आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2026 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वास्तविक दूरी = मानचित्र दूरी × पैमाना गुणक

वास्तविक दूरी = 4 सेमी × 829,483 = 3,317,932 सेमी

सेंटीमीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए, 100,000 से विभाजित करें (क्योंकि 1 किमी = 100,000 सेमी):

वास्तविक दूरी = 3,317,932 / 100,000 = 33.17932 किमी

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 33.18 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

मध्यम रूप से विषम वितरण के लिए माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध है:

बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

48 = 3 × माध्यिका - 2 × 72 48 = 3 × माध्यिका - 144 3 × माध्यिका = 48 + 144 3 × माध्यिका = 192 माध्यिका = 192 ÷ 3 = 64

व्याख्या

कुल कार्य 144 इकाई मान लें (36 और 48 का LCM)।

A + B + C की कार्य दर = 144 / 36 = 4 इकाई/दिन B + C की कार्य दर = 144 / 48 = 3 इकाई/दिन

A की कार्य दर = 4 - 3 = 1 इकाई/दिन

चूंकि B, A की तुलना में 75% अधिक कुशल है: B की कार्य दर = 1 + (0.75 × 1) = 1.75 = 7/4 इकाई/दिन

15 दिनों में A, B और C द्वारा पूरा किया गया कार्य = 15 × 4 = 60 इकाई शेष कार्य = 144 - 60 = 84 इकाई

शेष कार्य को B द्वारा पूरा करने के लिए आवश्यक दिन = 84 / (7/4) = 84 × 4 / 7 = 48 दिन

व्याख्या

मान लीजिए a = 28x और b = 28y, जहाँ x और y धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि HCF(x, y) = 1।

दिया गया है a + b = 868, a और b के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: 28(x + y) = 868 x + y = 31

चूंकि 31 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए 1 ≤ x ≤ 30 की सीमा में प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक x, y = 31 - x के सह-अभाज्य है, क्योंकि HCF(x, 31 - x) = HCF(x, 31) = 1।

इस प्रकार, x, 1 से 30 तक कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है, जिससे 30 भिन्न क्रमित युग्म (x, y) और तदनुसार 30 क्रमित युग्म (a, b) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

एक बेलन का आयतन सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1584 = (22/7) × r² × 14 1584 = 44 × r² r² = 36 r = 6 मीटर

टंकी का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: व्यास = 2 × r = 2 × 6 = 12 मीटर

व्याख्या

संयुक्त समूहों के लिए भारित औसत का सूत्र है:

समग्र औसत = (n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃) ÷ (n₁ + n₂ + n₃)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: कुल व्यय = (46 × 496) + (15 × 106) + (11 × 406) = 22816 + 1590 + 4466 = ₹28872

कुल सदस्य = 46 + 15 + 11 = 72

प्रति सदस्य खर्च की गई समग्र औसत = 28872 ÷ 72 = 401

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx))

दिए गए मानों से: xyz = 150 / 5 = 30

सर्वसमिका में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ + z³ - 3(30) = 10 × (38 - 31) x³ + y³ + z³ - 90 = 10 × 7 x³ + y³ + z³ - 90 = 70 x³ + y³ + z³ = 160

इसलिए: 2(x³ + y³ + z³) = 2 × 160 = 320

व्याख्या

मान लीजिए कि माल की कुल मात्रा 100 इकाई है।

पहला भाग = 35 इकाई, +22% लाभ पर = +7.70 इकाई शेष मात्रा = 100 - 35 = 65 इकाई

दूसरा भाग = 65 का 40% = 26 इकाई, +37% लाभ पर = +9.62 इकाई

तीसरा भाग = 65 - 26 = 39 इकाई, -38% हानि पर = -14.82 इकाई

कुल लाभ x = 7.70 + 9.62 - 14.82 = 2.5

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज पर सालाना संयोजित होने पर, यदि कोई राशि T वर्षों में k गुना हो जाती है, तो वह n × T वर्षों में स्वयं का kⁿ गुना हो जाएगी।

दिया गया है कि राशि T = 8 वर्षों में दोगुनी (2¹ गुना) हो जाती है: स्वयं का 8 गुना (2³ गुना) होने के लिए, n = 3।

आवश्यक समय = n × T = 3 × 8 = 24 वर्ष।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है।

दिया गया मूलधन P = ₹8,400, साधारण ब्याज SI = ₹840, और दर R = 4% प्रति वर्ष है:

840 = (8400 × 4 × T) / 100 840 = 336 × T T = 840 / 336 = 2.5 वर्ष

व्याख्या

घातांक नियमों का उपयोग करके, सभी पदों को आधार (4/17) में बदलें:

(17/4)⁹ = (4/17)⁻⁹ (17/4)¹⁵ = (4/17)⁻¹⁵

घातांकों को जोड़कर बाईं ओर की घातों को गुणा करें:

(4/17)⁻⁹ × (4/17)⁸ × (4/17)⁻¹⁵ = (4/17)⁻⁹ ⁺ ⁸ ⁻ ¹⁵ = (4/17)⁻¹⁶

समीकरण के दोनों पक्षों पर घातों को बराबर करें:

5m + 15 = -16 5m = -31 m = 31/5

व्याख्या

निर्देशांक (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ | x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) |

निर्देशांक P(2, 5), Q(8, 1), और R(4, 9) को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ | 2(1 - 9) + 8(9 - 5) + 4(5 - 1) | क्षेत्रफल = ½ | 2(-8) + 8(4) + 4(4) | क्षेत्रफल = ½ | -16 + 32 + 16 | क्षेत्रफल = ½ | 32 | = 16 वर्ग किलोमीटर।

व्याख्या

प्रेक्षक, ध्वजदंड के आधार और ध्वजदंड के शीर्ष द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, ध्वजदंड की ऊँचाई (h), प्रेक्षक से दूरी (d) और उन्नयन कोण (θ) के बीच का संबंध त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा दिया गया है:

tan(θ) = ऊँचाई / दूरी

सूत्र में θ = 30° और d = 30 मीटर रखने पर:

tan(30°) = h / 30

चूंकि tan(30°) = 1 / √3 है:

1 / √3 = h / 30

h = 30 / √3 = (30 × √3) / 3 = 10√3 मीटर

व्याख्या

औसत = (मानों का योग) / (कुल संख्या) = (7 + 9 + 11) / 3 = 27 / 3 = 9.

वैकल्पिक रूप से, चूंकि 7, 9 और 11 विषम पदों की एक समांतर श्रेणी बनाते हैं, औसत सीधे मध्य पद द्वारा दिया जाता है, जो कि 9 है।

व्याख्या

सबसे पहले, पहला समीकरण बनाने के लिए कुल आवृत्ति का उपयोग करें: 6 + 19 + x + 5 + y = 59 30 + x + y = 59 x + y = 29

इसके बाद, आवृत्तियों और वर्ग चिह्नों mᵢ (10, 30, 50, 70, 90) के गुणनफलों का योगफल ज्ञात करें: Σ(fᵢ × mᵢ) = (6 × 10) + (19 × 30) + (x × 50) + (5 × 70) + (y × 90) Σ(fᵢ × mᵢ) = 60 + 570 + 50x + 350 + 90y = 980 + 50x + 90y

माध्य सूत्र का उपयोग करते हुए, माध्य = Σ(fᵢ × mᵢ) / कुल आवृत्ति: 50 = (980 + 50x + 90y) / 59 2950 = 980 + 50x + 90y 50x + 90y = 1970 5x + 9y = 197

5x + 9y = 197 में से 5 × (x + y = 29) घटाने पर: 4y = 197 - 145 4y = 52 y = 13

x + y = 29 में y = 13 रखने पर x = 16 प्राप्त होता है।

अब, आवश्यक व्यंजक की गणना करें: 7x + 6y = 7(16) + 6(13) = 112 + 78 = 190

व्याख्या

मान लीजिए A और B का प्रारंभिक वेतन क्रमशः 4x और 5x है।

A का नया वेतन = 4x × (1 + 20/100) = 4x × 1.2 = 4.8x B का नया वेतन = 5x × (1 - 10/100) = 5x × 0.9 = 4.5x

उनके वेतन का नया अनुपात = 4.8x : 4.5x = 48 : 45 = 16 : 15।

व्याख्या

नाव की अनुप्रवाह गति = शांत जल में गति + धारा की गति = 12 + 3 = 15 किमी/घंटा

लिया गया समय = दूरी / अनुप्रवाह गति = 60 / 15 = 4 घंटे

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, इसलिए ∠P + ∠R = 180° और ∠Q + ∠S = 180°। चूँकि PS, QR के समानांतर है, तिर्यक PQ पर बने क्रमागत अंतः कोणों का योग 180° होता है, जिससे ∠P + ∠Q = 180° प्राप्त होता है।

∠P = 85° का उपयोग करके: ∠Q = 180° - 85° = 95° ∠R = 180° - 85° = 95° ∠S = 180° - 95° = 85°

व्याख्या

मान लीजिए धारा की प्रारंभिक गति x किमी/घंटा है।

नाव की गति v और धारा की गति x के साथ एक चक्कर यात्रा में लिए गए कुल समय T का सूत्र है: T = d / (v + x) + d / (v - x) = 2dv / (v² - x²)

दिया गया है d = 40 किमी और नाव की गति v = 7 किमी/घंटा: T₁ = 2 × 40 × 7 / (7² - x²) = 560 / (49 - x²) घंटे

x = 3 किमी/घंटा के लिए: T₁ = 560 / (49 - 9) = 14 घंटे

जब धारा की गति 2 किमी/घंटा बढ़कर 5 किमी/घंटा हो जाती है, तो धारा के साथ गति 12 किमी/घंटा और धारा के विपरीत गति 2 किमी/घंटा होती है: T₂ = 40 / 12 + 40 / 2 = 10/3 + 20 = 70/3 घंटे

समय का अंतर है: T₂ - T₁ = 70/3 - 14 = 28/3 घंटे = (28/3) × 60 = 560 मिनट

यह दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

दशमलव बिंदु को हटाकर प्रत्येक पद को सरल बनाना:

1.2 ÷ 0.3 = 12 ÷ 3 = 4

2.4 ÷ 0.6 = 24 ÷ 6 = 4

दोनों पदों को जोड़ने पर:

4 + 4 = 8

व्याख्या

1 दर्जन वस्तुओं का क्रय मूल्य = ₹400 1 दर्जन वस्तुओं का विक्रय मूल्य = ₹58 × 12 = ₹696

प्रति दर्जन लाभ = ₹696 - ₹400 = ₹296

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (296 / 400) × 100 = 74%

व्याख्या

लाभ को A, B और C के बीच उनके निवेश के अनुपात में विभाजित किया जाता है, जो कि 3 : 5 : 4 है।

मान लीजिए A, B और C के लाभ का हिस्सा क्रमशः 3x, 5x और 4x है। कुल लाभ = 3x + 5x + 4x = 12x

जब B, A को ₹15,000 देता है, तो A का नया हिस्सा C के हिस्से के बराबर हो जाता है: 3x + 15,000 = 4x 4x - 3x = 15,000 x = 15,000

कुल लाभ = 12 × 15,000 = ₹1,80,000

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य (CP) = 100। चूंकि अंकित मूल्य (MP) क्रय मूल्य से 100% अधिक निर्धारित किया गया है: MP = 100 + (100 का 100%) = 200

2% का लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) होना चाहिए: SP = CP + (CP का 2%) = 102

आवश्यक छूट = MP − SP = 200 − 102 = 98

छूट प्रतिशत = (छूट / MP) × 100 = (98 / 200) × 100 = 49%

व्याख्या

मान लीजिए प्रशिक्षित और अप्रशिक्षित शिक्षकों का अनुपात 5:3 है और उनके व्यक्तिगत वेतन का अनुपात 4:1 है।

प्रशिक्षित शिक्षकों पर खर्च किया गया कुल वेतन = 5 × 4 = 20 इकाई अप्रशिक्षित शिक्षकों पर खर्च किया गया कुल वेतन = 3 × 1 = 3 इकाई सभी शिक्षकों पर खर्च किया गया कुल वेतन = 20 + 3 = 23 इकाई

दिया गया है कि कुल मासिक वेतन = ₹4,60,000: 1 इकाई = 4,60,000 / 23 = ₹20,000

अप्रशिक्षित शिक्षकों को दिया गया कुल वेतन = 3 इकाई = 3 × 20,000 = ₹60,000

व्याख्या

किसी भी चतुर्भुज ABCD में, दो आसन्न कोणों (A और B) के समद्विभाजकों द्वारा बनाया गया कोण शेष दो कोणों (C और D) के योग के आधे के बराबर होता है:

∠AOB = ½ (∠C + ∠D)

दिए गए मान ∠AOB = 41° को प्रतिस्थापित करने पर:

41° = ½ (∠C + ∠D) ∠C + ∠D = 2 × 41° = 82°

व्याख्या

मूलधन P को 5 गुना (मिश्रधन A = 5P) होने के लिए, अर्जित साधारण ब्याज (SI) A - P = 4P है।

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

SI = 4P और T = 18 प्रतिस्थापित करने पर: 4P = (P × R × 18) / 100 4 = (18 × R) / 100 R = 400 / 18 = 200 / 9 = 22.22%

व्याख्या

प्रभावी निवेश (पूंजी × समय महीनों में) X, Y और Z के लिए अनुपात है:

X = (6 × 6) + (3 × 6) = 36 + 18 = 54 इकाई-महीने Y = 3 × 12 = 36 इकाई-महीने Z = 5 × 12 = 60 इकाई-महीने

लाभ अनुपात X : Y : Z = 54 : 36 : 60 = 9 : 6 : 10

कुल लाभ इकाई = 9 + 6 + 10 = 25 इकाई X और Y के लाभ के हिस्से के बीच अंतर = 9 - 6 = 3 इकाई

लाभ में अंतर = (3 / 25) × ₹69,000 = ₹8,280

व्याख्या

पहली n प्राकृतिक संख्याओं का औसत सूत्र (n + 1) / 2 द्वारा दिया जाता है। n = 64 के लिए, सूत्र में मान रखने पर (64 + 1) / 2 = 65 / 2 = 32.5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो धनात्मक संख्याओं a और b के बीच माध्य समानुपाती का सूत्र √(a × b) है।

a = 9 और b = 25 रखने पर: माध्य समानुपाती = √(9 × 25) = √225 = 15।

व्याख्या

समूहबद्ध डेटा के लिए, माध्यिका की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

माध्यिका = L + [((N / 2) - CF) / f] × h

यहाँ, कुल आवृत्ति N = 100 है, इसलिए N / 2 = 50।

अंतरालों के लिए संचयी आवृत्तियाँ हैं: 0-10: 5 10-20: 14 20-30: 28 30-40: 50 40-50: 80 50-60: 100

चूंकि संचयी आवृत्ति वर्ग अंतराल 30-40 पर 50 तक पहुँचती है, माध्यिका वर्ग 30-40 है।

माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (L) = 30 पूर्ववर्ती संचयी आवृत्ति (CF) = 28 माध्यिका वर्ग की आवृत्ति (f) = 22 वर्ग चौड़ाई (h) = 10

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: माध्यिका = 30 + [(50 - 28) / 22] × 10 माध्यिका = 30 + (22 / 22) × 10 माध्यिका = 30 + 10 = 40.0

व्याख्या

भारित औसत = (n₁A₁ + n₂A₂ + n₃A₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

दिए गए मान: n₁ = 32, A₁ = ₹266 n₂ = 52, A₂ = ₹470 n₃ = 73, A₃ = ₹168

कुल व्यय = (32 × 266) + (52 × 470) + (73 × 168) = 8512 + 24440 + 12264 = ₹45,216

कुल सदस्य = 32 + 52 + 73 = 157

प्रति सदस्य खर्च की गई कुल औसत राशि = 45216 / 157 = ₹288

व्याख्या

समूहबद्ध आँकड़ों का माध्य सूत्र माध्य = Σ(f × x) / Σf द्वारा परिकलित किया जाता है, जहाँ f आवृत्ति को दर्शाता है और x वर्ग मध्यबिंदु को दर्शाता है।

वर्ग अंतरालों 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, और 50-60 के लिए मध्यबिंदु (x) क्रमशः 15, 25, 35, 45, और 55 हैं।

Σf = 42 + 19 + 23 + 26 + X = 110 + X

Σ(f × x) = (42 × 15) + (19 × 25) + (23 × 35) + (26 × 45) + (X × 55) Σ(f × x) = 630 + 475 + 805 + 1170 + 55X = 3080 + 55X

दिए गए माध्य 40 को प्रतिस्थापित करने पर: 40 = (3080 + 55X) / (110 + X) 40 × (110 + X) = 3080 + 55X 4400 + 40X = 3080 + 55X 15X = 1320 X = 88

व्याख्या

cot θ को cos θ / sin θ के रूप में व्यक्त करने पर:

अंश: cot θ - cos θ = (cos θ / sin θ) - cos θ = cos θ × (1 / sin θ - 1) = cos θ × (csc θ - 1)

हर: cot θ + cos θ = (cos θ / sin θ) + cos θ = cos θ × (1 / sin θ + 1) = cos θ × (csc θ + 1)

अंश को हर से विभाजित करने और उभयनिष्ठ गुणनखंड cos θ को रद्द करने पर: (cot θ - cos θ) / (cot θ + cos θ) = [cos θ × (csc θ - 1)] / [cos θ × (csc θ + 1)] = (csc θ - 1) / (csc θ + 1)

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

प्रश्न के अनुसार: x का 20% − 620 का 20% = 190

620 का 20% = (20 / 100) × 620 = 124

0.20 × x − 124 = 190 0.20 × x = 190 + 124 0.20 × x = 314 x = 314 / 0.20 = 1570

व्याख्या

संचालनों के क्रम (BODMAS) के अनुसार:

पहले भाग और गुणा करें: (-56) ÷ (-14) = 4 (-3) × 6 = -18

अब बाएं से दाएं घटाव और जोड़ करें: (-9) - 4 + (-18) = -13 - 18 = -31

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

कुल दूरी = (20 × 90) + (70 × 60) = 1800 + 4200 = 6000 मीटर कुल समय = 90 + 60 = 150 मिनट

औसत गति = 6000 / 150 = 40 मीटर/मिनट

व्याख्या

प्रति वस्तु क्रय मूल्य = 150 / 12 = ₹12.5

प्रति वस्तु विक्रय मूल्य = ₹78

प्रति वस्तु लाभ = 78 - 12.5 = ₹65.5

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (65.5 / 12.5) × 100 = 524%

व्याख्या

मान लीजिए पुत्र की वर्तमान आयु x वर्ष है। तब वनराज की वर्तमान आयु 3x वर्ष है, और पुत्री की वर्तमान आयु x - 3 वर्ष है।

उनकी वर्तमान आयु का योग = 3x + x + (x - 3) = 5x - 3 वर्ष।

चूंकि 3 व्यक्ति हैं, इसलिए 3 वर्ष पूर्व उनकी आयु का योग उनकी वर्तमान आयु के योग से 9 वर्ष कम था: (5x - 3) - 9 = 93 5x - 12 = 93 5x = 105 x = 21

वनराज की वर्तमान आयु = 3 × 21 = 63 वर्ष।

व्याख्या

आधार की परिधि, 2πr = 66 सेमी r = (66 × 7) / (2 × 22) = 10.5 सेमी

शंकु की अधिकतम संभव ऊंचाई शीट की चौड़ाई के बराबर है, h = 30 सेमी।

शंकु का कुल आयतन, V = (1/3)πr²h V = (1/3) × (22/7) × (10.5)² × 30 = 3465 सेमी³

स्टेपल किए गए सिरे पर बने छोटे शंकु का आयतन (शीर्ष से ऊंचाई = 2 सेमी) ऊंचाई अनुपात के घन के समानुपाती होता है: v = (hₛtaple / h)³ × V v = (2 / 30)³ × 3465 = (1 / 15)³ × 3465 = 3465 / 3375 ≈ 1.03 सेमी³

पैकेट का प्रयोग करने योग्य आयतन = 3465 − 1.03 = 3463.97 ≈ 3464 सेमी³

व्याख्या

एक चतुर्भुज ABCD एक समांतर चतुर्भुज होता है यदि और केवल यदि इनमें से कोई भी मानक ज्यामितीय शर्त पूरी होती है। सम्मुख भुजाओं का बराबर होना, प्रत्येक विकर्ण का आकृति को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करना, सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का बराबर होना, या विकर्णों का एक दूसरे को समद्विभाजित करना सीधे तौर पर यह दर्शाता है कि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर हैं। इन चारों शर्तों में से प्रत्येक एक समांतर चतुर्भुज की परिभाषित विशेषता के रूप में कार्य करती है।

व्याख्या

किसी संख्या के 6 से पूर्णतः विभाज्य होने के लिए, वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

चूँकि 56339A8 का इकाई अंक 8 (एक सम संख्या) है, यह A के मान पर ध्यान दिए बिना हमेशा 2 से विभाज्य है।

3 से विभाज्यता के लिए, सभी अंकों का योग 3 का गुणज होना चाहिए। अंकों का योग = 5 + 6 + 3 + 3 + 9 + A + 8 = 34 + A

A का सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक एकल-अंकीय मान जो (34 + A) को 3 से विभाज्य बनाता है, A = 2 है, जिससे योग 36 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर (x² + 1)² - x⁴ = (x⁴ + 2x² + 1) - x⁴ = 2x² + 1 प्राप्त होता है। इसे दाएँ पक्ष के बराबर करने पर 2x² + 1 = 2x + 1 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2x² - 2x = 0 हो जाता है। चूँकि इस सरलीकृत समीकरण में चर x की उच्चतम घात 2 है, यह एक मानक द्विघात समीकरण को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए 1 ग्राम का क्रय मूल्य ₹1 है।

60% की घोषित हानि पर, 1000 ग्राम के लिए लिया गया विक्रय मूल्य 1000 × (1 - 0.60) = ₹400 है।

यदि दुकानदार वास्तव में 1000 ग्राम के बजाय x ग्राम तौलता है, तो उसका वास्तविक क्रय मूल्य ₹x है। चूंकि उसका कुल लाभ 70% है, क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ%) 400 = x × (1 + 0.70) 1.7 x = 400 x = 4000 / 17 ≈ 235.29 ग्राम

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 235.3 ग्राम प्राप्त होता है।

व्याख्या

1 पृष्ठ टाइप करने में लगा समय = 40 / 2 = 20 मिनट।

87 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक कुल समय = 87 × 20 = 1740 मिनट।

व्याख्या

मान लीजिए N पंजीकृत मतदाताओं की कुल संख्या है।

डाले गए मत = N का 80% = 0.80N वैध मत = डाले गए मतों का 85% = 0.85 × 0.80N = 0.68N

विजेता उम्मीदवार को वैध मतों का 75% प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि हारने वाले उम्मीदवार को वैध मतों का 25% प्राप्त हुआ। इसलिए, जीत का अंतर वैध मतों का 75% - 25% = 50% है।

अंतर = 0.50 × 0.68N = 0.34N

यह देखते हुए कि जीत का अंतर 289 मत है: 0.34N = 289 N = 289 / 0.34 = 850

व्याख्या

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ / 360°) × πr²

दिए गए मानों, क्षेत्रफल = 385 सेमी², r = 21 सेमी, और π = 22 / 7 को प्रतिस्थापित करने पर:

385 = (θ / 360°) × (22 / 7) × 21 × 21 385 = (θ / 360°) × 22 × 3 × 21 385 = (θ / 360°) × 1386

θ = (385 × 360°) / 1386 θ = (5 / 18) × 360° θ = 100°

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, यदि कोई राशि T वर्षों में दोगुनी हो जाती है, तो वह n × T वर्षों में स्वयं की 2ⁿ गुना हो जाती है।

यहाँ, दोगुनी अवधि T = 7 वर्ष है। चूँकि 16 = 2⁴, इसलिए n का मान 4 है।

आवश्यक समय = 4 × 7 = 28 वर्ष।

व्याख्या

दोनों x और y का घन करने पर: x³ = 31 + 14√3 y³ = 31 - 14√3

x³ और y³ का योग: x³ + y³ = (31 + 14√3) + (31 - 14√3) = 62

(a + b)(a - b) = a² - b² सर्वसमिका का उपयोग करके x³ और y³ का गुणनफल: x³ y³ = (31 + 14√3)(31 - 14√3) = 31² - (14√3)² = 961 - 588 = 373

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ + 3x³y³ = 62 + 3 × 373 = 62 + 1119 = 1181

व्याख्या

व्युत्क्रमानुपाती चरों के लिए, x और y का गुणनफल स्थिर रहता है: x₁y₁ = x₂y₂।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 28 × 30 = x × 20 840 = 20x x = 840 / 20 = 42

व्याख्या

घनों के अंतर की सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²):

8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³ = (2x - 3y)(4x² + 9y² + 6xy)

इसकी तुलना (Ax + By)(Cx² - Dy² + Exy) से करने पर: A = 2 B = -3 C = 4 -D = 9, जिससे D = -9 प्राप्त होता है E = 6

आवश्यक योग की गणना करने पर: A + B + C + D + E = 2 + (-3) + 4 + (-9) + 6 = 0