एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक (cosθ)/(1-sinθ) + (cosθ)/(1+sinθ) = 4 को उभयनिष्ठ हर (1-sinθ)(1+sinθ) लेकर सरल किया जा सकता है, जो 1-sin²θ या cos²θ के बराबर होता है। पदों को मिलाने पर, अंश cosθ(1+sinθ) + cosθ(1-sinθ) हो जाता है। इसका विस्तार करने पर, हमें cosθ + cosθ + cosθ - cosθ प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2cosθ हो जाता है।

अब समीकरण (2cosθ)/(cos²θ) = 4 हो जाता है। आगे सरल करने पर (2)/(cosθ) = 4, या 2secθ = 4 प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप secθ = 2 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है cosθ = ½। 0 < θ < 90° के दिए गए अंतराल में, cosθ = ½ को संतुष्ट करने वाला θ का मान 60° है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, मूलधन समान समयांतरालों में एक निश्चित गुणक (constant factor) से बढ़ता है। 2000 रुपये की राशि 2 वर्षों में 4000 रुपये हो जाती है, जिसका अर्थ है कि राशि 2 वर्ष की अवधि में दोगुनी हो जाती है (4000 / 2000 = 2)। चक्रवृद्धि ब्याज में, यदि कोई राशि t वर्षों में n गुनी हो जाती है, तो वह kt वर्षों में nᵏ गुनी हो जाएगी।

यहाँ, राशि को प्रारंभिक 2000 रुपये से बढ़कर 8000 रुपये होना है। वृद्धि गुणक 8000 / 2000 = 4 है। चूँकि 4 = 2² है, और हम जानते हैं कि राशि प्रत्येक 2 वर्ष (t = 2) में दोगुनी (n = 2) होती है, इसलिए हम k = 2 के साथ संबंध लागू करते हैं। आवश्यक कुल समय kt = 2 × 2 = 4 वर्ष है।

वैकल्पिक रूप से, राशि पहले 2 वर्षों में दोगुनी होकर 4000 रुपये हो जाती है, और यह 4000 रुपये अगले 2 वर्षों में फिर से दोगुनी होकर 8000 रुपये हो जाती है, जिससे कुल 4 वर्ष का समय लगता है।

व्याख्या

मान लीजिए ट्रेन की गति vₜ किमी/घंटा और कार की गति v_c किमी/घंटा है। पहली शर्त के अनुसार, 600 किमी की यात्रा के लिए कुल समय 8 घंटे है, जिसमें 120 किमी ट्रेन द्वारा और 480 किमी कार द्वारा तय किया गया है। इससे समीकरण 120/vₜ + 480/v_c = 8 प्राप्त होता है। 8 से भाग देने पर, हमें 15/vₜ + 60/v_c = 1 प्राप्त होता है।

दूसरी शर्त में, लिया गया समय 8 घंटे और 20 मिनट है, जो कि 25/3 घंटे है, जिसमें 200 किमी ट्रेन द्वारा और 400 किमी कार द्वारा तय किया गया है। इससे 200/vₜ + 400/v_c = 25/3 प्राप्त होता है। 25/3 से भाग देने पर या सरल करने पर, हमें 24/vₜ + 48/v_c = 1 प्राप्त होता है।

चूंकि दोनों व्यंजक 1 के बराबर हैं, हम उनकी तुलना कर सकते हैं: 15/vₜ + 60/v_c = 24/vₜ + 48/v_c। vₜ और v_c को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 60/v_c - 48/v_c = 24/vₜ - 15/vₜ प्राप्त होता है, जो सरल होकर 12/v_c = 9/vₜ हो जाता है। अनुपात vₜ/v_c ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन करने पर, हमें vₜ/v_c = 9/12 = 3/4 प्राप्त होता है। इसलिए, ट्रेन की गति का कार की गति से अनुपात 3:4 है।

व्याख्या

मान लीजिए प्रकाश स्तंभ की ऊंचाई h = 100 मीटर है। जब दो वस्तुएं किसी मीनार के विपरीत दिशाओं में होती हैं, तो उनके बीच की दूरी D, मीनार के आधार से उनकी व्यक्तिगत क्षैतिज दूरियों का योग होती है। उन्नयन कोण θ के लिए, क्षैतिज दूरी x की गणना सूत्र x = h cot θ का उपयोग करके की जाती है।

30° के उन्नयन कोण वाले पहले जहाज के लिए, प्रकाश स्तंभ से दूरी x₁ = 100 cot 30° = 100√3 मीटर है। 45° के उन्नयन कोण वाले दूसरे जहाज के लिए, प्रकाश स्तंभ से दूरी x₂ = 100 cot 45° = 100(1) = 100 मीटर है।

दोनों जहाजों के बीच की कुल दूरी D = x₁ + x₂ = 100√3 + 100 है। ऊंचाई को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, हमें प्राप्त होता है: D = 100(√3 + 1)। दिए गए मान √3 = 1.73 को प्रतिस्थापित करने पर: D = 100(1.73 + 1) = 100(2.73) = 273 मीटर।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a + ¹⁄ₐ = 1 है। दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर a² + 1 = a प्राप्त होता है, जिसे a² - a + 1 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (a² - a + 1)/(a² + a + 1) है। अंश में सीधे a² - a + 1 = 0 प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (0)/(a² + a + 1) हो जाता है।

यह सत्यापित करने के लिए कि हर (denominator) शून्य नहीं है, हम इसे सरल बनाने के लिए संबंध a² + 1 = a का उपयोग करते हैं: a² + a + 1 = (a² + 1) + a = a + a = 2a। चूंकि a ≠ 0 है, इसलिए हर 2a शून्य नहीं है। अतः, संपूर्ण व्यंजक का मान ⁰⁄₂ₐ = 0 है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (m + n)³ = m³ + n³ + 3mn(m + n) का उपयोग करते हुए, हम दी गई स्थिति m + n = 1 को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

(1)³ = m³ + n³ + 3mn(1)

1 = m³ + n³ + 3mn

वैकल्पिक रूप से, इसे m और n के ऐसे मान चुनकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है जो m + n = 1 को संतुष्ट करते हों। यदि हम m = 1 और n = 0 मानते हैं, तो व्यंजक m³ + n³ + 3mn का मान 1³ + 0³ + 3(1)(0) = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो वृत्त तब असंयुक्त होते हैं जब उनके केंद्रों के बीच की दूरी d उनकी त्रिज्याओं r₁ और r₂ के योग से अधिक होती है, जिसे गणितीय रूप से d > r₁ + r₂ के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस स्थिति में, वृत्त किसी भी बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसे युग्म के लिए दो प्रकार की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं संभव हैं। पहला, दो प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (direct common tangents) होती हैं, जो ऐसी रेखाएं हैं जो दोनों वृत्तों को इस प्रकार स्पर्श करती हैं कि दोनों वृत्त रेखा के एक ही ओर स्थित होते हैं। दूसरा, दो अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (transverse common tangents) होती हैं, जो ऐसी रेखाएं हैं जो दोनों वृत्तों के बीच से गुजरती हैं, जिससे दोनों वृत्त रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित होते हैं। इन दोनों प्रकारों को मिलाकर अधिकतम 4 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं प्राप्त होती हैं।

व्याख्या

व्यंजक cos⁴θ - sin⁴θ को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: cos⁴θ - sin⁴θ = (cos²θ + sin²θ)(cos²θ - sin²θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ + sin²θ = 1 का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है: 1 · (cos²θ - sin²θ) = ⅓ cos²θ - sin²θ = ⅓

tan²θ ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पदों को cos²θ और sin²θ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं। हमारे पास दो समीकरणों का एक निकाय है:

1. cos²θ + sin²θ = 1
2. cos²θ - sin²θ = ⅓

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2cos²θ = 1 + ⅓ = ⁴⁄₃ cos²θ = ⅔

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: 2sin²θ = 1 - ⅓ = ⅔ sin²θ = ⅓

tan²θ का मान इस अनुपात द्वारा दिया गया है: tan²θ = (sin²θ)/(cos²θ) = (1/3)/(2/3) = ½

व्याख्या

किसी भी पूर्णांक n को 6k + r के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}। पूर्ण वर्ग n² को 6 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला शेषफल, r² को 6 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले शेषफल द्वारा निर्धारित होता है। प्रश्न के अनुसार, पूर्ण वर्ग 6 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है n² ≡ 0 6। इससे हमें 1 से 5 तक r के संभावित मानों का परीक्षण करने की अनुमति मिलती है।

यदि n = 6k + 1, तो n² = (6k+1)² ≡ 1² ≡ 1 6। यदि n = 6k + 2, तो n² = (6k+2)² ≡ 2² ≡ 4 6। यदि n = 6k + 3, तो n² = (6k+3)² ≡ 3² = 9 ≡ 3 6। यदि n = 6k + 4, तो n² = (6k+4)² ≡ 4² = 16 ≡ 4 6। यदि n = 6k + 5, तो n² = (6k+5)² ≡ 5² = 25 ≡ 1 6।

इन स्थितियों का मूल्यांकन करने पर, 6 से विभाज्य न होने वाले पूर्ण वर्ग के लिए संभावित शेषफलों का समुच्चय {1, 3, 4} है। संख्यात्मक उदाहरणों के साथ सरल सत्यापन से भी यही परिणाम प्राप्त होते हैं: 1² = 1 (शेषफल 1), 2² = 4 (शेषफल 4), 3² = 9 (शेषफल 3), 4² = 16 (शेषफल 4), और 5² = 25 (शेषफल 1)।

व्याख्या

माना 12वीं पारी के बाद औसत स्कोर A है। चूंकि 12वीं पारी के बाद औसत में 5 की वृद्धि हुई है, इसलिए 11वीं पारी के बाद औसत A - 5 था। कुल स्कोर पारियों की संख्या और औसत स्कोर का गुणनफल होता है। इस प्रकार, 12 पारियों के बाद कुल स्कोर 12A है और 11 पारियों के बाद कुल स्कोर 11(A - 5) था। 12वीं पारी का स्कोर इन दोनों योगों का अंतर है।

12A - 11(A - 5) = 120 12A - 11A + 55 = 120 A + 55 = 120 A = 120 - 55 A = 65

वैकल्पिक रूप से, nवीं पारी के बाद के औसत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: नया औसत = nवीं पारी में स्कोर - (n - 1) × औसत में वृद्धि। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ n = 12, स्कोर = 120, और वृद्धि = 5: A = 120 - (12 - 1) × 5 A = 120 - 11 × 5 A = 120 - 55 A = 65

व्याख्या

√(x ± 2y) के रूप के नेस्टेड करणी (nested radicals) को सरल करने के लिए, हम दो ऐसी संख्याएँ a और b ज्ञात करते हैं जिससे a + b = x और ab = y हो। तब √(x ± 2y) = √a ± √b होता है।

सबसे भीतरी करणी से शुरुआत करते हुए, हम √(7 + 43) को √(7 + 212) के रूप में व्यक्त करके सरल करते हैं। चूँकि 4 + 3 = 7 और 4 × 3 = 12 है, इसलिए हमारे पास √(7 + 212) = √4 + √3 है, जो 2 + √3 के बराबर है।

इस परिणाम को व्यंजक के अगले भाग में प्रतिस्थापित करने पर, हमें √(3 + 8(2 + 3)) प्राप्त होता है। पदों का विस्तार करने पर √(3 + 16 + 83) = √(19 + 83) प्राप्त होता है। इसे सरल करने के लिए, हम इसे √(19 + 248) के रूप में फिर से लिखते हैं। यहाँ, हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका योग 19 हो और गुणनफल 48 हो, जो कि 16 और 3 हैं। इस प्रकार, √(19 + 248) = √(16) + √3, जो 4 + √3 के बराबर है।

इस सरलीकृत मान को सबसे बाहरी करणी में प्रतिस्थापित करके पूर्ण व्यंजक का मान ज्ञात किया जाता है: √(-3) + (4 + √3)। पद -√3 और +√3 एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं, जिससे √4 बचता है, जिसका मान 2 होता है।

व्याख्या

माना आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः l और w हैं। क्षेत्रफल l × w = 60 है और परिमाप 2(l + w) = 34 है, जिससे l + w = 17 प्राप्त होता है। विकर्ण की लंबाई d को सूत्र d = √(l² + w²) द्वारा दर्शाया जाता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (l + w)² = l² + w² + 2lw का उपयोग करके, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 17² = l² + w² + 2(60) 289 = l² + w² + 120 l² + w² = 289 - 120 = 169

विकर्ण की लंबाई इस योग का वर्गमूल है: d = √(169) = 13 सेमी

वैकल्पिक रूप से, हम यह पहचान सकते हैं कि 60 के वे गुणनखंड जिनका योग 17 है, 12 और 5 हैं। 12 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाले एक आयत में, विकर्ण भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) के अनुसार, कर्ण (विकर्ण) 13 सेमी होना चाहिए।

व्याख्या

माना वस्तु की मूल कीमत 100 है। 10% की कमी के बाद, नई कीमत 100 - 10 = 90 हो जाती है। वस्तु को उसके पूर्व मूल्य 100 पर वापस लाने के लिए, नई कीमत में 10 की वृद्धि की जानी चाहिए।

नई कीमत पर आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि)/(नई कीमत) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत वृद्धि = ¹⁰⁄₉₀ × 100 = ¹⁰⁰⁄₉ = 11 ⅑ %

वैकल्पिक रूप से, यदि किसी मान में r% की कमी की जाती है, तो मूल मान को वापस लाने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है: आवश्यक वृद्धि % = ( (r)/(100 - r) ) × 100

r = 10 प्रतिस्थापित करने पर: आवश्यक वृद्धि % = ( (10)/(100 - 10) ) × 100 = ¹⁰⁄₉₀ × 100 = ¹⁰⁰⁄₉ = 11 ⅑ %

व्याख्या

दिया गया समीकरण pq(p + q) = 1 है। इसे चरों के योग को p + q = (1)/(pq) के रूप में व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस समानता के दोनों पक्षों का घन (cube) करते हैं: (p + q)³ = ((1)/(pq))³

बाएँ पक्ष में बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) लागू करने और दाएँ पक्ष को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: p³ + q³ + 3pq(p + q) = (1)/(p³q³)

समीकरण के मध्य पद में मूल दी गई शर्त pq(p + q) = 1 से मान प्रतिस्थापित करने पर: p³ + q³ + 3(1) = (1)/(p³q³) p³ + q³ + 3 = (1)/(p³q³)

अब, p³ और q³ को दाईं ओर ले जाकर अचर पद को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 3 = (1)/(p³q³) - p³ - q³

इस प्रकार, व्यंजक का मान 3 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x⁴ + (1)/(x⁴) = 119 से, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात कर सकते हैं। सबसे पहले, हम समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़कर चतुर्थ-घात वाले व्यंजक को द्विघात रूप में बदलते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 119 + 2। इससे हम बाएं पक्ष को एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिख सकते हैं: (x² + (1)/(x²))² = 121। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर हमें x² + (1)/(x²) = 11 प्राप्त होता है। इसके बाद, x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस नए समीकरण के दोनों पक्षों से 2 घटाते हैं: x² + (1)/(x²) - 2 = 11 - 2। यह बाएं पक्ष को एक द्विपद के वर्ग के रूप में सरल बनाता है: (x - ¹⁄ₓ)² = 9। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x - ¹⁄ₓ = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंतर्लिखित कोण प्रमेय (Inscribed Angle Theorem) के अनुसार, किसी चाप द्वारा परिधि पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है। एक अर्धवृत्त में, चाप एक व्यास होता है, जो वृत्त के केंद्र पर 180° का ऋजु कोण (सरल कोण) अंतरित करता है। सूत्र 'अंतर्लिखित कोण = ½ × केंद्रीय कोण' को लागू करने पर, परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण (180°)/(2) = 90° होता है। इस ज्यामितीय सिद्धांत को थेल्स के प्रमेय (Thales's Theorem) के रूप में जाना जाता है, जो यह स्थापित करता है कि अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोई भी त्रिभुज, जिसकी एक भुजा व्यास हो, एक समकोण त्रिभुज होता है।

व्याख्या

x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं और उन्हें आपस में जोड़ते हैं।

दिया गया है: x = a cosθ + b sinθ y = b cosθ - a sinθ

x का वर्ग करने पर: x² = (a cosθ + b sinθ)² = a² cos²θ + b² sin²θ + 2ab cosθ sinθ

y का वर्ग करने पर: y² = (b cosθ - a sinθ)² = b² cos²θ + a² sin²θ - 2ab cosθ sinθ

x² और y² को जोड़ने पर: x² + y² = (a² cos²θ + b² sin²θ + 2ab cosθ sinθ) + (b² cos²θ + a² sin²θ - 2ab cosθ sinθ)

पद 2ab cosθ sinθ और -2ab cosθ sinθ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। शेष पदों को समूहित करने पर: x² + y² = a² (cos²θ + sin²θ) + b² (sin²θ + cos²θ)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर: x² + y² = a²(1) + b²(1) x² + y² = a² + b²

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेकर सरल किया जा सकता है: (cosθ(1+sinθ) + cosθ(1-sinθ))/((1-sinθ)(1+sinθ)) = 4 (cosθ + cosθ + cosθ - cosθ)/(1-sin²θ) = 4 (2cosθ)/(cos²θ) = 4 त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1-sin²θ = cos²θ का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है: (2)/(cosθ) = 4 cosθ = ²⁄₄ = ½ दिए गए अंतराल 0° < θ < 90° के लिए, θ का वह मान जिसके लिए cosθ = ½ है, 60° है।

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। Δ ABC में, जब भुजा BC को D तक बढ़ाया जाता है, तो बाह्य कोण ∠ ACD बनता है। इसलिए:

∠ ACD = ∠ A + ∠ B

दिया गया है कि ∠ ACD = 112° और ∠ B = ¾ ∠ A, हम ∠ A को ∠ B के पदों में ∠ A = ⁴⁄₃ ∠ B के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इन मानों को बाह्य कोण समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

112° = ⁴⁄₃ ∠ B + ∠ B

112° = ⁷⁄₃ ∠ B

∠ B ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

∠ B = (112° × 3)/(7)

∠ B = 16° × 3 = 48°

व्याख्या

मान लीजिए प्रकाश स्तंभ की ऊंचाई h = 100 मीटर है। मान लीजिए कि दोनों जहाज विपरीत दिशाओं में प्रकाश स्तंभ के पाद (आधार) से x और y दूरी पर हैं। जहाजों के बीच की कुल दूरी D = x + y है।

30° के उन्नयन कोण वाले पहले जहाज के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर: tan 30° = (ऊंचाई)/(आधार) = 100/x (1)/(√3) = 100/x ⟹ x = 100√3

45° के उन्नयन कोण वाले दूसरे जहाज के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर: tan 45° = (100)/(y) 1 = (100)/(y) ⟹ y = 100

जहाजों के बीच की कुल दूरी है: D = x + y = 100√3 + 100 = 100(√3 + 1)

दिए गए मान √3 = 1.73 को प्रतिस्थापित करने पर: D = 100(1.73 + 1) = 100 × 2.73 = 273 मीटर

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र हमेशा कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज का कर्ण इसके परिवृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है। दिया गया है कि परिवृत्त की त्रिज्या R = 3 सेमी है, इसलिए कर्ण की लंबाई c की गणना c = 2R = 2 × 3 = 6 सेमी के रूप में की जाती है।

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र ½ × आधार × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है। △ABC के कर्ण को आधार मानने पर, विपरीत शीर्ष से कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब ऊँचाई का कार्य करता है। सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर, क्षेत्रफल ½ × 6 सेमी × 2 सेमी = 6 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

मीनार, जमीन पर उसकी छाया और शीर्ष तक की दृष्टि रेखा द्वारा बनने वाले एक समकोण त्रिभुज में, ऊंचाई और आधार से दूरी के बीच के संबंध को उन्नयन कोण θ के टैनजेंट (tan) द्वारा परिभाषित किया जाता है। सूत्र tan θ = (ऊंचाई)/(दूरी) के अनुसार, दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ = 50√3/50 tan θ = √3

θ का वह मान जिसके लिए tan θ = √3 है, 60° है। अतः, जमीन पर स्थित बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए जहां ब्याज की दर प्रत्येक वर्ष भिन्न होती है, अंतिम मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + r₁/100)(1 + r₂/100) का उपयोग करके की जाती है, जहां P मूलधन है और r₁, r₂ क्रमशः पहले और दूसरे वर्ष के लिए ब्याज दरें हैं।

दिया गया है: P = 10,000, r₁ = 10, और r₂ = 12, गणना इस प्रकार है:

A = 10000 × (1 + 10/100) × (1 + 12/100) A = 10000 × (110/100) × (112/100) A = 10000 × 1.1 × 1.12 A = 11000 × 1.12 A = 12320

पहले वर्ष में अर्जित ब्याज 10,000 का 10% है, जो कि 1,000 है, जिससे दूसरे वर्ष के लिए मूलधन 11,000 हो जाता है। दूसरे वर्ष के लिए ब्याज 11,000 का 12% है, जो कि 1,320 है। इसे मध्यवर्ती मूलधन में जोड़ने पर अंतिम मिश्रधन 12,320 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ α + β = 90° है।

सबसे पहले, सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करके, हम tan 80° को परिवर्तित करते हैं: tan 80° = tan(90° - 10°) = cot 10° पहला पद cot 10° · tan 10° हो जाता है। चूँकि tan θ · cot θ = 1 होता है, इसलिए इस पद का मान 1 है।

दूसरा, सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, पद sin 70° को पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है: sin 70° = sin(90° - 20°) = cos 20° sin² 70° = cos² 20°

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, इस संदर्भ में, शेष त्रिकोणमितीय पदों का योग इस संबंध को संतुष्ट करता है: sin² 70° + sin² 20° = cos² 20° + sin² 20° = 1

व्यंजक के दोनों भागों के परिणामों को जोड़ने पर: 1 + 1 = 2

व्याख्या

मान लीजिए कि छोटा धनात्मक पूर्णांक x है। चूंकि दूसरी संख्या पहली संख्या की दोगुनी है, इसलिए इसे 2x के रूप में दर्शाया जा सकता है। इन दोनों पूर्णांकों का गुणनफल 2048 दिया गया है।

इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: x · (2x) = 2048 2x² = 2048

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: x² = 1024

छोटी संख्या का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x = √(1024) x = 32

चूंकि x दोनों संख्याओं में से छोटी संख्या को दर्शाता है, इसलिए परिणाम 32 है।

व्याख्या

A और C द्वारा मिलकर लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दी गई समयावधियों: 8, 12 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करके कुल कार्य निर्धारित करते हैं। मान लीजिए कुल कार्य 24 इकाई है।

(A + B) की कार्यक्षमता = 24 / 8 = 3 इकाई/दिन। (B + C) की कार्यक्षमता = 24 / 12 = 2 इकाई/दिन। (A + B + C) की कार्यक्षमता = 24 / 6 = 4 इकाई/दिन।

हम A और C की व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: A की कार्यक्षमता = कार्यक्षमता (A + B + C) - कार्यक्षमता (B + C) = 4 - 2 = 2 इकाई/दिन। C की कार्यक्षमता = कार्यक्षमता (A + B + C) - कार्यक्षमता (A + B) = 4 - 3 = 1 इकाई/दिन।

उनके प्रयासों को मिलाकर, (A + C) की कुल कार्यक्षमता 2 + 1 = 3 इकाई/दिन है। A और C द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को उनकी संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है: 24 / 3 = 8 दिन।

व्याख्या

लंबाई l, चौड़ाई w, और ऊंचाई h वाले एक घनाभ के विकर्ण d की लंबाई सूत्र d = √(l² + w² + h²) द्वारा निर्धारित की जाती है। यह सूत्र तीन आयामों में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके प्राप्त किया गया है।

दिया गया है कि घनाभ की विमाएँ l = 5 सेमी, w = 4 सेमी, और h = 3 सेमी हैं, गणना इस प्रकार है:

d = √(5² + 4² + 3²) d = √(25 + 16 + 9) d = √(50)

मान √(50) को सबसे बड़े पूर्ण वर्ग, जो कि 25 है, को गुणनखंडित करके सरल किया जा सकता है:

d = √(25 × 2) d = 5√2 सेमी

व्याख्या

छूट की राशि अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है। दिए गए मानों का उपयोग करने पर: छूट = 540 - 496.80 = 43.20

छूट की दर अंकित मूल्य के प्रतिशत के रूप में छूट को व्यक्त करके निर्धारित की जाती है। इसका सूत्र है: छूट % = (छूट)/(अंकित मूल्य) × 100

सूत्र में मान रखने पर: छूट % = (43.20)/(540) × 100 छूट % = ⁴³²⁰⁄₅₄₀ छूट % = ⁴³²⁄₅₄ = 8

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 5:7:12 के आधार पर तीन संख्याएँ 5x, 7x और 12x हैं। प्रश्न के अनुसार, पहली और तीसरी संख्या का योग दूसरी संख्या से 50 अधिक है। इस संबंध को समीकरण (5x + 12x) - 7x = 50 द्वारा दर्शाया गया है। कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करने पर 17x - 7x = 50 प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर 10x = 50 हो जाता है। चर का मान ज्ञात करने पर, हमें x = 5 प्राप्त होता है। तीनों संख्याओं का कुल योग उनके अनुपात घटकों का योग है, जो कि 5x + 7x + 12x = 24x है। इस व्यंजक में x का मान रखने पर, कुल योग 24 × 5 = 120 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दसवें बच्चे की आयु ज्ञात करने के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके 10 बच्चों की कुल आयु और 9 बच्चों की कुल आयु के बीच का अंतर निकाला जाता है: कुल आयु = बच्चों की संख्या × औसत आयु।

गणना को सरल बनाने के लिए, इकाइयों को महीनों में बदलें: 10 बच्चों की औसत आयु = 9 वर्ष 9 महीने = (9 × 12) + 9 = 117 महीने। 10 बच्चों की कुल आयु = 10 × 117 = 1170 महीने।

9 बच्चों की औसत आयु = 8 वर्ष 11 महीने = (8 × 12) + 11 = 107 महीने। 9 बच्चों की कुल आयु = 9 × 107 = 963 महीने।

दसवें बच्चे की आयु = 10 बच्चों की कुल आयु - 9 बच्चों की कुल आयु दसवें बच्चे की आयु = 1170 - 963 = 207 महीने।

207 महीनों को वापस वर्ष और महीनों में बदलने के लिए, इसे 12 से विभाजित करें: 207 ÷ 12 = 17 वर्ष और 3 महीने (चूंकि 17 × 12 = 204)।

व्याख्या

माना स्थान A पर वस्तु का मूल्य x है। चूंकि स्थान B पर वस्तु की कीमत 15% कम है, इसलिए B पर इसका मूल्य 0.85x है। यात्रा खर्च सहित स्थान B पर वस्तु खरीदने के लिए गोपी का कुल खर्च 0.85x + 150 है। 150 रुपये का लाभ, स्थान A पर मूल्य और स्थान B पर कुल खर्च के बीच का अंतर है:

x - (0.85x + 150) = 150 0.15x - 150 = 150 0.15x = 300 x = (300)/(0.15) = 2000

स्थान A पर वस्तु का मूल्य 2000 रुपये है। लाभ प्रतिशत की गणना स्थान A पर इस मूल मूल्य के सापेक्ष की जाती है:

लाभ% = (लाभ)/(A पर मूल्य) × 100 लाभ% = ¹⁵⁰⁄₂₀₀₀ × 100 = 7.5%

व्याख्या

माना महेश की आय 100 है। यदि मोहन की आय महेश की आय से 150% अधिक है, तो मोहन की आय 100 + 150 = 250 है।

महेश की आय मोहन की आय से कितने प्रतिशत कम है, इसकी गणना करने के लिए, हम मोहन की आय के सापेक्ष उनकी आय के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं: प्रतिशत कमी = (मोहन की आय - महेश की आय)/(मोहन की आय) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत कमी = (250 - 100)/(250) × 100 = ¹⁵⁰⁄₂₅₀ × 100 प्रतिशत कमी = ⅗ × 100 = 60%

इसे मानक सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है, जहाँ यदि आय r% अधिक है, तो विपरीत प्रतिशत कमी (r)/(100 + r) × 100% द्वारा दी जाती है। यहाँ, r = 150 है, इसलिए गणना ¹⁵⁰⁄₂₅₀ × 100 = 60% है।

व्याख्या

जब एक रेलगाड़ी किसी प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी रेलगाड़ी की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है। चूंकि रेलगाड़ी और प्लेटफॉर्म की लंबाई बराबर है, मान लीजिए कि लंबाई L मीटर है। इस प्रकार, तय की गई कुल दूरी D = L + L = 2L मीटर है।

रेलगाड़ी की चाल 90 किमी/घंटा है। इसे मीटर प्रति सेकंड (m/s) में बदलने के लिए, ⁵⁄₁₈ से गुणा करें: चाल = 90 × ⁵⁄₁₈ = 25 मीटर/सेकंड

प्लेटफॉर्म को पार करने में लिया गया समय 1 मिनट है, जो 60 सेकंड के बराबर है। मूल सूत्र दूरी = चाल × समय का उपयोग करने पर: 2L = 25 × 60 2L = 1500 L = ¹⁵⁰⁰⁄₂ = 750

व्याख्या

मूलधन P की गणना साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P · R · T)/(100) का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए मानों SI = 1600, R = 5%, और T = 2 वर्ष को प्रतिस्थापित करने पर: 1600 = (P · 5 · 2)/(100) 1600 = (10P)/(100) = (P)/(10) P = 16000

समान दर पर 3 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना सूत्र CI = P [ (1 + (R)/(100))ⁿ - 1 ] का उपयोग करके की जाती है। P = 16000, R = 5, और n = 3 प्रतिस्थापित करने पर: CI = 16000 [ (1 + ⁵⁄₁₀₀)³ - 1 ] CI = 16000 [ (²¹⁄₂₀)³ - 1 ] CI = 16000 [ ⁹²⁶¹⁄₈₀₀₀ - 1 ] CI = 16000 [ (9261 - 8000)/(8000) ] CI = 16000 · ¹²⁶¹⁄₈₀₀₀ CI = 2 · 1261 = 2522

व्याख्या

x + ¹⁄ₓ = k के रूप वाले किसी भी व्यंजक के लिए, x³ + (1)/(x³) का मान बीजीय सर्वसमिका k³ - 3k द्वारा दिया जाता है। यह (x + ¹⁄ₓ)³ = x³ + (1)/(x³) + 3(x)(¹⁄ₓ)(x + ¹⁄ₓ) के विस्तार से प्राप्त होता है।

दिया गया है कि x + ¹⁄ₓ = √3, हम सूत्र में k = √3 प्रतिस्थापित करते हैं:

x³ + (1)/(x³) = (√3)³ - 3(√3)

पदों की गणना करने पर: (√3)³ = √3 × √3 × √3 = 3√3 3(√3) = 3√3

इन्हें वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x³ + (1)/(x³) = 3√3 - 3√3 = 0

व्याख्या

दिए गए समीकरण (a)/(b) + ᵇ⁄ₐ = 1 को, हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर सरल किया जा सकता है: (a² + b²)/(ab) = 1 दोनों पक्षों को ab से गुणा करने पर प्राप्त होता है: a² + b² = ab पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a² - ab + b² = 0

दो घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) है: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) इस सर्वसमिका में प्राप्त मान a² - ab + b² = 0 रखने पर: a³ + b³ = (a + b) × 0 a³ + b³ = 0

व्याख्या

व्यंजक (p)/(q) + (q)/(p) का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले एक समान हर (common denominator) ज्ञात करके इसे सरल करते हैं। पदों का तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(p · p + q · q)/(pq) = (p² + q²)/(pq)

दिए गए समीकरण के अनुसार p² + q² = 7pq है। इस संबंध को हमारे व्यंजक के अंश (numerator) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(7pq)/(pq)

अंश और हर दोनों को उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) pq से विभाजित करने पर अचर मान 7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस मान की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका x(x² + 3x + 3) = x³ + 3x² + 3x का उपयोग करके की जाती है। 1 जोड़ने और घटाने पर, इस व्यंजक को (x³ + 3x² + 3x + 1) - 1 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो कि (x + 1)³ - 1 का द्विपद प्रसार है। इस सर्वसमिका में x = 99 का दिया गया मान रखने पर:

(99 + 1)³ - 1 = 100³ - 1

100 की घात की गणना करने पर:

100³ = 1,000,000

इस परिणाम में से 1 घटाने पर:

1,000,000 - 1 = 999,999

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, केन्द्रक G उसकी तीनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। केन्द्रक का एक मूलभूत ज्यामितीय गुण यह है कि यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले तीन छोटे त्रिभुजों में विभाजित करता है: △ AGB, △ BGC, और △ CGA। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज △ ABC के क्षेत्रफल के ठीक एक-तिहाई के बराबर होता है।

दिया गया है कि △ ABC का क्षेत्रफल = 72 वर्ग इकाई है, △ BGC के क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

क्षेत्रफल(△ BGC) = ⅓ × क्षेत्रफल(△ ABC)

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल(△ BGC) = ⅓ × 72 = 24 वर्ग इकाई।

क्षेत्रफल की यह समानता इसलिए होती है क्योंकि तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं, और केन्द्रक तथा दो शीर्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज (जैसे △ BGC) उन छह छोटी इकाइयों में से दो से मिलकर बना होता है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का लंबकेंद्र वह संगामी बिंदु होता है जहाँ तीनों शीर्षलंब (altitudes) एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। एक न्यूनकोण त्रिभुज में, प्रत्येक आंतरिक कोण 90° से कम होता है। जब ऐसे त्रिभुज में किसी शीर्ष से सम्मुख भुजा पर शीर्षलंब खींचा जाता है, तो वह लंबवत रेखाखंड अनिवार्य रूप से त्रिभुज के आंतरिक भाग में ही आता है। चूंकि तीनों शीर्षलंब त्रिभुज की सीमा के भीतर होते हैं, इसलिए उनका पारस्परिक प्रतिच्छेद बिंदु भी त्रिभुज के अंदर ही स्थित होना चाहिए। यह स्थितिजन्य गुण त्रिभुज के केंद्रों की एक मूलभूत विशेषता है, जहाँ त्रिभुज के सापेक्ष लंबकेंद्र की स्थिति पूरी तरह से उसके कोणों की प्रकृति द्वारा निर्धारित होती है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों Δ PQR और Δ LMN के लिए, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं:

(PQ)/(LM) = (QR)/(MN) = (PR)/(LN)

दिए गए समीकरण 3PQ = LM से, भुजा PQ का LM से अनुपात इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:

(PQ)/(LM) = ⅓

इस अनुपात और दी गई लंबाई MN = 9 सेमी को भुजा QR के लिए आनुपातिकता संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

⅓ = (QR)/(9)

QR के लिए हल करने पर:

QR = ⁹⁄₃ = 3 सेमी

व्याख्या

एक वृत्त में, जीवा पर लंबवत त्रिज्या उस जीवा को समद्विभाजित करती है। चूंकि OC, बिंदु P पर जीवा AB के लंबवत त्रिज्या का एक हिस्सा है, इसलिए यह जीवा को दो बराबर खंडों में विभाजित करता है, AP = PB = 6/2 = 3 सेमी। रेखाखंड CP को केंद्र O से होकर वृत्त के विपरीत दिशा में एक बिंदु D तक आगे बढ़ाने पर, हम एक व्यास CD बनाते हैं। प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय के अनुसार, एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। इस प्रकार, AP · PB = CP · PD। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 3 · 3 = 2 · PD, जिससे PD = 4.5 सेमी प्राप्त होता है। वृत्त का व्यास रेखाखंड CD की कुल लंबाई है, जिसकी गणना CP + PD = 2 + 4.5 = 6.5 सेमी के रूप में की जाती है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x² = (1/2)² + 4(1)² - (2)² प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² = 1/4 + 4 - 4 = 1/4 हो जाता है। चूंकि प्रश्न में निर्दिष्ट है कि x > 0 है, इसलिए x का मान 1/2 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 7sin²θ + 3cos²θ = 4 में cos²θ = 1 - sin²θ प्रतिस्थापित करके हल करने पर 4sin²θ = 1, या sinθ = 1/2 प्राप्त होता है। यह θ = 30° के संगत है, और व्यंजक secθ + cscθ का मान निकालने पर sec 30° + csc 30° = 2/√3 + 2 प्राप्त होता है। चूंकि यह मान 2/3 + 2 या दिए गए अन्य विशिष्ट विकल्पों के बराबर नहीं है, इसलिए सही विकल्प 'इनमें से कोई नहीं' है।

व्याख्या

मान लीजिए पर्वत की ऊंचाई h = 500 मीटर है। चोटी से दोनों नावों के अवनमन कोण 45° और 30° हैं, जो नावों से पर्वत की चोटी के उन्नयन कोणों के बराबर हैं। मान लीजिए कि पर्वत के आधार से दोनों नावों की दूरियां क्रमशः x और y हैं।

त्रिकोणमितीय संबंध tan θ = (लंब)/(आधार) का उपयोग करने पर:

पर्वत के निकट वाली नाव द्वारा बनने वाले त्रिभुज में: tan 45° = 500/x 1 = 500/x ⟹ x = 500 मीटर

पर्वत से दूर वाली नाव द्वारा बनने वाले त्रिभुज में: tan 30° = 500/y 1/√3 = 500/y ⟹ y = 500√3 मीटर

चूंकि दोनों नावें पर्वत के एक ही ओर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी उनके आधार से दूरियों का अंतर है: दूरी = y - x = 500√3 - 500 दूरी = 500(√3 - 1)

√3 ≈ 1.732 मान रखने पर: दूरी = 500(1.732 - 1) = 500 × 0.732 = 366 मीटर

व्याख्या

एक निश्चित कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की संख्या (M) और दिनों की संख्या (D) के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होता है, जिसे श्रृंखला नियम (chain rule) के सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि दोनों ही स्थितियों में दीवार की लंबाई 140 मीटर पर स्थिर रहती है, इसलिए कार्य का घटक निरस्त (cancel) हो जाता है, और हम केवल आवश्यक मानव-दिनों (man-days) पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

दिया गया है: M₁ = 36 पुरुष, D₁ = 21 दिन, और D₂ = 14 दिन, आवश्यक पुरुषों की संख्या (M₂) ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:

36 × 21 = M₂ × 14

M₂ का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

M₂ = (36 × 21)/(14)

21 और 14 दोनों को 7 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

M₂ = (36 × 3)/(2)

M₂ = 18 × 3 = 54

व्याख्या

मान लीजिए कि वर्ग की भुजा s है और आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः l और b हैं। दिया गया है कि उनके परिमाप बराबर हैं, 4s = 2(l + b), जिससे प्राप्त होता है s = (l + b)/(2)। वर्ग का क्षेत्रफल A = s² = ((l + b)/(2))² है और आयत का क्षेत्रफल B = lb है।

क्षेत्रफलों के बीच के संबंध को समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जो यह बताती है कि किन्हीं भी धनात्मक संख्याओं l और b के लिए, (l + b)/(2) ≥ √(lb) होता है। इस असमिका के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ((l + b)/(2))² ≥ lb प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है A ≥ B। ज्यामितीय संदर्भ में, एक निश्चित परिमाप के लिए, वर्ग वह विशिष्ट आयत होता है जो अधिकतम संभव क्षेत्रफल को घेरता है। चूंकि इस तुलना में वर्ग और आयत को अलग-अलग आकृतियों के रूप में उल्लेखित किया गया है, इसलिए l ≠ b होगा, जिससे यह असमिका सख्त (strict) हो जाती है। इसे गणितीय रूप से अंतर A - B = ((l + b)²)/(4) - lb = (l² + b² + 2lb - 4lb)/(4) = ((l - b)²)/(4) द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। चूंकि किसी भी गैर-शून्य संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, इसलिए A - B > 0, जिससे पुष्टि होती है कि A > B है।

व्याख्या

दी गई छूट के प्रतिशत का अंतर 20% - 10% = 10% है। छूट में यह 10% का अंतर क्रय मूल्य में ₹ 125 की कमी के बराबर है। माना M घड़ी का अंकित मूल्य है। छूट के अंतर और मूल्य के अंतर के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: M का 10% = 125 ¹⁰⁄₁₀₀ × M = 125 M = 125 × 10 M = 1250

व्याख्या

जब टेप रिकॉर्डर को 4% लाभ पर ₹ 1040 में बेचा जाता है, तो उसका क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + लाभ%) का उपयोग करते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

CP = (1040 × 100)/(100 + 4) = (1040 × 100)/(104) = 10 × 100 = ₹ 1000

अब, यदि टेप रिकॉर्डर को ₹ 950 के नए विक्रय मूल्य (SP) पर बेचा जाता है, तो होने वाली हानि की गणना इस प्रकार की जाती है: हानि = CP - SP

हानि = 1000 - 950 = ₹ 50

हानि प्रतिशत को सूत्र हानि% = (हानि)/(CP) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है।

हानि% = ⁵⁰⁄₁₀₀₀ × 100 = 5%

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र A = s² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ s उसकी भुजा की लंबाई को दर्शाता है। जब किसी वर्ग की भुजा में एक निश्चित प्रतिशत की वृद्धि की जाती है, तो क्षेत्रफल में होने वाली वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है। वर्ग के मामले में, चूंकि दोनों विमाएँ (लंबाई और चौड़ाई) बराबर होती हैं और दोनों में समान प्रतिशत की वृद्धि होती है, इसलिए हम सूत्र में x = 10 और y = 10 रखते हैं।

गणना करने पर: प्रतिशत वृद्धि = 10 + 10 + (10 × 10)/(100) प्रतिशत वृद्धि = 20 + ¹⁰⁰⁄₁₀₀ प्रतिशत वृद्धि = 20 + 1 = 21

इस परिणाम को एक प्रारंभिक भुजा लंबाई मानकर भी सत्यापित किया जा सकता है। यदि वर्ग की मूल भुजा 10 इकाई है, तो मूल क्षेत्रफल 10 × 10 = 100 वर्ग इकाई होगा। 10% की वृद्धि के बाद, नई भुजा की लंबाई 11 इकाई हो जाती है। नया क्षेत्रफल 11 × 11 = 121 वर्ग इकाई होगा। क्षेत्रफल में वृद्धि 121 - 100 = 21 वर्ग इकाई है, जो 100 के मूल क्षेत्रफल के सापेक्ष 21% की वृद्धि के अनुरूप है।