एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2010 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक, कोण को धारण करने वाली भुजाओं के अनुपात में विपरीत भुजा को आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

ΔABC में, AD कोण A का समद्विभाजक है जो BC से D पर मिलता है। इसलिए, संबंध है:

BD/DC = AB/AC

दिए गए मानों, AB = 3 सेमी और AC = 4 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

BD/DC = 3/4

यह अनुपात BD : DC को 3 : 4 के रूप में देता है।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा 'a' है। वर्ग का क्षेत्रफल दिया गया है: a² = 121 वर्ग सेमी a = √121 = 11 सेमी

वर्ग की परिधि, जो तांबे के तार की कुल लंबाई है, वह है: परिधि = 4a = 4 × 11 = 44 सेमी

जब उसी तार को 'r' त्रिज्या वाले वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है, तो वृत्त की परिधि तार की लंबाई के बराबर होती है: 2πr = 44 2 × (22/7) × r = 44 r = 7 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 154 वर्ग सेमी

व्याख्या

मान लीजिए घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः l, w और h हैं।

घनाभ का आयतन V निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = lwh

घनाभ के तीन आसन्न फलकों के पृष्ठीय क्षेत्रफल हैं: p = lw q = wh r = hl

इन तीन समीकरणों को एक साथ गुणा करने पर: p × q × r = (lw) × (wh) × (hl) pqr = l²w²h² pqr = (lwh)²

चूंकि V = lwh, हम समीकरण में V को प्रतिस्थापित कर सकते हैं: pqr = V²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: V = √(pqr)

व्याख्या

दिए गए अनुक्रम में क्रमिक पदों को प्राप्त करने के लिए +4 और -3 का एक वैकल्पिक पैटर्न है:

8 + 4 = 12 12 - 3 = 9 9 + 4 = 13 13 - 3 = 10 10 + 4 = 14

इस सुसंगत नियम का पालन करते हुए, अगली संक्रिया में छठे पद से 3 घटाने की आवश्यकता है:

14 - 3 = 11

वैकल्पिक रूप से, अनुक्रम को दो वैकल्पिक अंकगणितीय श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है: विषम स्थानों पर पद 8, 9, 10, ... हैं जो प्रत्येक बार 1 से बढ़ते हैं। सम स्थानों पर पद 12, 13, 14, ... हैं जो प्रत्येक बार 1 से बढ़ते हैं।

अनुक्रम में अगला पद सातवें स्थान पर है, जो एक विषम स्थान है। यह पहली श्रेणी का अनुसरण करता है, जिससे 10 + 1 = 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए अनुक्रम में 3 से शुरू होने वाली क्रमागत अभाज्य संख्याएँ हैं। इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं। संख्या 9 एक भाज्य संख्या है क्योंकि यह 3 से विभाज्य है, जो इसे इस अभाज्य संख्या अनुक्रम में गलत संख्या बनाती है।

व्याख्या

भरने वाले नल की दर प्रति मिनट टंकी का 1/40 है, जबकि खाली करने वाले नल की दर प्रति मिनट टंकी का 1/60 है।

जब दोनों नल एक साथ खोले जाते हैं, तो प्रति मिनट शुद्ध भरने की दर भरने की दर और खाली करने की दर के बीच का अंतर होती है: शुद्ध दर = 1/40 - 1/60 = (3 - 2) / 120 = 1/120 प्रति मिनट टंकी

इसका मतलब है कि पूरी टंकी 120 मिनट में भर जाएगी।

इस अवधि को घंटे में बदलने के लिए: समय = 120 / 60 = 2 घंटे

व्याख्या

माना कुल कार्य 1 इकाई है। A, B और C की कार्य करने की संयुक्त दर प्रति मिनट 1/30 कार्य है। A और B की कार्य करने की संयुक्त दर प्रति मिनट 1/50 कार्य है।

C की अकेले कार्य करने की दर इन दोनों दरों का अंतर है: C की दर = 1/30 - 1/50

30 और 50 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 150 लेने पर, गणना इस प्रकार है: C की दर = 5/150 - 3/150 = 2/150 = 1/75 कार्य प्रति मिनट

C द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया समय इस दर का व्युत्क्रम है: समय = 1 / (1/75) = 75 मिनट

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि कौन कार्य को सबसे पहले पूरा करता है, हम प्रत्येक व्यक्ति द्वारा 100% कार्य पूरा करने में लगने वाले कुल समय की गणना करते हैं।

P के लिए, कार्य का 1/4 भाग 10 दिनों में पूरा होता है, इसलिए पूरा कार्य 10 × 4 = 40 दिनों में पूरा होता है।

Q के लिए, कार्य का 40% (या 2/5) भाग 15 दिनों में पूरा होता है, इसलिए पूरा कार्य 15 × 5/2 = 37.5 दिनों में पूरा होता है।

R के लिए, कार्य का 1/3 भाग 13 दिनों में पूरा होता है, इसलिए पूरा कार्य 13 × 3 = 39 दिनों में पूरा होता है।

S के लिए, कार्य का 1/6 भाग 7 दिनों में पूरा होता है, इसलिए पूरा कार्य 7 × 6 = 42 दिनों में पूरा होता है।

कुल दिनों की तुलना करने पर, Q को कार्य पूरा करने के लिए सबसे कम दिन (37.5 दिन) लगते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा s है और वृत्त की त्रिज्या r है।

वर्ग का क्षेत्रफल s² होता है और वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है। चूँकि वर्ग और वृत्त के क्षेत्रफल बराबर हैं, हम संबंध लिखते हैं: s² = πr²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर भुजा और त्रिज्या के बीच संबंध प्राप्त होता है: s = √π r

दोनों पक्षों को r से विभाजित करने पर वर्ग की भुजा और वृत्त की त्रिज्या का अनुपात प्राप्त होता है: s/r = √π / 1

यह √π : 1 का अनुपात देता है।

व्याख्या

मान लीजिए A, B और C का मासिक वेतन क्रमशः 2x, 3x और 5x है।

C और A के मासिक वेतन के बीच का अंतर है: 5x - 2x = 3x

दी गई जानकारी के अनुसार, यह अंतर ₹12,000 है: 3x = 12,000

इसका मतलब है कि B का मासिक वेतन, जो 3x द्वारा दर्शाया गया है, ठीक ₹12,000 है।

B का वार्षिक वेतन ज्ञात करने के लिए, B के मासिक वेतन को 12 से गुणा करें: 12,000 × 12 = 1,44,000

इस प्रकार, B का वार्षिक वेतन ₹1,44,000 है।

व्याख्या

संयुक्त अनुपात A:B:C:D:E ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए अनुपातों को जहाँ तक संभव हो सरल करते हैं: C:D = 6:9 = 2:3 D:E = 12:16 = 3:4

चूंकि C:D (2:3) और D:E (3:4) दोनों में D का मान 3 है, हम उन्हें सीधे मिलाकर प्राप्त कर सकते हैं: C:D:E = 2:3:4

अगला, हम B:C = 3:4 को C:D:E = 2:3:4 के साथ मिलाते हैं। B:C में C का पद 4 है और C:D:E में 2 है। C पदों को बराबर करने के लिए, हम अनुपात C:D:E को 2 से गुणा करते हैं, जिससे प्राप्त होता है: C:D:E = 4:6:8

अब हम B:C को इस अद्यतन C:D:E के साथ मिलाकर प्राप्त कर सकते हैं: B:C:D:E = 3:4:6:8

अंत में, हम A:B = 1:2 को B:C:D:E = 3:4:6:8 के साथ मिलाते हैं। पहले अनुपात में B का पद 2 है और दूसरे में 3 है। 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। हम A:B को 3 से और B:C:D:E को 2 से गुणा करते हैं: A:B = 3:6 B:C:D:E = 6:8:12:16

इन दो अनुपातों को मिलाने पर अंतिम संयुक्त अनुपात प्राप्त होता है: A:B:C:D:E = 3:6:8:12:16

व्याख्या

दिया गया अनुपात x:y = 2:5 है, मान लीजिए x = 2k और y = 5k।

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(5x + 3y) / (5x - 3y) = (5(2k) + 3(5k)) / (5(2k) - 3(5k))

पदों को सरल बनाने पर:

अंश = 10k + 15k = 25k हर = 10k - 15k = -5k

अंश को हर से विभाजित करने पर:

25k / -5k = -5

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई l, संबंध l = √(r² + h²) द्वारा दी जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

आधार की त्रिज्या व्यास की आधी होती है: r = 4/2 = 2 सेमी

त्रिज्या r = 2 सेमी और ऊँचाई h = 2√3 सेमी के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: l = √(2² + (2√3)²) l = √(4 + 12) l = √16 l = 4 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए माल का क्रय मूल्य ₹100 है।

चूंकि विक्रेता अपने माल का अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 20% अधिक रखता है, इसलिए अंकित मूल्य है: अंकित मूल्य = 100 + 100 का 20% = ₹120

10% लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य होना चाहिए: विक्रय मूल्य = 100 + 100 का 10% = ₹110

अंकित मूल्य पर दी गई छूट है: छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य = 120 - 110 = ₹10

छूट की दर है: छूट दर = (छूट / अंकित मूल्य) × 100% छूट दर = (10 / 120) × 100% = 100/12% = 25/3% = 8⅓%

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (G), और छूट प्रतिशत (D) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP/CP = (100 + G) / (100 - D)

पहली स्थिति में, 10% छूट और 20% लाभ के साथ:

MP/CP = (100 + 20) / (100 - 10) = 120/90 = 4/3

दूसरी स्थिति में, 20% छूट और अज्ञात लाभ G के साथ:

MP/CP = (100 + G) / (100 - 20)

चूंकि MP/CP स्थिर रहता है:

4/3 = (100 + G) / 80

320/3 = 100 + G

106 2/3 = 100 + G

G = 6 2/3%

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट d का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

d = a + b - (a × b)/100

दिए गए मानों, a = 20 और b = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

d = 20 + 5 - (20 × 5)/100 d = 25 - 100/100 d = 25 - 1 d = 24%

व्याख्या

चूंकि केवल पानी मिलाया जाता है, दूध की मात्रा स्थिर रहती है।

दूध की प्रारंभिक मात्रा = 40 का 90% = 36 लीटर

नए मिश्रण में, पानी 20% है, जिसका अर्थ है कि दूध 80% है।

मान लीजिए नए मिश्रण की मात्रा V है। 0.8 × V = 36 V = 36 ÷ 0.8 = 45 लीटर

मिलाया जाने वाला पानी = 45 - 40 = 5 लीटर

व्याख्या

4 साल पहले विवाह के समय, पति और पत्नी की औसत आयु 25 वर्ष थी। इसलिए, उस समय उनकी आयु का योग 25 × 2 = 50 वर्ष था।

चूंकि पति और पत्नी दोनों 4 साल बड़े हो गए हैं, इसलिए आज उनकी वर्तमान आयु का योग 50 + 4 + 4 = 58 वर्ष है।

आज, परिवार में 3 सदस्य हैं: पति, पत्नी और बच्चा। इस 3 सदस्यीय परिवार की औसत आयु 20 वर्ष है। इसलिए, आज उनकी वर्तमान आयु का योग 20 × 3 = 60 वर्ष है।

बच्चे की वर्तमान आयु आज कुल पारिवारिक आयु योग में से माता-पिता की वर्तमान आयु का योग घटाकर प्राप्त की जाती है: 60 - 58 = 2 वर्ष।

व्याख्या

मान लीजिए चौथे दिन का तापमान T₄ है। एक सप्ताह के प्रथम 4 दिनों और अंतिम 4 दिनों के तापमान का योग चौथे दिन के तापमान को दो बार शामिल करता है। इसलिए, संबंध है:

T₄ = (प्रथम 4 दिनों का योग) + (अंतिम 4 दिनों का योग) - (पूरे 7 दिनों का योग)

योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, योग = औसत × अवलोकनों की संख्या:

प्रथम 4 दिनों का योग = 4 × 37 = 148 °C अंतिम 4 दिनों का योग = 4 × 41 = 164 °C सप्ताह के पूरे 7 दिनों का योग = 7 × 39 = 273 °C

इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

T₄ = (148 + 164) - 273 = 312 - 273 = 39 °C

व्याख्या

प्रारंभिक पांच संख्याओं का योग उनकी औसत को संख्याओं की संख्या से गुणा करके निकाला जाता है: 5 संख्याओं का योग = 5 × 7 = 35

इसी प्रकार, तीन नई संख्याओं को जोड़ने के बाद आठ संख्याओं का योग है: 8 संख्याओं का योग = 8 × 8.5 = 68

तीन नई संख्याओं का योग आठ संख्याओं के योग और प्रारंभिक पांच संख्याओं के योग के बीच का अंतर है: 3 नई संख्याओं का योग = 68 - 35 = 33

इन तीन नई संख्याओं का औसत उनका योग तीन से विभाजित है: 3 नई संख्याओं का औसत = 33 / 3 = 11

व्याख्या

मान लीजिए मूल दो-अंकीय संख्या 10a + b है, जहाँ a और b दहाई और इकाई के अंक हैं। जब अंकों को आपस में बदला जाता है, तो संख्या 10b + a हो जाती है।

मूल संख्या और गलत संख्या के बीच का अंतर है: (10a + b) - (10b + a) = 9(a - b)

चूंकि दस संख्याओं का औसत 1.8 कम हो जाता है, इसलिए दस संख्याओं का कुल योग कम हो जाता है: 10 × 1.8 = 18

योग में कमी को संख्याओं के बीच के अंतर के बराबर करने पर: 9(a - b) = 18 a - b = 2

जिस संख्या में गलती हुई थी, उसके अंकों के बीच का अंतर 2 है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) है।

जब वस्तु को ₹700 में बेचा जाता है, तो 30% की हानि होती है। विक्रय मूल्य = CP × (1 - हानि/100) 700 = CP × (1 - 30/100) 700 = CP × 0.70 CP = 700 / 0.70 = 1000

30% का लाभ प्राप्त करने के लिए, आवश्यक विक्रय मूल्य है: नया विक्रय मूल्य = CP × (1 + लाभ/100) नया विक्रय मूल्य = 1000 × (1 + 30/100) नया विक्रय मूल्य = 1000 × 1.30 = 1300

व्याख्या

मान लीजिए गेहूं का मूल मूल्य P प्रति किलोग्राम है।

320 रुपये में खरीदे गए गेहूं की मूल मात्रा 320/P किलोग्राम है।

20% की कमी के साथ, नई कीमत P का 80% हो जाती है, जो 0.8P प्रति किलोग्राम है।

समान राशि के लिए खरीदे गए गेहूं की नई मात्रा 320/(0.8P) किलोग्राम है।

प्रश्न के अनुसार, मात्रा का अंतर 5 किलोग्राम है:

320/(0.8P) - 320/P = 5

400/P - 320/P = 5

80/P = 5

P = 80/5 = 16

व्याख्या

मान लीजिए साइकिल का क्रय मूल्य (CP) है।

दो लाभ प्रतिशत के बीच का अंतर सीधे विक्रय मूल्य में वृद्धि के अनुरूप होता है।

लाभ प्रतिशत में अंतर = 14% - 8% = 6%

चूंकि लाभ मार्जिन में यह 6% की वृद्धि विक्रय मूल्य में 75 रुपये की वृद्धि का प्रतिनिधित्व करती है:

CP का 6% = 75

(6 / 100) × CP = 75

CP = (75 × 100) / 6

CP = 1250

व्याख्या

माना चादर का विक्रय मूल्य SP है। क्रय मूल्य CP = ₹450 है।

चूंकि लाभ विक्रय मूल्य पर 10% की गणना की जाती है: लाभ = SP का 10% = 0.10 × SP

संबंध का उपयोग करके: SP = CP + लाभ SP = 450 + 0.10 × SP 0.90 × SP = 450 SP = 450 / 0.90 SP = 500

व्याख्या

दोनों विषयों के कुल अंक = 300 + 200 = 500

आवश्यक कुल लक्ष्य अंक = 500 का 46% = (46 / 100) × 500 = 230

विज्ञान में प्राप्त अंक = 300 का 32% = (32 / 100) × 300 = 96

भाषा पत्रों में आवश्यक अंक = 230 - 96 = 134

भाषा पत्रों में आवश्यक प्रतिशत अंक = (134 / 200) × 100 = 67%

व्याख्या

जब दो वस्तुएं समानांतर पथों पर एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 42 किमी/घंटा + 48 किमी/घंटा = 90 किमी/घंटा

इस सापेक्ष गति को किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, हम 5/18 के गुणनखंड से गुणा करते हैं: सापेक्ष गति = 90 × 5/18 = 25 मी/से

दो ट्रेनों को एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी संबंधित लंबाई का योग है: कुल दूरी = 137 मीटर + 163 मीटर = 300 मीटर

मूल गति-दूरी-समय सूत्र का उपयोग करके, एक-दूसरे को पार करने में लगने वाला समय है: समय = कुल दूरी ÷ सापेक्ष गति = 300 ÷ 25 = 12 सेकंड

व्याख्या

प्रति किलोग्राम घटा हुआ मूल्य सीधे सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

घटा हुआ मूल्य = (कुल व्यय × प्रतिशत कमी) / (अतिरिक्त मात्रा × 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना:

घटा हुआ मूल्य = (600 × 25) / (10 × 100) = 15000 / 1000 = 15

कीमत में कमी से 600 रुपये का 25% बचता है, जो कि 150 रुपये है। 150 रुपये की यह बचाई गई राशि व्यक्ति को 10 किलोग्राम अधिक चावल खरीदने की अनुमति देती है, जिसका अर्थ है कि चावल का घटा हुआ मूल्य प्रति किलोग्राम 150 रुपये को 10 किलोग्राम से विभाजित करने पर, प्रति किलोग्राम 15 रुपये के बराबर है।

व्याख्या

जब किसी वस्तु के मूल्य में r% की कमी की जाती है, तो मूल मूल्य को बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100%

चूंकि मूल्य में 25% की कमी की गई है, इसलिए r = 25 को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (25 / (100 - 25)) × 100% प्रतिशत वृद्धि = (25 / 75) × 100% प्रतिशत वृद्धि = ⅓ × 100% प्रतिशत वृद्धि = 33⅓%

यह वह सटीक प्रतिशत है जिससे नए मूल्य में वृद्धि की जानी चाहिए ताकि मूल मूल्य पर वापस लौटा जा सके।

व्याख्या

किसी मान को जो x% कम हो गया है, उसे उसके मूल स्तर पर वापस लाने के लिए, आवश्यक प्रतिशत वृद्धि का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

प्रतिशत वृद्धि = (x / (100 - x)) × 100

यहां, उत्पादन 20% कम हो गया है, इसलिए x = 20। इस मान को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (20 / (100 - 20)) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (20 / 80) × 100 प्रतिशत वृद्धि = ¼ × 100 प्रतिशत वृद्धि = 25%

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की वार्षिक दर है, और T वर्षों में समय है।

हमें दिया गया है कि साधारण ब्याज मूलधन के बराबर है, जिसका अर्थ है SI = P।

ब्याज की वार्षिक दर R, 16 ⅔% = 50/3% प्रति वर्ष दी गई है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: P = (P × (50/3) × T) / 100

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर: 1 = (50 × T) / 300

1 = T / 6

T = 6

इससे आवश्यक समय अवधि 6 वर्ष प्राप्त होती है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, यदि कोई मूलधन t वर्षों में k गुना हो जाता है, तो यह n × t वर्षों में kⁿ गुना हो जाएगा।

यहां, धनराशि t = 15 वर्षों में दोगुनी (k = 2) हो जाती है। हम चाहते हैं कि धनराशि स्वयं की 8 गुनी हो जाए।

चूंकि 8 = 2³, हमारे पास n = 3 है।

संबंध में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 8 गुना होने के लिए आवश्यक समय n × t = 3 × 15 = 45 वर्ष है।

व्याख्या

मूल्यह्रास सूत्र का उपयोग करके: A = P × (1 - r/100)ⁿ

जहाँ: A वर्तमान मूल्य है = रु. 4,11,450 r कमी की दर है = 5% n वर्षों की संख्या है = 3 P 3 वर्ष पहले संपत्ति का मूल्य है

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4,11,450 = P × (1 - 5/100)³ 4,11,450 = P × (19/20)³ 4,11,450 = P × (6859/8000)

P को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करना: P = 4,11,450 × 8000 / 6859 P ≈ 4,79,895

यह रु. 4,80,000 तक पूर्णांकित होता है।

व्याख्या

धारा के विपरीत गति की गणना धारा के विपरीत तय की गई दूरी को लगे समय से विभाजित करके की जाती है: धारा के विपरीत गति = दूरी / समय = 45 / 6 = 7.5 किमी/ घंटा

धारा के विपरीत गति को शांत जल में नाव की गति और धारा की गति के अंतर के रूप में भी परिभाषित किया जाता है: धारा के विपरीत गति = नाव की गति - धारा की गति

माना धारा की गति v किमी/ घंटा है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 7.5 = 10 - v v = 10 - 7.5 = 2.5 किमी/ घंटा