एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2015 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि मूल रूप से 150 श्रमिकों द्वारा कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या 'd' थी। कुल कार्य = 150d श्रमिक-दिन

जब श्रमिक प्रतिदिन काम छोड़ते हैं, तो लगातार दिनों में काम करने वाले श्रमिकों की संख्या एक समांतर श्रेणी बनाती है जिसका पहला पद a = 150 और सार्व अंतर d_diff = -4 है: 150, 146, 142, ...

मान लीजिए कि कार्य को पूरा करने में लगे कुल दिनों की संख्या 'n' है। चूंकि इसमें 8 दिन अधिक लगते हैं, n = d + 8, जिससे d = n - 8 प्राप्त होता है।

इस समांतर श्रेणी का 'n' पदों तक का योग कुल कार्य को दर्शाता है: कुल कार्य = (n/2) × [2a + (n - 1)d_diff] कुल कार्य = (n/2) × [2 × 150 + (n - 1)(-4)] कुल कार्य = (n/2) × [300 - 4n + 4] कुल कार्य = (n/2) × [304 - 4n] कुल कार्य = n(152 - 2n)

कुल कार्य के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 150(n - 8) = n(152 - 2n) 150n - 1200 = 152n - 2n² 2n² - 2n - 1200 = 0 n² - n - 600 = 0 (n - 25)(n + 24) = 0

n के धनात्मक मान को हल करने पर n = 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दूध और पानी का प्रारंभिक अनुपात 5 : 1 है, जिसका अर्थ है कि दूध के 5 भाग और पानी का 1 भाग है।

जब मिश्रण में 5 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो दूध और पानी का नया अनुपात 5 : 2 हो जाता है।

चूंकि केवल पानी मिलाया गया है, दूध की मात्रा दोनों अनुपातों में 5 भाग पर स्थिर रहती है। पानी की मात्रा 1 भाग से बढ़कर 2 भाग हो जाती है, जो 2 - 1 = 1 भाग की वृद्धि है।

1 भाग की यह वृद्धि सीधे मिलाए गए 5 लीटर पानी के बराबर है। इसलिए, 1 भाग 5 लीटर के बराबर है।

मिश्रण में दूध की मात्रा 5 भागों द्वारा दर्शायी जाती है। दूध की मात्रा = 5 × 5 = 25 लीटर।

व्याख्या

2 और 22 के बीच की विषम पूर्णांक 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 और 21 हैं। ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जहाँ पहला पद a 3 है और अंतिम पद l 21 है।

किसी भी समांतर श्रेणी के लिए, पदों का औसत पहले और अंतिम पद के औसत के बराबर होता है, जो सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत = (a + l) / 2

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत = (3 + 21) / 2 = 24 / 2 = 12

व्याख्या

घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके 32146 का वर्गमूल निकालते हैं।

दाएं से बाएं अंकों का समूह बनाने पर, हमें 3, 21 और 46 मिलते हैं। सबसे पहले, 3 से छोटी या उसके बराबर सबसे बड़ी वर्ग संख्या 1 है, जिसका शेषफल 2 है। 21 नीचे लाने पर 221 मिलता है।

भागफल 1 का दोगुना करने पर 2 मिलता है। चूँकि 27 × 7 = 189, हम 221 में से 189 घटाते हैं तो 32 प्राप्त होता है। 46 नीचे लाने पर 3246 मिलता है।

भागफल 17 का दोगुना करके 34 प्राप्त करते हैं, हम अगला अंक ज्ञात करते हैं। चूँकि 349 × 9 = 3141, हम 3246 में से 3141 घटाते हैं, जिससे 105 शेष बचता है।

शेषफल 105 उस अतिरिक्त मान को दर्शाता है जो 32146 को पूर्ण वर्ग बनने से रोकता है। 32146 में से 105 घटाने पर 32041 प्राप्त होता है, जो 179 का पूर्ण वर्ग है।

व्याख्या

रोलर एक बेलन है जहाँ लंबाई (h) 1.2 मीटर और त्रिज्या (r) 84 सेमी व्यास का आधा है, जो 42 सेमी या 0.42 मीटर है।

एक पूर्ण चक्कर में रोलर द्वारा कवर किया गया क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल के बराबर होता है: प्रति चक्कर क्षेत्रफल = 2πrh प्रति चक्कर क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 0.42 × 1.2 = 3.168 वर्ग मीटर

500 चक्करों में समतल किया गया कुल क्षेत्रफल है: कुल क्षेत्रफल = 500 × 3.168 = 1584 वर्ग मीटर

₹1.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से मैदान को समतल करने की कुल लागत है: कुल लागत = 1584 × 1.50 = ₹2376

व्याख्या

मान लीजिए कि डाकघर में जमा की गई राशि P है और बैंक में जमा की गई राशि B है। कुल जमा राशि है: P + B = 3,00,000

मासिक ब्याज आय ₹2,000 है। इस प्रकार, वार्षिक ब्याज आय है: 2,000 × 12 = ₹24,000

चूंकि डाकघर और बैंक के लिए वार्षिक ब्याज दरें क्रमशः 10% और 6% हैं, हम इसे इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 0.10 P + 0.06 B = 24,000

दशमलव हटाने के लिए इस समीकरण को 100 से गुणा करने पर: 10 P + 6 B = 24,00,000 5 P + 3 B = 12,00,000

अब, पहले समीकरण (P + B = 3,00,000) को 3 से गुणा करने पर: 3 P + 3 B = 9,00,000

इसे सरलीकृत ब्याज समीकरण से घटाने पर: (5 P + 3 B) - (3 P + 3 B) = 12,00,000 - 9,00,000 2 P = 3,00,000 P = 1,50,000

P को कुल जमा समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: B = 1,50,000

दोनों जमाओं के बीच का अंतर है: 1,50,000 - 1,50,000 = 0 (शून्य)

व्याख्या

आधार त्रिज्या r और ऊंचाई h वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन V, सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ त्रिज्या r = 5 सेमी, ऊंचाई h = 21 सेमी, और π = 22/7 है: V = (22/7) × 5² × 21 V = (22/7) × 25 × 21 V = 22 × 25 × 3 V = 1650 सेमी³

व्याख्या

शंकु का आयतन V, सूत्र V = 1/3 × π × r² × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

9 सेमी भुजा को आधार त्रिज्या (r) और 12 सेमी भुजा को ऊँचाई (h) के रूप में लेते हुए, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: V = 1/3 × π × 9² × 12 V = 1/3 × π × 81 × 12 V = 27 × 12 × π V = 324π सेमी³

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर रहता है और इसे सूत्र M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ M पुरुषों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, और H प्रति दिन काम किए गए घंटों की संख्या है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 12, D₁ = 10, H₁ = 8 M₂ = 16, H₂ = 7 ½ = 7.5 D₂ = x

12 × 10 × 8 = 16 × x × 7.5 960 = 120 × x x = 960 ÷ 120 x = 8

व्याख्या

शुरुआत में परिवार के सदस्यों की कुल संख्या 7 है (1 माँ और 6 बच्चे)। चूँकि उनकी औसत आयु 12 वर्ष है, उनकी आयु का योग 7 × 12 = 84 वर्ष है।

जब माँ को बाहर रखा जाता है, तो शेष 6 बच्चों की औसत आयु 5 वर्ष कम हो जाती है, जिससे नई औसत आयु 12 - 5 = 7 वर्ष हो जाती है। बच्चों की आयु का योग 6 × 7 = 42 वर्ष है।

बच्चों की आयु के योग को कुल योग से घटाने पर माँ की आयु प्राप्त होती है: 84 - 42 = 42 वर्ष।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों को क्रमशः a और b से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x/a = sin θ + cos θ y/b = sin θ - cos θ

दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर: x²/a² = (sin θ + cos θ)² = sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ y²/b² = (sin θ - cos θ)² = sin² θ + cos² θ - 2 sin θ cos θ

इन दो वर्ग समीकरणों को जोड़ने पर: x²/a² + y²/b² = (sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ) + (sin² θ + cos² θ - 2 sin θ cos θ) x²/a² + y²/b² = 2(sin² θ + cos² θ)

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर: x²/a² + y²/b² = 2 × 1 = 2

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: a² + b² + c² = 2(a - b - c) - 3

सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर: a² + b² + c² - 2a + 2b + 2c + 3 = 0

स्थिरांक 3 को 1 + 1 + 1 के रूप में विभाजित करके, हम पदों को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए समूहित कर सकते हैं: (a² - 2a + 1) + (b² + 2b + 1) + (c² + 2c + 1) = 0 (a - 1)² + (b + 1)² + (c + 1)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होना चाहिए, इसलिए प्रत्येक स्वतंत्र पद शून्य के बराबर होना चाहिए: a - 1 = 0 → a = 1 b + 1 = 0 → b = -1 c + 1 = 0 → c = -1

आवश्यक मान की गणना: a + b + c = 1 + (-1) + (-1) = -1

व्याख्या

सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 4² = 14 + 2xy 16 = 14 + 2xy 2xy = 2 xy = 1

अगला, हम x और y के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए सर्वसमिका (x - y)² = (x + y)² - 4xy का उपयोग करते हैं: (x - y)² = 4² - 4(1) (x - y)² = 16 - 4 = 12 x - y = ±√12 = ±2√3

चूंकि यह दिया गया है कि x > y, इसलिए x - y का मान धनात्मक होना चाहिए: x - y = 2√3

अब हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: x + y = 4 x - y = 2√3

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 4 + 2√3 x = 2 + √3

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: 2y = 4 - 2√3 y = 2 - √3

व्याख्या

दिया गया है: cos θ + sin θ = m sec θ + cosec θ = n

n को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करना: n = 1/cos θ + 1/sin θ n = (sin θ + cos θ) / (sin θ cos θ)

cos θ + sin θ = m को प्रतिस्थापित करना: n = m / (sin θ cos θ) sin θ cos θ = m/n

अब, पहले समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना: m² = (cos θ + sin θ)² m² = cos² θ + sin² θ + 2 sin θ cos θ m² = 1 + 2 sin θ cos θ m² - 1 = 2 sin θ cos θ

इस व्यंजक को n(m² - 1) में प्रतिस्थापित करना: n(m² - 1) = n(2 sin θ cos θ) n(m² - 1) = n × 2(m/n) n(m² - 1) = 2m

व्याख्या

माना a = 1 + √3 और b = √2.

दिया गया व्यंजक a और b के पदों में इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1/(a + b) + 1/(a - b)

सामान्य हर लेकर, हम इस व्यंजक को सरल बनाते हैं: ((a - b) + (a + b)) / ((a + b)(a - b)) = 2a / (a² - b²)

अगला, हम हर में पदों की गणना करते हैं: a² = (1 + √3)² = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3 b² = (√2)² = 2 a² - b² = 4 + 2√3 - 2 = 2 + 2√3

चूंकि 2a = 2(1 + √3) = 2 + 2√3 है, हमारे पास है: a² - b² = 2a

इसे सरल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर मिलता है: 2a / 2a = 1

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है।

जब त्रिज्या 2 सेमी बढ़ा दी जाती है, तो नई त्रिज्या r + 2 होती है। पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन है: 4π(r + 2)² - 4πr² = 352

इस समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर: 4π(r² + 4r + 4 - r²) = 352 16π(r + 1) = 352

π = 22/7 का प्रयोग करने पर: 16 × (22/7) × (r + 1) = 352 (22/7) × (r + 1) = 22 r + 1 = 22 × (7/22) r + 1 = 7 r = 6 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 3x और 4x हैं, जहाँ x उनका महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) है। चूँकि 3 और 4 सह-अभाज्य हैं, उनका महत्तम समापवर्तक वास्तव में x है।

यह देखते हुए कि महत्तम समापवर्तक 15 है, हमारे पास x = 15 है।

दोनों संख्याओं का योग 3x + 4x = 7x है।

योग सूत्र में x का मान प्रतिस्थापित करने पर: योग = 7 × 15 = 105

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य ₹100 है।

दुकानदार क्रय मूल्य से 30% अधिक अंकित मूल्य रखता है, इसलिए अंकित मूल्य है: 100 + 100 का 30% = ₹130

फिर वह इस अंकित मूल्य पर 10% की छूट देता है: छूट = 130 का 10% = ₹13

वस्तु का विक्रय मूल्य है: 130 - 13 = ₹117

अर्जित लाभ है: विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 117 - 100 = ₹17

चूंकि क्रय मूल्य ₹100 है, यह लाभ 17% के लाभ प्रतिशत के बराबर है।

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (xy / 100) यहां, x = +30% और y = -10%। शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 30 - 10 + (30 × -10 / 100) = 20 - 3 = 17% लाभ।

व्याख्या

मान लीजिए चक्रीय चतुर्भुज के चार क्रमागत कोण A, B, C, और D हैं। एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, जिससे A + C = 180° और B + D = 180° प्राप्त होता है।

पहले तीन क्रमागत कोण A, B, और C, 1:3:4 के अनुपात में हैं। मान लीजिए A = k, B = 3k, और C = 4k।

सम्मुख कोणों A और C के लिए संबंध का उपयोग करते हुए: A + C = 180° k + 4k = 180° 5k = 180° k = 36°

कोण B की गणना इस प्रकार की जाती है: B = 3 × 36° = 108°

चौथे कोण D को ज्ञात करने के लिए सम्मुख कोणों B और D के लिए संबंध का उपयोग करते हुए: B + D = 180° 108° + D = 180° D = 180° - 108° = 72°

व्याख्या

मान लीजिए एक कुर्सी का क्रय मूल्य CP और एक कुर्सी का विक्रय मूल्य SP है।

प्रश्न के अनुसार: 25 × CP = 30 × SP

इसे विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पुनः लिखा जा सकता है: SP / CP = 25 / 30 = 5 / 6

हानि प्रतिशत का सूत्र है: हानि % = (CP - SP) / CP × 100 हानि % = (1 - SP / CP) × 100 हानि % = (1 - 5/6) × 100 = 1/6 × 100 = 16 ⅔%

व्याख्या

मिश्रण का विक्रय मूल्य 10% लाभ पर ₹11 प्रति लीटर है। मिश्रण का क्रय मूल्य निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके निकाला जाता है:

मिश्रण का क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 + लाभ दर) = 11 / (1 + 0.10) = 11 / 1.1 = ₹10 प्रति लीटर

मान लीजिए द्रव Y का क्रय मूल्य ₹y प्रति लीटर है। चूँकि द्रव X की लागत Y से ₹2 प्रति लीटर अधिक है, इसलिए द्रव X का क्रय मूल्य ₹(y + 2) प्रति लीटर है।

चूँकि द्रव X और Y को 3:2 के अनुपात में मिलाया जाता है, इसलिए उनके व्यक्तिगत लागतों का भारित औसत मिश्रण के क्रय मूल्य को दर्शाता है:

(3 × (y + 2) + 2 × y) / (3 + 2) = 10

(3y + 6 + 2y) / 5 = 10

5y + 6 = 50

5y = 44

y = 8.80

द्रव X का क्रय मूल्य y + 2 है:

8.80 + 2 = ₹10.80 प्रति लीटर

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, हमारे पास sin² θ + sin² (90° - θ) = sin² θ + cos² θ = 1 है।

उन पदों को युग्मित करके जिनके कोणों का योग 90° है, हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं: (sin² 1° + sin² 89°) + (sin² 11° + sin² 79°) + (sin² 21° + sin² 69°) + (sin² 31° + sin² 59°) + (sin² 41° + sin² 49°) + sin² 45°

पांचों युग्मों के लिए सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करके और मानक मान sin 45° = 1/√2 का उपयोग करके: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + (1/√2)² = 5 + ½ = 5 ½

व्याख्या

यदि संख्याओं के एक समुच्चय का औसत A है, और समुच्चय की प्रत्येक संख्या को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो संख्याओं के नए समुच्चय का औसत भी उसी स्थिरांक k से गुणा किया जाता है।

नया औसत = मूल औसत × k

दिया गया है कि मूल औसत 21 है और प्रत्येक संख्या को 8 से गुणा किया जाता है, हम इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं:

नया औसत = 21 × 8 = 168

अंकगणितीय माध्य का यह रैखिक गुण सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक डेटा बिंदु को एक कारक से स्केल करने पर संपूर्ण माध्य उसी कारक से स्केल हो जाता है।

व्याख्या

माना S = x + y + z। दिए गए समीकरण हैं:

xS = 20 yS = 30 zS = 50

इन तीनों समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर:

xS + yS + zS = 20 + 30 + 50 S(x + y + z) = 100 S² = 100 S = ±10

इसलिए, x + y + z = ±10।

2 से गुणा करने पर:

2(x + y + z) = 2(±10) = ±20

विकल्पों में मौजूद धनात्मक मान लेने पर, परिणाम 20 है।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (cos A + sin A)² + (cos A - sin A)² = 2(cos² A + sin² A)

चूंकि cos² A + sin² A = 1, यह सरल हो जाता है: (cos A + sin A)² + (cos A - sin A)² = 2

दिए गए समीकरण cos A + sin A = √2 cos A को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: (√2 cos A)² + (cos A - sin A)² = 2 2 cos² A + (cos A - sin A)² = 2 (cos A - sin A)² = 2 - 2 cos² A (cos A - sin A)² = 2(1 - cos² A)

सर्वसमिका 1 - cos² A = sin² A का प्रयोग करके: (cos A - sin A)² = 2 sin² A

न्यून कोण A के लिए दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: cos A - sin A = √2 sin A

व्याख्या

एक बिंदु दी गई रेखा पर स्थित होता है यदि उसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं। रेखा y = 3x के लिए, मूल बिंदु के निर्देशांक, x = 0 और y = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 0 = 3 × 0 प्राप्त होता है, जो एक सत्य कथन है। यह पुष्टि करता है कि रेखा बिंदु (0,0) से होकर गुजरती है।

व्याख्या

दिया गया अनुक्रम 40960, 10240, 2560, 640, 200, 40, 10 है।

लगातार पदों के बीच संबंध का विश्लेषण करने पर पता चलता है कि प्रत्येक संख्या को पिछली संख्या को 4 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

40960 ÷ 4 = 10240 10240 ÷ 4 = 2560 2560 ÷ 4 = 640

इस सुसंगत पैटर्न का अनुसरण करते हुए, अगला पद होना चाहिए:

640 ÷ 4 = 160

160 के बजाय, अनुक्रम में 200 सूचीबद्ध है। सही पद 160 पर 4 से विभाजन के नियम को लागू करने पर अनुक्रम के शेष भाग को सही ढंग से प्राप्त करना जारी रहता है:

160 ÷ 4 = 40 40 ÷ 4 = 10

इस प्रकार, 200 अनुक्रम में गलत संख्या है।

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केन्द्र है, और व्यास AB क्षैतिज रेखा के अनुदिश स्थित है। वृत्त पर किसी भी बिंदु P के लिए, अंतर्लिखित कोण ∠BAP केंद्रीय कोण ∠BOP का आधा होता है। इसी प्रकार, वृत्त पर किसी भी बिंदु Q के लिए, अंतर्लिखित कोण ∠ABQ केंद्रीय कोण ∠AOQ का आधा होता है।

यह देखते हुए कि ∠BAP = ∠ABQ है, इसका तात्पर्य है कि उनके संगत केंद्रीय कोण बराबर हैं, जिसका अर्थ है ∠BOP = ∠AOQ। चूंकि O व्यास AB का मध्य बिंदु है, केंद्रीय कोणों की यह समानता दर्शाती है कि बिंदु P और Q, AB के लम्ब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित हैं।

इस समरूपता के कारण, P की AB से लम्बवत दूरी, Q की AB से लम्बवत दूरी के बराबर है। इसलिए, जीवा PQ व्यास AB के समानांतर है। एक चतुर्भुज जिसका एक युग्म सम्मुख भुजाएँ समानांतर हों, वह समलम्ब चतुर्भुज होता है, और चूँकि इसके सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं, ABQP एक चक्रीय समलम्ब चतुर्भुज है।

व्याख्या

जब दूध में पानी मिलाया जाता है और मिश्रण को दूध के क्रय मूल्य पर बेचा जाता है, तो प्रतिशत लाभ का सूत्र है:

लाभ% = (पानी की मात्रा / दूध की मात्रा) × 100

दिए गए 20% लाभ को प्रतिस्थापित करने पर:

20 = (पानी की मात्रा / दूध की मात्रा) × 100

पानी की मात्रा : दूध की मात्रा = 20 : 100 = 1 : 5

व्याख्या

भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, शीर्षलंब h का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है: h = (√3/2) × a

केंद्रक G शीर्ष से शीर्षलंब/माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए, शीर्ष से केंद्रक AG की दूरी है: AG = (2/3) × h = (2/3) × (√3/2) × a = a/√3

दी गई भुजा a = 10 सेमी है, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं: AG = 10/√3 सेमी

हर को √3 से अंश और हर को गुणा करके परिमेयकरण करने पर: AG = (10√3)/3 सेमी

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण में मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें:

tan 30° = 1/√3 sin 30° = ½ cot 45° = 1 sec 60° = 2

इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष (LHS) में प्रतिस्थापित करने पर: LHS = (x - x(1/√3)²) / (1 + (1/√3)²) LHS = (x - x/3) / (1 + 1/3) LHS = (2x/3) / (4/3) LHS = 2x/4 LHS = x/2

मानों को समीकरण के दाएँ पक्ष (RHS) में प्रतिस्थापित करने पर: RHS = (½)² + 4(1)² - (2)² RHS = ¼ + 4 - 4 RHS = ¼

LHS और RHS को बराबर करने पर: x/2 = ¼ x = 2/4 x = ½

व्याख्या

रेलगाड़ी की गति ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का प्रयोग करते हैं:

गति = दूरी / समय

जब कोई रेलगाड़ी किसी पेड़ को पार करती है, तो तय की गई दूरी रेलगाड़ी की लंबाई के बराबर होती है।

दूरी = 250 मीटर समय = 50 सेकंड

गति = 250 / 50 = 5 मीटर/सेकंड

मीटर प्रति सेकंड (मी/से) से किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) में गति को परिवर्तित करने के लिए, हम 18/5 के रूपांतरण कारक से गुणा करते हैं:

गति = 5 × 18/5 = 18 किमी/घंटा

व्याख्या

छूट की दर की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य

दिया गया है कि अंकित मूल्य ₹250 है और विक्रय मूल्य ₹225 है:

छूट = 250 - 225 = ₹25

छूट प्रतिशत है:

छूट % = (छूट / अंकित मूल्य) × 100

छूट % = (25 / 250) × 100 = 10%

व्याख्या

मान लीजिए बैग का अंकित मूल्य ₹100 है।

चूंकि मोहन ने अंकित मूल्य पर 20% की छूट पर बैग खरीदा था, इसलिए उसका क्रय मूल्य है: क्रय मूल्य = 100 - (100 का 20%) = ₹80

फिर उसने बैग को अपने क्रय मूल्य पर 40% लाभ पर बेचा, इसलिए विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = 80 + (80 का 40%) = 80 + 32 = ₹112

अंकित मूल्य के सापेक्ष किया गया लाभ है: लाभ = विक्रय मूल्य - अंकित मूल्य = 112 - 100 = ₹12

अंकित मूल्य पर गणना किया गया लाभ प्रतिशत है: प्रतिशत लाभ = (लाभ / अंकित मूल्य) × 100 = (12 / 100) × 100 = 12%

व्याख्या

दी गई छह अंकों की संख्या 5416x6 के रूप में है। चूँकि यह 6 पर समाप्त होती है, इसके वर्गमूल का अंतिम अंक या तो 4 या 6 होना चाहिए।

वर्गमूल की सीमा का पता लगाने के लिए, हम 10 के गुणकों के निकटतम पूर्ण वर्गों का मूल्यांकन करते हैं। चूँकि 700² = 490000 और 800² = 640000, वर्गमूल 700 की श्रेणी में आता है। अधिक सटीक रूप से, क्योंकि 730² = 532900 और 740² = 547600, वर्गमूल 730 और 740 के बीच होना चाहिए।

इस अंतराल में 4 या 6 पर समाप्त होने वाली एकमात्र पूर्णांक संख्याएँ 734 और 736 हैं। उनके वर्गों की गणना करने पर: 734² = 538756 736² = 541696

541696 का 5416x6 टेम्पलेट से मिलान करने पर x = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए राम बाबू की कुल आय I है।

दान में 3% आय दान करने के बाद शेष राशि है: I × (1 - 0.03) = 0.97 × I

बैंक में शेष का 12% जमा करने के बाद शेष राशि है: 0.97 × I × (1 - 0.12) = 0.97 × 0.88 × I = 0.8536 × I

प्रश्न के अनुसार, यह अंतिम शेष राशि ₹12804 के बराबर है: 0.8536 × I = 12804 I = 12804 ÷ 0.8536 I = 15000

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC के लिए, ∠B और ∠C के आंतरिक द्विभाजकों के प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण (बिंदु D, जो त्रिभुज का अंतःकेंद्र है) मानक संबंध द्वारा दिया जाता है:

∠BDC = 90° + ½ ∠A

दिए गए ∠A = 80° के मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

∠BDC = 90° + ½ × 80° ∠BDC = 90° + 40° ∠BDC = 130°

व्याख्या

गति, दूरी और समय के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: दूरी = गति × समय

मान लीजिए शांत जल में नाव की गति v किमी/घंटा है। धारा की गति 1.5 किमी/घंटा है।

धारा के साथ गति = v + 1.5 धारा के विपरीत गति = v - 1.5

चूंकि धारा के साथ और धारा के विपरीत तय की गई दूरी बराबर है: (v + 1.5) × 3 = (v - 1.5) × 3.5

पदों का विस्तार करने पर: 3v + 4.5 = 3.5v - 5.25

v के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 3.5v - 3v = 4.5 + 5.25 0.5v = 9.75 v = 19.5

व्याख्या

विवियानी के प्रमेय के अनुसार, किसी समबाहु त्रिभुज के अंदर किसी भी बिंदु से उसकी भुजाओं तक की लंबवत दूरियों का योग हमेशा त्रिभुज की ऊंचाई के बराबर होता है।

मान लीजिए समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा की लंबाई s है, और AX भुजा BC पर ऊंचाई है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ½ × s × AX द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए P त्रिभुज के अंदर कोई बिंदु है, और P से भुजाओं AB, BC, और CA तक की लंबवत दूरियाँ क्रमशः p₁, p₂, और p₃ हैं। त्रिभुज ABC का कुल क्षेत्रफल तीन छोटे त्रिभुजों PAB, PBC, और PCA के क्षेत्रफलों का योग है:

क्षेत्रफल(ABC) = क्षेत्रफल(PAB) + क्षेत्रफल(PBC) + क्षेत्रफल(PCA)

½ × s × AX = ½ × s × p₁ + ½ × s × p₂ + ½ × s × p₃

समीकरण के दोनों पक्षों को ½ × s से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

AX = p₁ + p₂ + p₃

यह दर्शाता है कि त्रिभुज के अंदर किसी भी बिंदु से उसकी भुजाओं तक की लंबवत दूरियों का योग AX के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 7x, 9x और 12x है।

सबसे छोटी भुजा 7x है और सबसे बड़ी भुजा 12x है। इन दोनों भुजाओं के बीच का अंतर है: 12x - 7x = 5x

समस्या के अनुसार, यह अंतर 15 सेमी है: 5x = 15 x = 3

सबसे बड़ी भुजा की लंबाई 12x है। x का मान रखने पर: 12 × 3 = 36 सेमी।

व्याख्या

धन का निवेश 18 - 12 = 6 वर्षों की अवधि के लिए किया जाता है।

₹100,000 की मूल राशि पर 6% साधारण ब्याज प्रति वर्ष की दर से अर्जित वार्षिक ब्याज है: ब्याज = 100,000 × 0.06 = ₹6000

इस ब्याज से कुल वार्षिक कटौती में लड़के का जेब खर्च और ट्रस्ट का व्यय शामिल है: वार्षिक कटौती = ₹2500 + ₹500 = ₹3000

ट्रस्ट में वापस जोड़ी गई शुद्ध वार्षिक राशि, अर्जित वार्षिक ब्याज और वार्षिक कटौती के बीच का अंतर है: शुद्ध वार्षिक वृद्धि = ₹6000 - ₹3000 = ₹3000

6 वर्षों की अवधि में, कुल संचित वृद्धि है: कुल वृद्धि = 6 × 3000 = ₹18,000

जब लड़का 18 वर्ष का हो जाएगा तो उसे सौंपी जाने वाली अंतिम राशि है: अंतिम राशि = प्रारंभिक मूलधन + कुल वृद्धि = 100,000 + 18,000 = ₹118,000

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, शीर्ष A से विपरीत भुजा BC पर डाले गए लम्ब (लम्ब AE) और कोण समद्विभाजक (AD) के बीच का कोण सीधे सूत्र द्वारा दिया जाता है:

∠EAD = ½ |∠B - ∠C|

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

∠EAD = ½ |60° - 40°| = ½ × 20° = 10°

व्याख्या

सभी 13 परिणामों का कुल योग परिणामों की संख्या को उनके औसत से गुणा करके निकाला जाता है: 13 × 70 = 910

पहले सात परिणामों का योग है: 7 × 65 = 455

अंतिम सात परिणामों का योग है: 7 × 75 = 525

चूंकि सातवाँ परिणाम पहले सात और अंतिम सात दोनों परिणामों में शामिल है, इसलिए इन दो योगों को जोड़ने पर सातवाँ परिणाम दो बार शामिल हो जाता है। इन 14 परिणामों का योग है: 455 + 525 = 980

सातवाँ परिणाम ज्ञात करने के लिए, इस संयुक्त योग से 13 परिणामों का योग घटाएं: 980 - 910 = 70

व्याख्या

कार्य सूत्र (M₁ × D₁) / W₁ = (M₂ × D₂) / W₂ का उपयोग करके, हम नियत समय में शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक मजदूरों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं।

प्रारंभिक पैरामीटर हैं: प्रारंभिक मजदूरों की संख्या (M₁) = 20 काम किए गए दिन (D₁) = 12 पूरा हुआ कार्य (W₁) = 5/8

शेष पैरामीटर हैं: शेष कार्य (W₂) = 1 - 5/8 = 3/8 शेष दिन (D₂) = 16 - 12 = 4 आवश्यक कुल मजदूर (M₂) = 20 + x, जहाँ x अतिरिक्त मजदूरों की संख्या है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (20 × 12) / (5/8) = (M₂ × 4) / (3/8)

दोनों पक्षों से हर 8 को रद्द करने पर: (20 × 12) / 5 = (M₂ × 4) / 3

समीकरण को सरल बनाने पर: 4 × 12 = 4M₂ / 3 48 = 4M₂ / 3 M₂ = (48 × 3) / 4 M₂ = 36

चूंकि काम समय पर पूरा करने के लिए आवश्यक कुल मजदूरों की संख्या 36 है और 20 मजदूर पहले से ही कार्यरत हैं, इसलिए आवश्यक अतिरिक्त मजदूरों की संख्या है: 36 - 20 = 16

व्याख्या

दशमलव मानों की तुलना करने के लिए, उन्हें समान संख्या में दशमलव स्थानों के साथ दर्शाना सबसे आसान है: p = -0.120 q = -0.010 r = -0.015

उनके निरपेक्ष मानों की तुलना करने पर: 0.120 > 0.015 > 0.010

ऋणात्मक संख्याओं के लिए, एक बड़ा निरपेक्ष मान एक छोटे बीजगणितीय मान के अनुरूप होता है। इसलिए, असमानता को उलटने पर: -0.120 < -0.015 < -0.010

चरों को वापस असमानता में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: p < r < q

व्याख्या

मासिक पारिवारिक व्यय पाई चार्ट के आधार पर, संबंधित व्यय को दर्शाने वाले केंद्रीय कोण हैं: भोजन पर खर्च के लिए केंद्रीय कोण = 150° मकान के किराए पर खर्च के लिए केंद्रीय कोण = 120°

यह ज्ञात करने के लिए कि भोजन पर खर्च किया गया धन मकान के किराए पर खर्च किए गए धन से कितने प्रतिशत अधिक है, प्रतिशत वृद्धि सूत्र का प्रयोग करें: आवश्यक प्रतिशत = ((भोजन के लिए कोण - किराए के लिए कोण) / किराए के लिए कोण) × 100 आवश्यक प्रतिशत = ((150 - 120) / 120) × 100 = (30 / 120) × 100 = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

पाई चार्ट विभिन्न श्रेणियों में प्रतिशत या डिग्री के संदर्भ में एक परिवार के मासिक व्यय के वितरण को दर्शाता है। कपड़ों और विविध खर्चों जैसी विशिष्ट श्रेणियों पर खर्च की गई पूर्ण मौद्रिक राशि की गणना करने के लिए, परिवार के कुल मासिक व्यय का पता होना चाहिए। चूंकि परिवार के व्यय या आय का कुल मूल्य प्रदान नहीं किया गया है, इसलिए इन मदों पर खर्च की गई सटीक मौद्रिक राशि निर्धारित करना असंभव है।

व्याख्या

परिवार के मासिक व्यय का पाई चार्ट इंगित करता है कि भोजन पर व्यय के अनुरूप केंद्रीय कोण 150° है। चूंकि एक पूर्ण वृत्त 360° का प्रतिनिधित्व करता है, भोजन पर खर्च किए गए कुल व्यय का अनुपात इन दो कोणों का अनुपात है।

भोजन पर खर्च की गई राशि = (भोजन का केंद्रीय कोण ÷ 360°) × कुल खर्च की गई राशि

भोजन पर खर्च की गई राशि = (150° ÷ 360°) × 7,200 = 5/12 × 7,200 = 3,000

व्याख्या

दिया गया द्विघात समीकरण है: x² - 4x - 1 = 0

चूंकि x गैर-शून्य है, समीकरण के दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर: x - 4 - 1/x = 0 x - 1/x = 4

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x - 1/x)² = 4² x² - 2 + 1/x² = 16 x² + 1/x² = 16 + 2 x² + 1/x² = 18

व्याख्या

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h

जहाँ a और b समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं, और h ऊंचाई है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

175 = ½ × (15 + 20) × h

175 = ½ × 35 × h

350 = 35 × h

h = 350 / 35

h = 10 सेमी