आईबीपीएस पीओ प्रारंभिक परीक्षा 2019 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समीकरण I को हल करने पर: x³ = 2744 से x = ∛2744 = 14 प्राप्त होता है। समीकरण II को हल करने पर: y² = 324 से y = √324 = 18 या y = -18 प्राप्त होता है।

मूलों के प्रत्येक संभावित जोड़े की तुलना करने पर: जब y = 18, x = 14 < 18। जब y = -18, x = 14 > -18।

चूंकि एक मामले में x, y से बड़ा है और दूसरे मामले में छोटा है, इसलिए x और y के बीच कोई निश्चित संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या

द्विघात समीकरण I को हल करना: 7x² - 17x + 6 = 0 गुणनखंड करने पर 7x² - 14x - 3x + 6 = 0 प्राप्त होता है, जो (7x - 3)(x - 2) = 0 को सरल करता है। मूल x = 2 या x = 3/7 ≈ 0.43 हैं।

द्विघात समीकरण II को हल करना: 5y² - 24y + 16 = 0 गुणनखंड करने पर 5y² - 20y - 4y + 16 = 0 प्राप्त होता है, जो (5y - 4)(y - 4) = 0 को सरल करता है। मूल y = 4 या y = 4/5 = 0.8 हैं।

मूलों की तुलना करना: जब x = 2 और y = 4, x < y। जब x = 2 और y = 0.8, x > y। चूंकि x एक युग्म में y से छोटा है और दूसरे में बड़ा है, इसलिए x और y के बीच कोई संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या

समीकरण I को हल करना: 13x² + 9x - 4 = 0 गुणनखंड करने पर 13x² + 13x - 4x - 4 = 0 प्राप्त होता है, जिससे (13x - 4)(x + 1) = 0 मिलता है। मूल x = 4/13 ≈ 0.31 और x = -1 हैं।

समीकरण II को हल करना: 2y² + y - 3 = 0 गुणनखंड करने पर 2y² - 2y + 3y - 3 = 0 प्राप्त होता है, जिससे (2y + 3)(y - 1) = 0 मिलता है। मूल y = 1 और y = -1.5 हैं।

मूलों की तुलना: 0.31 < 1, लेकिन 0.31 > -1.5। चूंकि एक मूल संयोजन के लिए x, y से छोटा है और दूसरे के लिए y से बड़ा है, इसलिए x और y के बीच कोई संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या

समीकरण I को हल करना: x² + 13x + 42 = 0 गुणनखंड करने पर (x + 6)(x + 7) = 0 प्राप्त होता है। मूल x = -6 और x = -7 हैं।

समीकरण II को हल करना: y² + 8y + 12 = 0 गुणनखंड करने पर (y + 6)(y + 2) = 0 प्राप्त होता है। मूल y = -6 और y = -2 हैं।

मूलों की तुलना: x = -6 और y = -6 के लिए, x = y। x = -6 और y = -2 के लिए, x < y। x = -7 और y = -6 के लिए, x < y। x = -7 और y = -2 के लिए, x < y। सभी मामलों में, x, y से कम या उसके बराबर है (x ≤ y)।

व्याख्या

समीकरण I को हल करना: x² + 21x + 108 = 0 गुणनखंड करने पर (x + 12)(x + 9) = 0 प्राप्त होता है। मूल x = -12 और x = -9 हैं।

समीकरण II को हल करना: y² + 14y + 48 = 0 गुणनखंड करने पर (y + 8)(y + 6) = 0 प्राप्त होता है। मूल y = -8 और y = -6 हैं।

मूलों की तुलना: -12 < -8 -12 < -6 -9 < -8 -9 < -6 x का प्रत्येक मान y के प्रत्येक मान से सख्ती से छोटा है, इसलिए x < y।

व्याख्या

समीकरण I को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x² + 24x + 119 = 0 गुणनखंड करने पर (x + 17)(x + 7) = 0 प्राप्त होता है। मूल x = -17 और x = -7 हैं।

समीकरण II को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 3y² + 10y + 7 = 0 गुणनखंड करने पर 3y² + 3y + 7y + 7 = 0 प्राप्त होता है, जिससे (3y + 7)(y + 1) = 0 मिलता है। मूल y = -7/3 ≈ -2.33 और y = -1 हैं।

मूलों की तुलना करने पर: -17 < -2.33 -17 < -1 -7 < -2.33 -7 < -1 x का प्रत्येक मान y के प्रत्येक मान से सख्ती से छोटा है, इसलिए x < y।

व्याख्या

समीकरण I को हल करने पर, 2x² + 7x - 60 = 0: मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडन करने पर 2x² + 15x - 8x - 60 = 0 प्राप्त होता है, जो (2x + 15)(x - 4) = 0 को सरल करता है। इससे मूल x = -15/2 = -7.5 और x = 4 प्राप्त होते हैं।

समीकरण II को हल करने पर, 3y² - 28y + 64 = 0: मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडन करने पर 3y² - 12y - 16y + 64 = 0 प्राप्त होता है, जो (3y - 16)(y - 4) = 0 को सरल करता है। इससे मूल y = 16/3 ≈ 5.33 और y = 4 प्राप्त होते हैं।

सभी मूल युग्मों की तुलना करने पर: जब x = -7.5, x < 4 और x < 5.33। जब x = 4, x = 4 और x < 5.33। इसलिए, सभी मूल युग्मों के लिए x ≤ y सत्य है।

व्याख्या

मान लीजिए बस की गति 6s और कार की गति 7s है। चूंकि दोनों एक ही बिंदु से एक ही दिशा में शुरू करते हैं, बस के सापेक्ष कार की सापेक्ष गति 7s - 6s = s है। 4 घंटे बाद उनके बीच की दूरी 28 किमी दी गई है। दूरी = सापेक्ष गति × समय 28 = s × 4 ⇒ s = 7 किमी/घंटा।

कार की गति = 7 × 7 = 49 किमी/घंटा। कार द्वारा 196 किमी की दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय = दूरी ÷ गति = 196 ÷ 49 = 4 घंटे।

व्याख्या

45 लड़कियों का मूल औसत वज़न = 53 किग्रा। गलत पढ़े गए वज़न का योग = 49 + 57 = 106 किग्रा। सही वास्तविक वज़न का योग = 45 + 52 = 97 किग्रा। कुल वज़न में शुद्ध परिवर्तन = सही योग - गलत योग = 97 - 106 = -9 किग्रा।

वर्ग के औसत वज़न में परिवर्तन = कुल वज़न में शुद्ध परिवर्तन ÷ लड़कियों की संख्या औसत में परिवर्तन = -9 ÷ 45 = -0.20 किग्रा।

वास्तविक औसत वज़न = मूल औसत + औसत में परिवर्तन वास्तविक औसत वज़न = 53 - 0.20 = 52.80 किग्रा।

व्याख्या

एक आयताकार खेत का परिमाप = बाड़ लगाने की कुल लागत ÷ प्रति मीटर दर परिमाप = 208 ÷ 4 = 52 मीटर।

माना दी गई अनुपात 9 : 4 के अनुसार चौड़ाई 9x और लंबाई 4x है। परिमाप सूत्र = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) 2 × (9x + 4x) = 52 2 × 13x = 52 26x = 52 ⇒ x = 2.

चौड़ाई = 9 × 2 = 18 मीटर। लंबाई = 4 × 2 = 8 मीटर। आयताकार खेत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 18 × 8 = 144 मी²।

व्याख्या

मान लीजिए मेघा और रितु की वर्तमान आयु क्रमशः M और R है। वर्तमान आयु का योग: M + R = 18 × 2 = 36 छह वर्ष बाद: M + 6 = 2 × (R + 6) M - 2R = 6

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: 3R = 30 ⇒ R = 10 M = 36 - 10 = 26

मेघा की वर्तमान आयु 26 वर्ष है।

व्याख्या

भारित प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: भाग 1: 50% वस्तुएँ 20% लाभ पर बेची गईं = 0.50 × 20% = +10% भाग 2: शेष (25%) की 50% वस्तुएँ 10% लाभ पर बेची गईं = 0.25 × 10% = +2.5% भाग 3: शेष (5%) की 20% वस्तुएँ 10% हानि पर बेची गईं = 0.05 × (-10%) = -0.5% भाग 4: शेष (20%) 20% हानि पर बेची गईं = 0.20 × (-20%) = -4%

शुद्ध लाभ प्रतिशत = 10 + 2.5 - 0.5 - 4 = 8%

व्याख्या

लाल गेंदों की संख्या = 4 पीली गेंदों की संख्या = 5 लाल और पीली गेंदों का औसत = (4 + 5) / 2 = 4.5 हरी गेंदों की संख्या = 2 × 4.5 = 9 कुल गेंदें = 4 + 5 + 9 = 18

2 लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता = ⁴C₂ / ¹⁸C₂ ⁴C₂ = 6 ¹⁸C₂ = 153 P = 6 / 153 = 2 / 51

व्याख्या

उन 4 लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानें जो हमेशा एक साथ बैठनी चाहिए। व्यवस्थित की जाने वाली कुल इकाइयाँ = (10 - 4 + 1) = 7 7 इकाइयों की व्यवस्था = 7! = 5040 ब्लॉक के भीतर 4 लड़कियों की आंतरिक व्यवस्था = 4! = 24

व्यवस्थाओं की कुल संख्या = 7! × 4! = 5040 × 24 = 120960

व्याख्या

मान लीजिए धारा की गति y किमी/घंटा है। शांत जल में नाव की गति = y + y का 300% = 4y किमी/घंटा। अनुप्रवाह गति = 4y + y = 5y किमी/घंटा। उर्ध्वप्रवाह गति = 4y - y = 3y किमी/घंटा।

अनुप्रवाह गति से: (x + 20) / 5y = 5 ⇒ x + 20 = 25y उर्ध्वप्रवाह गति से: (x - 5) / 3y = 5 ⇒ x - 5 = 15y

दोनों समीकरणों को घटाने पर: 25 = 10y ⇒ y = 2.5

y को x - 5 = 15y में प्रतिस्थापित करने पर: x - 5 = 15 × 2.5 = 37.5 x = 42.5

व्याख्या

पहले समीकरण के लिए, गुणनखंडन करने पर (2x + 9)(x - 3) = 0 प्राप्त होता है, जिससे x = -4.5 और x = 3 मिलते हैं। दूसरे समीकरण के लिए, गुणनखंडन करने पर (3y - 14)(y + 3) = 0 प्राप्त होता है, जिससे y = 14/3 ≈ 4.67 और y = -3 मिलते हैं। मूलों की तुलना करने पर, x = 3, y = -3 से बड़ा है, लेकिन x = -4.5, y = -3 से छोटा है। इसलिए, x और y के बीच कोई संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या

x² - 2x - 15 = 0 को हल करने पर (x - 5)(x + 3) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए x = 5 और x = -3। y² - 4y - 12 = 0 को हल करने पर (y - 6)(y + 2) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए y = 6 और y = -2। x = 5 की तुलना y = -2 से करने पर x > y प्राप्त होता है, लेकिन x = 5 की तुलना y = 6 से करने पर x < y प्राप्त होता है। चूंकि चुने गए मूलों के आधार पर संबंध भिन्न होता है, इसलिए x और y के बीच कोई संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या

x² - 20x + 96 = 0 को हल करने पर (x - 12)(x - 8) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए x = 12 और x = 8। y² - 10y + 24 = 0 को हल करने पर (y - 6)(y - 4) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए y = 6 और y = 4। मूलों के सभी युग्मों की तुलना करने पर: 12 > 6, 12 > 4, 8 > 6, और 8 > 4। चूँकि सभी मामलों में x, y से सख्ती से बड़ा है, इसलिए x > y।

व्याख्या

6x² + 13x + 5 = 0 को हल करने पर मूल x = -5/3 ≈ -1.67 और x = -1/2 = -0.5 प्राप्त होते हैं। 3y² + 11y + 10 = 0 को हल करने पर मूल y = -2 और y = -5/3 ≈ -1.67 प्राप्त होते हैं। इन मानों की तुलना करने पर पता चलता है कि -0.5 दोनों -2 और -1.67 से बड़ा है, जबकि -1.67, -1.67 के बराबर है और -2 से बड़ा है। इस प्रकार, x ≥ y।

व्याख्या

6x + 7y = 52 को 2 से गुणा करने पर 12x + 14y = 104 प्राप्त होता है। 14x + 4y = 35 को 3.5 से गुणा करने पर 49x + 14y = 122.5 प्राप्त होता है। दूसरे परिणामी समीकरण को पहले परिणामी समीकरण से घटाने पर 37x = 18.5 प्राप्त होता है, इसलिए x = 0.5। x = 0.5 को 6x + 7y = 52 में प्रतिस्थापित करने पर 3 + 7y = 52 प्राप्त होता है, जिससे y = 7 प्राप्त होता है। चूँकि 0.5 < 7, इसलिए x < y।

व्याख्या

x² - 12x + 32 = 0 को हल करने पर x = 8 और x = 4 प्राप्त होता है। y² - 18y + 77 = 0 को हल करने पर y = 11 और y = 7 प्राप्त होता है। मूलों की तुलना करने पर पता चलता है कि x = 8, y = 7 से बड़ा है, लेकिन x = 8, y = 11 से छोटा है। क्योंकि x, y से बड़ा और छोटा दोनों हो सकता है, इसलिए x और y के बीच कोई संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी है, इसलिए उसकी भुजा की लंबाई √64 = 8 सेमी है। वर्ग का विकर्ण, जो बेलन की ऊँचाई के बराबर है, 8√2 सेमी है। आयतन सूत्र V = π r² h का उपयोग त्रिज्या r = 7 सेमी और ऊँचाई h = 8√2 सेमी के साथ करने पर V = (22/7) × 7² × 8√2 = 22 × 7 × 8√2 = 1232√2 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि साधारण ब्याज पर 3 वर्षों में मूलधन दोगुना हो जाता है, इसलिए ब्याज मूलधन के बराबर है, अतः SI = P × R × 3 / 100 = P, जिससे R = 100/3% प्रति वर्ष प्राप्त होता है। चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, Rs 5000 पर 2 वर्षों के बाद कुल राशि A = P(1 + R/100)² = 5000 × (1 + 1/3)² = 5000 × (4/3)² = 80000/9 ≈ Rs 8888.89 होगी। चक्रवृद्धि ब्याज 8888.89 - 5000 = Rs 3888.89 है, जो Rs 3889 के लगभग है।

व्याख्या

चूंकि 7 पुरुष या 10 महिलाएँ 10 दिनों में कार्य पूरा कर सकते हैं, इसलिए 7 पुरुष = 10 महिलाएँ, और कुल कार्य = 10 × 10 = 100 महिला-दिन है। कार्य को 4 दिनों में पूरा करने के लिए, दैनिक आवश्यकता 100 / 4 = 25 महिलाएँ प्रति दिन है। पहले से काम कर रही 15 महिलाओं के साथ, 10 महिलाओं के बराबर अतिरिक्त कार्यबल की आवश्यकता है। चूंकि 10 महिलाएँ 7 पुरुषों के बराबर हैं, इसलिए 15 महिलाओं की सहायता के लिए 7 पुरुषों की आवश्यकता है।

व्याख्या

मान लीजिए राजेश का वेतन 100 है। गुथी राजेश से 30% अधिक कमाती है, इसलिए गुथी का वेतन 130 है। चप्पू गुथी से 20% कम कमाता है, इसलिए चप्पू का वेतन 130 × 0.8 = 104 है। दिनेश चप्पू से 50% अधिक कमाता है, इसलिए दिनेश का वेतन 104 × 1.5 = 156 है। दिनेश के 156 वेतन की तुलना राजेश के 100 वेतन से करने पर 56 का अंतर आता है, जिसका अर्थ है कि दिनेश का वेतन राजेश के वेतन से 56% अधिक है।

व्याख्या

श्रृंखला में पैटर्न है: 2 × 2 - 1 = 3 3 × 3 - 2 = 7 7 × 4 - 3 = 25 25 × 5 - 4 = 121 121 × 6 - 5 = 721

व्याख्या

दी गई श्रृंखला में पैटर्न है: 5 × 2 + 9 = 19 19 × 2 + 7 = 45 45 × 2 + 5 = 95 95 × 2 + 3 = 193 193 × 2 + 1 = 387

व्याख्या

क्रमिक पदों के बीच का अंतर है: 8 - 2 = 6 20 - 8 = 12 = 6 × 2 56 - 20 = 36 = 12 × 3 200 - 56 = 144 = 36 × 4

अगला अंतर 144 × 5 = 720 होगा। लुप्त पद 200 + 720 = 920 है।

व्याख्या

श्रृंखला में संक्रियाओं का पैटर्न है: 32 × 1 = 32 32 ÷ 2 = 16 16 × 3 = 48 48 ÷ 4 = 12 12 × 5 = 60

व्याख्या

क्रमागत पदों के बीच अंतर का पैटर्न है: 6 + 2² = 6 + 4 = 10 10 + 3² = 10 + 9 = 19 19 + 2³ = 19 + 8 = 27 27 + 3³ = 27 + 27 = 54 54 + 2⁴ = 54 + 16 = 70

व्याख्या

श्रृंखला का nवाँ पद Tₙ = (n - 2)⁴ द्वारा दिया गया है: T₁ = (1 - 2)⁴ = 1 T₂ = (2 - 2)⁴ = 0 T₃ = (3 - 2)⁴ = 1 T₄ = (4 - 2)⁴ = 16 T₅ = (5 - 2)⁴ = 81 T₆ = (6 - 2)⁴ = 256 T₇ = (7 - 2)⁴ = 625

व्याख्या

मान लीजिए कुल राशि T है। इच्छित अनुपात = 1 : 3 : 5 (कुल भाग = 9) वास्तविक अनुपात = 2 : 3 : 6 (कुल भाग = 11)

B का इच्छित हिस्सा = T / 3 B का वास्तविक हिस्सा = 3T / 11

B के हिस्से में अंतर = T / 3 - 3T / 11 = 2T / 33 = 42 T = (42 × 33) / 2 = 693

A को प्राप्त होने वाली इच्छित राशि = (1 / 9) × 693 = 77

व्याख्या

रेलगाड़ी की गति = 72 किमी/घंटा = 72 × (5 / 18) = 20 मी/से व्यक्ति के सापेक्ष रेलगाड़ी की सापेक्ष गति = 20 - 2 = 18 मी/से

रेलगाड़ी की लंबाई = सापेक्ष गति × समय = 18 × 10 = 180 मी

L लंबाई की सुरंग को पार करते समय: कुल दूरी = रेलगाड़ी की लंबाई + सुरंग की लंबाई = 180 + L गति = 20 मी/से, समय = 54 से

180 + L = 20 × 54 = 1080 L = 1080 - 180 = 900 मी

व्याख्या

मान लीजिए नीरज का प्रारंभिक निवेश 3x है और अरुण का प्रारंभिक निवेश 5x है।

12 महीनों के लिए नीरज का निवेश = 3x × 12 = 36x पहले 4 महीनों के लिए अरुण का निवेश = 5x × 4 = 20x शेष 8 महीनों के लिए अरुण का घटा हुआ निवेश = (5x - x) × 8 = 32x अरुण के लिए कुल निवेश इकाइयाँ = 20x + 32x = 52x

लाभ के हिस्सों का अनुपात (नीरज : अरुण) = 36 : 52 = 9 : 13 नीरज का लाभ हिस्सा = (9 / 22) × 880 = 360

व्याख्या

धारा के प्रतिकूल गति = नाव की गति - नदी की गति = 17 किमी/घंटा नदी की गति = 3 किमी/घंटा

शांत जल में नाव की गति = 17 + 3 = 20 किमी/घंटा धारा के साथ गति = नाव की गति + नदी की गति = 20 + 3 = 23 किमी/घंटा