24 सेमी और 28 सेमी आयाम वाले एक आयत को उसी परिधि वाले समचतुर्भुज (rhombus) में पुनर्रचित किया गया, जिसका एक कोण 120° था। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल था:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 338√3 सेमी²
व्याख्या
आयत की परिधि = 2 × (24 + 28) = 104 सेमी।
चूंकि समचतुर्भुज की परिधि समान है, इसलिए समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई (a) = 104 / 4 = 26 सेमी।
भुजा की लंबाई 'a' और आंतरिक कोण 'θ' वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल = a² × sin(θ)
a = 26 सेमी और θ = 120° रखने पर:
क्षेत्रफल = 26² × sin(120°) = 676 × (√3 / 2) = 338√3 सेमी²
402Mathematics
निम्नलिखित तालिका में गणित, अंग्रेजी, भौतिकी, रसायन विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान और फोटोग्राफी में विभिन्न छात्रों द्वारा प्राप्त अधिकतम अंक और प्राप्त अंक का विवरण दिया गया है। तालिका का अध्ययन करें और उसके बाद दिए गए प्रश्न का उत्तर दें।
छात्र अंक प्राप्त
विषय अधिकतम अंक ए बी सी डी ई
गणित 100 67 84 65 90 46
भौतिकी 100 56 89 72 88 67
रसायन विज्ञान 100 87 79 62 92 69
अंग्रेजी 100 72 69 80 82 56
कंप्यूटर विज्ञान 50 33 39 34 41 32
फोटोग्राफी 50 40 45 47 45 40
कुल 500 355 405 360 440 310
कंप्यूटर विज्ञान में सभी छात्रों द्वारा प्राप्त औसत अंक क्या हैं?
● सही
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उत्तर: (A) 35.8
व्याख्या
औसत अंक = सभी छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का योग ÷ छात्रों की कुल संख्या
छात्रों ए, बी, सी, डी, और ई द्वारा कंप्यूटर विज्ञान में प्राप्त अंकों का योग = 33 + 39 + 34 + 41 + 32 = 179
औसत अंक = 179 ÷ 5 = 35.8
403Mathematics
एक कंपनी द्वारा विभिन्न व्यय शीर्षों के अंतर्गत किए गए व्यय का विवरण (मिलियन में) निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। तालिका का अध्ययन करें और उसके बाद दिए गए प्रश्न का उत्तर दें।
वर्ष व्यय का शीर्ष
परिवहन प्रशासन वेतन अन्य कर
2014 452 167 340 56 47
2015 569 174 398 62 56
2016 659 189 409 73 61
2017 706 193 456 77 63
2018 783 203 479 81 69
वर्ष 2018 में प्रशासन के भुगतान पर किया गया कुल व्यय, उस वर्ष के सभी शीर्षों के लिए किए गए कुल व्यय का लगभग कितना प्रतिशत था?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 12.57%
व्याख्या
वर्ष 2018 में कुल व्यय = 783 + 203 + 479 + 81 + 69 = 1615 मिलियन
वर्ष 2018 में प्रशासन व्यय = 203 मिलियन
प्रतिशत = (प्रशासन व्यय / कुल व्यय) × 100
= (203 / 1615) × 100
= 12.569% ≈ 12.57%
404Mathematics
₹15,000 पर 4% प्रति वर्ष की दर से एक वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें, यदि ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) ₹ 606
व्याख्या
अर्ध-वार्षिक संयोजन के लिए, वार्षिक ब्याज दर आधी कर दी जाती है और रूपांतरण अवधियों की संख्या दोगुनी कर दी जाती है।
प्रति अर्ध-वर्ष दर (r) = 4% ÷ 2 = 2%
अर्ध-वर्षीय अवधियों की संख्या (n) = 1 × 2 = 2
राशि (A) = P × (1 + r/100)ⁿ
A = 15,000 × (1 + 2/100)²
A = 15,000 × (1.02)²
A = 15,000 × 1.0404 = ₹15,606
विभिन्न विद्यालयों के कितने छात्र विभिन्न खेल खेल रहे हैं, इसका विवरण निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। तालिका का अध्ययन करें और उसके बाद दिए गए प्रश्न का उत्तर दें।
खेल विद्यालय
A B C D E
बैडमिंटन 34 67 23 78 56
टेबल टेनिस 21 40 26 32 29
फुटबॉल 12 22 19 16 21
बास्केटबॉल 09 13 07 12 06
क्रिकेट 98 121 78 84 67
कौन सा एकमात्र खेल है जिसमें छात्रों की अधिकतम संख्या विद्यालय B से नहीं है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) बैडमिंटन
व्याख्या
बैडमिंटन में, विद्यालय D से 78 छात्रों की संख्या सबसे अधिक है, जो विद्यालय B के 67 छात्रों की संख्या से अधिक है। तालिका में सूचीबद्ध अन्य सभी खेलों के लिए, विद्यालय B में सभी विद्यालयों में भाग लेने वाले छात्रों की संख्या सबसे अधिक है।
406Mathematics
XYZ कंप्यूटर्स द्वारा 5 वर्षों की अवधि में बेचे गए कंप्यूटर प्रिंटरों का विवरण निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। तालिका का अध्ययन करें और उसके बाद दिए गए प्रश्न का उत्तर दें।
वर्ष प्रिंटर के प्रकार
L0 L1 L2 L3 L4
2014 523 345 678 340 740
2015 673 451 822 235 905
2016 567 389 907 423 867
2017 590 562 1202 548 913
2018 623 677 1212 674 988
मॉडल L3 के लिए न्यूनतम और अधिकतम बिक्री के बीच क्या अंतर है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 439
व्याख्या
दी गई तालिका से, 5 वर्षों में प्रिंटर मॉडल L3 की बिक्री इस प्रकार है:
2014: 340
2015: 235
2016: 423
2017: 548
2018: 674
मॉडल L3 के लिए अधिकतम बिक्री = 674
मॉडल L3 के लिए न्यूनतम बिक्री = 235
ऐसी तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका अनुपात 3:4:5 हो और उनका म.स.प. (HCF) 7 हो।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 21; 28; 35
व्याख्या
यदि तीन संख्याओं का अनुपात a:b:c है, जहाँ a, b, और c एक दूसरे के सह-अभाज्य हैं, तो संख्याएँ a × म.स.प., b × म.स.प., और c × म.स.प. द्वारा दी जाती हैं।
चूंकि म.स.प. = 7 और अनुपात 3:4:5 है, तो आवश्यक संख्याएँ हैं:
3 × 7 = 21
4 × 7 = 28
5 × 7 = 35
408Mathematics
निम्नलिखित में से कौन सी परिमेय संख्या 9.2 और 10.5 के बीच स्थित है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 9.55
व्याख्या
एक संख्या x, 9.2 और 10.5 के बीच स्थित होती है यदि वह असमानता 9.2 < x < 10.5 को संतुष्ट करती है। 9.55 की सीमा मानों से तुलना करने पर 9.20 < 9.55 < 10.50 प्राप्त होता है, जो दी गई शर्त को संतुष्ट करता है। इसके अतिरिक्त, 9.55 एक समाप्त होने वाला दशमलव है जिसे p/q रूप में 191/20 के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे यह एक परिमेय संख्या बन जाती है।
409Mathematics
यदि tan 15° = 2 - √3 है, तो tan 15° cot 75° + tan 75° cot 15° का मान क्या है।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 14
व्याख्या
पूरक कोण नियमों का उपयोग करके, cot 75° = tan 15° और tan 75° = cot 15°।
व्यंजक सरल हो जाता है:
tan 15° cot 75° + tan 75° cot 15° = tan² 15° + cot² 15°
दिया गया है tan 15° = 2 - √3, इसका व्युत्क्रम cot 15° = 1 / (2 - √3) = 2 + √3 है।
दोनों पदों को जोड़ने पर:
tan 15° + cot 15° = (2 - √3) + (2 + √3) = 4
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करने पर:
(tan 15° + cot 15°)² = tan² 15° + cot² 15° + 2(tan 15° cot 15°)
4² = tan² 15° + cot² 15° + 2
16 = tan² 15° + cot² 15° + 2
tan² 15° + cot² 15° = 14
410Mathematics
यदि 0.02x = 0.5y है, तो (x-y)/(x+y) का मान ज्ञात कीजिए:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) ¹²⁄₁₃
व्याख्या
दिए गए समीकरण 0.02x = 0.5y से, x और y का अनुपात है:
x / y = 0.5 / 0.02 = 50 / 2 = 25 / 1
x = 25 और y = 1 को व्यंजक (x - y) / (x + y) में प्रतिस्थापित करने पर:
(x - y) / (x + y) = (25 - 1) / (25 + 1) = 24 / 26 = 12 / 13
411Mathematics
विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए, जब क्रय मूल्य ₹70 है और हानि 10% है।
3 लड़के और 5 लड़कियाँ मिलकर एक परियोजना को 6 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जबकि 2 लड़के और 7 लड़कियाँ इसे 8 दिनों में पूरा कर सकती हैं। 8 लड़कियाँ इसे कितने दिनों में पूरा करेंगी?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 33
व्याख्या
मान लीजिए एक लड़के द्वारा किया गया दैनिक कार्य B है और एक लड़की द्वारा किया गया दैनिक कार्य G है।
कुल कार्य W = (3B + 5G) × 6 = 18B + 30G
साथ ही, कुल कार्य W = (2B + 7G) × 8 = 16B + 56G
कार्य के लिए दो व्यंजकों को बराबर करने पर:
18B + 30G = 16B + 56G
2B = 26G
B = 13G
कुल कार्य समीकरण में B = 13G का प्रतिस्थापन करने पर:
W = 18(13G) + 30G = 234G + 30G = 264G
8 लड़कियों की दैनिक कार्य दर = 8G।
8 लड़कियों द्वारा आवश्यक दिनों की संख्या = कुल कार्य / दैनिक कार्य दर
= 264G / 8G = 33 दिन
413Mathematics
एक संख्या के एक-चौथाई का एक-आठवाँ 300 है। उसी संख्या का एक-पाँचवाँ कितना है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 1920
व्याख्या
मान लीजिए संख्या x है।
दी गई शर्त के अनुसार:
(1/4) × (1/8) × x = 300
x / 32 = 300
x = 300 × 32 = 9600
अब, उसी संख्या का एक-पाँचवाँ:
(1/5) × 9600 = 1920
414Mathematics
निम्नलिखित को हल करें:
684 ÷ 9 ÷ 0.5 = ?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 152
व्याख्या
दिए गए व्यंजक 684 ÷ 9 ÷ 0.5 को हल करने के लिए, BODMAS नियम का पालन करें जिसमें बाएं से दाएं क्रमिक विभाजन संक्रियाएँ की जाती हैं।
चरण 1: 684 को 9 से विभाजित करें
684 ÷ 9 = 76
चरण 2: 76 को 0.5 से विभाजित करें
चूंकि किसी संख्या को 0.5 से विभाजित करना उसे 2 से गुणा करने के बराबर है:
76 ÷ 0.5 = 76 × 2 = 152
415Mathematics
एक रेलगाड़ी दो व्यक्तियों को पार करती है जो रेलगाड़ी की विपरीत दिशा में क्रमशः 4 मीटर/सेकंड और 10 मीटर/सेकंड की गति से 10 सेकंड और 8 सेकंड में चल रहे हैं। रेलगाड़ी की गति क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 20 मीटर/सेकंड
व्याख्या
मान लीजिए रेलगाड़ी की गति v मीटर/सेकंड है और इसकी लंबाई L मीटर है।
जब रेलगाड़ी और एक व्यक्ति विपरीत दिशाओं में चलते हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी गतियों का योग होती है।
4 मीटर/सेकंड की गति से चलने वाले पहले व्यक्ति के लिए:
L = (v + 4) × 10 = 10v + 40
10 मीटर/सेकंड की गति से चलने वाले दूसरे व्यक्ति के लिए:
L = (v + 10) × 8 = 8v + 80
दोनों लंबाई समीकरणों को बराबर करने पर:
10v + 40 = 8v + 80
2v = 40
v = 20 मीटर/सेकंड
416Mathematics
एक आयत की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 2:1 है। आयत के परिमाप और क्षेत्रफल के संख्यात्मक मानों का अनुपात 3:4 है। आयत की लंबाई ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 8 इकाई
व्याख्या
मान लीजिए आयत की चौड़ाई x इकाई है, तो लंबाई 2x इकाई है।
दिया गया है कि परिमाप और क्षेत्रफल का अनुपात 3:4 है:
परिमाप / क्षेत्रफल = 3 / 4
6x / 2x² = 3 / 4
3 / x = 3 / 4
x = 4
आयत की लंबाई = 2x = 2 × 4 = 8 इकाई।
417Mathematics
निम्नलिखित को हल करें:
4⅓× 2⅘÷ 2⅓ = ?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 5⅕
व्याख्या
प्रत्येक मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलें:
4 ⅓ = 13/3
2 ⅘ = 14/5
2 ⅓ = 7/3
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें और व्युत्क्रम लेकर भाग को गुणा में बदलें:
(13/3) × (14/5) ÷ (7/3) = (13/3) × (14/5) × (3/7)
अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें:
= (13 × 14 × 3) / (3 × 5 × 7)
= (13 × 2) / 5
= 26/5
26/5 को वापस मिश्रित भिन्न में बदलने पर 5 ⅕ प्राप्त होता है।
418Mathematics
श्रमिक A, श्रमिक B की तुलना में तीन गुना अधिक कुशल है। वे मिलकर एक कार्य को 18 दिनों में पूरा कर सकते हैं। A अकेले कार्य को पूरा करने में कितने दिन लेगा?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 24 दिन
व्याख्या
मान लीजिए B की दैनिक कार्य क्षमता 1 इकाई प्रति दिन है। चूँकि श्रमिक A, B की तुलना में तीन गुना अधिक कुशल है, इसलिए A की दैनिक क्षमता 3 इकाई प्रति दिन है।
उनकी संयुक्त क्षमता 3 + 1 = 4 इकाई प्रति दिन है।
कुल कार्य = संयुक्त क्षमता × एक साथ लिए गए दिन = 4 × 18 = 72 इकाई।
A द्वारा अकेले लिया गया समय = कुल कार्य / A की क्षमता = 72 / 3 = 24 दिन।
419Mathematics
एक कक्षा में 60 छात्र हैं, जिनमें लड़कियों और लड़कों का अनुपात 5:7 है। यदि 5 लड़के कक्षा छोड़ देते हैं, तो लड़कों और लड़कियों का अनुपात क्या होगा:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 6:5
व्याख्या
कुल छात्रों की संख्या 60 है और लड़कियों तथा लड़कों का अनुपात 5:7 है, तो अनुपात पदों का योग 5 + 7 = 12 है।
लड़कियों की संख्या = (5 ÷ 12) × 60 = 25
लड़कों की संख्या = (7 ÷ 12) × 60 = 35
जब 5 लड़के चले जाते हैं, तो शेष लड़कों की संख्या 35 - 5 = 30 होती है।
लड़कों और लड़कियों का नया अनुपात 30 : 25 = 6 : 5 है।
420Mathematics
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 2 सेमी अधिक है। यदि आयत का परिमाप 20 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 24 सेमी²
व्याख्या
माना आयत की चौड़ाई b सेमी है, तो उसकी लंबाई (b + 2) सेमी है।
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 6 × 4 = 24 सेमी²।
421Mathematics
यदि 64 सेमी परिमाप वाले एक त्रिभुज का अंतःत्रिज्या 8 सेमी है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 256 सेमी²
व्याख्या
किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी अंतःत्रिज्या और अर्ध-परिमाप से सूत्र क्षेत्रफल = r × s द्वारा संबंधित होता है, जहाँ r अंतःत्रिज्या है और s अर्ध-परिमाप है।
दिया गया है:
परिमाप = 64 सेमी
अर्ध-परिमाप (s) = 64 / 2 = 32 सेमी
अंतःत्रिज्या (r) = 8 सेमी
क्षेत्रफल = 8 × 32 = 256 सेमी²
422Mathematics
4096 का वर्गमूल है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 64
व्याख्या
चूंकि 60² = 3600 और 70² = 4900, 4096 का वर्गमूल 60 और 70 के बीच स्थित है।
विस्तार (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके:
64² = (60 + 4)² = 3600 + 2 × 60 × 4 + 16 = 3600 + 480 + 16 = 4096
इस प्रकार, √4096 = 64।
423Mathematics
यदि x = 3 और y = 5 है, तो (4x² + 4xy + y²) का मान है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 121
व्याख्या
व्यंजक 4x² + 4xy + y² एक पूर्ण वर्ग त्रिपद को दर्शाता है जो बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का अनुसरण करता है, जहाँ a = 2x और b = y है।
4x² + 4xy + y² = (2x + y)²
दिए गए मान x = 3 और y = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:
2x + y = 2(3) + 5 = 11
(2x + y)² = 11² = 121
424Mathematics
एक पुस्तक में 250 पृष्ठ हैं। व्यक्ति A एक घंटे में 6 पृष्ठ पढ़ता है। व्यक्ति B एक घंटे में 8 पृष्ठ पढ़ता है। पुस्तक में 72 पृष्ठों के दो अध्याय हैं जो व्यक्ति B के लिए पढ़ने में कठिन हैं, इसलिए व्यक्ति B उन पृष्ठों को पढ़ने में दोगुना समय लेता है। उनमें से कौन पहले पुस्तक समाप्त करेगा और दूसरे की तुलना में कितना पहले?
● सही
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उत्तर: (B) व्यक्ति B, 1 घंटा 25 मिनट
व्याख्या
व्यक्ति A द्वारा लिया गया समय = 250 / 6 = 41⅔ घंटे = 41 घंटे 40 मिनट।
व्यक्ति B के लिए:
सामान्य गति से पढ़े गए पृष्ठ = 250 - 72 = 178 पृष्ठ।
सामान्य पृष्ठों के लिए समय = 178 / 8 = 22.25 घंटे = 22 घंटे 15 मिनट।
चूंकि प्रति पृष्ठ दोगुना समय लेने का अर्थ है पढ़ने की गति आधी होना, कठिन पृष्ठों के लिए गति = 8 / 2 = 4 पृष्ठ प्रति घंटा।
कठिन पृष्ठों के लिए समय = 72 / 4 = 18 घंटे।
व्यक्ति B द्वारा लिया गया कुल समय = 22 घंटे 15 मिनट + 18 घंटे = 40 घंटे 15 मिनट।
समय में अंतर = 41 घंटे 40 मिनट - 40 घंटे 15 मिनट = 1 घंटा 25 मिनट।
425Mathematics
यदि sin θ + cos θ = (√7)/2 हो, तो sinθ - cosθ का मान ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) ½
व्याख्या
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके:
(sin θ + cos θ)² + (sin θ - cos θ)² = 2(sin² θ + cos² θ) = 2
sin θ + cos θ = √7/2 को प्रतिस्थापित करने पर:
(√7/2)² + (sin θ - cos θ)² = 2
7/4 + (sin θ - cos θ)² = 2
(sin θ - cos θ)² = 2 - 7/4 = 1/4
sin θ - cos θ = ½
426Mathematics
एक विक्रेता ने ₹600 में 300 आम खरीदे। कुछ आम सड़े हुए थे और फेंक दिए गए। उसने शेष आम ₹3 प्रति आम की दर से बेचे और ₹210 का लाभ कमाया। फेंके गए आमों का प्रतिशत है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 10%
व्याख्या
आम बेचने से कुल राजस्व = क्रय मूल्य + लाभ = ₹600 + ₹210 = ₹810।
बेचे गए आमों की संख्या = कुल राजस्व ÷ प्रति आम विक्रय मूल्य = 810 ÷ 3 = 270।
फेंके गए सड़े हुए आमों की संख्या = कुल खरीदे गए - बेचे गए आम = 300 - 270 = 30।
फेंके गए आमों का प्रतिशत = (30 ÷ 300) × 100 = 10%।
427Mathematics
यदि 5sin θ +12cos θ = 13 हो, तो 5cos θ -12sin θ का मान ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 0
व्याख्या
किसी भी वास्तविक कोण θ और स्थिरांक a और b के लिए, मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से:
(a sin θ + b cos θ)² + (a cos θ - b sin θ)² = a² + b²
सर्वसमिका में a = 5, b = 12, और a sin θ + b cos θ = 13 को प्रतिस्थापित करने पर:
13² + (5 cos θ - 12 sin θ)² = 5² + 12²
169 + (5 cos θ - 12 sin θ)² = 25 + 144
169 + (5 cos θ - 12 sin θ)² = 169
(5 cos θ - 12 sin θ)² = 0
5 cos θ - 12 sin θ = 0
428Mathematics
एक व्यक्ति क्रय मूल्य पर 4% की हानि पर फूल बेचता है, लेकिन वह मापने के लिए 25 ग्राम के बजाय 20 ग्राम वजन का उपयोग करता है। उसका प्रतिशत लाभ क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 20%
व्याख्या
मान लीजिए 1 ग्राम फूलों का क्रय मूल्य ₹1 है।
20 ग्राम का क्रय मूल्य = ₹20
25 ग्राम का विक्रय मूल्य 4% हानि पर = 25 × (100 - 4) / 100 = ₹24
चूंकि वह वास्तव में केवल 20 ग्राम देता है, इसलिए उस मात्रा के लिए उसका विक्रय मूल्य ₹24 है।
लाभ = ₹24 - ₹20 = ₹4
प्रतिशत लाभ = (4 / 20) × 100 = 20%
वैकल्पिक रूप से, दोषपूर्ण वजन सूत्र का उपयोग करके:
प्रतिशत लाभ = [(100 - हानि%) × (सच्चा वजन / झूठा वजन)] - 100
= [(100 - 4) × (25 / 20)] - 100
= (96 × 1.25) - 100 = 20%
429Mathematics
यदि x² + y² = 41 और xy = 20 है, तो ¹⁄ₓ + (1)/(y) का मान ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 9/20
व्याख्या
बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का प्रयोग करके:
(x + y)² = 41 + 2(20) = 41 + 40 = 81
x + y = √81 = 9
वांछित व्यंजक है:
1/x + 1/y = (x + y) / xy = 9/20
430Mathematics
यदि दो संख्याओं का म.स.प. (HCF) और ल.स.प. (LCM) क्रमशः 8 और 160 है, तो संख्याओं का योग है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 72
व्याख्या
मान लीजिए दो संख्याएँ 8a और 8b हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं।
मानक संबंध का उपयोग करके:
दो संख्याओं का गुणनफल = म.स.प. × ल.स.प.
8a × 8b = 8 × 160
64ab = 1280
ab = 20
20 के सह-अभाज्य गुणनखंड युग्म (1, 20) और (4, 5) हैं।
(a, b) = (4, 5) लेने पर:
पहली संख्या = 8 × 4 = 32
दूसरी संख्या = 8 × 5 = 40
संख्याओं का योग = 32 + 40 = 72
431Mathematics
यदि A का 20% B के 25% के बराबर है, तो A का 28% B के कितने प्रतिशत के बराबर होगा?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 35
व्याख्या
दिया गया है कि A का 20% = B का 25%, A को B के पदों में व्यक्त करें:
0.20 × A = 0.25 × B
A = (25 / 20) × B = 1.25 × B
A को 28% A में प्रतिस्थापित करें:
A का 28% = 0.28 × A
= 0.28 × (1.25 × B)
= 0.35 × B
= B का 35%
432Mathematics
70 किमी/घंटा की गति से चलने वाली एक ट्रेन, रेलवे लाइन के समानांतर विपरीत दिशा में सवारी कर रहे एक व्यक्ति को 2 सेकंड में पार करती है। यदि सवार उसी दिशा में जाता है, तो ट्रेन उसे पार करने में 5 सेकंड लेती है। सवार की गति क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 30 किमी/घंटा
व्याख्या
मान लीजिए सवार की गति v किमी/घंटा है और ट्रेन की लंबाई L मीटर है।
दोनों ही मामलों में सवार को पार करते समय तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई L के बराबर है।
विपरीत दिशाओं में:
L = (70 + v) × (5/18) × 2
समान दिशा में:
L = (70 - v) × (5/18) × 5
L के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
(70 + v) × 2 = (70 - v) × 5
140 + 2v = 350 - 5v
7v = 210
v = 30 किमी/घंटा
433Mathematics
एक संख्या के 3% और दूसरी संख्या के 2% का योग, पहली संख्या के 3% और दूसरी संख्या के 5% के योग के ¾ के बराबर है। पहली संख्या और दूसरी संख्या का अनुपात है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 7:3
व्याख्या
मान लीजिए पहली संख्या x है और दूसरी संख्या y है।
दी गई शर्त के अनुसार:
x का 3% + y का 2% = ¾ × (x का 3% + y का 5%)
प्रतिशत हटाने के लिए 100 से गुणा करने पर:
3x + 2y = ¾ × (3x + 5y)
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर:
4 × (3x + 2y) = 3 × (3x + 5y)
12x + 8y = 9x + 15y
12x - 9x = 15y - 8y
3x = 7y
x : y = 7 : 3
434Mathematics
यदि 65 × 65 = 4225 है, तो 6.5 × 6.5 का मान = ?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 42.25
व्याख्या
चूंकि 6.5 = 65 / 10 है, इसलिए दिए गए व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
दिए गए मान 65 × 65 = 4225 को प्रतिस्थापित करने पर:
4225 / 100 = 42.25
वैकल्पिक रूप से, चूंकि प्रत्येक गुणनखंड में एक दशमलव स्थान है, इसलिए गुणनफल में कुल दो दशमलव स्थान होने चाहिए, जिससे 4225 में दशमलव बिंदु को दाईं ओर से दो अंक रखने पर 42.25 प्राप्त होता है।
435Mathematics
777⅕ + 777⅖ + 777⅗ + 777⅘ का मान ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 3110
व्याख्या
व्यंजक को पूर्णांक और भिन्न भागों में विभाजित किया जा सकता है:
यदि A = ⅔ B और B = ⅓ C है, तो A: B: C का मान ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 2: 3: 9
व्याख्या
दिया गया है:
A = (2/3)B ⇒ A : B = 2 : 3
B = (1/3)C ⇒ B : C = 1 : 3
अनुपातों को संयोजित करने के लिए, दोनों अनुपातों में B के संगत मान को समान बनाएं, B : C को 3 से गुणा करके:
B : C = (1 × 3) : (3 × 3) = 3 : 9
A : B और B : C को संयोजित करने पर प्राप्त होता है:
A : B : C = 2 : 3 : 9
437Mathematics
निम्नलिखित तालिका भारत के पाँच विभिन्न राज्यों से 5 वर्षों में एसएससी परीक्षा में बैठने वाले छात्रों की संख्या दर्शाती है। तालिका के आधार पर नीचे दिए गए प्रश्न का उत्तर दें।
राज्य ए.पी. यू.पी. एम.पी. पंजाब केरल
वर्ष
2012 410 300 250 280 440
2013 500 400 280 320 400
2014 450 450 240 260 350
2015 320 500 400 400 380
2016 500 430 540 350 420
2013 और 2014 में संयुक्त रूप से यू.पी. से परीक्षा में बैठने वाले छात्रों की कुल संख्या का, उसी अवधि के लिए एम.पी. से बैठने वाले छात्रों की कुल संख्या से अनुपात क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 85:52
व्याख्या
2013 और 2014 में यू.पी. से कुल छात्र = 400 + 450 = 850।
2013 और 2014 में एम.पी. से कुल छात्र = 280 + 240 = 520।
वांछित अनुपात = 850 : 520 = 85 : 52।
438Mathematics
एक गाँव की कुल जनसंख्या 4,000 है। पुरुषों और महिलाओं की संख्या क्रमशः 10% और 20% बढ़ जाती है और परिणामस्वरूप गाँव की जनसंख्या 4500 हो जाती है। नए सदस्यों के आने से पहले गाँव में पुरुषों की संख्या कितनी थी?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 3000
व्याख्या
गाँव की जनसंख्या में समग्र प्रतिशत वृद्धि ((4500 - 4000) / 4000) × 100 = 12.5% है।
मिश्रण के नियम का उपयोग करके:
पुरुष वृद्धि दर = 10%
महिला वृद्धि दर = 20%
समग्र वृद्धि दर = 12.5%
पुरुषों की प्रारंभिक संख्या = (3 / 4) × 4000 = 3000।
439Mathematics
सरल करें।
9 + (45 ÷ 9) - 8 × (-4)
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 46
व्याख्या
संचालनों के मानक क्रम (BODMAS/PEMDAS) का उपयोग करके:
कोष्ठक / भाग के अंदर पद का मूल्यांकन करें:
45 ÷ 9 = 5
गुणा करें:
8 × (-4) = -32
बाएं से दाएं जोड़ और घटाव को मिलाएं:
9 + 5 - (-32) = 14 + 32 = 46
440Mathematics
एक परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए एक छात्र को 40% अंक प्राप्त करने होंगे। उसे 70 अंक मिलते हैं और वह 20 अंकों से अनुत्तीर्ण हो जाता है। अधिकतम अंक ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 225
व्याख्या
उत्तीर्ण अंक = प्राप्त अंक + कमी = 70 + 20 = 90 अंक।
चूंकि अधिकतम अंकों का 40% उत्तीर्ण अंकों (90) के बराबर है, इसलिए अधिकतम अंक = (90 / 40) × 100 = 225।
441Mathematics
एक व्यक्ति ने 5 के ₹50 की दर से कुछ सेब खरीदे और उतनी ही संख्या में 6 के ₹50 की दर से खरीदे। यदि वह उन्हें 11 के ₹100 की दर से बेचता है, तो उसे कितने प्रतिशत लाभ या हानि होगी?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) ¹⁰⁰⁄₁₂₁% हानि
व्याख्या
मान लीजिए व्यक्ति प्रत्येक प्रकार के 30 सेब खरीदता है (5 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य), जिससे कुल 60 सेब होते हैं।
क्रय मूल्य (CP):
पहले प्रकार के 30 सेबों का क्रय मूल्य = 30 × (50 / 5) = ₹300
दूसरे प्रकार के 30 सेबों का क्रय मूल्य = 30 × (50 / 6) = ₹250
कुल क्रय मूल्य = ₹300 + ₹250 = ₹550
विक्रय मूल्य (SP):
11 के ₹100 की दर से 60 सेबों का विक्रय मूल्य = 60 × (100 / 11) = ₹6000 / 11
7 का वह लघुत्तम गुणज ज्ञात कीजिए जिसे 8, 12 और 16 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 3 शेष बचता है।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) 147
व्याख्या
8, 12 और 16 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 48 है।
कोई भी संख्या जिसे 8, 12 और 16 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है, वह N = 48k + 3 के रूप की होगी, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।
k = 1 के लिए: N = 48(1) + 3 = 51
k = 2 के लिए: N = 48(2) + 3 = 99
k = 3 के लिए: N = 48(3) + 3 = 147
चूंकि 147 ÷ 7 = 21, 147, 7 का एक गुणज है और ऐसी सबसे छोटी संख्या है।
443Mathematics
एक दुकानदार ने एक निर्माता से ₹37,500 में 25 कुर्सियाँ खरीदीं और उन्हें 5 कुर्सियों के विक्रय मूल्य के बराबर लाभ पर बेच दिया। तब एक कुर्सी का विक्रय मूल्य है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 1875
व्याख्या
माना 1 कुर्सी का विक्रय मूल्य (SP) ₹x है।
25 कुर्सियों का कुल विक्रय मूल्य = 25x
लाभ = 5 कुर्सियों का विक्रय मूल्य = 5x
कुल क्रय मूल्य (CP) = ₹37,500
लाभ सूत्र का उपयोग करके:
लाभ = कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य
5x = 25x - 37,500
20x = 37,500
x = 37,500 / 20 = ₹1,875
इसलिए, एक कुर्सी का विक्रय मूल्य ₹1,875 है।
444Mathematics
यदि a - b = 4 और a² +b² = 10 है, तो a³ - b³ का मान है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 28
व्याख्या
बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का प्रयोग करके:
4² = 10 - 2ab
16 = 10 - 2ab
2ab = -6
ab = -3
इसके बाद, घनों के अंतर के लिए सर्वसमिका का प्रयोग करके:
a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab)
यदि (x+1) और (x+2) बहुपद ax³+3x²+bx के गुणनखंड हैं, तो a और b के मान हैं:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) a=1 और b=2
व्याख्या
गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, यदि (x + 1) और (x + 2) बहुपद P(x) = ax³ + 3x² + bx के गुणनखंड हैं, तो P(-1) = 0 और P(-2) = 0 होगा।
P(-1) = 0 का मूल्यांकन करने पर:
a(-1)³ + 3(-1)² + b(-1) = 0
-a + 3 - b = 0
a + b = 3
P(-2) = 0 का मूल्यांकन करने पर:
a(-2)³ + 3(-2)² + b(-2) = 0
-8a + 12 - 2b = 0
4a + b = 6
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर 3a = 3 प्राप्त होता है, जिससे a = 1 मिलता है। a = 1 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 1 + b = 3 प्राप्त होता है, इसलिए b = 2।
448Mathematics
12, 39 और 54 का म.स.प. (महत्तम समापवर्तक) है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 3
व्याख्या
दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
12 = 2² × 3
39 = 3 × 13
54 = 2 × 3³
महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल लेकर निर्धारित किया जाता है। तीनों संख्याओं में उभयनिष्ठ एकमात्र अभाज्य गुणनखंड 3 है, जिसकी निम्नतम घात 1 है।
म.स.प.(12, 39, 54) = 3¹ = 3।
449Mathematics
छह साल बाद सुनील की आयु कमल की आयु की दोगुनी होगी। दो साल पहले वह कमल की आयु का चार गुना था। कमल की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 6 वर्ष
व्याख्या
मान लीजिए सुनील और कमल की वर्तमान आयु क्रमशः S और K है।
पहली शर्त से (छह साल बाद):
S + 6 = 2(K + 6)
S - 2K = 6
दूसरी शर्त से (दो साल पहले):
S - 2 = 4(K - 2)
S - 4K = -6
पहली समीकरण से दूसरी समीकरण को घटाने पर:
(S - 2K) - (S - 4K) = 6 - (-6)
2K = 12
K = 6
450Mathematics
0.225 और 0.227 के बीच कितनी दशमलव संख्याएँ पाई जा सकती हैं?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) अनंत
व्याख्या
किन्हीं भी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच, दशमलव संख्याओं का एक अनंत घनत्व मौजूद होता है। 0.225 और 0.227 के बीच, 0.2251, 0.22501, 0.225001, और इसी तरह, दशमलव स्थानों को बढ़ाकर अनंत संख्याएँ बनाई जा सकती हैं। वास्तविक संख्याओं का यह गुण सुनिश्चित करता है कि किन्हीं भी दो भिन्न दशमलव के बीच असीमित मान होते हैं।
