एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए समीकरण (x + ¹⁄ₓ)² = 3 में, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x + ¹⁄ₓ = ±√3 प्राप्त होता है। x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हैं। a = x और b = ¹⁄ₓ प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x)(¹⁄ₓ)(x + ¹⁄ₓ) हो जाता है, जो सरल होकर (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) हो जाता है।

सर्वसमिका में x + ¹⁄ₓ = √3 प्रतिस्थापित करने पर, हमें (√3)³ - 3(√3) = 3√3 - 3√3 = 0 प्राप्त होता है। इसी प्रकार, x + ¹⁄ₓ = -√3 प्रतिस्थापित करने पर (-√3)³ - 3(-√3) = -3√3 + 3√3 = 0 प्राप्त होता है। दोनों ही स्थितियों में, परिणाम निरंतर 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

गुणनफल ab की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके की जाती है। यह सर्वसमिका तब गुणनफल को सीधे ज्ञात करने में मदद करती है जब अंतर और वर्गों का योग ज्ञात हो।

पद ab का मान ज्ञात करने के लिए सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ab = ((a² + b²) - (a - b)²)/(2)

पुनर्व्यवस्थित सूत्र में दिए गए मानों a² + b² = 25 और a - b = 3 को प्रतिस्थापित करने पर: ab = (25 - 3²)/(2) ab = (25 - 9)/(2) ab = ¹⁶⁄₂ ab = 8

व्याख्या

Δ ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ B = 70° और ∠ C = 60°, तीसरे कोण ∠ A की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ A = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - (70° + 60°) = 50°

तीनों कोणों की तुलना करने पर, दो सबसे छोटे कोण ∠ A = 50° और ∠ C = 60° हैं। इन दोनों कोणों के आंतरिक समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं, जो त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incenter) है। अंतःकेंद्र के गुण के अनुसार, दो कोणों (मान लीजिए ∠ A और ∠ C) के आंतरिक समद्विभाजकों द्वारा बनने वाला कोण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ∠ AOC = 90° + (∠ B)/(2)

तीसरे कोण ∠ B का मान रखने पर: ∠ AOC = 90° + (70°)/(2) = 90° + 35° = 125°

वैकल्पिक रूप से, Δ AOC में, आधार कोण मूल कोणों के आधे हैं: (∠ A)/(2) = (50°)/(2) = 25° और (∠ C)/(2) = (60°)/(2) = 30°। Δ AOC के लिए कोण योग गुण (angle sum property) का उपयोग करने पर: ∠ AOC = 180° - (25° + 30°) = 180° - 55° = 125°

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5cosθ + 12sinθ = 13 का विश्लेषण व्यंजक acosθ + bsinθ = c के गुणधर्म का उपयोग करके किया जा सकता है। जब c = √(a² + b²) होता है, तो समीकरण एक विशिष्ट स्थिति को दर्शाता है जहाँ गुणांक a, b, और c एक पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triple) बनाते हैं। यहाँ, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 है, जो कि ठीक 13² के बराबर है।

मूल समीकरण को 13 से विभाजित करने पर ⁵⁄₁₃cosθ + ¹²⁄₁₃sinθ = 1 प्राप्त होता है। इसकी तुलना मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ + sin²θ = 1 से की जा सकती है, जिसे cosθ(cosθ) + sinθ(sinθ) = 1 के रूप में लिखा जा सकता है। गुणांकों की सीधी तुलना करने पर, हमें cosθ = ⁵⁄₁₃ और sinθ = ¹²⁄₁₃ प्राप्त होता है। यह परिणाम एक धनात्मक न्यून कोण θ के लिए सुसंगत है क्योंकि दोनों मान धनात्मक हैं और उनके वर्गों का योग एक है।

व्याख्या

जब एक बेलनाकार बर्तन से रेत को शंक्वाकार ढेर बनाने के लिए उड़ेला जाता है, तो रेत का आयतन अपरिवर्तित (स्थिर) रहता है। बेलन के आयतन की गणना सूत्र V₁ = π r₁² h₁ का उपयोग करके की जाती है, और शंकु के आयतन की गणना V₂ = ⅓ π r₂² h₂ का उपयोग करके की जाती है।

दिए गए बेलन की विमाएँ r₁ = 18 सेमी और h₁ = 32 सेमी हैं, और शंकु के लिए h₂ = 24 सेमी है, हम दोनों आयतनों को बराबर रखते हैं: π × 18² × 32 = ⅓ × π × r₂² × 24

दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर: 18 × 18 × 32 = 8 × r₂²

r₂² के लिए हल करने पर: r₂² = (18 × 18 × 32)/(8) r₂² = 18² × 4

शंक्वाकार ढेर की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: r₂ = √(18² × 2²) r₂ = 18 × 2 r₂ = 36 सेमी।

व्याख्या

माना खंभे की ऊँचाई H है और इमारत तथा खंभे के बीच की क्षैतिज दूरी d है। 20 मीटर ऊँची इमारत के आधार से, खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। त्रिकोणमितीय अनुपात tan θ = लंब / आधार का उपयोग करने पर, हमें tan 60° = H/d प्राप्त होता है, जिससे d = H/√3 मिलता है।

इमारत के शीर्ष से, खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। इमारत के शीर्ष के स्तर से खंभे के शीर्ष की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई H - 20 है। इस प्रकार, tan 30° = (H - 20)/d। इस समीकरण में d का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1/√3 = (H - 20) / (H/√3) प्राप्त होता है। तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर H/3 = H - 20 प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर H - H/3 = 20 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2H/3 = 20 हो जाता है। H के लिए हल करने पर H = 30 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

कार्यकुशलता और कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। माना A की कार्यकुशलता 100% है। चूंकि B, A से 60% अधिक कुशल है, इसलिए B की कार्यकुशलता 100% + 60% = 160% है।

संबंध E₁ × T₁ = E₂ × T₂ का उपयोग करने पर: 100 × 12 = 160 × T_B T_B = (100 × 12)/(160) T_B = (10 × 12)/(16) = ¹²⁰⁄₁₆ अंश और हर दोनों को 8 से विभाजित करने पर: T_B = ¹⁵⁄₂ = 7 ½ दिन

वैकल्पिक रूप से, A और B की कार्यकुशलता का अनुपात 100 : 160 है, जो सरल होकर 5 : 8 हो जाता है। चूंकि लिया गया समय कार्यकुशलता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात 8 : 5 है। यह देखते हुए कि A को 12 दिन लगते हैं, हम 8 इकाइयों को 12 दिनों के बराबर रख सकते हैं। इसका अर्थ है कि 1 इकाई 1.5 दिनों के बराबर है। इसलिए, B द्वारा लिया गया समय 5 × 1.5 = 7.5 दिन है।

व्याख्या

जब एक आयत को एक वृत्त के अंतर्गत अंकित किया जाता है, तो आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के संपाती होता है। दी गई त्रिज्या r = 2.5 सेमी है, व्यास d की गणना इस प्रकार की जाती है: d = 2r = 2 × 2.5 = 5 सेमी।

मान लीजिए आयत की भुजाएँ a और b हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, भुजाओं और विकर्ण के बीच का संबंध है: a² + b² = d²

ज्ञात भुजा a = 4 सेमी और व्यास d = 5 सेमी को समीकरण में रखने पर: 4² + b² = 5² 16 + b² = 25 b² = 25 - 16 = 9 b = 3 सेमी।

आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं का गुणनफल होता है: क्षेत्रफल = a × b = 4 सेमी × 3 सेमी = 12 सेमी²।

व्याख्या

शुद्ध मूल्य की गणना अंकित मूल्य पर क्रमिक छूट लागू करके की जाती है। क्रमिक छूट के सूत्र का उपयोग करते हुए, अंतिम मूल्य MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध मूल्य = 50 × (1 - 15/100) × (1 - 20/100) शुद्ध मूल्य = 50 × (85/100) × (80/100) शुद्ध मूल्य = 50 × 0.85 × 0.8

चरण-दर-चरण गणना करने पर: 50 × 0.8 = 40 40 × 0.85 = 34

वैकल्पिक रूप से, x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट सूत्र x + y - (xy/100) द्वारा दी जाती है। समतुल्य छूट = 15 + 20 - (15 × 20)/100 = 35 - 3 = 32%. शुद्ध मूल्य = 50 - (50 का 32%) = 50 - 16 = 34।

व्याख्या

मान लीजिए कि दूसरे भाई का हिस्सा S₂ है और पहले तथा तीसरे भाई का संयुक्त हिस्सा S₁₊₃ है। प्रश्न के अनुसार, S₂ = ⁵⁄₁₃ S₁₊₃, जिससे अनुपात S₂ : S₁₊₃ = 5 : 13 स्थापित होता है। चूंकि 1620 रुपये की कुल राशि तीनों हिस्सों के योग को दर्शाती है, इसलिए यह इस अनुपात में 5 + 13 = 18 बराबर भागों के संगत है। दूसरे भाई का हिस्सा इन कुल 18 भागों में से 5 भाग है। आनुपातिक विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए, हिस्से की गणना ⁵⁄₁₈ × 1620 के रूप में की जाती है। 1620 को 18 से विभाजित करने पर 90 प्राप्त होता है, और 90 को 5 से गुणा करने पर 450 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP) 100 है। विक्रेता वस्तुओं पर क्रय मूल्य (CP) से 20% अधिक मूल्य अंकित करता है, इसलिए अंकित मूल्य (MP) 100 + 20 = 120 हो जाता है। विक्रेता 8% का लाभ प्राप्त करना चाहता है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य (SP) 100 + 8 = 108 होना चाहिए।

छूट, अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = MP - SP = 120 - 108 = 12

छूट की दर की गणना अंकित मूल्य पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट की दर = (छूट)/(MP) × 100 छूट की दर = ¹²⁄₁₂₀ × 100 = 10%

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति का मूल वेतन 100 है। 20% की कमी के बाद, वर्तमान वेतन 100 - 20 = 80 हो जाता है। वेतन को उसके मूल मान 100 पर पुनः बहाल करने के लिए, 80 के वर्तमान वेतन पर 100 - 80 = 20 की वृद्धि आवश्यक है।

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि)/(वर्तमान वेतन) × 100 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत वृद्धि = ²⁰⁄₈₀ × 100 = ¼ × 100 = 25%

वैकल्पिक रूप से, यदि किसी मान में r% की कमी की जाती है, तो मूल मान को पुनः बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि सूत्र (r)/(100 - r) × 100 द्वारा दी जाती है। r = 20 प्रतिस्थापित करने पर: आवश्यक वृद्धि = (20)/(100 - 20) × 100 = ²⁰⁄₈₀ × 100 = 25%

व्याख्या

एक यात्रा के लिए दूरी d, जहाँ दो अलग-अलग गतियाँ v₁ और v₂ के कारण समय का अंतर Δ t होता है, की गणना सूत्र d = v₁ × v₂ / (v₂ - v₁) × Δ t का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों v₁ = 45 किमी/घंटा, v₂ = 60 किमी/घंटा, और Δ t = 5.5 घंटे को प्रतिस्थापित करने पर:

d = (45 × 60)/(60 - 45) × 5.5

d = ²⁷⁰⁰⁄₁₅ × 5.5

d = 180 × 5.5

d = 990

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करने पर, गतियों का अनुपात 45:60 है, जो सरल होकर 3:4 हो जाता है। चूँकि दूरी स्थिर है, इसलिए लिए गए समय का अनुपात गति के अनुपात का व्युत्क्रम (उल्टा) होता है, जो कि 4:3 है। समय इकाइयों में अंतर 4 - 3 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, यह 1 इकाई 5.5 घंटे के बराबर है। इसलिए, पहली बस द्वारा लिया गया समय 4 × 5.5 = 22 घंटे है। कुल दूरी की गणना पहली बस की गति को उसके समय से गुणा करके की जाती है: 45 किमी/घंटा × 22 घंटे = 990 किमी।

व्याख्या

दिए गए अनुपात को समीकरण (x + 1)/(x){x - ¹⁄ₓ} = ⁵⁄₃ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर को x से गुणा करें: (x² + 1)/(x² - 1) = ⁵⁄₃

वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर: 3(x² + 1) = 5(x² - 1) 3x² + 3 = 5x² - 5

x² का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 5x² - 3x² = 3 + 5 2x² = 8 x² = 4

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x = ± 2

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। दिया गया है कि बाह्य कोण 115° है और एक अंतः अभिमुख कोण 45° है, तो दूसरे अंतः अभिमुख कोण की गणना 115° - 45° = 70° के रूप में की जाती है।

इसके अतिरिक्त, बाह्य कोण के आसन्न अंतः कोण उसके साथ एक रैखिक युग्म बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है। इसलिए, आसन्न अंतः कोण 180° - 115° = 65° है। इस प्रकार त्रिभुज के अन्य दो कोण 65° और 70° हैं।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है, जिससे संबंध ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° प्राप्त होता है। प्रश्न में दो समीकरण दिए गए हैं: ∠ A + ∠ B = 75° और ∠ B + ∠ C = 140°। इन दोनों दिए गए समीकरणों को आपस में जोड़ने पर, हमें ∠ A + 2∠ B + ∠ C = 75° + 140° = 215° प्राप्त होता है। इस व्यंजक को (∠ A + ∠ B + ∠ C) + ∠ B = 215° के रूप में विभाजित किया जा सकता है। इस समीकरण में त्रिभुज के कोणों के मानक योग 180° को प्रतिस्थापित करने पर 180° + ∠ B = 215° प्राप्त होता है। अज्ञात कोण का मान ज्ञात करने पर, हमें ∠ B = 215° - 180° = 35° प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (1+tan²θ)(1-sin²θ) है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के अनुसार, 1 + tan²θ = sec²θ और 1 - sin²θ = cos²θ होता है। व्यंजक में इन सर्वसमिकाओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec²θ · cos²θ प्राप्त होता है। चूंकि सीकेंट (secant) फलन, कोसाइन (cosine) फलन का व्युत्क्रम होता है, जहाँ secθ = (1)/(cosθ) है, इसलिए यह गुणनफल सरल होकर (1)/(cos²θ) · cos²θ हो जाता है, जिससे अंतिम मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक द्विघात व्यंजक ax² + bx + c एक पूर्ण वर्ग होता है यदि इसका विविक्तकर (discriminant) D = b² - 4ac शून्य के बराबर हो। दिए गए व्यंजक 4x² - 12x + k के लिए, गुणांक a = 4, b = -12, और c = k हैं।

विविक्तकर को शून्य के बराबर रखने पर: (-12)² - 4(4)(k) = 0 144 - 16k = 0 16k = 144 k = ¹⁴⁴⁄₁₆ = 9

वैकल्पिक रूप से, इस व्यंजक की तुलना बीजगणितीय सर्वसमिका (A - B)² = A² - 2AB + B² से की जा सकती है। यहाँ, A² = 4x², जिसका अर्थ है A = 2x। मध्य पद 2AB, 12x के संगत है, इसलिए 2(2x)(B) = 12x। इसे सरल करने पर 4xB = 12x प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप B = 3 मिलता है। अचर पद k का मान B² के बराबर होना चाहिए, जिससे k = 3² = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² + c² - ab - bc - ca के रूप में है। इस व्यंजक को मानक सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½ [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

a = 113, b = 115, और c = 117 मान रखने पर, हम पदों के बीच के अंतर की गणना कर सकते हैं: a - b = 113 - 115 = -2 b - c = 115 - 117 = -2 c - a = 117 - 113 = 4

अब, इन अंतरों को सरलीकृत सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: ½ [(-2)² + (-2)² + (4)²] ½ [4 + 4 + 16] ½ [24] 12

इस सर्वसमिका का उपयोग करने से बड़ी संख्याओं के वर्गों और गुणनफलों की कठिन गणना से बचा जा सकता है, जिससे सीधे संख्याओं के अंतर के माध्यम से परिणाम प्राप्त होता है।

व्याख्या

100वीं पारी में आवश्यक रनों की गणना 100 पारियों के बाद के कुल रनों और 99 पारियों के बाद के कुल रनों के बीच का अंतर ज्ञात करके की जा सकती है। 99 पारियों में बनाए गए कुल रन पारियों की संख्या और औसत का गुणनफल है, जो कि 99 × 99 = 9801 है। 100 पारियों में 100 रनों का लक्षित औसत प्राप्त करने के लिए, कुल रनों की संख्या 100 × 100 = 10000 तक पहुँचनी चाहिए। 100वीं पारी में बनाए जाने वाले रन 10000 - 9801 = 199 हैं।

एक त्वरित दृष्टिकोण औसत विचलन (average deviation) की अवधारणा का उपयोग करता है। पिछली 99 पारियों के औसत को 99 से बढ़ाकर 100 करने के लिए, क्रिकेटर को नया औसत 100 और साथ ही पिछली 99 पारियों में से प्रत्येक के लिए 1 अतिरिक्त रन बनाना होगा। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है: 100 + (99 × 1) = 199।

व्याख्या

r² का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करते हैं। दिए गए दोनों समीकरणों, rsinθ = 1 और rcosθ = √3 का वर्ग करके जोड़ने पर, (rsinθ)² + (rcosθ)² = 1² + (√3)² प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर r²(sin²θ + cos²θ) = 1 + 3 प्राप्त होता है, जिससे r² = 4 मिलता है।

tanθ ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करते हैं: (rsinθ)/(rcosθ) = (1)/(√(3)), जिसे सरल करने पर tanθ = (1)/(√(3)) प्राप्त होता है।

अभीष्ट मान इन दोनों परिणामों का गुणनफल है: r²tanθ = 4 × (1)/(√(3)) = (4)/(√(3))।

व्याख्या

घनों के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका p³ - q³ = (p - q)(p² + pq + q²) है। प्रश्न में दिया गया व्यंजक p³ - q³ = (p - q)((p - q)² + x pq) है। दूसरे कोष्ठक के भीतर के पद का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: (p - q)² + x pq = p² - 2pq + q² + x pq = p² + (x - 2)pq + q²।

परिणामी व्यंजक (p - q)(p² + (x - 2)pq + q²) की तुलना सर्वसमिका (p - q)(p² + pq + q²) से करने पर, pq पद के गुणांक समान होने चाहिए। इसलिए, x - 2 = 1, जिसे सरल करने पर x = 3 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका p³ - q³ = (p - q)³ + 3pq(p - q) का उपयोग करके, हम (p - q) को उभयनिष्ठ (कॉमन) लेकर (p - q)((p - q)² + 3pq) प्राप्त कर सकते हैं। इसकी सीधे दिए गए रूप (p - q)((p - q)² + x pq) से तुलना करने पर यह पुष्टि होती है कि x = 3 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (a + ¹⁄ₐ)² = 3 से प्राप्त होता है कि a + ¹⁄ₐ = √3। बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) का उपयोग करते हुए, a⁶ के लिए एक संबंध ज्ञात करने के लिए हम संबंध a + ¹⁄ₐ = √3 के दोनों पक्षों का घन (cube) करते हैं।

(a + ¹⁄ₐ)³ = (√3)³ a³ + (1)/(a³) + 3(a)(¹⁄ₐ)(a + ¹⁄ₐ) = 3√3 a³ + (1)/(a³) + 3√3 = 3√3 a³ + (1)/(a³) = 0

संपूर्ण समीकरण को a³ से गुणा करने पर a⁶ + 1 = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है a⁶ = -1। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह a¹⁸ + a¹² + a⁶ + 1 है। इस व्यंजक में a⁶ = -1 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(a⁶)³ + (a⁶)² + (a⁶) + 1 = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 -1 + 1 - 1 + 1 = 0

व्याख्या

पेड़ का खड़ा हुआ हिस्सा और आधार से गिरे हुए शीर्ष की दूरी एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं, जबकि पेड़ का टूटा हुआ हिस्सा कर्ण का कार्य करता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, जहाँ h = 8 मीटर टूटने की ऊँचाई है और d = 15 मीटर आधार से शीर्ष की दूरी है:

टूटे हुए हिस्से की लंबाई L = √(h² + d²) L = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √(289) = 17 मीटर

पेड़ की वास्तविक ऊँचाई खड़े हुए हिस्से और गिरे हुए टूटे हुए हिस्से का योग है: कुल ऊँचाई = h + L = 8 + 17 = 25 मीटर

व्याख्या

Δ PQR में, चूंकि XY आधार QR के समानांतर है, इसलिए AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार Δ PXY, Δ PQR के समरूप है, क्योंकि ∠ P उभयनिष्ठ है और ∠ PXY = ∠ PQR संगत कोण हैं। समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:

(XY)/(QR) = (PX)/(PQ)

प्रश्न में PX:XQ = 5:6 अनुपात दिया गया है। माना PX = 5k और XQ = 6k है। भुजा PQ की लंबाई इसके खंडों PX और XQ का योग है:

PQ = PX + XQ = 5k + 6k = 11k

समरूपता अनुपात में PX और PQ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(XY)/(QR) = ⁵ᵏ⁄₁₁ₖ = ⁵⁄₁₁

इससे यह पुष्टि होती है कि XY:QR का अनुपात 5:11 है।

व्याख्या

माना उधार लिया गया मूलधन P है। व्यक्ति द्वारा 4 वर्षों में 5% वार्षिक दर से भुगतान किया गया साधारण ब्याज (SI) इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: SI = (P × 5 × 4)/(100) = 0.20P।

उसी राशि को 4 वर्षों के लिए 10% वार्षिक दर पर उधार देकर व्यक्ति द्वारा अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज (CI) प्रभावी दर द्वारा निर्धारित किया जाता है। 4 वर्षों के लिए वार्षिक रूप से संयोजित 10% की दर के लिए, कुल ब्याज CI = P[(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)⁴ - 1] है। इसे सरल करने पर CI = P[(1.1)⁴ - 1] = P[1.4641 - 1] = 0.4641P प्राप्त होता है।

व्यक्ति द्वारा अर्जित लाभ उसके द्वारा प्राप्त ब्याज और उसके द्वारा भुगतान किए गए ब्याज के बीच का अंतर है। इसलिए, लाभ = 0.4641P - 0.20P = 0.2641P। चूंकि कुल लाभ ₹ 26,410 है, हम दोनों को बराबर करते हैं: 0.2641P = 26410। P के लिए हल करने पर P = (26410)/(0.2641) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप P = 100,000 आता है।

व्याख्या

h ऊंचाई वाले एक स्तंभ और धरातल पर क्षैतिज दूरी x पर स्थित एक बिंदु द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, उन्नयन कोण α और भुजाओं के बीच का संबंध cot α = (आधार)/(लंब) = ˣ⁄ₕ द्वारा दिया जाता है। इसलिए, स्तंभ के पाद (foot) से किसी भी बिंदु की दूरी x = h cot α है।

मान लीजिए कि स्तंभ के पाद से दोनों बिंदुओं की दूरियां क्रमशः x₁ और x₂ हैं। उन्नयन कोण Φ वाले बिंदु के लिए, दूरी x₁ = h cot Φ है। उन्नयन कोण θ वाले बिंदु के लिए, दूरी x₂ = h cot θ है। चूंकि दोनों बिंदु स्तंभ के एक ही ओर स्थित हैं और θ < Φ है, इसलिए छोटे कोण θ वाला बिंदु स्तंभ से अधिक दूरी पर है (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में cotangent फलन घटता है)।

दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी स्तंभ से उनकी संबंधित दूरियों का अंतर है: दूरी = x₂ - x₁ दूरी = h cot θ - h cot Φ दूरी = h(cot θ - cot Φ) मीटर

व्याख्या

सफेद फास्फोरस पृथक P₄ अणुओं के रूप में मौजूद होता है जहां चार फास्फोरस परमाणु एक नियमित चतुष्फलक (regular tetrahedron) के कोनों पर व्यवस्थित होते हैं। इस संरचना में, P-P-P बंध कोण केवल 60° होता है, जो पसंदीदा बंध कोणों से काफी विचलित होता है। यह अणु के भीतर तीव्र कोणीय तनाव पैदा करता है, जिससे P-P बंध असाधारण रूप से कमजोर और अस्थिर हो जाते हैं। इस उच्च ऊष्मागतिकीय अस्थिरता और वलय तनाव के कारण, सफेद फास्फोरस रासायनिक रूप से सबसे अधिक अभिक्रियाशील अपररूप है और कमरे के तापमान पर हवा में स्वतः आग पकड़ लेता है जिससे फास्फोरस पेंटाऑक्साइड बनता है।

व्याख्या

ज़ुबिन मेहता पाश्चात्य शास्त्रीय संगीत के एक विश्व प्रसिद्ध भारतीय संगीत संचालक (कंडक्टर) हैं। मुंबई में जन्मे, उन्होंने न्यूयॉर्क फिलहारमोनिक, लॉस एंजिल्स फिलहारमोनिक और मॉन्ट्रियल सिम्फनी ऑर्केस्ट्रा के संगीत निर्देशक जैसे प्रतिष्ठित पदों पर कार्य किया है। उन्हें विशेष रूप से इज़राइल फिलहारमोनिक ऑर्केस्ट्रा के साथ उनके लंबे जुड़ाव के लिए जाना जाता है, जहाँ उन्हें 1981 में आजीवन संगीत निर्देशक नियुक्त किया गया था। अंतर्राष्ट्रीय संगीत जगत में उनके योगदान को भारत के दूसरे सबसे बड़े नागरिक सम्मान, पद्म विभूषण और जापान आर्ट एसोसिएशन के 'प्रीमियम इम्पीरियल' (Praemium Imperiale) सहित कई पुरस्कारों से सम्मानित किया गया है।

व्याख्या

समीकरण 3¹⁰ × 27² = 9² × 3ⁿ को हल करने के लिए, हम घातांक के नियमों का उपयोग करके सभी पदों को एक समान आधार 3 में बदलते हैं।

समीकरण में 27 = 3³ और 9 = 3² रखने पर: 3¹⁰ × (3³)² = (3²)² × 3ⁿ

घात की घात के नियम, (aᵐ)ᵖ = aᵐᵖ का उपयोग करते हुए, पदों को इस प्रकार सरल किया जाता है: 3¹⁰ × 3⁶ = 3⁴ × 3ⁿ

घातांक के गुणन नियम, aᵐ × aᵖ = aᵐ⁺ᵖ को लागू करते हुए, हम समीकरण के दोनों पक्षों में घातांकों को जोड़ते हैं: 3¹⁰⁺⁶ = 3⁴⁺ⁿ 3¹⁶ = 3⁴⁺ⁿ

चूंकि दोनों पक्षों में आधार समान हैं, इसलिए हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं: 16 = 4 + n n = 16 - 4 n = 12

व्याख्या

एक बेलन के आयतन की गणना सूत्र V = π r² h द्वारा की जाती है। दो बेलनों के आयतनों के अनुपात को V₁/V₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂) के रूप में व्यक्त किया जाता है। दिए गए अनुपातों r₁:r₂ = 3:2 और h₁:h₂ = 3:7 को इस समीकरण में रखने पर (3/2)² × (3/7) प्राप्त होता है। पहले पद का वर्ग करने पर 9/4 प्राप्त होता है, और दूसरे पद से गुणा करने पर (9 × 3) / (4 × 7) = 27/28 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य MP पर दो क्रमिक छूट d₁ और d₂ के अधीन एक वस्तु के विक्रय मूल्य SP की गणना सूत्र SP = MP × (1 - d₁{100}) × (1 - d₂{100}) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों MP = 900, d₁ = 20, और d₂ = 10 को समीकरण में रखने पर SP = 900 × (1 - 0.20) × (1 - 0.10) प्राप्त होता है। कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर SP = 900 × 0.8 × 0.9 प्राप्त होता है। इन्हें आपस में गुणा करने पर 900 × 0.72 प्राप्त होता है, जो 648 के बराबर है। इसे d₁ + d₂ - d₁d₂{100} = 20 + 10 - ²⁰⁰⁄₁₀₀ = 28% की एकल समतुल्य छूट लागू करने के रूप में भी देखा जा सकता है। अंकित मूल्य 900 में से 900 का 28% (जो कि 252 है) घटाने पर अंतिम मूल्य 648 होने की पुष्टि होती है।

व्याख्या

साझेदारी का कुल निवेश 6000 रुपये है, जिसमें से A का योगदान 1000 रुपये है। इससे B और C का संयुक्त निवेश 6000 - 1000 = 5000 रुपये बचता है। चूंकि B और C 2:3 के अनुपात में निवेश करते हैं, इसलिए C के निवेश की गणना इस प्रकार की जाती है: ³⁄₂₊₃ × 5000 = ⅗ × 5000 = 3000।

A, B और C द्वारा किए गए निवेश का अनुपात 1000:2000:3000 है, जिसे सरल करने पर 1:2:3 प्राप्त होता है। एक साझेदारी में जहाँ प्रत्येक भागीदार के लिए समय अवधि समान होती है, वहाँ लाभ उनके पूंजी निवेश के सीधे अनुपात में साझा किया जाता है। इसलिए, C का लाभ हिस्सा निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

C का लाभ = (C का अनुपात)/(कुल अनुपात) × कुल लाभ C का लाभ = ³⁄₁₊₂₊₃ × 2400 = ³⁄₆ × 2400 = ½ × 2400 = 1200

व्याख्या

पहली दो संख्याओं का योग उनकी संख्या को उनके औसत से गुणा करके निकाला जाता है: 2 × 8 = 16। इसी प्रकार, अन्य तीन संख्याओं का योग 3 × 3 = 9 है। सभी पाँचों संख्याओं का कुल योग इन दोनों समूहों का योग है, जो कि 16 + 9 = 25 है। पाँचों संख्याओं का औसत ज्ञात करने के लिए, कुल योग को कुल संख्या से विभाजित करें: 25 / 5 = 5।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) की गणना सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + लाभ %) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ SP विक्रय मूल्य है। यह देखते हुए कि SP = 240 और लाभ प्रतिशत 20 है, इन मानों को सूत्र में रखने पर CP = (240 × 100)/(100 + 20) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर CP = ²⁴⁰⁰⁰⁄₁₂₀ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप CP = 200 आता है। वैकल्पिक रूप से, 20 प्रतिशत के लाभ का अर्थ है कि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य का 120 प्रतिशत है। समीकरण 1.2 × CP = 240 बनाने और 240 को 1.2 से विभाजित करने पर 200 रुपये का क्रय मूल्य प्राप्त होता है।

व्याख्या

समुच्चयों के समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (principle of inclusion-exclusion) का उपयोग करते हुए, कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत की गणना सूत्र P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) द्वारा की जाती है। यहाँ, P(A) हिंदी में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत (35%) को दर्शाता है, P(B) अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत (45%) को दर्शाता है, और P(A ∩ B) दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत (20%) को दर्शाता है।

सूत्र में मान रखने पर: 35 + 45 - 20 = 60% प्राप्त होता है। यह 60% कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का कुल प्रतिशत है। दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, कुल छात्रों के प्रतिशत (100%) में से कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों के प्रतिशत को घटाया जाता है। इस प्रकार, दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत 100% - 60% = 40% है।

व्याख्या

औसत गति को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। इसका सूत्र है:

औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय)

सबसे पहले, समय = (दूरी)/(गति) संबंध का उपयोग करके यात्रा के प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय ज्ञात कीजिए:

पहले भाग के लिए समय t₁ = (50 किमी)/(25 किमी/घंटा) = 2 घंटे। दूसरे भाग के लिए समय t₂ = (40 किमी)/(20 किमी/घंटा) = 2 घंटे। तीसरे भाग के लिए समय t₃ = (90 किमी)/(15 किमी/घंटा) = 6 घंटे।

अब, कुल दूरी और कुल समय ज्ञात कीजिए:

कुल दूरी = 50 + 40 + 90 = 180 किमी। कुल समय = 2 + 2 + 6 = 10 घंटे।

इन मानों को औसत गति के सूत्र में रखिए:

औसत गति = (180 किमी)/(10 घंटे) = 18 किमी/घंटा।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, माना k = x + ¹⁄ₓ। दिए गए समीकरण x³ + (1)/(x³) = 0 को k³ - 3(x)(¹⁄ₓ)(k) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो सरल होकर k³ - 3k = 0 हो जाता है। इस व्यंजक का गुणनखंड करने पर k(k² - 3) = 0 प्राप्त होता है। चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि x + ¹⁄ₓ ≠ 0, इसलिए हम जानते हैं कि k ≠ 0 है, अतः k² - 3 = 0, जिससे k² = 3 प्राप्त होता है। (x + ¹⁄ₓ)⁴ का मान k⁴ है, जिसकी गणना k² का वर्ग करके की जाती है। इस प्रकार, k⁴ = (k²)² = 3² = 9।

व्याख्या

योग के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका यह दर्शाती है कि (x + ¹⁄ₓ)² = x² + 2(x)(¹⁄ₓ) + (1)/(x²), जो सरल होकर संबंध x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 में परिवर्तित हो जाता है। इस सूत्र में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम गणना करते हैं कि x² + (1)/(x²) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2। वैकल्पिक रूप से, समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 के लिए प्रतिरूप पहचान (pattern recognition) का उपयोग करने पर, यह स्पष्ट है कि x = 1 इसका एकमात्र हल है क्योंकि 1 + ¹⁄₁ = 2। वांछित व्यंजक में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर 1² + (1)/(1²) = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का लंबकेंद्र वह बिंदु होता है जहाँ तीनों शीर्षलंब प्रतिच्छेद करते हैं। इसकी स्थिति त्रिभुज के कोणों के माप पर निर्भर करती है। एक न्यूनकोण त्रिभुज में, लंबकेंद्र त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित होता है, जबकि एक अधिककोण त्रिभुज में, यह बाहरी भाग में स्थित होता है। एक समकोण त्रिभुज के लिए, समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ स्वयं एक-दूसरे पर शीर्षलंब होती हैं। यदि किसी त्रिभुज के एक विशिष्ट शीर्ष पर समकोण है, तो एक न्यूनकोण शीर्ष से विपरीत भुजा पर डाला गया शीर्षलंब, उस समकोण वाले शीर्ष पर मिलने वाली त्रिभुज की भुजा ही होती है। इसी प्रकार, दूसरे न्यूनकोण शीर्ष से डाला गया शीर्षलंब दूसरी भुजा होती है। ये दोनों शीर्षलंब ठीक उसी शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ समकोण बनता है। इसलिए, यदि लंबकेंद्र त्रिभुज की किसी एक भुजा पर स्थित है, तो त्रिभुज समकोण होना चाहिए, और लंबकेंद्र को समकोण वाले शीर्ष के साथ संपाती होना चाहिए।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई, अन्य दो भुजाओं की लंबाइयों के निरपेक्ष अंतर (absolute difference) से अधिक और अन्य दो भुजाओं की लंबाइयों के योग से कम होनी चाहिए। इसे असमिका |a - b| < c < a + b द्वारा दर्शाया जाता है। दी गई भुजाओं की लंबाइयों 5 सेमी, 9 सेमी और x सेमी का मान रखने पर, हमें |9 - 5| < x < 9 + 5 प्राप्त होता है, जो सरल करने पर 4 < x < 14 हो जाता है। चूंकि x एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए x के संभावित मानों का समुच्चय {5, 6, 7, …, 13} है। इस समुच्चय में न्यूनतम मान 5 है।

व्याख्या

पूरक कोण संबंध cos θ = sin(90° - θ) का उपयोग करने पर, पद cos² 70° को cos²(90° - 20°) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो सरल होकर sin² 20° हो जाता है। इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर cos² 20° + sin² 20° प्राप्त होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 के अनुसार, समान कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों का योग हमेशा 1 के बराबर होता है।

व्याख्या

कार्यकर्ताओं की संख्या, लिया गया समय और पूरे किए गए कार्य के बीच का संबंध सूत्र (M₁ × T₁)/(W₁) = (M₂ × T₂)/(W₂) द्वारा दिया गया है, जहाँ M व्यक्तियों की संख्या है, T घंटों में समय है, और W किया गया कार्य (चटाइयों की संख्या) है।

प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 5 व्यक्ति T₁ = 5 घंटे W₁ = 5 चटाइयाँ

और मानों का दूसरा समूह: M₂ = 10 व्यक्ति T₂ = 10 घंटे W₂ = ?

समीकरण इस प्रकार बनता है: (5 × 5)/(5) = (10 × 10)/(W₂)

बाएँ पक्ष को सरल करने पर: 5 = (100)/(W₂)

W₂ के लिए हल करने पर: W₂ = ¹⁰⁰⁄₅ W₂ = 20

श्रमिकों की संख्या और दिए गए समय दोनों को दोगुना करने से, कुल मानव-घंटे चार गुना बढ़ जाते हैं, जिससे मूल समूह की तुलना में चार गुना अधिक चटाइयों का उत्पादन होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों a + b = 17 और a - b = 9 को प्रतिस्थापित करते हैं:

17² + 9² = 2(a² + b²)

289 + 81 = 2(a² + b²)

370 = 2(a² + b²)

4a² + 4b² का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूरे समीकरण को 2 से गुणा करते हैं:

2 × 370 = 2 × 2(a² + b²)

740 = 4a² + 4b²

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (x + y)² = x² + y² + 2xy और (x - y)² = x² + y² - 2xy का उपयोग करके, हम 4xy और 2(x² + y²) के लिए व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं।

सबसे पहले, वर्गों को घटाकर 4xy की गणना करें: 4xy = (x + y)² - (x - y)² दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4xy = (√3)² - (√2)² = 3 - 2 = 1

इसके बाद, वर्गों को जोड़कर 2(x² + y²) की गणना करें: 2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)² दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2(x² + y²) = (√3)² + (√2)² = 3 + 2 = 5

व्यंजक 8xy(x² + y²) को इन दो प्राप्त घटकों के गुणनफल के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: 8xy(x² + y²) = (4xy) × [2(x² + y²)] परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 8xy(x² + y²) = 1 × 5 = 5

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ कर्ण वृत्त की त्रिज्या (r = 13 सेमी) है, एक भुजा केंद्र से जीवा की दूरी (d = 5 सेमी) है, और दूसरी भुजा जीवा की लंबाई की आधी (x) है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: r² = d² + x²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 13² = 5² + x² 169 = 25 + x² x² = 169 - 25 x² = 144 x = √(144) = 12 सेमी

चूँकि x जीवा की आधी लंबाई को दर्शाता है, इसलिए कुल लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: जीवा की लंबाई = 2x = 2 × 12 = 24 सेमी

व्याख्या

एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। दिए गए अनुपात 1:2:3 के अनुसार, मान लीजिए कि कोण x, 2x और 3x हैं। x + 2x + 3x = 180° को हल करने पर 6x = 180° प्राप्त होता है, इसलिए x = 30°। त्रिभुज के कोण 30°, 60° और 90° हैं। ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार, किसी भी त्रिभुज के लिए, भुजाओं का अनुपात उनके सम्मुख कोणों की ज्या (sine) के अनुपात के बराबर होता है। इस प्रकार, भुजाओं की लंबाई sin 30° : sin 60° : sin 90° के अनुपात का अनुसरण करती है।

मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर, यह अनुपात 1/2 : √3/2 : 1 हो जाता है, जो 1 : √3 : 2 के बराबर है। सबसे छोटी भुजा हमेशा सबसे छोटे कोण (30°) के सम्मुख होती है, और सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण (90°) के सम्मुख होती है। चूंकि सबसे छोटी भुजा की लंबाई 10 सेमी दी गई है और सबसे छोटी तथा सबसे लंबी भुजाओं के बीच का अनुपात 1:2 है, इसलिए सबसे लंबी भुजा की लंबाई 10 × 2 = 20 सेमी है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण cos A + cos² A = 1 में, हम cos A को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

cos A = 1 - cos² A

मूल सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करते हुए, हम 1 - cos² A के स्थान पर sin² A प्रतिस्थापित करते हैं:

cos A = sin² A

इस समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

cos² A = (sin² A)² = sin⁴ A

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, sin² A + sin⁴ A है। ऊपर प्राप्त समतुल्य कोसाइन (cosine) पदों को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

sin² A + sin⁴ A = cos A + cos² A

प्रारंभिक समीकरण से, हम जानते हैं कि cos A + cos² A = 1 है। अतः, वांछित व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत n वर्षों के बाद मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है और r ब्याज दर है।

दिया गया है कि 3000 रुपये की राशि दो वर्षों में 6000 रुपये हो जाती है: 6000 = 3000(1 + ʳ⁄₁₀₀)² (1 + ʳ⁄₁₀₀)² = ⁶⁰⁰⁰⁄₃₀₀₀ = 2

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, समान समयांतरालों में वृद्धि कारक (growth factor) स्थिर रहता है। चूँकि पहले दो वर्षों में मिश्रधन दोगुना हो जाता है (वृद्धि कारक 2 है), यह अगले दो वर्षों में फिर से दोगुना हो जाएगा। चार वर्षों के बाद मिश्रधन A₄ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: A₄ = P[(1 + ʳ⁄₁₀₀)²]² ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A₄ = 3000 × (2)² = 3000 × 4 = 12000

चार वर्षों का कुल ब्याज अंतिम मिश्रधन और मूल मूलधन के बीच का अंतर है: ब्याज = A₄ - P ब्याज = 12000 - 3000 = 9000

व्याख्या

माना प्रकाश स्तंभ की ऊंचाई h है। जहाजों के अवनमन कोण 45° और 30° हैं, जो जहाजों से प्रकाश स्तंभ के शीर्ष के उन्नयन कोणों के बराबर हैं।

पहले जहाज के साथ 45° पर बनने वाले समकोण त्रिभुज में, आधार से दूरी d₁ = h cot(45°) = h(1) = h है। दूसरे जहाज के साथ 30° पर बनने वाले समकोण त्रिभुज में, आधार से दूरी d₂ = h cot(30°) = h√3 है।

दोनों जहाजों के बीच की दूरी d₂ - d₁ = 200 मीटर है। d₁ और d₂ के मान प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

h√3 - h = 200 h(√3 - 1) = 200 h = (200)/(√(3) - 1)

इसे सरल करने के लिए, अंश और हर को (√3 + 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर:

h = 200(√3 + 1){(√3 - 1)(√3 + 1)} = 200(√3 + 1){3 - 1} = 200(√3 + 1){2} = 100(√3 + 1)

√3 = 1.73 का मान रखने पर:

h = 100(1.73 + 1) = 100(2.73) = 273 मीटर