एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2010 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

धारा के साथ गति की गणना दूरी को धारा के साथ लगने वाले समय से विभाजित करके की जाती है। 48 मिनट के धारा के साथ लगने वाले समय को घंटों में 48/60 घंटे के रूप में परिवर्तित किया जाता है, जो 4/5 घंटे हो जाता है। धारा के साथ गति (D) = 12 / (4/5) = 15 किमी/घंटा।

धारा के विरुद्ध गति की गणना दूरी को वापस आने में लगने वाले समय से विभाजित करके की जाती है। 1 घंटा 20 मिनट का वापसी समय 80 मिनट के बराबर होता है, जिसे घंटों में 80/60 घंटे के रूप में परिवर्तित किया जाता है, जो 4/3 घंटे हो जाता है। धारा के विरुद्ध गति (U) = 12 / (4/3) = 9 किमी/घंटा।

शांत जल में नाविक की गति, धारा के साथ और धारा के विरुद्ध गतियों का औसत है: शांत जल में गति = (D + U) / 2 = (15 + 9) / 2 = 12 किमी/घंटा।

व्याख्या

सोने की शुद्धता कैरेट में मापी जाती है, जहाँ 24-कैरेट सोना 100% शुद्ध सोने का प्रतिनिधित्व करता है।

दिए गए कैरेट रेटिंग में शुद्ध सोने का प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: शुद्ध सोने का प्रतिशत = (दिया गया कैरेट / 24) × 100

सूत्र में 22-कैरेट को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध सोने का प्रतिशत = (22 / 24) × 100 शुद्ध सोने का प्रतिशत = (11 / 12) × 100 शुद्ध सोने का प्रतिशत = 1100 / 12 शुद्ध सोने का प्रतिशत = 275 / 3 शुद्ध सोने का प्रतिशत = 91 ⅔ %

व्याख्या

दिया गया संबंध है: x + 1/x = 3

दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर प्राप्त होता है: x² + 1 = 3x

लक्ष्य व्यंजक के अंश में 1/3 के टाइपोग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व को 1/x से ठीक करके, मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है: (x³ + 1/x) / (x² - x + 1)

अंश को सरल बनाने के लिए, इसे एक भिन्न के रूप में व्यक्त करें: x³ + 1/x = (x⁴ + 1)/x

दिए गए संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 3² x² + 2 + 1/x² = 9 x² + 1/x² = 7

इस समीकरण को x² से गुणा करने पर प्राप्त होता है: x⁴ + 1 = 7x²

x⁴ + 1 = 7x² को अंश में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x³ + 1/x = 7x²/x = 7x

हर के लिए, व्यंजक में x² + 1 = 3x को प्रतिस्थापित करें: x² - x + 1 = (x² + 1) - x = 3x - x = 2x

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर: 7x / 2x = 7/2

चूंकि x गैर-शून्य है, चर 7/2 के स्थिरांक मान को छोड़ने के लिए रद्द हो जाते हैं।

व्याख्या

घातों के घात के नियम के अनुसार, (xᵃ)ᵇ = x⁽a × b).

इस नियम को दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर, हम घातों को गुणा करते हैं: 2 × (-2) × (-1) = 4

इसे वापस आधार में प्रतिस्थापित करने पर: (½)⁴ = 1/16

व्याख्या

जब मूल्य में वृद्धि होती है तो कुल व्यय को अपरिवर्तित रखने के लिए खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी का सूत्र है:

कमी प्रतिशत = (r / (100 + r)) × 100%

यहाँ, r चीनी के मूल्य में प्रतिशत वृद्धि को दर्शाता है, जो कि 25% है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

कमी प्रतिशत = (25 / (100 + 25)) × 100% = (25 / 125) × 100% = (1 / 5) × 100% = 20%

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज स्थिर रहता है।

1 वर्ष का साधारण ब्याज, 4 वर्षों और 3 वर्षों के अंत में राशियों के बीच का अंतर है: 1 वर्ष का ब्याज = ₹925 - ₹850 = ₹75

3 वर्षों में संचित साधारण ब्याज है: 3 वर्ष का ब्याज = 3 × ₹75 = ₹225

3 वर्ष की राशि में से 3 वर्ष का ब्याज घटाकर मूलधन प्राप्त किया जाता है: मूलधन = ₹850 - ₹225 = ₹625

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 6 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य है, जो कि 24 इकाई है।

पाइप A की भरने की दर 24 / 6 = 4 इकाई प्रति घंटा है। पाइप B की भरने की दर 24 / 8 = 3 इकाई प्रति घंटा है।

जब दोनों पाइप एक साथ खोले जाते हैं, तो उनकी संयुक्त दर 4 + 3 = 7 इकाई प्रति घंटा होती है। 2 घंटे में, दोनों पाइपों द्वारा भरी गई टंकी की मात्रा 7 × 2 = 14 इकाई है।

टंकी का शेष भाग जिसे भरा जाना है, वह 24 - 14 = 10 इकाई है।

चूंकि पाइप A को बंद कर दिया गया है, पाइप B इस शेष भाग को अकेले भरता है। शेष 10 इकाई को भरने में B द्वारा लिया गया समय 10 / 3 = 3 ⅓ घंटे है।

व्याख्या

भुजाओं के अनुपात को पूर्णांक पदों में ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए अनुपात 1/3 : 1/4 : 1/5 के प्रत्येक पद को उनके हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं। 3, 4 और 5 का LCM 60 है।

प्रत्येक पद को 60 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: (1/3 × 60) : (1/4 × 60) : (1/5 × 60) = 20 : 15 : 12

मान लीजिए भुजाओं की लंबाई 20x, 15x और 12x है। इन भुजाओं का योग त्रिभुज के परिमाप के बराबर है: 20x + 15x + 12x = 94 47x = 94 x = 2

सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे अनुपात पद, जो कि 12 है, के संगत है। सबसे छोटी भुजा की लंबाई = 12x = 12 × 2 = 24 सेमी।

व्याख्या

क्रमागत पूर्णांकों की किसी भी विषम संख्या के लिए, औसत हमेशा श्रृंखला के मध्य पद के बराबर होता है। सात क्रमागत पूर्णांकों के लिए, मध्य पद चौथा पद होता है, जो 26 दिया गया है।

सबसे छोटे (पहले) पद को ज्ञात करने के लिए, हम मध्य पद से पहले तीन पदों के लिए एक-एक करके घटाते हैं: पहला पद = 26 - 3 = 23

वैकल्पिक रूप से, सात क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों को x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, और x + 6 के रूप में दर्शाया जाए। इन सात संख्याओं का औसत है: (7x + 21) / 7 = x + 3

इसे 26 के दिए गए औसत के बराबर करने पर: x + 3 = 26 x = 23

व्याख्या

24 रुपये पर 50% की मूल्य वृद्धि का अर्थ है अतिरिक्त राशि: 24 × 50% = 12 रुपये

12 रुपये की यह अतिरिक्त लागत उन 4 अंडों की कीमत के बराबर है जिन्हें अब नहीं खरीदा जा सकता है। इसलिए, 4 अंडों की वर्तमान कीमत 12 रुपये है।

1 अंडे की वर्तमान कीमत है: 12 ÷ 4 = 3 रुपये

प्रति दर्जन (12 अंडे) अंडों की वर्तमान दर है: 3 × 12 = 36 रुपये

व्याख्या

दिए गए अनुक्रम के पद, पद की स्थिति के घन में 1 जोड़ने के पैटर्न का पालन करते हैं। इस अनुक्रम के nवें पद का सूत्र है:

aₙ = n³ + 1

अनुक्रम के छठे पद को ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को लागू करना जहाँ n = 6:

a₆ = 6³ + 1 = 216 + 1 = 217

व्याख्या

जब A की आय B की आय से r% अधिक हो, तो B की आय A की आय से कितने प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए हम मानक प्रतिशत कमी सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत कमी = (r ÷ (100 + r)) × 100%

सूत्र में r = 20 रखने पर:

प्रतिशत कमी = (20 ÷ (100 + 20)) × 100% प्रतिशत कमी = (20 ÷ 120) × 100% प्रतिशत कमी = (1 ÷ 6) × 100% प्रतिशत कमी = 50/3% = 16 ⅔%

व्याख्या

मान लीजिए कुल काम 40 इकाई है। चूँकि X 40 दिनों में काम पूरा कर सकता है, X की दक्षता 1 इकाई प्रति दिन है।

8 दिनों में, X पूरा करता है: 8 दिन × 1 इकाई/दिन = 8 इकाई काम।

शेष काम है: 40 - 8 = 32 इकाई।

चूँकि Y इस शेष काम को 16 दिनों में पूरा करता है, Y की दक्षता है: 32 / 16 = 2 इकाई प्रति दिन।

X और Y की संयुक्त दक्षता है: 1 + 2 = 3 इकाई प्रति दिन।

इसलिए, कुल काम पूरा करने के लिए X और Y को एक साथ लगने वाला समय है: 40 / 3 = 13⅓ दिन।

व्याख्या

क्रमिक छूट प्रतिशत d₁, d₂, और d₃ के लिए, अंकित मूल्य का अंतिम मूल्य गुणक निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके गणना की जाती है: गुणक = (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100)

शुद्ध समतुल्य छूट निम्न द्वारा दी जाती है: शुद्ध छूट = (1 - गुणक) × 100%

30%, 20%, और 10% की क्रमिक छूट श्रृंखला के लिए: गुणक = (1 - 0.30) × (1 - 0.20) × (1 - 0.10) गुणक = 0.70 × 0.80 × 0.90 गुणक = 0.504

शुद्ध छूट = (1 - 0.504) × 100% = 49.6%

यह 0.504 का सबसे कम गुणक देता है, जो ग्राहक के लिए अधिकतम संभव शुद्ध छूट में परिवर्तित होता है।

व्याख्या

जब लाभ और छूट प्रतिशत दिए गए हों तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध है:

MP / CP = (100 + लाभ %) / (100 - छूट %)

दिया गया है: क्रय मूल्य (CP) = रु. 200 लाभ % = 35% छूट % = 25%

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

MP / 200 = (100 + 35) / (100 - 25)

MP / 200 = 135 / 75

दाहिनी ओर के भिन्न को अंश और हर को 15 से विभाजित करके कम करने पर:

MP / 200 = 9 / 5

MP = (9 / 5) × 200

MP = 9 × 40 = 360

व्याख्या

श्रमिकों की संख्या की गणना का सूत्र है:

श्रमिकों की संख्या = कुल साप्ताहिक पारिश्रमिक ÷ औसत साप्ताहिक पारिश्रमिक

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

श्रमिकों की संख्या = 1534 ÷ 118 = 13

कारखाने में श्रमिकों की कुल संख्या 13 है।

व्याख्या

जब किसी आयत की लंबाई a% और चौड़ाई b% बढ़ाई जाती है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = a + b + (a × b)/100

दिए गए मानों a = 20 और b = 25 को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 20 + 25 + (20 × 25)/100 = 45 + 500/100 = 45 + 5 = 50%

व्याख्या

मान लीजिए ट्रेन की लंबाई L मीटर है और उसकी गति v मीटर प्रति सेकंड है।

जब ट्रेन एक पुल को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और पुल की लंबाई के योग के बराबर होती है। इसलिए, ट्रेन की गति तय की गई दूरियों के अंतर को लिए गए समय के अंतर से विभाजित करके निर्धारित की जा सकती है: v = (300 - 240) / (21 - 18) v = 60 / 3 v = 20 मी/से

इस गति को मी/से से किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम 18/5 से गुणा करते हैं:

गति = 20 × 18/5 = 72 किमी/घंटा

व्याख्या

हमें संबंध A = (1/4)B और B = (1/2)C दिए गए हैं।

पहले संबंध से, A और B का अनुपात A:B = 1:4 है। दूसरे संबंध से, B और C का अनुपात B:C = 1:2 है।

संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, हम दोनों अनुपातों में B के मान को बराबर करते हैं। हम B:C अनुपात के दोनों पदों को 4 से गुणा कर सकते हैं: B:C = 4:8

अब, हम अनुपातों को सीधे जोड़ सकते हैं क्योंकि दोनों में B का पद 4 है: A:B:C = 1:4:8

व्याख्या

वृत्ताकार पार्क की परिधि का सूत्र 2πr = 176 मीटर है, जहाँ r पार्क की आंतरिक त्रिज्या है।

π = 22/7 का प्रयोग करके: 2 × 22/7 × r = 176 r = 176 × 7 / 44 r = 28 मीटर

चूंकि सड़क 7 मीटर चौड़ी है और पार्क के बाहर चलती है, इसलिए बाहरी त्रिज्या R है: R = r + 7 = 28 + 7 = 35 मीटर

सड़क का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: सड़क का क्षेत्रफल = πR² - πr² = π(R² - r²) = π(R - r)(R + r)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: सड़क का क्षेत्रफल = 22/7 × (35 - 28) × (35 + 28) सड़क का क्षेत्रफल = 22/7 × 7 × 63 सड़क का क्षेत्रफल = 22 × 63 = 1386 मी²

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100

यह देखते हुए कि क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) का अनुपात 10:11 है, हम मान सकते हैं: CP = 10 इकाई SP = 11 इकाई

अर्जित लाभ है: लाभ = SP - CP = 11 - 10 = 1 इकाई

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (1 / 10) × 100 = 10%

व्याख्या

अंकित मूल्य, विक्रय मूल्य और छूट के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

अंकित मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 - छूट दर)

दिया गया है कि विक्रय मूल्य रु. 629 है और छूट 15% है:

अंकित मूल्य = 629 / (1 - 0.15) अंकित मूल्य = 629 / 0.85 अंकित मूल्य = 62900 / 85 अंकित मूल्य = 740

व्याख्या

वर्तमान जनसंख्या और पिछली जनसंख्या के बीच एक स्थिर वार्षिक वृद्धि दर के साथ संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

A = P × (1 + R/100)ⁿ

जहाँ A वर्तमान जनसंख्या है, P n साल पहले की जनसंख्या है, R वार्षिक वृद्धि दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिया गया है: A = 67600 R = 4% n = 2

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें:

67600 = P × (1 + 4/100)² 67600 = P × (1 + 1/25)² 67600 = P × (26/25)² 67600 = P × (676/625)

P के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

P = (67600 × 625) / 676 P = 100 × 625 P = 62500

व्याख्या

A और B की औसत आयु 30 वर्ष होने पर, उनकी आयु का योग A + B = 60 है। B और C की औसत आयु 26 वर्ष होने पर, उनकी आयु का योग B + C = 52 है। दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर A और C की आयु का अंतर A - C = 8 वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए एक पुरुष की कार्य क्षमता M है और एक महिला की कार्य क्षमता W है।

चूंकि दोनों ही मामलों में पूरा किया गया कुल कार्य समान है, इसलिए कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल क्षमता बराबर है:

20 × W × 16 = 16 × M × 15

समीकरण के दोनों पक्षों को 16 से विभाजित करने पर:

20 × W = 15 × M

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर:

4 × W = 3 × M

एक पुरुष की कार्य क्षमता का एक महिला की कार्य क्षमता (M : W) से अनुपात ज्ञात करने के लिए:

M / W = 4 / 3

इससे 4:3 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: a + 1/a + 1 = 0

पूरे समीकरण को a से गुणा करने पर: a² + 1 + a = 0 a² + a + 1 = 0

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर: a³ - 1 = (a - 1)(a² + a + 1)

a² + a + 1 = 0 का मान सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a³ - 1 = (a - 1) × 0 a³ - 1 = 0

हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है: a⁴ - a

व्यंजक से a को गुणनखंडित करने पर: a(a³ - 1)

a³ - 1 = 0 का मान इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर a × 0 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h शंकु की ऊँचाई है।

जब ऊँचाई h को 100% बढ़ा दिया जाता है, तो नई ऊँचाई h' , h + h का 100% हो जाती है, जो कि 2h है।

त्रिज्या को स्थिर रखते हुए आयतन सूत्र में इस नई ऊँचाई को प्रतिस्थापित करने पर, नया आयतन V' होगा: V' = ⅓ π r² (2h) = 2 (⅓ π r² h) = 2V

आयतन में प्रतिशत वृद्धि है:

प्रतिशत वृद्धि = ((V' - V) / V) × 100% = ((2V - V) / V) × 100% = 100%

व्याख्या

हमें असमानता दी गई है: 7 < 2x - 3 < 17

असमानता के सभी भागों में 3 जोड़ने पर: 10 < 2x < 20

सभी भागों को 2 से विभाजित करने पर: 5 < x < 10

चूंकि x एक पूर्ण वर्ग पूर्णांक है, 5 और 10 के बीच एकमात्र पूर्ण वर्ग 9 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

मान लीजिए दो बैंकों की ब्याज दरें R₁ और R₂ हैं। साधारण ब्याज में अंतर इस प्रकार दिया गया है:

(P × R₁ × T) / 100 - (P × R₂ × T) / 100 = 2.50

सामान्य पदों को गुणनखंडित करें:

(P × T / 100) × (R₁ - R₂) = 2.50

दिए गए मान P = 500 और T = 2 को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

(500 × 2 / 100) × (R₁ - R₂) = 2.50

10 × (R₁ - R₂) = 2.50

R₁ - R₂ = 2.50 / 10 = 0.25%

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को मिश्रित भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: 999 998/999 × 999

मिश्रित भिन्न के गुणधर्म A B/C = A + B/C का उपयोग करके, व्यंजक बन जाता है: (999 + 998/999) × 999

गुणन के वितरण नियम को लागू करने पर: = 999 × 999 + (998/999) × 999 = 999 × 999 + 998

गुणन को सरल बनाने के लिए, 999 को (1000 - 1) के रूप में लिखें: = (1000 - 1) × 999 + 998 = 999000 - 999 + 998 = 999000 - 1 = 998999

व्याख्या

जब N वस्तुओं का क्रय मूल्य M वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ प्रतिशत = (N - M) / M × 100%

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ N = 24 और M = 18:

लाभ प्रतिशत = (24 - 18) / 18 × 100%

लाभ प्रतिशत = 6/18 × 100%

लाभ प्रतिशत = ⅓ × 100%

लाभ प्रतिशत = 33 ⅓%

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) x है। चूँकि लाभ प्रतिशत क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए लाभ प्रतिशत भी x% है।

लाभ होने पर विक्रय मूल्य (SP) के सूत्र का प्रयोग करके: SP = CP × (1 + लाभ%/100)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 75 = x × (1 + x/100)

भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर: 7500 = 100x + x²

इसे एक मानक द्विघात समीकरण के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर: x² + 100x - 7500 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: x² + 150x - 50x - 7500 = 0 x(x + 150) - 50(x + 150) = 0 (x - 50)(x + 150) = 0

इससे x के दो मान प्राप्त होते हैं, जो x = 50 या x = -150 हैं। चूँकि क्रय मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए वस्तु का क्रय मूल्य रु. 50 है।

व्याख्या

दी गई संख्याओं की तुलना करने पर, हमारे पास 0.9, (0.9)² = 0.81, 0.9 का वर्गमूल जो लगभग 0.9487 है, और 0.9 आवर्ती (0.9) जो गणितीय रूप से 1 के बराबर है। चूँकि 1 इन मानों में सबसे बड़ा है, 0.9 सबसे बड़ी संख्या है।

व्याख्या

छत पर एकत्र हुए जल की मात्रा, ठीक भरे हुए बेलनाकार पात्र की मात्रा के बराबर है।

एक बेलन का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = πr²h

पात्र का व्यास 2 मीटर दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r 1 मीटर है। ऊंचाई h 3.5 मीटर है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (22/7) × 1² × 3.5 = 11 घन मीटर

मान लीजिए वर्षा की गहराई d मीटर है। छत का क्षेत्रफल है: A = 22 × 20 = 440 वर्ग मीटर

छत पर वर्षा जल की मात्रा निम्न द्वारा दी जाती है: V = A × d 11 = 440 × d d = 11 / 440 = 1/40 मीटर

वर्षा की गहराई को सेंटीमीटर में बदलने पर: d = (1/40) × 100 = 2.5 सेमी

व्याख्या

व्यंजक n³ - n को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: n³ - n = n(n² - 1) = (n - 1)n(n + 1)

यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है: (n - 1), n, और (n + 1)।

किसी भी तीन क्रमागत पूर्णांकों में, कम से कम एक पूर्णांक सम (even) होना चाहिए, जिससे वह 2 से विभाज्य हो। इसके अतिरिक्त, तीन क्रमागत पूर्णांकों में से ठीक एक पूर्णांक 3 का गुणज (multiple) होना चाहिए, जिससे वह 3 से विभाज्य हो।

चूंकि 2 और 3 सह-अभाज्य (coprime) हैं, उनका गुणनफल, 2 × 3 = 6, हमेशा इन तीन क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को विभाजित करेगा। इस प्रकार, n³ - n हमेशा 6 से विभाज्य होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में वृद्धि, दिए गए समय अवधि में ब्याज दर में वृद्धि के सीधे आनुपातिक होती है।

साधारण ब्याज में वृद्धि = P × ΔR × T / 100

यहाँ, साधारण ब्याज में वृद्धि ₹540 है, दर में वृद्धि ΔR प्रति वर्ष 2.5% है, और समय T 3 वर्ष है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

540 = P × 2.5 × 3 / 100 540 = P × 7.5 / 100 P = 54000 / 7.5 P = 7200

व्याख्या

प्रत्येक मान में जोड़ी जाने वाली संख्या x मान लीजिए।

परिणामी संख्याओं के समानुपात में होने के लिए, पहले दो का अनुपात अंतिम दो के अनुपात के बराबर होना चाहिए: (6 + x)/(14 + x) = (18 + x)/(38 + x)

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर: (6 + x)(38 + x) = (14 + x)(18 + x) 228 + 44x + x² = 252 + 32x + x²

दोनों पक्षों से x² घटाने पर: 228 + 44x = 252 + 32x

x वाले पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ समूहित करने पर: 12x = 24 x = 2

x = 2 को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर 8, 16, 20 और 40 पद प्राप्त होते हैं, जो समानुपात को संतुष्ट करते हैं क्योंकि 8/16 = 20/40 = ½।

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: (a³ + b³) ÷ (a² - ab + b²) = a + b

जहाँ a = 0.08 और b = 0.02 रखने पर: a³ = 0.08 × 0.08 × 0.08 b³ = 0.02 × 0.02 × 0.02 a² = 0.08 × 0.08 ab = 0.08 × 0.02 = 0.0016 b² = 0.02 × 0.02

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है: a + b = 0.08 + 0.02 = 0.1

व्याख्या

x = √3 + √2 के लिए, 1/x का मान हर का परिमेयकरण करके प्राप्त किया जाता है: 1/x = 1/(√3 + √2) = √3 - √2

x और 1/x को जोड़ने पर: x + 1/x = (√3 + √2) + (√3 - √2) = 2√3

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = (2√3)² x² + 2 + 1/x² = 12 x² + 1/x² = 12 - 2 = 10

व्याख्या

मान लीजिए कि लड़कों की संख्या 300 है और लड़कियों की संख्या 200 है, जो दिए गए 3:2 के अनुपात को संतुष्ट करते हैं। विद्यालय में विद्यार्थियों की कुल संख्या 300 + 200 = 500 है।

चूंकि 20% लड़के छात्रवृत्ति धारक हैं, इसलिए छात्रवृत्ति न पाने वाले लड़कों का प्रतिशत 100% - 20% = 80% है। छात्रवृत्ति के बिना लड़कों की संख्या = 300 का 80% = 240।

इसी प्रकार, चूंकि 25% लड़कियाँ छात्रवृत्ति धारक हैं, इसलिए छात्रवृत्ति न पाने वाली लड़कियों का प्रतिशत 100% - 25% = 75% है। छात्रवृत्ति के बिना लड़कियों की संख्या = 200 का 75% = 150।

छात्रवृत्ति न पाने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या 240 + 150 = 390 है।

छात्रवृत्ति न पाने वाले विद्यार्थियों का प्रतिशत (390 / 500) × 100 = 78% है।

व्याख्या

दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) और लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: पहली संख्या × दूसरी संख्या = म.स.प. × ल.स.प.

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर (जहाँ ल.स.प. 225 है): 75 × दूसरी संख्या = 15 × 225

दूसरी संख्या के लिए हल करने पर: दूसरी संख्या = (15 × 225) / 75 = 225 / 5 = 45

व्याख्या

पाइप से प्रवाह की दर उसके अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल के समानुपाती होती है, जो उसके व्यास के वर्ग पर निर्भर करती है। जब व्यास को d से 2d तक दोगुना किया जाता है, तो अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 4 के गुणक से बढ़ जाता है, जिसका अर्थ है कि पाइप टंकी को चार गुना तेजी से खाली कर सकता है। इसलिए, लिया गया समय मूल समय के एक-चौथाई तक कम हो जाता है, जो 10 मिनट है।

व्याख्या

60 लीटर के प्रारंभिक मिश्रण में, दूध और पानी का अनुपात 2:1 है।

दूध की मात्रा की गणना 60 × (2/3) = 40 लीटर के रूप में की जाती है।

पानी की मात्रा 60 × (1/3) = 20 लीटर है।

मान लीजिए कि दूध और पानी का अनुपात 1:2 बनाने के लिए x लीटर पानी मिलाया जाता है। चूँकि केवल पानी मिलाया जाता है, दूध की मात्रा 40 लीटर ही रहती है, और पानी की नई मात्रा 20 + x लीटर हो जाती है।

नए अनुपात का उपयोग करके: 40 / (20 + x) = 1/2

तिरछा गुणा करने पर: 80 = 20 + x x = 60 लीटर

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

दिए गए क्षेत्रफल 4√3 वर्ग सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

4√3 = (√3/4) × a²

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर:

4 = a² / 4

दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर:

a² = 16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्रत्येक भुजा की लंबाई प्राप्त होती है:

a = 4 सेमी

व्याख्या

कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके, तीन नलों की संयुक्त भरने की दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है:

1/A + 1/B + 1/C = 1/T

यहाँ, संयुक्त समय T 10 मिनट है, नल A अकेले 30 मिनट लेता है, और नल B अकेले 40 मिनट लेता है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1/30 + 1/40 + 1/C = 1/10

नल C की दर ज्ञात करने के लिए, 1/C को अलग करें:

1/C = 1/10 - 1/30 - 1/40

10, 30 और 40 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 120 लेने पर, भिन्नों को एक सामान्य भाजक के साथ फिर से लिखें:

1/C = 12/120 - 4/120 - 3/120

1/C = (12 - 4 - 3)/120

1/C = 5/120

1/C = 1/24

व्युत्क्रम लेने पर, नल C अकेले टंकी को भरने में 24 मिनट लेगा।

व्याख्या

1 पुरुष, 1 महिला और 1 लड़के द्वारा मिलकर लिए गए दिनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कार्य-दर संबंध का उपयोग करते हैं:

दिन = D / ( (m₂/m₁) + (w₂/w₁) + (b₂/b₁) )

जहाँ D अलग-अलग समूहों के लिए दिए गए दिनों की संख्या है (88 दिन), m₁, w₁, b₁ पुरुषों, महिलाओं और लड़कों की प्रारंभिक संख्याएँ हैं (1, 2, और 3), और m₂, w₂, b₂ एक साथ काम करने वाले पुरुषों, महिलाओं और लड़कों की अंतिम संख्याएँ हैं (1, 1, और 1)।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

दिन = 88 / ( 1/1 + ½ + ⅓ )

दिन = 88 / ( 11/6 )

दिन = (88 × 6) / 11

दिन = 8 × 6 = 48

व्याख्या

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए समचतुर्भुज की भुजा s = 10 सेमी है, और दो विकर्ण d₁ = 16 सेमी और d₂ हैं।

समचतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध का उपयोग करके: s² = (d₁/2)² + (d₂/2)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10² = (16/2)² + (d₂/2)² 100 = 8² + (d₂/2)² 100 = 64 + (d₂/2)² (d₂/2)² = 36 d₂/2 = 6 d₂ = 12 सेमी

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ क्षेत्रफल = ½ × 16 × 12 = 96 वर्ग सेमी

व्याख्या

गाय को एक आयताकार खेत के कोने पर बांधा गया है, इसलिए चरने वाला क्षेत्र एक वृत्त के त्रिज्यखंड का निर्माण करता है जिसका केंद्रीय कोण 90° और त्रिज्या रस्सी की लंबाई, 14 मीटर के बराबर है।

त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²

θ = 90°, r = 14, और π = 22/7 रखने पर: क्षेत्रफल = (90/360) × (22/7) × 14 × 14 क्षेत्रफल = ¼ × 22 × 2 × 14 क्षेत्रफल = 11 × 14 क्षेत्रफल = 154

व्याख्या

जब किसी आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः x% और y% से परिवर्तित होती हैं, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (x × y)/100

चूंकि लंबाई और चौड़ाई दोनों में 50% की वृद्धि की जाती है, इसलिए हम सूत्र में x = 50 और y = 50 रखते हैं:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 50 + 50 + (50 × 50)/100 = 100 + 2500/100 = 100 + 25 = 125%

वैकल्पिक रूप से, यदि मूल लंबाई L है और मूल चौड़ाई B है, तो मूल क्षेत्रफल L × B है। जब दोनों विमाओं में 50% की वृद्धि की जाती है, तो नई लंबाई 1.5L हो जाती है और नई चौड़ाई 1.5B हो जाती है। नया क्षेत्रफल 1.5L × 1.5B = 2.25 × (L × B) है, जो मूल क्षेत्रफल के 1.25 गुना की वृद्धि, या 125% का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

माना घन की भुजा 'a' और गोले की त्रिज्या 'r' है।

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² है और गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² है। चूँकि वे बराबर हैं: 6a² = 4πr² a = r √(2π/3)

घन का आयतन V_c = a³ है और गोले का आयतन Vₛ = (4/3) π r³ है। आयतन अनुपात में 'a' का मान रखने पर: V_c / Vₛ = a³ / ((4/3) π r³) V_c / Vₛ = (r √(2π/3))³ / ((4/3) π r³) V_c / Vₛ = (2π/3) √(2π/3) / ((4/3) π) V_c / Vₛ = ½ √(2π/3) V_c / Vₛ = √(2π / 12) V_c / Vₛ = √(π / 6)

इससे अनुपात √π : √6 प्राप्त होता है।