एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समीकरण sin 3A = cos (A - 26°) को हल करने के लिए, हम sin और cos फलनों से संबंधित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: sin θ = cos (90° - θ)। समीकरण के बाईं ओर इस सर्वसमिका को लागू करके, हम पूरे समीकरण को cos फलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

cos (90° - 3A) = cos (A - 26°)

चूंकि दोनों पक्षों को cos फलनों के रूप में व्यक्त किया गया है और 3A को एक न्यूनकोण दिया गया है, हम कोणों को सीधे बराबर रख सकते हैं:

90° - 3A = A - 26°

इसके बाद, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि A वाले पदों को एक तरफ और अचर मानों को दूसरी तरफ अलग किया जा सके:

90° + 26° = A + 3A

116° = 4A

A के लिए हल करने पर:

A = (116°)/(4)

A = 29°

प्रश्न में दी गई शर्त की जाँच करने पर, यदि A = 29° है, तो 3A = 3 × 29° = 87° होगा। चूंकि 87°, 90° से कम है, इसलिए 3A के न्यूनकोण होने की शर्त संतुष्ट होती है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। चूँकि XY = XZ है, इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण, क्रमशः ∠ Z और ∠ Y, बराबर होने चाहिए। यह देखते हुए कि ∠ Y = 80° है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ Z = 80° है। त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, अंतःकोणों का योग हमेशा 180° होता है। इसलिए, ∠ X + ∠ Y + ∠ Z = 180°। समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर ∠ X + 80° + 80° = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर ∠ X + 160° = 180° हो जाता है। दोनों पक्षों से 160° घटाने पर ∠ X = 20° प्राप्त होता है।

व्याख्या

a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के रूप में रैखिक समीकरणों के एक निकाय का एक अद्वितीय हल होता है यदि x के गुणांकों का अनुपात y के गुणांकों के अनुपात के बराबर नहीं होता है, जो कि प्रतिबंध (a₁)/(a₂) ≠ (b₁)/(b₂) को संतुष्ट करता है। दिए गए निकाय के लिए, पहला समीकरण 3x + 2y = 7 है और दूसरा 2x + 3y = 7 है। गुणांकों की पहचान करने पर, हमें a₁ = 3, b₁ = 2, a₂ = 2, और b₂ = 3 प्राप्त होता है। इन गुणांकों के अनुपातों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि (a₁)/(a₂) = ³⁄₂ और (b₁)/(b₂) = ⅔ है। चूंकि ³⁄₂ ≠ ⅔ है, इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित दोनों रेखाएँ समानांतर नहीं हैं और कार्तीय तल में ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह प्रतिच्छेद बिंदु x और y के मानों के उस एकल समुच्चय को दर्शाता है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है।

व्याख्या

किसी कंपनी का लाभ दिए गए आय संबंध से प्राप्त सूत्र, लाभ = व्यय × (लाभ%)/(100) द्वारा निर्धारित किया जाता है। वर्ष 2005 में कंपनी A के लिए, व्यय ₹40 करोड़ है और लाभ प्रतिशत 60% है। लाभ की गणना करने पर 40 × ⁶⁰⁄₁₀₀ = 24 करोड़ ₹ प्राप्त होता है। इसी वर्ष में कंपनी B के लिए, व्यय ₹35 करोड़ है और लाभ प्रतिशत 48% है। लाभ की गणना करने पर 35 × ⁴⁸⁄₁₀₀ = 16.8 करोड़ ₹ प्राप्त होता है। वर्ष 2005 में कंपनी A और कंपनी B के लाभ के बीच का अंतर 24 - 16.8 = 7.2 करोड़ ₹ है।

व्याख्या

दो निर्दिष्ट श्रेणियों की बिक्री के बीच अंतर निर्धारित करने के लिए, हम प्रदान की गई डेटा तालिका से प्रासंगिक मान निकालते हैं। दिल्ली ने जून के महीने में 252 इकाइयों की बिक्री दर्ज की। चेन्नई ने जुलाई के महीने में 247 इकाइयों की बिक्री दर्ज की।

अंतर की गणना बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाकर इस प्रकार की जाती है:

अंतर = दिल्ली की बिक्री (जून) - चेन्नई की बिक्री (जुलाई) अंतर = 252 - 247 = 5

जून के दौरान दिल्ली में बेची गई इकाइयों और जुलाई के दौरान चेन्नई में बेची गई इकाइयों के बीच का संख्यात्मक अंतर ठीक 5 इकाई है।

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सभी चारों क्षेत्रों में दिन में 3 बार से अधिक चाय पीने वाले लोगों की कुल संख्या की गणना करें: कुल (3 बार से अधिक) = 1732 + 1842 + 6045 + 2741 = 12360

इसके बाद, सभी चारों क्षेत्रों में उन लोगों की कुल संख्या की गणना करें जो बिल्कुल भी चाय नहीं पीते हैं ('कभी नहीं' श्रेणी): कुल (कभी नहीं) = 317 + 127 + 223 + 293 = 960

दिन में 3 बार से अधिक चाय पीने वाले लोगों का उन लोगों से अनुपात जो बिल्कुल भी चाय नहीं पीते हैं, इस प्रकार है: अनुपात = 12360 : 960

दोनों पदों को 10 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 1236 : 96

दोनों पदों को 12 से विभाजित करके इसे और सरल करने पर: 1236 ÷ 12 = 103 96 ÷ 12 = 8

सरलीकृत अनुपात 103:8 है।

व्याख्या

प्रति विज्ञापन लागत की गणना सूत्र: प्रति विज्ञापन लागत = (कुल खर्च किया गया धन)/(विज्ञापनों की कुल संख्या) का उपयोग करके की जाती है। किसी दिए गए वर्ष के लिए तीनों श्रेणियों में से प्रत्येक से एक विज्ञापन पर खर्च किया गया कुल धन इन व्यक्तिगत लागतों का योग है।

वर्ष 2018 के लिए: योग₂₀₁₈ = (3,50,000)/(10) + (3,60,000)/(12) + (2,10,000)/(15) योग₂₀₁₈ = 35,000 + 30,000 + 14,000 = 79,000

वर्ष 2021 के लिए: योग₂₀₂₁ = (7,60,000)/(19) + (4,80,000)/(24) + (4,40,000)/(22) योग₂₀₂₁ = 40,000 + 20,000 + 20,000 = 80,000

वर्ष 2021 में खर्च किए गए कुल धन का वर्ष 2018 में खर्च किए गए कुल धन से अभीष्ट अनुपात है: अनुपात = 80,000 : 79,000 = 80 : 79

व्याख्या

एक वृत्त की त्रिज्या R, जिसका क्षेत्रफल r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, संबंध R = √(r₁² + r₂²) द्वारा निर्धारित की जाती है, जो कि π R² = π r₁² + π r₂² से प्राप्त होता है। दिए गए मानों r₁ = 8 सेमी और r₂ = 15 सेमी को सूत्र में रखने पर, R = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √(289) = 17 सेमी प्राप्त होता है। एक वृत्त की परिधि P की गणना सूत्र P = 2π R का उपयोग करके की जाती है। परिकलित त्रिज्या R = 17 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर और नियतांक π के लिए संकेत के रूप में T का उपयोग करने पर, परिधि P = 2 × T × 17 = 34T सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए आकाश की वर्तमान आयु A है और घनश्याम की वर्तमान आयु G है। प्रश्न के अनुसार, G = 3A।

दस वर्ष पहले, उनकी आयु क्रमशः G - 10 और A - 10 थी। दूसरी शर्त के अनुसार, G - 10 = 4(A - 10)।

पहले समीकरण को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 3A - 10 = 4(A - 10) 3A - 10 = 4A - 40 4A - 3A = 40 - 10 A = 30

आकाश की वर्तमान आयु 30 वर्ष है, इसलिए घनश्याम की वर्तमान आयु G = 3 × 30 = 90 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु के बीच का अंतर 90 - 30 = 60 वर्ष है।

व्याख्या

दिया गया है कि tan A + cot A = 2, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें (tan A + cot A)² = 2² प्राप्त होता है। सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करने पर, यह व्यंजक tan² A + cot² A + 2 tan A cot A = 4 के रूप में विस्तृत होता है। चूंकि cot A, tan A का व्युत्क्रम है, इसलिए उनका गुणनफल tan A cot A, 1 के बराबर होता है। इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण tan² A + cot² A + 2(1) = 4 हो जाता है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर tan² A + cot² A = 4 - 2 = 2 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, समीकरण tan A + (1)/(tan A) = 2 एक मानक रूप x + ¹⁄ₓ = 2 है, जो केवल तभी संतुष्ट होता है जब x = 1 हो। इस प्रकार, tan A = 1, और इसे वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर 1² + 1² = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके व्यंजक का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: (sin A + csc A)² = sin² A + csc² A + 2 sin A csc A (cos A + sec A)² = cos² A + sec² A + 2 cos A sec A

चूंकि csc A = (1)/(sin A) और sec A = (1)/(cos A), पद 2 sin A csc A और 2 cos A sec A सरल होकर 2(1) = 2 हो जाते हैं। दोनों विस्तारित व्यंजकों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: sin² A + cos² A + csc² A + sec² A + 2 + 2

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक बन जाता है: 1 + csc² A + sec² A + 4 = 5 + csc² A + sec² A

अब, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं csc² A = 1 + cot² A और sec² A = 1 + tan² A को प्रतिस्थापित करने पर: 5 + (1 + cot² A) + (1 + tan² A) = 5 + 1 + 1 + tan² A + cot² A = 7 + tan² A + cot² A

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप (a³ - b³)/(a² + ab + b²) का अनुसरण करता है, जहाँ a = 453 और b = 383 है। दो घनों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) होता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

((a - b)(a² + ab + b²))/(a² + ab + b²)

अंश और हर में उभयनिष्ठ पद (a² + ab + b²) एक-दूसरे से कट (cancel) जाते हैं, जिससे परिणाम a - b बचता है। मूल मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

453 - 383 = 70

व्याख्या

d₁% और d₂% की क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है। दिया गया है कि MP = 1600, d₁ = 17, और SP = 747, समीकरण इस प्रकार स्थापित किया जाता है:

747 = 1600 × (1 - ¹⁷⁄₁₀₀) × (1 - ˣ⁄₁₀₀) 747 = 1600 × 0.83 × (1 - ˣ⁄₁₀₀) 747 = 1328 × (1 - ˣ⁄₁₀₀)

x वाले पद को अलग करने के लिए, विक्रय मूल्य को पहली छूट के बाद के मूल्य से विभाजित करें:

1 - ˣ⁄₁₀₀ = ⁷⁴⁷⁄₁₃₂₈ 1 - ˣ⁄₁₀₀ = 0.5625

x के लिए हल करने पर:

ˣ⁄₁₀₀ = 1 - 0.5625 ˣ⁄₁₀₀ = 0.4375 x = 43.75

व्याख्या

जब विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो ट्रेनें एक-दूसरे को पार करती हैं, तो तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग होती है, और सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

कुल दूरी D = L₁ + L₂ = 132 + 108 = 240 मीटर।

सापेक्ष गति Vᵣₑₗ = S₁ + S₂ = 32 + 40 = 72 किमी/घंटा।

सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड (m/s) में बदलने के लिए, ⁵⁄₁₈ से गुणा करें: Vᵣₑₗ = 72 × ⁵⁄₁₈ = 4 × 5 = 20 मीटर/सेकंड।

एक-दूसरे को पार करने में लगने वाला समय सूत्र T = (D)/(Vᵣₑₗ) द्वारा दिया गया है। T = ²⁴⁰⁄₂₀ = 12 सेकंड।

व्याख्या

जब किसी संख्या N को भाजक D₁ से विभाजित किया जाता है और शेषफल R₁ प्राप्त होता है, तथा उसी संख्या को दूसरे भाजक D₂ से विभाजित किया जाता है जो D₁ का एक गुणनखंड है, तो नया शेषफल R₂ केवल R₁ को D₂ से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला शेषफल होता है।

इस मामले में, संख्या को 55 से विभाजित करने पर 28 शेषफल प्राप्त होता है। चूंकि 11, 55 का एक गुणनखंड है (11 × 5 = 55), इसलिए उसी संख्या को 11 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला शेषफल, 28 ÷ 11 का शेषफल होगा।

विभाजन करने पर: 28 = (11 × 2) + 6

शेषफल 6 है।

व्याख्या

माना विपुल की कुल मासिक आय I है। प्रश्न के अनुसार, वह 30% किराए पर खर्च करता है, जिससे I का 70% शेष बचता है।

इस शेष राशि में से, वह 60% किराने के सामान पर खर्च करता है। इसलिए, किराने के सामान पर खर्च 0.60 × 0.70I = 0.42I है। किराने के सामान के खर्च के बाद बची हुई राशि पहले शेष का 40% है, जो कि 0.40 × 0.70I = 0.28I है।

इसके बाद, वह इस दूसरे शेष का 40% अन्य पर खर्च करता है, जिसका अर्थ है कि वह इसका शेष 60% बचाता है। उसकी बचत को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: बचत = 0.60 × 0.28I = 0.168I

यह देखते हुए कि उसकी बचत £ 7056 है, हम समीकरण बनाते हैं: 0.168I = 7056 I = (7056)/(0.168) = 42000

किराने के सामान पर खर्च की गई राशि कुल आय का 42% है: किराने के सामान पर खर्च = 0.42 × 42000 किराने के सामान पर खर्च = 42 × 420 = 17640

व्याख्या

एक मिश्रण की कुल लागत उसके व्यक्तिगत घटकों की लागत का योग होती है। भारित औसत सूत्र Q₁ P₁ + Q₂ P₂ = (Q₁ + Q₂) Pₘᵢₓₜᵤᵣₑ का उपयोग करने पर, जहाँ Q मात्रा को दर्शाता है और P मूल्य को दर्शाता है:

10 × 26 + 6 × x = (10 + 6) × 35

260 + 6x = 16 × 35

260 + 6x = 560

6x = 560 - 260

6x = 300

x = ³⁰⁰⁄₆ = 50

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले एक घन का आयतन V, सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है। जब आयतन 13,824 सेमी³ है, तो भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम आयतन के घनमूल की गणना करते हैं:

a = ³√(13824)

इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, हम अनुमान और इकाई अंक की विधि का उपयोग कर सकते हैं। संख्या 13,824 का अंतिम अंक (इकाई अंक) 4 है। एकल अंकों के घनों के अनुक्रम में, केवल 4³ = 64 का अंत 4 से होता है, इसलिए घनमूल का इकाई अंक 4 होना चाहिए। इसके बाद, हम संख्या के हजारवें भाग को देखते हैं, जो कि 13 है। हम जानते हैं कि 2³ = 8 और 3³ = 27 है। चूंकि 13, 8 और 27 के बीच स्थित है, इसलिए घनमूल का दहाई अंक 2 होना चाहिए।

इन्हें मिलाने पर, हमें a = 24 प्राप्त होता है। हम 24 × 24 × 24 की गणना करके इसकी पुष्टि कर सकते हैं। चूंकि 24² = 576 है, इसलिए 576 × 24 = 13824 होगा।

व्याख्या

माना पाइप B द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय 5x घंटे है। चूंकि पाइप A को पाइप B द्वारा लिए गए समय का ⅘ समय लगता है, इसलिए पाइप A द्वारा लिया गया समय 4x घंटे है।

टैंक को भरने में पाइप A और B की संयुक्त दर ¹⁄₄ₓ + ¹⁄₅ₓ = ⁹⁄₂₀ₓ है। इसलिए, A और B द्वारा एक साथ लिया गया समय, T_A_B, ²⁰ˣ⁄₉ घंटे है।

प्रश्न के अनुसार, जब निकास पाइप C को भी खोला जाता है, तो लिया गया समय, T_A_B_C, T_A_B से ⅘ अधिक होता है। इसका अर्थ है T_A_B_C = T_A_B + ⅘T_A_B = ⁹⁄₅T_A_B। T_A_B का मान रखने पर, हमें T_A_B_C = ⁹⁄₅ × ²⁰ˣ⁄₉ = 4x घंटे प्राप्त होता है।

यह दिया गया है कि T_A_B_C = 40 घंटे है। T_A_B_C के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें 4x = 40 प्राप्त होता है, जिससे x = 10 मिलता है। x का मान वापस व्यक्तिगत समय में रखने पर, पाइप A को 40 घंटे और पाइप B को 50 घंटे लगते हैं।

जब तीनों पाइप खुले हों तो शुद्ध दर (1)/(A) + (1)/(B) - (1)/(C) = (1)/(T_A_B_C) द्वारा दी जाती है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ¹⁄₄₀ + ¹⁄₅₀ - (1)/(C) = ¹⁄₄₀। दोनों पक्षों से ¹⁄₄₀ घटाने पर, हमें ¹⁄₅₀ - (1)/(C) = 0 प्राप्त होता है, जिससे C = 50 घंटे प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं p और q के बीच मध्यानुपाती x को संबंध x = √(pq) द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे pq = x² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यह देखते हुए कि मध्यानुपाती 12 है, दोनों संख्याओं के गुणनफल को pq = 12² = 144 को संतुष्ट करना चाहिए। p = 24 और q = 6 के मानों के लिए, गुणनफल 24 × 6 = 144 है। चूंकि यह गुणनफल मध्यानुपाती के वर्ग से मेल खाता है, इसलिए ये मान गणितीय आवश्यकता को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

दो सकेंद्रीय वृत्तों की एक संरचना में, मान लीजिए कि बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 26 सेमी है और छोटे वृत्त की त्रिज्या r = 10 सेमी है। जब बड़े वृत्त की एक जीवा छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा होती है, तो स्पर्श बिंदु पर खींची गई छोटे वृत्त की त्रिज्या जीवा पर लंब होती है और इसे समद्विभाजित करती है।

मान लीजिए कि जीवा की लंबाई L है। बड़े वृत्त की त्रिज्या, छोटे वृत्त की त्रिज्या और जीवा की आधी लंबाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, R² = r² + (L/2)²। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

26² = 10² + (L/2)² 676 = 100 + (L/2)² (L/2)² = 576 L/2 = √(576) = 24 सेमी

जीवा की कुल लंबाई L = 2 × 24 = 48 सेमी है।

व्याख्या

सोफे और मेज के क्रय मूल्य का अनुपात मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। माना सोफे का लाभ प्रतिशत Pₛ = 10%, मेज का लाभ प्रतिशत Pₜ = 15.25%, और कुल लाभ प्रतिशत Pₘ = 13% है।

सोफे के क्रय मूल्य (CPₛ) का मेज के क्रय मूल्य (CPₜ) से अनुपात इस प्रकार दिया गया है: CPₛ : CPₜ = (Pₜ - Pₘ) : (Pₘ - Pₛ) CPₛ : CPₜ = (15.25 - 13) : (13 - 10) CPₛ : CPₜ = 2.25 : 3

अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें: 225 : 300 = 3 : 4

कुल क्रय मूल्य को 3 + 4 = 7 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है। दिया गया है कि कुल क्रय मूल्य 28,000 है: 7 इकाइयाँ = 28,000 1 इकाई = 4,000

मेज और सोफे के क्रय मूल्य के बीच का अंतर उनके अनुपात इकाइयों का अंतर है: अंतर = |4 - 3| = 1 इकाई अंतर = 1 × 4,000 = 4,000

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3 tan A = 4 से, हमें tan A = ⁴⁄₃ प्राप्त होता है। एक समकोण त्रिभुज में, tan A लंब और आधार का अनुपात होता है। लंब P = 4 और आधार B = 3 लेने पर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण H की गणना की जाती है:

H = √(P² + B²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √(25) = 5

sin A और cos A के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: sin A = (P)/(H) = ⅘ cos A = (B)/(H) = ⅗

इन मानों को वांछित व्यंजक में रखने पर: 4 sin A + 3 cos A = 4 ( ⅘ ) + 3 ( ⅗ ) = ¹⁶⁄₅ + ⁹⁄₅ = ²⁵⁄₅ = 5

व्याख्या

सेल फोन का नकद मूल्य 600 रुपये है। चूंकि 300 रुपये का तत्काल भुगतान (डाउन पेमेंट) किया गया है, इसलिए वित्तपोषित की जाने वाली शेष मूलधन राशि 600 रुपये - 300 रुपये = 300 रुपये है। खरीदार ऋण चुकाने के लिए दो महीने बाद 360 रुपये का भुगतान करता है, जिसका अर्थ है कि भुगतान किया गया ब्याज 360 रुपये - 300 रुपये = 60 रुपये है। इस ब्याज के लिए समय अवधि 2 महीने है, जो 2/12 = 1/6 वर्ष के बराबर है। साधारण ब्याज के सूत्र I = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर, जहाँ I ब्याज है, P मूलधन है, R वार्षिक दर है, और T वर्षों में समय है, हमें प्राप्त होता है: 60 = (300 × R × (1/6))/(100)। समीकरण को सरल करने पर 60 = 3 × R × ⅙ प्राप्त होता है, जो घटकर 60 = (R)/(2) हो जाता है। इस प्रकार, R = 120। योजना के तहत ली जाने वाली ब्याज की दर 120% प्रति वर्ष है।

व्याख्या

किसी वृत्त के चाप का अंशात्मक माप उसके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण होता है। अंतर्लिखित कोण प्रमेय (inscribed angle theorem) के अनुसार, किसी वृत्त के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर उसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस स्थिति में, लघु चाप PQ केंद्र O पर एक कोण ∠ POQ = 80° अंतरित करता है।

दोनों बिंदु R और S, PQ के दीर्घ चाप पर स्थित हैं। इसलिए, कोण ∠ PRQ और ∠ PSQ एक ही वृत्तखंड में समान लघु चाप PQ द्वारा अंतरित अंतर्लिखित कोण हैं। प्रमेय लागू करने पर:

∠ PRQ = ½ ∠ POQ = ½ × 80° = 40° ∠ PSQ = ½ ∠ POQ = ½ × 80° = 40°

चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ PRQ और ∠ PSQ समान होने चाहिए। प्रत्येक कोण केंद्रीय कोण का आधा है, जिसके परिणामस्वरूप 40° और 40° का युग्म प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T समयावधि है। चूँकि दोनों ऋणों की दर (8%) और अवधि (5 वर्ष) समान है, इसलिए प्राप्त कुल ब्याज दोनों मूलधनों से प्राप्त ब्याजों का योग है।

मान लीजिए राजू को उधार दी गई राशि P₁ = 3000 है और रवि को उधार दी गई राशि P₂ है। कुल साधारण ब्याज इस प्रकार दिया गया है: SI_कुल = ((P₁ + P₂) × R × T)/(100)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 1600 = ((3000 + P₂) × 8 × 5)/(100) 1600 = ((3000 + P₂) × 40)/(100) 1600 = (3000 + P₂) × 0.4

संयुक्त मूलधन ज्ञात करने के लिए, कुल ब्याज को 0.4 से विभाजित करें: 3000 + P₂ = (1600)/(0.4) 3000 + P₂ = 4000

कुल मूलधन में से राजू को उधार दिए गए मूलधन को घटाने पर रवि को उधार दी गई राशि प्राप्त होती है: P₂ = 4000 - 3000 P₂ = 1000

व्याख्या

दो सरल रेखाओं को संपाती तब कहा जाता है जब वे समष्टि (space) में बिल्कुल एक ही स्थान घेरती हैं और बिंदुओं के समान समुच्चय को निरूपित करती हैं। निर्देशांक ज्यामिति में, दो रैखिक समीकरणों के निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए, रेखाएँ संपाती होती हैं यदि प्रतिबंध (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) = (c₁)/(c₂) संतुष्ट होता है। यह आनुपातिकता दर्शाती है कि दोनों समीकरण अनिवार्य रूप से एक-दूसरे के गुणज हैं और एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं। चूंकि एक प्रतिच्छेदन बिंदु को किसी भी ऐसे बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक साथ दोनों रेखाओं पर स्थित होता है, और संपाती रेखा पर प्रत्येक बिंदु दूसरी रेखा पर भी एक बिंदु होता है, इसलिए प्रतिच्छेदन के अनंत बिंदु होते हैं। परिभाषा के अनुसार एक सरल रेखा में अनंत बिंदु होते हैं, इसलिए पूरी तरह से परस्पर आच्छादित (overlap) होने वाली दो रेखाएं उन सभी बिंदुओं को साझा करती हैं।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं 1 - cosθ = 2sin²(θ/2), 1 + cosθ = 2cos²(θ/2), और sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2) का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है। इन्हें पुनर्व्यवस्थित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

((1 - cosθ) + sinθ)/((1 + cosθ) + sinθ) = 2sin²(θ/2) + 2sin(θ/2)cos(θ/2){2cos²(θ/2) + 2sin(θ/2)cos(θ/2)}

उभयनिष्ठ पदों को अलग करने के लिए अंश और हर का गुणनखंड करने पर:

(2sin(θ/2) [sin(θ/2) + cos(θ/2)])/(2cos(θ/2) [sin(θ/2) + cos(θ/2)])

उभयनिष्ठ गुणनखंड [sin(θ/2) + cos(θ/2)] और संख्यात्मक गुणांक 2 को निरस्त करने पर व्यंजक निम्नलिखित रूप में आ जाता है:

(sin(θ/2))/(cos(θ/2)) = tan(θ/2)

व्याख्या

माना एक वर्ष पूर्व A और B की आयु क्रमशः x और 2x थी। परिणामस्वरूप, उनकी वर्तमान आयु x + 1 और 2x + 1 है। अब से 9 वर्ष बाद, उनकी आयु (x + 1) + 9 = x + 10 और (2x + 1) + 9 = 2x + 10 होगी।

दी गई शर्त के अनुसार, 9 वर्ष बाद B और A की आयु का अनुपात 4 : 3 होगा। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(2x + 10)/(x + 10) = 4/3

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3(2x + 10) = 4(x + 10) 6x + 30 = 4x + 40 2x = 10 x = 5

x का मान उनकी वर्तमान आयु के समीकरणों में रखने पर, हम पाते हैं कि A की आयु 5 + 1 = 6 वर्ष है और B की आयु 2(5) + 1 = 11 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु का योग 6 + 11 = 17 वर्ष है।

व्याख्या

लाभ, विक्रय मूल्य (SP) का ⅙ दिया गया है। लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, लाभ को क्रय मूल्य (CP) के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए। माना विक्रय मूल्य 6 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, लाभ 1 इकाई (6 का 1/6) है।

क्रय मूल्य की गणना सूत्र CP = SP - लाभ (Gain) द्वारा की जाती है। इकाइयों के मान रखने पर, हमें CP = 6 - 1 = 5 इकाई प्राप्त होता है।

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(CP) × 100

सूत्र में मान रखने पर: लाभ प्रतिशत = ⅕ × 100 = 20%

प्रश्न में ₹25404 का विशिष्ट विक्रय मूल्य दिया गया है, लेकिन गणना के लिए इसकी आवश्यकता नहीं है क्योंकि लाभ प्रतिशत सीधे लाभ और विक्रय मूल्य के बीच के भिन्नात्मक संबंध से प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण 10sin²θ + 6cos²θ = 7 है। tanθ का मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद को cos²θ से विभाजित करके समीकरण को tanθ के पदों में फिर से लिख सकते हैं।

(10sin²θ)/(cos²θ) + (6cos²θ)/(cos²θ) = (7)/(cos²θ)

10tan²θ + 6 = 7sec²θ

मूल सर्वसमिका sec²θ = 1 + tan²θ का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

10tan²θ + 6 = 7(1 + tan²θ)

10tan²θ + 6 = 7 + 7tan²θ

tan²θ को एक तरफ अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

10tan²θ - 7tan²θ = 7 - 6

3tan²θ = 1

tan²θ = ⅓

वर्गमूल लेने पर, और यह ध्यान में रखते हुए कि θ प्रथम चतुर्थांश (0° < θ < 90°) में है जहाँ टैनजेंट (tangent) फलन धनात्मक होता है:

tanθ = (1)/(√(3))

व्याख्या

घनाभ की विमाएँ L:B:H = 3:2:1 के अनुपात में हैं। चूंकि चौड़ाई B, 12 सेमी दी गई है, हम 2x = 12 रखकर आनुपातिक गुणांक x का मान निर्धारित कर सकते हैं, जिससे x = 6 प्राप्त होता है।

इस गुणांक का उपयोग करते हुए, लंबाई L = 3x = 18 सेमी और ऊंचाई H = 1x = 6 सेमी होगी। घनाभ का आयतन V, सूत्र V = L × B × H द्वारा दिया जाता है। परिकलित विमाओं का मान रखने पर V = 18 × 12 × 6 = 1296 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि कोणों का अनुपात 1:2:3 है, मान लीजिए कि कोण 1x, 2x और 3x हैं। कोण योग गुण (angle sum property) के अनुसार, 1x + 2x + 3x = 180°, जिसे सरल करने पर 6x = 180° प्राप्त होता है। x का मान ज्ञात करने पर x = 30° प्राप्त होता है। सबसे छोटा कोण 1x = 30° है और सबसे बड़ा कोण 3x = 90° है। सबसे बड़े और सबसे छोटे कोण के बीच का अंतर 3x - 1x = 2x है। x का मान रखने पर, अंतर 2 × 30° = 60° है।

व्याख्या

दिया गया है A = 15°, सबसे पहले हम व्यंजक में प्रयुक्त कोणों के मान ज्ञात करते हैं: 3A = 3 × 15° = 45° 2A = 2 × 15° = 30° 4A = 4 × 15° = 60°

इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हैं: cos 45° = (1)/(√(2)) sin 30° = ½ sin 60° = √3/2

अंश की गणना करने पर: 11√2 cos 45° + 10 sin 30° = 11√2 × (1)/(√(2)) + 10 × ½ = 11 + 5 = 16

हर की गणना करने पर: 7√3 sin 60° = 7√3 × √3/2 = 7 × ³⁄₂ = ²¹⁄₂

संपूर्ण व्यंजक का मान है: (16)/(21/2) = 16 × ²⁄₂₁ = ³²⁄₂₁

व्याख्या

माना कि दो संख्याएँ 2x और 5x हैं। अनुपात के भागों के बीच का अंतर 5 - 2 = 3 इकाई है। यह देखते हुए कि संख्याओं के बीच का पूर्ण अंतर 210 है, हम एक इकाई के मान की गणना करते हैं:

1 इकाई = ²¹⁰⁄₃ = 70

छोटी संख्या अनुपात में 2 इकाई के संगत है। एक इकाई का मान रखने पर: छोटी संख्या = 2 × 70 = 140

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना सीधे क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x मूल्यवृद्धि (markup) प्रतिशत है और y छूट प्रतिशत है। चूँकि छूट मूल्य को कम करती है, इसलिए y को ऋणात्मक मान के रूप में लिया जाता है।

x = 25 और y = -18 प्रतिस्थापित करने पर:

कुल % = 25 - 18 + (25 × (-18))/(100)

कुल % = 7 - ⁴⁵⁰⁄₁₀₀

कुल % = 7 - 4.5 = 2.5%

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य 100 माना जाए, तो अंकित मूल्य 125 (क्रय मूल्य से 25% अधिक) होगा। अंकित मूल्य पर 18% की छूट का अर्थ है कि विक्रय मूल्य, 125 का 82% है।

विक्रय मूल्य = 125 × ⁸²⁄₁₀₀ = ⁵⁄₄ × 82 = ⁴¹⁰⁄₄ = 102.5

लाभ प्रतिशत विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: 102.5 - 100 = 2.5%।

व्याख्या

प्रत्येक पाइप के कार्य की दर टंकी को भरने या खाली करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रम द्वारा निर्धारित की जाती है। पाइप A, 1/4 टंकी प्रति घंटे की दर से भरता है, पाइप B, 1/5 टंकी प्रति घंटे की दर से भरता है, और पाइप C, 1/3 टंकी प्रति घंटे की दर से खाली करता है। जब तीनों पाइपों को एक साथ खोल दिया जाता है, तो प्रति घंटे शुद्ध भरने की दर है:

शुद्ध दर = ¼ + ⅕ - ⅓

इसे हल करने के लिए, 4, 5 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 60 है:

शुद्ध दर = ¹⁵⁄₆₀ + ¹²⁄₆₀ - ²⁰⁄₆₀ = (15 + 12 - 20)/(60) = ⁷⁄₆₀ टंकी प्रति घंटा

टंकी को भरने के लिए आवश्यक समय (घंटों में) शुद्ध दर का व्युत्क्रम है:

समय (घंटे) = ⁶⁰⁄₇

इस समय को मिनटों में बदलने के लिए, मान को 60 से गुणा करें:

समय (मिनट) = ⁶⁰⁄₇ × 60 = ³⁶⁰⁰⁄₇ ≈ 514.285

निकटतम मिनट तक पूर्णांकित करने पर, लिया गया कुल समय 514 मिनट है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि x + y + z = 0 है, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz होता है, जिसे x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 के रूप में भी लिखा जा सकता है।

दी गई शर्त a + b = c को हम पुनर्व्यवस्थित करके a + b - c = 0 लिख सकते हैं। x = a, y = b, और z = -c मानकर, हम शर्त x + y + z = 0 को संतुष्ट करते हैं। इन मानों को त्रिघाती सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

a³ + b³ + (-c)³ - 3(a)(b)(-c) = 0

पदों को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

a³ + b³ - c³ + 3abc = 0

व्याख्या

व्यक्ति की प्रारंभिक बचत सूत्र S = I - E द्वारा निर्धारित की जाती है, जहाँ I आय है और E व्यय है। दिया गया है कि I = 16,500 और E = 12,000, इसलिए प्रारंभिक बचत 16,500 - 12,000 = 4,500 है।

बचत में परिवर्तन Δ S = Δ I - Δ E द्वारा दिया जाता है। आय में वृद्धि 16,500 का 24% है, जो कि 0.24 × 16,500 = 3,960 है। व्यय में 10% की कमी होती है, जिसका अर्थ है कि व्यय में परिवर्तन 12,000 का -10% है, जो कि -1,200 है। इन मानों को परिवर्तन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: Δ S = 3,960 - (-1,200) = 3,960 + 1,200 = 5,160।

बचत में प्रतिशत वृद्धि की गणना (Δ S)/(S) × 100 के रूप में की जाती है। मानों को रखने पर परिणाम (5,160)/(4,500) × 100 = (516)/(4.5) ≈ 114.67% प्राप्त होता है। निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, प्रतिशत वृद्धि 115% है।

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई के आधे के बराबर होता है। इसे Δ ABC पर लागू करने पर, जहाँ D, E और F क्रमशः AB, BC और AC के मध्य-बिंदु हैं, मध्य त्रिभुज Δ DEF की भुजाओं की लंबाई DE = ½ AC, EF = ½ AB और DF = ½ BC के रूप में निर्धारित होती है।

सर्वांगसम त्रिभुजों के आयाम समान और संगत भुजाओं की लंबाई बराबर होनी चाहिए। चूंकि Δ ABC की प्रत्येक भुजा Δ DEF की संगत भुजा की लंबाई की ठीक दोगुनी है, इसलिए ये त्रिभुज 2:1 का अनुपात बनाए रखते हैं। यह संबंध उन्हें सर्वांगसम त्रिभुजों के बजाय समरूप त्रिभुज (Δ ABC ∼ Δ EFD) के रूप में परिभाषित करता है। Δ ABC का क्षेत्रफल, Δ DEF के क्षेत्रफल का 2² = 4 गुना है, जो आगे इस बात की पुष्टि करता है कि वे आकार में बराबर नहीं हैं।

व्याख्या

3 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 का गुणज हो। संख्या 436P5 के लिए, अंकों का योग 4 + 3 + 6 + P + 5 = 18 + P है। कुल योग को 3 से विभाज्य बनाने के लिए, P का मान ऐसा होना चाहिए कि (18 + P), 3 का गुणज हो। चूंकि 18 स्वयं 3 से विभाज्य है, इसलिए P भी एक ऐसा अंक होना चाहिए जो 3 का गुणज हो। P के संभावित एकल-अंकीय मान 0, 3, 6 और 9 हैं। इन मानों की तुलना करने पर, P का अधिकतम संभावित मान 9 है।

व्याख्या

इस संबंध को समानुपात (A)/(C) = (B)/(D) के रूप में व्यक्त किया गया है। D का मान ज्ञात करने के लिए, सूत्र को D = (B × C)/(A) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। समीकरण में दिए गए मानों A = 25, B = 40, और C = 30 को रखने पर:

D = (40 × 30)/(25)

D = ¹²⁰⁰⁄₂₅ = 48

वैकल्पिक रूप से, अनुपात A:C को सरल करने पर 25:30 = 5:6 प्राप्त होता है। चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि A:C = B:D, इसलिए अनुपात 40:D भी 5:6 के बराबर होना चाहिए। B के मान से मिलान करने के लिए सरल अनुपात 5:6 के दोनों पदों को 8 से गुणा करने पर 40:48 प्राप्त होता है।

व्याख्या

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, रेखाखंडों BD और DC का अनुपात, भुजाओं AB और AC के अनुपात के बराबर होता है। इसलिए, BD/DC = AB/AC = 6/12 = 1/2। BC की लंबाई (9 सेमी) को 1:2 के अनुपात में विभाजित करने पर BD = (1/3) * 9 = 3 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना समांतर श्रेणी के सूत्र Sₙ = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂ का उपयोग करके की जाती है। प्रथम 12 प्राकृतिक संख्याओं के लिए, कुल योग ज्ञात करने के लिए हम सूत्र में n = 12 रखते हैं:

S₁₂ = (12 × (12 + 1))/(2) = (12 × 13)/(2) = 6 × 13 = 78

संख्या 6 एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं, विशेष रूप से 1, 2, 3 और 6। विभाज्यता के नियमों को लागू करने पर, हम देखते हैं कि 78, 6 से विभाज्य है क्योंकि यह एक सम संख्या है (2 से विभाज्य) और इसके अंकों का योग (7 + 8 = 15) 3 से विभाज्य है। 78 को 6 से विभाजित करने पर बिना किसी शेषफल के ठीक 13 प्राप्त होता है (78 ÷ 6 = 13)। इसलिए, 6 वह भाज्य संख्या है जो प्रथम 12 प्राकृतिक संख्याओं के योग को विभाजित करती है।

व्याख्या

मान लीजिए O सकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है, जिसमें बाहरी वृत्त की त्रिज्या R और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या r है। मान लीजिए p, केंद्र O से वृत्तों को काटने वाली रेखा की लंबवत दूरी है। ज्यामिति में एक प्रमेय के अनुसार, वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

आंतरिक वृत्त के लिए, जीवा की लंबाई 6 सेमी है, इसलिए लंबपाद से वृत्त के छोर तक के खंड की लंबाई 6/2 = 3 सेमी है। त्रिज्या, लंबवत दूरी और आधी जीवा द्वारा बने समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: r² = p² + 3² = p² + 9

बाहरी वृत्त के लिए, जीवा की लंबाई 18 सेमी है, इसलिए लंबपाद से वृत्त के छोर तक के खंड की लंबाई 18/2 = 9 सेमी है। संबंधित समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: R² = p² + 9² = p² + 81

त्रिज्याओं के वर्गों का अंतर ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने पर: R² - r² = (p² + 81) - (p² + 9) R² - r² = 81 - 9 = 72

व्याख्या

पूरी कक्षा के औसत अंक की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके की जाती है। 30 छात्रों की एक कक्षा में, 12 छात्रों ने औसतन 62 अंक प्राप्त किए, जबकि शेष 30 - 12 = 18 छात्रों ने औसतन 78 अंक प्राप्त किए। अंकगणित को सरल बनाने के लिए, इन दोनों समूहों में छात्रों की संख्या के अनुपात को 12 : 18 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो घटकर 2 : 3 हो जाता है।

कक्षा का औसत अंक A इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: A = ((2 × 62) + (3 × 78))/(2 + 3) A = (124 + 234)/(5) A = ³⁵⁸⁄₅ = 71.6

वैकल्पिक रूप से, कुल योग विधि का उपयोग करते हुए, 30 छात्रों के कुल अंक इस प्रकार ज्ञात किए जाते हैं: कुल अंक = (12 × 62) + (18 × 78) = 744 + 1404 = 2148 इस कुल योग को छात्रों की संख्या से विभाजित करने पर 2148 / 30 = 71.6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी और चोर एक ही दिशा में गति कर रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर है।

सापेक्ष गति vᵣₑₗ = 82 किमी/घंटा - 64 किमी/घंटा = 18 किमी/घंटा

इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, ⁵⁄₁₈ से गुणा करें: vᵣₑₗ = 18 × ⁵⁄₁₈ = 5 मीटर/सेकंड

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने के लिए आवश्यक समय t, इस सापेक्ष गति से 1300 मीटर की प्रारंभिक दूरी को तय करने में लगने वाला समय है: t = (दूरी)/(सापेक्ष गति) t = ¹³⁰⁰⁄₅ = 260 सेकंड

व्याख्या

त्रिज्या R और r वाले दो वृत्तों, जिनके केंद्रों के बीच की दूरी D है, की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की लंबाई √(D² - (R - r)²) द्वारा दी जाती है। जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी D उनकी त्रिज्याओं के योग R + r के बराबर होती है। सूत्र में D = R + r प्रतिस्थापित करने पर, उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की लंबाई सरल होकर 2√(Rr) हो जाती है।

दिया गया है R = 18 सेमी और r = 12 सेमी, स्पर्श रेखा की लंबाई है: L = 2√(18 × 12) L = 2√(216) L = 2√(36 × 6) L = 2 × 6 √6 L = 12√6 सेमी

व्याख्या

इस समस्या को मिश्रण के नियम (rule of allegation) या विचलन की अवधारणा (concept of deviation) का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है। सबसे पहले, पूरी राशि के लिए औसत ब्याज दर की गणना करें। एक वर्ष के लिए ₹4,000 के मूलधन पर ₹352 का कुल ब्याज औसत वार्षिक दर R देता है: R = (352 × 100)/(4000 × 1) = 8.8%

मूलधन की राशियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए 8% और 10% की दो ब्याज दरों के बीच मिश्रण का नियम लागू करने पर: 8% पर दी गई राशि का 10% पर दी गई राशि से अनुपात = (10 - 8.8) : (8.8 - 8) = 1.2 : 0.8 = 3 : 2

₹4,000 की कुल राशि को 3 + 2 = 5 भागों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक भाग 4000 / 5 = 800 के बराबर है। चूंकि 10% पर उधार दी गई राशि अनुपात में 2 भागों के संगत है: 10% पर दी गई राशि = 2 × 800 = 1600

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करें। यदि पूरी ₹4,000 की राशि 8% की कम दर पर उधार दी गई होती, तो वार्षिक ब्याज 4000 × 0.08 = 320 होता। हालांकि, प्राप्त वास्तविक ब्याज ₹352 है। 352 - 320 = 32 का अंतर इसलिए आता है क्योंकि धन का एक हिस्सा 8% के बजाय 10% पर उधार दिया गया था। ब्याज दरों में अंतर 10% - 8% = 2% है। यदि x, 10% पर उधार दी गई राशि है, तो: x का 2% = 32 0.02x = 32 x = (32)/(0.02) = 1600

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई वृत्त बिंदुओं X, Y, और Z से होकर गुजर सकता है, हमें उनकी सापेक्ष स्थितियों की जांच करनी होगी। दी गई दूरियों XY = 11 सेमी, YZ = 13 सेमी, और XZ = 24 सेमी के आधार पर, हम देखते हैं कि XY + YZ = 11 + 13 = 24 सेमी है। चूंकि दो रेखाखंडों XY और YZ की लंबाइयों का योग तीसरे रेखाखंड XZ की लंबाई के बिल्कुल बराबर है, इसलिए बिंदु X, Y, और Z संरेख (collinear) हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

ज्यामिति में एक मौलिक प्रमेय के अनुसार, किन्हीं भी तीन असंरेख (non-collinear) बिंदुओं से होकर केवल और केवल एक ही वृत्त गुजर सकता है। यदि तीन बिंदु संरेख हैं, तो उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंडों के लंब समद्विभाजक (जैसे XY का समद्विभाजक और YZ का समद्विभाजक) एक-दूसरे के समानांतर होते हैं। चूंकि ये लंब समद्विभाजक कभी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, इसलिए ऐसा कोई बिंदु नहीं है जो X, Y, और Z से समदूरस्थ (equidistant) हो और वृत्त के केंद्र के रूप में कार्य कर सके। परिणामस्वरूप, एक सीधी रेखा पर स्थित तीन बिंदुओं से होकर किसी वृत्त का गुजरना असंभव है।