एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2015 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), विक्रय मूल्य (SP), और छूट प्रतिशत के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

SP = MP × (1 - छूट%)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1200 = MP × (1 - 0.20) 1200 = MP × 0.80 MP = 1200 ÷ 0.80 MP = 1500

व्याख्या

कुल वार्षिक आय कुल वार्षिक व्यय और वार्षिक बचत का योग होती है।

कुल वार्षिक व्यय = (5 × 1200) + (7 × 1300) = 6000 + 9100 = ₹15100

कुल वार्षिक आय = कुल वार्षिक व्यय + वार्षिक बचत = 15100 + 2900 = ₹18000

मासिक औसत आय = कुल वार्षिक आय / 12 = 18000 / 12 = ₹1500

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके: A = P(1 + R/100)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 1348.32 = 1200(1 + R/100)²

दोनों पक्षों को 1200 से विभाजित करें: (1 + R/100)² = 1348.32 / 1200 (1 + R/100)² = 1.1236

दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: 1 + R/100 = √1.1236 1 + R/100 = 1.06

दोनों पक्षों से 1 घटाएं: R/100 = 0.06 R = 6%

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

दिया गया है कि 5 वर्षों के लिए मूलधन P और साधारण ब्याज SI का अनुपात 10 : 3 है, हम मान सकते हैं कि P = 10x और SI = 3x, जहाँ T = 5 वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 3x = (10x × R × 5) / 100

समीकरण को सरल बनाने पर: 3x = (50x × R) / 100 3x = x × R / 2 3 = R / 2 R = 6%

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ B = 90 डिग्री है, कर्ण AC की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके √(8² + 15²) = 17 सेमी के रूप में की जाती है। कोण C का साइन विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है, जो AB/AC = 8/17 है।

व्याख्या

मान लीजिए हाथ-गाड़ी का क्रय मूल्य (CP) है।

जब 25% की हानि पर बेचा जाता है, तो विक्रय मूल्य (SP₁) इस प्रकार दिया जाता है: SP₁ = CP × (1 - हानि/100) 720 = CP × (1 - 25/100) 720 = CP × ¾ CP = 720 × 4/3 = 960

25% का लाभ प्राप्त करने के लिए, नया विक्रय मूल्य (SP₂) इस प्रकार दिया जाता है: SP₂ = CP × (1 + लाभ/100) SP₂ = 960 × (1 + 25/100) SP₂ = 960 × 5/4 = 1200

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करके, दिया गया समीकरण सरल हो जाता है:

cos θ + cos θ = √2 sin θ

2 cos θ = √2 sin θ

दोनों पक्षों को sin θ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

2 cot θ = √2

cot θ = √2 / 2 = 1 / √2

मूल सर्वसमिका cosec² θ = 1 + cot² θ का उपयोग करके:

cosec² θ = 1 + (1 / √2)²

cosec² θ = 1 + ½ = 3/2

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

cosec θ = √(3/2)

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य 100% मान लीजिए।

20% की हानि से 5% के लाभ में परिवर्तन, क्रय मूल्य का कुल प्रतिशत परिवर्तन दर्शाता है: 5% - (-20%) = क्रय मूल्य का 25%

विक्रय मूल्य में यह 25% का अंतर ₹200 की मौद्रिक वृद्धि के बराबर है।

एकिक विधि का उपयोग करके: क्रय मूल्य का 25% = ₹200 क्रय मूल्य का 1% = ₹200 ÷ 25 = ₹8 क्रय मूल्य का 100% = ₹8 × 100 = ₹800

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग हमेशा 180° होता है। चक्रीय चतुर्भुज ABCD के लिए, ∠A के सम्मुख कोण ∠C है, और ∠B के सम्मुख कोण ∠D है।

इस प्रमेय को लागू करने पर: ∠A + ∠C = 180° 50° + ∠C = 180° ∠C = 180° - 50° = 130°

इसी प्रकार: ∠B + ∠D = 180° 80° + ∠D = 180° ∠D = 180° - 80° = 100°

व्याख्या

एक ठोस गोले का आयतन सूत्र 4/3 × π × r³ द्वारा दिया जाता है, और एक खोखले गोले का आयतन 4/3 × π × (R³ - r³) द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है और r आंतरिक त्रिज्या है।

1 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या के दो पिघले हुए ठोस धात्विक गोलों का कुल आयतन है: V = 4/3 × π × 1³ + 4/3 × π × 6³ V = 4/3 × π × (1 + 216) V = 4/3 × π × 217

खोखले गोले की मोटाई 1 सेमी है। यदि इसकी बाहरी त्रिज्या R है, तो इसकी आंतरिक त्रिज्या r = R - 1 है। इस खोखले गोले का आयतन है: V = 4/3 × π × (R³ - (R - 1)³)

आयतन को बराबर करने पर क्योंकि पिघलने के दौरान कुल धात्विक द्रव्यमान संरक्षित रहता है: 4/3 × π × 217 = 4/3 × π × (R³ - (R - 1)³) 217 = R³ - (R³ - 3R² + 3R - 1) 217 = 3R² - 3R + 1 3R² - 3R - 216 = 0 R² - R - 72 = 0 (R - 9)(R + 8) = 0

चूंकि त्रिज्या एक धनात्मक मात्रा होनी चाहिए, समीकरण को हल करने पर R = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

12, 18, 21 और 32 में से प्रत्येक से विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं: 12 = 2² × 3 18 = 2 × 3² 21 = 3 × 7 32 = 2⁵

LCM प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल है: LCM = 2⁵ × 3² × 7 = 32 × 9 × 7 = 2016

आवश्यक संख्या इस LCM का गुणज होनी चाहिए। 2016 को 2 से गुणा करने पर 4032 प्राप्त होता है, जो 4000 और 5000 की निर्दिष्ट सीमा के भीतर है।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप सूत्र (n - 2) × 180° / n का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

8 भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के लिए, सूत्र में n = 8 प्रतिस्थापित करें:

(8 - 2) × 180° / 8 = 6 × 180° / 8 = 1080° / 8 = 135°

वैकल्पिक रूप से, किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है। एक सम अष्टभुज के लिए, प्रत्येक बाह्य कोण 360° / 8 = 45° होता है। चूँकि आंतरिक और बाह्य कोण संपूरक होते हैं, आंतरिक कोण 180° - 45° = 135° होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कुल लाभ P है। चूँकि कुल लाभ का 5% दान में जाता है, शेष 95% लाभ A और B के बीच 3 : 2 के निवेश अनुपात में वितरित किया जाता है।

A का हिस्सा वितरित लाभ का 3/(3 + 2) है।

A का हिस्सा = 3/5 × P का 95%

A के हिस्से का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर:

8,550 = 0.6 × 0.95 × P

8,550 = 0.57 × P

P = 8,550 / 0.57

P = 15,000

व्याख्या

हमें समीकरण दिया गया है: sin A - cos A = (√3 - 1)/2

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (sin A - cos A)² = ((√3 - 1)/2)²

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का प्रयोग करने पर: sin²A + cos²A - 2 sin A cos A = (3 + 1 - 2√3)/4

चूंकि sin²A + cos²A = 1, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 1 - 2 sin A cos A = (4 - 2√3)/4

दाहिनी ओर के भिन्न को सरल करने पर: 1 - 2 sin A cos A = 1 - (√3)/2

समीकरण के दोनों पक्षों से 1 घटाने पर: -2 sin A cos A = -(√3)/2

दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: sin A cos A = (√3)/4

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति के पास शुरुआत में कुल धनराशि x थी।

वह अपनी धनराशि का 50% अपने पुत्र को और 30% अपनी पुत्री को देता है, जो उसकी कुल धनराशि का 80% है।

शेष धनराशि (बाकी) x का 100% - 80% = 20% है। यह 0.20x के बराबर है।

वह इस शेष राशि का 80% एक ट्रस्ट को दान करता है, जिससे उसके पास शेष राशि का 20% बचता है।

उसके पास बची धनराशि 0.20x का 20% है: 0.20 × 0.20x = 0.04x

हमें दिया गया है कि उसके पास ₹16,000 बचे हैं: 0.04x = 16,000 x = 16,000 / 0.04 x = 4,00,000

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 5x और 8x हैं।

दो संख्याओं के बीच का अंतर है: 8x - 5x = 3x

प्रश्न के अनुसार, यह अंतर 48 के बराबर है: 3x = 48 x = 16

सबसे छोटी संख्या 5x द्वारा दर्शायी जाती है: 5 × 16 = 80

व्याख्या

व्यंजक 1° से 180° तक के कोसाइन मानों का गुणनफल है: cos 1° × cos 2° × cos 3° × ... × cos 180°

इस गुणनफल के पदों में, पद cos 90° मौजूद है। चूँकि cos 90° = 0 होता है, किसी भी वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम को शून्य से गुणा करने पर गुणनफल शून्य प्राप्त होता है।

cos 1° × cos 2° × ... × cos 90° × ... × cos 180° = cos 1° × cos 2° × ... × 0 × ... × cos 180° = 0

व्याख्या

जनार्दन द्वारा काम का 2/3 भाग पूरा करने में लिया गया समय 10 दिन है।

एकिक विधि का उपयोग करके, पूरे काम (1 संपूर्ण काम) को पूरा करने में लिया गया समय है: 10 × 3/2 = 15 दिन

उसी काम का 3/5 भाग पूरा करने में लिया गया समय है: 15 × 3/5 = 9 दिन

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना SI = P × R × T / 100 सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय अवधि है।

सबसे पहले, 5 जनवरी से 31 मई, 2013 तक दिनों की संख्या ज्ञात करें: जनवरी: 26 दिन (31 - 5) फरवरी: 28 दिन (2013 एक सामान्य वर्ष है) मार्च: 31 दिन अप्रैल: 30 दिन मई: 31 दिन

कुल दिनों की संख्या = 26 + 28 + 31 + 30 + 31 = 146 दिन

समय अवधि को वर्षों में बदलें: T = 146 / 365 = 2/5 वर्ष

अब, सूत्र में मान रखें: SI = 36000 × 9.5 × (2 / 5) / 100 SI = 360 × 9.5 × 2 / 5 SI = 72 × 19 SI = 1368

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लम्बवत भुजाओं a और b तथा कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज के लिए: a² + b² = c²

दिया गया है कि कर्ण c = 39 सेमी, तो: a² + b² = 39² = 1521

अन्य दो भुजाओं के बीच का अंतर है: |a - b| = 21

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a - b)² = a² + b² - 2ab

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 21² = 1521 - 2ab 441 = 1521 - 2ab 2ab = 1521 - 441 2ab = 1080 ab = 540

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ab

ab का मान प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = ½ × 540 = 270 वर्ग सेमी

व्याख्या

कुल कार्य पुरुषों की संख्या और उनके काम करने के दिनों की संख्या के गुणनफल द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों परिदृश्यों में किया गया कार्य बराबर है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

(x + 4)(x + 5) = (x - 5)(x + 20)

समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

x² + 9x + 20 = x² + 15x - 100

समीकरण को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों से x² घटाने पर:

9x + 20 = 15x - 100

x के लिए हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

15x - 9x = 100 + 20 6x = 120 x = 20

व्याख्या

चूंकि (2, 0) रैखिक समीकरण 2x + 3y = K का एक हल है, समीकरण में x = 2 और y = 0 रखने पर:

2(2) + 3(0) = K

समीकरण को सरल करने पर:

4 + 0 = K K = 4

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं। मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा, DE, BC के समानांतर है और DE = ½ BC।

चूंकि DE, BC के समानांतर है, त्रिभुज ODE, त्रिभुज OBC के समरूप है। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात DE : BC = 1 : 2 है। परिणामस्वरूप, O से उनकी ऊँचाइयों का अनुपात भी 1 : 2 है।

माना BC आधार के संगत त्रिभुज ABC की ऊँचाई h है। समानांतर रेखाओं DE और BC के बीच की दूरी ½ h है। चूंकि ODE और OBC की ऊँचाइयों का अनुपात 1 : 2 है, त्रिभुज ODE की ऊँचाई इस दूरी का 1/3 है: ODE की ऊँचाई = 1/3 × ½ h = 1/6 h

त्रिभुज ODE का क्षेत्रफल है: Area(ODE) = ½ × DE × ODE की ऊँचाई = ½ × (½ BC) × (1/6 h) = 1/24 × BC × h

चूंकि Area(ABC) = ½ × BC × h: Area(ODE) = 1/12 × Area(ABC)

त्रिभुज ODE : त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात 1 : 12 है।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है, और एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग होती है।

कुल दूरी = 150 मीटर + 180 मीटर = 330 मीटर

सापेक्ष गति = 50 किमी/ घंटा + 58 किमी/ घंटा = 108 किमी/ घंटा

सापेक्ष गति को किमी/ घंटा से मी/से में बदलने के लिए: सापेक्ष गति = 108 × 5/18 = 30 मी/से

एक-दूसरे को पार करने में लिया गया समय = कुल दूरी / सापेक्ष गति = 330 / 30 = 11 सेकंड

व्याख्या

माना कोण x है।

x का पूरक कोण 90° - x है, और x का संपूरक कोण 180° - x है।

प्रश्न के अनुसार: 90° - x = (180° - x) ÷ 4

समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर: 360° - 4x = 180° - x

समान पदों को समीकरण के दोनों ओर समूहित करने पर: 360° - 180° = 4x - x 180° = 3x x = 60°

व्याख्या

विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि tan(π/3) = √3। दिए गए समीकरण के अनुसार:

tan(π/2 - α/2) = √3

हम कोणों की तुलना कर सकते हैं:

π/2 - α/2 = π/3

α/2 के लिए हल करने पर:

α/2 = π/2 - π/3 α/2 = π/6

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

α = π/3

अब, हम cos α की गणना करते हैं:

cos α = cos(π/3) = ½

व्याख्या

अभीष्ट संख्या N = k × LCM(30, 36, 80) + 11 के रूप की है, जहाँ k एक पूर्णांक है।

30, 36 और 80 का LCM ज्ञात करने के लिए, हम उनके अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करते हैं: 30 = 2 × 3 × 5 36 = 2² × 3² 80 = 2⁴ × 5

LCM(30, 36, 80) = 2⁴ × 3² × 5 = 16 × 9 × 5 = 720

इस प्रकार, संख्या N = 720k + 11 के रूप की है।

1000 और 2000 के बीच की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम k = 2 रखते हैं: N = 720 × 2 + 11 = 1440 + 11 = 1451

चूँकि 1451 दी गई सीमा 1000 से 2000 के बीच है, यह सभी शर्तों को पूरा करती है।

व्याख्या

मान लीजिए पूर्ण संख्या N है। दी गई शर्त के अनुसार: N का 51% = 714 (51/100) × N = 714 N = (714 × 100) / 51 N = 1400

अब, हम इस संख्या का 25% ज्ञात करते हैं: N का 25% = (25/100) × 1400 N का 25% = ¼ × 1400 N का 25% = 350

व्याख्या

भिन्नों 4/3, -2/9, -7/8, और 5/12 को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के लिए, हम उनके मानों की तुलना करने के लिए प्रत्येक भिन्न को उसके दशमलव समतुल्य में परिवर्तित कर सकते हैं:

-7/8 = -0.875 -2/9 ≈ -0.222 5/12 ≈ 0.417 4/3 ≈ 1.333

इन मानों को वास्तविक संख्या रेखा पर सबसे छोटे से सबसे बड़े तक व्यवस्थित करना:

-0.875 < -0.222 < 0.417 < 1.333

दशमलव को उनकी संगत भिन्नों से बदलने पर प्राप्त होता है:

-7/8 < -2/9 < 5/12 < 4/3

व्याख्या

मिश्रण के नियम से, लड़कों की संख्या का लड़कियों की संख्या से अनुपात है: (75 - 72) : (72 - 70) = 3 : 2

विद्यार्थियों की कुल संख्या 50 है। कक्षा में लड़कों की संख्या है (3 / (3 + 2)) × 50 = (3 / 5) × 50 = 30।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP), और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (100 - छूट %) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

255 = MP × (100 - 15) / 100 255 = MP × 85 / 100 MP = (255 × 100) / 85 MP = 3 × 100 MP = 300

व्याख्या

टैंक में डाले गए पानी का आयतन 630 लीटर है। चूँकि 1000 लीटर 1 घन मीटर (1 मी³) के बराबर होता है, इसलिए घन मीटर में इस अतिरिक्त पानी का आयतन है: आयतन = 630 / 1000 = 0.63 मी³

घनाभ टैंक की लंबाई 2.1 मीटर और चौड़ाई 1.5 मीटर है। मान लीजिए पानी के स्तर में वृद्धि h मीटर है। डाले गए पानी का आयतन टैंक के आधार क्षेत्रफल और ऊंचाई में वृद्धि के गुणनफल के बराबर होता है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई में वृद्धि 0.63 = 2.1 × 1.5 × h 0.63 = 3.15 × h h = 0.63 / 3.15 = 0.20 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए नए लड़के की आयु x वर्ष है। चूँकि एक लड़का चला जाता है और दूसरा शामिल हो जाता है, इसलिए कक्षा में लड़कों की कुल संख्या 30 ही रहती है।

कक्षा की औसत आयु में परिवर्तन 16.9 - 17 = -0.1 वर्ष है।

आयु के योग में कुल परिवर्तन, लड़कों की संख्या को औसत में परिवर्तन से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 30 × (-0.1) = -3 वर्ष

इसका मतलब है कि आयु के योग में 3 वर्ष की कमी आई है। इसलिए, नए लड़के की आयु उस लड़के की आयु से 3 वर्ष कम होनी चाहिए जो चला गया था: x = 18 - 3 = 15 वर्ष

व्याख्या

सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है। 100 से कम सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 97 है। इन दो अभाज्य संख्याओं के बीच का अंतर 97 - 2 = 95 है।

व्याख्या

12 किलोग्राम आलू का क्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है: क्रय मूल्य = (विक्रय मूल्य × 100) / (100 + लाभ%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 12 किलोग्राम का क्रय मूल्य = (63 × 100) / (100 + 5) = 6300 / 105 = ₹60

प्रति किलोग्राम आलू का क्रय मूल्य है: ₹60 / 12 = ₹5

50 किलोग्राम आलू का क्रय मूल्य है: 50 × ₹5 = ₹250

₹247.50 में 50 किलोग्राम आलू बेचने पर हानि होती है क्योंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है: हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य = 250 - 247.50 = ₹2.50

हानि प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: हानि प्रतिशत = (हानि / क्रय मूल्य) × 100 हानि प्रतिशत = (2.50 / 250) × 100 = 1%

व्याख्या

n-भुजाओं वाले बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है, जो (n - 2) × 2 समकोण के बराबर है।

इस सूत्र को 14 समकोणों के दिए गए योग के बराबर रखने पर: (n - 2) × 2 = 14 n - 2 = 7 n = 9

व्याख्या

दिया गया अनुपात a/b = 25/6 है, हम व्यंजक (a² - b²)/(a² + b²) के अंश और हर को b² से विभाजित करके इसे a/b के अनुपात के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

यह सरलीकृत रूप देता है: ((a/b)² - 1) / ((a/b)² + 1)

सूत्र में a/b = 25/6 का मान रखने पर: ((25/6)² - 1) / ((25/6)² + 1) = (625/36 - 1) / (625/36 + 1) = (625 - 36) / (625 + 36) = 589 / 661

व्याख्या

मान लीजिए दोनों ट्रेनों को मिलने में t घंटे लगते हैं।

पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी 14t किमी है, और दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी 21t किमी है।

दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरियों में अंतर 70 किमी दिया गया है: 21t - 14t = 70 7t = 70 t = 10 घंटे

दोनों स्टेशनों के बीच कुल दूरी दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है: कुल दूरी = 14t + 21t = 35t t = 10 रखने पर: कुल दूरी = 35 × 10 = 350 किमी

व्याख्या

क्रमिक छूटों के बाद विक्रय मूल्य की गणना सीधे सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

विक्रय मूल्य = सूची मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ सूची मूल्य ₹300 है, पहली छूट d₁ 15% है, और दूसरी छूट d₂ 10% है:

विक्रय मूल्य = 300 × (1 - 15/100) × (1 - 10/100) विक्रय मूल्य = 300 × 0.85 × 0.90 विक्रय मूल्य = 300 × 0.765 विक्रय मूल्य = ₹229.50

व्याख्या

प्रिज़्म का आयतन निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × प्रिज़्म की ऊँचाई

प्रिज़्म का आधार एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी दो बराबर भुजाएँ 5 सेमी और तीसरी भुजा 6 सेमी है। शीर्ष से तीसरी भुजा पर एक लंब खींचने पर यह उसे 3 सेमी के दो खंडों में विभाजित करता है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, इस त्रिभुजाकार आधार की ऊँचाई है: √(5² - 3²) = √16 = 4 सेमी

त्रिभुजाकार आधार का क्षेत्रफल है: ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 6 × 4 = 12 सेमी²

आधार क्षेत्रफल को प्रिज़्म की ऊँचाई (8 सेमी) से गुणा करने पर आयतन प्राप्त होता है: आयतन = 12 × 8 = 96 सेमी³

व्याख्या

माना x = √(6 + √(6 + √(6 + ...)))

चूंकि अंतर्निहित मूल अनंत तक जारी रहता है, हम आंतरिक अनंत मूल को x के रूप में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x = √(6 + x)

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x² = 6 + x

इसे एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करने पर: x² - x - 6 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x - 3)(x + 2) = 0

यह x के दो संभावित मान देता है: x = 3 या x = -2

चूंकि एक धनात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है, x का मान शून्य से अधिक होना चाहिए। इसलिए, x = 3।

वैकल्पिक रूप से, √(n + √(n + √(n + ...))) के रूप का एक अनंत अंतर्निहित मूल, जहां n = k(k + 1) हमेशा बड़े क्रमागत पूर्णांक, k + 1 के बराबर होता है। चूंकि 6 को क्रमागत पूर्णांकों के रूप में 2 × 3 में गुणनखंडित किया जा सकता है, व्यंजक का मान 3 है।

व्याख्या

A:B:C अनुपात ज्ञात करने के लिए, हमें दिए गए दोनों अनुपातों में सामान्य चर, A, के मान को बराबर करने की आवश्यकता है।

हमें दिया गया है: A:B = 2:1 A:C = 1:3

दूसरे अनुपात, A:C, के दोनों पदों को 2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: A:C = (1 × 2) : (3 × 2) = 2:6

अब जब दोनों निरूपणों में A का मान समान है, तो हम उन्हें सीधे जोड़ सकते हैं: A:B:C = 2:1:6

व्याख्या

ब्याज दर में कमी के कारण साधारण ब्याज से होने वाली वार्षिक आय कम हो जाती है। मान लीजिए जमा की गई मूल राशि P है।

प्रति वर्ष ब्याज दर में कमी है: 5% - 3½% = 1.5% = 3/2%

साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करते हुए, 1 वर्ष की अवधि के लिए वार्षिक आय में कमी इस प्रकार दी गई है: आय में कमी = P × (दर में कमी / 100) × समय

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 105 = P × (1.5 / 100) × 1 105 = P × (3 / 200) P = (105 × 200) / 3 P = 35 × 200 P = 7000

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके, हम x² + 1/x² का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं।

दिया गया है: x + 1/x = 3

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 3²

बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = 9

पदों को सरल करने पर: x² + 2 + 1/x² = 9

दोनों पक्षों से 2 घटाने पर: x² + 1/x² = 9 - 2 x² + 1/x² = 7

व्याख्या

किसी बिंदु (x, y) के रैखिक समीकरण y = x के आलेख पर स्थित होने के लिए, उसके x-निर्देशांक और y-निर्देशांक बराबर होने चाहिए। निर्देशांक (1, 1) में, x का मान 1 है और y का मान 1 है, जो समीकरण 1 = 1 को संतुष्ट करता है। इसलिए, समीकरण का आलेख इस बिंदु से होकर गुजरता है।

व्याख्या

हम पूरक कोण संबंध cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करते हैं।

चूंकि n = cos 70°, हम n को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: n = cos(90° - 20°) = sin 20°

दिया गया है m = cos 20°, हम इन मानों को व्यंजक m² + n² में प्रतिस्थापित करते हैं: m² + n² = (cos 20°)² + (sin 20°)² = cos² 20° + sin² 20°

मूल पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हुए जहाँ θ = 20°: cos² 20° + sin² 20° = 1