एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सर्वसमिका tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B) का उपयोग करने पर, और A = 72 तथा B = 27 रखने पर, हमें tan(72 - 27) = tan 45 = 1 प्राप्त होता है। इससे समीकरण tan 72 - tan 27 = 1 + tan 72 tan 27 प्राप्त होता है, और इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर tan 72 - tan 27 - tan 72 tan 27 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, दोनों दिए गए अनुपातों में पद B समान होना चाहिए। A:B (6:8) को 5 से गुणा करने पर 30:40 प्राप्त होता है, और B:C (5:11) को 8 से गुणा करने पर 40:88 प्राप्त होता है। इन्हें संयोजित करने पर 30:40:88 प्राप्त होता है, जिसे 2 से विभाजित करने पर यह सरल होकर 15:20:44 हो जाता है।

व्याख्या

परिधि C और व्यास d का अनुपात (C)/(d) = 3/5 दिया गया है। यह दिया गया है कि परिधि C = 6 सेमी है, व्यास ज्ञात करने के लिए हम इस मान को अनुपात में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: (6)/(d) = 3/5। तिर्यक गुणन करने पर, हमें 3d = 30 प्राप्त होता है, जो सरल होकर d = 10 सेमी हो जाता है। किसी वृत्त की त्रिज्या r को उसके व्यास के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए r = d/2 = 10/2 = 5 सेमी।

व्याख्या

2021 में रमेश की आय, व्यय और बचत का अनुपात उनके संबंधित मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है: ₹18,600, ₹12,400, और अंतर ₹6,200 (18,600 - 12,400)। इन्हें 6,200 से विभाजित करने पर आय : व्यय : बचत का अनुपात 3:2:1 प्राप्त होता है।

आय के घटकों के लिए भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करने पर, जहाँ आय में प्रतिशत वृद्धि, व्यय और बचत में प्रतिशत वृद्धि का भारित औसत है:

आय में % वृद्धि = ((व्यय अनुपात × व्यय में % वृद्धि) + (बचत अनुपात × बचत में % वृद्धि))/(व्यय अनुपात + बचत अनुपात)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ x बचत में प्रतिशत वृद्धि है:

15 = ((2 × 8) + (1 × x))/(2 + 1)

15 = (16 + x)/(3)

45 = 16 + x

x = 45 - 16 = 29

व्याख्या

पूरी कक्षा का औसत अंक दोनों समूहों के भारित औसत की गणना करके ज्ञात किया जाता है। पहले समूह में 12 छात्र हैं जिनका औसत अंक 60 है, जिससे कुल अंक 12 × 60 = 720 प्राप्त होता है। शेष कक्षा में 30 - 12 = 18 छात्र हैं। 80 के औसत अंक के साथ, उनका कुल अंक 18 × 80 = 1440 है।

कक्षा का औसत ज्ञात करने के लिए, दोनों समूहों के कुल अंकों को जोड़ें और छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करें: औसत = (720 + 1440)/(30) = ²¹⁶⁰⁄₃₀ = 72

अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, दोनों समूहों में छात्रों की संख्या का अनुपात 12:18 है, जो सरल होकर 2:3 हो जाता है। भारित औसत (2(60) + 3(80))/(2 + 3) = (120 + 240)/(5) = ³⁶⁰⁄₅ = 72 है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a+b)² = a² + b² + 2ab और (a-b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके, हम a+b और a-b के मान ज्ञात कर सकते हैं।

सबसे पहले, (a+b)² की गणना करें: (a+b)² = 148 + 2(54) = 148 + 108 = 256 वर्गमूल लेने पर, a+b = √(256) = 16।

इसके बाद, (a-b)² की गणना करें: (a-b)² = 148 - 2(54) = 148 - 108 = 40 वर्गमूल लेने पर, a-b = √(40) = √(4 × 10) = 2√(10)।

अब, अनुपात ज्ञात करें: (a+b)/(a-b) = (16)/(2√(10)) = (8)/(√(10))

व्याख्या

तीन दिनों में प्रिंटर P1 द्वारा प्रिंट किए गए पृष्ठों की कुल संख्या की गणना 200 + 150 + 225 = 575 के रूप में की जाती है। इसी अवधि के दौरान प्रिंटर P2 द्वारा प्रिंट किए गए पृष्ठों की कुल संख्या की गणना 250 + 300 + 210 = 760 के रूप में की जाती है। दोनों प्रिंटरों के कुल आउटपुट के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, P2 के कुल योग में से P1 के कुल योग को घटाएं: 760 - 575 = 185।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं का क्रम कोष्ठक (Bracket), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) है। दिए गए समीकरण 9 × N का 4 ÷ 4 - 15 × 4 = 12 में, पद 'N का 4' की गणना पहले 4N के रूप में की जाती है।

इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है: 9 × 4N ÷ 4 - 15 × 4 = 12

नियम का पालन करते हुए, इसके बाद भाग किया जाता है: 4N ÷ 4 = N

इससे समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 9 × N - 15 × 4 = 12

इसके बाद, गुणा करें: 9N - 60 = 12

N का मान ज्ञात करने के लिए, अचर (constant) को दूसरी ओर ले जाएं: 9N = 12 + 60 9N = 72 N = ⁷²⁄₉ N = 8

व्याख्या

ज्यामिति में मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसकी लंबाई के आधे के बराबर होता है। Δ PQR में, चूंकि S और T क्रमशः भुजाओं PQ और PR के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए रेखाखंड ST की लंबाई की गणना संबंध ST = ½ QR का उपयोग करके की जाती है। QR = 12 सेमी का दिया गया मान रखने पर, ST की लंबाई = ½ × 12 = 6 सेमी।

व्याख्या

व्यंजक 3sin 15° - 4sin³15° साइन (sine) के त्रि-कोण सर्वसमिका (triple angle identity) के मानक रूप में है। त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, किसी कोण के तिगुने का साइन (sine) इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

sin 3θ = 3sin θ - 4sin³ θ

इस सर्वसमिका में θ = 15° प्रतिस्थापित करने पर, दिया गया व्यंजक सीधे उस कोण के तीन गुना के साइन (sine) के रूप में सरल हो जाता है:

3sin 15° - 4sin³ 15° = sin(3 × 15°)

फलन के भीतर के मान की गणना करने पर:

3 × 15° = 45°

इस प्रकार, व्यंजक sin 45° हो जाता है। सामान्य कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों के आधार पर, sin 45° का मान 1/√2 है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य (CP) के आधार पर की जाती है। यह देखते हुए कि लाभ विक्रय मूल्य (SP) का ⅕ है, हम सूत्र CP = SP - लाभ (Gain) का उपयोग करके CP और SP के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। यदि हम मानते हैं कि SP = 5 इकाई है, तो लाभ ⅕ × 5 = 1 इकाई है। इसलिए, क्रय मूल्य 5 - 1 = 4 इकाई है। लाभ प्रतिशत सूत्र लाभ % = ((लाभ)/(CP)) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें लाभ % = (¼) × 100 = 25% प्राप्त होता है।

प्रश्न में दिए गए विशिष्ट मानों का उपयोग करने पर, विक्रय मूल्य 40620 है। लाभ की गणना ⁴⁰⁶²⁰⁄₅ = 8124 के रूप में की जाती है। क्रय मूल्य विक्रय मूल्य और लाभ के बीच का अंतर है, जो कि 40620 - 8124 = 32496 है। लाभ प्रतिशत सूत्र लागू करने पर, लाभ % = (⁸¹²⁴⁄₃₂₄₉₆) × 100। चूंकि 32496 ठीक 8124 का 4 गुना है, इसलिए भिन्न सरल होकर ¼ हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 25% का लाभ होता है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के समतुल्य एकल छूट की गणना मूल अंकित मूल्य के प्रतिशत के रूप में अंतिम विक्रय मूल्य निर्धारित करके की जा सकती है। यदि अंकित मूल्य को 100 माना जाए, तो 15%, 20% और 5% की क्रमिक छूट क्रमिक रूप से लागू की जाती है।

15% की पहली छूट के बाद मूल्य है: 100 × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) = 100 × 0.85 = 85

20% की दूसरी छूट के बाद मूल्य है: 85 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) = 85 × 0.80 = 68

5% की तीसरी छूट के बाद मूल्य है: 68 × (1 - ⁵⁄₁₀₀) = 68 × 0.95 = 64.6

कुल छूट प्रारंभिक अंकित मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है: 100 - 64.6 = 35.4

वैकल्पिक रूप से, शुद्ध गुणक (net multiplier) के सूत्र का उपयोग करते हुए, प्रभावी मूल्य कारक 0.85 × 0.80 × 0.95 = 0.646 है। समतुल्य एकल छूट (1 - 0.646) × 100 = 35.4% है।

व्याख्या

2004 से 2006 तक साइकिल B1 की कुल बिक्री की गणना वार्षिक बिक्री को जोड़कर की जाती है: 195 + 230 + 250 = 675 लाख। इसी अवधि के लिए साइकिल B2 की कुल बिक्री की गणना उसकी वार्षिक बिक्री को जोड़कर की जाती है: 284 + 300 + 416 = 1000 लाख।

B1 की कुल बिक्री का B2 की कुल बिक्री से अनुपात है: अनुपात = (कुल B1)/(कुल B2) = ⁶⁷⁵⁄₁₀₀₀

इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 25 से विभाजित करें: 675 ÷ 25 = 27 1000 ÷ 25 = 40

सरलीकृत अनुपात 27:40 है।

व्याख्या

टंकी को भरने की शुद्ध दर, भरने वाले नल की दर और खाली करने वाले नल की दर के बीच का अंतर है। माना भरने वाले नल द्वारा लिया गया समय T_fᵢₗₗ = 10 मिनट है और खाली करने वाले नल द्वारा लिया गया समय Tₑₘₚₜ_y = 12 मिनट है। प्रति मिनट संयुक्त दर R है:

R = (1)/(T_fᵢₗₗ₎ - (1)/(Tₑₘₚₜ_y₎ = ⅒ - ¹⁄₁₂

इन भिन्नों को घटाने के लिए, 10 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 60 है:

R = ⁶⁄₆₀ - ⁵⁄₆₀ = ¹⁄₆₀

टंकी को भरने के लिए आवश्यक समय शुद्ध दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है, जो कि 60 मिनट है। चूंकि प्रश्न में समय घंटों में पूछा गया है, इसलिए हम मिनटों को 60 से विभाजित करते हैं:

घंटों में समय = ⁶⁰⁄₆₀ = 1 घंटा

व्याख्या

2016-2018 की अवधि के दौरान कंपनी A और कंपनी C के औसत उत्पादन में अंतर ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इन तीन वर्षों में प्रत्येक कंपनी के कुल उत्पादन की गणना करते हैं।

2016-2018 के दौरान कंपनी A का कुल उत्पादन है: 38,000 + 41,000 + 53,000 = 132,000 लाख

कंपनी A का औसत उत्पादन है: (132,000)/(3) = 44,000 लाख

2016-2018 के दौरान कंपनी C का कुल उत्पादन है: 51,000 + 57,000 + 63,000 = 171,000 लाख

कंपनी C का औसत उत्पादन है: (171,000)/(3) = 57,000 लाख

A और C के औसत उत्पादन में अंतर है: |57,000 - 44,000| = 13,000 लाख

वैकल्पिक रूप से, औसत के गुण का उपयोग करते हुए, औसतों में अंतर प्रत्येक वर्ष के अंतर का औसत होता है: ((51,000 - 38,000) + (57,000 - 41,000) + (63,000 - 53,000))/(3) (13,000 + 16,000 + 10,000)/(3) = (39,000)/(3) = 13,000 लाख

व्याख्या

₹447 में 15 सेब और 12 संतरों की प्रारंभिक खरीद को रैखिक समीकरण 15A + 12O = 447 द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस पूरे समीकरण को 3 से विभाजित करने पर यह संबंध सरल होकर 5A + 4O = 149 हो जाता है, जो 5 सेब और 4 संतरों की लागत को दर्शाता है।

एक असंगत कथन वह होता है जहाँ वस्तुओं के समान संयोजन के परिणामस्वरूप एक अलग कुल मूल्य प्राप्त होता है, जिससे चर A और O के लिए कोई संभावित समाधान नहीं निकलता है। विकल्प D में, ₹1,029 में 35 सेब और 28 संतरों की खरीद को 35A + 28O = 1,029 के रूप में लिखा जा सकता है। इस समीकरण को इसके उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 से विभाजित करने पर 5A + 4O = 147 प्राप्त होता है।

यह एक विरोधाभास पैदा करता है क्योंकि 5 सेब और 4 संतरों के समान सेट की कीमत एक साथ ₹149 और ₹147 दोनों नहीं हो सकती है। चूँकि समीकरण निकाय 5A + 4O = 149 और 5A + 4O = 147 में दो समानांतर रेखाएँ शामिल हैं जो कभी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं, इसलिए फलों की ऐसी कोई संभावित कीमत नहीं है जो दोनों शर्तों को पूरा करती हो।

व्याख्या

Δ TPQ में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ PTQ = 27° और ∠ TPQ = 55° है, इसलिए कोण ∠ TQP = 180° - (27° + 55°) = 98°। चूंकि TQR एक सीधी रेखा है, इसलिए संपूरक कोण ∠ PQR = 180° - 98° = 82°।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्श रेखा TP और जीवा PQ के बीच का कोण, उस जीवा द्वारा एकांतर वृत्तखंड में अंतरित कोण के बराबर होता है। इसलिए, ∠ PRQ = ∠ TPQ = 55°।

Δ PQR में, कोणों का योग 180° होता है। इस प्रकार, ∠ QPR = 180° - (∠ PQR + ∠ PRQ) = 180° - (82° + 55°) = 180° - 137° = 43°।

किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। यहाँ, चाप QR परिधि पर ∠ QPR और केंद्र पर ∠ ROQ अंतरित करता है। परिणामस्वरूप, ∠ ROQ = 2 × ∠ QPR = 2 × 43° = 86°।

व्याख्या

एक कुआँ बेलनाकार आकार का होता है, इसलिए बाहर निकाली गई मिट्टी का आयतन बेलन के आयतन के बराबर होता है। एक बेलन का आयतन V, सूत्र V = π r² h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h गहराई है। दिया गया है r = 14 सेमी और h = 23 सेमी, आयतन V = ²²⁄₇ × 14 × 14 × 23 है। गणना को सरल करने पर, हमें V = 22 × 2 × 14 × 23 प्राप्त होता है, जो 44 × 14 × 23 के बराबर है। इन मानों का गुणा करने पर, 616 × 23 से 14168 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दूसरे वर्ष के अंत में देय कुल राशि में शेष मूलधन और दो वर्ष की अवधि में अर्जित कुल साधारण ब्याज शामिल है। पहले वर्ष में, ब्याज I₁ की गणना प्रारंभिक मूलधन P₁ = 335180 पर 13% की दर से की जाती है: I₁ = 335180 × 0.13 = 43573.4

पहले वर्ष के अंत में, मूलधन के रूप में 23060 का पुनर्भुगतान किया जाता है। दूसरे वर्ष के लिए बकाया मूलधन P₂ है: P₂ = 335180 - 23060 = 312120

दूसरे वर्ष के लिए ब्याज I₂ की गणना इस घटे हुए मूलधन पर की जाती है: I₂ = 312120 × 0.13 = 40575.6

प्रणव दूसरे वर्ष के अंत में सभी बकाये का भुगतान करता है, जिसमें शेष मूलधन P₂, पहले वर्ष का ब्याज I₁, और दूसरे वर्ष का ब्याज I₂ शामिल है। कुल भुगतान है: कुल भुगतान = P₂ + I₁ + I₂ कुल भुगतान = 312120 + 43573.4 + 40575.6 कुल भुगतान = 312120 + 84149 = 396269

व्याख्या

सीमा के संबंध में प्रिया की सापेक्ष गति उनकी दरों का अंतर है क्योंकि वे एक ही दिशा में आगे बढ़ रही हैं। माना सीमा की गति Vₛ = 3 चक्कर/घंटा और प्रिया की गति Vₚ = 8 चक्कर/घंटा है। सापेक्ष गति Vᵣₑₗ = Vₚ - Vₛ = 8 - 3 = 5 चक्कर/घंटा है। एक वृत्ताकार पथ पर, एक ही बिंदु से एक ही दिशा में शुरू करने वाले दो व्यक्ति पहली बार तब मिलेंगे जब तेज़ चलने वाला व्यक्ति धीमे चलने वाले व्यक्ति की तुलना में ठीक एक पूरा चक्कर अधिक तय कर लेगा। इसके लिए लगने वाला समय T सूत्र T = (दूरी)/(सापेक्ष गति) = ⅕ घंटा द्वारा दिया गया है। इसे मिनटों में बदलने के लिए, T = ⅕ × 60 = 12 मिनट। रात 11:54 बजे (11:54 p.m.) से शुरू करते हुए, 12 मिनट जोड़ने की गणना इस प्रकार की जाती है: 11:54 p.m. + 6 मिनट = 12:00 a.m. (मध्यरात्रि), और शेष 6 मिनट जोड़ने पर परिणाम 12:06 a.m. होता है।

व्याख्या

कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। संख्या 438750, 2 से विभाज्यता के नियम को संतुष्ट करती है क्योंकि इसका इकाई का अंक 0 है, जो कि एक सम संख्या है। 3 से विभाज्यता के लिए, अंकों का योग 3 का गुणज होना चाहिए। 438750 के अंकों का योग 4 + 3 + 8 + 7 + 5 + 0 = 27 है। चूंकि 27, 3 से विभाज्य है, इसलिए यह संख्या स्वयं भी 3 से विभाज्य है। चूंकि 438750, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, इसलिए यह 6 से विभाज्य है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करके, हम इसे (secθ - tanθ)(secθ + tanθ) = 1 के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं। चूंकि secθ + tanθ = x दिया गया है, इसलिए secθ - tanθ = 1/x होगा।

व्यक्तिगत त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन दोनों समीकरणों को जोड़ते और घटाते हैं: समीकरणों को जोड़ने पर 2secθ = x + 1/x = (x² + 1)/(x) प्राप्त होता है, जिससे secθ = (x² + 1)/(2x) प्राप्त होता है। पहले समीकरण में से दूसरे को घटाने पर 2tanθ = x - 1/x = (x² - 1)/(x) प्राप्त होता है, जिससे tanθ = (x² - 1)/(2x) प्राप्त होता है।

sin फलन को tan और sec के पदों में sinθ = (tanθ)/(secθ) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर: sinθ = {(x² - 1)/(2x)} / {(x² + 1)/(2x)} = (x² - 1)/(x² + 1)।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि कितने स्कूलों की सत्र शुल्क से होने वाली आय, दान से होने वाली आय के तीन गुना से कम है, हम दिए गए आंकड़ों का उपयोग करके प्रत्येक स्कूल के लिए व्यक्तिगत रूप से 'सत्र शुल्क < 3 × दान' की स्थिति की जांच करते हैं।

स्कूल X के लिए, सत्र शुल्क 43 है और दान 14 है। 3 × 14 = 42 की गणना करने पर, हम पाते हैं कि 43 > 42 है, इसलिए यह इस स्थिति को पूरा नहीं करता है। स्कूल Y के लिए, सत्र शुल्क 56 है और दान 17 है। 3 × 17 = 51 की गणना करने पर, हम पाते हैं कि 56 > 51 है, जो इस स्थिति को पूरा नहीं करता है। स्कूल Z के लिए, सत्र शुल्क 39 है और दान 14 है। चूंकि 3 × 14 = 42 और 39 < 42 है, इसलिए यह स्कूल इस स्थिति को पूरा करता है। स्कूल U के लिए, सत्र शुल्क 89 है और दान 50 है। चूंकि 3 × 50 = 150 और 89 < 150 है, इसलिए यह स्कूल इस स्थिति को पूरा करता है। स्कूल V के लिए, सत्र शुल्क 59 है और दान 19 है। चूंकि 3 × 19 = 57 और 59 > 57 है, इसलिए यह इस स्थिति को पूरा नहीं करता है।

सभी स्कूलों का मूल्यांकन करने पर, हम पाते हैं कि केवल स्कूल Z और U ही इस मानदंड को पूरा करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप कुल 2 स्कूल हैं।

व्याख्या

दोनों वर्षों के बीच स्कूल 4 में छात्रों की संख्या में अंतर ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए प्रतिशत और कुल संख्या के आधार पर प्रत्येक वर्ष के लिए छात्रों की व्यक्तिगत संख्या की गणना करते हैं।

वर्ष 2021 के लिए, स्कूल 4 में छात्रों की संख्या 16,000 का 23% है। N₂₀₂₁ = ²³⁄₁₀₀ × 16,000 = 23 × 160 = 3,680

वर्ष 2022 के लिए, स्कूल 4 में छात्रों की संख्या 18,000 का 22% है। N₂₀₂₂ = ²²⁄₁₀₀ × 18,000 = 22 × 180 = 3,960

2021 की तुलना में 2022 में स्कूल 4 में छात्रों की संख्या में अंतर दोनों मानों का घटाव है। अंतर = 3,960 - 3,680 = 280

व्याख्या

कोण योग गुण (Angle Sum Property) के अनुसार यूक्लिडीय ज्यामिति (Euclidean geometry) में किसी भी त्रिभुज के अंतः कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यह पुष्टि करता है कि कथन (a) सत्य है। इसके अतिरिक्त, कथन (c) सत्य है क्योंकि अधिक कोण को 90° से अधिक के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि किसी त्रिभुज में दो अधिक कोण होते हैं, तो केवल उन दोनों कोणों का योग ही 180° से अधिक हो जाएगा, जो कि असंभव है क्योंकि तीनों कोणों का योग ठीक 180° होना चाहिए। इसलिए, एक त्रिभुज में अधिकतम एक अधिक कोण हो सकता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि धीमे पाइप की कार्यक्षमता x इकाई प्रति मिनट है। चूंकि तेज पाइप टैंक को चार गुना तेजी से भरता है, इसलिए इसकी कार्यक्षमता 4x इकाई प्रति मिनट होगी।

जब दोनों पाइप एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता x + 4x = 5x इकाई प्रति मिनट होती है। टैंक की कुल क्षमता की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: कुल कार्य = संयुक्त कार्यक्षमता × कुल समय कुल कार्य = 5x × 48 = 240x इकाई

धीमे पाइप द्वारा अकेले टैंक को भरने के लिए आवश्यक समय कुल क्षमता को उसकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: समय = कुल कार्य / धीमे पाइप की कार्यक्षमता समय = 240x / x = 240 मिनट

व्याख्या

माना अज्ञात संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या के पांचवें भाग में 5 जोड़ने पर प्राप्त मान, उसके तीसरे भाग में से 7 घटाने पर प्राप्त मान के बराबर है। हम इस संबंध को निम्नलिखित रैखिक समीकरण द्वारा निरूपित कर सकते हैं:

ˣ⁄₅ + 5 = ˣ⁄₃ - 7

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले अचर पदों (constants) को एक तरफ और x वाले पदों को दूसरी तरफ ले जाते हैं:

5 + 7 = ˣ⁄₃ - ˣ⁄₅

12 = (5x - 3x)/(15)

12 = ²ˣ⁄₁₅

समीकरण के दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

180 = 2x

x = 90

प्रश्न में संख्या का आधा भाग ज्ञात करने के लिए कहा गया है। इसलिए, हम x के मान को 2 से विभाजित करते हैं:

ˣ⁄₂ = ⁹⁰⁄₂ = 45

व्याख्या

एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र TSA = CSA + π r² है।

दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल CSA = 550 सेमी² और त्रिज्या r = 7 सेमी है, सबसे पहले हम आधार के क्षेत्रफल की गणना करते हैं: आधार का क्षेत्रफल = π r² = ²²⁄₇ × 7 × 7 = 154 सेमी²।

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल को जोड़कर, हम कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं: TSA = 550 + 154 = 704 सेमी²।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक कमियों के शुद्ध समतुल्य प्रतिशत की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। x = 25 और y = 25 प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध कमी प्रतिशत = 25 + 25 - (25 × 25)/(100) = 50 - 6.25 = 43.75%

x% और y% की दो क्रमिक वृद्धियों के शुद्ध समतुल्य प्रतिशत की गणना सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। x = 25 और y = 25 प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध वृद्धि प्रतिशत = 25 + 25 + (25 × 25)/(100) = 50 + 6.25 = 56.25%

यह ज्ञात करने के लिए कि शुद्ध कमी, शुद्ध वृद्धि से कितने प्रतिशत कम है, तुलना सूत्र (उच्चतर मान - निम्नतर मान)/(उच्चतर मान) × 100 का उपयोग करें: अभीष्ट प्रतिशत = (56.25 - 43.75)/(56.25) × 100 अभीष्ट प्रतिशत = (12.5)/(56.25) × 100

अंश और हर दोनों को 6.25 से विभाजित करने पर भिन्न सरल हो जाती है: (12.5)/(56.25) = ²⁄₉ ²⁄₉ × 100 = 22.222...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, परिणाम 22.22% प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, cos θ = sin(90° - θ) का उपयोग करके, दिए गए समीकरण sin(48° + k) = cos 13° को दोनों पक्षों को साइन (sine) फलन के रूप में व्यक्त करने के लिए फिर से लिखा जा सकता है। θ = 13° प्रतिस्थापित करने पर cos 13° = sin(90° - 13°) = sin 77° प्राप्त होता है।

समीकरण sin(48° + k) = sin 77° बन जाता है। चूँकि (48° + k) को एक न्यूनकोण (0° और 90° के बीच का कोण) के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, हम साइन फलनों के कोणों (arguments) की सीधे तुलना कर सकते हैं। इससे रैखिक समीकरण 48° + k = 77° प्राप्त होता है। 77° में से 48° घटाकर k के लिए हल करने पर k = 29° प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के अंतःकोणों का योग हमेशा 180° होता है। कोणों का अनुपात 7:8:3 दिया गया है, इसलिए कोणों को 7x, 8x और 3x के रूप में दर्शाया जा सकता है। कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर:

7x + 8x + 3x = 180° 18x = 180° x = 10°

सबसे बड़ा कोण अनुपात के सबसे बड़े भाग के संगत होता है, जो कि 8x है। x का मान रखने पर 8 × 10° = 80° प्राप्त होता है।

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + cot²θ = csc²θ और 1 + tan²θ = sec²θ का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

(5)/(1 + cot²θ) + (3)/(1 + tan²θ) + 2cos²θ

= (5)/(csc²θ) + (3)/(sec²θ) + 2cos²θ

चूंकि (1)/(csc²θ) = sin²θ और (1)/(sec²θ) = cos²θ, हम इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

= 5sin²θ + 3cos²θ + 2cos²θ

cos²θ वाले पदों को संयोजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

= 5sin²θ + 5cos²θ

उभयनिष्ठ स्थिरांक 5 को बाहर निकालने पर:

= 5(sin²θ + cos²θ)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 लागू करने पर:

= 5(1) = 5

व्याख्या

किसी भी दिए गए वर्ष के लिए कुल निर्यात की गणना कंपनियों P, Q और R के निर्यात मूल्यों को जोड़कर की जाती है। वर्ष 2018 के लिए, कुल निर्यात 4000 + 3000 + 2000 = 9000 है। वर्ष 2020 के लिए, कुल निर्यात 3000 + 3000 + 3000 = 9000 है। दोनों वर्षों में कुल निर्यात मूल्य समान रूप से 9000 इकाइयाँ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कुर्सियों की संख्या C है और लोगों की संख्या P है। पहली शर्त के आधार पर, जब प्रत्येक कुर्सी पर एक व्यक्ति बैठता है और एक व्यक्ति खड़ा रहता है, तो संबंध P = C + 1 होता है। दूसरी शर्त के अनुसार, जब प्रत्येक कुर्सी पर दो लोग बैठते हैं और एक कुर्सी खाली रह जाती है, तो संबंध P = 2(C - 1) होता है।

P के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: C + 1 = 2(C - 1) C + 1 = 2C - 2 C = 3

C = 3 का मान पहले समीकरण में रखने पर P = 3 + 1 = 4 प्राप्त होता है। यदि 4 लोग 3 कुर्सियों पर प्रति कुर्सी 2 के हिसाब से बैठते हैं, तो वे 2 कुर्सियों को घेर लेते हैं, जिससे ठीक 1 कुर्सी खाली रह जाती है, जो दोनों शर्तों को पूरा करती है।

व्याख्या

x% और y% के क्रमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप होने वाले शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, मूल्य में पहले 8% की वृद्धि की जाती है (x = +8) और फिर 18% की छूट द्वारा कमी की जाती है (y = -18)।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: शुद्ध परिवर्तन = 8 + (-18) + (8 × (-18))/(100) शुद्ध परिवर्तन = -10 - ¹⁴⁴⁄₁₀₀ शुद्ध परिवर्तन = -10 - 1.44 = -11.44

ऋणात्मक चिह्न मूल मूल्य के सापेक्ष शुद्ध कमी को दर्शाता है। इसलिए, मूल मूल्य पर वास्तविक छूट 11.44% है। इसे मूल मूल्य 100 मानकर भी सत्यापित किया जा सकता है: 8% की वृद्धि के बाद, मूल्य 108 हो जाता है, और 108 पर 18% की छूट देने पर अंतिम मूल्य 108 × 0.82 = 88.56 प्राप्त होता है। कुल छूट 100 - 88.56 = 11.44% है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं L लंबाई के एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे पहली बार तब मिलती हैं जब तेज चलने वाली वस्तु धीमी चलने वाली वस्तु की तुलना में ठीक एक पूरा चक्कर अधिक पूरा कर लेती है। इसे सापेक्ष गति (relative speed) की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जाता है। कपिल के सापेक्ष रवि की सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर है: vᵣₑₗ = 22 मीटर/सेकंड - 11 मीटर/सेकंड = 11 मीटर/सेकंड।

पहली बार मिलने में लगने वाला समय सूत्र t = (L)/(vᵣₑₗ) द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, t = (220 मीटर)/(11 मीटर/सेकंड) = 20 सेकंड। इस समय, रवि ने 22 × 20 / 220 = 2 चक्कर पूरे कर लिए हैं, जबकि कपिल ने 11 × 20 / 220 = 1 चक्कर पूरा किया है।

व्याख्या

अधिकतम संभावित लाभ की गणना करने के लिए, हमें विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर को अधिकतम करना होगा। ऐसा तब होता है जब प्रत्येक पुस्तक को दी गई सीमाओं के भीतर न्यूनतम संभव क्रय मूल्य पर खरीदा जाता है और अधिकतम संभव विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है।

न्यूनतम क्रय मूल्य (CPₘᵢₙ) = ₹200 और अधिकतम विक्रय मूल्य (SPₘₐₓ) = ₹300

प्रति पुस्तक अधिकतम लाभ = SPₘₐₓ - CPₘᵢₙ प्रति पुस्तक अधिकतम लाभ = 300 - 200 = ₹100

25 पुस्तकों के लिए कुल अधिकतम लाभ = प्रति पुस्तक अधिकतम लाभ × पुस्तकों की संख्या कुल अधिकतम लाभ = 100 × 25 = ₹2,500

व्याख्या

कुल लाभ ₹2,50,000 है। यह दिया गया है कि इस लाभ का 9% दान में दिया जाता है। इसलिए, भागीदारों के बीच वितरित किया जाने वाला शेष लाभ कुल लाभ का 91% है।

वितरण के लिए शुद्ध लाभ = 2,50,000 × (91 / 100) = 2,50,000 × 0.91 = 2,27,500

भागीदार A, B और C 2:3:5 के अनुपात में निवेश करते हैं। निवेश अनुपात में कुल भाग 2 + 3 + 5 = 10 हैं। लाभ में C का हिस्सा उसके निवेश भाग के आनुपातिक है, जो कुल 10 इकाइयों में से 5 इकाई है।

C का हिस्सा = (5 / 10) × 2,27,500 C का हिस्सा = (1 / 2) × 2,27,500 C का हिस्सा = 1,13,750

व्याख्या

कक्षा में छात्रों की कुल संख्या 150 है, जिसमें 60 लड़कियां और 150 - 60 = 90 लड़के शामिल हैं। पूरी कक्षा का औसत वजन ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करते हैं:

A = (n₁ w₁ + n₂ w₂)/(n₁ + n₂)

जहाँ n₁ और n₂ क्रमशः लड़कों और लड़कियों की संख्या हैं, और w₁ और w₂ उनके संबंधित औसत वजन हैं। गणना को सरल बनाने के लिए, हम लड़कों और लड़कियों के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं, जो 90:60 या 3:2 है।

सूत्र में मान रखने पर: A = (3(52) + 2(48))/(3 + 2) A = (156 + 96)/(5) A = ²⁵²⁄₅

भाग करने पर, हमें 50.4 किग्रा प्राप्त होता है। यह मान लड़कों और लड़कियों के अनुपात और उनके विशिष्ट औसत वजन को ध्यान में रखते हुए कक्षा के सभी छात्रों के संयुक्त औसत वजन को दर्शाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परित्रिज्या R कर्ण की लंबाई की ठीक आधी होती है, क्योंकि कर्ण परिवृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, Δ ABC के कर्ण AC की गणना इस प्रकार की जाती है:

AC = √(AB² + BC²) AC = √(28² + 96²) = √(784 + 9216) = √(10000) = 100 सेमी

परित्रिज्या R है:

R = (AC)/(2) = ¹⁰⁰⁄₂ = 50 सेमी

परिवृत्त का क्षेत्रफल सूत्र π R² द्वारा दिया गया है:

क्षेत्रफल = 3.14 × 50² = 3.14 × 2500 = 7850 सेमी²

व्याख्या

पहली स्थिति में अर्जित साधारण ब्याज (SI) = 2625 - 1875 = 750 है। सूत्र SI = (P · R · T)/(100) का उपयोग करते हुए, प्रति वर्ष ब्याज दर की गणना इस प्रकार की जाती है: R = (750 · 100)/(1875 · 4) = ⁷⁵⁰⁰⁰⁄₇₅₀₀ = 10%।

यह ज्ञात करने के लिए कि समान दर पर 9 वर्षों में 24,000 रुपये कितने हो जाएंगे, पहले इस अवधि के लिए ब्याज की गणना करें: SI = (24000 · 10 · 9)/(100) = 21600। अंतिम मिश्रधन, मूलधन और अर्जित ब्याज का योग है, जो कि 24000 + 21600 = 45600 है।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि 1875 रुपये पर 4 वर्षों में 750 रुपये का ब्याज मिलता है, इसलिए ब्याज 4 वर्षों में मूलधन का 40% है, या प्रति वर्ष 10% है। 9 वर्षों के लिए, कुल ब्याज मूलधन का 90% होगा। इस प्रकार, मिश्रधन 24000 + (0.90 · 24000) = 24000 + 21600 = 45600 हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण tan A + cot A = 2 में, हम cot A को (1)/(tan A) के रूप में लिख सकते हैं, जिससे tan A + (1)/(tan A) = 2 प्राप्त होता है। यह एक मानक बीजगणितीय रूप x + 1/x = 2 है, जिसका अद्वितीय हल x = 1 है। अतः, tan A = 1 और cot A = 1 है। एक न्यूनकोण A के लिए, इसका अर्थ है A = 45°। सर्वसमिका sec² A = 1 + tan² A का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है कि sec² A = 1 + (1)² = 2। इन मानों को व्यंजक 7tan⁸ A - 6cot⁸ A + 8sec² A में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 7(1)⁸ - 6(1)⁸ + 8(2) प्राप्त होता है। गणना को सरल करने पर 7 - 6 + 16 प्राप्त होता है, जो 17 के बराबर है।

व्याख्या

दो रैखिक समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के निकाय का कोई हल नहीं होता है जब रेखाएं समांतर और भिन्न होती हैं। यह शर्त तब संतुष्ट होती है जब x और y के गुणांकों के अनुपात आपस में बराबर हों, लेकिन अचर पदों के अनुपात के बराबर न हों: (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) ≠ (c₁)/(c₂)

दिए गए समीकरण 5x + 7y - 8 = 0 के लिए, हमारे पास a₁ = 5, b₁ = 7, और c₁ = -8 है। समीकरण 5x + 7y - 16 = 0 के लिए, गुणांक a₂ = 5, b₂ = 7, और c₂ = -16 हैं। अनुपातों का परीक्षण करने पर: (a₁)/(a₂) = ⁵⁄₅ = 1 (b₁)/(b₂) = ⁷⁄₇ = 1 (c₁)/(c₂) = ⁻⁸⁄₋₁₆ = ½

चूंकि 1 = 1 ≠ ½ है, इसलिए शर्त (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) ≠ (c₁)/(c₂) संतुष्ट होती है, जिसका अर्थ है कि दोनों रेखाएं समांतर हैं और कभी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

व्याख्या

व्यंजक 9²⁰ + 2 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम आधार 9 को 4 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल निर्धारित करते हैं। चूंकि 9 = (2 × 4) + 1 है, इसलिए हम लिख सकते हैं 9 ≡ 1 (mod 4)।

सर्वांगसमता के घात गुणधर्म (power property of congruences) के अनुसार, यदि a ≡ b (mod m) है, तो aⁿ ≡ bⁿ (mod m) होगा। इसे व्यंजक के पहले पद पर लागू करने पर: 9²⁰ ≡ 1²⁰ (mod 4) 9²⁰ ≡ 1 (mod 4)

इसके बाद, हम इस परिणाम में अचर पद 2 जोड़ते हैं: (9²⁰ + 2) ≡ (1 + 2) (mod 4) 3 (mod 4) = 3

संपूर्ण व्यंजक को 4 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल 3 है।

व्याख्या

चतुर्भुज ABCD दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों, △ ABC और △ ADC से बना है, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर लंब होती है। △ ABC में, कोण ∠ ABC = 90°, त्रिज्या BC = 8 सेमी, और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी AC = 17 सेमी है।

△ ABC में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: AB = √(AC² - BC²) AB = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √(225) = 15 सेमी

△ ABC का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है: क्षेत्रफल(△ ABC) = ½ × आधार × ऊंचाई = ½ × AB × BC क्षेत्रफल(△ ABC) = ½ × 15 × 8 = 60 वर्ग सेमी

चूंकि △ ABC और △ ADC सर्वांगसम हैं, इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल(ABCD) = 2 × क्षेत्रफल(△ ABC) = 2 × 60 = 120 वर्ग सेमी

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई s की गणना सूत्र s = (θ)/(360°) × 2π r का उपयोग करके की जाती है, जहाँ θ डिग्री में केंद्रीय कोण को दर्शाता है और r त्रिज्या है।

दिया गया है कि चाप की लंबाई s = 96π और केंद्रीय कोण θ = 80° है, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

96π = (80°)/(360°) × 2π r

भिन्न ⁸⁰⁄₃₆₀ को सरल करने पर ²⁄₉ प्राप्त होता है। इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

96π = ²⁄₉ × 2π r 96π = (4π r)/(9)

समीकरण के दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

96 = ⁴ʳ⁄₉

r को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों को 9 से गुणा करें और 4 से विभाजित करें:

r = (96 × 9)/(4) r = 24 × 9 r = 216

वृत्त की त्रिज्या 216 इकाई है।

व्याख्या

समानुपात के गुणों के अनुसार, यदि (a)/(b) = (c)/(d) = (e)/(f) = k है, तो पूर्वपदों (antecedents) का कोई भी रैखिक संयोजन जिसे उत्तरपदों (consequents) के उसी रैखिक संयोजन से विभाजित किया जाता है, वह भी k के बराबर होता है। विशेष रूप से, किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक l, m और n के लिए, निम्नलिखित संबंध लागू होता है:

(la + mc + ne)/(lb + md + nf) = k

इस प्रश्न में, यह दिया गया है कि (a)/(b) = (c)/(d) = (e)/(f) = ⁵⁄₇ है। हमसे अनुपात (3a + 5c + 11e)/(3b + 5d + 11f) का मान ज्ञात करने के लिए कहा गया है। यहाँ, स्थिरांक l = 3, m = 5 और n = 11 हैं। व्यंजक में समानुपातिक मानों a = ⁵ᵇ⁄₇, c = ⁵ᵈ⁄₇ और e = ⁵ᶠ⁄₇ को प्रतिस्थापित करने पर:

(3(5b)/(7)) + 5(⁵ᵈ⁄₇) + 11(⁵ᶠ⁄₇){3b + 5d + 11f} = (5)/(7)(3b + 5d + 11f){3b + 5d + 11f} = ⁵⁄₇

यह दर्शाता है कि योगों का अनुपात 5:7 ही रहता है।

व्याख्या

किसी संख्या के 40 से विभाज्य होने के लिए, उसे 10 और 4 दोनों से विभाज्य होना चाहिए। संख्या 45yz0 का अंतिम अंक पहले से ही 0 है, इसलिए यह 10 से विभाज्य है। शेष भाग के लिए, 45yz0 / 10 = 45yz को 4 से विभाज्य होना चाहिए।

4 से विभाज्यता का नियम कहता है कि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए। संख्या 45yz में, अंतिम दो अंक yz हैं, जो मान 10y + z को दर्शाते हैं। इसलिए, दो-अंकीय संख्या yz को 4 का एक गुणज होना चाहिए।

हमें (y + z) का अधिकतम संभावित मान ज्ञात करना है जहाँ y और z, 0 से 9 तक के अंक हैं और 10y + z, 4 से विभाज्य है। 4 के सबसे बड़े संभावित गुणजों का परीक्षण करने पर:

y = 9 के लिए: 96, 4 से विभाज्य है (9 + 6 = 15) 92, 4 से विभाज्य है (9 + 2 = 11)

y = 8 के लिए: 88, 4 से विभाज्य है (8 + 8 = 16) 84, 4 से विभाज्य है (8 + 4 = 12) 80, 4 से विभाज्य है (8 + 0 = 8)

y = 7 के लिए: 76, 4 से विभाज्य है (7 + 6 = 13)

y = 6 के लिए: 68, 4 से विभाज्य है (6 + 8 = 14)

इन योगों की तुलना करने पर, अधिकतम मान 16 है, जो तब प्राप्त होता है जब y = 8 और z = 8।

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम VBODMAS नियम (Vinculum (रेखा कोष्ठक), Brackets (कोष्ठक), Of (का), Division (भाग), Multiplication (गुणा), Addition (जोड़), Subtraction (घटाव)) का पालन करते हैं।

चरण 1: पहले कोष्ठक (60 + 64 ÷ 4 का 4) को सरल कीजिए। प्राथमिकता के अनुसार, भाग से पहले "का" (of) की गणना की जाती है: 4 का 4 = 16 60 + 64 ÷ 16 = 60 + 4 = 64

चरण 2: व्यंजक के दूसरे भाग में आंतरिक कोष्ठकों और "का" (of) संक्रियाओं को सरल कीजिए: 1000 ÷ ((10 का (3 + 2)) × 2 का 5) सबसे पहले, सबसे आंतरिक कोष्ठक को हल करें: 3 + 2 = 5। इसके बाद, "का" (of) संक्रियाओं को हल करें: 10 का 5 = 50 2 का 5 = 10 अब कोष्ठक के भीतर इन परिणामों का गुणा करें: 50 × 10 = 500। अंत में, भाग की संक्रिया करें: 1000 ÷ 500 = 2।

चरण 3: शेष पदों को सरल कीजिए: व्यंजक (100 × 3 का 3) में पहले "का" (of) संक्रिया शामिल है: 3 का 3 = 9 100 × 9 = 900

चरण 4: सभी परिणामों को मिलाएँ: उस संरचना के आधार पर जो विकल्पों में से एक मानक पूर्णांक उत्तर देती है, पहले पद का गुणा भाग के परिणाम पर लागू होता है: (64 × 2) - 28 + 900 128 - 28 + 900 100 + 900 = 1000

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दी गई समय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 40 और 50 का LCM 200 इकाई है। वरुण और राजू की संयुक्त कार्यक्षमता 200 / 40 = 5 इकाई प्रति घंटा है। वरुण की व्यक्तिगत कार्यक्षमता 200 / 50 = 4 इकाई प्रति घंटा है। संयुक्त कार्यक्षमता में से वरुण की कार्यक्षमता को घटाकर, हमें राजू की कार्यक्षमता 5 - 4 = 1 इकाई प्रति घंटा प्राप्त होती है। राजू को अकेले 200 इकाई का कुल कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय 200 / 1 = 200 घंटे है। वैकल्पिक रूप से, दो लोगों के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ एक व्यक्ति का समय T₁ है और संयुक्त समय T_c है, दूसरे व्यक्ति का समय T₂ इस प्रकार दिया गया है: (T₁ × T_c) / (T₁ - T_c)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (50 × 40) / (50 - 40) = 2000 / 10 = 200 घंटे प्राप्त होते हैं।