एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2015 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

क्रमिक छूट की श्रृंखला के समतुल्य एकल छूट की गणना अंतिम शेष प्रतिशत मूल्य ज्ञात करके की जा सकती है। यदि प्रारंभिक मूल्य 100% है, तो d₁%, d₂%, और d₃% की क्रमिक छूट के बाद शेष प्रतिशत इस प्रकार दिया जाता है:

शेष प्रतिशत = 100 × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100)

दिए गए मानों 20%, 10% और 5% को प्रतिस्थापित करने पर:

शेष प्रतिशत = 100 × (1 - 0.20) × (1 - 0.10) × (1 - 0.05) शेष प्रतिशत = 100 × 0.80 × 0.90 × 0.95 शेष प्रतिशत = 100 × 0.72 × 0.95 शेष प्रतिशत = 72 × 0.95 शेष प्रतिशत = 68.4%

समतुल्य एकल छूट मूल 100% से कुल कमी है:

समतुल्य एकल छूट = 100% - 68.4% = 31.6%

व्याख्या

योग S और अंतर D वाली किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए, उनका गुणनफल P सीधे बीजगणितीय संबंध का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

P = (S² - D²)/4

दिए गए मानों, S = 75 और D = 25 को प्रतिस्थापित करने पर:

P = (75² - 25²)/4

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके, a² - b² = (a + b)(a - b):

P = (75 + 25)(75 - 25)/4 P = (100 × 50)/4 P = 5000/4 P = 1250

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद को सरल करने पर:

पहला पद: 2 - 1/3 = (6 - 1)/3 = 5/3 दूसरा पद: 2 - 3/5 = (10 - 3)/5 = 7/5 तीसरा पद: 2 - 5/7 = (14 - 5)/7 = 9/7 ... अंतिम पद: 2 - 997/999 = (1998 - 997)/999 = 1001/999

इन सरलीकृत भिन्नों को गुणनफल में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

(5/3) × (7/5) × (9/7) × ... × (1001/999)

यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल बनाता है जहाँ प्रत्येक भिन्न का अंश आगामी भिन्न के हर को रद्द कर देता है: पहले पद का अंश 5 दूसरे पद के हर 5 को रद्द करता है। दूसरे पद का अंश 7 तीसरे पद के हर 7 को रद्द करता है। यह पैटर्न तब तक जारी रहता है जब तक कि अंतिम पद के हर 999 को पूर्ववर्ती पद के अंश द्वारा रद्द नहीं कर दिया जाता है।

सभी रद्दीकरण के बाद, केवल पहले पद का हर (3) और अंतिम पद का अंश (1001) शेष रहता है।

इस प्रकार, व्यंजक का अंतिम सरलीकृत मान 1001/3 है।

व्याख्या

2 वर्षों के लिए प्रति वर्ष 18% की ब्याज दर पर वार्षिक चक्रवृद्धि के लिए: प्रभावी ब्याज दर = 18 + 18 + (18 × 18)/100 = 39.24%

2 वर्षों के लिए अर्ध-वार्षिक चक्रवृद्धि के लिए, ब्याज दर 9% प्रति छमाही की दर से 4 चक्रवृद्धि अवधियों के लिए संयोजित होता है। पहले वर्ष के बाद प्रभावी दर (9% की 2 अवधियाँ) = 9 + 9 + (9 × 9)/100 = 18.81% दो वर्षों के बाद प्रभावी दर (18.81% की 2 अवधियाँ) = 18.81 + 18.81 + (18.81 × 18.81)/100 = 37.62 + 3.538161 = 41.158161%

दो प्रभावी दरों के बीच का अंतर है: 41.158161% - 39.24% = 1.918161%

ब्याज में यह अंतर 960 के बराबर है: मूलधन × 1.918161% = 960 मूलधन = (960 × 100) / 1.918161 ≈ 50000

व्याख्या

मान लीजिए घटते क्रम में व्यवस्थित छह संख्याएँ a, b, c, d, e, और f हैं।

पहली पाँच संख्याओं का योग उनके औसत को 5 से गुणा करके निकाला जाता है: a + b + c + d + e = 5 × 30 = 150

इसी प्रकार, अंतिम पाँच संख्याओं का योग है: b + c + d + e + f = 5 × 25 = 125

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर सामान्य पद b, c, d, और e समाप्त हो जाते हैं: (a + b + c + d + e) - (b + c + d + e + f) = 150 - 125 a - f = 25

पहली संख्या और अंतिम संख्या के बीच का अंतर 25 है।

व्याख्या

₹1 के लिए, 4 केले खरीदे जाते हैं। 1 केले का क्रय मूल्य (CP) = ₹¼

वांछित लाभ 33 ⅓% = 1/3 है।

1 केले का विक्रय मूल्य (SP) = CP × (1 + लाभ) SP = ¼ × (1 + 1/3) SP = ¼ × 4/3 SP = ₹⅓

चूंकि 1 केले का विक्रय मूल्य ₹⅓ है, इसलिए ₹1 में बेचे जाने वाले केलों की संख्या है: 1 / (1/3) = 3

व्याख्या

20 लीटर मिश्रण में दूध और पानी का प्रारंभिक अनुपात 3 : 1 है। अनुपात के कुल भाग 3 + 1 = 4 हैं। पानी की प्रारंभिक मात्रा (1 / 4) × 20 = 5 लीटर है। दूध की प्रारंभिक मात्रा (3 / 4) × 20 = 15 लीटर है।

चूंकि मिश्रण में केवल दूध मिलाया जाता है, पानी की मात्रा 5 लीटर पर स्थिर रहती है। मान लीजिए x मिलाए जाने वाले दूध की मात्रा है। दूध और पानी का नया अनुपात 4 : 1 है, जिससे समीकरण बनता है: (15 + x) / 5 = 4 / 1 15 + x = 20 x = 5 लीटर

व्याख्या

एक चक्रीय समलंब चतुर्भुज ABCD में जहाँ भुजाएँ AD और BC समानांतर हैं, तिर्यक रेखा AB के अनुदिश क्रमागत अंतः कोण संपूरक होते हैं, जिससे ∠DAB + ∠ABC = 180° प्राप्त होता है।

इसके अतिरिक्त, किसी भी चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, जिससे ∠DAB + ∠BCD = 180° प्राप्त होता है।

इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें ∠BCD = ∠ABC प्राप्त होता है।

दिया गया है कि ∠ABC = 75°, इससे सीधे तौर पर ∠BCD = 75° प्राप्त होता है।

व्याख्या

हर का परिमेयकरण करके व्यंजक को सरल करें: 1/√28 = 1/√(4 × 7) = 1/(2√7)

भाग को सरल करने के लिए अंश और हर को √7 से गुणा करें: 1/(2√7) × √7/√7 = √7/(2 × 7) = √7/14

√7 = 2.646 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करें: 2.646 / 14 = 0.189

व्याख्या

दिए गए समीकरण को दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर: 2(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0 (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 0 (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो: a - b = 0 → a = b b - c = 0 → b = c c - a = 0 → c = a

इससे a = b = c प्राप्त होता है, जो a:b:c का अनुपात 1:1:1 देता है।

व्याख्या

X पूरे काम को 24 दिनों में पूरा कर सकता है, जिसका अर्थ है कि X की कार्य दर प्रति दिन 1/24 काम है।

पूरा काम 16 दिनों में समाप्त हो गया। चूंकि X ने शुरू से अंत तक काम किया, X ने पूरे 16 दिन काम किया।

16 दिनों में X द्वारा पूरा किया गया काम का अंश है: 16 × 1/24 = 2/3

Y, X के 4 दिनों के बाद शामिल हुआ, जिसका अर्थ है कि Y ने काम किया: 16 - 4 = 12 दिन

Y द्वारा पूरा किया गया काम का शेष अंश है: 1 - 2/3 = 1/3

चूंकि Y 12 दिनों में काम का 1/3 पूरा करता है, Y को अकेले पूरा काम खत्म करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: 12 ÷ 1/3 = 36 दिन

व्याख्या

एक अर्ध-गोलाकार कटोरे का कुल क्षेत्रफल जिसे अंदर और बाहर दोनों तरफ से पेंट किया जाना है, उसके आंतरिक और बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।

आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² पेंट किया जाने वाला कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

दिया गया है कि त्रिज्या r = 3.5 सेमी: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 3.5 × 3.5 = 154 वर्ग सेमी।

पेंटिंग की लागत ₹5 प्रति 10 वर्ग सेमी है, जिसका अर्थ है कि दर ₹0.5 प्रति वर्ग सेमी है।

पेंटिंग की कुल लागत = 154 × 0.5 = ₹77।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात 22/7 दिया गया है।

परिधि C को 1 4/7 मी के रूप में दिया गया है, जो 11/7 मी के बराबर है।

संबंध C = (22/7) × d का उपयोग करते हुए, जहाँ d वृत्त का व्यास है:

11/7 = (22/7) × d

d के लिए हल करना:

d = (11/7) × (7/22) = 11/22 = ½ मी

वृत्त की त्रिज्या r उसके व्यास की आधी होती है:

r = d/2 = (½) / 2 = ¼ मी

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a⁴ + a² + 1 = (a² + a + 1)(a² - a + 1)

यह देखते हुए कि a² + a + 1 = 0 है, इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: a⁴ + a² + 1 = 0 × (a² - a + 1) = 0

व्याख्या

बाहरी वर्गमूल के अंदर का व्यंजक 6 के वर्गमूल को सरल करता है, जो 1/2 की घात 6 है। इस मान का वर्गमूल लेने पर 1/4 की घात 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति द्वारा खरीदे गए अंडों की कुल संख्या x है।

चूंकि 10% अंडे सड़े हुए हैं, इसलिए शेष अच्छे अंडे x का 90% हैं, जो कि 0.9x है।

व्यक्ति इस शेष का 80% अपने पड़ोसियों को दे देता है, जिसका अर्थ है कि वह शेष का 20% अपने पास रखता है।

दी गई जानकारी के अनुसार, उसके पास बचे अंडों की संख्या 36 है। हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 0.9x का 20% = 36 0.2 × 0.9x = 36 0.18x = 36 x = 36 / 0.18 = 200

व्याख्या

पहले समीकरण पर योगान्तर अनुपात (componendo and dividendo) लगाने पर: ((x + 1) + (x - 1)) / ((x + 1) - (x - 1)) = (a + b) / (a - b) 2x / 2 = (a + b) / (a - b) x = (a + b) / (a - b)

दूसरे समीकरण पर योगान्तर अनुपात (componendo and dividendo) लगाने पर: ((1 - y) + (1 + y)) / ((1 - y) - (1 + y)) = (b + a) / (b - a) 2 / (-2y) = (a + b) / (b - a) -1 / y = -(a + b) / (a - b) y = (a - b) / (a + b)

x और y को गुणा करने पर: xy = ((a + b) / (a - b)) × ((a - b) / (a + b)) = 1

इस प्रकार, हर है: 1 + xy = 1 + 1 = 2

अंश है: x - y = (a + b) / (a - b) - (a - b) / (a + b) x - y = ((a + b)² - (a - b)²) / ((a - b)(a + b)) x - y = 4ab / (a² - b²)

इनको दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (x - y) / (1 + xy) = (4ab / (a² - b²)) / 2 = 2ab / (a² - b²)

व्याख्या

मान लीजिए वास्तविक बिल राशि B है।

दी जाने वाली छूट वास्तविक बिल का 15% है, और इस छूट का मान ₹54 दिया गया है।

इस संबंध को सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है: छूट = (छूट प्रतिशत / 100) × वास्तविक बिल

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 54 = (15 / 100) × B

B के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: B = (54 × 100) / 15

54 और 15 को उनके उभयनिष्ठ भाजक 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर: B = (18 × 100) / 5

B = 18 × 20

B = 360

व्याख्या

त्रिकोणमितीय संबंध दिया गया है: cosec θ = cot² θ

मानक सर्वसमिका cot² θ = cosec² θ - 1 का उपयोग करके, हम इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: cosec θ = cosec² θ - 1 cosec² θ - cosec θ - 1 = 0

x = cosec θ रखने पर, हमें द्विघात संबंध मिलता है: x² - x - 1 = 0

हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है: E = cosec⁴ θ - 2 cosec³ θ + cot² θ

चूंकि cot² θ = cosec θ = x, हम व्यंजक को x के पदों में पुनः लिख सकते हैं: E = x⁴ - 2x³ + x

हम पदों को समूहीकृत करके या x² - x - 1 के साथ बीजीय विभाजन करके इस बहुपद का गुणनखंड कर सकते हैं: E = x²(x² - x - 1) - x³ + x² + x E = x²(x² - x - 1) - x(x² - x - 1) E = (x² - x)(x² - x - 1)

गुणनखंडित व्यंजक में x² - x - 1 = 0 प्रतिस्थापित करने पर: E = (x² - x) × 0 = 0

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx))

सर्वप्रथम, सर्वसमिका का प्रयोग करके x² + y² + z² का मान ज्ञात करें: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

इस समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 6² = x² + y² + z² + 2(10) 36 = x² + y² + z² + 20 x² + y² + z² = 16

अब, इन मानों को मुख्य सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करें: x³ + y³ + z³ - 3xyz = 6 × (16 - 10) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 6 × 6 = 36

व्याख्या

12 संख्याओं का योग 12 × 15 = 180 के रूप में गणना की जाती है।

पहली दो संख्याओं का योग 2 × 14 = 28 है।

शेष 10 संख्याओं का योग कुल योग और पहली दो संख्याओं के योग के बीच का अंतर है, जो 180 - 28 = 152 है।

इन शेष 10 संख्याओं का औसत 152 / 10 = 15.2 है।

15.2 को मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर 15 ⅕ प्राप्त होता है।

व्याख्या

न्यूनतम लकड़ी बर्बाद करके एक घन (भुजा 'a') से एक लम्ब वृत्तीय शंकु को तराशने के लिए, शंकु की ऊँचाई और आधार का व्यास दोनों घन की भुजा के बराबर होने चाहिए।

दिया गया है कि घन की भुजा 4.2 डेसीमीटर है: शंकु की ऊँचाई (h) = 4.2 डेसीमीटर शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 4.2 / 2 = 2.1 डेसीमीटर

एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र है: V = ⅓ × π × r² × h

π = 22/7 का उपयोग करके सूत्र में मान रखने पर: V = ⅓ × (22/7) × (2.1)² × 4.2 V = ⅓ × (22/7) × 4.41 × 4.2 V = 13.86 × 1.4 V = 19.404 घन डेसीमीटर

व्याख्या

कुल दूरी ज्ञात करने के लिए, हम औसत गति के सूत्र का उपयोग करते हैं जब यात्रा को दो समान दूरी के हिस्सों में विभाजित किया जाता है:

औसत गति = 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂)

यहाँ, v₁ = 60 किमी/घंटा और v₂ = 45 किमी/घंटा।

औसत गति = 2 × 60 × 45 / (60 + 45) = 5400 / 105 = 360/7 किमी/घंटा

यात्रा का कुल समय 5 घंटे और 15 मिनट है, जो 5 + 15/60 = 21/4 घंटे के बराबर है।

दूरी सूत्र का उपयोग करके: कुल दूरी = औसत गति × कुल समय

कुल दूरी = (360/7) × (21/4) = 90 × 3 = 270 किमी

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज के लिए, आंतरिक कोणों का योग A + B + C = 180° होता है। इस समीकरण को 2 से विभाजित करने पर, हमें (A + B)/2 = 90° - C/2 प्राप्त होता है। इस कोण का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर tan((A + B)/2) = tan(90° - C/2) = cot(C/2) प्राप्त होता है। चूँकि सामान्य कोणों के लिए cot(C/2), sec(C/2) के गणितीय रूप से समतुल्य नहीं है, इसलिए tan((A + B)/2) = sec(C/2) संबंध असत्य है।

व्याख्या

वास्तविक संख्याओं को दो मुख्य श्रेणियों में विभाजित किया गया है: परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ। एक अपरिमेय संख्या, जैसे √2 या π, एक वास्तविक संख्या है जिसे सरल भिन्न p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य के बराबर नहीं है। परिणामस्वरूप, सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय नहीं होती हैं।

व्याख्या

प्लेट का आधार वर्गाकार है जिसकी लंबाई x सेमी और मोटाई (चौड़ाई) 1 मिमी है, जो 0.1 सेमी के बराबर है।

प्लेट का आयतन है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × मोटाई = x × x × 0.1 = 0.1x² घन सेमी

प्लेट का वजन निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके गणना की जाती है: वजन = आयतन × घनत्व

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4725 = 0.1x² × 8.4 4725 = 0.84x² x² = 4725 / 0.84 x² = 5625 x = √5625 x = 75

व्याख्या

संख्या x को 8, 12 और 16 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है। इसलिए, x का सामान्य रूप सूत्र द्वारा दिया गया है: x = k × LCM(8, 12, 16) + 3

8, 12 और 16 का LCM ज्ञात करने के लिए, हम उनके अभाज्य गुणनखंडन को देखते हैं: 8 = 2³ 12 = 2² × 3 16 = 2⁴

अतः, LCM(8, 12, 16) = 2⁴ × 3 = 48।

इसे सामान्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x = 48k + 3

हमें दिया गया है कि x, 7 से विभाज्य है। मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके: 48k + 3 ≡ 0 (mod 7)

चूंकि 48 को 7 से विभाजित करने पर 6 (या -1) शेष बचता है: -k + 3 ≡ 0 (mod 7) k ≡ 3 (mod 7)

k का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान 3 है। k = 3 को x के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 48 × 3 + 3 = 144 + 3 = 147

व्याख्या

मान लीजिए कुल अधिकतम अंक T हैं। दो अंक प्रतिशत के बीच का अंतर 32% - 20% = 12% है। इन दो परिदृश्यों में प्राप्त वास्तविक अंकों का अंतर 42 - (-30) = 72 अंक है। चूंकि कुल अंकों का 12% 72 अंकों के बराबर है, कुल अंकों का 1% 72 / 12 = 6 अंक के बराबर है। पहले परीक्षार्थी ने 20% अंक प्राप्त किए और 30 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया। 30 अंकों के इस अनुत्तीर्ण मार्जिन को प्रतिशत में बदलने पर 30 / 6 = 5% प्राप्त होता है। इसलिए, न्यूनतम उत्तीर्ण प्रतिशत 20% + 5% = 25% है।

व्याख्या

एक शुद्ध आवर्ती दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलने के लिए, दोहराए जाने वाले अंकों को अंश में लिखें और हर में उतने ही नौ रखें जितने दोहराए जाने वाले अंक हैं।

आवर्ती दशमलव 0.3939... है जहाँ दो अंकों का ब्लॉक 39 अनंत रूप से दोहराता है।

इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 39/99

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 3 से विभाजित करने पर भिन्न सरल हो जाती है: 39 ÷ 3 = 13 99 ÷ 3 = 33

यह सरलीकृत सामान्य भिन्न 13/33 देता है।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं:

सबसे पहले, हम जानते हैं कि 1/cosec²θ = sin²θ, इसलिए पहला पद 9sin²θ हो जाता है।

दूसरा, सर्वसमिका 1 + tan²θ = sec²θ तीसरे पद के हर को सरल बनाती है। चूँकि 1/sec²θ = cos²θ, इसलिए तीसरा पद 5/(1 + tan²θ) सरल होकर 5cos²θ हो जाता है।

इनको व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

9sin²θ + 4cos²θ + 5cos²θ

कोसाइन पदों को संयोजित करने पर:

9sin²θ + 9cos²θ

9 को उभयनिष्ठ लेने पर:

9(sin²θ + cos²θ)

चूँकि sin²θ + cos²θ = 1, इसलिए व्यंजक सरल होकर हो जाता है:

9 × 1 = 9

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप सूत्र ((n - 2) × 180°) / n द्वारा दिया जाता है। एक सम षट्भुज के लिए, भुजाओं की संख्या n 6 है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

((6 - 2) × 180°) / 6 = (4 × 180°) / 6 = 720° / 6 = 120°

वैकल्पिक रूप से, किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग 360° होता है। एक सम षट्भुज के लिए, प्रत्येक बाह्य कोण 360° / 6 = 60° होता है। चूँकि प्रत्येक शीर्ष पर आंतरिक और बाह्य कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए प्रत्येक आंतरिक कोण 180° - 60° = 120° होता है।

व्याख्या

किनारे की लंबाई 'a' वाले एक सम चतुष्फलक का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = (a³ × √2) / 12

किनारे की लंबाई a = 1 सेमी का दिया गया मान सूत्र में रखने पर:

V = (1³ × √2) / 12 = (1/12) × √2 घन सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरणों से: x/a = b - c y/b = c - a z/c = a - b

मान लीजिए p = x/a, q = y/b, और r = z/c।

इन तीन चरों को जोड़ने पर: p + q + r = (b - c) + (c - a) + (a - b) = 0

बीजीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि तीन पदों का योग शून्य हो (p + q + r = 0), तो उनके घनों का योग उनके गुणनफल के तीन गुना के बराबर होता है: p³ + q³ + r³ = 3pqr

सर्वसमिका में p, q, और r के मानों को वापस प्रतिस्थापित करने पर: (x/a)³ + (y/b)³ + (z/c)³ = 3(x/a)(y/b)(z/c) = 3xyz/abc

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कोसाइन फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: cos θ = आधार / कर्ण = p / √(p² + q²)

इससे पहचान होती है: आधार = p कर्ण = √(p² + q²)

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: कर्ण² = आधार² + लम्ब² (√(p² + q²))² = p² + लम्ब² p² + q² = p² + लम्ब² लम्ब² = q² लम्ब = q

टैंजेंट फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: tan θ = लम्ब / आधार = q / p

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: √y = 4x

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: y = 16x²

x²/y का मान ज्ञात करने के लिए, y = 16x² को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: x²/y = x² / 16x²

अंश और हर को x² से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: x²/y = 1/16

व्याख्या

एक समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, इसलिए AB = BC। इससे त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है, जिसका अर्थ है कि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए ∠BAC = ∠BCA।

त्रिभुज ABC में कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है ∠ABC = 60°, इसलिए कोण योग गणना इस प्रकार है: ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180° 60° + 2 × ∠BAC = 180° 2 × ∠BAC = 120° ∠BAC = 60°

चूंकि त्रिभुज ABC में सभी कोण 60° के बराबर हैं, इसलिए त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज में, तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है कि AB = BC = AC। क्योंकि विकर्ण AC को 6 सेमी दिया गया है, इसलिए समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई भी 6 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए दोनों ट्रेनें t घंटे की अवधि के बाद मिलती हैं।

बिंदु A से शुरू होने वाली तेज ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी है: d₁ = 75t

बिंदु B से शुरू होने वाली धीमी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी है: d₂ = 50t

दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरी का अंतर 175 किमी दिया गया है: d₁ - d₂ = 175 75t - 50t = 175 25t = 175 t = 7 घंटे

A और B के बीच कुल दूरी इस समय के दौरान दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है: कुल दूरी = d₁ + d₂ कुल दूरी = 75t + 50t कुल दूरी = 125t कुल दूरी = 125 × 7 = 875 किमी

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁% और d₂% के लिए, एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समतुल्य छूट = (d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100)%

सूत्र में d₁ = 20 और d₂ = 10 रखने पर:

समतुल्य छूट = (20 + 10 - (20 × 10)/100)% समतुल्य छूट = 30 - 2 समतुल्य छूट = 28%

व्याख्या

वर्ष 1 की शुरुआत में, रहीम x जमा करता है। वर्ष 1 के अंत में, 5% ब्याज के साथ, संचित राशि है: x × (1 + 5/100) = 1.05x = 21/20 x

वर्ष 2 की शुरुआत में, एक और x जमा किया जाता है। कुल मूलधन बन जाता है: 21/20 x + x = 41/20 x

वर्ष 2 के अंत में, यह कुल मूलधन 5% ब्याज के साथ बढ़कर हो जाता है: 41/20 x × 21/20 = 861/400 x

वर्ष 3 की शुरुआत में, एक और x जमा किया जाता है। कुल मूलधन बन जाता है: 861/400 x + x = 1261/400 x

वर्ष 3 के अंत में, यह कुल मूलधन 5% ब्याज के साथ बढ़कर हो जाता है: 1261/400 x × 21/20 = 26481/8000 x

व्याख्या

प्रतिशत 66⅔% को भिन्न 2/3 के रूप में लिखा जा सकता है।

सबसे पहले, 312 का 66⅔% ज्ञात करें: (2/3) × 312 = 2 × 104 = 208

अगला, वह राशि ज्ञात करें जिससे यह मान 200 से अधिक है: 208 - 200 = 8

व्याख्या

जब वे साथ मिलकर काम करते हैं तो लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर की गणना करते हैं। B द्वारा कार्य को 6 दिनों में पूरा करने पर, व्यक्तिगत दैनिक दरें हैं:

A का दैनिक कार्य = 1/24 B का दैनिक कार्य = 1/6 C का दैनिक कार्य = 1/12

संयुक्त दैनिक कार्य = 1/24 + 1/6 + 1/12 = 1/24 + 4/24 + 2/24 = 7/24

कार्य को एक साथ पूरा करने में लगने वाला समय इस संयुक्त दर का व्युत्क्रम होता है:

24/7 = 3 3/7 दिन

व्याख्या

मान लीजिए B की दैनिक कार्य क्षमता x है। चूँकि A एक दिन में B के कार्य का तीन गुना कार्य करता है, A की दैनिक कार्य क्षमता 3x है।

एक साथ, उनकी संयुक्त दैनिक क्षमता 3x + x = 4x है।

वे 9 दिनों में कार्य का 2/5 भाग पूरा करते हैं। इससे संबंध बनता है: 9 × 4x = 2/5 36x = 2/5 x = 2 / (5 × 36) x = 1/90

चूँकि B का एक दिन का कार्य 1/90 है, B को अकेले कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की कुल संख्या 1 / (1/90) = 90 दिन है।

व्याख्या

माना आयताकार आधार की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 3x और 2x है। प्रिज्म की ऊंचाई h = 12 सेमी है।

एक लम्ब प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × आधार का क्षेत्रफल + आधार की परिधि × ऊंचाई

आधार एक आयत है, इसलिए: आधार का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 3x × 2x = 6x² आधार की परिधि = 2(लंबाई + चौड़ाई) = 2(3x + 2x) = 10x

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 288 = 2(6x²) + 10x × 12 288 = 12x² + 120x

पूरे समीकरण को 12 से विभाजित करने पर: x² + 10x - 24 = 0 (x + 12)(x - 2) = 0

चूंकि विमाएँ धनात्मक होनी चाहिए, हमें x = 2 प्राप्त होता है।

x = 2 का उपयोग करके, हम आधार की विमाएँ ज्ञात करते हैं: लंबाई = 3 × 2 = 6 सेमी चौड़ाई = 2 × 2 = 4 सेमी आधार का क्षेत्रफल = 6 × 4 = 24 सेमी²

प्रिज्म का आयतन निम्न द्वारा दिया जाता है: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई आयतन = 24 × 12 = 288 सेमी³

व्याख्या

सही उत्तर: B

दिए गए समीकरण x/y = (a + 2) / (a - 2) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

x²/y² = (a + 2)² / (a - 2)²

दाहिनी ओर के पदों का विस्तार करने पर:

x²/y² = (a² + 4a + 4) / (a² - 4a + 4)

(x² - y²) / (x² + y²) ज्ञात करने के लिए योगांतरापात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:

(x² - y²) / (x² + y²) = ((a² + 4a + 4) - (a² - 4a + 4)) / ((a² + 4a + 4) + (a² - 4a + 4))

अंश और हर को सरल करने पर:

(x² - y²) / (x² + y²) = 8a / (2a² + 8)

अंश और हर दोनों से 2 गुणनखंड निकालने पर:

(x² - y²) / (x² + y²) = 4a / (a² + 4)

व्याख्या

मिश्रण के नियम (alligation) के अनुसार, 8% लाभ और 18% लाभ पर बेची गई मात्राओं का अनुपात उनके व्यक्तिगत लाभ प्रतिशत की तुलना समग्र लाभ प्रतिशत से करके निर्धारित किया जाता है।

8% लाभ पर बेची गई मात्रा का 18% लाभ पर बेची गई मात्रा से अनुपात है: (18 - 14) : (14 - 8) = 4 : 6 = 2 : 3

अनुपात के भागों का योग 2 + 3 = 5 है।

8% लाभ पर बेची गई मात्रा है: (2 / 5) × 1000 = 400 किग्रा

व्याख्या

जब 10¹⁰⁰ को 5⁷⁵ से विभाजित किया जाता है तो भागफल ज्ञात करने के लिए, विभाजन को इस प्रकार व्यक्त करें:

भागफल = 10¹⁰⁰ ÷ 5⁷⁵

चूंकि 10 को 2 × 5 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, हम घातांक के नियमों का उपयोग करके अंश को फिर से लिख सकते हैं:

10¹⁰⁰ = (2 × 5)¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ × 5¹⁰⁰

इसे विभाजन में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

भागफल = (2¹⁰⁰ × 5¹⁰⁰) ÷ 5⁷⁵

घातांक के विभाजन नियम, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ का उपयोग करके, 5 की घातों को सरल करें:

भागफल = 2¹⁰⁰ × 5¹⁰⁰⁻⁷⁵ भागफल = 2¹⁰⁰ × 5²⁵

विकल्पों की संरचना से मिलान करने के लिए, 2¹⁰⁰ को 2⁷⁵ × 2²⁵ में विभाजित करें:

भागफल = 2⁷⁵ × 2²⁵ × 5²⁵

समान घात वाली विभिन्न आधारों के लिए घातांक के गुणन नियम, aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ का उपयोग करके, 2²⁵ और 5²⁵ को संयोजित करें:

भागफल = 2⁷⁵ × (2 × 5)²⁵ भागफल = 2⁷⁵ × 10²⁵

व्याख्या

सिरप और पानी का अनुपात 3:1 है, जिसका अर्थ है कि मिश्रण में कुल 4 भागों में से 3 भाग सिरप है। प्रतिशत की गणना करने पर, हमें (3 / 4) * 100 = 75% प्राप्त होता है। इसलिए, मिश्रण में सिरप का प्रतिशत 75% है।

व्याख्या

यह दिया गया है कि x = y = z, हम व्यंजक के अंश और हर दोनों में y और z को x से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

अंश में प्रतिस्थापित करने पर: (x + y + z)² = (x + x + x)² = (3x)² = 9x²

हर में प्रतिस्थापित करने पर: x² + y² + z² = x² + x² + x² = 3x²

अंश को हर से विभाजित करने पर: 9x² / 3x² = 3

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य ₹1500 है। चूंकि इसे क्रय मूल्य से 25% अधिक पर बेचा जाता है, इसलिए सकल लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: सकल लाभ = ₹1500 का 25% = 25/100 × 1500 = ₹375

व्यक्ति को वस्तु पर ₹75 कर के रूप में देना पड़ता है, जो सीधे उसकी कमाई को कम कर देता है। इससे शुद्ध लाभ प्राप्त होता है: शुद्ध लाभ = सकल लाभ - कर = ₹375 - ₹75 = ₹300

शुद्ध लाभ प्रतिशत मूल क्रय मूल्य के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है: शुद्ध लाभ प्रतिशत = (शुद्ध लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (300 / 1500) × 100 = 20%

व्याख्या

समीकरण a/b + b/a = 2 को देखते हुए, हम दोनों पक्षों को ab से गुणा करके हर को हटा सकते हैं:

a² + b² = 2ab

2ab को बाईं ओर लाकर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

a² - 2ab + b² = 0

बाईं ओर का व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, जो सरल होकर बनता है:

(a - b)² = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

a - b = 0