एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2010 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले बेलन का आयतन V, V = πr²h द्वारा दिया जाता है।

दो बराबर आयतन V₁ और V₂ वाले बेलनों के लिए, हमारे पास है: πr₁²h₁ = πr₂²h₂ r₁²h₁ = r₂²h₂ h₁/h₂ = (r₂/r₁)²

चूंकि व्यासों का अनुपात 3 : 2 है, इसलिए उनकी त्रिज्याओं r₁ : r₂ का अनुपात भी 3 : 2 है। ऊँचाई अनुपात समीकरण में r₁/r₂ = 3/2 को प्रतिस्थापित करने पर: h₁/h₂ = (2/3)² = 4/9

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए, समतुल्य एकल छूट की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समतुल्य छूट = a + b - (a × b)/100 %

दिए गए क्रमिक छूट दरों a = 25% और b = 10% को प्रतिस्थापित करने पर:

समतुल्य छूट = 25 + 10 - (25 × 10)/100 %

समतुल्य छूट = 35 - 250/100 %

समतुल्य छूट = 35 - 2.5 %

समतुल्य छूट = 32.5%

व्याख्या

शुद्ध लाभ या हानि के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके:

शुद्ध परिवर्तन = a + b + (ab / 100)

यहां, अंकित मूल्य प्रतिशत (a) +40% है और छूट प्रतिशत (b) -25% है क्योंकि छूट मूल्य में कमी का प्रतिनिधित्व करती है।

शुद्ध परिवर्तन = 40 - 25 + (40 × (-25) / 100) शुद्ध परिवर्तन = 15 - 1000 / 100 शुद्ध परिवर्तन = 15 - 10 शुद्ध परिवर्तन = 5%

चूंकि शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सकारात्मक है, व्यापारी 5% का लाभ कमाता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 3x और 4x हैं, जहाँ x उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

3x और 4x का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उनके गैर-सामान्य अनुपातों और उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) का गुणनफल होता है: LCM = 3 × 4 × x = 12x

चूंकि LCM 48 दिया गया है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 12x = 48 x = 4

दोनों संख्याओं का योग है: 3x + 4x = 7x

योग में x का मान प्रतिस्थापित करने पर: 7 × 4 = 28

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2A = 3B = 4C से A : B : C का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद को गुणांकों 2, 3 और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाजित करते हैं।

2, 3 और 4 का LCM 12 है।

समीकरण के प्रत्येक पद को 12 से विभाजित करने पर: 2A/12 = 3B/12 = 4C/12

प्रत्येक भिन्न को सरल करने पर: A/6 = B/4 = C/3

यह सीधे चर के अनुपात को दर्शाता है: A : B : C = 6 : 4 : 3

व्याख्या

आधार 4 को 2² के रूप में व्यक्त करना: 4³.⁵ = (2²)³.⁵

घातांक नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ का उपयोग करना: 2²ˣ³.⁵ = 2⁷

दिया गया अनुपात 4³.⁵ : 2⁵ बन जाता है: 2⁷ : 2⁵

दोनों पक्षों को 2⁵ से विभाजित करना: 2⁷⁻⁵ : 1 = 2² : 1 = 4 : 1

व्याख्या

भारित औसत सूत्र मिश्रित चावल का औसत मूल्य देता है:

औसत मूल्य = (मात्रा 1 × मूल्य 1 + मात्रा 2 × मूल्य 2) / (मात्रा 1 + मात्रा 2)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत मूल्य = (12 × 30 + 8 × 40) / (12 + 8)

औसत मूल्य = (360 + 320) / 20

औसत मूल्य = 680 / 20

औसत मूल्य = 34

व्याख्या

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 5x और 2x है।

दी गई शर्त के अनुसार, उनकी आयु का गुणनफल 1000 है: 5x × 2x = 1000 10x² = 1000 x² = 100 x = 10

पिता की वर्तमान आयु 5x = 5 × 10 = 50 वर्ष है।

10 वर्ष बाद पिता की आयु 50 + 10 = 60 वर्ष होगी।

व्याख्या

सही औसत की गणना संख्या को पढ़ने में हुई त्रुटि के लिए प्रारंभिक औसत को समायोजित करके की जाती है, निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके:

सही औसत = मूल औसत + (सही मान - गलत मान) ÷ अवलोकनों की संख्या

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

सही औसत = 15 + (36 - 26) ÷ 10

सही औसत = 15 + 10 ÷ 10

सही औसत = 15 + 1 = 16

यह प्रत्यक्ष समायोजन सही और गलत मानों के बीच के अंतर को जोड़ता है, फिर सही माध्य ज्ञात करने के लिए उस अंतर को सभी 10 अवलोकनों में समान रूप से वितरित करता है।

व्याख्या

किसी भी अंकगणितीय श्रेणी के लिए, जिसमें क्रमागत संख्याएँ शामिल हैं, पूरे अनुक्रम का औसत हमेशा पहले (सबसे छोटी) और अंतिम (सबसे बड़ी) पदों के औसत के बराबर होता है।

यदि आठ क्रमागत संख्याओं को अंकगणितीय श्रेणी के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें सबसे छोटा पद 'a' और सबसे बड़ा पद 'l' है, तो पूरे अनुक्रम का औसत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत = (a + l) / 2

चूंकि सभी आठ क्रमागत संख्याओं का औसत 6.5 है, इसलिए सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्याओं का औसत, जो कि (a + l) / 2 भी है, 6.5 होना चाहिए।

व्याख्या

जब कोई व्यक्ति दो अलग-अलग चालों, मान लीजिए v₁ और v₂, पर समान दूरियाँ तय करता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत चाल की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

औसत चाल = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

दिए गए मानों, v₁ = 36 किमी/घंटा और v₂ = 45 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत चाल = 2 × 36 × 45 / (36 + 45)

औसत चाल = 3240 / 81

औसत चाल = 40 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए 12 पारियों के बाद रनों का औसत A है। चूँकि 12 पारियों के बाद औसत 5 रन कम हो गया, इसलिए पहली 11 पारियों के लिए उसका औसत A + 5 था।

12 पारियों के बाद कुल रन पहली 11 पारियों के कुल रनों और 12वीं पारी में बनाए गए रनों का योग है: 11 × (A + 5) + 90 = 12 × A

रैखिक समीकरण का विस्तार और हल करने पर: 11A + 55 + 90 = 12A 11A + 145 = 12A A = 145

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) 100 है।

प्रश्न के अनुसार, क्रय मूल्य (CP) विक्रय मूल्य का 80% है: CP = 100 का 80% = 80

लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = SP - CP = 100 - 80 = 20

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ / CP) × 100

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना: लाभ % = (20 / 80) × 100 = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

मूल्य-मात्रा संबंध का उपयोग करके प्रति अंडे की वर्तमान दर की सीधे गणना की जा सकती है। जब किसी वस्तु की कीमत में r% की वृद्धि होती है, तो निश्चित राशि A के लिए खरीदी जा सकने वाली घटी हुई मात्रा Q, प्रति इकाई वर्तमान मूल्य से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित होती है:

प्रति इकाई वर्तमान मूल्य = (A × r) / (100 × Q)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: राशि A = रु. 24 प्रतिशत वृद्धि r = 20 मात्रा में कमी Q = 2

प्रति अंडे वर्तमान मूल्य = (24 × 20) / (100 × 2) = 4.8 / 2 = रु. 2.40

चूंकि एक दर्जन में 12 अंडे होते हैं, इसलिए प्रति दर्जन अंडों की वर्तमान दर है: 12 × रु. 2.40 = रु. 28.80

व्याख्या

वस्तु का मूल विक्रय मूल्य ₹100 मान लीजिए।

महेश के लिए क्रय मूल्य (CP) इस मूल विक्रय मूल्य का 9/10 है: CP = (9 / 10) × 100 = ₹90

फिर वह इसे मूल विक्रय मूल्य से 8% अधिक पर बेचता है: विक्रय मूल्य (SP) = 100 + 8 = ₹108

महेश द्वारा किया गया लाभ उसके विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = SP - CP = 108 - 90 = ₹18

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 = (18 / 90) × 100 = 20%

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) है।

लाभ का प्रतिशत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: लाभ % = ((SP - CP) / CP) × 100

दी गई शर्त के अनुसार, जब विक्रय मूल्य ₹ 78 है, तो लाभ का प्रतिशत, उस लाभ के प्रतिशत का दोगुना है जब विक्रय मूल्य ₹ 69 है: ((78 - CP) / CP) × 100 = 2 × ((69 - CP) / CP) × 100

समीकरण के दोनों पक्षों से सामान्य पदों (100 और CP) को रद्द करने पर संबंध सरल हो जाता है: 78 - CP = 2 × (69 - CP) 78 - CP = 138 - 2CP 2CP - CP = 138 - 78 CP = 60

व्याख्या

5 नींबू का विक्रय मूल्य = ₹ 14 1 नींबू का विक्रय मूल्य = 14 / 5 = ₹ 2.80

चूंकि विक्रेता को 40% का लाभ होता है, इसलिए क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच संबंध है: CP = SP / (1 + लाभ%)

1 नींबू का क्रय मूल्य = 2.80 / (1 + 0.40) = 2.80 / 1.40 = ₹ 2

एक दर्जन में 12 नींबू होते हैं। 12 नींबू का क्रय मूल्य = 12 × 1 नींबू का क्रय मूल्य = 12 × 2 = ₹ 24

व्याख्या

चूंकि राम और श्याम का वेतन समान है, इसलिए उनकी बचत उनकी बचत प्रतिशत के सीधे आनुपातिक है।

राम की बचत = (राम का बचत प्रतिशत ÷ श्याम का बचत प्रतिशत) × श्याम की बचत

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

राम की बचत = (14 ÷ 22) × 1540 राम की बचत = 14 × 70 राम की बचत = 980

व्याख्या

मान लीजिए B का वेतन ₹100 है। चूँकि A का वेतन B के वेतन से 25% अधिक है, इसलिए A का वेतन ₹125 है।

उनके वेतन के बीच का अंतर ₹25 है। यह पता लगाने के लिए कि B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है, हम इस अंतर की गणना A के वेतन के सापेक्ष करते हैं:

प्रतिशत कम = (अंतर / A का वेतन) × 100 प्रतिशत कम = (25 / 125) × 100 = (1/5) × 100 = 20%

वैकल्पिक रूप से, मानक प्रतिशत संबंध का उपयोग करते हुए, यदि एक मात्रा दूसरी से r% अधिक है, तो दूसरी मात्रा पहली से कम है:

[r / (100 + r)] × 100 %

r = 25 रखने पर:

[25 / (100 + 25)] × 100 % = (25 / 125) × 100 % = 20%

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² होता है, जहाँ r त्रिज्या है। जब त्रिज्या में x% की वृद्धि होती है, तो उसके वर्ग में प्रतिशत परिवर्तन उत्तरोत्तर प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

प्रतिशत वृद्धि = 2x + x²/100 %

x = 1 रखने पर:

प्रतिशत वृद्धि = 2(1) + 1²/100 % = 2 + 0.01 % = 2.01 %

व्याख्या

परीक्षा के लिए आवश्यक उत्तीर्ण अंक छात्र द्वारा प्राप्त अंकों और छात्र द्वारा अनुत्तीर्ण होने वाले अंकों का योग हैं।

उत्तीर्ण अंक = 113 + 85 = 198

चूंकि उत्तीर्ण अंक अधिकतम अंकों का 36% दर्शाते हैं, मान लीजिए अधिकतम अंक M हैं।

M का 36% = 198 0.36 × M = 198 M = 198 / 0.36 M = 550

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ a और b हैं। हमें दिया गया है कि उनका योग 36 है, इसलिए a + b = 36।

दो संख्याओं का गुणनफल उनके म.स.प. और ल.स.प. के गुणनफल के बराबर होता है: a × b = म.स.प. × ल.स.प. = 3 × 105 = 315

दो संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग है: 1/a + 1/b = (a + b) / (a × b)

ज्ञात मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 36 / 315

अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक, 9, से विभाजित करने पर भिन्न सरल हो जाती है: 36 / 315 = 4 / 35

व्याख्या

मान लीजिए संख्या N है। विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, संख्या को N = 387k + 48 के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

चूंकि 387, 43 का गुणज है (387 = 43 × 9), पद 387k, 43 से पूरी तरह विभाज्य है। इसलिए, जब N को 43 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल वही होगा जो 48 को 43 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

48 को 43 से विभाजित करने पर, हमें 48 = 43 × 1 + 5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, प्राप्त शेषफल 5 है।

व्याख्या

मिश्रित भिन्न 999 98/99 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 999 98/99 = 999 + 98/99 = 1000 − 1 + 98/99 = 1000 − 1/99

इस व्यंजक को 99 से गुणा करने पर: (1000 − 1/99) × 99 = 1000 × 99 − (1/99) × 99 = 99000 − 1 = 98999

व्याख्या

घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए, ऋणात्मक घात वाली भिन्न, संगत धनात्मक घात वाली भिन्न के व्युत्क्रम के बराबर होती है:

(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

इस गुणधर्म को दी गई व्यंजक पर लागू करने पर:

(½)⁻¹⁄₂ = (2/1)¹⁄₂ = 2¹⁄₂

चूंकि किसी आधार को घात ½ तक बढ़ाना गणितीय रूप से उसके वर्गमूल लेने के बराबर है:

2¹⁄₂ = √2

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि कितने 1/6 मिलकर 41⅔ बनाते हैं, आवश्यक संख्या को x मान लीजिए।

सबसे पहले, मिश्रित भिन्न 41⅔ को विषम भिन्न में बदलें: 41⅔ = (41 × 3 + 2) / 3 = 125/3

अब, बीजगणितीय समीकरण स्थापित करें: x × (1/6) = 125/3

x के लिए हल करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें: x = (125 / 3) × 6 x = 125 × 2 x = 250

व्याख्या

9 के ऊपर बार वाला पद 0.999... को दर्शाता है।

माना x = 0.999... दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर: 10x = 9.999...

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 9x = 9 x = 1

इस प्रकार, 0.999... का दोहरा दशमलव मान गणितीय रूप से 1 के बराबर है। चूँकि 1, 0.9, 0.1 (जो 0.0999... का मान है), और 0.0909... से बड़ा है, इसलिए यह सबसे बड़ा मान है।

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट भिन्न n/30 है। यह भिन्न 5/8 और 7/11 के बीच स्थित है, जिससे असमानता प्राप्त होती है:

5/8 < n/30 < 7/11

सीमांत भिन्नों को दशमलव समतुल्य में परिवर्तित करना:

5/8 = 0.625 7/11 ≈ 0.6364

इन मानों को असमानता में प्रतिस्थापित करना:

0.625 < n/30 < 0.6364

n को अलग करने के लिए असमानता के सभी भागों को 30 से गुणा करना:

18.75 < n < 19.09

इस अंतराल के भीतर स्थित n का एकमात्र पूर्णांक मान 19 है, जिससे भिन्न 19/30 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए a = √7 और b = √5 है। व्यंजक (a - b)/(a + b) + (a + b)/(a - b) के रूप का है।

लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर, व्यंजक बन जाता है:

((a - b)² + (a + b)²) / ((a + b)(a - b))

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अंश का विस्तार करने पर (a² - 2ab + b²) + (a² + 2ab + b²) = 2(a² + b²) प्राप्त होता है। हर वर्गों का अंतर है, जो a² - b² है।

इन सरलीकरणों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

2(a² + b²) / (a² - b²)

चूंकि a = √7 और b = √5 है, इसलिए a² = 7 और b² = 5 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

2(7 + 5) / (7 - 5)

= 2(12) / 2

= 12

व्याख्या

16, 20 और 24 से विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

अभाज्य गुणनखंडन हैं: 16 = 2⁴ 20 = 2² × 5 24 = 2³ × 3

LCM सभी उपस्थित अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है: LCM = 2⁴ × 3¹ × 5¹ = 240

240 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, इसके गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की घात सम होनी चाहिए। अभाज्य गुणनखंड 3 और 5 दोनों की घात विषम (1) है। उनकी घातों को सम बनाने के लिए, हम 240 को 3 × 5 से गुणा करते हैं: सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या = 240 × 3 × 5 = 3600

व्याख्या

दिए गए समीकरण से: x + 9/x = 6

एक द्विघात समीकरण बनाने के लिए दोनों पक्षों को x से गुणा करें: x² - 6x + 9 = 0

यह एक पूर्ण वर्ग है: (x - 3)² = 0 x = 3

वांछित व्यंजक में x = 3 का मान प्रतिस्थापित करें: x² + 9/x² = 3² + 9/3² = 9 + 9/9 = 9 + 1 = 10

व्याख्या

अनुक्रम प्रत्येक पद में क्रमिक पूर्ण वर्गों को जोड़कर बनाया गया है।

52 - 51 = 1 = 1² 56 - 52 = 4 = 2² 65 - 56 = 9 = 3²

इस पैटर्न का अनुसरण करते हुए, अनुक्रम में अगला अंतर 4² = 16 होना चाहिए। अंतिम पद, 65, में 16 जोड़ने पर अगली संख्या प्राप्त होती है:

65 + 16 = 81

व्याख्या

अनुक्रम एक पैटर्न का अनुसरण करता है जहाँ प्रत्येक आगामी पद को पूर्ववर्ती पद को 2 से गुणा करके और 1 जोड़कर उत्पन्न किया जाता है, जिसे संबंध aₙ = 2aₙ₋₁ + 1 द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इस संबंध का उपयोग करके पदों की गणना: दूसरा पद 2 × 4 + 1 = 9 है। तीसरा पद 2 × 9 + 1 = 19 है। चौथा पद 2 × 19 + 1 = 39 है। पाँचवाँ पद 2 × 39 + 1 = 79 है। छठा पद 2 × 79 + 1 = 159 होना चाहिए। सातवाँ पद 2 × 159 + 1 = 319 है।

चूंकि दी गई अनुक्रम में छठा पद 159 के बजाय 169 लिखा गया है, इसलिए यह गलत संख्या है।

व्याख्या

मान लीजिए एक पुरुष द्वारा किया गया दैनिक कार्य M है और एक महिला द्वारा किया गया दैनिक कार्य W है।

प्रश्न के अनुसार, 2 पुरुष और 3 महिलाओं द्वारा मिलकर 20 दिनों में किया गया कार्य, 4 पुरुषों द्वारा 20 दिनों में किए गए कार्य के बराबर है। इसलिए:

(2M + 3W) × 20 = 4M × 20 2M + 3W = 4M 3W = 2M

यह संबंध हमें पुरुषों और महिलाओं के बीच दक्षता अनुपात देता है। पुरुष-दिनों के संदर्भ में कुल कार्य है:

कुल कार्य = 4M × 20 = 80M

हमें 3 पुरुष और 3 महिलाओं द्वारा उसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाना है। 3 पुरुष और 3 महिलाओं का संयुक्त दैनिक कार्य है:

3M + 3W = 3M + 2M = 5M

इस प्रकार, 3 पुरुष और 3 महिलाओं द्वारा कुल कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या है:

80M ÷ 5M = 16 दिन

व्याख्या

खड़ी ट्रेन को पार करने के लिए, चलती ट्रेन को दोनों ट्रेनों की लंबाई के योग के बराबर कुल दूरी तय करनी होगी।

कुल दूरी = 110 मीटर + 170 मीटर = 280 मीटर

चलती ट्रेन की गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलें: गति = 60 किमी/घंटा = 60 × 5/18 मीटर/सेकंड = 50/3 मीटर/सेकंड

समय के सूत्र का उपयोग करके: समय = दूरी / गति समय = 280 / (50/3) समय = (280 × 3) / 50 समय = 840 / 50 समय = 16.8 सेकंड

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए, लिया गया समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

समय ∝ 1/चाल

यह देखते हुए कि तीन व्यक्तियों की चालों का अनुपात 4 : 3 : 5 है, समान दूरी तय करने में उनके द्वारा लिए गए समय का अनुपात होगा:

1/4 : 1/3 : 1/5

इसे पूर्ण संख्याओं में व्यक्त करने के लिए, हम अनुपात के प्रत्येक पद को हर 4, 3 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं, जो कि 60 है:

(1/4 × 60) : (1/3 × 60) : (1/5 × 60) = 15 : 20 : 12

व्याख्या

2 वर्षों के बाद कुल राशि (A) मूलधन (P) और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) का योग है: A = P + CI A = 1500 + 449.40 = 1949.40

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके: A = P(1 + r/100)ⁿ

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 1949.40 = 1500(1 + r/100)² (1 + r/100)² = 1949.40 / 1500 (1 + r/100)² = 1.2996

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 1 + r/100 = √1.2996 1 + r/100 = 1.14 r/100 = 0.14 r = 14%

व्याख्या

वार्षिक ब्याज दर R% पर 2 वर्षों के लिए मूलधन P पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) सीधे सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

यह देखते हुए कि अंतर D रु. 129.60 है और दर R 9% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

129.60 = P × (9 / 100)²

129.60 = P × (81 / 10000)

P = (129.60 × 10000) / 81

P = 1296000 / 81

P = 16000

धनराशि रु. 16000 है।

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है, ब्याज दर R है, और समय अवधि T 2 वर्ष है।

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है।

जब ब्याज दर 1% बढ़ाई जाती है, तो ब्याज में वृद्धि इस प्रकार दी जाती है: ब्याज में वृद्धि = (P × दर में वृद्धि × T) / 100

यह देखते हुए कि दर में वृद्धि 1% है और ब्याज में वृद्धि रु. 24 है, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 24 = (P × 1 × 2) / 100

समीकरण को सरल बनाने पर: 24 = 2P / 100 P = (24 × 100) / 2 P = 1200

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को प्रत्येक मिश्रित भिन्न को उसके पूर्ण संख्या और भिन्नात्मक घटकों में अलग करके सरल किया जा सकता है:

99 1/7 + 99 2/7 + 99 3/7 + 99 4/7 + 99 5/7 + 99 6/7

= (99 + 1/7) + (99 + 2/7) + (99 + 3/7) + (99 + 4/7) + (99 + 5/7) + (99 + 6/7)

पूर्ण संख्याओं और भिन्नों को एक साथ समूहित करना:

= (99 × 6) + (1/7 + 2/7 + 3/7 + 4/7 + 5/7 + 6/7)

पूर्ण संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना: 99 × 6 = 594

भिन्नों का योग ज्ञात करना: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 7 = 21 / 7 = 3

दोनों परिणामों को एक साथ जोड़ना: 594 + 3 = 597

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित के गुणों के अनुसार, किसी भाजक से विभाजित करने पर दो संख्याओं के योग का शेषफल, उन्हीं संख्याओं के अलग-अलग शेषफलों के योग को उसी भाजक से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर होता है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(A + B) mod d = (A mod d + B mod d) mod d

दिया गया है कि भाजक d = 33 है, और अलग-अलग शेषफल 21 और 28 हैं। इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

(21 + 28) mod 33 = 49 mod 33

जब 49 को 33 से विभाजित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है:

49 = 33 × 1 + 16

शेषफल 16 है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 12a और 12b हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं।

प्रश्न के अनुसार, दो संख्याओं का योग 84 है: 12a + 12b = 84 12(a + b) = 84 a + b = 7

चूँकि 7 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए 7 के बराबर योग वाली धनात्मक पूर्णांकों (a, b) की कोई भी जोड़ी, जहाँ a ≤ b, स्वतः ही सह-अभाज्य होगी। ऐसी जोड़ियों की संख्या पूर्णांक विभाजन 7/2 द्वारा दी जाती है, जो कि 3 है।

ये तीन सह-अभाज्य जोड़ियाँ (a, b) हैं: (1, 6), जिससे संख्याएँ 12 और 72 प्राप्त होती हैं। (2, 5), जिससे संख्याएँ 24 और 60 प्राप्त होती हैं। (3, 4), जिससे संख्याएँ 36 और 48 प्राप्त होती हैं।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को संयुग्मी (3 - √2) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें:

7 / (3 + √2) = [7 × (3 - √2)] / [(3 + √2) × (3 - √2)]

हर में बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का प्रयोग करें:

7(3 - √2) / (3² - (√2)²) = 7(3 - √2) / (9 - 2) = 7(3 - √2) / 7 = 3 - √2

√2 = 1.4142 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करें:

3 - 1.4142 = 1.5858

1.5858 को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 1.59 प्राप्त होता है क्योंकि तीसरे दशमलव स्थान का अंक 5 है, जो दूसरे दशमलव स्थान (8) के अंक को 1 से बढ़ा देता है।

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है। प्रश्न के अनुसार:

x × (√3 + √2) = √12 + √18

यहाँ, √12 और √18 को सरल किया जा सकता है: √12 = √(4 × 3) = 2√3 √18 = √(9 × 2) = 3√2

इन सरल किए गए पदों को समीकरण में वापस रखने पर: x × (√3 + √2) = 2√3 + 3√2

x के लिए हल करने पर: x = (2√3 + 3√2) / (√3 + √2)

हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी (√3 - √2) से गुणा करें: x = [(2√3 + 3√2) × (√3 - √2)] / [(√3 + √2) × (√3 - √2)]

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके हर सरल हो जाता है: (√3)² - (√2)² = 3 - 2 = 1

अंश का विस्तार करने पर: (2√3 × √3) - (2√3 × √2) + (3√2 × √3) - (3√2 × √2) = 6 - 2√6 + 3√6 - 6 = √6

इसलिए, x = √6।

व्याख्या

हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं: (x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²)

दिए गए मानों, x - y = 2 और x² + y² = 20 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x + y)² + 2² = 2(20) (x + y)² + 4 = 40 (x + y)² = 40 - 4 (x + y)² = 36

व्याख्या

माना x = √(3√(3√(3...))

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, सबसे बाहरी वर्गमूल हट जाता है: x² = 3√(3√(3...))

चूंकि अनंत नेस्टेड रेडिकल पद x के बराबर है, हम समीकरण में x को वापस प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x² = 3x

दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर, चूँकि x 0 से बड़ा है: x = 3

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: x⁴ + y⁴ - 2x²y² = (x² - y²)²

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके, हमारे पास है: x² - y² = (x + y)(x - y)

अब, (x + y) और (x - y) के मानों की गणना करें: x + y = (a + 1/a) + (a - 1/a) = 2a x - y = (a + 1/a) - (a - 1/a) = 2/a

इन मानों को x² - y² के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x² - y² = (2a) × (2/a) = 4

इस प्रकार, मूल व्यंजक का मान है: (x² - y²)² = 4² = 16

व्याख्या

व्यंजक के प्रत्येक पद को हरों का परिमेयकरण करके सरल किया जा सकता है।

पहले पद के लिए, हम 2 / (√6 + 2) को सरल करते हैं: 2 / (√6 + 2) = 2(√6 - 2) / ((√6 + 2)(√6 - 2)) = 2(√6 - 2) / (6 - 4) = 2(√6 - 2) / 2 = √6 - 2

दूसरे पद के लिए, हम 1 / (√7 + √6) का परिमेयकरण करते हैं: 1 / (√7 + √6) = (√7 - √6) / ((√7 + √6)(√7 - √6)) = (√7 - √6) / (7 - 6) = √7 - √6

तीसरे पद के लिए, हम 1 / (√8 - √7) का परिमेयकरण करते हैं: 1 / (√8 - √7) = (√8 + √7) / ((√8 - √7)(√8 + √7)) = (√8 + √7) / (8 - 7) = √8 + √7 = 2√2 + √7

इन सरल किए गए पदों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (√6 - 2) + (√7 - √6) + (2√2 + √7) + 2 - 2√2

समान पदों को समूहित और संयोजित करने पर: (√6 - √6) + (√7 + √7) + (2√2 - 2√2) + (-2 + 2) = 0 + 2√7 + 0 + 0 = 2√7

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं।

दो संख्याओं का योग x + y = 8 है, और उनका गुणनफल xy = 15 है।

उनके व्युत्क्रमों का योग बीजगणितीय संबंध द्वारा दिया जाता है: 1/x + 1/y = (x + y) / xy

योग और गुणनफल के ज्ञात मानों को इस संबंध में प्रतिस्थापित करके: 1/x + 1/y = 8/15

यह सीधे 8/15 का परिणाम देता है।

व्याख्या

किसी वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण की लंबाई से सीधे सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

क्षेत्रफल = d² / 2

जहाँ d विकर्ण की लंबाई है।

दिया गया है कि विकर्ण d = 15√2 सेमी:

क्षेत्रफल = (15√2)² / 2 क्षेत्रफल = (225 × 2) / 2 क्षेत्रफल = 225 सेमी²