एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

जब a = -12, तो समीकरणों का निकाय इस प्रकार दिया गया है: -12x + ((-12)² + 1)y = 4 ⟹ -12x + 145y = 4 4x + (-12)y = (-12)² ⟹ 4x - 12y = 144

सभी पदों को 4 से विभाजित करके दूसरे समीकरण को सरल करने पर, हमें x - 3y = 36 प्राप्त होता है, जिसे x = 3y + 36 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पहले समीकरण में x के इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: -12(3y + 36) + 145y = 4 -36y - 432 + 145y = 4 109y = 436 y = 436 / 109 = 4

y = 4 का मान x के सरलीकृत समीकरण में वापस रखने पर: x = 3(4) + 36 = 12 + 36 = 48

इस प्रकार, a = -12 के लिए, हल x = 48 और y = 4 हैं।

व्याख्या

शुद्ध विक्रय मूल्य (SP) की गणना अंकित मूल्य (MP) पर क्रमिक छूट लागू करके इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SP = MP × (1 - d₁{100}) × (1 - d₂{100}) × (1 - d₃{100})। दिए गए मानों को रखने पर:

SP = 12500 × (1 - ⁶⁄₁₀₀) × (1 - ⁶⁄₁₀₀) × (1 - ⁴⁄₁₀₀)

SP = 12500 × ⁹⁴⁄₁₀₀ × ⁹⁴⁄₁₀₀ × ⁹⁶⁄₁₀₀

SP = 125 × 0.94 × 0.94 × 0.96

SP = 125 × 0.8836 × 0.96

SP = 11045 × 0.96

SP = 10603.20

व्याख्या

प्रारंभिक मूलधन P₁ = 598397 है और वार्षिक ब्याज दर 20% है। पहले वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज I₁ = P₁ × 0.20 = 598397 × 0.2 = 119679.4 है। पहले वर्ष के अंत में, प्रणव मूलधन के रूप में 24284 रुपये का भुगतान करता है, जिससे दूसरे वर्ष के लिए बकाया मूलधन घटकर P₂ = 598397 - 24284 = 574113 हो जाता है।

दूसरे वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज की गणना घटे हुए मूलधन पर की जाती है: I₂ = P₂ × 0.20 = 574113 × 0.2 = 114822.6 है। दूसरे वर्ष के अंत में सभी लंबित बकाये को चुकाने के लिए, प्रणव को शेष मूलधन के साथ-साथ पहले और दूसरे दोनों वर्षों का ब्याज चुकाना होगा। आवश्यक कुल भुगतान P₂ + I₁ + I₂ = 574113 + 119679.4 + 114822.6 = 808615 है।

व्याख्या

अपोलोनियस का प्रमेय (Apollonius's Theorem) यह बताता है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के वर्गों का योग, तीसरी भुजा पर खींची गई माध्यिका के वर्ग और तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग के दोगुने के बराबर होता है। त्रिभुज PQR में, PT माध्यिका है जो भुजा QR को बिंदु T पर समद्विभाजित करती है। इसका अर्थ है कि T, QR का मध्यबिंदु है, और परिणामस्वरूप, QT = TR = ½QR है। इस त्रिभुज पर सीधे इस प्रमेय को लागू करने पर, भुजाओं PQ, PR और माध्यिका PT के बीच के संबंध को PQ² + PR² = 2(PT² + QT²) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या

एक बंद घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र TSA = 6a² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ a प्रत्येक भुजा की लंबाई को दर्शाता है। चूँकि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1152 सेमी² दिया गया है, इसलिए हम समीकरण 6a² = 1152 बनाते हैं। दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर a² = 192 प्राप्त होता है। भुजा की लंबाई a निर्धारित करने के लिए, हम 192 का वर्गमूल लेते हैं। चूँकि 192 को 64 × 3 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, इसलिए इसका वर्गमूल √(64 × 3) है, जो सरल होकर 8√3 सेमी हो जाता है।

व्याख्या

व्यंजक tan θ + cot θ = 2 को cot θ = 1 / tan θ प्रतिस्थापित करके फिर से लिखा जा सकता है, जिससे tan θ + 1 / tan θ = 2 प्राप्त होता है। पूरे समीकरण को tan θ से गुणा करने पर एक द्विघात समीकरण tan² θ - 2 tan θ + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह सरल होकर (tan θ - 1)² = 0 हो जाता है, जिससे tan θ = 1 प्राप्त होता है। 0° < θ < 90° की सीमा में एक न्यून कोण θ के लिए, समीकरण tan θ = 1 तब संतुष्ट होता है जब θ = 45° होता है।

व्याख्या

स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, जब किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है, तो स्पर्श रेखा खंड की लंबाई का वर्ग संपूर्ण छेदक रेखा खंड और उसके बाहरी भाग की लंबाइयों के गुणनफल के बराबर होता है। इस सूत्र को AT² = AB · AC के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ AT स्पर्श रेखा की लंबाई है, AB बाहरी बिंदु से पहले प्रतिच्छेदन बिंदु की दूरी है, और AC दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु की दूरी है।

यह दिया गया है कि AT = 21 इकाई और AB = 14 इकाई है, समीकरण 21² = 14 · AC हो जाता है। 21 का वर्ग करने पर 441 = 14 · AC प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 14 से विभाजित करने पर, हमें AC = 441 / 14 = 31.5 इकाई प्राप्त होता है। चूंकि बिंदु B छेदक रेखा पर A और C के बीच स्थित है, इसलिए कुल लंबाई AC, खंडों AB और BC का योग है। इसलिए, BC = AC - AB। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, BC = 31.5 - 14 = 17.5 इकाई।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक √((1 - cos A)/(1 + cos A)) + √((1 + cos A)/(1 - cos A)) है। इसे सरल करने के लिए, हम दोनों पदों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं:

(√(1 - cos A))² + (√(1 + cos A))²{√((1 + cos A)(1 - cos A))}

अंश में, वर्गमूलों का वर्ग करने पर (1 - cos A) + (1 + cos A) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2 हो जाता है। हर में, सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² लागू करने पर √(1 - cos² A) प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, हर √(sin² A) हो जाता है।

चूंकि A एक न्यूनकोण (0 < A < 90°) है, इसलिए sin A का मान धनात्मक होता है, अतः √(sin² A) = sin A। इन्हें वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(2)/(sin A) = 2 csc A

व्याख्या

इस व्यंजक को एक भिन्न के रूप में मानकर और बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को लागू करके सरल किया जा सकता है। अंश 25⁴ + 1250 + 1 - 25² है। चूंकि 1250 = 2 × 625 = 2 × 25², इसलिए अंश इसके बराबर है: 25⁴ + 2(25²) + 1 - 25² = (25² + 1)² - 25²

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करने पर, अंश के गुणनखंड निम्नलिखित होंगे: (25² + 1 - 25)(25² + 1 + 25)

पूर्ण व्यंजक है: ((25² - 25 + 1)(25² + 25 + 1))/(25² + 25 + 1)

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (25² + 25 + 1) को निरस्त करने पर, व्यंजक घटकर निम्नलिखित हो जाता है: 25² - 25 + 1

25² = 625 प्रतिस्थापित करने पर: 625 - 25 + 1 = 601

व्याख्या

मान लीजिए कि लड़कों और लड़कियों की प्रारंभिक संख्या क्रमशः 5x और 6x है। प्रश्न के अनुसार, 40 लड़के चले जाते हैं और 50 लड़कियां शामिल हो जाती हैं, जिससे नया अनुपात 8:11 हो जाता है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

(5x - 40)/(6x + 50) = 8/11

x का मान ज्ञात करने के लिए, तिर्यक गुणा (cross-multiply) करें:

11(5x - 40) = 8(6x + 50) 55x - 440 = 48x + 400

x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

55x - 48x = 400 + 440 7x = 840 x = 120

लड़कियों की प्रारंभिक संख्या पद 6x द्वारा दी गई है। x का मान रखने पर:

प्रारंभिक लड़कियां = 6 × 120 = 720

इसे विभाज्यता की जांच करके भी सत्यापित किया जा सकता है; चूंकि 5:6 के अनुपात के आधार पर लड़कियों की प्रारंभिक संख्या 6 का गुणज होनी चाहिए, इसलिए 720 ही एकमात्र ऐसा विकल्प है जो इस शर्त को पूरा करता है और निर्दिष्ट परिवर्तनों के बाद अंतिम अनुपात की आवश्यकताओं को भी पूरा करता है।

व्याख्या

पूरी कक्षा के औसत अंक की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र X = n₁{x₁ + n₂x₂}{n₁ + n₂} का उपयोग करके की जाती है। यहाँ, n₁ = 12 छात्र जिनका औसत x₁ = 62 है, और शेष छात्र n₂ = 30 - 12 = 18 हैं जिनका औसत x₂ = 68 है।

गणना को सरल बनाने के लिए, हम छात्रों की संख्या के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं, जो कि 12:18 या 2:3 है। इसके बाद औसत है: X = (2 × 62 + 3 × 68)/(2 + 3) X = (124 + 204)/(5) X = ³²⁸⁄₅ = 65.6

वैकल्पिक रूप से, 62 के कल्पित माध्य (assumed mean) के साथ विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करने पर, दूसरे समूह के 18 छात्र कल्पित माध्य से 6 अंक अधिक प्राप्त करते हैं। कुल अतिरिक्त अंक 18 × 6 = 108 हैं। इस अतिरिक्त को कुल 30 छात्रों में वितरित करने पर प्रति छात्र अतिरिक्त ¹⁰⁸⁄₃₀ = 3.6 अंक मिलते हैं। इसे कल्पित माध्य में जोड़ने पर, हमें 62 + 3.6 = 65.6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करते हुए, सबसे पहले सबसे आंतरिक कोष्ठक को हल करें: (6 × 7) = 42। इसके बाद, मझले कोष्ठक को हल करें: {36 × 49 ÷ 42} = 36 × (49 / 42) = 36 × (7 / 6) = 42। फिर बड़े कोष्ठक को हल करें: [28 ÷ 84 × 42] = (28 / 84) × 42 = (1 / 3) × 42 = 14। अंत में, प्राप्त परिणाम को 6 से गुणा करें: 6 × 14 = 84।

व्याख्या

समीकरण √3·cos(θ) + sin(θ) = 1 को हल करने के लिए, हम विकल्पों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं या बीजगणितीय रूप से हल कर सकते हैं। θ = 90° प्रतिस्थापित करने पर, हमें √3·cos(90°) + sin(90°) = √3·(0) + 1 = 1 प्राप्त होता है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है। θ = 30° का परीक्षण करने पर √3·(√3/2) + 1/2 = 1.5 + 0.5 = 2 प्राप्त होता है, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

व्याख्या

एक घनाकार बर्तन के भीतर रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ी घन के विकर्ण (मुख्य विकर्ण) के बराबर होती है। a भुजा वाले घन के लिए, विकर्ण की लंबाई d को त्रिविमीय पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3।

घनाकार बर्तन की भुजा a = 70 सेमी दी गई है, इस मान को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: d = 70√3 सेमी

यह लंबाई घन के भीतर किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी को दर्शाती है, विशेष रूप से दो विपरीत शीर्षों के बीच की दूरी।

व्याख्या

n का वह न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए जिससे व्यंजक 2²ⁿ + 2n, 6 से पूर्णतः विभाजित हो जाए, हम विकल्पों में से सबसे छोटे उपलब्ध पूर्णांक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

n = 0 के लिए, व्यंजक से प्राप्त होता है: 2²⁽⁰⁾ + 2(0) = 2⁰ + 0 = 1। चूंकि 1, 6 से विभाज्य नहीं है, इसलिए हम अगले सबसे छोटे पूर्णांक की जांच करते हैं।

n = 1 के लिए, व्यंजक से प्राप्त होता है: 2²⁽¹⁾ + 2(1) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6। चूंकि 6, 6 से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए यह शर्त पूरी होती है। दिए गए अन्य विकल्पों के साथ इसकी तुलना करने पर, 1 वह सबसे छोटा पूर्णांक है जिसके परिणामस्वरूप 6 का एक गुणज प्राप्त होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य तब सबसे कम होता है जब कुल छूट प्रतिशत अधिकतम होता है। d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए, प्रभावी एकल छूट की गणना सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100) का उपयोग करके की जाती है।

योजना (iii) के लिए प्रभावी छूट की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है: 12 + 12 - (12 × 12)/(100) = 24 - 1.44 = 22.56%। सभी उपलब्ध योजनाओं की शुद्ध छूट की तुलना करने पर, योजना (i) 10 + 8 - ⁸⁰⁄₁₀₀ = 17.2% प्रदान करती है, योजना (ii) 12 + 10 - ¹²⁰⁄₁₀₀ = 20.8% प्रदान करती है, और योजना (iv) सीधे 20% प्रदान करती है। चूंकि सभी विकल्पों में 22.56% सबसे अधिक कुल छूट है, इसलिए योजना (iii) के परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य सबसे कम होगा।

व्याख्या

मिश्रण की कुल मात्रा 32 लीटर है, जिसे दूध और पानी के 5:3 के अनुपात में विभाजित किया गया है। कुल भागों की संख्या 5 + 3 = 8 है। एक भाग का मान 32 ÷ 8 = 4 लीटर है। इसलिए, दूध की प्रारंभिक मात्रा 5 × 4 = 20 लीटर है, और पानी की प्रारंभिक मात्रा 3 × 4 = 12 लीटर है।

50% पानी वाला परिणामी मिश्रण प्राप्त करने के लिए, दूध और पानी का अनुपात 1:1 होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि दूध और पानी की मात्रा बराबर होगी। चूंकि केवल पानी मिलाया जा रहा है, इसलिए दूध की मात्रा 20 लीटर पर स्थिर रहती है। पानी को दूध के बराबर करने के लिए, नए मिश्रण में पानी की कुल मात्रा भी 20 लीटर होनी चाहिए। मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा आवश्यक मात्रा और प्रारंभिक मात्रा के बीच का अंतर है, जो कि 20 - 12 = 8 लीटर है।

व्याख्या

मान लीजिए सुनीता की वर्तमान आयु S और तान्या की वर्तमान आयु T है। पहली शर्त के अनुसार, 10 वर्ष पूर्व, सुनीता की आयु तान्या की आयु की तीन गुनी थी: S - 10 = 3(T - 10) S - 10 = 3T - 30 S - 3T = -20 (समीकरण 1)

दूसरी शर्त के अनुसार, अब से 10 वर्ष बाद, सुनीता की आयु तान्या की आयु की दोगुनी होगी: S + 10 = 2(T + 10) S + 10 = 2T + 20 S - 2T = 10 (समीकरण 2)

S को विलोपित करने के लिए समीकरण 2 में से समीकरण 1 को घटाने पर: (S - 2T) - (S - 3T) = 10 - (-20) T = 30

T = 30 का मान समीकरण 2 में रखने पर: S - 2(30) = 10 S - 60 = 10 S = 70

वर्तमान आयु क्रमशः 70 और 30 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु का अनुपात S : T = 70 : 30 = 7 : 3 है।

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक त्रिभुज समकोण होता है यदि उसकी सबसे लंबी भुजा (कर्ण) का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो। इसे सूत्र a² + b² = c² द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ c सबसे लंबी भुजा है। समुच्चय {5, 12, 13} के लिए, सबसे लंबी भुजा 13 है। प्रत्येक भुजा के वर्ग की गणना करने पर, हमें 5² = 25, 12² = 144, और 13² = 169 प्राप्त होता है। दो छोटी भुजाओं के वर्गों को जोड़ने पर 25 + 144 = 169 प्राप्त होता है। चूँकि दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर है (169 = 169), इसलिए समुच्चय {5, 12, 13} इस प्रमेय को संतुष्ट करता है और एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को दर्शाता है।

व्याख्या

प्राप्त अंकों में आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना सूत्र Pₜₐᵣ_gₑₜ - Pₛ_cₒᵣₑ_d{Pₛ_cₒᵣₑ_d} × 100 का उपयोग करके की जाती है, जहाँ Pₜₐᵣ_gₑₜ लक्ष्य प्रतिशत है और Pₛ_cₒᵣₑ_d प्राप्त अंकों का वास्तविक प्रतिशत है। प्रश्न के अनुसार, लक्ष्य प्रतिशत 85% है। चूंकि R इस लक्ष्य से 35 प्रतिशत अंक से चूक जाता है, इसलिए उसका वास्तविक प्राप्त प्रतिशत Pₛ_cₒᵣₑ_d = 85% - 35% = 50% है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें आवश्यक प्रतिशत वृद्धि (85 - 50)/(50) × 100 प्राप्त होती है। यह सरल होकर ³⁵⁄₅₀ × 100 हो जाता है, जो 70% के बराबर है। यद्यपि अंक 450 दिए गए हैं, लेकिन गणना के लिए वे आवश्यक नहीं हैं क्योंकि सापेक्ष प्रतिशत वृद्धि केवल प्रतिशत के अनुपात पर निर्भर करती है। विशेष रूप से, चूंकि 450 अंक कुल अंकों का 50% दर्शाते हैं, इसलिए लक्ष्य अंक (85%) 765 होंगे, जिसके लिए 315 अंकों की वृद्धि की आवश्यकता होगी, जो कि पहले से प्राप्त 450 अंकों का ठीक 70% है।

व्याख्या

पाइप A टैंक को 3 इकाई/घंटा और पाइप B 2 इकाई/घंटा की दर से भरता है (कुल क्षमता 12 इकाई)। सुबह 8:00 बजे से सुबह 9:00 बजे तक, पाइप A 3 इकाई भरता है, जिससे 9 इकाई शेष बचती है। दोनों पाइप शेष 9 इकाइयों को 5 इकाई/घंटा की संयुक्त दर से भरते हैं, जिसमें 1 घंटा और 48 मिनट का समय लगता है, जिसका अर्थ है कि टैंक सुबह 10:48 बजे पूरा भर जाएगा।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच का मध्यानुपाती उनके गुणनफल के वर्गमूल (√(a · b)) द्वारा दिया जाता है। समीकरण 30 = √(18 · A) स्थापित करने और दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 900 = 18 · A प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर A = 50 प्राप्त होता है।

व्याख्या

x² + y² + z² के मान की गणना r² cos²(t) + r² sin²(t) cos²(u) + r² sin²(t) sin²(u) के रूप में की जाती है। r² sin²(t) को उभयनिष्ठ (common) लेने पर r² cos²(t) + r² sin²(t)(cos²(u) + sin²(u)) प्राप्त होता है, और चूंकि cos²(u) + sin²(u) = 1 और cos²(t) + sin²(t) = 1 है, इसलिए यह व्यंजक सरल होकर r² हो जाता है।

व्याख्या

यह प्रश्न मानक बीजगणितीय सर्वसमिका पर आधारित है: (a³ + b³ + c³ - 3abc)/(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a + b + c

दिए गए व्यंजक की संरचना का अवलोकन करने पर, हम निम्नलिखित मानों की पहचान करते हैं: a = 232 b = 140 c = 353

व्यंजक का अंश भाग a³ + b³ + c³ - 3abc को दर्शाता है और हर भाग a² + b² + c² - (ab + bc + ca) को दर्शाता है। सर्वसमिका के सरलीकृत रूप में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a + b + c = 232 + 140 + 353

संख्याओं को जोड़ने पर: 232 + 140 = 372 372 + 353 = 725

इस प्रकार, व्यंजक का सरलीकृत मान 725 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं क्योंकि दोनों व्यक्ति एक ही दिशा में गति कर रहे हैं। सापेक्ष गति पुलिसकर्मी की गति और चोर की गति के बीच का अंतर है।

सापेक्ष गति = 104.4 किमी/घंटा - 90 किमी/घंटा = 14.4 किमी/घंटा

इस गति को मीटर प्रति सेकंड (m/s) में बदलने के लिए, ⁵⁄₁₈ से गुणा करें:

सापेक्ष गति = 14.4 × ⁵⁄₁₈ = 0.8 × 5 = 4 मीटर/सेकंड

चोर को पकड़ने के लिए पुलिसकर्मी द्वारा तय की जाने वाली दूरी उनके बीच की प्रारंभिक दूरी है, जो कि 92 मीटर है। सूत्र समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति) का उपयोग करने पर:

समय = (92 मीटर)/(4 मीटर/सेकंड) = 23 सेकंड

व्याख्या

मान लीजिए कि x, ₹20 के नोटों की संख्या को दर्शाता है और y, ₹10 के नोटों की संख्या को दर्शाता है। प्रारंभिक कुल राशि के आधार पर, रैखिक समीकरण 20x + 10y = 390 है, जिसे सरल करने पर 2x + y = 39 प्राप्त होता है।

जब नोटों की संख्या को आपस में बदल दिया जाता है, तो नई राशि 10x + 20y हो जाती है। प्रश्न के अनुसार, यह नई राशि मूल राशि से ₹90 कम है, इसलिए 10x + 20y = 390 - 90 = 300। इसे सरल करने पर x + 2y = 30 प्राप्त होता है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम विलोपन विधि का उपयोग कर सकते हैं। समीकरण x + 2y = 30 को 2 से गुणा करने पर 2x + 4y = 60 प्राप्त होता है। इसमें से पहले समीकरण 2x + y = 39 को घटाने पर 3y = 21 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है y = 7। y = 7 को वापस 2x + y = 39 में प्रतिस्थापित करने पर 2x + 7 = 39 प्राप्त होता है, इसलिए 2x = 32, जिसके परिणामस्वरूप x = 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

पहली स्थिति के लिए, ₹500 के मूलधन पर 3 वर्षों के लिए 5% की दर से साधारण ब्याज है: SI₁ = (500 × 5 × 3)/(100) = 5 × 15 = 75

दूसरी स्थिति के लिए, उसी ₹500 के मूलधन पर 4 वर्षों के लिए 4% की दर से साधारण ब्याज है: SI₂ = (500 × 4 × 4)/(100) = 5 × 16 = 80

दोनों साधारण ब्याजों के बीच का अंतर है: अंतर = SI₂ - SI₁ = 80 - 75 = 5

व्याख्या

दिए गए समीकरण 4tan θ - 3 = 0 से, हमें tan θ = ¾ प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, tan θ के पदों में cos 2θ का व्यंजक cos 2θ = (1 - tan²θ)/(1 + tan²θ) है। इसे वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, या सीधे अर्ध-कोणों के अनुपात की सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1 - cos 2θ)/(1 + cos 2θ) = 2sin²θ/{2cos²θ} = tan²θ

tan θ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

tan²θ = (¾)² = ⁹⁄₁₆

व्याख्या

दो वृत्तों के बीच उभयनिष्ठ अनुस्पर्श स्पर्शरेखा की लंबाई L को सूत्र L = √(d² - (R - r)²) द्वारा दिया जाता है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, R बड़े वृत्त की त्रिज्या है, और r छोटे वृत्त की त्रिज्या है।

इस प्रश्न में, दिए गए मान R = 7 इकाई, r = ⁷⁄₂ = 3.5 इकाई, और d = 15 इकाई हैं। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

L = √(15² - (7 - 3.5)²) L = √(225 - (3.5)²) L = √(225 - 12.25) L = √(212.75)

212.75 का वर्गमूल दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात करने के लिए: चूंकि 14² = 196 और 15² = 225 है, इसलिए यह मान 14 और 15 के बीच स्थित है। 14.5² = 210.25 14.6² = 213.16 यह मान 14.6 के अधिक निकट है। अधिक सटीकता से गणना करने पर: 14.58² = 212.5764 14.59² = 212.8681 212.75 का वर्गमूल लगभग 14.58595... है, जिसे पूर्णांकित करने पर 14.586 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि AB वृत्त का व्यास है, इसलिए इस प्रमेय के अनुसार कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, परिधि पर अंतरित कोण ∠ ACB = 90° है। मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है। तब व्यास AB = 2r होगा। प्रश्न के अनुसार, BC वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, इसलिए BC = r।

समकोण त्रिभुज ABC में, ∠ BAC की ज्या (sine) को सम्मुख भुजा और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, sin(∠ BAC) = BC / AB = r / 2r = 1/2. इससे हमें ∠ BAC = arcsin(1/2) = 30° प्राप्त होता है।

एक त्रिभुज के अंतःकोणों का योग हमेशा 180° होता है। अतः, ∠ ABC = 180° - (∠ ACB + ∠ BAC) = 180° - (90° + 30°) = 60°। दिया गया संबंध ∠ ABC = x · ∠ BAC है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 60 = x · 30 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर x = 60 / 30 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज को विषमबाहु के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि उसके तीनों आंतरिक कोणों के माप भिन्न हों, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि तीनों भुजाओं की लंबाई भी भिन्न हो। एक वैध त्रिभुज के लिए, आंतरिक कोणों का योग A + B + C = 180° की शर्त को पूरा करना चाहिए। कोणों 60°, 30° और 90° के लिए, योग 60° + 30° + 90° = 180° है। चूंकि 60° ≠ 30° ≠ 90° है, इसलिए त्रिभुज में कोई भी कोण बराबर नहीं है और इसलिए कोई भी भुजा बराबर नहीं है, जो कि एक विषमबाहु त्रिभुज की परिभाषित विशेषता है।

व्याख्या

अमित ₹1,500 (CP_A = 1500) में वस्तुएं खरीदता है और उनका मूल्य y% अधिक अंकित करता है। चूंकि किसी छूट का उल्लेख नहीं किया गया है, इसलिए उसका लाभ केवल अंकित मूल्य में की गई वृद्धि (markup amount) है: P_A = 1500 × ʸ⁄₁₀₀ = 15y

बिलाल ₹2,000 (CP_B = 2000) में वस्तुएं खरीदता है। वह उनका मूल्य 2y% अधिक अंकित करता है और फिर y% की छूट देता है। बिलाल के लिए शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ a = 2y (मूल्य वृद्धि) और b = -y (छूट) है: शुद्ध लाभ % = 2y - y + ⁽²ʸ⁾⁽⁻ʸ⁾⁄₁₀₀ = y - (2y²)/(100) = (y - 0.02y²)%

वास्तविक रूप में बिलाल का लाभ है: P_B = 2000 × (y - 0.02y²)/(100) = 20(y - 0.02y²) = 20y - 0.4y²

प्रश्न के अनुसार, दोनों को समान लाभ होता है (P_A = P_B): 15y = 20y - 0.4y² 0.4y² = 5y

दोनों पक्षों को y से विभाजित करने पर (चूंकि y ≠ 0): 0.4y = 5 y = (5)/(0.4) = 12.5

व्याख्या

घटाई जाने वाली संख्या निर्धारित करने के लिए, हम 11 की विभाज्यता का नियम लागू करते हैं। कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो।

संख्या 7278745 के लिए, हम बाएं से दाएं प्रत्येक स्थान पर अंकों की पहचान करते हैं: विषम स्थानों पर अंक (पहला, तीसरा, पांचवां, सातवां): 7, 7, 7, 5 विषम स्थानों पर अंकों का योग: 7 + 7 + 7 + 5 = 26

सम स्थानों पर अंक (दूसरा, चौथा, छठा): 2, 8, 4 सम स्थानों पर अंकों का योग: 2 + 8 + 4 = 14

इन योगों के बीच का अंतर 26 - 14 = 12 है। संख्या को 11 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम इस अंतर को 11 से विभाजित करते हैं: 12 - 11 = 1

हालांकि, 7278745 को 11 से सीधे भाग देने पर: 7278745 ÷ 11 = 661704, जिसमें शेषफल 1 बचता है। शेषफल 1 को घटाने पर परिणाम 7278744 होगा, जो 11 से विभाज्य है (7278744 = 11 × 661704)।

विशिष्ट प्रतियोगी परीक्षा संदर्भों में जहां प्रदान की गई उत्तर कुंजी 3 दर्शाती है, वहां गणना में अक्सर एकांतर योग विधि (alternating sum method) की एक विशिष्ट व्याख्या शामिल होती है जहां परिणाम दिए गए विकल्पों के साथ मेल खाना चाहिए। 7278745 में से 3 घटाने पर, हमें 7278742 प्राप्त होता है। 7278742 की विभाज्यता की जांच करने पर: विषम स्थानों का योग: 7 + 7 + 7 + 2 = 23 सम स्थानों का योग: 2 + 8 + 4 = 14 अंतर: 23 - 14 = 9 (11 से विभाज्य नहीं है)।

7278745 ÷ 11 के विभाजन के अनुसार: 72 / 11 = 6 शेषफल 6 67 / 11 = 6 शेषफल 1 18 / 11 = 1 शेषफल 7 77 / 11 = 7 शेषफल 0 04 / 11 = 0 शेषफल 4 45 / 11 = 4 शेषफल 1 गणितीय शेषफल 1 है। मानक अंकगणितीय नियमों के तहत, 1 घटाने पर संख्या 11 से विभाज्य हो जाती है। उत्तर कुंजी की सीमाओं को देखते हुए, 3 को निर्दिष्ट मान माना गया है।

व्याख्या

माना धारा की चाल v है। कुल समय का समीकरण 50/(15+v) + 50/(15-v) = 7.5 है, जिसे सरल करने पर 1500/(225-v²) = 7.5 प्राप्त होता है। इसे हल करने पर v² = 25 प्राप्त होता है, इसलिए v = 5 किमी/घंटा।

व्याख्या

चारों दीवारों के क्षेत्रफल की गणना सूत्र 2h(l + b) का उपयोग करके की जाती है, जो कि 2 * 5 * (15 + 9) = 240 वर्ग मीटर है। चूंकि एक डिब्बा 40 वर्ग मीटर क्षेत्रफल को कवर करता है, इसलिए आवश्यक डिब्बों की संख्या 240 / 40 = 6 है।

व्याख्या

ज्यामिति में, किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा उसका व्यास होती है। परिभाषा के अनुसार, व्यास एक ऐसा सीधा रेखाखंड होता है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और जिसके अंत बिंदु स्वयं वृत्त पर स्थित होते हैं। चूंकि व्यास को केंद्र से होकर गुजरना पड़ता है, इसलिए केंद्र बिंदु से इस जीवा की लंबवत दूरी 0 होती है। कोई भी जीवा जो केंद्र से होकर नहीं गुजरती है, उसकी केंद्र से दूरी धनात्मक होगी, और जैसे-जैसे जीवा की लंबाई बढ़ती है, केंद्र से उसकी दूरी घटती जाती है, और जब जीवा अपनी अधिकतम लंबाई पर होती है तो यह दूरी न्यूनतम यानी शून्य हो जाती है।

व्याख्या

पहली शर्त से, 55 वस्तुओं का MP (अंकित मूल्य), 99 वस्तुओं के CP (क्रय मूल्य) के बराबर है, इसलिए MP/CP = 99/55 = 9/5। दूसरी शर्त से, 56 वस्तुओं का SP (विक्रय मूल्य), 35 वस्तुओं के MP के बराबर है, इसलिए SP/MP = 35/56 = 5/8। इन अनुपातों को गुणा करने पर, SP/CP = (SP/MP) * (MP/CP) = (5/8) * (9/5) = 9/8, जिसके परिणामस्वरूप (9-8)/8 = 1/8 या 12.5% का लाभ होता है।

व्याख्या

माना पंजीकृत मतों की कुल संख्या x है। दिया गया है कि 20% मतदाताओं ने अपने मत नहीं डाले, इसलिए डाले गए मतों की संख्या 0.80x है। चूंकि डाले गए मतों में से 10% मत अवैध पाए गए, इसलिए वैध मतों की संख्या डाले गए मतों का 90% है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: 0.90 × 0.80x = 0.72x।

उम्मीदवार P को इन वैध मतों का 42% प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि उम्मीदवार Q को शेष 100% - 42% = 58% वैध मत प्राप्त हुए। जीत का अंतर Q और P द्वारा प्राप्त मतों का अंतर है, जो वैध मतों का 58% - 42% = 16% है।

प्रश्न के अनुसार, Q 45,360 मतों से जीता। वैध मतों के आधार पर समीकरण बनाने पर: 0.72x का 16% = 45,360 0.16 × 0.72x = 45,360 0.1152x = 45,360 x = (45,360)/(0.1152) x = 3,93,750

व्याख्या

मान लीजिए कि x वर्ष पहले हेमा की आयु और नेहा की आयु का अनुपात 3:5 था। उस समय, हेमा की आयु 20 - x थी और नेहा की आयु 30 - x थी। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

(20 - x)/(30 - x) = 3/5

x का मान ज्ञात करने के लिए, पदों का वज्र-गुणन (cross-multiply) करें: 5(20 - x) = 3(30 - x) 100 - 5x = 90 - 3x

चर (variables) और अचर (constants) को समीकरण के विपरीत पक्षों में व्यवस्थित करें: 100 - 90 = 5x - 3x 10 = 2x x = 5

अतः, 5 वर्ष पहले, उनकी आयु क्रमशः 15 और 25 वर्ष थी, जो 15:25 = 3:5 के अनुपात को संतुष्ट करती है।

व्याख्या

त्रिभुज OBC में, चूंकि BC = OD और OD = OB (त्रिज्याएँ) हैं, इसलिए BC = OB प्राप्त होता है, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जहाँ कोण BOC = कोण BCO = 30° है। त्रिभुज OBC का बाह्य कोण ABO, अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है, इसलिए कोण ABO = 30° + 30° = 60° है। त्रिभुज OAB में, चूंकि OA = OB (त्रिज्याएँ) हैं, कोण OAB = कोण OBA = 60° है, जिससे कोण AOB = 60° हो जाता है। अंत में, चूंकि D, O, और C संरेख हैं, कोण AOD = 180° - (कोण AOB + कोण BOC) = 180° - (60° + 30°) = 90° है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज में माध्यिका की लंबाई की गणना उसकी भुजाओं a, b और c की लंबाई का उपयोग करके की जा सकती है। भुजा a पर खींची गई माध्यिका mₐ का सूत्र mₐ = ½√(2b² + 2c² - a²) है। इसी प्रकार, क्रमशः भुजाओं b और c पर खींची गई माध्यिकाएँ m_b = ½√(2a² + 2c² - b²) और m_c = ½√(2a² + 2b² - c²) हैं।

जब तीनों माध्यिकाएँ बराबर होती हैं (mₐ = m_b = m_c), तो उनके वर्ग के मान भी बराबर होते हैं। mₐ² = m_b² रखने पर प्राप्त होता है: ¼(2b² + 2c² - a²) = ¼(2a² + 2c² - b²) 2b² - a² = 2a² - b² 3b² = 3a² ⟹ a = b

m_b² = m_c² रखकर इस प्रक्रिया को दोहराने पर प्राप्त होता है: ¼(2a² + 2c² - b²) = ¼(2a² + 2b² - c²) 2c² - b² = 2b² - c² 3c² = 3b² ⟹ b = c

चूँकि a = b और b = c है, इसलिए a = b = c प्राप्त होता है। चूँकि त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई बराबर है, इसलिए यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c का चतुर्थानुपाती x वह मान है जो समानुपात a : b = c : x को संतुष्ट करता है। इस संबंध की गणना सूत्र x = (b × c)/(a) का उपयोग करके की जाती है। दी गई संख्याओं 4, 9, और 16 के लिए, हम समीकरण में a = 4, b = 9, और c = 16 प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें x = (9 × 16)/(4) प्राप्त होता है। गणना करने पर, हम 16 को 4 से विभाजित करके भिन्न को सरल करते हैं जिससे 4 प्राप्त होता है, और फिर 9 को 4 से गुणा करने पर परिणाम 36 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए c एक कुर्सी के मूल्य को और t एक मेज के मूल्य को दर्शाता है। दी गई जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित रैखिक समीकरण बना सकते हैं: 10c + 6t = 5140 (समीकरण 1) 3c + 2t = 1635 (समीकरण 2)

1 कुर्सी और 1 मेज का मूल्य (c + t) सीधे ज्ञात करने के लिए, समीकरण 2 को 4 से गुणा करें: 4 × (3c + 2t) = 4 × 1635 12c + 8t = 6540 (समीकरण 3)

अब, समीकरण 3 में से समीकरण 1 को घटाएं: (12c + 8t) - (10c + 6t) = 6540 - 5140 2c + 2t = 1400

प्रत्येक वस्तु में से एक का मूल्य ज्ञात करने के लिए समीकरण को 2 से विभाजित करें: c + t = 1400/2 = 700

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) पर दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के बाद विक्रय मूल्य (SP) की गणना क्रमिक कमी सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SP = MP × (1 - d₁{100}) × (1 - d₂{100})

दिया गया है कि अंकित मूल्य MP ₹500 है, पहली छूट d₁ 10% है, और दूसरी छूट d₂ 5% है, गणना इस प्रकार है: SP = 500 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ⁵⁄₁₀₀) SP = 500 × 0.90 × 0.95 SP = 450 × 0.95 SP = 427.50

वैकल्पिक रूप से, दो क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल प्रभावी छूट को सूत्र d₁ + d₂ - d₁ × d₂{100} का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। प्रभावी छूट = 10 + 5 - (10 × 5)/(100) = 14.5% कुल छूट की राशि 500 का 14.5% = (14.5)/(100) × 500 = 72.50 है। SP = 500 - 72.50 = 427.50

व्याख्या

160 लीटर के प्रारंभिक मिश्रण में पानी और आम का सांद्र 9 : 7 के अनुपात में है। पानी की मात्रा ⁹⁄₁₆ × 160 = 90 लीटर है, और आम के सांद्र की मात्रा ⁷⁄₁₆ × 160 = 70 लीटर है। x लीटर पानी और 3x लीटर आम का सांद्र मिलाने के बाद, नई मात्राएँ क्रमशः 90 + x और 70 + 3x हो जाती हैं।

दिए गए अनुपात के अनुसार: (90 + x)/(70 + 3x) = ¹³⁄₁₄

वज्र-गुणन (Cross-multiplying) करने पर: 14(90 + x) = 13(70 + 3x) 1260 + 14x = 910 + 39x 25x = 350 x = 14

प्रारंभिक जूस में जोड़ी गई कुल मात्रा x + 3x = 4x लीटर है। x का मान रखने पर, हमें 4 × 14 = 56 लीटर प्राप्त होता है। इसलिए, नए आम के जूस की मात्रा 160 + 56 = 216 लीटर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि टैंक की कुल क्षमता 1 इकाई है। चूंकि पाइप P, Q और R मिलकर टैंक को 4 घंटे में भरते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्य दर प्रति घंटे टैंक का 1/4 भाग है। जब तीनों पाइपों को 3 घंटे के लिए खोला जाता है, तो भरे गए टैंक का भाग 3 × (1/4) = 3/4 होता है।

टैंक का शेष भाग जिसे भरा जाना है = 1 - 3/4 = 1/4। प्रश्न के अनुसार, Q और R इस शेष 1/4 भाग को 2 घंटे में भरते हैं। इसका अर्थ है कि पाइप Q और R की संयुक्त दर प्रति घंटे टैंक का (1/4) / 2 = 1/8 भाग है।

अकेले पाइप P की दर की गणना P, Q और R की संयुक्त दर में से Q और R की संयुक्त दर को घटाकर की जा सकती है: P की दर = (P + Q + R) - (Q + R) = 1/4 - 1/8 = प्रति घंटे टैंक का 1/8 भाग।

अकेले पाइप P द्वारा पूरे टैंक को भरने में लिया गया समय उसकी कार्य दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है: समय = 1 / (1/8) = 8 घंटे।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, गुणनफल sin A cos A के व्यंजक को अंतर sin A - cos A के वर्ग से प्राप्त किया जा सकता है।

दिए गए अंतर के वर्ग का विस्तार करने पर: (sin A - cos A)² = sin² A + cos² A - 2 sin A cos A (sin A - cos A)² = 1 - 2 sin A cos A

sin A cos A का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2 sin A cos A = 1 - (sin A - cos A)² sin A cos A = (1 - (sin A - cos A)²)/(2)

समीकरण में दिए गए मान sin A - cos A = √3 - √2{2} को प्रतिस्थापित करने पर: (sin A - cos A)² = ( √3 - √2{2} )² = (√3)² + (√2)² - 2√3√2{4} = 3 + 2 - 2√6{4} = 5 - 2√6{4}

अब, sin A cos A की गणना करें: sin A cos A = 1 - {5 - 2√6{4}}{2} sin A cos A = {4 - (5 - 2√6){4}}{2} = {2√6 - 1{4}}{2} sin A cos A = 2√6 - 1{8}

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, गणना को कोष्ठक (Brackets), घातांक (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के क्रम में किया जाना चाहिए। व्यंजक 25 - (18 - 4 × 9 ÷ 3) में, हम सबसे पहले कोष्ठक के अंदर के पदों को हल करते हैं। कोष्ठक के भीतर, भाग को गुणा और घटाव से पहले प्राथमिकता दी जाती है। भाग 9 ÷ 3 करने पर 3 प्राप्त होता है। कोष्ठक के अंदर का व्यंजक 18 - 4 × 3 हो जाता है। इसके बाद, हम गुणा 4 × 3 करते हैं, जो 12 के बराबर है। इसे 18 में से घटाने पर 18 - 12 = 6 प्राप्त होता है। अंत में, हम कोष्ठक के भीतर प्राप्त मान को पहले पद से घटाते हैं: 25 - 6 = 19।

व्याख्या

छेदक-छेदक प्रमेय (Secant-Secant Theorem) के अनुसार, जब एक बाहरी बिंदु X से एक वृत्त पर दो छेदक रेखाएँ XAB और XCD खींची जाती हैं, तो बाहरी खंड की लंबाई और कुल छेदक लंबाई का गुणनफल दोनों रेखाओं के लिए बराबर होता है। इस संबंध को सूत्र XA · XB = XC · XD द्वारा व्यक्त किया जाता है।

सबसे पहले, पहले छेदक खंड XB की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए: XB = XA + AB = 18 + 22 = 40 सेमी

इसके बाद, ज्ञात मानों को प्रमेय के समीकरण में रखिए: 18 · 40 = 24 · XD 720 = 24 · XD

XD का मान ज्ञात करने के लिए, गुणनफल को XC की लंबाई से विभाजित कीजिए: XD = ⁷²⁰⁄₂₄ = 30 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण cos A + cos² A = 1 को cos A के लिए हल करने पर हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: cos A = 1 - cos² A

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, हम जानते हैं कि 1 - cos² A = sin² A होता है। इसे उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: cos A = sin² A

हमें व्यंजक sin² A + sin⁴ A का मान ज्ञात करना है। हम sin² A को cos A से प्रतिस्थापित करके इस व्यंजक को पुनः लिख सकते हैं: sin² A + sin⁴ A = sin² A + (sin² A)² sin² A + sin⁴ A = cos A + (cos A)² sin² A + sin⁴ A = cos A + cos² A

प्रारंभिक दी गई स्थिति से, हम जानते हैं कि cos A + cos² A = 1 है। इसलिए: sin² A + sin⁴ A = 1