एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2015 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक सतह का क्षेत्रफल अर्धगोले के वक्र सतह के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा दिया जाता है:

A = 2πr²

यहाँ, आंतरिक त्रिज्या r 6 सेमी है और π का मान 3.14 लिया गया है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: A = 2 × 3.14 × 6² A = 2 × 3.14 × 36 A = 72 × 3.14 A = 226.08 सेमी²

व्याख्या

पहली ट्रेन की गति (v1) की गणना ट्रेन की लंबाई को किमी पत्थर को पार करने में लगने वाले समय से विभाजित करके की जाती है: v1 = 156 / 30 = 5.2 मी/से

जब समान लंबाई की दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में एक-दूसरे को पार करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति (v1 + v2) का योग होती है, और तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग होती है: कुल दूरी = 156 + 156 = 312 मीटर

सापेक्ष गति संबंध का उपयोग करके, सापेक्ष गति = कुल दूरी / समय: v1 + v2 = 312 / 10 5.2 + v2 = 31.2 v2 = 26 मी/से

दूसरी ट्रेन की गति को मी/से से किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें: दूसरी ट्रेन की गति = 26 × 18/5 = 93.6 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए जल का प्रारंभिक आयतन 100 इकाई है।

जब जल जमता है और बर्फ बनता है, तो उसके आयतन में 10% की वृद्धि होती है: बर्फ का आयतन = 100 + 10 = 110 इकाई

जब यह बर्फ पुनः पिघलकर जल बनता है, तो इसका आयतन 110 इकाई से घटकर इसके मूल आयतन 100 इकाई हो जाता है। आयतन में कमी = 110 - 100 = 10 इकाई

आयतन में प्रतिशत कमी की गणना बर्फ के आयतन के सापेक्ष की जाती है: प्रतिशत कमी = (आयतन में कमी / बर्फ का आयतन) × 100 प्रतिशत कमी = (10 / 110) × 100 = 100/11 % = 9 1/11 %

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, पहले कोष्ठकों के भीतर गुणा करें:

(3/15 a⁵ b⁶ c³) × (5/9 a b⁵ c⁴)

संख्यात्मक गुणांकों को गुणा करें: (3/15) × (5/9) = (1/5) × (5/9) = 1/9

उनके घातांकों को जोड़कर संगत चर पदों को गुणा करें: a⁵ × a = a⁵⁺¹ = a⁶ b⁶ × b⁵ = b⁶⁺⁵ = b¹¹ c³ × c⁴ = c³⁺⁴ = c⁷

इससे प्राप्त होता है: 1/9 a⁶ b¹¹ c⁷

अब, इस परिणाम को शेष पद से विभाजित करें: (1/9 a⁶ b¹¹ c⁷) ÷ (10/27 a² b c³)

संख्यात्मक गुणांकों को विभाजित करें: (1/9) ÷ (10/27) = (1/9) × (27/10) = 3/10

उनके घातांकों को घटाकर संगत चर पदों को विभाजित करें: a⁶ ÷ a² = a⁶⁻² = a⁴ b¹¹ ÷ b = b¹¹⁻¹ = b¹⁰ c⁷ ÷ c³ = c⁷⁻³ = c⁴

इन भागों को मिलाने पर सरलीकृत व्यंजक प्राप्त होता है: 3/10 a⁴ b¹⁰ c⁴

व्याख्या

मान लीजिए लड़कों की संख्या x है। चूँकि प्रत्येक लड़के ने उतने ही रुपये का योगदान दिया जितने लड़के थे, प्रत्येक लड़के का योगदान ₹x है।

कुल जुटाई गई राशि है: कुल राशि = x × x = x²

हमें दिया गया है कि कुल जुटाई गई राशि ₹12,544 है: x² = 12544 x = √12544

हम अनुमान लगाकर वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि 110² = 12100 और 120² = 14400, x का मान 110 और 120 के बीच होना चाहिए। चूँकि 12544 का इकाई अंक 4 है, वर्गमूल या तो 2 या 8 में समाप्त होना चाहिए। इस सीमा के भीतर, एकमात्र मेल खाने वाला मान 112 है।

इसकी पुष्टि करना: 112 × 112 = 12544

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan²(π/4) - cos²(π/3) - X sin(π/4) cos(π/4) tan(π/3) = 0 है।

त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करें: tan(π/4) = 1 cos(π/3) = ½ sin(π/4) = 1/√2 cos(π/4) = 1/√2 tan(π/3) = √3

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1² - (½)² - X × (1/√2) × (1/√2) × √3 = 0 1 - ¼ - X × ½ × √3 = 0 ¾ - (√3 / 2) X = 0 (√3 / 2) X = ¾ X = (¾) × (2 / √3) X = √3 / 2

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग ABCD की भुजा a है। वर्ग का विकर्ण AC, समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण के रूप में कार्य करता है, जो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया गया है: AC = √(a² + a²) = a√2

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। चूँकि त्रिभुज QBC, त्रिभुज PAC के समरूप है: ΔQBC का क्षेत्रफल / ΔPAC का क्षेत्रफल = (BC / AC)²

सूत्र में BC = a और AC = a√2 मान रखने पर: ΔQBC का क्षेत्रफल / ΔPAC का क्षेत्रफल = (a / a√2)² = (1 / √2)² = 1/2

व्याख्या

मान लीजिए सोनाली और मोनाली की वर्तमान आयु क्रमशः 5x और 3x है।

पाँच वर्ष बाद, उनकी आयु 5x + 5 और 3x + 5 होगी।

दी गई शर्त के अनुसार: (5x + 5) / (3x + 5) = 10 / 7

समीकरण को तिरछा गुणा करने पर: 7(5x + 5) = 10(3x + 5) 35x + 35 = 30x + 50 5x = 15 x = 3

मोनाली की वर्तमान आयु 3x = 3 × 3 = 9 वर्ष है।

व्याख्या

तिमाही चक्रवृद्धि के लिए, वार्षिक ब्याज दर को 4 से विभाजित किया जाता है, और चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या तिमाहियों की कुल संख्या होती है।

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹12000 वार्षिक दर = 20% तिमाही दर (r) = 20% / 4 = 5% समय = 9 महीने = 3 तिमाहियाँ (n = 3)

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत कुल संचित राशि (A) का सूत्र है: A = P × (1 + r/100)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = 12000 × (1 + 5/100)³ A = 12000 × (1.05)³ A = 12000 × 1.157625 A = 13891.50

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना कुल राशि से मूलधन घटाकर की जाती है: CI = A - P CI = 13891.50 - 12000 = 1891.50

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को अंशों में 1 को प्रतिस्थापित करके सरल किया जा सकता है।

किसी भी कोण θ के लिए, हमारे पास है: 1 + 2 sin θ cos θ = sin²θ + cos²θ + 2 sin θ cos θ = (sin θ + cos θ)² 1 - 2 sin θ cos θ = sin²θ + cos²θ - 2 sin θ cos θ = (sin θ - cos θ)²

इन सर्वसमिकाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (sin 60° + cos 60°² / (sin 60° + cos 60°) + (sin 60° - cos 60°² / (sin 60° - cos 60°)

यह सीधे सरल हो जाता है: (sin 60° + cos 60°) + (sin 60° - cos 60°) = 2 sin 60°

चूंकि sin 60° = √3/2 है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 2 × (√3/2) = √3

व्याख्या

sinθ + cosθ = 3(sinθ − cosθ) से शुरू करके, पदों को एकत्रित करने पर 2sinθ = 4cosθ प्राप्त होता है, इसलिए sinθ = 2cosθ। चूँकि cosθ = √(1 − sin²θ), वर्ग करने पर sin²θ = 4(1 − sin²θ) प्राप्त होता है, इसलिए 5sin²θ = 4 और sin²θ = 4/5, जो कि माँगा गया मान है।

व्याख्या

समीकरण sin 2θ = √3/2 को देखते हुए, हम मानक त्रिकोणमितीय मानों से जानते हैं कि sin 60° = √3/2। कोणों की बराबरी करके, हमें 2θ = 60° मिलता है, जो सरल होकर θ = 30° हो जाता है।

इस θ के मान को व्यंजक sin 3θ में प्रतिस्थापित करने पर sin(3 × 30°) = sin 90° प्राप्त होता है। चूँकि sin 90° का मानक मान 1 है, इसलिए sin 3θ का मान 1 है।

व्याख्या

किसी घन जिसके किनारे की लम्बाई 'a' है, से काटा जा सकने वाले सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन तब प्राप्त होता है जब शंकु का आधार घन के किसी एक फलक में अंतर्निहित होता है और उसकी ऊँचाई घन के किनारे के बराबर होती है।

इसलिए, शंकु के आयाम हैं: त्रिज्या, r = a/2 = 7/2 सेमी ऊँचाई, h = a = 7 सेमी

शंकु का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = 1/3 × π × r² × h

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = 1/3 × 22/7 × (7/2)² × 7 V = 1/3 × 22/7 × 49/4 × 7 V = 539/6 V ≈ 89.8 सेमी³

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है। दी गई शर्तों के अनुसार, हम निम्नलिखित रैखिक समीकरणों की प्रणाली स्थापित कर सकते हैं:

x + 2y = 8 x - y = 2

x और y के मान ज्ञात करने के लिए, दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाएँ:

(x + 2y) - (x - y) = 8 - 2 3y = 6 y = 2

y का मान दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

x - 2 = 2 x = 4

इस प्रकार, पहली संख्या 4 है और दूसरी संख्या 2 है, जो दोनों धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं और दी गई शर्तों को संतुष्ट करती हैं।

व्याख्या

गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/सेकंड) में बदलने के लिए, दी गई मान को 5/18 से गुणा करें। यह रूपांतरण कारक 1 किलोमीटर को 1000 मीटर और 1 घंटे को 3600 सेकंड में बदलने से प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1000/3600 = 5/18 हो जाता है।

मी/सेकंड में गति = 54 × 5/18 = 3 × 5 = 15 मी/सेकंड

व्याख्या

एक स्थिर चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर के तहत दो अलग-अलग वर्षों की आय के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

वर्ष 2012 में आय = वर्ष 2010 में आय × (1 + r/100)ⁿ

यहाँ, वार्षिक वृद्धि दर r = 20% और समय अवधि n = 2 वर्ष (2010 से 2012 तक) है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

26,64,000 = वर्ष 2010 में आय × (1 + 20/100)² 26,64,000 = वर्ष 2010 में आय × (1.2)² 26,64,000 = वर्ष 2010 में आय × 1.44 वर्ष 2010 में आय = 26,64,000 ÷ 1.44 वर्ष 2010 में आय = 18,50,000

व्याख्या

दो वृत्तों जिनकी त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d है, की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

PQ = √(d² - (r₂ - r₁)²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ d = 13 सेमी, r₁ = 3 सेमी, और r₂ = 8 सेमी:

PQ = √(13² - (8 - 3)²) PQ = √(169 - 5²) PQ = √(169 - 25) PQ = √144 PQ = 12 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य ₹100 है। चूँकि माल का अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 20% अधिक है, इसलिए अंकित मूल्य है: अंकित मूल्य = 100 × (1 + 20/100) = ₹120

अंकित मूल्य पर 5% की छूट दी जाती है, इसलिए विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = 120 × (1 - 5/100) = 120 × 0.95 = ₹114

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य) / क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = ((114 - 100) / 100) × 100 = 14%

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक प्रतिशत सूत्र लागू करके जहाँ a अंकित प्रतिशत (+20%) है और b छूट प्रतिशत (-5%) है: शुद्ध लाभ % = a + b + ab/100 शुद्ध लाभ % = 20 - 5 + (20 × (-5))/100 = 15 - 1 = 14%

व्याख्या

चूंकि AB = BC = K है, त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है।

भुजाओं के बीच संबंध की जाँच के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करना: AB² + BC² = K² + K² = 2K²

साथ ही: AC² = (√2 K)² = 2K²

चूंकि AB² + BC² = AC² है, पाइथागोरस प्रमेय का विलोम सत्य है, यह साबित करता है कि त्रिभुज का शीर्ष B पर एक समकोण है। इसलिए, त्रिभुज समकोण और समद्विबाहु दोनों है, जो इसे एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।

व्याख्या

12, 18 और 21 से विभाज्य सबसे छोटी पाँच अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) ज्ञात करते हैं।

संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², और 21 = 3 × 7।

ल.स.प.(12, 18, 21) = 2² × 3² × 7 = 252

सबसे छोटी पाँच अंकों की संख्या 10000 है। 10000 को 252 से विभाजित करने पर भागफल 39 और शेषफल 172 प्राप्त होता है। 252 का सबसे छोटा पाँच अंकों का गुणज ज्ञात करने के लिए, हम 252 को अगली उच्च पूर्णांक, 40 से गुणा करते हैं: 252 × 40 = 10080

व्याख्या

विभिन्न लाभ या हानि प्रतिशत के तहत विक्रय मूल्य के बीच सीधे आनुपातिक संबंध का उपयोग करके:

नया विक्रय मूल्य = प्रारंभिक विक्रय मूल्य × (100 + लाभ%) / (100 - हानि%)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

नया विक्रय मूल्य = 450 × (100 + 20) / (100 - 20) नया विक्रय मूल्य = 450 × 120 / 80 नया विक्रय मूल्य = 450 × 3/2 नया विक्रय मूल्य = 675

यह सीधे 20% लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य देता है।

व्याख्या

तीन दिए गए समीकरणों को जोड़ने पर: A + B = 120 B + C = 130 C + A = 140

हमें प्राप्त होता है: 2(A + B + C) = 120 + 130 + 140 2(A + B + C) = 390 A + B + C = 195

C का अंक ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण से A + B का मान इस संयुक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 120 + C = 195 C = 195 - 120 C = 75

व्याख्या

चूंकि α + β = 90°, हमारे पास β = 90° - α है।

त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिकाओं से, हम जानते हैं: tan β = tan(90° - α) = cot α sin β = sin(90° - α) = cos α

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (tan α / tan β) + sin² α + sin² β = (tan α / cot α) + sin² α + cos² α

चूंकि cot α = 1/tan α और sin² α + cos² α = 1, व्यंजक सरल होकर यह हो जाता है: tan² α + 1

मानक सर्वसमिका 1 + tan² α = sec² α का उपयोग करने पर, हमें sec² α प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के साथ प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को समरूपता का बाह्य केंद्र कहा जाता है। वृत्तों के गुणधर्म के अनुसार, यह बिंदु वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाले रेखाखंड को उनकी संबंधित त्रिज्याओं के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।

मान लीजिए दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं। यहाँ, r₁ = 5 सेमी और r₂ = 3 सेमी है। इसलिए, वह अनुपात जिसमें प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा केंद्रों को मिलाने वाली रेखा को बाह्य रूप से विभाजित करती है, r₁ : r₂ है, जो 5 : 3 के बराबर है।

व्याख्या

एक दर्जन संतरे का क्रय मूल्य ₹10 है और एक दर्जन संतरे का विक्रय मूल्य ₹12 है।

लाभ का सूत्र है: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य लाभ = 12 - 10 = ₹2

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ % = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100

सूत्र में मान रखने पर: लाभ % = (2 / 10) × 100 = 20%

व्याख्या

वृत्ताकार पथ की बाहरी परिधि = 2πR = 528 मीटर, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है।

π = 22/7 का प्रयोग करके: 2 × (22/7) × R = 528 R = (528 × 7) / 44 R = 84 मीटर

चूंकि पथ हर जगह 14 मीटर चौड़ा है, आंतरिक त्रिज्या r है: r = R - 14 = 84 - 14 = 70 मीटर

पथ का क्षेत्रफल बाहरी और आंतरिक वृत्ताकार क्षेत्रों के बीच का अंतर है: क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π(R - r)(R + r) क्षेत्रफल = (22/7) × (84 - 70) × (84 + 70) क्षेत्रफल = (22/7) × 14 × 154 क्षेत्रफल = 44 × 154 = 6776 वर्ग मीटर

₹10 प्रति वर्ग मीटर की दर से पथ को समतल करने की लागत है: लागत = 6776 × 10 = ₹67760

व्याख्या

दी गई श्रृंखला है: S = 2³ + 4³ + ... + 20³

इसे प्रत्येक पद से 2³ को गुणनखंडित करके पुनः लिखा जा सकता है: S = (2 × 1)³ + (2 × 2)³ + ... + (2 × 10)³ S = 2³(1³ + 2³ + ... + 10³)

1³ + 2³ + ... + 10³ = 3025 के दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: S = 8 × 3025 S = 24200

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

दिया गया पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करके: 4πr² = 616 4 × (22/7) × r² = 616 88/7 × r² = 616 r² = (616 × 7) / 88 r² = 7 × 7 = 49 r = 7 सेमी

एक गोले का आयतन 4/3 πr³ सूत्र द्वारा दिया जाता है।

आयतन सूत्र में r = 7 सेमी का मान रखने पर: आयतन = 4/3 × (22/7) × 7³ आयतन = 4/3 × 22 × 49 आयतन = 4312 / 3 आयतन = 1437 ⅓ घन सेमी

व्याख्या

n प्रतिस्थापन संक्रियाओं के बाद दूध की शेष मात्रा सूत्र द्वारा दी जाती है: शेष दूध = प्रारंभिक मात्रा × (1 - निकाली गई मात्रा / प्रारंभिक मात्रा)ⁿ

यहाँ, दूध की प्रारंभिक मात्रा 60 लीटर है, प्रत्येक बार निकाली गई मात्रा 12 लीटर है, और संक्रिया n = 2 बार की जाती है।

शेष दूध = 60 × (1 - 12/60)² शेष दूध = 60 × (1 - 1/5)² शेष दूध = 60 × (4/5)² शेष दूध = 60 × 16/25 शेष दूध = 12 × 16/5 = 38.4 लीटर

चूंकि मिश्रण का कुल आयतन 60 लीटर बना रहता है, अंतिम मिश्रण में पानी की मात्रा है: पानी = 60 - 38.4 = 21.6 लीटर

परिणामी मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात है: दूध : पानी = 38.4 : 21.6 दूध : पानी = 384 : 216 दोनों पदों को 24 से विभाजित करने पर 16:9 का सरलीकृत अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: (2a - 1)² + (4b - 3)² + (4c + 5)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए योग शून्य तभी हो सकता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो। इससे हमें प्राप्त होता है: 2a - 1 = 0 जिसका अर्थ है a = ½ 4b - 3 = 0 जिसका अर्थ है b = ¾ 4c + 5 = 0 जिसका अर्थ है c = -5/4

a, b, और c के मानों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: a + b + c = 2/4 + 3/4 - 5/4 = 0

हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

चूंकि a + b + c = 0 है, अंश बन जाता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0

चूंकि a² + b² + c² एक धनात्मक गैर-शून्य मात्रा है, अंश को इस पद से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: (a³ + b³ + c³ - 3abc) / (a² + b² + c²) = 0

व्याख्या

मान लीजिए घर का सूची मूल्य (List Price) LP है। विक्रय मूल्य (Selling Price) y दिया गया है, और छूट दर (Discount Rate) x% है।

विक्रय मूल्य, सूची मूल्य और छूट प्रतिशत के बीच संबंध का सूत्र है: विक्रय मूल्य = सूची मूल्य × (1 - छूट/100)

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: y = LP × (1 - x/100) y = LP × ((100 - x)/100)

सूची मूल्य के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: LP = 100y / (100 - x)

व्याख्या

पहले दिए गए समीकरण से, हमारे पास है: a + 1/b = 1 a = (b - 1)/b 1/a = b/(b - 1)

दूसरे दिए गए समीकरण से, हमारे पास है: b + 1/c = 1 1/c = 1 - b c = 1/(1 - b) = -1/(b - 1)

c और 1/a के व्यंजकों को जोड़ने पर: c + 1/a = -1/(b - 1) + b/(b - 1) c + 1/a = (b - 1)/(b - 1) c + 1/a = 1

वैकल्पिक रूप से, b = 2 जैसा सुविधाजनक मान मानते हुए: a + 1/2 = 1, जिसका अर्थ है a = 1/2 2 + 1/c = 1, जिसका अर्थ है c = -1

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: c + 1/a = -1 + 1/(1/2) = -1 + 2 = 1

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र का प्रयोग करके:

(M₁ × D₁) / W₁ = (M₂ × D₂) / W₂

जहाँ M महिलाओं की संख्या है, D दिनों की संख्या है, और W किया गया कार्य (सड़क की लंबाई) है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 20, D₁ = 10, W₁ = 100 M₂ = 10, W₂ = 50

हमें प्राप्त होता है: (20 × 10) / 100 = (10 × D₂) / 50

समीकरण को सरल बनाने पर: 2 = D₂ / 5 D₂ = 10

व्याख्या

प्रतिशत 83 1/3% को भिन्न में बदलें: 83 1/3% = 250/3% = (250 / 3) × (1 / 100) = 5/6

अब, 90 का 83 1/3% की गणना करें: 5/6 × 90 = 75

मान लीजिए आवश्यक संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, x का 60% 75 के बराबर है: 60% × x = 75 3/5 × x = 75 x = 75 × 5/3 x = 25 × 5 x = 125

व्याख्या

चूंकि मिश्रण को शुद्ध दूध के क्रय मूल्य पर बेचा जाता है, लाभ केवल मुक्त पानी मिलाने के कारण होता है। लाभ प्रतिशत, पानी और दूध के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

लाभ % = (पानी की मात्रा / दूध की मात्रा) × 100

25% लाभ दिया गया है:

25 = (पानी की मात्रा / दूध की मात्रा) × 100

पानी की मात्रा / दूध की मात्रा = 25 / 100 = 1 / 4

इससे पानी और दूध का अनुपात 1:4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - 1/x)³ = x³ - 1/x³ - 3(x - 1/x) का उपयोग करके, हम x - 1/x = 2 के दिए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं। इससे 2³ = x³ - 1/x³ - 3(2) प्राप्त होता है, जो 8 = x³ - 1/x³ - 6 को सरल करता है, और इस प्रकार x³ - 1/x³ = 14 होता है।

व्याख्या

पाई चार्ट के आधार पर, क्लबों के सदस्य छात्रों का प्रतिशत वितरण इस प्रकार है: दोनों क्लबों के सदस्य = 75% केवल फुटबॉल क्लब के सदस्य = 15% केवल क्रिकेट क्लब के सदस्य = 5%

किसी भी क्लब के सदस्य नहीं होने वाले छात्रों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले कम से कम एक क्लब के सदस्य छात्रों का कुल प्रतिशत ज्ञात करते हैं: 75% + 15% + 5% = 95%

इसे कुल छात्र जनसंख्या 100% से घटाने पर प्राप्त होता है: 100% - 95% = 5%

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h + r)

जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h बेलन की ऊंचाई है।

दिए गए मानों, r = 7 सेमी, h = 20 सेमी को प्रतिस्थापित करने और π ≈ 22/7 लेने पर:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 7 × (20 + 7)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 27

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 × 27

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1188 सेमी²

व्याख्या

मीटर प्रति सेकंड (m/s) से किलोमीटर प्रति घंटा (km/h) में गति को परिवर्तित करने के लिए, गति मान को 18/5 से गुणा करें।

यह देखते हुए कि कार एक सेकंड में 20 मीटर की दूरी तय करती है, इसकी गति 20 m/s है।

रूपांतरण सूत्र का उपयोग करके: गति km/h में = 20 × 18/5 = 4 × 18 = 72 km/h।

व्याख्या

माना वर्ग की भुजा s है। वर्ग का क्षेत्रफल s² = 4 है, जिससे s = 2 प्राप्त होता है।

वर्ग का विकर्ण d = s√2 द्वारा दिया जाता है। s = 2 रखने पर, विकर्ण d = 2√2 है।

वृत्त की त्रिज्या r इस विकर्ण के बराबर है, इसलिए r = 2√2।

वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। r = 2√2 रखने पर A = π × (2√2)² = 8π प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य ₹100 है। चूँकि वस्तु को 25% के लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए प्रारंभिक विक्रय मूल्य ₹125 है।

जब विक्रय मूल्य दोगुना कर दिया जाता है, तो नया विक्रय मूल्य 2 × ₹125 = ₹250 हो जाता है।

क्रय मूल्य ₹100 ही रहने पर, नया अर्जित लाभ ₹250 - ₹100 = ₹150 है।

नया लाभ प्रतिशत (नए लाभ / क्रय मूल्य) × 100 के रूप में गणना की जाती है, जो (150 / 100) × 100 = 150% देता है।

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: x² - y² = (x + y)(x - y)

माना दो संख्याएँ x और y हैं। हमें दिया गया है: x + y = 37 x² - y² = 185

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 185 = 37 × (x - y)

दोनों संख्याओं के अंतर (x - y) के लिए हल करने पर: x - y = 185 / 37 = 5

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो 10, 12 और 15 का LCM है, जो 60 इकाई कार्य का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रत्येक व्यक्ति के लिए प्रति दिन कार्य क्षमताएँ हैं: A की क्षमता = 60 ÷ 10 = 6 इकाई B की क्षमता = 60 ÷ 12 = 5 इकाई C की क्षमता = 60 ÷ 15 = 4 इकाई

मान लीजिए कि पूरे कार्य को पूरा करने के लिए लिए गए दिनों की कुल संख्या x है।

A ने पूरा होने से 5 दिन पहले कार्य छोड़ दिया, जिसका अर्थ है कि A ने (x - 5) दिनों तक कार्य किया। B ने A के 2 दिन बाद कार्य छोड़ा, जिसका अर्थ है कि B ने (x - 5 + 2) = (x - 3) दिनों तक कार्य किया। C ने x दिनों की पूरी अवधि तक कार्य किया।

हम कुल किए गए कार्य के लिए समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 6 × (x - 5) + 5 × (x - 3) + 4 × x = 60 6x - 30 + 5x - 15 + 4x = 60 15x - 45 = 60 15x = 105 x = 7

व्याख्या

माना आयताकार कालीन की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः l और w हैं।

कालीन का परिमाप सूत्र द्वारा दिया गया है: 2(l + w) = 46 l + w = 23

कालीन का क्षेत्रफल है: l × w = 120

विकर्ण d की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय द्वारा भुजाओं से संबंधित है: d² = l² + w²

बीजगणितीय सर्वसमिका (l + w)² = l² + w² + 2lw का उपयोग करके, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 23² = d² + 2(120) 529 = d² + 240 d² = 529 - 240 d² = 289 d = √289 = 17

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: 4 sin²θ - 1 = 0

हम sin²θ के लिए हल कर सकते हैं: 4 sin²θ = 1 sin²θ = 1/4

चूंकि कोण θ पहले चतुर्थांश (0° < θ < 90°) में है, sin θ धनात्मक होना चाहिए: sin θ = 1/2

यह इसके संगत है: θ = 30°

अब, हम cos²θ + tan²θ व्यंजक में θ = 30° प्रतिस्थापित करते हैं: cos 30° = √3/2 cos² 30° = (√3/2)² = 3/4

tan 30° = 1/√3 tan² 30° = (1/√3)² = 1/3

इन दोनों मानों को एक साथ जोड़ने पर: cos² 30° + tan² 30° = 3/4 + 1/3 इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं, जो 12 है: (3 × 3)/12 + (1 × 4)/12 = 9/12 + 4/12 = 13/12

व्याख्या

त्रिज्या r और ऊँचाई H वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल 2πrH होता है।

इस मानक सूत्र को दिए गए वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल 4πrh के बराबर रखने पर:

2πrH = 4πrh

दोनों पक्षों को 2πr से विभाजित करने पर:

H = 2h

इस प्रकार, बेलन की ऊँचाई 2h इकाई है।

व्याख्या

मान लीजिए सेवानिवृत्त शिक्षक की आयु R है, नए शिक्षक की आयु N है, और शिक्षकों की कुल संख्या n है।

औसत आयु में परिवर्तन और प्रतिस्थापित और नए सदस्यों की आयु के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: औसत में परिवर्तन = (N - R) / n

यहाँ, शिक्षकों की संख्या (n) 10 है, नए शिक्षक की आयु (N) 25 है, और औसत आयु 3 वर्ष कम हो जाती है, जो -3 के परिवर्तन को दर्शाता है।

इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: -3 = (25 - R) / 10 -30 = 25 - R R = 25 + 30 R = 55

सेवानिवृत्त शिक्षक की आयु 55 वर्ष है।

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, जब किसी मूल्य को a% बढ़ाया जाता है और फिर b% घटाया जाता है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत इस प्रकार दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a - b - ab/100

यहां, अंकित मूल्य निर्धारित करने के लिए क्रय मूल्य को 10% बढ़ाया जाता है (a = 10), और अंकित मूल्य पर 10% की छूट दी जाती है (b = 10)।

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 10 - 10 - (10 × 10)/100 = -1%

ऋणात्मक चिह्न 1% की शुद्ध हानि दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी की लंबाई L और उसकी गति v है। जब कोई रेलगाड़ी किसी पुल को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी रेलगाड़ी की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है।

500 मीटर लंबाई के पहले पुल के लिए, रेलगाड़ी 100 सेकंड लेती है: L + 500 = 100v

250 मीटर लंबाई के दूसरे पुल के लिए, रेलगाड़ी 60 सेकंड लेती है: L + 250 = 60v

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर: (L + 500) - (L + 250) = 100v - 60v 250 = 40v v = 25/4 मीटर/सेकंड

दूसरे समीकरण में v का मान रखने पर: L + 250 = 60 × (25/4) L + 250 = 15 × 25 L + 250 = 375 L = 125 मीटर

व्याख्या

उत्तरोत्तर वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दरों r₁ और r₂ के साथ 2 वर्षों के अंत में कुल राशि A का सूत्र है:

A = P × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100)

दिया गया है: P = ₹ 25000 r₁ = 4% r₂ = 5%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

A = 25000 × (1 + 4/100) × (1 + 5/100) A = 25000 × (104/100) × (105/100) A = 250 × 1.04 × 105 A = 260 × 105 A = 27300