न 3 3/5 के बराबर है, जिसे विकल्प C द्वारा दर्शाया गया है।

व्याख्या

अनुपात r : h ज्ञात करने के लिए, वर्गमूल वाले पद को एक तरफ करें और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: 4r - h = √(r² + h²) (4r - h)² = r² + h²

सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: 16r² - 8rh + h² = r² + h²

दोनों पक्षों से h² घटाने पर समीकरण सरल हो जाता है: 16r² - 8rh = r² 15r² = 8rh

चूँकि r ≠ 0 है, हम दोनों पक्षों को r से विभाजित कर सकते हैं: 15r = 8h ʳ⁄ₕ = ⁸⁄₁₅

इससे अनुपात r : h = 8 : 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin A + sin² A = 1 को हम इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: sin A = 1 - sin² A। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, हम जानते हैं कि 1 - sin² A = cos² A होता है। इसे हमारे पुनर्व्यवस्थित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर sin A = cos² A प्राप्त होता है।

cos² A + cos⁴ A का मान ज्ञात करने के लिए, हम संबंध sin A = cos² A के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं जिससे हमें sin² A = cos⁴ A प्राप्त होता है। अब, इन मानों को उस व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर जिसका मान हमें ज्ञात करना है: cos² A + cos⁴ A = sin A + sin² A। चूंकि मूल समीकरण में दिया गया है कि sin A + sin² A = 1 है, इसलिए cos² A + cos⁴ A का मान भी 1 होना चाहिए।

व्याख्या

किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग स्थिर होता है और 360° के बराबर होता है। चौथे कोण का माप ज्ञात करने के लिए, दिए गए तीन कोणों के मापों को जोड़ा जाता है और फिर कुल योग में से घटाया जाता है। दिए गए कोणों का योग 60° + 90° + 100° = 250° है। कोणों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, चौथे कोण की गणना 360° - 250° = 110° के रूप में की जाती है।

व्याख्या

दिए गए अंतराल 0° < θ < 90° में, cos θ का मान हमेशा पूर्णतः 0 और 1 के बीच स्थित होता है, जिससे कि 0 < cos θ < 1 हो। किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए जहाँ 0 < x < 1 है, असमिका x < 1 को धनात्मक मान x से गुणा करने पर x² < x प्राप्त होता है। x = cos θ प्रतिस्थापित करके इस गुण को त्रिकोणमितीय फलन पर लागू करने पर, यह प्राप्त होता है कि cos² θ < cos θ, या इसके समतुल्य, cos θ > cos² θ। चूंकि सीमांत मानों 0° और 90° को अपवर्जित किया गया है, इसलिए cos θ का मान 1 या 0 के बराबर नहीं हो सकता है, जिससे असमिका 'से बड़ा या बराबर' के बजाय पूर्णतः 'से बड़ा' हो जाती है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, सभी पदों को समान आधार 3 में परिवर्तित करें।

अंश में, 3 × 9ⁿ⁺¹ = 3¹ × (3²)ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ⁺³ और 9 × 3²ⁿ⁻¹ = 3² × 3²ⁿ⁻¹ = 3²ⁿ⁺¹। हर में, 9 × 3²ⁿ = 3² × 3²ⁿ = 3²ⁿ⁺² और 6 × 9ⁿ⁻¹ = (2 × 3) × (3²)ⁿ⁻¹ = 2 × 3¹ × 3²ⁿ⁻² = 2 × 3²ⁿ⁻¹।

इन्हें वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3²ⁿ⁺³ + 3²ⁿ⁺¹{3²ⁿ⁺² - 2 × 3²ⁿ⁻¹}

अंश और हर दोनों में से 3 की सबसे छोटी घात, जो कि 3²ⁿ⁻¹ है, को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: 3²ⁿ⁻¹ (3⁴ + 3²){3²ⁿ⁻¹ (3³ - 2 × 3⁰)}

दोनों पदों से 3²ⁿ⁻¹ को निरस्त (cancel) करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (81 + 9)/(27 - 2) = ⁹⁰⁄₂₅

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करने पर ¹⁸⁄₅ प्राप्त होता है, जिसे मिश्रित भिन्न 3 ⅗ के रूप में लिखा जा सकता है।

व्याख्या

चार बच्चों की कुल आयु की गणना उनकी औसत आयु को बच्चों की संख्या से गुणा करके की जाती है: 12 × 4 = 48 वर्ष। जब पिता को शामिल किया जाता है, तो समूह में पांच लोग हो जाते हैं। इन पांच व्यक्तियों की कुल आयु की गणना उनकी संयुक्त औसत आयु को कुल संख्या से गुणा करके की जाती है: 20 × 5 = 100 वर्ष। पिता की आयु ज्ञात करने के लिए, पूरे समूह की कुल आयु में से बच्चों की कुल आयु को घटाएं: 100 - 48 = 52 वर्ष।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का उपयोग करके, हम समीकरण a+b=3 का घन (cubing) करके दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। दोनों पक्षों का घन करने पर (a+b)³ = 3³ प्राप्त होता है, जिसका विस्तार करने पर a³ + b³ + 3ab(a + b) = 27 मिलता है। इस विस्तार में दिए गए मान a + b = 3 को प्रतिस्थापित करने पर a³ + b³ + 3ab(3) = 27 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर a³ + b³ + 9ab = 27 प्राप्त होता है। आवश्यक व्यंजक प्राप्त करने के लिए पदों को व्यवस्थित करते हुए, हम दोनों पक्षों से 27 घटाते हैं जिससे a³ + b³ + 9ab - 27 = 0 प्राप्त होता है। इस परिणाम को a+b=3 की शर्त को संतुष्ट करने वाले विशिष्ट मानों, जैसे कि a=3 और b=0 को प्रतिस्थापित करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जहाँ व्यंजक 3³ + 0³ + 9(3)(0) - 27 = 27 - 27 = 0 हो जाता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 है। दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर x² + 1 = 2x प्राप्त होता है, जिसे द्विघात रूप x² - 2x + 1 = 0 में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह सर्वसमिका (x - 1)² = 0 का विस्तार है, जिसे हल करने पर x = 1 प्राप्त होता है।

अपेक्षित व्यंजक में x = 1 रखने पर: x⁷ + (2)/(x⁶) = (1)⁷ + (2)/((1)⁶) 1 + ²⁄₁ = 1 + 2 = 3

व्याख्या

Δ ABC में, चूँकि BE और CF मध्यिकाएँ हैं, इसलिए E, AC का मध्यबिंदु है और F, AB का मध्यबिंदु है। मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। इसलिए, Δ ABC में, FE ∥ BC और FE = ½ BC है।

इसी प्रकार, Δ OBC में, P को BO का मध्यबिंदु और Q को CO का मध्यबिंदु दिया गया है। Δ OBC पर मध्यबिंदु प्रमेय लागू करने पर, इन मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड PQ ∥ BC और PQ = ½ BC है।

दोनों संबंधों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि FE = ½ BC और PQ = ½ BC, जिसका अर्थ है FE = PQ। चूँकि PQ की लंबाई 3 सेमी दी गई है, इसलिए FE की लंबाई भी 3 सेमी होनी चाहिए।

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। चूंकि त्रिभुज PQR में ST ∥ QR है, इसलिए PQ और PR पर बने खंड समानुपाती हैं:

(PS)/(SQ) = (PT)/(TR)

हमें दिया गया है कि (PS)/(SQ) = 3/5, इसलिए (PT)/(TR) = 3/5 है। पूरी भुजा PR के संदर्भ में PT का मान ज्ञात करने के लिए, हम भाग और पूर्ण के अनुपात का उपयोग करते हैं:

(PT)/(PR) = (PT)/(PT + TR) = (3)/(3 + 5) = 3/8

यह दिया गया है कि PR = 6 सेमी, हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:

PT = 3/8 × PR = 3/8 × 6 = 18/8 = 2.25 सेमी

व्याख्या

दिया गया समीकरण 5 sin²θ + 4 cos²θ = ⁹⁄₂ है। मूल सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने के लिए हम पहले पद को विभाजित कर सकते हैं। समीकरण को पुनः लिखने पर, हमें sin²θ + 4 sin²θ + 4 cos²θ = 4.5 प्राप्त होता है, जो सरल होकर sin²θ + 4(sin²θ + cos²θ) = 4.5 हो जाता है।

सर्वसमिका का मान रखने पर, समीकरण sin²θ + 4(1) = 4.5 बन जाता है, जिससे sin²θ = 0.5 = ½ प्राप्त होता है। चूंकि प्रश्न में 0 < θ < (π)/(2) निर्दिष्ट है, इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं जिससे sinθ = (1)/(√(2)) प्राप्त होता है। यह मान θ = (π)/(4) या 45° के कोण के संगत है। इस कोण के लिए tan का मान ज्ञात करने पर, हमें tanθ = tan(45°) = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में कुल मिश्रधन A का सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ᵗ द्वारा दिया जाता है, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और t वर्षों में समय है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

11664 = 10000(1 + ʳ⁄₁₀₀)²

दोनों पक्षों को 10000 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

¹¹⁶⁶⁴⁄₁₀₀₀₀ = (1 + ʳ⁄₁₀₀)²

1.1664 = (1 + ʳ⁄₁₀₀)²

1 + ʳ⁄₁₀₀ का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं। चूंकि 108² = 11664 है, इसलिए 1.1664 का वर्गमूल 1.08 है:

1.08 = 1 + ʳ⁄₁₀₀

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर:

0.08 = ʳ⁄₁₀₀

r = 8

अतः, चक्रवृद्धि ब्याज की वार्षिक दर 8% है।

व्याख्या

माना मीनार की ऊंचाई H = 60 मीटर है और खंभे की ऊंचाई h है। माना मीनार और खंभे के बीच की दूरी x है।

मीनार के शीर्ष से, खंभे के आधार का अवनमन कोण 60° है। मीनार की ऊंचाई और जमीनी दूरी द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में: tan 60° = H/x √3 = 60/x ⟹ x = 60/√3 = 20√3 मीटर

खंभे के शीर्ष का अवनमन कोण 45° है। मीनार के शीर्ष से खंभे के शीर्ष के स्तर तक की ऊर्ध्वाधर दूरी H - h है। इस ऊंचाई के अंतर और समान क्षैतिज दूरी x द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में: tan 45° = (H - h)/x 1 = (60 - h)/x ⟹ x = 60 - h

पहले समीकरण से x का मान प्रतिस्थापित करने पर: 20√3 = 60 - h h = 60 - 20√3 h = 20(3 - √3) मीटर

व्याख्या

किया गया कुल कार्य स्थिर होता है और इसे पुरुषों की संख्या तथा लिए गए दिनों की संख्या के गुणनफल द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस संबंध को सूत्र M₁D₁ = M₂D₂ द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ M पुरुषों की संख्या को और D दिनों की संख्या को दर्शाता है।

दिया गया है कि M₁ = 24 पुरुष और D₁ = 17 दिन, इसलिए कुल कार्य 24 × 17 पुरुष-दिन (man-days) है। हमें D₂ = 51 दिनों में उसी कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की संख्या M₂ ज्ञात करनी है।

24 × 17 = M₂ × 51

M₂ ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: M₂ = (24 × 17)/(51)

चूंकि 51, 17 का एक गुणज है (17 × 3 = 51), इसलिए गणना सरल होकर निम्न प्रकार हो जाती है: M₂ = ²⁴⁄₃ M₂ = 8

कार्य की अवधि को 17 दिनों से बढ़ाकर 51 दिन (तीन गुना वृद्धि) करने पर, आवश्यक पुरुषों की संख्या उसी अनुपात में व्युत्क्रमानुपाती रूप से घट जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 8 पुरुष प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, एक भुजा को बढ़ाने पर बनने वाला बाह्य कोण, अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है। चूंकि भुजा AB को X तक बढ़ाया गया है, इसलिए बाह्य कोण ∠ XBC, अंतः सम्मुख कोण ∠ ADC के बराबर है।

इसलिए, ∠ ADC = ∠ XBC = 82°।

कोण ∠ ADC दो आसन्न कोणों, ∠ ADB और ∠ BDC से मिलकर बना है, जो विकर्ण BD द्वारा बनते हैं। हम इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC

समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 82° = 47° + ∠ BDC ∠ BDC = 82° - 47° ∠ BDC = 35°

व्याख्या

जब किसी मूल्य में एक निश्चित प्रतिशत की वृद्धि की जाती है और फिर उसी प्रतिशत की कमी की जाती है, तो शुद्ध परिणाम हमेशा हानि होती है। इसकी गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀, जहाँ x प्रतिशत वृद्धि (मूल्य वृद्धि) को दर्शाता है और y प्रतिशत कमी (छूट) को दर्शाता है।

सूत्र में x = 10 और y = -10 रखने पर: शुद्ध परिवर्तन = 10 - 10 + (10 × (-10))/(100) शुद्ध परिवर्तन = 0 - ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = -1%

ऋणात्मक परिणाम मूल क्रय मूल्य के सापेक्ष 1% की हानि को दर्शाता है।

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य 100 माना जाता है, तो 10% की मूल्य वृद्धि से अंकित मूल्य 110 हो जाता है। 110 पर 10% की छूट देने पर 11 की कमी होती है, जिससे अंतिम विक्रय मूल्य 110 - 11 = 99 हो जाता है। चूंकि विक्रय मूल्य, 100 के क्रय मूल्य से 1 इकाई कम है, इसलिए विक्रेता को 1% की हानि होती है।

व्याख्या

किसी योग S को x:y के अनुपात में दो पूर्णांकों में विभाजित करने के लिए, अनुपात के पदों का योग (x + y), S का एक गुणनखंड होना चाहिए। इस मामले में, कुल योग 84 है और अनुपात के पदों का योग 3 + 2 = 5 है। कुल योग को अनुपात के पदों के योग से विभाजित करने पर 84 ÷ 5 = 16.8 प्राप्त होता है। चूंकि परिणाम एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए दो पूर्ण संख्याओं का योग 84 होना और साथ ही उनका अनुपात 3:2 होना असंभव है।

व्याख्या

एक ज्ञात हानि वाले विक्रय मूल्य SPₒₗ_d से एक विशिष्ट लाभ प्रतिशत अर्जित करने के लिए आवश्यक नए विक्रय मूल्य SPₙₑ_w की गणना निम्नलिखित अनुपात का उपयोग करके की जा सकती है: SPₙₑ_w = SPₒₗ_d × (100 + लाभ%)/(100 - हानि%) दिया गया है: SPₒₗ_d = 9, हानि% = 10, और लाभ% = 15, मान प्रतिस्थापित करने पर: SPₙₑ_w = 9 × (100 + 15)/(100 - 10) SPₙₑ_w = 9 × ¹¹⁵⁄₉₀ SPₙₑ_w = ¹¹⁵⁄₁₀ = 11.50

व्याख्या

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में गति करती हैं, तो उनकी सापेक्ष चाल उनकी व्यक्तिगत चालों का योग होती है। सापेक्ष चाल के सूत्र का उपयोग करने पर: सापेक्ष चाल Vᵣₑₗ = Vₜᵣₐᵢₙ + Vₘₐₙ = 60 + 6 = 66 किमी/घंटा।

चाल को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए, हम ⁵⁄₁₈ से गुणा करते हैं: Vᵣₑₗ = 66 × ⁵⁄₁₈ = (11 × 5)/(3) = ⁵⁵⁄₃ मीटर/सेकंड।

व्यक्ति को पार करने के लिए तय की जाने वाली दूरी रेलगाड़ी की लंबाई के बराबर है, जो कि 110 मीटर है। लिया गया समय निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: समय = (दूरी)/(चाल) समय = (110)/(55){3} समय = (110 × 3)/(55) समय = 2 × 3 = 6 सेकंड।

व्याख्या

x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए प्राचलिक समीकरणों x = at² और y = 2at से प्राचल t को विलोपित करते हैं।

y के समीकरण का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: y² = (2at)² = 4a²t²

हम x के समीकरण से मेल खाने वाले पदों को अलग करने के लिए इस व्यंजक को पुनः लिख सकते हैं: y² = 4a(at²)

चूंकि x = at², हम समीकरण में x का मान प्रतिस्थापित करते हैं: y² = 4ax

वैकल्पिक रूप से, हम दूसरे समीकरण से t का मान ज्ञात कर सकते हैं, जिससे t = y / 2a प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x = a(y / 2a)² प्राप्त होता है, जो सरल होकर x = ay² / 4a² हो जाता है। दोनों पक्षों को 4a से गुणा करने पर कार्तीय समीकरण y² = 4ax प्राप्त होता है, जो एक परवलय को निरूपित करता है।

व्याख्या

दिए गए प्रतिबंध xy + yz + zx = 1 को सीधे अंश में प्रतिस्थापित करके व्यंजक का मान ज्ञात किया जा सकता है। 1 + y² में 1 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 1 + y² = (xy + yz + zx) + y²

गुणनखंडन को आसान बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 1 + y² = (y² + xy) + (yz + zx)

समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन करने पर: 1 + y² = y(y + x) + z(y + x) = (x + y)(y + z)

इस गुणनखंडित रूप को वापस मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ((x + y)(y + z))/((x + y)(y + z)) = 1

वैकल्पिक रूप से, मान-प्रतिस्थापन विधि (शॉर्टकट) का उपयोग करते हुए, माना y = 0 है। तब प्रतिबंध xy + yz + zx = 1 सरल होकर zx = 1 हो जाता है। x = 1 और z = 1 चुनने पर, व्यंजक के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: (1 + 0²)/((1 + 0)(0 + 1)) = ¹⁄₁ = 1

व्याख्या

वृत्त के केंद्र को उस बाहरी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड, जहाँ से स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं, उन स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। दिया गया है कि ∠ QPR = 120°, इसलिए कोण ∠ OPQ कुल कोण का आधा है, जिसकी गणना (120°)/(2) = 60° के रूप में की जाती है। एक वृत्त में, त्रिज्या OQ स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा PQ पर लंबवत होती है, जिससे यह स्थापित होता है कि ∠ OQP = 90° है। त्रिभुज POQ में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ POQ का मान कुल योग में से ज्ञात कोणों को घटाकर निर्धारित किया जाता है: ∠ POQ = 180° - 90° - 60° = 30°।

व्याख्या

△ ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, जिसे ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि दिया गया है कि ∠ BAC = 90° है, इसलिए अन्य दो कोणों का योग ∠ ABC + ∠ ACB = 90° होगा। चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि AB = AC है, इसलिए यह त्रिभुज समद्विबाहु है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है ∠ ABC = ∠ ACB। इसे योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 2 × ∠ ABC = 90° प्राप्त होता है। वांछित कोण के लिए हल करने पर, हमें ∠ ABC = 45° प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान कोणों के गुणों और आवधिकता का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। पहले पद के लिए, हम सर्वसमिका tan(360° - θ) = -tan θ का उपयोग करते हैं। θ = 45° प्रतिस्थापित करने पर tan 315° = tan(360° - 45°) = -tan 45° = -1 प्राप्त होता है।

दूसरे पद के लिए, हम सर्वसमिका cot(-θ) = -cot θ का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, cot(-405°) = -cot 405°। चूंकि cotangent फलन का आवर्तकाल 360° होता है, इसलिए cot(360° + θ) = cot θ होता है। इससे हमें -cot(360° + 45°) = -cot 45° = -1 प्राप्त होता है।

इन परिणामों को आपस में गुणा करने पर, हमें tan 315° × cot(-405°) = (-1) × (-1) = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना दूसरी संख्या 6x है, जो 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। चूंकि दूसरी संख्या पहली की दोगुनी और तीसरी की तीन गुनी है, इसलिए पहली संख्या 3x है और तीसरी संख्या 2x है। तीनों संख्याओं का औसत 33 दिया गया है, जिसका अर्थ है कि उनका योग 33 × 3 = 99 है। व्यक्तिगत पदों को जोड़ने पर 3x + 6x + 2x = 99 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 11x = 99 हो जाता है। x के लिए हल करने पर x = 9 प्राप्त होता है। तीनों संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या दूसरी संख्या है, जो कि 6x = 6 × 9 = 54 है।

व्याख्या

वस्तुओं के योग की गणना सूत्र योग = औसत × वस्तुओं की संख्या का उपयोग करके की जाती है। प्रारंभिक गलत योग 30 × 100 = 3000 है। सही योग ज्ञात करने के लिए, हम उन मानों को घटाते हैं जिन्हें गलती से शामिल किया गया था और सही मानों को जोड़ते हैं।

गलती से ली गई वस्तुओं का योग 32 + 12 = 44 है, जबकि सही वस्तुओं का योग 23 + 11 = 34 है। कुल योग पर लागू होने वाला शुद्ध अंतर 34 - 44 = -10 है।

संशोधित योग 3000 - 10 = 2990 है। इसलिए, सही औसत 2990 / 100 = 29.9 है। वैकल्पिक रूप से, औसत में परिवर्तन की गणना सीधे शुद्ध अंतर को वस्तुओं की कुल संख्या से विभाजित करके की जा सकती है: -10 / 100 = -0.1। इसे मूल औसत से घटाने पर 30 - 0.1 = 29.9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए खाली बक्से का वजन B है और बक्से को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक रेत का वजन S है। प्रश्न के कथनानुसार, हम दो रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

B + S = 8.5 B + 0.5S = 5.5

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर हमें आधी रेत का वजन प्राप्त होता है: (B + S) - (B + 0.5S) = 8.5 - 5.5 0.5S = 3.0

2 से गुणा करने पर बक्से के पूरा भरे होने पर रेत का वजन प्राप्त होता है: S = 6.0 किग्रा

खाली बक्से का वजन ज्ञात करने के लिए, रेत के वजन S का मान पहले समीकरण में रखें: B + 6.0 = 8.5 B = 8.5 - 6.0 = 2.5 किग्रा

व्याख्या

दिए गए समीकरणों a + (1)/(b) = 1 और b + (1)/(c) = 1 से, हम c और ¹⁄ₐ को b के पदों में व्यक्त कर सकते हैं। पहले समीकरण से, a = 1 - (1)/(b) = (b - 1)/(b), जिससे प्राप्त होता है कि ¹⁄ₐ = (b)/(b - 1)। दूसरे समीकरण से, (1)/(c) = 1 - b, जिससे c = (1)/(1 - b) प्राप्त होता है।

c + ¹⁄ₐ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं: c + ¹⁄ₐ = (1)/(1 - b) + (b)/(b - 1)

दूसरे पद के हर को व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: c + ¹⁄ₐ = (1)/(1 - b) - (b)/(1 - b) c + ¹⁄ₐ = (1 - b)/(1 - b) c + ¹⁄ₐ = 1

व्याख्या

जब दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है। मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ R और r हैं, जहाँ R बड़े वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है। प्रश्न के अनुसार, R + r = 14.

दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग 130π वर्ग सेंटीमीटर दिया गया है। वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र A = π r² का उपयोग करते हुए, हम समीकरण π R² + π r² = 130π स्थापित कर सकते हैं, जो सरल होकर R² + r² = 130 हो जाता है।

R और r के मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजीय सर्वसमिका (R + r)² = R² + r² + 2Rr का उपयोग कर सकते हैं। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 14² = 130 + 2Rr 196 = 130 + 2Rr 2Rr = 66 Rr = 33

अब हमारे पास एक ऐसी प्रणाली है जहाँ त्रिज्याओं का योग 14 है और उनका गुणनफल 33 है। ये मान द्विघात समीकरण x² - 14x + 33 = 0 के मूल हैं। समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x - 11)(x - 3) = 0 मूल x = 11 और x = 3 हैं। चूँकि R बड़े वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए इसका मान 11 सेमी है।