आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2026 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक अनुपात a:b :: c:d में, चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है (a × d = b × c)।

पहले अनुपात के लिए, 4 × x = 28 × 4.1 x = (28 × 4.1) / 4 = 7 × 4.1 = 28.7

दूसरे अनुपात के लिए, 4 × y = 32 × 3 y = (32 × 3) / 4 = 8 × 3 = 24

x का y से अनुपात x : y = 28.7 : 24 = 287 : 240 है।

व्याख्या

जब दोनों निवेशकों के लिए समय अवधि समान होती है, तो लाभ साझाकरण अनुपात सीधे निवेश अनुपात के समानुपाती होता है।

कुल अनुपात भाग = 31 + 34 = 65 भाग अनुपात भागों में अंतर = 34 - 31 = 3 भाग

लाभ के हिस्सों में अंतर = कुल लाभ × (भागों में अंतर / कुल भाग) अंतर = 44,850 × (3 / 65) = 690 × 3 = ₹2,070

व्याख्या

चूंकि AB व्यास है, वृत्त पर किसी भी बिंदु पर AB द्वारा बनाया गया कोण समकोण होता है, इसलिए ∠ACB = 90° और ∠ADB = 90°।

समकोण त्रिभुज ABC में, ∠ABC = 90° - ∠CAB = 90° - 48° = 42°। समकोण त्रिभुज ABD में, ∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 55° = 35°।

चूंकि C और D व्यास AB के विपरीत दिशा में स्थित हैं: ∠CBD = ∠ABC + ∠ABD = 42° + 55° = 97° ∠CAD = ∠CAB + ∠BAD = 48° + 35° = 83°

अंतर = ∠CBD - ∠CAD = 97° - 83° = 14°।

संक्षिप्त सूत्र: अंतर = 2 × (∠ABD - ∠CAB) = 2 × (55° - 48°) = 14°।

व्याख्या

व्युत्क्रम विचरण सूत्र M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का प्रयोग करके:

पुरुषों की प्रारंभिक संख्या (M₁) = 100 दिनों की प्रारंभिक संख्या (D₁) = 27 शेष पुरुष (M₂) = 100 - 55 = 45

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 100 × 27 = 45 × D₂ D₂ = (100 × 27) / 45 D₂ = 2700 / 45 = 60 दिन

व्याख्या

माना अनुपात गुणक x है। प्रकार P, Q, और R के लेखों की संख्या क्रमशः 4x, 2x, और 5x है।

कुल लागत = (4x × ₹280) + (2x × ₹180) + (5x × ₹115) = ₹6,165

1120x + 360x + 575x = 6165

2055x = 6165

x = 6165 ÷ 2055 = 3

प्रकार Q के लेखों की संख्या = 2x = 2 × 3 = 6।

व्याख्या

बहुलकी वर्ग उच्चतम बारंबारता वाला वर्ग अंतराल है, जो कि 30-40 (बारंबारता = 20) है।

समूहबद्ध डेटा के बहुलक का सूत्र है: बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

जहाँ: L = बहुलकी वर्ग की निम्न सीमा = 30 f₁ = बहुलकी वर्ग की बारंबारता = 20 f₀ = पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता = 12 f₂ = अनुवर्ती वर्ग की बारंबारता = 10 h = वर्ग चौड़ाई = 10

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: बहुलक = 30 + [(20 - 12) / (2 × 20 - 12 - 10)] × 10 बहुलक = 30 + [8 / (40 - 22)] × 10 बहुलक = 30 + (8 / 18) × 10 बहुलक = 30 + 4.44 = 34.44

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

कुल दूरी = (20 मीटर/मिनट × 90 मिनट) + (55 मीटर/मिनट × 60 मिनट) = 1800 मीटर + 3300 मीटर = 5100 मीटर

कुल समय = 90 मिनट + 60 मिनट = 150 मिनट

औसत गति = 5100 / 150 = 34 मीटर/मिनट

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

खंड PQ, QR, और RS की दूरियाँ 2:3:1 के अनुपात में हैं और कुल दूरी 480 किमी है। अनुपात भागों का योग = 2 + 3 + 1 = 6 भाग। PQ की दूरी = (2/6) × 480 = 160 किमी QR की दूरी = (3/6) × 480 = 240 किमी RS की दूरी = (1/6) × 480 = 80 किमी

प्रत्येक खंड के लिए लिया गया समय: PQ के लिए समय = 160 / 48 = 10/3 घंटे QR के लिए समय = 240 / 72 = 10/3 घंटे RS के लिए समय = 80 / 96 = 5/6 घंटे

कुल समय = 10/3 + 10/3 + 5/6 = 45/6 = 15/2 घंटे

औसत गति = 480 / (15/2) = 480 × 2 / 15 = 64 किमी/घंटा

व्याख्या

एक ठोस घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × a², जहाँ a भुजा की लंबाई है।

दी गई भुजा की लंबाई a = 84 सेमी।

a² = 84² = 7056 सेमी²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 7056 = 42336 सेमी²

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत, जब कोई धनराशि P, समय T = 5 वर्षों में स्वयं की 5 गुनी हो जाती है, तो कुल राशि A = 5P होती है।

साधारण ब्याज (SI) = A - P = 5P - P = 4P

सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके: 4P = (P × R × 5) / 100 4 = 5R / 100 R = 400 / 5 = 80%

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज राशि सूत्र A = P(1 + r/100)ᵗ का उपयोग करते हुए, जहाँ r = 10%:

पीयूष की राशि = मनोज की राशि P × (1 + 10/100)¹⁸ = M × (1 + 10/100)¹⁹ P × (1.1)¹⁸ = M × (1.1)¹⁹ P = M × 1.1 = 11M/10

पीयूष के हिस्से और मनोज के हिस्से का अनुपात P : M = 11 : 10 है। कुल भाग = 11 + 10 = 21 भाग = ₹1407। 1 भाग = 1407 / 21 = ₹67।

मनोज का हिस्सा = 10 भाग = 10 × 67 = ₹670।

व्याख्या

मान लीजिए N पंजीकृत मतदाताओं की कुल संख्या है।

डाले गए मत = 0.80 × N वैध मत = 0.90 × (0.80 × N) = 0.72 × N

विजेता उम्मीदवार को वैध मतों का 89% प्राप्त हुआ, जिससे हारने वाले उम्मीदवार के लिए 11% बचा। जीत का अंतर वैध मतों का 89% - 11% = 78% है।

अंतर = 0.78 × 0.72 × N = 0.5616 × N

दिया गया अंतर = 351: 0.5616 × N = 351 N = 351 / 0.5616 = 625

व्याख्या

(A + B + C) द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य = 1/54 (B + C) द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य = 1/56

A द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य = 1/54 - 1/56 = 2 / (54 × 56) = 1/1512

चूंकि B, A की तुलना में 75% अधिक कुशल है: B द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य = 1.75 × (1/1512) = (7/4) × (1/1512) = 1/864

A, B और C द्वारा मिलकर 52 दिनों में पूरा किया गया कार्य = 52/54 = 26/27 शेष कार्य = 1 - 26/27 = 1/27

शेष कार्य को B अकेले पूरा करने में लिया गया समय = (1/27) ÷ (1/864) = 864 ÷ 27 = 32 दिन।

व्याख्या

प्रत्येक दशमलव पद का घनमूल अलग-अलग ज्ञात करें:

∛0.216 = 0.6 ∛0.001 = 0.1 ∛0.008 = 0.2

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें:

0.6 + 0.1 - 0.2 = 0.5

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - y)² = x² + y² - 2xy का उपयोग करके, हम x² + y² + xy को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

x² + y² + xy = (x - y)² + 3xy

दिए गए मान x - y = 5 और xy = 21 को प्रतिस्थापित करने पर:

x² + y² + xy = 5² + 3 × 21 = 25 + 63 = 88

व्याख्या

कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।

संख्या 718A5104 में, अंतिम दो अंक 04 बनाते हैं, जो 4 से विभाज्य है (04 ÷ 4 = 1)। चूँकि 4 से विभाज्यता पूरी तरह से अंतिम दो अंकों पर निर्भर करती है, अंक A के मान का पूरी संख्या की विभाज्यता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए, A 0 से 9 तक कोई भी एकल-अंकीय मान ले सकता है।

A के लिए अधिकतम संभव एकल-अंकीय मान 9 है।

व्याख्या

वृत्ताकार पाइप की त्रिज्या r = 1 सेमी, प्रवाह दर v = 5 मी/से = 500 सेमी/से, टंकी की त्रिज्या R = 100 सेमी, और समय t = 13 मिनट = 780 सेकंड।

पाइप द्वारा निर्वहन किए गए पानी की मात्रा = टंकी में जोड़े गए पानी की मात्रा π × r² × v × t = π × R² × h

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1² × 500 × 780 = 100² × h 390,000 = 10,000 × h h = 39 सेमी

व्याख्या

प्रति दर्जन क्रय मूल्य = ₹630

प्रति दर्जन विक्रय मूल्य = 12 × ₹63 = ₹756

प्रति दर्जन लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = ₹756 - ₹630 = ₹126

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (126 / 630) × 100 = 20%

चूंकि लाभ प्रतिशत पूरी तरह से इकाई क्रय मूल्य और इकाई विक्रय मूल्य के अनुपात पर निर्भर करता है, इसलिए 42 दर्जन की कुल मात्रा गणना को प्रभावित नहीं करती है।

व्याख्या

घर के किराए, भोजन और उपयोगिता बिलों पर राघव का मासिक व्यय = ₹7,500 + ₹3,500 = ₹11,000

मासिक बचत = मासिक वेतन - मासिक व्यय = ₹24,000 - ₹11,000 = ₹13,000

चूंकि वह अपने जन्मदिन के महीने में अपनी पूरी बचत खर्च कर देता है, इसलिए वह वर्ष के 11 महीनों के दौरान पैसे बचाता है।

कुल वार्षिक बचत = ₹13,000 × 11 = ₹1,43,000।

व्याख्या

समूहबद्ध आँकड़ों का माध्य सूत्र माध्य = Σ(f × x) / Σf द्वारा दिया जाता है, जहाँ f वर्ग आवृत्ति को दर्शाता है और x प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु (वर्ग चिह्न) को दर्शाता है।

वर्ग अंतरालों के लिए मध्य-बिंदु हैं: 0-8 के लिए: x = 4 8-16 के लिए: x = 12 16-24 के लिए: x = 20 24-32 के लिए: x = 28 32-40 के लिए: x = 36 40-48 के लिए: x = 44

आवृत्तियों का योग Σf = 2 + 4 + 7 + 5 + 3 + 6 = 27

गुणनफलों का योग Σ(f × x) = (2 × 4) + (4 × 12) + (7 × 20) + (5 × 28) + (3 × 36) + (6 × 44) = 8 + 48 + 140 + 140 + 108 + 264 = 708

माध्य = 708 / 27 = 26.222... ≈ 26.22

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय।

यात्रा के प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय ज्ञात करना: समय 1 = 48 किमी ÷ 12 किमी/घंटा = 4 घंटे समय 2 = 52 किमी ÷ 13 किमी/घंटा = 4 घंटे समय 3 = 120 किमी ÷ 15 किमी/घंटा = 8 घंटे

कुल दूरी = 48 + 52 + 120 = 220 किमी कुल समय = 4 + 4 + 8 = 16 घंटे

औसत गति = 220 किमी ÷ 16 घंटे = 13.75 किमी/घंटा

व्याख्या

माना 1000 ग्राम माल का क्रय मूल्य ₹1000 है।

चूंकि दुकानदार 55% हानि पर बेचने का दावा करता है, इसलिए नकली वजन के लिए लिया गया विक्रय मूल्य ₹1000 × (1 - 0.55) = ₹450 है।

माना उसके द्वारा उपयोग किया गया वास्तविक वजन x ग्राम है। x ग्राम माल का वास्तविक क्रय मूल्य उसके लिए ₹x है।

चूंकि वह वास्तव में इस लेन-देन पर 75% लाभ कमाता है: विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ%) 450 = x × (1 + 0.75) 450 = 1.75 × x x = 450 ÷ 1.75 = 1800 ÷ 7 = 257.14 ग्राम ≈ 257.1 ग्राम

व्याख्या

लाभ का हिस्सा निवेशित पूंजी और निवेश की अवधि के गुणनफल के समानुपाती होता है।

मान लीजिए X, Y और Z का प्रारंभिक मासिक निवेश क्रमशः 5, 3 और 7 इकाई है।

1 वर्ष के लिए प्रभावी पूंजी-माह निवेश: X = (5 × 6) + (2.5 × 6) = 45 इकाई Y = 3 × 12 = 36 इकाई Z = 7 × 12 = 84 इकाई

लाभ के हिस्सों का अनुपात X : Y : Z = 45 : 36 : 84 = 15 : 12 : 28

कुल अनुपात इकाई = 15 + 12 + 28 = 55 इकाई

प्रति अनुपात इकाई का मान = ₹55,000 / 55 = ₹1,000

X और Y के लाभ के हिस्से का अंतर = (15 - 12) × ₹1,000 = 3 × ₹1,000 = ₹3,000

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ का उपयोग करते हुए, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक दर है, और n वर्षों में समय है।

मान लीजिए कृष्ण का हिस्सा K है और वीर का हिस्सा V है। चूँकि r = 10% है, वार्षिक गुणक (1 + 10/100) = 11/10 है।

13 वर्षों के बाद कृष्ण की राशि को 14 वर्षों के बाद वीर की राशि के बराबर करने पर: K × (11/10)¹³ = V × (11/10)¹⁴

दोनों पक्षों को (11/10)¹³ से विभाजित करने पर: K = V × (11/10) K / V = 11 / 10

कृष्ण के हिस्से और वीर के हिस्से का अनुपात 11 : 10 है। अनुपात भागों का योग 11 + 10 = 21 भाग है।

1 भाग का मान = 1407 / 21 = 67

वीर का हिस्सा = 10 × 67 = ₹670

व्याख्या

BODMAS नियम (संचालन का क्रम) का पालन करते हुए, जोड़ और घटाव से पहले बाएं से दाएं भाग और गुणा करें:

भाग: (-56) ÷ (-14) = 4 गुणा: (-2) × 8 = -16

इनको वापस व्यंजक में रखने पर: (-9) - 4 + (-16)

अब, बाएं से दाएं घटाव और जोड़ करें: -9 - 4 = -13 -13 - 16 = -29

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि के दोगुना होने के लिए, प्रति वर्ष ब्याज की दर का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

R = [(n - 1) × 100] / T

यहाँ, n = 2 (क्योंकि धनराशि दोगुनी हो जाती है) और T = 15 वर्ष।

R = [(2 - 1) × 100] / 15 = 100 / 15 = 20 / 3 = 6.666... ≈ 6.67%

व्याख्या

धारा के विपरीत चाल = दूरी / धारा के विपरीत समय = 80 / 4 = 20 किमी/घंटा।

धारा की चाल = शांत जल में चाल - धारा के विपरीत चाल = 25 - 20 = 5 किमी/घंटा।

धारा के साथ चाल = शांत जल में चाल + धारा की चाल = 25 + 5 = 30 किमी/घंटा।

धारा के साथ समय = दूरी / धारा के साथ चाल = 80 / 30 = 2⅔ घंटे = 2 घंटे 40 मिनट।

कुल समय = धारा के विपरीत समय + धारा के साथ समय = 4 घंटे + 2 घंटे 40 मिनट = 6 घंटे 40 मिनट।

व्याख्या

घंटियाँ उनके व्यक्तिगत बजने के समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बराबर समय अंतराल पर एक साथ बजती हैं।

LCM(18, 24, 30) = 360 मिनट = 6 घंटे।

घंटियाँ हर 6 घंटे में एक साथ बजती हैं।

पहली बार = सुबह 6:30 दूसरी बार = सुबह 6:30 + 6 घंटे = दोपहर 12:30 तीसरी बार = दोपहर 12:30 + 6 घंटे = शाम 6:30

व्याख्या

मान लीजिए दो क्रमागत विषम प्राकृत संख्याएँ n - 1 और n + 1 हैं, तो उनका योग 2n है।

बीजगणितीय विस्तार (n - 1)² + (n + 1)² = 2n² + 2 का उपयोग करके, वर्गों का दिया गया योग प्रतिस्थापित करें:

2n² + 2 = 5002 2n² = 5000 n² = 2500 n = 50

दो संख्याओं का योग 2n = 2 × 50 = 100 है।

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य (CP) = 100

अंकित मूल्य (MP) = 100 + 150 = 250

130% लाभ प्राप्त करने के लिए विक्रय मूल्य (SP) = 100 + 130 = 230

छूट = MP - SP = 250 - 230 = 20

छूट % = (छूट / MP) × 100 = (20 / 250) × 100 = 8%

व्याख्या

कुल औसत की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है: कुल औसत = Σ(n × x) / Σn।

समूह A, B और C के सदस्यों के अनुपात को सरल बनाना: अनुपात = 30 : 72 : 75 = 10 : 24 : 25 अनुपात भार का योग = 10 + 24 + 25 = 59

भारित कुल व्यय = (10 × 434) + (24 × 324) + (25 × 280) = 4340 + 7776 + 7000 = 19116

कुल औसत = 19116 / 59 = 324

व्याख्या

x = 2, y = -2, और z = 5 को तीन समीकरणों में प्रतिस्थापित करने से सीधे हल की पुष्टि होती है:

पहला समीकरण: 3(2) - 4(-2) = 6 + 8 = 14, और 6(5) - 16 = 30 - 16 = 14।

दूसरा समीकरण: -4(2) + (-2) + 5 = -8 - 2 + 5 = -5।

तीसरा समीकरण: 3(-2) + 2(5 - 1) = -6 + 8 = 2, जो x के बराबर है।

तीनों समीकरण एक साथ संतुष्ट होते हैं।

व्याख्या

माध्य से माध्य विचलन का सूत्र Σ|x - x̄| / n है, जहाँ x̄ अंकगणितीय माध्य है और n प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

सबसे पहले, माध्य की गणना करें: x̄ = (58 + 65 + 42 + 66 + 49 + 59 + 44 + 45 + 62 + 60) / 10 = 550 / 10 = 55

अगला, माध्य से निरपेक्ष विचलन |x - x̄| ज्ञात करें: |58 - 55| = 3, |65 - 55| = 10, |42 - 55| = 13, |66 - 55| = 11, |49 - 55| = 6, |59 - 55| = 4, |44 - 55| = 11, |45 - 55| = 10, |62 - 55| = 7, |60 - 55| = 5

निरपेक्ष विचलनों का योग = 3 + 10 + 13 + 11 + 6 + 4 + 11 + 10 + 7 + 5 = 80

माध्य विचलन = 80 / 10 = 8

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र का उपयोग करके: M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂

यहाँ, M₁ = 15 पुरुष, D₁ = 20 दिन, H₁ = 6 घंटे प्रति दिन, M₂ = 18 पुरुष, H₂ = 5 घंटे प्रति दिन, और D₂ दिनों की आवश्यक संख्या है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 15 × 20 × 6 = 18 × D₂ × 5 1800 = 90 × D₂ D₂ = 1800 / 90 = 20 दिन

व्याख्या

बाह्य बिंदु A को केंद्र O से जोड़ने वाला रेखाखंड AO, जीवा BC को बिंदु M पर लंबवत रूप से समद्विभाजित करता है।

BM = BC ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 सेमी

समकोण त्रिभुज AMB में: AM = √(AB² - BM²) = √(30² - 12²) = √(900 - 144) = √756 = 6√21 सेमी

समकोण त्रिभुज ABO में, ∠ABO = 90° और BM कर्ण AO पर शीर्षलंब है। समरूप त्रिभुजों द्वारा: BM² = AM × MO 12² = 6√21 × MO 144 = 6√21 × MO MO = 24 / √21 सेमी

समकोण त्रिभुज BMO में: r² = BM² + MO² = 12² + (24 / √21)² = 144 + 576 / 21 = 144 + 192 / 7 = 1200 / 7 ≈ 171.43 r = √(1200 / 7) ≈ 13.09 सेमी

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 13 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

यदि C, AB लघु चाप पर स्थित है, तो AB जीवा द्वारा दीर्घ चाप पर किसी भी बिंदु D पर बनाया गया कोण ∠ADB = 180° - ∠ACB = 180° - 124° = 56° है।

AB जीवा द्वारा केंद्र P पर बनाया गया केंद्रीय कोण, दीर्घ चाप पर बने कोण का दोगुना होता है: ∠APB = 2 × ∠ADB = 2 × 56° = 112°

चतुर्भुज APBM में, चूँकि त्रिज्या PA और PB स्पर्शरेखाओं MA और MB पर लंबवत हैं, सम्मुख कोण ∠APB और ∠AMB संपूरक होते हैं: ∠AMB = 180° - ∠APB = 180° - 112° = 68°

सीधा सूत्र: ∠AMB = 2 × ∠ACB - 180° = 2(124°) - 180° = 68°

व्याख्या

चीनी और मैदा का अनुपात = 3 : 4

सीधे अनुपात का उपयोग करके: चीनी / मैदा = 3 / 4

चीनी के लिए 12 कप प्रतिस्थापित करने पर: 12 / मैदा = 3 / 4 मैदा = 12 × (4 / 3) = 16 कप

व्याख्या

छह क्रमागत सम संख्याओं के लिए, औसत तीसरी और चौथी संख्या के बीच के मध्य मान के बराबर होता है। छह संख्याओं को x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8, और x + 10 के रूप में व्यक्त करने पर, उनका औसत x + 5 होता है।

दिया गया औसत = 175: x + 5 = 175 x = 170

इन संख्याओं में सबसे छोटी संख्या 170 है।

व्याख्या

अर्धगोले के आयतन का सूत्र V = (2/3)πr³ है, जहाँ r त्रिज्या है। चूँकि व्यास 14 सेमी है, त्रिज्या r = 7 सेमी है। सूत्र में r = 7 सेमी और π = 22/7 रखने पर:

V = (2/3) × (22/7) × 7³ V = (2/3) × 22 × 49 V = 2156 / 3 = 718.67 सेमी³

व्याख्या

जब तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं तो प्रति घंटा शुद्ध भरने की दर = 1/4 + 1/37 - 1/37 = 1/4 टंकी प्रति घंटा।

खाली टंकी का एक-चौथाई भाग भरने के लिए: समय = (1/4) ÷ (1/4) = 1 घंटा।

व्याख्या

समावेशी वर्ग सीमाओं वाले समूहीकृत आवृत्ति वितरण का बहुलक ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक सीमा को 0.5 से समायोजित करके वर्गों को सतत सीमाओं में परिवर्तित करें:

34.5 - 44.5: 10 44.5 - 54.5: 20 54.5 - 64.5: 30 64.5 - 74.5: 25 74.5 - 84.5: 10 84.5 - 94.5: 5

बहुलक वर्ग 54.5 - 64.5 है क्योंकि इसकी अधिकतम आवृत्ति 30 है।

बहुलक सूत्र: बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

जहाँ: L = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा = 54.5 f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति = 30 f₀ = पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति = 20 f₂ = अनुवर्ती वर्ग की आवृत्ति = 25 h = वर्ग का आकार = 10

बहुलक = 54.5 + [(30 - 20) / (2 × 30 - 20 - 25)] × 10 बहुलक = 54.5 + [10 / (60 - 45)] × 10 बहुलक = 54.5 + (10 / 15) × 10 बहुलक = 54.5 + 6.67 = 61.17

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

खंड 1 के लिए लिया गया समय = 336 / 24 = 14 घंटे खंड 2 के लिए लिया गया समय = 925 / 5 = 185 घंटे खंड 3 के लिए लिया गया समय = 432 / 12 = 36 घंटे

कुल दूरी = 336 + 925 + 432 = 1693 किमी कुल समय = 14 + 185 + 36 = 235 घंटे

औसत गति = 1693 / 235 = 7 48/235 किमी/घंटा

व्याख्या

केंद्रीय कोण θ और त्रिज्या r वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई का सूत्र L = (θ / 360°) × 2πr है।

θ = 45°, r = 8 इकाई, और π = 22/7 रखने पर:

L = (45° / 360°) × 2 × (22 / 7) × 8

चूंकि 45° / 360° = 1/8:

L = (1 / 8) × 2 × (22 / 7) × 8 = 2 × (22 / 7) = 44 / 7 इकाई

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

चूंकि x का 20% , 620 के 20% से 220 अधिक है: (x - 620) का 20% = 220 (1 / 5) × (x - 620) = 220 x - 620 = 220 × 5 x - 620 = 1100 x = 1100 + 620 = 1720

व्याख्या

माना प्रत्येक प्रकार की खरीदी गई चॉकलेट की संख्या 9 है।

पहली प्रकार की 9 चॉकलेट का क्रय मूल्य = ₹8 दूसरी प्रकार की 9 चॉकलेट का क्रय मूल्य = 9 × ₹8 = ₹72 18 चॉकलेट का कुल क्रय मूल्य = ₹8 + ₹72 = ₹80

1 चॉकलेट का विक्रय मूल्य = ₹8 18 चॉकलेट का कुल विक्रय मूल्य = 18 × ₹8 = ₹144

लाभ = कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य = ₹144 - ₹80 = ₹64 लाभ प्रतिशत = (लाभ / कुल क्रय मूल्य) × 100 = (64 / 80) × 100 = 80%

व्याख्या

तीनों नलों को एक साथ खोलने पर प्रति घंटा शुद्ध भरने की दर = 1/4 + 1/31 - 1/31 = 1/4 टंकी प्रति घंटा।

टंकी का 1/4 भाग भरने के लिए आवश्यक समय = (1/4) ÷ (1/4) = 1 घंटा।

व्याख्या

k का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम a, b, और c के सबसे छोटे मान्य मान निर्धारित करते हैं।

चूँकि 12, b को विभाजित करता है और 18, b को विभाजित करता है, इसलिए b, 12 और 18 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का गुणज होना चाहिए: lcm(12, 18) = 36, इसलिए b ≥ 36।

चूँकि gcd(a, b) = 12, इसलिए 12, a को विभाजित करता है, अतः a ≥ 12।

चूँकि gcd(b, c) = 18, इसलिए 18, c को विभाजित करता है, अतः c ≥ 18।

सबसे छोटे संभव मानों a = 12, b = 36, और c = 18 का परीक्षण करने पर: gcd(12, 36) = 12 gcd(36, 18) = 18 gcd(18, 12) = 6

सभी शर्तें संतुष्ट हैं। न्यूनतम योग है: a + b + c = 12 + 36 + 18 = 66

a + b + c = 6k का उपयोग करके: 66 = 6k k = 11

व्याख्या

संख्याओं का योग = औसत × संख्या

5 मूल संख्याओं का योग = 5 × 20 = 100 4 शेष संख्याओं का योग = 4 × 18 = 72

हटाई गई संख्या = 100 − 72 = 28

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती √(a × b) द्वारा दिया जाता है।

सबसे पहले, 18 और 32 के बीच प्रारंभिक मध्य समानुपाती की गणना करें: √(18 × 32) = √576 = 24

इस मान को 25% तक बढ़ाना: 24 × 1.25 = 30

दिया गया है कि 30, 18 और y के बीच मध्य समानुपाती है: √(18 × y) = 30 18 × y = 30² = 900 y = 900 / 18 = 50

व्याख्या

(x - 1)(x + 2) = x² + 3 के बाईं ओर का विस्तार करने पर x² + x - 2 = x² + 3 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से x² घटाने पर समीकरण x - 5 = 0 में सरल हो जाता है। चूंकि x² पद रद्द हो जाते हैं, समीकरण की घात 1 होती है, जो इसे द्विघात समीकरण के बजाय एक रैखिक समीकरण बनाती है।