एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

प्रत्येक दिन जिन द्वारा तय की गई दूरी रविवार से शुरू होने वाले एक सप्ताह के लिए एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाती है। रविवार को, वह a = 3 मील दौड़ता है। अगले छह दिनों के लिए, वह प्रत्येक दिन दूरी को d = 1 मील बढ़ाता है। एक सप्ताह में दिनों की संख्या n = 7 है।

एक सप्ताह में तय की गई कुल दूरी इस समांतर श्रेणी का योग है: Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n-1)d] S₇ = ⁷⁄₂ [2(3) + (7-1)1] S₇ = ⁷⁄₂ [6 + 6] S₇ = ⁷⁄₂ × 12 S₇ = 7 × 6 = 42 मील

प्रश्न में 2 सप्ताह में तय की गई कुल दूरी पूछी गई है। चूंकि यह पैटर्न दोहराया जाता है, इसलिए हम साप्ताहिक कुल दूरी को 2 से गुणा करते हैं: कुल दूरी = 42 × 2 = 84 मील

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका p³ - q³ = (p - q)(p² + pq + q²) है। इसे समीकरण में दिए गए रूप के अनुरूप बनाने के लिए, हम सर्वसमिका (p + q)² = p² + 2pq + q² का उपयोग करके दूसरे गुणनखंड को परिवर्तित करते हैं।

वर्ग सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करके, हम द्विघात भाग को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: p² + pq + q² = (p² + 2pq + q²) - pq = (p + q)² - 1pq

इस व्यंजक को घनों के अंतर के सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करने पर: p³ - q³ = (p - q) {(p + q)² - 1pq}

इसकी तुलना दिए गए व्यंजक (p - q) × {(p + q)² - xpq} से करने पर, गुणांक x का मान 1 होना चाहिए।

व्याख्या

व्यंजक 1 - (1)/(1+√(2)) + (1)/(1-√(2)) को सरल करने के लिए, हम सबसे पहले दोनों भिन्नात्मक पदों को संयोजित करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं। हम व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

1 + ( (1)/(1-√(2)) - (1)/(1+√(2)) )

इन भिन्नों को संयोजित करने के लिए, हम अलग-अलग हरों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं: (1 - √2)(1 + √2) = 1² - (√2)² = 1 - 2 = -1

इसके बाद, हम संयुक्त अंश की गणना करते हैं: (1 + √2) - (1 - √2) = 1 + √2 - 1 + √2 = 2√2

इन परिणामों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + 2√2/{-1} = 1 - 2√2

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक भिन्न का व्यक्तिगत रूप से परिमेयकरण करने पर भी यही परिणाम प्राप्त होता है। पद (1)/(1+√(2)) का परिमेयकरण करने पर √2 - 1 प्राप्त होता है, और पद (1)/(1-√(2)) का परिमेयकरण करने पर -(1 + √2) प्राप्त होता है। इन्हें वापस मूल व्यंजक में रखने पर: 1 - (√2 - 1) + (-1 - √2) = 1 - √2 + 1 - 1 - √2 = 1 - 2√2

व्याख्या

जब कोई आयत किसी वृत्त के अंतर्गत बना होता है, तो उसका विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। मान लीजिए कि आयत की भुजाएँ a और b हैं, और वृत्त का व्यास d है। दो भुजाओं और विकर्ण द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

d² = a² + b²

दिया गया है कि व्यास d = 5 सेमी और एक भुजा a = 4 सेमी है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

5² = 4² + b² 25 = 16 + b² b² = 25 - 16 b² = 9 b = 3 सेमी

आयत का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं का गुणनफल होता है:

क्षेत्रफल = a × b = 4 सेमी × 3 सेमी = 12 सेमी²

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ A + ∠ C = 180° और ∠ B + ∠ D = 180°। दिया गया है कि ∠ A = 105°, इसलिए ∠ C = 180° - 105° = 75°। इसके अतिरिक्त, AD ∥ BC वाले एक समलम्ब चतुर्भुज में, समानांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत अंतःकोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि ∠ A + ∠ B = 180° और ∠ D + ∠ C = 180°। पहले संबंध में ∠ A का मान रखने पर, हमें ∠ B = 180° - 105° = 75° प्राप्त होता है। चक्रीय गुण ∠ B + ∠ D = 180° से, हम ∠ D = 180° - 75° = 105° निर्धारित करते हैं। इससे यह पुष्टि होती है कि एक चक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज होता है जहाँ आधार कोण बराबर होते हैं। इसके परिणामस्वरूप प्राप्त मान ∠ B = 75°, ∠ C = 75° और ∠ D = 105° हैं।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय समीकरण sec(15θ) = cosec(15θ) को व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं sec x = (1)/(cos x) और cosec x = (1)/(sin x) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(cos(15θ)) = (1)/(sin(15θ))

पदों का तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin(15θ) = cos(15θ)

दोनों पक्षों को cos(15θ) (जहाँ cos(15θ) ≠ 0) से विभाजित करने पर टैनजेंट (tangent) रूप प्राप्त होता है:

tan(15θ) = 1

त्रिकोणमिति में, प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में कोण 45° होने पर टैनजेंट फलन (tangent function) का मान 1 होता है। टैनजेंट फलन के कोणांक (argument) को 45° के बराबर रखने पर हम θ के लिए हल कर सकते हैं:

15θ = 45°

15 से विभाजित करने पर:

θ = (45°)/(15)

θ = 3°

परिकलित मान θ = 3° दिए गए प्रतिबंध 0° < θ < 10° को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

तीनों चरों के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए, हम प्रत्येक व्यंजक को उसके दशमलव रूप में सरल करते हैं:

x = (0.25)¹^/² = √(0.25) = 0.5

y = 0.4

z = (0.216)¹^/³ = ³√(0.216) = 0.6

इन मानों की तुलना करने पर, हमें 0.6 > 0.5 > 0.4 प्राप्त होता है। इस असमिका में चरों को वापस प्रतिस्थापित करने पर z > x > y प्राप्त होता है।

व्याख्या

क्रिकेट टीम द्वारा बनाए गए कुल रनों की गणना खिलाड़ियों की संख्या को उनके औसत स्कोर से गुणा करके की जाती है। कुल रन = 11 × 23 = 253

शेष 10 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रन ज्ञात करने के लिए, कुल रनों में से पहले खिलाड़ी के स्कोर को घटाएं: शेष खिलाड़ियों के रन = 253 - 113 = 140

इसके बाद, शेष 10 खिलाड़ियों के औसत की गणना उनके कुल रनों को खिलाड़ियों की संख्या से विभाजित करके की जाती है: औसत = ¹⁴⁰⁄₁₀ = 14 रन

व्याख्या

व्यंजक x/(a+x) + (y)/(b+y) + (z)/(c+z) का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरणों a² = by + cz, b² = cz + ax, और c² = ax + by का उपयोग करने के लिए प्रत्येक पद को रूपांतरित करते हैं।

सबसे पहले, पहले पद के अंश और हर को a से गुणा करें: x/(a+x) = (ax)/(a²+ax) हर में a² = by+cz प्रतिस्थापित करने पर: (ax)/(by+cz+ax)

इसके बाद, दूसरे पद के अंश और हर को b से गुणा करें: (y)/(b+y) = (by)/(b²+by) हर में b² = cz+ax प्रतिस्थापित करने पर: (by)/(cz+ax+by)

अंत में, तीसरे पद के अंश और हर को c से गुणा करें: (z)/(c+z) = (cz)/(c²+cz) हर में c² = ax+by प्रतिस्थापित करने पर: (cz)/(ax+by+cz)

चूंकि अब तीनों पदों का हर समान (ax+by+cz) है, इसलिए हम उन्हें सीधे जोड़ सकते हैं: (ax)/(ax+by+cz) + (by)/(ax+by+cz) + (cz)/(ax+by+cz) = (ax+by+cz)/(ax+by+cz)

यह व्यंजक सरल होकर 1 हो जाता है।

व्याख्या

(x+y)/(x-y) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (x+y)² = x² + y² + 2xy और (x-y)² = x² + y² - 2xy का उपयोग करते हैं।

दिए गए मानों x²+y²=29 और xy=10 को पहली सर्वसमिका में रखने पर: (x+y)² = 29 + 2(10) = 29 + 20 = 49। चूंकि x>0 और y>0 है, इसलिए उनका योग धनात्मक होना चाहिए, अतः x+y = √(49) = 7।

इसके बाद, मानों को दूसरी सर्वसमिका में रखने पर: (x-y)² = 29 - 2(10) = 29 - 20 = 9। चूंकि x>y है, इसलिए अंतर x-y धनात्मक होना चाहिए, अतः x-y = √9 = 3।

इसके बाद अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है: (x+y)/(x-y) = 7/3।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज में, ऊंचाई h को h = (√3/2)a द्वारा दर्शाया जाता है। त्रिभुज का केंद्रक, जो परिकेंद्र और अंतःकेंद्र के रूप में भी कार्य करता है, ऊंचाई को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। परित्रिज्या R, शीर्ष से केंद्रक तक की दूरी के संगत होती है, जबकि अंतःत्रिज्या r, केंद्रक से भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी के संगत होती है। गणितीय रूप से, R = ⅔h और r = ⅓h। इसलिए परित्रिज्या का अंतःत्रिज्या से अनुपात R : r = ⅔h : ⅓h है, जो सीधे सरल होकर 2:1 हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, भुजा के सूत्रों का उपयोग करते हुए, R = (a)/(√(3)) और r = (a)/(2√(3)), इसलिए R : r = (a)/(√(3)) : (a)/(2√(3)) = 1 : ½ = 2:1।

व्याख्या

चूंकि AB एक व्यास है और O केन्द्र है, इसलिए AOB एक सरल रेखा है। कोण BOC का मान 120° दिया गया है। कोण AOC और BOC एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए ∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 120° = 60°।

वृत्त के प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। यहाँ, चाप AC केन्द्र पर ∠ AOC और परिधि पर ∠ ADC अंतरित करता है। इसलिए, ∠ AOC = 2 × ∠ ADC। मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 60° = 2 × ∠ ADC प्राप्त होता है, जिससे ∠ ADC = 30° प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि पेड़ का सीधा खड़ा हिस्सा h₁ है और टूटा हुआ हिस्सा जो जमीन को छूने के लिए झुकता है वह h₂ है। पेड़ की कुल ऊँचाई H = h₁ + h₂ है। ये हिस्से जमीन के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ पाद-बिंदु से शिखर (आधार) तक की दूरी 10 मीटर है और उन्नयन कोण 30° है।

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करने पर: h₁ = 10 tan 30° = 10 × (1)/(√(3)) = (10)/(√(3)) मीटर h₂ = (10)/(cos 30°) = (10)/(√(3)){2} = (20)/(√(3)) मीटर

पेड़ की कुल ऊँचाई इन दोनों हिस्सों का योग है: H = h₁ + h₂ = (10)/(√(3)) + (20)/(√(3)) = (30)/(√(3)) मीटर

अंश और हर को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर: H = 30√3{3} = 10√3 मीटर

व्याख्या

10% वार्षिक दर से 2 वर्ष के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर की गणना सूत्र r + r + (r²)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 10 + 10 + (10 × 10)/(100) = 21% प्राप्त होता है। चूंकि चक्रवृद्धि ब्याज 525 रुपये दिया गया है, इसलिए मूलधन P इस संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है: P का 21% = 525 P = ⁵²⁵⁄₂₁ × 100 = 2500

साधारण ब्याज की गणना के लिए, समय को दोगुना करके 4 वर्ष (2 × 2) कर दिया जाता है और दर को आधा करके 5% वार्षिक (10% ÷ 2) कर दिया जाता है। साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर: SI = (2500 × 5 × 4)/(100) SI = 25 × 20 = 500

व्याख्या

निर्दिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय मान tan 30° = (1)/(√(3)) और tan 60° = √3 हैं। दिए गए व्यंजक tan θ = tan 30° · tan 60° में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

tan θ = (1)/(√(3)) · √3

tan θ = 1

एक न्यूनकोण θ के लिए, समीकरण tan θ = 1 तब संतुष्ट होता है जब θ = 45° हो। 2θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस कोण को 2 से गुणा करते हैं:

2θ = 2 × 45° = 90°

व्याख्या

कुल कार्य को A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में माना जा सकता है। 10, 12 और 15 का LCM 60 इकाई है।

A की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₀ = 6 इकाई प्रति दिन B की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₂ = 5 इकाई प्रति दिन C की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₅ = 4 इकाई प्रति दिन

A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता = 6 + 5 + 4 = 15 इकाई प्रति दिन।

A, B और C द्वारा मिलकर कार्य करने में लिया गया समय कुल कार्य को उनकी संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है: समय = ⁶⁰⁄₁₅ = 4 दिन।

वैकल्पिक रूप से, कार्य दर सूत्र का उपयोग करते हुए, संयुक्त दर ⅒ + ¹⁄₁₂ + ¹⁄₁₅ = (6 + 5 + 4)/(60) = ¹⁵⁄₆₀ = प्रति दिन कार्य का ¼ भाग है। इस प्रकार, पूरा कार्य 4 दिनों में समाप्त हो जाता है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन V सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊंचाई है। चूंकि त्रिज्या व्यास की आधी होती है, इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात r₁ : r₂ व्यासों के अनुपात d₁ : d₂ के बराबर होता है, जो कि 4:5 दिया गया है।

दोनों शंकुओं के आयतनों के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: (V₁)/(V₂) = (1)/(3) π r₁² h₁ / {⅓ π r₂² h₂} = ((r₁)/(r₂))² × (h₁)/(h₂)

दिए गए आयतन अनुपात 1:4 और त्रिज्या अनुपात 4:5 को सूत्र में रखने पर: ¼ = (⅘)² × (h₁)/(h₂) ¼ = ¹⁶⁄₂₅ × (h₁)/(h₂)

ऊंचाइयों के अनुपात h₁ : h₂ को हल करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (h₁)/(h₂) = ¼ × ²⁵⁄₁₆ (h₁)/(h₂) = ²⁵⁄₆₄

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना प्रत्येक छूट दर को घटते शेष पर लागू करके या एकल समतुल्य छूट ज्ञात करके की जाती है। क्रमिक विधि का उपयोग करते हुए, विक्रय मूल्य सूत्र SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, SP = 2300 × (1 - 0.25) × (1 - 0.10)। यह सरल होकर SP = 2300 × 0.75 × 0.90 हो जाता है। 2300 को 0.75 से गुणा करने पर 1725 प्राप्त होता है, और इसके बाद 1725 को 0.90 से गुणा करने पर परिणाम 1552.5 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, प्रभावी छूट दर सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂ / 100) का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है, जो कि 25 + 10 - (250 / 100) = 32.5% है। विक्रय मूल्य 2300 × (100 - 32.5)% = 2300 × 0.675 = 1552.5 है।

व्याख्या

दो व्यक्तियों के बीच आयु का अंतर समय के साथ स्थिर रहता है। चूंकि राम आज श्याम से 20 वर्ष छोटा है, इसलिए वह पांच वर्ष पहले भी 20 वर्ष छोटा था। दिए गए अनुपात 3:5 के आधार पर, मान लें कि पांच वर्ष पहले राम और श्याम की आयु क्रमशः 3x और 5x थी। पांच वर्ष पहले उनकी आयु का अंतर 5x - 3x = 2x था। इसे 20 वर्ष के स्थिर अंतर के बराबर रखने पर 2x = 20 प्राप्त होता है, इसलिए x = 10। परिणामस्वरूप, पांच वर्ष पहले, राम की आयु 3 × 10 = 30 वर्ष और श्याम की आयु 5 × 10 = 50 वर्ष थी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक में 5 वर्ष जोड़ते हैं, जिससे राम की आयु 35 वर्ष और श्याम की आयु 55 वर्ष हो जाती है। उनकी वर्तमान आयु का योग 35 + 55 = 90 वर्ष है।

व्याख्या

हानि के दौरान क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच संबंध सूत्र SP = CP - हानि (Loss) द्वारा दिया जाता है। 15% की हानि को देखते हुए, हम मान सकते हैं कि क्रय मूल्य 100 इकाई है। इसके बाद हानि की राशि 100 का 15% होगी, जो कि 15 इकाई है।

सूत्र का उपयोग करने पर, विक्रय मूल्य 100 - 15 = 85 इकाई होगा। क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के अनुपात को CP : SP = 100 : 85 के रूप में व्यक्त किया जाता है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 5 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर 20 : 17 हो जाता है।

वैकल्पिक रूप से, हानि प्रतिशत को भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर 15% = ¹⁵⁄₁₀₀ = ³⁄₂₀ प्राप्त होता है। इस भिन्नात्मक निरूपण में, हर (denominator) क्रय मूल्य (20 इकाई) को दर्शाता है और अंश (numerator) हानि (3 इकाई) को दर्शाता है। विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य - हानि = 20 - 3 = 17 इकाई है। इस प्रकार, क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) का अनुपात 20 : 17 है।

व्याख्या

माना B का वेतन 100 है। चूंकि A का वेतन B के वेतन से 40% कम है, इसलिए A के वेतन की गणना इस प्रकार की जाती है: 100 - 40 = 60। यह ज्ञात करने के लिए कि B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत अधिक है, हम A के वेतन के सापेक्ष प्रतिशत वृद्धि सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत अधिक = (अंतर)/(A का वेतन) × 100

मान रखने पर: (100 - 60)/(60) × 100 = ⁴⁰⁄₆₀ × 100 = ⅔ × 100 = 66.66...%

वैकल्पिक रूप से, मानक तुलना सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ यदि एक मान दूसरे से r% कम है, तो दूसरा पहले से निम्नलिखित प्रतिशत अधिक होता है: (r)/(100 - r) × 100 = (40)/(100 - 40) × 100 = ⁴⁰⁄₆₀ × 100 = 66.66...%

विकल्पों में दिए गए मान के अनुसार इस मान को निकटतम पूर्णांक में बदलने पर 66% प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब कोई वस्तु दो अलग-अलग चालों से समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत चाल उन चालों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है। चूंकि घर से कार्यालय की दूरी और कार्यालय से वापस घर की दूरी समान है, इसलिए हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:

Vₐᵥ_g = (2v₁v₂)/(v₁ + v₂)

यह दिया गया है कि v₁ = 12 किमी/घंटा और v₂ = 10 किमी/घंटा, सूत्र में इन मानों को रखने पर प्राप्त होता है:

Vₐᵥ_g = (2 × 12 × 10)/(12 + 10)

Vₐᵥ_g = ²⁴⁰⁄₂₂

Vₐᵥ_g = ¹²⁰⁄₁₁ ≈ 10.909 किमी/घंटा

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर औसत चाल 10.9 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

व्याख्या

x के लिए दिया गया व्यंजक 3¹^/³ - 3⁻¹^/³ को दर्शाता है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) का उपयोग करके, हम आवश्यक व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं।

माना a = 3¹^/³ और b = 3⁻¹^/³। यहाँ, ab = 3¹^/³ · 3⁻¹^/³ = 1। दिया गया है x = a - b, दोनों पक्षों का घन करने पर: x³ = (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

a³, b³, और ab के मान प्रतिस्थापित करने पर: x³ = (3¹^/³)³ - (3⁻¹^/³)³ - 3(1)(x) x³ = 3 - ⅓ - 3x x³ = (9 - 1)/(3) - 3x x³ = ⁸⁄₃ - 3x

3x³ + 9x का मान ज्ञात करने के लिए, पूरे समीकरण को 3 से गुणा करें: 3x³ = 8 - 9x 3x³ + 9x = 8

व्याख्या

द्विपद के घन के लिए बीजीय सर्वसमिका (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) द्वारा दी जाती है। प्रश्न के अनुसार, xy(x + y) = m है। इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x³ + y³ + 3m = (x + y)³

परिणाम को m, x, और y के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम (x + y) का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए समीकरण xy(x + y) = m को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

x + y = m/(xy)

अब, इसे वापस घन वाले व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

x³ + y³ + 3m = (m/(xy))³ = m³/(x³y³)

इस प्रकार, व्यंजक का मान m³/(x³y³) है।

व्याख्या

त्रिभुजों के लिए SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता की कसौटी यह बताती है कि यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हों, तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं। यूक्लिडीय ज्यामिति में, दो त्रिभुज △ ABC और △ DEF समरूप होते हैं यदि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर हो, जैसे कि AB/DE = BC/EF = AC/DF = k, जहाँ k एक नियत स्केल गुणक (scale factor) है। भुजाओं की यह समानुपातशीलता त्रिभुजों के समरूप होने के लिए एक पर्याप्त शर्त है क्योंकि गणितीय रूप से इसका अर्थ यह है कि उनके संगत आंतरिक कोण भी बराबर होते हैं (∠A = ∠D, ∠B = ∠E, और ∠C = ∠F), जिससे ज्यामितीय समरूपता की औपचारिक परिभाषा पूरी होती है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज में, दो आधार कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन द्वारा बनने वाले कोण की गणना सूत्र ∠BOC = 90° + ½∠BAC का उपयोग करके की जाती है। यह बिंदु O, △ABC का अंतःकेंद्र है।

दिया गया शीर्ष कोण ∠BAC = 60° है, इस मान को सूत्र में रखने पर:

∠BOC = 90° + 60°/2

∠BOC = 90° + 30°

∠BOC = 120°

यह गुण △ABC और △OBC में कोणों के योग से प्राप्त होता है। △ABC में, ∠B + ∠C = 180° - ∠A। △OBC में, कोणों का योग ∠BOC + ½∠B + ½∠C = 180° है। ½(∠B + ∠C) को ½(180° - ∠A) से प्रतिस्थापित करने पर सीधे ऊपर उपयोग किया गया मानक संबंध प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (sinθ + sinφ)/(cosθ + cosφ) + (cosθ - cosφ)/(sinθ - sinφ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक समान हर लेकर दोनों भिन्नों को जोड़ते हैं। इसके परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाला अंश (sinθ + sinφ)(sinθ - sinφ) + (cosθ - cosφ)(cosθ + cosφ) है। अंश के दोनों पदों पर बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² लागू करने पर, यह सरल होकर (sin²θ - sin²φ) + (cos²θ - cos²φ) हो जाता है। इन पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग कर सकते हैं। अंश (sin²θ + cos²θ) - (sin²φ + cos²φ) बन जाता है, जिसका मान 1 - 1 = 0 प्राप्त होता है। चूंकि संयुक्त भिन्न का अंश शून्य है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक का मान 0 है।

व्याख्या

63520 को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसमें से घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इसका वर्गमूल ज्ञात करने और शेषफल निर्धारित करने के लिए भाग विधि (long division method) का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, अंकों को दाईं से बाईं ओर जोड़ों में समूहित करें: 6, 35, 20। पहले समूह 6 से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा वर्ग संख्या 2² = 4 है। वर्गमूल का पहला अंक 2 है। 6 में से 4 घटाने पर 2 प्राप्त होता है, और अगले जोड़े 35 को नीचे लाने पर 235 प्राप्त होता है।

इसके बाद, भाजक के पहले अंक के रूप में 4 प्राप्त करने के लिए वर्तमान भागफल (2) को दोगुना करें। हम एक ऐसा अंक x ज्ञात करते हैं जिससे (40 + x) · x ≤ 235 हो। x = 5 के लिए, 45 · 5 = 225। 235 में से 225 घटाने पर 10 प्राप्त होता है, और अंतिम जोड़े 20 को नीचे लाने पर 1020 प्राप्त होता है।

अब, नए भाजक के उपसर्ग के रूप में 50 प्राप्त करने के लिए वर्तमान भागफल 25 को दोगुना करें। हम एक ऐसा अंक y ज्ञात करते हैं जिससे (500 + y) · y ≤ 1020 हो। y = 2 के लिए, 502 · 2 = 1004। शेषफल 1020 - 1004 = 16 है।

चूंकि 252 का वर्ग ज्ञात करने के बाद शेषफल 16 बचता है, इसलिए यह वह अतिरिक्त मान है जो 63520 को एक पूर्ण वर्ग बनने से रोकता है। इस प्रकार, 63520 में से 16 घटाने पर 63504 प्राप्त होता है, जो कि 252² है।

व्याख्या

तीन वर्ष पूर्व परिवार के 5 सदस्यों की कुल आयु की गणना सदस्यों की संख्या को औसत आयु से गुणा करके की जाती है: 5 × 17 = 85 वर्ष। अगले तीन वर्षों में, 5 सदस्यों में से प्रत्येक की आयु 3 वर्ष बढ़ जाती है, जिससे परिवार की कुल आयु में 5 × 3 = 15 वर्ष जुड़ जाते हैं। इस प्रकार, मूल 5 सदस्यों की वर्तमान कुल आयु 85 + 15 = 100 वर्ष है।

बच्चे के जन्म के साथ, परिवार में अब 6 सदस्य हैं। प्रश्न के अनुसार, वर्तमान औसत आयु अभी भी 17 वर्ष ही है। इसलिए, सभी 6 सदस्यों की वर्तमान कुल आयु 6 × 17 = 102 वर्ष है। बच्चे की आयु 6-सदस्यीय परिवार की कुल आयु और मूल 5 सदस्यों की वर्तमान कुल आयु के बीच का अंतर है: 102 - 100 = 2 वर्ष।

व्याख्या

दिए गए समीकरण p + ¹⁄ₚ₊₂ = 1 में, पदों को लक्षित व्यंजक के अनुरूप बनाने के लिए हम दोनों पक्षों में 2 जोड़ते हैं: (p+2) + ¹⁄ₚ₊₂ = 1 + 2 (p+2) + ¹⁄ₚ₊₂ = 3

माना x = p+2 है। समीकरण सरल होकर x + ¹⁄ₓ = 3 हो जाता है, और ज्ञात किया जाने वाला मान x³ + (1)/(x³) - 3 है।

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हुए, हम ज्ञात योग को प्रतिस्थापित करते हैं: x³ + (1)/(x³) = (3)³ - 3(3) x³ + (1)/(x³) = 27 - 9 = 18

इस परिणाम में से 3 घटाकर व्यंजक का अंतिम मान प्राप्त किया जाता है: 18 - 3 = 15

व्याख्या

दिया गया समीकरण (3a+4b)/(3c+4d) = (3a-4b)/(3c-4d) है। एकांतरानुपात (alternendo) के गुणधर्म को लागू करने पर, हम पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

(3a+4b)/(3a-4b) = (3c+4d)/(3c-4d)

योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) के नियम को लागू करने पर, जिसके अनुसार यदि (x)/(y) = (p)/(q) हो, तो (x+y)/(x-y) = (p+q)/(p-q) होता है, हमें प्राप्त होता है:

((3a+4b) + (3a-4b))/((3a+4b) - (3a-4b)) = ((3c+4d) + (3c-4d))/((3c+4d) - (3c-4d))

(6a)/(8b) = (6c)/(8d)

दोनों पक्षों को ⁶⁄₈ से विभाजित करके स्थिरांकों को सरल करने पर:

(a)/(b) = (c)/(d)

तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर, हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है:

ad = bc

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण 90° होता है। चूंकि किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए दो छोटे (न्यून) कोणों का योग 180° - 90° = 90° होना चाहिए। मान लीजिए कि दो छोटे कोण x और y हैं, जहाँ y सबसे छोटे कोण को दर्शाता है। दी गई जानकारी के आधार पर, इन दोनों कोणों के बीच का अंतर x - y = 8° है, और उनका योग x + y = 90° है। सबसे छोटे कोण y का मान ज्ञात करने के लिए, हम योग के समीकरण में से अंतर के समीकरण को घटाते हैं: (x + y) - (x - y) = 90° - 8°। यह सरल होकर 2y = 82° हो जाता है। y के लिए हल करने पर y = 41° प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC का लंबकेंद्र O, इसके शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। माना BE, शीर्ष B से भुजा AC पर शीर्षलंब है, और CF, शीर्ष C से भुजा AB पर शीर्षलंब है। ये शीर्षलंब लंबकेंद्र O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

चतुर्भुज AFOE में, F (∠ AFO) और E (∠ AEO) पर बनने वाले कोण दोनों 90° हैं क्योंकि CF और BE क्रमशः संबंधित भुजाओं पर लंबवत हैं। किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। इसलिए, चतुर्भुज AFOE में:

∠ FAE + ∠ AFO + ∠ FOE + ∠ AEO = 360°

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

∠ BAC + 90° + ∠ FOE + 90° = 360° ∠ BAC + ∠ FOE = 180°

कोण ∠ FOE और ∠ BOC शीर्षाभिमुख कोण हैं, जिसका अर्थ है ∠ FOE = ∠ BOC। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

∠ BAC + ∠ BOC = 180°

दिया गया है कि ∠ BOC = 150°, हम ∠ BAC का मान ज्ञात कर सकते हैं:

∠ BAC + 150° = 180° ∠ BAC = 180° - 150° ∠ BAC = 30°

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक समान समयांतराल के लिए अर्जित ब्याज स्थिर रहता है। तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज, 3 वर्ष बाद के मिश्रधन और 2 वर्ष बाद के मिश्रधन के बीच का अंतर है।

1 वर्ष का ब्याज = 5,832 रुपये - 5,182 रुपये = 650 रुपये

2 वर्ष बाद का मिश्रधन (A₂) मूलधन (P) और 2 वर्षों के ब्याज (I₂) का योग होता है। हम पहले दो वर्षों के लिए कुल ब्याज की गणना इस प्रकार करते हैं:

I₂ = 2 × 650 रुपये = 1,300 रुपये

मूलधन ज्ञात करने के लिए, हम 2 वर्ष के अंत में कुल मिश्रधन में से इस 2 वर्ष के ब्याज को घटाते हैं:

P = A₂ - I₂ P = 5,182 रुपये - 1,300 रुपये = 3,882 रुपये

व्याख्या

माना हेलीकॉप्टर की ऊंचाई h = 1500 मीटर है। जब दो वस्तुएं एक ऊर्ध्वाधर रेखा के एक ही ओर स्थित हों और उनके अवनमन कोण ₁ और ₂ हों (जहाँ ₁ < ₂), तो उनके बीच की दूरी d को सूत्र d = h(cot ₁ - cot ₂) द्वारा दर्शाया जाता है।

दिए गए मानों ₁ = 30° और ₂ = 60° को प्रतिस्थापित करने पर: d = 1500(cot 30° - cot 60°) d = 1500(√3 - (1)/(√(3)))

कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को हल करने के लिए, एक समान हर ज्ञात करें: d = 1500((3 - 1)/(√(3))) d = 1500((2)/(√(3))) d = (3000)/(√(3))

अंश और हर को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर: d = (3000 × √3)/3 d = 1000√3

दोनों जहाजों के बीच की दूरी 1000√3 मीटर है।

व्याख्या

माना B की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) x है। चूंकि A समान समय में B से तिगुना कार्य करता है, इसलिए A की कार्यक्षमता 3x है। एक साथ कार्य करते हुए A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 3x + x = 4x है।

कुल कार्य की गणना A और B की संयुक्त कार्यक्षमता को कार्य पूरा करने में उनके द्वारा लिए गए कुल समय से गुणा करके की जाती है: कुल कार्य = 4x × 9 = 36x इकाई।

अकेले A द्वारा इस कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को A की व्यक्तिगत कार्यक्षमता से विभाजित करें: A द्वारा लिया गया समय = ³⁶ˣ⁄₃ₓ = 12 दिन।

व्याख्या

एक बेलन के आयतन की गणना सूत्र V = π r² h का उपयोग करके की जाती है। चूंकि व्यासों का अनुपात 3:2 है, इसलिए त्रिज्याओं r₁:r₂ का अनुपात भी 3:2 होगा। समान आयतन वाले दो बेलनों के लिए, V₁ = V₂, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

π r₁² h₁ = π r₂² h₂

दोनों पक्षों से π को निरस्त करने और ऊँचाइयों के अनुपात को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

h₁ / h₂ = r₂² / r₁² = (r₂ / r₁)²

त्रिज्या के अनुपात के व्युत्क्रम, जो कि 2/3 है, को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

h₁ / h₂ = (2 / 3)² = 4 / 9

इसके परिणामस्वरूप उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 4:9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

10% की हानि से 6% के लाभ में परिवर्तन, साइकिल के क्रय मूल्य के सापेक्ष उसके मूल्य में कुल 16% के परिवर्तन को दर्शाता है। यह देखते हुए कि विक्रय मूल्य में 200 रुपये की वृद्धि इस पूरे परिवर्तन के लिए उत्तरदायी है, हम यह स्थापित कर सकते हैं कि क्रय मूल्य का 16%, 200 रुपये के बराबर है।

माना क्रय मूल्य CP है। प्रतिशत में अंतर = 6% - (-10%) = 16% समीकरण है: CP का 16% = 200 ¹⁶⁄₁₀₀ × CP = 200 CP = (200 × 100)/(16) CP = 12.5 × 100 CP = 1250

इसे हानि से लाभ में परिवर्तन होने पर क्रय मूल्य के प्रत्यक्ष सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है: CP = (मूल्य में वृद्धि)/(हानि% + लाभ%) × 100 CP = (200)/(10 + 6) × 100 CP = ²⁰⁰⁄₁₆ × 100 = 1250

व्याख्या

माना शहर की कुल जनसंख्या 100 है। गरीब जनसंख्या 60% दी गई है, जिसका अर्थ है कि 60 गरीब लोग हैं और 100 - 60 = 40 अमीर लोग हैं। कुल निरक्षर जनसंख्या कुल का 40% है, जो कि 40 लोग हैं।

अमीरों में निरक्षर जनसंख्या, अमीर जनसंख्या का 10% है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: 40 का 10% = 0.10 × 40 = 4

निरक्षर गरीब जनसंख्या, कुल निरक्षर जनसंख्या और निरक्षर अमीर जनसंख्या के बीच का अंतर है: 40 - 4 = 36

गरीब जनसंख्या में निरक्षर लोगों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, निरक्षर गरीबों की संख्या को कुल गरीब जनसंख्या से विभाजित करें और 100 से गुणा करें: प्रतिशत = (36 / 60) × 100 = 60%

व्याख्या

जब कोई ट्रेन किसी खंभे जैसी नगण्य लंबाई वाली स्थिर वस्तु को पार करती है, तो ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी उसकी अपनी लंबाई के बराबर होती है। यहाँ, दूरी 100 मीटर है और गति 50 किमी/घंटा है। सेकंड में समय की गणना करने के लिए, गति को 1 किमी/घंटा = ⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड के रूपांतरण कारक का उपयोग करके किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

मीटर/सेकंड में गति = 50 × ⁵⁄₁₈ = ²⁵⁰⁄₁₈ मीटर/सेकंड

संबंध समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करने पर:

समय = (100)/(250){18}

समय = (100 × 18)/(250)

समय = (2 × 18)/(5)

समय = ³⁶⁄₅ = 7.2 सेकंड

व्याख्या

p + ¹⁄ₚ का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण (2p)/(p² - 2p + 1) = ¼ का व्युत्क्रम (reciprocal) लेते हैं, जिससे प्राप्त होता है:

(p² - 2p + 1)/(2p) = 4

अंश के प्रत्येक पद में हर 2p को विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(p²)/(2p) - ²ᵖ⁄₂ₚ + ¹⁄₂ₚ = 4

ᵖ⁄₂ - 1 + ¹⁄₂ₚ = 4

समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर प्राप्त होता है:

ᵖ⁄₂ + ¹⁄₂ₚ = 5

बाईं ओर के पदों से ½ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर प्राप्त होता है:

½ (p + ¹⁄ₚ) = 5

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर अंतिम मान प्राप्त होता है:

p + ¹⁄ₚ = 10

यह बीजगणितीय हेरफेर मूल परिमेय समीकरण को योग के रूप में एक रैखिक रूप में परिवर्तित करके वांछित व्यंजक p + ¹⁄ₚ को कुशलतापूर्वक अलग करता है।

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (l + m + n)² = l² + m² + n² + 2(lm + mn + nl) है। इस सूत्र में दिए गए मानों l + m + n = 9 और l² + m² + n² = 31 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 9² = 31 + 2(lm + mn + nl) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 81 = 31 + 2(lm + mn + nl) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 31 घटाने पर 50 = 2(lm + mn + nl) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर lm + mn + nl = 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज का केंद्रक वह संगामी बिंदु होता है जहाँ त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। एक माध्यिका को उस रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जो त्रिभुज के एक शीर्ष को उस शीर्ष के सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। प्रत्येक त्रिभुज में, तीनों माध्यिकाएँ हमेशा एक ही बिंदु पर मिलती हैं जो त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित होता है। ज्यामितीय रूप से, केंद्रक त्रिभुज के सभी बिंदुओं के द्रव्यमान केंद्र या समांतर माध्य के रूप में कार्य करता है। केंद्रक का एक प्रमुख गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में दो भागों में विभाजित करता है, जहाँ शीर्ष से केंद्रक की दूरी, केंद्रक से सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु की दूरी की दोगुनी होती है।

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। त्रिभुज PQR में, भुजा QR को S तक बढ़ाया गया है, जिससे शीर्ष R पर ∠ PRS बाह्य कोण बनता है। सम्मुख अंतः कोण ∠ QPR और ∠ PQR हैं।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ∠ PRS = ∠ QPR + ∠ PQR

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 110° = 72° + ∠ PQR

∠ PQR के लिए हल करने पर: ∠ PQR = 110° - 72° ∠ PQR = 38°

व्याख्या

एक समलंब का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ a और b समांतर भुजाओं की लंबाई हैं और h उनके बीच की लंबवत दूरी है। इस प्रश्न में, समांतर भुजाएँ AB और CD हैं, ऊँचाई h = 4 सेमी है, CD की लंबाई 6 सेमी है, और क्षेत्रफल 16 सेमी² दिया गया है।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: 16 = ½ × (AB + 6) × 4

4 को 2 से विभाजित करके समीकरण को सरल करने पर: 16 = (AB + 6) × 2

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर: 8 = AB + 6

AB के लिए हल करने पर: AB = 8 - 6 = 2 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हुए, माना a = tanθ और b = cotθ। दिए गए समीकरण tanθ + cotθ = 5 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

(tanθ + cotθ)² = 5²

tan²θ + cot²θ + 2tanθ = 25

चूंकि tanθ और cotθ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन हैं, इसलिए उनका गुणनफल tanθ · cotθ, 1 के बराबर होता है। इस मान को विस्तारित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

tan²θ + cot²θ + 2(1) = 25

tan²θ + cot²θ = 25 - 2

tan²θ + cot²θ = 23

व्याख्या

एक संख्या N को विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके N = (भाजक × भागफल) + शेषफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, N = 56k + 29 है। जब उसी संख्या को 8 से विभाजित किया जाता है, तो हम इस व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं: N/8 = (56k + 29)/8। चूंकि 56, 8 का एक गुणज है (56 = 8 × 7), इसलिए पद 56k, 8 से पूर्णतः विभाज्य है और 0 शेषफल छोड़ता है। इसलिए, आवश्यक शेषफल केवल मूल शेषफल (29) को नए भाजक (8) से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला शेषफल है। 29 को 8 से विभाजित करने पर 8 × 3 = 24 प्राप्त होता है और शेषफल 29 - 24 = 5 बचता है।

व्याख्या

जब लाभ और छूट प्रतिशत ज्ञात हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ %)/(100 - छूट %)

विकल्पों से मेल खाने वाले पूर्ण मान को निर्धारित करने के लिए मानक आधार क्रय मूल्य को 100 रुपये मानते हुए, हम दिए गए प्रतिशतों को सूत्र में रखते हैं: MP = 100 × (100 + 25)/(100 - 20) MP = 100 × ¹²⁵⁄₈₀ MP = 100 × 1.5625 MP = 156.25

इस परिदृश्य में, 156.25 रुपये का अंकित मूल्य दुकानदार को मूल्य में 20% की कमी (31.25 रुपये की कमी) करने की अनुमति देता है, जिसके परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य 125 रुपये हो जाता है, जो कि 100 रुपये की लागत पर आवश्यक 25% का लाभ प्रदान करता है।

व्याख्या

कुल अंकों में शुद्ध परिवर्तन का निर्धारण करके और सूत्र का उपयोग करके इसे प्रारंभिक औसत पर लागू करके सही औसत की गणना की जा सकती है:

सही औसत = प्रारंभिक औसत + (Σ सही अंक - Σ गलत अंक)/(n)

सही ढंग से दर्ज किए गए अंकों का योग 56 + 50 = 106 है, जबकि गलती से दर्ज किए गए अंकों का योग 65 + 24 = 89 है। अंकों के कुल योग में शुद्ध परिवर्तन है:

शुद्ध परिवर्तन = 106 - 89 = +17

चूंकि यहाँ 17 छात्र हैं, इसलिए औसत में परिवर्तन है:

औसत में परिवर्तन = ⁺¹⁷⁄₁₇ = +1

इस परिवर्तन को प्रारंभिक औसत 71 में जोड़ने पर सही औसत प्राप्त होता है:

सही औसत = 71 + 1 = 72

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = P × r × t है, जहाँ SI अर्जित ब्याज है, P मूलधन है, r दशमलव के रूप में व्यक्त वार्षिक ब्याज दर है, और t वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज मूलधन का दो-पाँचवां भाग है, जिसे SI = ⅖P के रूप में लिखा जा सकता है। समय अवधि t, 5 वर्ष दी गई है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें समीकरण ⅖P = P × r × 5 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर, हमारे पास ⅖ = 5r बचता है। r का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करते हैं, जिससे r = ²⁄₂₅ प्राप्त होता है। इस भिन्न को दशमलव में बदलने पर, हमें प्राप्त होता है कि r = 0.08 है।