एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (PRT)/100 का उपयोग करते हुए, किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होना चाहिए (SI = P)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर P = (P * R * 15) / 100 प्राप्त होता है, जिसे हल करने पर R = 100/15 = 20/3 = 6 2/3% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (1)/(√(a)) - (1)/(√(b)) = 0 है। पद का पक्षांतरण करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1)/(√(a)) = (1)/(√(b)) दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर √a = √b प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर a = b प्राप्त होता है।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह ¹⁄ₐ + (1)/(b) है। इस व्यंजक में स्थिति b = a प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: ¹⁄ₐ + ¹⁄ₐ = ²⁄ₐ

चूंकि a = b है, इसलिए गुणनफल ab, a² के बराबर है, और परिणामस्वरूप, √(ab) = √(a²) = a होगा। व्यंजक के परिणाम में a = √(ab) को पुनः प्रतिस्थापित करने पर: ²⁄ₐ = (2)/(√(ab))

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका (x+y+z)² = x²+y²+z² + 2(xy+yz+zx) है। इस सूत्र में दिए गए मानों x²+y²+z² = 14 और xy+yz+zx = 11 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x+y+z)² = 14 + 2(11) प्राप्त होता है। योग की गणना करने पर 14 + 22 प्राप्त होता है, जो 36 के बराबर है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण √2 tan 2θ = √6 है। दोनों पक्षों को √2 से विभाजित करने पर, हमें tan 2θ = √6{√2} = √3 प्राप्त होता है। चूंकि 0° < θ < 45° है, इसलिए कोण 2θ प्रथम चतुर्थांश (0° < 2θ < 90°) में स्थित है। हम जानते हैं कि tan 60° = √3, इसलिए 2θ = 60°, जिससे θ = 30° प्राप्त होता है।

व्यंजक sinθ + √3cosθ - 2tan²θ में θ = 30° प्रतिस्थापित करने पर: E = sin 30° + √3cos 30° - 2tan² 30°

मानक त्रिकोणमितीय मानों sin 30° = ½, cos 30° = √3{2}, और tan 30° = (1)/(√(3)) का उपयोग करने पर: E = ½ + √3 · √3{2} - 2 · ((1)/(√(3)))² E = ½ + ³⁄₂ - 2 · ⅓ E = ⁴⁄₂ - ⅔ E = 2 - ⅔ = ⁴⁄₃

व्याख्या

मान लीजिए कि धनात्मक संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, जब संख्या में से 4 घटाया जाता है, तो यह इसके व्युत्क्रम के 21 गुना के बराबर होती है। इसे समीकरण x - 4 = 21/x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। x का मान ज्ञात करने के लिए, पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर x² - 4x = 21 प्राप्त होता है, जिसे द्विघात समीकरण x² - 4x - 21 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल -21 हो और योग -4 हो, जो कि -7 और 3 हैं। इस प्रकार, (x - 7)(x + 3) = 0। इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं, जो 7 और -3 हैं। चूँकि प्रश्न में निर्दिष्ट है कि संख्या धनात्मक है, इसलिए हम x = 7 लेते हैं। इसे सत्यापित करने पर, 7 - 4 = 3 और 21/7 = 3, जो शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

दिए गए tan α = 2 का उपयोग करके व्यंजक (sin α)/(sin³ α + cos³ α) का मान ज्ञात करने के लिए, पदों को tan α के रूप में व्यक्त करने के लिए अंश और हर दोनों को cos³ α से विभाजित करें।

अंश (sin α)/(cos³ α) = (sin α)/(cos α) · (1)/(cos² α) = tan α sec² α है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² α = 1 + tan² α का उपयोग करने पर, अंश tan α (1 + tan² α) हो जाता है।

हर (sin³ α + cos³ α)/(cos³ α) = (sin³ α)/(cos³ α) + (cos³ α)/(cos³ α) = tan³ α + 1 है।

अब व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (tan α (1 + tan² α))/(tan³ α + 1)

सरलीकृत व्यंजक में दिए गए मान tan α = 2 को प्रतिस्थापित करने पर: (2 (1 + 2²))/(2³ + 1) = (2 (1 + 4))/(8 + 1) = (2 × 5)/(9) = ¹⁰⁄₉

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) है। इससे, हम दिए गए व्यंजक में भिन्नात्मक पद को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

(1)/(x² + xy + y²) = (x - y)/(x³ - y³)

दिया गया है x = ³√(28) और y = ³√(27), हम उनके घन ज्ञात करते हैं: x³ = (³√(28))³ = 28 y³ = (³√(27))³ = 27

हर (denominator) x³ - y³ की गणना करने पर: x³ - y³ = 28 - 27 = 1

इसे वापस सरलीकृत भिन्नात्मक पद में प्रतिस्थापित करने पर: (1)/(x² + xy + y²) = (x - y)/(1) = x - y

अब, इस परिणाम को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x + y - (x - y) = x + y - x + y = 2y

चूंकि y = ³√(27) = 3 है, इसलिए अंतिम मान है: 2 × 3 = 6

व्याख्या

व्यंजक (x + y)⁽ˣ⁾^/⁽ʸ⁾ का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए मानों x = 12 और y = 4 को इसमें प्रतिस्थापित करें।

सबसे पहले, घातांक के आधार की गणना करें: x + y = 12 + 4 = 16

इसके बाद, घातांक की गणना करें: (x)/(y) = ¹²⁄₄ = 3

अब, इन परिणामों को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 16³

16³ को हल करने के लिए, 16 को स्वयं से तीन बार गुणा करें: 16 × 16 = 256 256 × 16 = 4096

वैकल्पिक रूप से, आधार को 2 की घात के रूप में व्यक्त करने से गणना सरल हो जाती है: 16³ = (2⁴)³ = 2¹² चूंकि 2¹⁰ = 1024 है, इसलिए 2¹² = 1024 × 4 = 4096।

व्याख्या

त्रिभुज PQR में, दिया गया है कि PQ = PR, एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों के अनुसार इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होने चाहिए। इसलिए, ∠ R = ∠ Q। प्रश्न में यह भी कहा गया है कि ∠ Q = 2∠ P।

माना ∠ P = x। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ Q = 2x और, चूंकि ∠ R = ∠ Q, इसलिए ∠ R = 2x।

किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसे त्रिभुज PQR पर लागू करने पर: ∠ P + ∠ Q + ∠ R = 180° x + 2x + 2x = 180° 5x = 180° x = 36°

चूंकि ∠ Q = 2x, हम इसके मान की गणना इस प्रकार करते हैं: ∠ Q = 2 × 36° = 72°

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब हमेशा जीवा को समद्विभाजित करता है। माना वृत्त का केंद्र O है और जीवा AB है। यदि M वह बिंदु है जहाँ O से डाला गया लंब जीवा से मिलता है, तो AM = MB = 16 / 2 = 8 सेमी। दूरी OM, 15 सेमी दी गई है। ये खंड एक समकोण त्रिभुज OMA बनाते हैं, जहाँ त्रिज्या OA कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OA² = OM² + AM² r² = 15² + 8² r² = 225 + 64 r² = 289 r = √(289) = 17 सेमी

व्याख्या

चारों शहरों के औसत अधिकतम तापमान की गणना सूत्र औसत = (योग)/(प्रेक्षणों की संख्या) का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि औसत 35 है और 4 शहर हैं, उनके अधिकतम तापमान का कुल योग 35 × 4 = 140 होना चाहिए।

मान लीजिए चेन्नई का अधिकतम तापमान x है। दिल्ली, कोलकाता और मुंबई के तापमान का योग 35 + 33 + 34 = 102 है। इसलिए, हम समीकरण 102 + x = 140 बनाते हैं। x के लिए हल करने पर x = 140 - 102 = 38 प्राप्त होता है।

विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, 35 के औसत के सापेक्ष दिल्ली, कोलकाता और मुंबई के तापमान क्रमशः 0, -2 और -1 हैं। इन विचलनों का योग -3 है। औसत को 35 बनाए रखने के लिए, सभी विचलनों का योग शून्य होना चाहिए। इसलिए, चेन्नई का औसत से विचलन +3 होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप तापमान 35 + 3 = 38° C होता है।

व्याख्या

माना पहले और दूसरे गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः R₁ और R₂ हैं। चूंकि पहले गोले का व्यास दूसरे गोले के व्यास का दोगुना है, इसलिए उनकी त्रिज्याएँ भी उसी अनुपात में होंगी, जिससे R₁ = 2R₂ प्राप्त होता है। प्रश्न के अनुसार, पहले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दूसरे गोले के आयतन के संख्यात्मक रूप से बराबर है।

गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल (4π R²) और गोले के आयतन (⁴⁄₃π R³) के सूत्रों का उपयोग करने पर: 4π R₁² = ⁴⁄₃π R₂³

समीकरण में R₂ = (R₁)/(2) प्रतिस्थापित करने पर: 4π R₁² = ⁴⁄₃π ((R₁)/(2))³ 4π R₁² = (4π)/(3) · (R₁³)/(8)

दोनों पक्षों को 4π R₁² से विभाजित करने पर: 1 = (R₁)/(3 × 8) 1 = (R₁)/(24) R₁ = 24

व्याख्या

पतंग की स्थिति, जमीन पर उसके ठीक नीचे के बिंदु और उस बिंदु जहाँ से डोर को पकड़ा गया है, द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, डोर कर्ण का कार्य करती है। ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h, दिए गए उन्नयन कोण की सम्मुख भुजा (लंब) है। त्रिकोणमितीय ज्या (sine) अनुपात का उपयोग करने पर:

sin(θ) = सम्मुख भुजा (लंब) / कर्ण

दिया गया है कि कोण θ = 60° और डोर की लंबाई (कर्ण) 80 मीटर है, इसलिए संबंध है:

sin(60°) = h/80

मानक त्रिकोणमितीय मान sin(60°) = √3/2 का उपयोग करने पर:

√3/2 = h/80

h = 80 × √3/2

h = 40√3 मीटर

व्याख्या

किया गया कुल कार्य सूत्र M₁ × D₁ × E₁ = M₂ × D₂ × E₂ द्वारा नियंत्रित होता है, जहाँ M व्यक्तियों की संख्या को दर्शाता है, D दिनों की संख्या को दर्शाता है, और E कार्यक्षमता के स्तर को दर्शाता है। पहली स्थिति में, 1 इकाई की मानक कार्यक्षमता के साथ 20 दिनों तक काम करने वाले 10 व्यक्तियों के परिणामस्वरूप कुल कार्य की आवश्यकता 10 × 20 × 1 = 200 इकाई होती है।

दूसरी स्थिति में, व्यक्तियों की संख्या बढ़कर 20 हो जाती है और उनकी कार्यक्षमता दोगुनी होकर प्रति व्यक्ति 2 इकाई हो जाती है। उसी 200 इकाई कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या D₂ ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण 200 = 20 × D₂ × 2 स्थापित करते हैं। यह सरल होकर 200 = 40 × D₂ हो जाता है। D₂ के लिए हल करने पर 200 / 40 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 5 दिन आते हैं।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग तीसरी भुजा की लम्बाई से अधिक होता है। इस मूलभूत गुण को त्रिभुज असमानता प्रमेय के रूप में जाना जाता है। चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD कई त्रिभुज बनाते हैं। इन विकर्णों द्वारा परिभाषित त्रिभुजों पर इस प्रमेय को लागू करने पर, हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

△ABC से, AB + BC > AC △ADC से, CD + DA > AC △BCD से, BC + CD > BD △ABD से, DA + AB > BD

इन चारों असमानताओं को आपस में जोड़ने पर, बाईं ओर के पद मिलकर इस प्रकार बनते हैं: 2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD

असमानता के दोनों पक्षों से अचर 2 को उभयनिष्ठ लेने पर: 2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर यह संबंध सरल हो जाता है: AB + BC + CD + DA > AC + BD

यह गणितीय व्युत्पत्ति सिद्ध करती है कि किसी चतुर्भुज का परिमाप हमेशा उसके विकर्णों के योग से अधिक होता है।

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों x% और y% की समतुल्य छूट ज्ञात करने के लिए, हम शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हैं। यदि किसी मान में a% और फिर b% का परिवर्तन किया जाता है, तो प्रभावी प्रतिशत परिवर्तन a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ द्वारा दिया जाता है। चूंकि छूट मूल्य में ऋणात्मक प्रतिशत परिवर्तन को दर्शाती है, इसलिए हम सूत्र में a = -x और b = -y प्रतिस्थापित करते हैं।

शुद्ध परिवर्तन = -x + (-y) + ⁽⁻ˣ⁾⁽⁻ʸ⁾⁄₁₀₀ शुद्ध परिवर्तन = -x - y + ˣʸ⁄₁₀₀ शुद्ध परिवर्तन = -(x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)

ऋणात्मक चिह्न कुल कमी या छूट को दर्शाता है। इसलिए, एकल समतुल्य छूट प्रतिशत (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)% है। इसे प्रारंभिक मूल्य 100 मानकर भी समझा जा सकता है। पहली छूट मूल्य को x कम कर देती है, जिससे 100 - x बचता है। दूसरी छूट y% इस शेष राशि पर लागू होती है, जिससे इसमें y - ˣʸ⁄₁₀₀ की कमी होती है। दोनों कमियों को जोड़ने पर कुल छूट x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ प्राप्त होती है।

व्याख्या

मिठाइयों को A और B के बीच 3:4 के अनुपात में वितरित किया गया है। माना A और B के हिस्से क्रमशः 3x और 4x हैं। यह दिया गया है कि A को 36 मिठाइयाँ मिलीं, इसलिए हम समीकरण 3x = 36 बना सकते हैं। x के लिए हल करने पर x = 36 / 3 = 12 प्राप्त होता है। डिब्बे में मिठाइयों की कुल संख्या A और B के हिस्सों का योग है, जो कि 3x + 4x = 7x है। x का मान रखने पर, मिठाइयों की कुल संख्या 7 × 12 = 84 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि क्रय मूल्य 4x है और विक्रय मूल्य 5x है। अर्जित लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 5x - 4x = x है। लाभ प्रतिशत की गणना मानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100

सूत्र में संबंधित मान रखने पर: लाभ प्रतिशत = ˣ⁄₄ₓ × 100 = ¼ × 100 = 25

इस प्रकार, जब क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य का अनुपात 4 : 5 होता है, तो लाभ प्रतिशत 25 होता है।

व्याख्या

स्टॉक के मूल्य में प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत कमी = (प्रारंभिक मूल्य - अंतिम मूल्य)/(प्रारंभिक मूल्य) × 100

दिया गया है कि स्टॉक का प्रारंभिक मूल्य 25 रुपये और अंतिम मूल्य 21 रुपये है, इसलिए प्रति शेयर मूल्य में वास्तविक कमी है:

25 - 21 = 4

इन मानों को प्रतिशत सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत कमी = ⁴⁄₂₅ × 100

चूंकि 100 को 25 से विभाजित करने पर 4 प्राप्त होता है, इसलिए गणना सरल होकर निम्न प्रकार हो जाती है:

4 × 4 = 16%

व्याख्या

मान लीजिए कि पैदल यात्रा करने में लगा समय t घंटे है। परिणामस्वरूप, साइकिल से यात्रा करने में लगा समय 9 - t घंटे है। संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, 61 किमी की कुल दूरी को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 4t + 9(9 - t) = 61 4t + 81 - 9t = 61 -5t = 61 - 81 -5t = -20 t = 4 पैदल यात्रा करने में लगा समय 4 घंटे है। इसलिए, पैदल तय की गई दूरी 4 किमी/घंटा × 4 घंटे = 16 किमी है।

वैकल्पिक रूप से, मिश्रण (alligation) की विधि को लागू करने पर, पूरी यात्रा के लिए औसत गति 61/9 किमी/घंटा है। पैदल यात्रा में लगे समय और साइकिल से यात्रा में लगे समय का अनुपात (9 - 61/9) : (61/9 - 4) है, जो सरल होकर 20/9 : 25/9 या 4:5 हो जाता है। चूंकि कुल यात्रा का समय 9 घंटे है, इसलिए पैदल यात्रा में लगा समय ठीक 4 घंटे है। इसे 4 किमी/घंटा की पैदल चलने की गति से गुणा करने पर 16 किमी की दूरी प्राप्त होती है।

व्याख्या

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद का स्वतंत्र रूप से शून्य होना आवश्यक है। इससे दो समीकरण प्राप्त होते हैं: (2x - y)² = 0 ⟹ 2x - y = 0 ⟹ 2x = y ⟹ (x)/(y) = ½ (3y - 2z)² = 0 ⟹ 3y - 2z = 0 ⟹ 3y = 2z ⟹ (y)/(z) = ⅔

इन परिणामों से, हमें अनुपात x:y = 1:2 और y:z = 2:3 प्राप्त होते हैं। चूंकि दोनों व्यक्तिगत अनुपातों में y का मान समान संख्या (2) द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए उन्हें सीधे मिलाकर सतत अनुपात x:y:z = 1:2:3 बनाया जा सकता है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग हमेशा 180° होता है। मान लीजिए कि चार क्रमागत कोण A, B, C और D हैं। पहले तीन क्रमागत कोणों का अनुपात A:B:C = 1:4:5 दिया गया है, हम इन कोणों को क्रमशः x, 4x और 5x के रूप में दर्शा सकते हैं।

चूंकि A और C सम्मुख कोण हैं, इसलिए उनका योग A + C = 180° होना चाहिए। अनुपात के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x + 5x = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 6x = 180° हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 30° प्राप्त होता है।

दूसरे कोण B का माप 4x है, जो कि 4 × 30° = 120° है। एक चक्रीय चतुर्भुज में, दूसरे और चौथे कोण B और D भी सम्मुख कोण हैं और उनका योग 180° होना चाहिए। इसलिए, B + D = 180°। B का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 120° + D = 180° प्राप्त होता है, जिससे D = 180° - 120° = 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना 9 छात्रों का औसत योगदान A है। 9 छात्रों का कुल योगदान 9A है। प्रश्न के अनुसार, सात छात्रों में से प्रत्येक ने 50 रुपये दिए, आठवें छात्र ने A + 50 दिए, और नौवें छात्र ने A + 90 दिए। व्यक्तिगत योगदानों के योग को कुल औसत-आधारित योग के बराबर करने पर:

7 × 50 + (A + 50) + (A + 90) = 9A 350 + 2A + 140 = 9A 490 + 2A = 9A 7A = 490 A = 70

वैकल्पिक रूप से, विचलन (deviation) की अवधारणा का उपयोग करते हुए, अंतिम दो छात्रों का औसत से कुल अधिशेष (surplus) 50 + 90 = 140 है। यह अधिशेष औसत की तुलना में पहले सात छात्रों की कुल कमी (deficit) की भरपाई करना चाहिए। सात छात्रों में से प्रत्येक के लिए कमी 140 / 7 = 20 है। चूंकि उनमें से प्रत्येक ने 50 रुपये का भुगतान किया, इसलिए औसत 50 + 20 = 70 है।

व्याख्या

दिया गया है कि x = 2 + √3, हम हर का परिमेयकरण करके इसका व्युत्क्रम 1/x ज्ञात करते हैं: 1/x = (1)/(2 + √(3)) × 2 - √3{2 - √3} = 2 - √3{4 - 3} = 2 - √3

x और इसके व्युत्क्रम का योग है: x + 1/x = (2 + √3) + (2 - √3) = 4

दिए गए व्यंजक (x² - x + 1)/(x² + x + 1) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करते हैं: (x²)/(x) - ˣ⁄ₓ + ¹⁄ₓ{(x²)/(x) + ˣ⁄ₓ + ¹⁄ₓ} = (x - 1 + 1/x)/(x + 1 + 1/x) = ((x + 1/x) - 1)/((x + 1/x) + 1)

सरलीकृत व्यंजक में x + 1/x = 4 प्रतिस्थापित करने पर: (4 - 1)/(4 + 1) = ⅗

व्याख्या

△ ABC में, सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है। इस प्रकार, ∠BAC = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (35° + 65°) = 180° - 100° = 80°। चूंकि AD, ∠BAC का समद्विभाजक है, इसलिए यह कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है ∠BAD = ∠CAD = 80° / 2 = 40°।

△ ABD में, कोणों का योग भी 180° होता है। इसलिए, ∠ADB = 180° - (∠B + ∠BAD) = 180° - (35° + 40°) = 180° - 75° = 105°। वैकल्पिक रूप से, △ ADC के लिए बाह्य कोण प्रमेय का उपयोग करने पर, बाह्य कोण ∠ADB दो सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है, ∠CAD + ∠ACD = 40° + 65° = 105°।

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या या व्यास पर लंबवत होती है। चूंकि AB व्यास है और स्पर्श रेखा बिंदु A पर खींची गई है, इसलिए कोण ∠BAC = 90° है। इसलिए, △ ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB और AC भुजाएँ हैं और BC कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: BC² = AB² + AC² BC² = 8² + 6² BC² = 64 + 36 BC² = 100 BC = √(100) = 10 सेमी

लंबाई 6, 8, और 10 एक पाइथागोराई त्रिक (Pythagorean triplet) बनाते हैं, क्योंकि वे मूल 3-4-5 त्रिक के गुणज हैं। इस प्रकार, बिंदु B से बिंदु C की दूरी ठीक 10 सेमी है।

व्याख्या

मीनार और समतल भूमि द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, मीनार की ऊँचाई लंब है और बिंदु P से मीनार के आधार की दूरी आधार है। इन भुजाओं और उन्नयन कोण के बीच का संबंध टैनजेंट (tangent) त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा दिया जाता है: tan(θ) = (लंब)/(आधार)

दी गई ऊँचाई 100 मीटर और उन्नयन कोण 30° का मान रखने पर: tan(30°) = (100)/(d)

tan(30°) का मान (1)/(√(3)) होता है। इसलिए: (1)/(√(3)) = (100)/(d) d = 100 × √3

प्रश्न में दिए गए मान √3 = 1.73 का उपयोग करने पर: d = 100 × 1.73 = 173 मीटर

व्याख्या

100 और 1000 के बीच का कोई भी पूर्णांक तीन अंकों की एक संख्या होती है, जिसे दशमलव पद्धति में 100x + 10y + z के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ x, y और z अंक हैं। इन अंकों का योग x + y + z है। मूल पूर्णांक में से अंकों के योग को घटाने पर प्राप्त होता है:

(100x + 10y + z) - (x + y + z)

समान पदों को एक साथ व्यवस्थित करने पर, यह व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 99x + 9y

9 को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने पर इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: 9(11x + y)

चूंकि x और y पूर्णांक हैं, इसलिए पद (11x + y) भी एक पूर्णांक है। यह दर्शाता है कि प्राप्त होने वाली संख्या हमेशा 9 का एक गुणज होती है। परिणामस्वरूप, मूल पूर्णांक के विशिष्ट अंकों पर ध्यान दिए बिना, परिणाम हमेशा 9 से विभाज्य होता है। यह गणितीय गुण इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि 10 की कोई भी घात 9 के सापेक्ष 1 के सर्वांगसम (congruent to 1 modulo 9) होती है, जिसका अर्थ है 10ⁿ ≡ 1 9, जो यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए N - S(N) हमेशा 9 से विभाज्य होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, अर्जित ब्याज समय की अवधि के सीधे समानुपाती होता है। यदि कोई धनराशि P, 6 वर्षों में दोगुनी हो जाती है, तो उस अवधि में अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होता है, I₆ = 2P - P = P।

साधारण ब्याज के सूत्र I = (P · R · T)/(100) का उपयोग करने पर, 12 वर्षों में अर्जित ब्याज (I₁₂) है: I₁₂ = (P · R · 12)/(100) = 2 × ((P · R · 6)/(100)) = 2 × I₆

I₆ का मान प्रतिस्थापित करने पर: I₁₂ = 2 × P = 2P

12 वर्षों के बाद कुल राशि (मिश्रधन) मूलधन और उस अवधि में अर्जित ब्याज का योग है: A = P + I₁₂ = P + 2P = 3P

व्याख्या

पहले भाग का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नात्मक अनुपात ½ : ⅔ : ¾ को एक पूर्ण संख्या अनुपात में परिवर्तित किया जाना चाहिए। यह प्रत्येक पद को हरों 2, 3 और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 12 है, से गुणा करके किया जाता है।

पहला पद ½ × 12 = 6 हो जाता है, दूसरा पद ⅔ × 12 = 8 हो जाता है, और तीसरा पद ¾ × 12 = 9 हो जाता है। इस प्रकार, अनुपात 6 : 8 : 9 है।

अनुपात में कुल इकाइयों की संख्या 6 + 8 + 9 = 23 है। चूंकि कुल योग 782 रुपये है, इसलिए एक इकाई का मान ⁷⁸²⁄₂₃ = 34 है। चूंकि पहला भाग 6 इकाइयों के संगत है, इसलिए इसका मान 6 × 34 = 204 है।

व्याख्या

डेटा तालिका के अनुसार, वर्ष 2001 में E प्रकार की साइकिलों का उत्पादन 80 इकाई (हजार में) है। वर्ष 2000 में B प्रकार की साइकिलों का उत्पादन 160 इकाई (हजार में) है। यह ज्ञात करने के लिए कि वर्ष 2001 में E का उत्पादन, वर्ष 2000 में B के उत्पादन का कितना प्रतिशत था, गणना इस प्रकार है:

अभीष्ट प्रतिशत = (2001 में E का उत्पादन)/(2000 में B का उत्पादन) × 100

अभीष्ट प्रतिशत = ⁸⁰⁄₁₆₀ × 100

अभीष्ट प्रतिशत = ½ × 100 = 50%

80 का उत्पादन स्तर 160 का ठीक आधा है, जो 50 प्रतिशत के बराबर है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (4a - 3)² = 0 से, हमें प्राप्त होता है कि 4a - 3 = 0, जिसका अर्थ है 4a = 3।

व्यंजक 64a³ - 48a² + 12a + 13 को 4a के पदों में इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: (4a)³ - 3(4a)² + 3(4a) + 13

व्यंजक में 4a = 3 प्रतिस्थापित करने पर: 3³ - 3(3²) + 3(3) + 13 27 - 3(9) + 9 + 13 27 - 27 + 9 + 13 22

वैकल्पिक रूप से, x = 4a के साथ सर्वसमिका (x - 1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक को (4a - 1)³ + 14 के रूप में देखा जा सकता है। 4a = 3 प्रतिस्थापित करने पर (3 - 1)³ + 14 = 2³ + 14 = 8 + 14 = 22 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यहाँ, 70° को (90° - 20°) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए cos 70° = cos(90° - 20°) = sin 20°। इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

cos² 20° + cos² 70° = cos² 20° + sin² 20°

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, किसी भी कोण θ के लिए, समान कोण के साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के वर्गों का योग हमेशा 1 होता है। इस प्रकार, cos² 20° + sin² 20° = 1।

व्याख्या

व्यंजक a(a² - 3a + 3) को a³ - 3a² + 3a के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। यह (a - 1)³ के द्विपद प्रसार (binomial expansion) के बहुत समान है, जो सूत्र (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³ द्वारा दिया जाता है।

x = a और y = 1 प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a - 1)³ = a³ - 3a² + 3a - 1 प्राप्त होता है।

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर, व्यंजक सरल होकर a³ - 3a² + 3a = (a - 1)³ + 1 हो जाता है। इस सरलीकृत रूप में दिए गए मान a = 101 को प्रतिस्थापित करने पर:

(101 - 1)³ + 1 = 100³ + 1

चूंकि 100³ = 1000000 है, इसलिए अंतिम मान 1000000 + 1 = 1000001 है।

व्याख्या

केंद्रीय बजट 2016-17 में वंचित परिवारों को स्वच्छ रसोई ईंधन प्रदान करने के उद्देश्य से प्रधानमंत्री उज्ज्वला योजना (PMUY) की घोषणा की गई थी। इस योजना का उद्देश्य गरीबी रेखा से नीचे (BPL) के परिवारों की महिलाओं को जमा-मुक्त एलपीजी (तरलीकृत पेट्रोलियम गैस) कनेक्शन प्रदान करना है। पारंपरिक और खतरनाक रसोई ईंधनों जैसे कि जलाऊ लकड़ी, कोयला और सूखे उपलों (गोबर के कंडे) को स्वच्छ ऊर्जा से बदलकर, इस पहल का उद्देश्य महिलाओं और बच्चों को घरेलू वायु प्रदूषण के प्रतिकूल स्वास्थ्य प्रभावों से बचाना है। यह योजना पेट्रोलियम और प्राकृतिक गैस मंत्रालय द्वारा कार्यान्वित की जाती है और महिला सशक्तिकरण तथा पर्यावरण संरक्षण की दिशा में एक बड़ा कदम है।

व्याख्या

एग्रोनॉमी (Agronomy) शब्द की उत्पत्ति ग्रीक शब्दों 'एग्रोस' (agros), जिसका अर्थ है खेत, और 'नोमोस' (nomos), जिसका अर्थ है प्रबंधन करना, से हुई है। यह कृषि विज्ञान की एक व्यापक शाखा है जिसके अंतर्गत मृदा, जल और फसल प्रबंधन के सिद्धांतों और पद्धतियों का अध्ययन किया जाता है। व्यापक कृषि संदर्भ में, इसमें भोजन और रेशे (फाइबर) के उत्पादन के लिए खेत के पर्यावरण को प्रबंधित करने हेतु वैज्ञानिक तकनीकों का अनुप्रयोग शामिल है। यह पद्धति प्रभावी रूप से भूमि के साथ परस्पर क्रिया करने वाले पशुधन के प्रबंधन के साथ मैदानी फसलों की खेती को एकीकृत करती है, जिससे एक सतत और उत्पादक पारिस्थितिकी तंत्र सुनिश्चित होता है जिसमें पौधों और पशुओं दोनों को उगाना/पालना शामिल है।

व्याख्या

दो संख्याओं x और y के वर्गों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) सूत्र x² - y² = (x + y)(x - y) द्वारा दी गई है।

इस प्रश्न में, दो पूर्णांकों का योग x + y = 80 दिया गया है और उनके बीच का अंतर x - y = 20 दिया गया है। इन मानों को सीधे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x² - y² = 80 × 20 = 1600

व्याख्या

दो अलग-अलग लाभ प्रतिशत पर बेची गई किसी वस्तु के विक्रय मूल्यों का अंतर, क्रय मूल्य पर परिकलित उन लाभ प्रतिशतों के अंतर के बराबर होता है।

लाभ प्रतिशत में अंतर = 4% - 3% = 1%

चूंकि विक्रय मूल्यों का वास्तविक अंतर ₹ 3 है, इसलिए क्रय मूल्य (CP) का यह 1% ₹ 3 के बराबर होना चाहिए। प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर:

CP का 1% = 3 ¹⁄₁₀₀ × CP = 3 CP = 3 × 100 = 300

व्याख्या

कुल छात्र 1500 हैं। लड़कियों का प्रतिशत 44% है, जिसका अर्थ है कि लड़कों का प्रतिशत 56% है। प्रत्येक लड़के की मासिक फीस ₹ 540 है। प्रत्येक लड़की की मासिक फीस लड़के की फीस से 25% कम है: लड़की की फीस = 540 × (1 - 0.25) = 540 × 0.75 = 405 कुल फीस संग्रह T, लड़कों और लड़कियों से प्राप्त फीस का योग है: T = (1500 × 0.56 × 540) + (1500 × 0.44 × 405) गणना को सरल बनाने के लिए, 1500 × 540 को कॉमन (उभयनिष्ठ) लें: T = 1500 × 540 × (0.56 + 0.44 × 0.75) T = 810000 × (0.56 + 0.33) T = 810000 × 0.89 T = 8100 × 89 सर्वसमिका (a-b)(a+b) = a² - b² का उपयोग करके 81 × 89 की गणना करने पर: 81 × 89 = (85 - 4)(85 + 4) = 85² - 4² = 7225 - 16 = 7209 100 के गुणक से गुणा करने पर 720900 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक ट्रेन द्वारा किसी पुल को पार करने में लगने वाले समय की गणना करने के लिए, तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है। इसलिए, कुल दूरी D = 110 + 132 = 242 मीटर है।

ट्रेन की गति किमी/घंटा में दी गई है और दूरी की इकाइयों से मिलान करने के लिए इसे मीटर/सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए। परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करते हुए, गति v = 72 × ⁵⁄₁₈ = 20 मीटर/सेकंड है।

समय के सूत्र t = (दूरी)/(गति) का उपयोग करते हुए, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें t = ²⁴²⁄₂₀ प्राप्त होता है। 242 को 20 से विभाजित करने पर परिणाम 12.1 सेकंड प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका (a³ + b³)/(a² - ab + b²) के रूप में है। घनों के योग के सूत्र के अनुसार, a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) होता है। इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(a³ + b³)/(a² - ab + b²) = a + b

दिए गए प्रश्न में, माना a = 0.73 और b = 0.27 है। इन मानों को सरलीकृत सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

0.73 + 0.27 = 1.00

हर (denominator) के पद अंश (numerator) के विस्तार के द्विघात गुणनखंड (quadratic factor) से पूरी तरह मेल खाते हैं, जिससे वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और केवल दो मूल दशमलव मानों का योग ही शेष बचता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = -2 में, दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर हमें x² + 1 = -2x प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर x² + 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है, जो कि (x + 1)² = 0 के बराबर एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है। x के लिए हल करने पर x = -1 प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक x⁷ + (1)/(x⁷) में x = -1 प्रतिस्थापित करने पर, हम जानते हैं कि किसी भी ऋणात्मक संख्या की विषम घात ऋणात्मक ही रहती है। चूंकि 7 एक विषम पूर्णांक है, इसलिए (-1)⁷ = -1 होगा। अतः व्यंजक का मान -1 + ¹⁄₋₁ = -1 - 1 = -2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चापों द्वारा अंतरित कोण चापों की लंबाई के समानुपाती होते हैं, और उनका अनुपात 5:3 दिया गया है। माना कि दोनों कोण 5x और 3x हैं। प्रश्न के अनुसार, छोटा कोण 45 डिग्री है, जो अनुपात के छोटे भाग के संगत है। इसलिए, हम समीकरण 3x = 45° स्थापित कर सकते हैं। x के लिए हल करने पर, x = (45°)/(3) = 15° प्राप्त होता है। दूसरे कोण का माप ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात के बड़े भाग को x के मान से गुणा करते हैं। इसके परिणामस्वरूप 5 × 15° = 75° प्राप्त होता है।

व्याख्या

लंबकेंद्र एक त्रिभुज के तीनों शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। एक अधिककोण त्रिभुज में, एक आंतरिक कोण 90° से अधिक होता है। दो न्यूनकोण शीर्षों से शीर्षलंब खींचने के लिए, उनके सम्मुख वाली भुजाओं को विस्तारित किया जाना चाहिए। चूंकि ये शीर्षलंब विस्तारित आधार रेखाओं पर लंबवत होते हैं, वे त्रिभुज के आंतरिक भाग से बाहर की ओर जाते हैं और अंततः बाहरी क्षेत्र में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के बाहर स्थित होता है, विशेष रूप से अधिककोण वाले शीर्ष के पीछे।

व्याख्या

समीकरण a sin 45° cos 45° tan 60° = tan² 45° - cos 60° में विशिष्ट त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान रखने पर a का मान ज्ञात किया जा सकता है। इन अनुपातों के मानक मान sin 45° = (1)/(√(2)), cos 45° = (1)/(√(2)), tan 60° = √3, tan 45° = 1, और cos 60° = ½ हैं। इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

a ( (1)/(√(2)) ) ( (1)/(√(2)) ) √3 = 1² - ½

बाएँ पक्ष को सरल करने पर, गुणनफल (1)/(√(2)) · (1)/(√(2)) का मान ½ के बराबर होता है, इसलिए यह व्यंजक a √3{2} हो जाता है। दाएँ पक्ष में, 1 - ½ का मान ½ के बराबर होता है। दोनों पक्षों को बराबर रखने पर रैखिक समीकरण a √3{2} = ½ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर हर समाप्त हो जाता है, जिससे a √3 = 1 बचता है। a के लिए हल करने पर a = (1)/(√(3)) प्राप्त होता है।

व्याख्या

सोहन द्वारा लिया गया समय कार्य क्षमता विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। मान लीजिए कि कुल कार्य 16 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 48 इकाई है। गणेश, राम और सोहन की संयुक्त क्षमता 48 / 16 = 3 इकाई प्रति दिन है। गणेश और राम की संयुक्त क्षमता 48 / 24 = 2 इकाई प्रति दिन है।

सोहन की क्षमता की गणना तीनों की कुल क्षमता में से गणेश और राम की क्षमता को घटाकर की जाती है: 3 - 2 = 1 इकाई प्रति दिन। सोहन को अकेले कार्य पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या कुल कार्य को उसकी क्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: 48 / 1 = 48 दिन। इसे सूत्र 1/T_S = 1/T_G_R_S - 1/T_G_R का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ 1/16 - 1/24 = (3 - 2) / 48 = 1/48 है।

व्याख्या

लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई h, तिर्यक ऊंचाई l और त्रिज्या r के बीच पाइथागोरस प्रमेय के संबंध का उपयोग करके ज्ञात की जाती है: h = √(l² - r²)। दिए गए मानों r = 6 सेमी और l = 10 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, ऊंचाई h = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √(64) = 8 सेमी है।

शंकु का आयतन V, सूत्र V = ⅓ π r² h का उपयोग करके निकाला जाता है। π = 22/7 का उपयोग करने पर:

V = ⅓ × ²²⁄₇ × 6² × 8 V = ⅓ × ²²⁄₇ × 36 × 8 V = ²²⁄₇ × 12 × 8 V = ²¹¹²⁄₇

भाग करने पर, V ≈ 301.71428... सेमी³। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, आयतन 301.71 सेमी³ है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) वह मूल्य है जो दुकानदार द्वारा छूट के बाद लिया जाता है। इस मामले में, विक्रय मूल्य (SP) = ₹ 740 और छूट की दर अंकित मूल्य (MP) का 20% है।

विक्रय मूल्य और अंकित मूल्य के बीच संबंध का सूत्र है: SP = MP × (1 - (छूट %)/(100))

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 740 = MP × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) 740 = MP × ⁸⁰⁄₁₀₀ 740 = MP × 0.8

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: MP = (740)/(0.8) MP = ⁷⁴⁰⁰⁄₈ MP = 925

वैकल्पिक रूप से, यदि 20% की छूट दी जाती है, तो ग्राहक अंकित मूल्य का 80% भुगतान करता है। चूंकि अंकित मूल्य (MP) का 80% ₹ 740 के बराबर है, इसलिए अंकित मूल्य (MP) के 100% की गणना इस प्रकार की जाती है: (740 / 80) × 100 = 9.25 × 100 = 925।

व्याख्या

किसी वस्तु की चाल सूत्र चाल = (दूरी)/(समय) द्वारा निर्धारित की जाती है। दोनों चालों की तुलना करने के लिए, उन्हें समान इकाइयों में परिवर्तित किया जाना चाहिए। ट्रक 1 मिनट में 550 मीटर की दूरी तय करता है, इसलिए इसकी चाल 550 मीटर/मिनट है। बस 3/4 घंटे में 33 किमी की दूरी तय करती है। इन मानों को मीटर और मिनट में बदलने पर, 33 किमी 33,000 मीटर के बराबर होता है और 3/4 घंटा 45 मिनट के बराबर होता है। इस प्रकार, बस की चाल ³³⁰⁰⁰⁄₄₅ = ²²⁰⁰⁄₃ मीटर/मिनट है। ट्रक की चाल और बस की चाल का अनुपात 550 : ²²⁰⁰⁄₃ है। भिन्न को समाप्त करने के लिए अनुपात के दोनों भागों को 3 से गुणा करने पर 1650 : 2200 प्राप्त होता है। दोनों पदों को 550 से विभाजित करने पर सरल अनुपात 3 : 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना A, B और C की वर्तमान आयु क्रमशः A, B और C वर्ष है। सात वर्ष पहले A, B और C की औसत आयु 51 वर्ष थी, इसलिए उस समय उनकी आयु का योग 51 × 3 = 153 वर्ष था। उनकी वर्तमान आयु का योग ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक व्यक्ति के लिए 7 वर्ष जोड़ते हैं: 153 + (3 × 7) = 174 वर्ष।

प्रश्न के अनुसार, A = B + 3 और B = C + 3 है। पहले समीकरण में B का मान रखने पर A = (C + 3) + 3 = C + 6 प्राप्त होता है। इन मानों को उनकी वर्तमान आयु के योग में रखने पर: (C + 6) + (C + 3) + C = 174 3C + 9 = 174 3C = 165 C = 55

C = 55 का उपयोग करके, हमें B = 55 + 3 = 58 और A = 58 + 3 = 61 प्राप्त होता है। इस प्रकार, A, B और C की वर्तमान आयु क्रमशः 61, 58 और 55 वर्ष है।