एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय, कार्य की दर के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चूंकि कौशिक कार्य को X दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए उसकी कार्य दर प्रति दिन कुल कार्य का 1/X है। इसी प्रकार, कृष्णा कार्य को Y दिनों में पूरा करता है, जिससे उसकी कार्य दर प्रति दिन 1/Y हो जाती है।

जब वे मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है: संयुक्त दर = (1)/(X) + (1)/(Y)

हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है: संयुक्त दर = (X + Y)/(XY)

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय संयुक्त दैनिक दर का व्युत्क्रम होता है: कुल समय = (1)/(संयुक्त दर) = (XY)/(X + Y) दिन

व्याख्या

एक खोखले अर्धगोले का आयतन V = ⅔π(R³ - r³) होता है। इस आयतन को आधार त्रिज्या R और ऊंचाई h वाले एक ठोस शंकु में ढालने के लिए आयतन संरक्षण सिद्धांत का उपयोग किया जाता है, जहाँ V_cone = ⅓π R² h है। दोनों आयतनों को बराबर करने पर:

⅔π(R³ - r³) = ⅓π R² h

बाहरी त्रिज्या R = 8 सेमी और आंतरिक त्रिज्या r = 4 सेमी का मान रखने पर:

2(8³ - 4³) = 8² × h 2(512 - 64) = 64h 2 × 448 = 64h 896 = 64h h = ⁸⁹⁶⁄₆₄ = 14 सेमी

व्याख्या

छूट प्रतिशत में अंतर सीधे दुकानदार द्वारा अर्जित लाभ में अंतर के रूप में परिणत होता है, क्योंकि क्रय मूल्य स्थिर रहता है। प्रारंभिक छूट 7% है और दूसरी छूट 9% है, जिससे अंकित मूल्य का 9% - 7% = 2% का अंतर आता है।

प्रश्न के अनुसार, यह 2% का अंतर लाभ में 15 रुपये की कमी के बराबर है। माना अंकित मूल्य M है। हम समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं:

M का 2% = 15

²⁄₁₀₀ × M = 15

M = (15 × 100)/(2)

M = 15 × 50

M = 750

कमीज का अंकित मूल्य 750 रुपये है।

व्याख्या

किसी रेलवे श्रेणी से कुल संग्रह की गणना प्रति यात्री किराए को उस श्रेणी में यात्रियों की कुल संख्या से गुणा करके की जाती है। दिए गए अनुपातों के आधार पर, वातानुकूलित (AC) शयनयान और साधारण शयनयान श्रेणी के लिए कुल संग्रह का अनुपात किराए के अनुपात और यात्रियों के अनुपात के संगत भागों को गुणा करके निर्धारित किया जा सकता है।

संग्रह का अनुपात (AC : साधारण) = (4 × 3) : (1 × 25) = 12 : 25

माना वातानुकूलित (AC) शयनयान श्रेणी से संग्रह 12x है और साधारण शयनयान श्रेणी से संग्रह 25x है। इन संग्रहों का योग कुल राजस्व को दर्शाता है:

12x + 25x = 37,000 37x = 37,000 x = 1,000

वातानुकूलित शयनयान श्रेणी के यात्रियों द्वारा भुगतान की गई राशि को 12x द्वारा दर्शाया गया है। x का मान रखने पर:

वातानुकूलित (AC) शयनयान संग्रह = 12 × 1,000 = 12,000

व्याख्या

मान लीजिए कि एक पुस्तक का क्रय मूल्य CP और एक पुस्तक का विक्रय मूल्य SP है। प्रश्न के अनुसार, 20 पुस्तकों का कुल क्रय मूल्य 25 पुस्तकों के कुल विक्रय मूल्य के बराबर है, जिससे समीकरण 20 × CP = 25 × SP प्राप्त होता है। विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करने के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (SP)/(CP) = ²⁰⁄₂₅ प्राप्त होता है, जो सरल होकर ⅘ हो जाता है।

हानि प्रतिशत को सूत्र हानि % = (CP - SP)/(CP) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है। अनुपात के मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ CP = 5 और SP = 4 है, गणना (5 - 4)/(5) × 100 = ⅕ × 100 = 20 हो जाती है।

व्याख्या

माना छात्रों की प्रारंभिक संख्या x है। प्रारंभिक संख्या में 20% की वृद्धि का अर्थ है कि नई संख्या x का 120% है। इस संबंध को प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: नया मान = वास्तविक मान × (1 + (प्रतिशत वृद्धि)/(100)) 66 = x × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) 66 = x × ¹²⁰⁄₁₀₀ 66 = x × ⁶⁄₅ x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: x = (66 × 5)/(6) x = 11 × 5 = 55 वैकल्पिक रूप से, चूंकि 20% भिन्न 1/5 के बराबर है, इसलिए 1/5 की वृद्धि का अर्थ है कि नया मान वास्तविक मान का 6/5 है। 66 को 6 से विभाजित करने पर 11 प्राप्त होता है, और 5 से गुणा करने पर छात्रों की प्रारंभिक संख्या 55 प्राप्त होती है।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें समानांतर पटरियों पर एक ही दिशा में यात्रा करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। यहाँ, सापेक्ष गति 45 किमी/घंटा - 40 किमी/घंटा = 5 किमी/घंटा है। दिया गया समय 45 मिनट है, जिसे 60 से विभाजित करके घंटों में परिवर्तित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 45/60 = 0.75 घंटे प्राप्त होते हैं। ट्रेनों के बीच की दूरी 'दूरी = सापेक्ष गति × समय' सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर 5 किमी/घंटा × 0.75 घंटा = 3.75 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + 5 + ¹⁄ₓ₊₁ = 6 है। इस व्यंजक को (x+1) के पदों में सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों से 4 घटाते हैं या पदों को (x+1) + 4 + ¹⁄ₓ₊₁ = 6 के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह इस प्रकार सरल हो जाता है:

(x+1) + ¹⁄ₓ₊₁ = 6 - 4 (x+1) + ¹⁄ₓ₊₁ = 2

माना a = x+1 है। समीकरण a + ¹⁄ₐ = 2 हो जाता है। किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, संबंध a + ¹⁄ₐ = 2 केवल तभी संतुष्ट होता है जब a = 1 हो।

हमें (x+1)³ + (1)/((x+1)³) का मान ज्ञात करना है, जो a³ + (1)/(a³) के बराबर है। इस व्यंजक में a = 1 रखने पर:

1³ + (1)/(1³) = 1 + 1 = 2

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ) का उपयोग करके, हम मान 2 प्रतिस्थापित करते हैं:

2³ - 3(2) = 8 - 6 = 2

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण a² + 1 = 9a में, चर और उसके व्युत्क्रम का योग प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को a से विभाजित करें: (a² + 1)/(a) = ⁹ᵃ⁄ₐ a + ¹⁄ₐ = 9

a² + (1)/(a²) का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy का उपयोग करें। x = a और y = ¹⁄ₐ रखने पर, पद 2xy सरल होकर 2(a)(¹⁄ₐ) = 2 हो जाता है। अतः यह संबंध प्राप्त होता है: a² + (1)/(a²) = (a + ¹⁄ₐ)² - 2

इस समीकरण में a + ¹⁄ₐ = 9 का परिकलित मान रखने पर: a² + (1)/(a²) = 9² - 2 a² + (1)/(a²) = 81 - 2 a² + (1)/(a²) = 79

व्याख्या

शीर्ष कोण A वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज Δ ABC में, आधार कोण B और C बराबर होते हैं, इसलिए B = C। त्रिभुज के कोणों के योग के गुण के अनुसार, A + B + C = 180°। समीकरण में C = B और दी गई स्थिति A = 3B को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3B + B + B = 180° प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 5B = 180° प्राप्त होता है, जिससे B = 36° मिलता है। शीर्ष कोण A का माप 3 × 36° = 108° के रूप में परिकलित किया जाता है।

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होती है। मान लीजिए R बड़े वृत्त की त्रिज्या को और r छोटे वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है। केंद्रों के बीच की दूरी d को सूत्र d = R - r द्वारा व्यक्त किया जाता है। दिया गया है कि बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 6 सेमी और केंद्रों के बीच की दूरी d = 2 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर 2 = 6 - r प्राप्त होता है। r के लिए हल करने पर r = 6 - 2 = 4 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण y = 2 sec θ और x = 3 tan θ हैं। समीकरणों को उनके संबंधित अचरों से विभाजित करने पर, हमें ʸ⁄₂ = sec θ और ˣ⁄₃ = tan θ प्राप्त होता है। इन संबंधों के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (y²)/(4) = sec² θ और (x²)/(9) = tan² θ प्राप्त होता है।

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sec² θ - tan² θ = 1 होता है। वांछित व्यंजक के साथ मिलान करने के लिए इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें tan² θ - sec² θ = -1 प्राप्त होता है। इस समीकरण में tan² θ और sec² θ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x²)/(9) - (y²)/(4) = -1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

शेषफल के गुणों का उपयोग करते हुए, यदि किसी संख्या n को भाजक d से विभाजित करने पर शेषफल r प्राप्त होता है, तो गुणनफल kn को d से विभाजित करने पर (k × r) के बराबर शेषफल प्राप्त होता है। इस स्थिति में, n ≡ 3 4 है। जब संख्या को दोगुना करके 2n कर दिया जाता है, तो शेषफल भी दोगुना हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 2 × 3 = 6 प्राप्त होता है। चूंकि शेषफल भाजक से बड़ा या उसके बराबर नहीं हो सकता है, इसलिए हम अंतिम शेषफल ज्ञात करने के लिए 6 को 4 से विभाजित करते हैं: 6 = (1 × 4) + 2।

वैकल्पिक रूप से, हम n को 4q + 3 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ q भागफल है। इस पूरे व्यंजक को 2 से गुणा करने पर 2n = 2(4q + 3) = 8q + 6 प्राप्त होता है। हम इसे 2n = 8q + 4 + 2 के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो सरल होकर 2n = 4(2q + 1) + 2 हो जाता है। चूंकि 4(2q + 1), 4 का एक गुणज है, इसलिए शेष बचा अचर 2 ही शेषफल है।

व्याख्या

माना सभी नौ सदस्यों का औसत दान x है। अध्यक्ष का दान x + 50 है, इसलिए कुल दान 8(100) + (x + 50) = 9x है, जिसे सरल करने पर 8x = 850 या x = 106.25 प्राप्त होता है। अध्यक्ष का योगदान 106.25 + 50 = 156.25 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण ¹⁄ₐ + (1)/(b) + (1)/(c) = (71)/(abc) को बाईं ओर के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर सरल किया जा सकता है, जिससे (bc + ac + ab)/(abc) = (71)/(abc) प्राप्त होता है। अंशों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है कि ab + bc + ca = 71।

a³ + b³ + c³ - 3abc का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) इसे (a + b + c) और (ab + bc + ca) के पदों में इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)((a + b + c)² - 3(ab + bc + ca))

सूत्र में ज्ञात मानों a + b + c = 15 और ab + bc + ca = 71 को प्रतिस्थापित करने पर: 15 × (15² - 3 × 71) 15 × (225 - 213) 15 × 12 = 180

व्याख्या

समीकरण का दायां पक्ष वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (A+B)(A-B) = A² - B² के रूप में है। A = p²+q² और B = kpq रखने पर, व्यंजक का विस्तार इस प्रकार होता है: (p²+q²+kpq)(p²+q²-kpq) = (p²+q²)² - (kpq)² p⁴ + 2p²q² + q⁴ - k²p²q² = p⁴ + (2-k²)p²q² + q⁴ इस परिणाम की तुलना बाएं पक्ष p⁴ + q⁴ से करने पर, सभी p और q के लिए सर्वसमिका के सत्य होने के लिए p²q² पद का गुणांक शून्य होना चाहिए: 2 - k² = 0 k² = 2 k = ±√2 प्रश्न में सबसे बड़ी संभावित वास्तविक संख्या k पूछी गई है। दोनों संभावित मानों की तुलना करने पर, सबसे बड़ा मान √2 है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार, जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यह संबंध इस तथ्य से प्राप्त होता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊंचाई के गुणनफल के समानुपाती होता है। समरूप त्रिभुजों में, आधार और ऊंचाई दोनों एक ही रैखिक कारक (linear factor) द्वारा परिवर्तित होते हैं।

दिया गया है कि Δ ABC ∼ Δ DEF और उनकी संगत भुजाओं का अनुपात k:1 है, हम उनके क्षेत्रफलों के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

(क्षेत्रफल(Δ ABC))/(क्षेत्रफल(Δ DEF)) = (भुजा_ABC / भुजा_DEF)²

सूत्र में दिए गए भुजा अनुपात k:1 को प्रतिस्थापित करने पर:

(क्षेत्रफल(Δ ABC))/(क्षेत्रफल(Δ DEF)) = (ᵏ⁄₁)² = (k²)/(1²) = (k²)/(1)

अतः, दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात k² : 1 है।

व्याख्या

चूंकि BC वृत्त का व्यास है और CD बिंदु C पर स्पर्शरेखा है, इसलिए स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या (या व्यास) स्पर्शरेखा पर लंब होती है। इससे यह सिद्ध होता है कि ∠ BCD = 90° है। त्रिभुज BCD में, शीर्ष D, C पर स्पर्शरेखा और जीवा BA के विस्तार के प्रतिच्छेदन द्वारा बनता है। कोण ∠ CBD वही है जो ∠ ABC है, जो कि 36° दिया गया है।

किसी भी त्रिभुज में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। इसे Δ BCD पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: ∠ BCD + ∠ CBD + ∠ ADC = 180°। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 90° + 36° + ∠ ADC = 180° प्राप्त होता है। वांछित कोण के लिए हल करने पर, ∠ ADC = 180° - 126° = 54°।

व्याख्या

मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर खंभे की ऊंचाई h है और उसकी छाया की लंबाई s है। प्रश्न के अनुसार, छाया की लंबाई खंभे की ऊंचाई की √3 गुनी है, जिससे संबंध s = √3h प्राप्त होता है। खंभे और छाया द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, सूर्य का उन्नयन कोण θ, जमीन और सूर्य की ओर दृष्टि रेखा के बीच का कोण है। त्रिकोणमितीय अनुपात tan का उपयोग करने पर, tan θ = (लंब)/(आधार) = ʰ⁄ₛ। s का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण tan θ = (h)/(√(3)h) = (1)/(√(3)) हो जाता है। चूंकि tan 30° = (1)/(√(3)) होता है, इसलिए उन्नयन कोण θ अवश्य ही 30° होना चाहिए।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए, R% की दर पर चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

CI = SI ( 1 + (R)/(200) )

दिया गया है कि 2 वर्ष का साधारण ब्याज 50 रुपये है और दर 5% वार्षिक है, हम इन मानों को सीधे प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

CI = 50 ( 1 + ⁵⁄₂₀₀ ) CI = 50 ( 1 + ¹⁄₄₀ ) CI = 50 × ⁴¹⁄₄₀ CI = (5 × 41)/(4) CI = ²⁰⁵⁄₄ = 51.25

वैकल्पिक रूप से, 2 वर्ष के लिए CI और SI के बीच का अंतर पहले वर्ष के साधारण ब्याज पर अर्जित ब्याज होता है। चूंकि 2 वर्ष का SI 50 रुपये है, इसलिए पहले वर्ष का ब्याज 50 / 2 = 25 रुपये है। इस 25 रुपये पर 5% की दर से ब्याज 25 × 0.05 = 1.25 रुपये है। इस अतिरिक्त ब्याज को कुल साधारण ब्याज में जोड़ने पर 50 + 1.25 = 51.25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

r का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए दोनों समीकरणों का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें: (r sin θ)² + (r cos θ)² = (√3)² + (1)² r² (sin² θ + cos² θ) = 3 + 1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: r² (1) = 4 r = √4 = 2

θ का मान ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करें: (r sin θ)/(r cos θ) = √3/1 tan θ = √3 दिए गए अंतराल 0° ≤ θ ≤ 90° में, टैनजेंट फलन का मान √3 तब होता है जब θ = 60° हो। r = 2 और θ = 60° को वापस मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर परिणामों की पुष्टि होती है: 2 sin 60° = 2(√3/2) = √3 और 2 cos 60° = 2(1/2) = 1।

व्याख्या

B द्वारा अकेले लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दी गई समयावधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर कुल कार्य निर्धारित करते हैं। 12 दिनों और 30 दिनों का LCM 60 इकाई है, जो कुल कार्य को दर्शाता है।

A और B के एक साथ कार्य करने की कार्यक्षमता की गणना 60 / 12 = 5 इकाई प्रति दिन के रूप में की जाती है। अकेले कार्य करने वाले A की कार्यक्षमता 60 / 30 = 2 इकाई प्रति दिन है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता में से A की कार्यक्षमता को घटाकर, हम B की कार्यक्षमता ज्ञात करते हैं: 5 - 2 = 3 इकाई प्रति दिन।

B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 60 / 3 = 20 दिन है।

वैकल्पिक रूप से, कार्य दर सूत्र 1/B = 1/Total - 1/A का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: 1/B = 1/12 - 1/30 = (5 - 2) / 60 = 3/60 = 1/20। इस प्रकार, B को 20 दिनों की आवश्यकता होगी।

व्याख्या

भुजा a वाले एक घन के विकर्ण की लंबाई d, सूत्र d = a√3 द्वारा दी जाती है। प्रश्न के अनुसार, a√3 = √(192)। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 3a² = 192 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर a² = 64 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, हमें घन की भुजा a = 8 सेमी प्राप्त होती है। एक घन के आयतन V की गणना सूत्र V = a³ का उपयोग करके की जाती है। भुजा का मान रखने पर, V = 8³ = 512 सेमी³।

व्याख्या

किसी वस्तु का विक्रय मूल्य, उसके अंकित मूल्य में से छूट की राशि को घटाकर निर्धारित किया जाता है। विक्रय मूल्य के मानक सूत्र SP = MP × (1 - ᵈ⁄₁₀₀) का उपयोग करते हुए, जहाँ MP अंकित मूल्य है और d छूट प्रतिशत है:

SP = 230 × (1 - ¹²⁄₁₀₀) SP = 230 × ⁸⁸⁄₁₀₀ SP = 230 × 0.88 = 202.4

वैकल्पिक रूप से, छूट के मूल्य की गणना 230 के 12% के रूप में की जा सकती है, जो 0.12 × 230 = 27.6 के बराबर है। अंकित मूल्य में से इस छूट को घटाने पर 230 - 27.6 = 202.4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

नक्शे की दूरी, नक्शे के पैमाने और वास्तविक दूरी के अनुपात से निर्धारित होती है। उस पैमाने का उपयोग करते हुए जहाँ 1.5 सेमी, 18 किमी को दर्शाता है, 72 किमी की वास्तविक दूरी के लिए नक्शे की दूरी d की गणना प्रत्यक्ष समानुपात के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

d = (नक्शे के पैमाने की दूरी)/(वास्तविक पैमाने की दूरी) × तय की गई दूरी

समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर:

d = (1.5)/(18) × 72

इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, पहले 72 को 18 से विभाजित करें ताकि यह पता चल सके कि कितनी पैमाना इकाइयाँ तय की गई हैं:

72 ÷ 18 = 4

फिर, इस कारक को नक्शे के पैमाने के माप से गुणा करें:

d = 1.5 × 4 = 6 सेमी

व्याख्या

जब किसी वस्तु को एक मूल्य पर बेचने से अर्जित लाभ, उसे दूसरे मूल्य पर बेचने से हुई हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों का अंकगणितीय माध्य होता है। यह लाभ और हानि की बुनियादी परिभाषाओं से प्राप्त होता है:

लाभ (Profit) = SP₁ - CP हानि (Loss) = CP - SP₂

दिया गया है कि लाभ = हानि: SP₁ - CP = CP - SP₂ 2 × CP = SP₁ + SP₂ CP = (SP₁ + SP₂)/(2)

दिए गए विक्रय मूल्यों SP₁ = 524 और SP₂ = 452 का मान रखने पर: CP = (524 + 452)/(2) CP = ⁹⁷⁶⁄₂ CP = 488

वस्तु का क्रय मूल्य 488 रुपये है।

व्याख्या

मान लीजिए कि s वर्ग की भुजा को और r वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है। एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र s² द्वारा परिभाषित होता है, जबकि एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र π r² द्वारा परिभाषित होता है। चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि वृत्त और वर्ग का क्षेत्रफल समान है, इसलिए हम दोनों समीकरणों को बराबर रख सकते हैं:

s² = π r²

वर्ग की भुजा का वृत्त की त्रिज्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को r² से विभाजित करते हैं:

(s²)/(r²) = π

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें भुजा और त्रिज्या के बीच संबंध प्राप्त होता है:

ˢ⁄ᵣ = √(π)

यह व्यंजक s:r के अनुपात को √(π) : 1 के रूप में दर्शाता है।

व्याख्या

एक स्थिर टेलीग्राफ पोस्ट को पार करने में ट्रेन द्वारा लिए गए समय की गणना करने के लिए, तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है, जो कि 75 मीटर है। सबसे पहले, गति को परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करके किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

गति = 60 × ⁵⁄₁₈ = (10 × 5)/(3) = ⁵⁰⁄₃ मीटर/सेकंड

सूत्र समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करने पर:

समय = (75)/(50){3} = (75 × 3)/(50) = ²²⁵⁄₅₀ = 4.5 सेकंड

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2x - ²⁄ₓ = 1 से, हम 2 को गुणनखंड के रूप में बाहर निकाल सकते हैं जिससे 2(x - ¹⁄ₓ) = 1 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर x - ¹⁄ₓ = ½ प्राप्त होता है।

x³ - (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करते हैं। a = x और b = ¹⁄ₓ प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक बन जाता है:

x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x)(¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ)

x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x - ¹⁄ₓ)

अब, प्राप्त मान x - ¹⁄ₓ = ½ को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

x³ - (1)/(x³) = (½)³ + 3(½)

x³ - (1)/(x³) = ⅛ + ³⁄₂

जोड़ने के लिए, भिन्नों को समान हर 8 में परिवर्तित करें:

⅛ + ¹²⁄₈ = ¹³⁄₈

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² है। इस सूत्र को व्यंजक (a + ¹⁄ₐ)² पर लागू करने पर, जहाँ x = a और y = ¹⁄ₐ है, हमें प्राप्त होता है:

(a + ¹⁄ₐ)² = a² + 2(a)(¹⁄ₐ) + (¹⁄ₐ)²

(a + ¹⁄ₐ)² = a² + 2 + (1)/(a²)

हमें दिया गया है कि (a + ¹⁄ₐ)² = 3 है। इस मान को विस्तारित सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

3 = a² + 2 + (1)/(a²)

पदों a² + (1)/(a²) को अलग करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों से 2 घटाते हैं:

a² + (1)/(a²) = 3 - 2 = 1

व्याख्या

किसी त्रिभुज के परिकेंद्र को उसकी भुजाओं के लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है। लंब समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, किसी रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस रेखाखंड के अंत्य बिंदुओं (endpoints) से समदूरस्थ होता है। चूंकि परिकेंद्र तीनों भुजाओं के लंब समद्विभाजकों पर स्थित होता है, इसलिए यह त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ होता है। इस समान दूरी को परित्रिज्या (circumradius) R के रूप में जाना जाता है, और यह परिकेंद्र को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचने की अनुमति देता है, जिसे परिवृत्त (circumcircle) कहा जाता है, जो त्रिभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि त्रिभुज के तीन कोण x, y और z हैं। प्रश्न के अनुसार दो कोण बराबर हैं, इसलिए मान लीजिए y = z। तीसरा कोण x इन दो समान कोणों के योग के आधे के रूप में परिभाषित है, जिसे x = (y + z)/(2) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस समीकरण में z = y प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = (y + y)/(2) = ²ʸ⁄₂ = y प्राप्त होता है। चूंकि x = y और y = z है, इसलिए x = y = z होगा। किसी भी त्रिभुज में, अंतः कोणों का योग 180° होता है, जिससे x + y + z = 180° प्राप्त होता है। समान मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 3x = 180°, जिसके परिणामस्वरूप x = 60° प्राप्त होता है। चूंकि तीनों कोण 60° के बराबर हैं, इसलिए त्रिभुज समबाहु है।

व्याख्या

व्यंजक sin⁴θ - cos⁴θ को वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। माना a = sin²θ और b = cos²θ:

sin⁴θ - cos⁴θ = (sin²θ - cos²θ)(sin²θ + cos²θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sin²θ + cos²θ = 1। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर व्यंजक सरल हो जाता है:

sin⁴θ - cos⁴θ = (sin²θ - cos²θ) × 1

प्रश्न में दिया गया है कि sin²θ - cos²θ = 1/4 है। इस मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin⁴θ - cos⁴θ = 1/4

व्याख्या

वांछित संख्या विभाजकों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के गुणज और सामान्य शेषफल का योग होनी चाहिए। विभाजकों का अभाज्य गुणनखंडन 5 = 5, 6 = 2 × 3, 7 = 7, और 8 = 2³ है। इस प्रकार, LCM(5, 6, 7, 8) = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840 है। अभीष्ट संख्या 840k + 3 के रूप में होगी, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है। हमें इस मान को 9 से विभाज्य बनाना है, जिसे 840k + 3 ≡ 0 9 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अंकों का योग (8+4+0=12, और 12 9 = 3) ज्ञात करके गुणांक 840 को मॉड्यूलस 9 (modulo 9) के रूप में सरल करने पर, यह व्यंजक 3k + 3 ≡ 0 9 बन जाता है। k के लिए छोटे पूर्णांक मानों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि यदि k = 1, तो 3(1) + 3 = 6, जो 9 से विभाज्य नहीं है। यदि k = 2, तो 3(2) + 3 = 9, जो 9 से पूर्णतः विभाज्य है। सामान्य रूप में k = 2 का मान वापस रखने पर हमें 840 × 2 + 3 = 1680 + 3 = 1683 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना अंतिम मैच से पहले लिए गए विकेटों की संख्या x है। चूंकि गेंदबाजी औसत 12.4 रन/विकेट था, इसलिए अंतिम मैच से पहले दिए गए कुल रन 12.4x हैं। अंतिम मैच में, क्रिकेटर 22 रन देकर 5 विकेट लेता है, जिससे रनों का नया कुल योग 12.4x + 22 और विकेटों की नई कुल संख्या x + 5 हो जाती है।

नया गेंदबाजी औसत 0.4 कम हो गया, इसलिए नया औसत 12.4 - 0.4 = 12.0 है। गेंदबाजी औसत के सूत्र का उपयोग करने पर:

(12.4x + 22)/(x + 5) = 12

12.4x + 22 = 12(x + 5)

12.4x + 22 = 12x + 60

0.4x = 38

x = (38)/(0.4) = 380/4 = 95

वैकल्पिक रूप से, इसे मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। अंतिम मैच का औसत 22 / 5 = 4.4 है। पिछले औसत (12.4) और अंतिम मैच के औसत (4.4) की तुलना संयुक्त औसत (12.0) से करने पर, लिए गए विकेटों का अनुपात (12.0 - 4.4) : (12.4 - 12.0) है। यह सरल होकर 7.6 : 0.4, या 19 : 1 हो जाता है। चूंकि 1 इकाई अंतिम मैच में लिए गए 5 विकेटों को दर्शाती है, इसलिए 19 इकाइयां 19 × 5 = 95 विकेटों को दर्शाती हैं।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक 4b²c² - (b² + c² - a²)² को X² - Y² के रूप में वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ X = 2bc और Y = b² + c² - a² है। बीजगणितीय सर्वसमिका X² - Y² = (X + Y)(X - Y) का उपयोग करने पर, व्यंजक के गुणनखंड इस प्रकार होते हैं:

[2bc + (b² + c² - a²)] [2bc - (b² + c² - a²)]

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कोष्ठक के भीतर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

[(b² + c² + 2bc) - a²] [a² - (b² + c² - 2bc)] = [(b + c)² - a²] [a² - (b - c)²]

दोनों पदों पर पुनः वर्गों के अंतर की सर्वसमिका लागू करने पर:

[(b + c) + a][(b + c) - a] · [a + (b - c)][a - (b - c)] = (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)

व्यंजक के चार अलग-अलग गुणनखंड f₁ = a + b + c, f₂ = b + c - a, f₃ = a + b - c, और f₄ = a - b + c हैं। इन गुणनखंडों का योगफल ज्ञात करने के लिए, हम इन्हें आपस में जोड़ते हैं:

योगफल = (a + b + c) + (b + c - a) + (a + b - c) + (a - b + c)

समान चरों को समूहीकृत करने पर:

योगफल = (a - a + a + a) + (b + b + b - b) + (c + c - c + c) योगफल = 2a + 2b + 2c योगफल = 2(a + b + c)

व्याख्या

दिया गया समीकरण { ½(a - b) }² + ab = p(a + b)² है। बाएं पक्ष का विस्तार करने पर, हम कोष्ठक के भीतर के पदों पर घात लागू करते हैं:

¼(a - b)² + ab = p(a + b)²

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

¼(a² - 2ab + b²) + ab = p(a + b)²

कोष्ठक के भीतर के पदों में ¼ को वितरित करने पर:

¼a² - ²⁄₄ab + ¼b² + ab = p(a + b)²

¼a² - ½ab + ¼b² + ab = p(a + b)²

समान पदों -½ab और ab को मिलाने पर +½ab प्राप्त होता है:

¼a² + ½ab + ¼b² = p(a + b)²

बाएं पक्ष से ¼ को उभयनिष्ठ लेने पर:

¼(a² + 2ab + b²) = p(a + b)²

चूंकि a² + 2ab + b² = (a + b)² है, इसलिए समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

¼(a + b)² = p(a + b)²

दोनों पक्षों में (a + b)² के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है कि p = ¼।

व्याख्या

मान लीजिए कि त्रिभुज के तीन कोण x, y और z हैं। दिया गया है कि दो कोणों का योग x + y = 116° है और उनका अंतर x - y = 24° है। इन दोनों कोणों के व्यक्तिगत मान ज्ञात करने के लिए, हम योग और अंतर सूत्रों का उपयोग करते हैं: x = (योग + अंतर)/(2) = (116° + 24°)/(2) = (140°)/(2) = 70° y = (योग - अंतर)/(2) = (116° - 24°)/(2) = (92°)/(2) = 46°

एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इसलिए, तीसरे कोण z की गणना इस प्रकार की जाती है: z = 180° - (x + y) = 180° - 116° = 64°

त्रिभुज के तीनों कोण 70°, 46° और 64° हैं। इन मापों की तुलना करने पर, सबसे छोटा कोण 46° है।

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए त्रिभुज Δ ADE और Δ ABC, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार समरूप हैं क्योंकि ∠ A उभयनिष्ठ है और संगत कोण होने के कारण ∠ ADE = ∠ ABC है। समरूप त्रिभुजों के गुण के अनुसार, संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर होता है, जिससे संबंध (BC)/(DE) = (AB)/(AD) प्राप्त होता है। AD की लंबाई की गणना AB की कुल लंबाई से BD को घटाकर की जाती है, जिससे AD = AB - BD = 7 - 3 = 4 सेमी प्राप्त होता है। अनुपात में AB और AD के मान रखने पर, हमें BC : DE = 7 : 4 प्राप्त होता है। इस अनुपात को विकल्पों में दिए गए रूप में व्यक्त करने के लिए, हम अनुपात के दोनों भागों को 2 से विभाजित कर सकते हैं, जिससे 3.5 : 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करने पर। अंश में, चूंकि 63° + 27° = 90° है, हम sin 27° को sin(90° - 63°) = cos 63° के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इस प्रकार, अंश sin² 63° + cos² 63° हो जाता है। मूलभूत सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 लागू करने पर, अंश का मान 1 प्राप्त होता है।

हर में, चूंकि 17° + 73° = 90° है, हम cos 73° को cos(90° - 17°) = sin 17° के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। हर cos² 17° + sin² 17° हो जाता है, जो उसी त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के आधार पर 1 के बराबर है। यह भिन्न सरल होकर 1 / 1 हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र D = P((R)/(100))² द्वारा दिया जाता है, जहाँ P मूलधन है और R वार्षिक ब्याज दर है। यह सूत्र इसलिए बनता है क्योंकि दो वर्षों के लिए साधारण ब्याज पर चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर केवल पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज होता है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: P = 6250 R = 8

D = 6250 × (⁸⁄₁₀₀)² D = 6250 × ⁶⁴⁄₁₀₀₀₀

गणना को सरल बनाने के लिए, हम भिन्न को छोटा कर सकते हैं: D = 6250 × ¹⁶⁄₂₅₀₀ D = ⁶²⁵⁰⁄₂₅₀₀ × 16 D = 2.5 × 16 D = 40

वैकल्पिक रूप से, पहले वर्ष के लिए साधारण ब्याज 6250 × 0.08 = 500 है। दो वर्षों के बाद CI (चक्रवृद्धि ब्याज) और SI (साधारण ब्याज) के बीच का अंतर इसी पहले वर्ष के ब्याज पर समान दर से परिकलित ब्याज है: 500 × 0.08 = 40।

व्याख्या

जब सूर्य का उन्नयन कोण θ हो, तो h ऊंचाई वाले एक ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई s को सूत्र s = h cot θ द्वारा दर्शाया जाता है।

प्रारंभिक उन्नयन कोण θ₁ = 30° और खंभे की ऊंचाई h = 50√3 मीटर के लिए, छाया की लंबाई s₁ की गणना इस प्रकार की जाती है: s₁ = 50√3 × cot 30° = 50√3 × √3 = 150 मीटर।

जब उन्नयन कोण को बढ़ाकर θ₂ = 60° कर दिया जाता है, तो छाया की नई लंबाई s₂ हो जाती है: s₂ = 50√3 × cot 60° = 50√3 × (1)/(√(3)) = 50 मीटर।

छाया की लंबाई में कमी दोनों लंबाइयों के बीच का अंतर है: Δ s = s₁ - s₂ = 150 - 50 = 100 मीटर।

व्याख्या

कार्य-दर संबंध सूत्र (M₁ D₁)/(W₁) = (M₂ D₂)/(W₂) द्वारा संचालित होता है, जहाँ M श्रमिकों (बिल्लियों) की संख्या है, D समय अवधि (दिन) है, और W पूरे किए गए कार्य की मात्रा (मारे गए चूहे) है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर (100 × 100)/(100) = (4 × D₂)/(4) प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करने पर 100 = D₂ प्राप्त होता है। यह परिणाम दर्शाता है कि प्रति बिल्ली कार्य की व्यक्तिगत दर प्रति 100 दिन में एक चूहा है; इसलिए, एक साथ काम करने वाली चार बिल्लियों को अपने संबंधित कार्यों को पूरा करने और कुल चार चूहों को मारने में अभी भी 100 दिन लगेंगे।

व्याख्या

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाए, तो यह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। इस प्रकार, DE ∥ BC वाले Δ ABC में, हमारे पास निम्नलिखित संबंध है:

(AD)/(AB) = (AE)/(AC)

हमें अनुपात (AD)/(BD) = ⅗ दिया गया है। पूरी भुजा AB से AD का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम घटकों को जोड़ते हैं:

AB = AD + BD = 3 + 5 = 8 इकाई

समानुपाती समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर:

⅜ = (AE)/(5.6)

AE के लिए हल करने पर:

AE = (3 × 5.6)/(8) AE = 3 × 0.7 AE = 2.1 सेमी

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को अंतः स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होती है। यदि बड़े वृत्त की त्रिज्या को R और छोटे वृत्त की त्रिज्या को r द्वारा दर्शाया जाता है, तो केंद्रों के बीच की दूरी d को सूत्र d = R - r द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिया गया है कि बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 6 सेमी और केंद्रों के बीच की दूरी d = 2 सेमी है, तो समीकरण इस प्रकार होगा: 2 = 6 - r

r का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: r = 6 - 2 r = 4 सेमी

व्याख्या

सुबह 10 बजे से शाम 5 बजे तक कार्यालय के घंटों की कुल अवधि 7 घंटे है। अनुपात ज्ञात करने के लिए, दोनों राशियाँ समान इकाइयों में होनी चाहिए। कार्यालय के कुल घंटों को मिनटों में बदलने पर, हमें 7 × 60 = 420 मिनट प्राप्त होते हैं। भोजन का अंतराल 30 मिनट दिया गया है। भोजन के अंतराल का कार्यालय के कुल घंटों की अवधि से अनुपात की गणना 30 : 420 के रूप में की जाती है। दोनों पदों को 30 से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर 1 : 14 हो जाता है।

व्याख्या

सुनील द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि अंकित मूल्य (MP) से छूट घटाने के बाद विक्रय मूल्य (SP) है। दिया गया है कि अंकित मूल्य 1500 रुपये है और छूट की दर 15% है, गणना इस प्रकार है:

विक्रय मूल्य (SP) = अंकित मूल्य (MP) × (100 - छूट प्रतिशत)/(100)

SP = 1500 × (100 - 15)/(100)

SP = 1500 × ⁸⁵⁄₁₀₀

SP = 15 × 85

SP = 1275

वैकल्पिक रूप से, छूट की राशि 1500 का 15% है, जो कि 1500 × 0.15 = 225 है। कुल मूल्य से इस छूट को घटाने पर 1500 - 225 = 1275 प्राप्त होता है। इस प्रकार, सुनील को पुस्तक विक्रेता को 1275 रुपये का भुगतान करना होगा।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP) और लाभ (P) के बीच का संबंध सूत्र CP = SP - P द्वारा दिया गया है।

चूंकि लाभ और विक्रय मूल्य का अनुपात 1:5 दिया गया है, हम मान सकते हैं कि P = 1 इकाई और SP = 5 इकाई है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

CP = 5 - 1 = 4 इकाई

इसलिए, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अनुपात है:

SP : CP = 5 : 4

व्याख्या

36 मिनट, 1 दिन का कितना प्रतिशत है, यह ज्ञात करने के लिए सबसे पहले एक दिन में कुल मिनटों की संख्या निर्धारित करें। चूंकि 1 दिन में 24 घंटे होते हैं और प्रत्येक घंटे में 60 मिनट होते हैं, इसलिए कुल अवधि 24 × 60 = 1440 मिनट है। प्रतिशत की गणना मानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत = (मान)/(कुल) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = ³⁶⁄₁₄₄₀ × 100

गणना को सरल करने पर: प्रतिशत = ³⁶⁄₁₄₄ × 10

चूंकि 36 × 4 = 144 है, इसलिए भिन्न ³⁶⁄₁₄₄ सरल होकर ¼ हो जाता है: प्रतिशत = ¼ × 10 = 2.5%

व्याख्या

किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र D = S × T है, जहाँ S गति (चाल) है और T समय है। जब समय को स्थिर रखा जाता है, तो तय की गई दूरी गति के सीधे आनुपातिक होती है।

प्रश्न में कहा गया है कि गति में ⅕ की कमी की जाती है, जिसका अर्थ है कि गति में कमी Δ S = ⅕S है। परिणामस्वरूप, समान समय अवधि T में दूरी में कमी Δ D = Δ S × T है।

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 200 = ⅕S × 25 200 = 5S S = ²⁰⁰⁄₅ = 40 किमी/घंटा