एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक 15÷ 3 का 2× 2+9÷ 18 का 2× 4-4÷ 8× 2 को हल करने के लिए, BODMAS (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) नियम का पालन किया जाना चाहिए। यह नियम निर्देश देता है कि "का" (of) संक्रिया को भाग और गुणा से पहले हल किया जाता है।

सबसे पहले, व्यंजक में "का" (of) वाले भागों को पहचानें और हल करें: 3 का 2 = 3 × 2 = 6 18 का 2 = 18 × 2 = 36

इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर प्राप्त होता है: 15 ÷ 6 × 2 + 9 ÷ 36 × 4 - 4 ÷ 8 × 2

इसके बाद, बाएँ से दाएँ भाग की संक्रियाएँ करें: 15 ÷ 6 = ¹⁵⁄₆ = ⁵⁄₂ 9 ÷ 36 = ⁹⁄₃₆ = ¼ 4 ÷ 8 = ⁴⁄₈ = ½

अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: ⁵⁄₂ × 2 + ¼ × 4 - ½ × 2

अब, गुणा की संक्रियाएँ करें: ⁵⁄₂ × 2 = 5 ¼ × 4 = 1 ½ × 2 = 1

सरलीकृत व्यंजक है: 5 + 1 - 1

अंत में, जोड़ और घटाव करने पर परिणाम प्राप्त होता है: 5 + 1 - 1 = 5

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दी जाती है। 30% और 40% की क्रमिक छूटों के लिए, समतुल्य एकल छूट 30 + 40 - (30 × 40)/(100) = 70 - 12 = 58% है।

65% की पहली छूट और 58% की समतुल्य दूसरी छूट के बीच का अंतर 65% - 58% = 7% है। चूंकि विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य में से छूट घटाने पर प्राप्त होता है, इसलिए विक्रय मूल्यों में अंतर, छूट की राशियों के अंतर के बराबर होता है।

यह देखते हुए कि यह अंतर ₹105 है, हम समीकरण बना सकते हैं: अंकित मूल्य का 7% = 105। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: ⁷⁄₁₀₀ × अंकित मूल्य = 105। अंकित मूल्य के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है: अंकित मूल्य = (105 × 100)/(7) = 15 × 100 = 1,500।

व्याख्या

खंभा, ऊर्ध्वाधर दीवार और भूमि मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ खंभा कर्ण का कार्य करता है। खंभे की लंबाई L = 10 मीटर है, और क्षैतिज भूमि के साथ इसके द्वारा बनाया गया कोण θ = 30° है। खंभे के निचले सिरे से दीवार की दूरी दिए गए कोण की संलग्न भुजा (आधार) को दर्शाती है।

कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर: cos(θ) = (संलग्न भुजा)/(कर्ण)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: cos(30°) = (दूरी)/(10)

चूंकि cos(30°) = √3/2 है, इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा: √3/2 = (दूरी)/(10) दूरी = 10 × √3/2 = 5√3 मीटर

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करके a² + (1)/(a²) का मान ज्ञात किया जा सकता है। x = a और y = ¹⁄ₐ रखने पर, सर्वसमिका को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(a + ¹⁄ₐ)² = a² + (¹⁄ₐ)² + 2(a)(¹⁄ₐ)

पद 2(a)(¹⁄ₐ) को सरल करने पर 2 प्राप्त होता है, जिससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

(a + ¹⁄ₐ)² = a² + (1)/(a²) + 2

a² + (1)/(a²) का मान ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर यह संक्षिप्त सूत्र प्राप्त होता है:

a² + (1)/(a²) = (a + ¹⁄ₐ)² - 2

समीकरण में दिए गए मान a + ¹⁄ₐ = 12 को रखने पर:

a² + (1)/(a²) = 12² - 2

12 का वर्ग करने पर:

a² + (1)/(a²) = 144 - 2

144 में से 2 घटाने पर प्राप्त होता है:

a² + (1)/(a²) = 142

व्याख्या

भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A_T = (√3/4) a² द्वारा दिया जाता है। दी गई भुजा a = 28 सेमी और √3 = 1.73 है, हम त्रिभुज के कुल क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार करते हैं: A_T = (1.73)/(4) × 28² = (1.73)/(4) × 784 = 1.73 × 196 = 339.08 सेमी²

समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर बनने वाले तीनों त्रिज्यखंडों में से प्रत्येक का कोण 60° और त्रिज्या r, भुजा की लंबाई की आधी (r = 14 सेमी) है। इन तीनों त्रिज्यखंडों का संयुक्त क्षेत्रफल है: A_S = 3 × ⁶⁰⁄₃₆₀ × π r² = ½ × ²²⁄₇ × 14² = 11 × 2 × 14 = 308 सेमी²

वृत्तों में शामिल नहीं होने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल, त्रिभुज के क्षेत्रफल और तीनों त्रिज्यखंडों के संयुक्त क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: क्षेत्रफल = A_T - A_S = 339.08 - 308 = 31.08 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए S_P और S_Q क्रमशः P और Q के वेतन को दर्शाते हैं। चूंकि व्यय वेतन का वह हिस्सा है जो बचाया नहीं गया है, इसलिए P का व्यय S_P का 100% - 64% = 36% है, और Q का व्यय S_Q का 100% - 44% = 56% है। प्रश्न के अनुसार, P का व्यय Q के व्यय का 1.5 गुना है, जिससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

0.36 S_P = 1.5 × 0.56 S_Q

समीकरण के दाएँ पक्ष को सरल करने पर:

0.36 S_P = 0.84 S_Q

P के वेतन और Q के वेतन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, S_P / S_Q का मान निकालने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

(S_P)/(S_Q) = (0.84)/(0.36) = ⁸⁴⁄₃₆

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 12 से विभाजित करने पर:

(S_P)/(S_Q) = ⁷⁄₃

व्याख्या

व्यंजक 9÷ [1 + (4× (⅚ -⅓ +½))] को हल करने के लिए, BODMAS नियम का पालन करें, जिसके अनुसार सबसे पहले सबसे आंतरिक कोष्ठक को हल किया जाता है।

सबसे पहले, भिन्नों के लिए एक समान हर (common denominator) ज्ञात करके सबसे छोटे कोष्ठक के भीतर के मान की गणना करें: ⅚ - ⅓ + ½ = (5 - 2 + 3)/(6) = ⁶⁄₆ = 1

इसके बाद, इस मान को वापस व्यंजक में रखें और कोष्ठक के भीतर गुणा को हल करें: 9 ÷ [1 + (4 × 1)] = 9 ÷ [1 + 4]

अब, वर्गाकार कोष्ठक (square brackets) के भीतर के पदों को सरल करें: 1 + 4 = 5

अंत में, भाग की संक्रिया करें: 9 ÷ 5 = ⁹⁄₅

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 2(tan 54°)/(cot 36°) - (cot 41°)/(tan 49°) है।

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, tan(90° - θ) = cot θ या cot(90° - θ) = tan θ का उपयोग करने पर।

पहले पद के लिए, चूंकि 36° = 90° - 54° है, इसलिए cot 36° = cot(90° - 54°) = tan 54° प्राप्त होता है। इसे पहले पद में प्रतिस्थापित करने पर: 2(tan 54°)/(tan 54°) = 2(1) = 2

दूसरे पद के लिए, चूंकि 49° = 90° - 41° है, इसलिए tan 49° = tan(90° - 41°) = cot 41° प्राप्त होता है। इसे दूसरे पद में प्रतिस्थापित करने पर: (cot 41°)/(cot 41°) = 1

परिणामों को संयोजित करने पर: 2 - 1 = 1

व्याख्या

एक समतल में किन्हीं तीन असंरेख बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय वृत्त खींचा जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, यदि हमारे पास तीन असंरेख बिंदु A, B और C हैं, तो हम रेखाखंडों AB और BC के लंब समद्विभाजक खींच सकते हैं। चूंकि बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं, इसलिए ये दोनों लंब समद्विभाजक समानांतर नहीं होंगे और ठीक एक बिंदु, O पर प्रतिच्छेद करेंगे। यह बिंदु O, A और B से समदूरस्थ है, और B तथा C से भी समदूरस्थ है, जिसका अर्थ है OA = OB = OC। यह प्रतिच्छेद बिंदु वृत्त के अद्वितीय केंद्र के रूप में कार्य करता है, और बिंदुओं से यह नियत दूरी त्रिज्या r के रूप में कार्य करती है। गणितीय रूप से, एक वृत्त का सामान्य समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 तीन स्वतंत्र प्राचलों (g, f, और c) को समाहित करता है। इसलिए, इन स्थिरांकों को हल करने और वृत्त को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, तीन असंरेख बिंदुओं द्वारा प्रदान किए गए ठीक तीन स्वतंत्र समीकरणों की आवश्यकता होती है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) का निर्धारण ₹2,000 के अंकित मूल्य (MP) पर 40% की छूट देकर किया जाता है। सूत्र SP = MP × (100 - Discount%)/(100) का उपयोग करने पर: SP = 2000 × (100 - 40)/(100) = 2000 × 0.60 = 1200

क्रय मूल्य (CP) ₹1,700 है। चूंकि विक्रय मूल्य (₹1,200) क्रय मूल्य से कम है, इसलिए हानि होती है। हानि = CP - SP = 1700 - 1200 = 500

हानि प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर सूत्र हानि प्रतिशत = (हानि)/(CP) × 100 का उपयोग करके की जाती है: हानि प्रतिशत = ⁵⁰⁰⁄₁₇₀₀ × 100 = ⁵⁰⁰⁄₁₇ ≈ 29.4117%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हानि प्रतिशत 29.41% है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ द्वारा दिया जाता है। औसत की गणना करने के लिए, हम इस योग को n से विभाजित करते हैं, जिससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

औसत = ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆

इस सूत्र में n = 48 रखने पर:

औसत = ((48 + 1)(2 × 48 + 1))/(6) औसत = (49 × 97)/(6) औसत = ⁴⁷⁵³⁄₆

विभाजन करने पर, हमें 792.166… प्राप्त होता है, जिसे दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, यह 792.17 के बराबर होता है।

व्याख्या

जब प्रवेशिका (इनलेट) और निकास (आउटलेट) दोनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो किए गए कार्य की शुद्ध दर उनकी व्यक्तिगत दरों के बीच का अंतर होती है। प्रवेशिका पाइप के भरने की दर ¹⁄₁₁ टैंक प्रति घंटा है, और निकास पाइप के खाली करने की दर ¹⁄₁₅ टैंक प्रति घंटा है।

एक प्रवेशिका और एक निकास के लिए संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करने पर: शुद्ध दर = ¹⁄₁₁ - ¹⁄₁₅

इसे हल करने के लिए, लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) ज्ञात करें, जो कि 11 × 15 = 165 है: शुद्ध दर = (15 - 11)/(165) = ⁴⁄₁₆₅

खाली टैंक को भरने में लगने वाला समय शुद्ध दर का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है: समय = ¹⁶⁵⁄₄

इस अनुचित भिन्न (improper fraction) को मिश्रित भिन्न (mixed fraction) में बदलने पर: 165 ÷ 4 = 41, शेषफल 1 के साथ समय = 41¼ घंटे

व्याख्या

a > 0 के लिए दिया गया समीकरण a³ + (1)/(a³) = 2 समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका का अनुसरण करता है, जो यह बताती है कि किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, व्यंजक x + ¹⁄ₓ ≥ 2 होता है। समता x + ¹⁄ₓ = 2 केवल और केवल तभी लागू होती है जब x = 1 हो। x = a³ रखने पर, शर्त a³ + (1)/(a³) = 2 से प्राप्त होता है कि a³ = 1 है। चूंकि a एक धनात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए, इसलिए हमें a = 1 प्राप्त होता है। इस मान को ज्ञात किए जाने वाले व्यंजक में रखने पर, हमें a + ¹⁄ₐ = 1 + ¹⁄₁ = 2 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ) का उपयोग करते हुए, माना k = a + ¹⁄ₐ है। समीकरण k³ - 3k = 2, या k³ - 3k - 2 = 0 हो जाता है। मूल के रूप में k = 2 का परीक्षण करने पर 2³ - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 प्राप्त होता है, जो इस शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² + 7x + 8 = 0 से, हम आवश्यक व्यंजक के हर (denominator) के लिए प्रतिस्थापन खोजने के लिए पदों x² + 8 को अलग कर सकते हैं। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: x² + 8 = -7x

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह है: (4x)/(x²⁾⁻⁵ˣ⁺⁸ = (4x)/((x²⁾⁺⁸⁾⁻⁵ˣ

हर में x² + 8 के स्थान पर -7x प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (4x)/(-7x - 5x) = ⁴ˣ⁄₋₁₂ₓ

समीकरण x² + 7x + 8 = 0 में, यदि x = 0 है, तो 8 = 0 प्राप्त होता है, जो कि एक विरोधाभास है। इसलिए, x ≠ 0, और हम अंश (numerator) और हर (denominator) को x से विभाजित कर सकते हैं: ⁴⁄₋₁₂ = -⅓

व्याख्या

औसत उत्पादन की गणना कार के प्रकार के कुल उत्पादन को वर्षों की संख्या (4) से विभाजित करके की जाती है।

B-प्रकार की कारों का कुल उत्पादन = 680 + 750 + 620 + 540 = 2590 B-प्रकार की कारों का औसत उत्पादन = ²⁵⁹⁰⁄₄ = 647.5

A-प्रकार की कारों का कुल उत्पादन = 840 + 900 + 760 + 800 = 3300 A-प्रकार की कारों का औसत उत्पादन = ³³⁰⁰⁄₄ = 825

C-प्रकार की कारों का कुल उत्पादन = 890 + 960 + 1000 + 1200 = 4050 C-प्रकार की कारों का औसत उत्पादन = ⁴⁰⁵⁰⁄₄ = 1012.5

A-प्रकार और C-प्रकार की कारों का संयुक्त औसत उत्पादन उनके व्यक्तिगत औसतों का औसत है: संयुक्त औसत (A, C) = (825 + 1012.5)/(2) = (1837.5)/(2) = 918.75

A और C के संयुक्त औसत और B के औसत के बीच का अंतर है: अंतर = 918.75 - 647.5 = 271.25

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

प्रश्न के अनुसार, 6 वर्षों का साधारण ब्याज मूलधन का ⅗ है। इसे SI = ⅗P के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

⅗P = (P × R × 6)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने (काटने) पर, समीकरण बन जाता है:

⅗ = (6R)/(100)

R के लिए हल करने पर:

R = (3 × 100)/(5 × 6)

R = ³⁰⁰⁄₃₀

R = 10%

वैकल्पिक रूप से, मूलधन के प्रतिशत के रूप में कुल ब्याज ⅗ × 100 = 60% है। चूँकि यह ब्याज 6 वर्षों में संचित होता है, इसलिए वार्षिक ब्याज दर (60%)/(6) = 10% है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो भुजाओं की लंबाई समान होनी चाहिए। चूंकि दो भुजाएं 6 सेमी और 12 सेमी दी गई हैं, इसलिए तीसरी भुजा या तो 6 सेमी होगी या 12 सेमी। त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से हमेशा अधिक होना चाहिए। यदि तीसरी भुजा 6 सेमी होती, तो भुजाएं 6 सेमी, 6 सेमी और 12 सेमी होतीं। असमानता की जाँच करने पर, 6 + 6 > 12 का परिणाम 12 > 12 होता है, जो कि असत्य है, जिसका अर्थ है कि ये माप एक त्रिभुज नहीं बना सकते हैं। यदि तीसरी भुजा 12 सेमी है, तो भुजाएं 6 सेमी, 12 सेमी और 12 सेमी होंगी। असमानताओं की जाँच करने पर, 6 + 12 > 12 और 12 + 12 > 6 दोनों सत्य हैं। अतः, गणितीय रूप से तीसरी भुजा की एकमात्र संभावित लंबाई 12 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए कि x वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात 3:4 था। उस समय, निहिरा की आयु 25 - x थी और पुनीथ की आयु 30 - x थी। दिए गए अनुपात के आधार पर, हम निम्नलिखित समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

(25 - x)/(30 - x) = 3/4

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर:

4(25 - x) = 3(30 - x) 100 - 4x = 90 - 3x 100 - 90 = 4x - 3x x = 10

दस वर्ष पहले, निहिरा की आयु 15 वर्ष थी और पुनीथ की आयु 20 वर्ष थी। उनकी आयु का अनुपात 15:20 था, जिसे सरल करने पर 3:4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बेलन के आधार की परिधि सूत्र C = 2 π r द्वारा दी जाती है। दिया गया है C = 154 सेमी और π = 22/7 का उपयोग करके, हम त्रिज्या r निम्नानुसार ज्ञात कर सकते हैं: 2 × ²²⁄₇ × r = 154 r = (154 × 7)/(44) = 3.5 × 7 = 24.5 सेमी

बर्तन की ऊंचाई 49 मिमी दी गई है। इकाई की निरंतरता बनाए रखने के लिए इसे सेंटीमीटर में बदलने पर, हमें प्राप्त होता है h = 49 / 10 = 4.9 सेमी।

एक बेलन का आयतन V सूत्र V = π r² h का उपयोग करके निकाला जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = ²²⁄₇ × (24.5)² × 4.9 V = 22 × 24.5 × 24.5 × 0.7 V = 15.4 × 600.25 = 9243.85 सेमी³

आयतन को घन सेंटीमीटर से लीटर में बदलने के लिए, हम संबंध 1 लीटर = 1000 सेमी³ का उपयोग करते हैं। लीटर में आयतन = (9243.85)/(1000) = 9.24385 लीटर

दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, बर्तन की क्षमता 9.244 लीटर है।

व्याख्या

एक उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (DCT) की लंबाई सूत्र DCT = √(d² - (r₁ - r₂)²) द्वारा दी जाती है और एक अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (TCT) की लंबाई सूत्र TCT = √(d² - (r₁ + r₂)²) द्वारा दी जाती है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है और r₁, r₂ उनकी त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है: d = 36 सेमी, r₁ = 15 सेमी, और r₂ = 9 सेमी: DCT = √(36² - (15 - 9)²) = √(36² - 6²) = √((36 - 6)(36 + 6)) = √(30 × 42) = √(1260) = 6√(35) सेमी। TCT = √(36² - (15 + 9)²) = √(36² - 24²) = √((36 - 24)(36 + 24)) = √(12 × 60) = √(720) = 12√5 सेमी।

इन लम्बाइयों का योग ज्ञात करने के लिए: योग = 6√(35) + 12√5 योग = 6√(7 × 5) + 12√5 योग = 6√5 × √7 + 6√5 × 2 योग = 6√5 (√7 + 2) सेमी।

व्याख्या

रैखिक समीकरण निकाय a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, गुणांकों का अनुपात बराबर होना चाहिए: (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) = (c₁)/(c₂)। इस निकाय में, गुणांक a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = 3 और a₂ = a - b, b₂ = a + b, c₂ = 3a + b - 3 हैं।

अनंत हलों के लिए शर्त लागू करने पर: (3)/(a - b) = (1)/(a + b) = (3)/(3a + b - 3)

पहले और दूसरे अनुपात को बराबर रखने पर: 3(a + b) = 1(a - b) 3a + 3b = a - b 2a = -4b a = -2b

दूसरे और तीसरे अनुपात को बराबर रखने पर: 1(3a + b - 3) = 3(a + b) 3a + b - 3 = 3a + 3b b - 3 = 3b -3 = 2b b = -³⁄₂

संबंध a = -2b में b = -³⁄₂ का मान रखने पर: a = -2(-³⁄₂) = 3

व्याख्या

B के चलना शुरू करने से पहले, P पहले ही 8 घंटे तक चल चुका है। P द्वारा तय की गई बढ़त की दूरी (Distance_lead) = 8 किमी/घंटा × 8 घंटे = 64 किमी है। B को सापेक्ष गति के अंतर का उपयोग करके इस अंतर को पाटना होगा। चूंकि दोनों एक ही दिशा में बढ़ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति 24 किमी/घंटा - 8 किमी/घंटा = 16 किमी/घंटा है। B द्वारा P को पकड़ने में लिया गया समय = बढ़त की दूरी / सापेक्ष गति = (64 किमी) / (16 किमी/घंटा) = 4 घंटे है। प्रारंभिक बिंदु से वह दूरी जहाँ B, P को पकड़ता है, इस समय के दौरान B द्वारा तय की गई कुल दूरी है, जो कि 24 किमी/घंटा × 4 घंटे = 96 किमी है।

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत की गणना लेनदेन के प्रत्येक भाग के लाभ प्रतिशत के भारित औसत (weighted average) का उपयोग करके की जा सकती है। यह विधि कुशल है क्योंकि यह पुस्तकों की कुल संख्या से स्वतंत्र रहती है।

सबसे पहले, ₹200 के क्रय मूल्य (CP) के आधार पर प्रत्येक भाग के लिए लाभ प्रतिशत ज्ञात करें: ₹300 पर बेची गई आधी पुस्तकों पर लाभ प्रतिशत: p₁ = (300 - 200)/(200) × 100 = 50% ₹350 पर बेची गई एक-पाँचवें हिस्से की पुस्तकों पर लाभ प्रतिशत: p₂ = (350 - 200)/(200) × 100 = 75% क्रय मूल्य (CP) पर बेची गई शेष पुस्तकों पर लाभ प्रतिशत: p₃ = 0%

इसके बाद, इन भागों के लिए भार (भिन्न) निर्धारित करें: पहले भाग के लिए भार: w₁ = ½ दूसरे भाग के लिए भार: w₂ = ⅕ तीसरे भाग के लिए भार: w₃ = 1 - (½ + ⅕) = 1 - ⁷⁄₁₀ = ³⁄₁₀

कुल लाभ प्रतिशत के लिए भारित औसत सूत्र लागू करने पर: लाभ % = (w₁ × p₁) + (w₂ × p₂) + (w₃ × p₃) लाभ % = (½ × 50) + (⅕ × 75) + (³⁄₁₀ × 0) लाभ % = 25 + 15 + 0 = 40%

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि X और Y एक वृत्ताकार ट्रैक पर पहली बार कब मिलते हैं, हम उनकी सापेक्ष गति की गणना करते हैं। सबसे पहले, ⁵⁄₁₈ से गुणा करके गतियों को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलें। X की गति 9 × ⁵⁄₁₈ = 2.5 मीटर/सेकंड है, और Y की गति 13.5 × ⁵⁄₁₈ = 3.75 मीटर/सेकंड है।

चूंकि वे एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर है। सापेक्ष गति vᵣₑₗ = 3.75 - 2.5 = 1.25 मीटर/सेकंड। एक वृत्ताकार दौड़ में, वे पहली बार तब मिलते हैं जब तेज़ दौड़ने वाला धावक धीमे दौड़ने वाले धावक से ठीक एक पूरा चक्कर (lap) अधिक दूरी तय कर लेता है।

सूत्र समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति) का उपयोग करते हुए, जहाँ दूरी ट्रैक की लंबाई L = 750 मीटर है: t = (750)/(1.25) t = ⁷⁵⁰⁰⁰⁄₁₂₅ t = 600 सेकंड

व्याख्या

सभी त्रिकोणमितीय पदों को उनके साइन (sine) और कोसाइन (cosine) समकक्षों में परिवर्तित करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

पहला भाग, csc θ - sin θ, इस प्रकार सरल होता है: csc θ - sin θ = (1)/(sin θ) - sin θ = 1 - sin² θ{sin θ} = cos² θ{sin θ}

दूसरा भाग, sec θ - cos θ, इस प्रकार सरल होता है: sec θ - cos θ = (1)/(cos θ) - cos θ = 1 - cos² θ{cos θ} = sin² θ{cos θ}

तीसरा भाग, tan θ + cot θ, इस प्रकार सरल होता है: tan θ + cot θ = (sin θ)/(cos θ) + (cos θ)/(sin θ) = sin² θ + cos² θ{sin θ cos θ} = (1)/(sin θ cos θ)

अब, इन तीनों परिणामों को आपस में गुणा करने पर: ( cos² θ{sin θ} ) × ( sin² θ{cos θ} ) × ( (1)/(sin θ cos θ) )

पदों को एक एकल भिन्न में संयोजित करने पर: sin² θ cos² θ{sin² θ cos² θ} = 1

व्याख्या

समीकरण m + 5 = sec² A csc² A (1 - cos² A)(1 - sin² A) + 5 के दोनों पक्षों से 5 घटाने पर, हमें व्यंजक m = sec² A csc² A (1 - cos² A)(1 - sin² A) प्राप्त होता है। कोष्ठक के भीतर के पदों को फिर से लिखने के लिए हम पाइथागोरस सर्वसमिकाओं sin² A = 1 - cos² A और cos² A = 1 - sin² A का उपयोग करते हैं। इससे m = sec² A csc² A sin² A cos² A प्राप्त होता है। चूंकि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ sec² A = (1)/(cos² A) और csc² A = (1)/(sin² A) हैं, इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर m = (1)/(cos² A) · (1)/(sin² A) · sin² A · cos² A प्राप्त होता है। अंश और हर के सभी पद आपस में निरस्त हो जाते हैं, जिससे m = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूंकि AC = BC है, इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे, अतः ∠ ABC = ∠ BAC = 70°। बाह्य कोण ACD, अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है, इसलिए ∠ ACD = 70° + 70° = 140°। अतः, ∠ ACD - ∠ ABC = 140° - 70° = 70°।

व्याख्या

भिन्न 41/80 सबसे बड़ी है क्योंकि इसका मान 0.5125 है। 0.5 को एक मानक (benchmark) मानकर, यह देखा जा सकता है कि समूह में 41/80 एकमात्र ऐसी भिन्न है जो 1/2 से अधिक है। किसी भी भिन्न n/d के लिए, यदि n > d/2 है, तो मान 0.5 से अधिक होता है। इस उदाहरण में, हर (denominator) 80 है, और उसका आधा 40 है। चूंकि अंश (numerator) 41, 40 से बड़ा है, इसलिए भिन्न 41/80, 0.5 से अधिक है। सटीक दशमलव गणना इस प्रकार है:

41 ÷ 80 = 0.5125

समूह की अन्य सभी भिन्नों के अंश उनके हर के आधे से कम हैं, जिसके परिणामस्वरूप उनका मान 0.5 से कम आता है।

व्याख्या

एक ऐसी यात्रा की औसत गति जिसमें समान दूरियाँ अलग-अलग गतियों से तय की जाती हैं, उन गतियों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) का उपयोग करके ज्ञात की जाती है। चूँकि बस दूरी के तीन समान भागों (प्रत्येक d/3) को v₁, v₂, और v₃ गतियों से तय करती है, इसलिए औसत गति Vₐᵥ_g का सूत्र है:

Vₐᵥ_g = (3)/(1){v₁ + (1)/(v₂) + (1)/(v₃)}

दी गई गतियाँ v₁ = 40 किमी/घंटा, v₂ = 50 किमी/घंटा, और v₃ = 60 किमी/घंटा हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

Vₐᵥ_g = (3)/(1){40 + ¹⁄₅₀ + ¹⁄₆₀}

हर को सरल करने के लिए, 40, 50 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 600 है। भिन्नों को समान हर के साथ व्यक्त करने पर:

¹⁄₄₀ + ¹⁄₅₀ + ¹⁄₆₀ = ¹⁵⁄₆₀₀ + ¹²⁄₆₀₀ + ¹⁰⁄₆₀₀ = ³⁷⁄₆₀₀

अब, इसे वापस औसत गति के समीकरण में रखने पर:

Vₐᵥ_g = (3)/(37){600} = (3 × 600)/(37) = ¹⁸⁰⁰⁄₃₇

भाग करने पर:

1800 ÷ 37 ≈ 48.6486...

परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 48.65 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना टंकी की क्षमता व्यक्तिगत रूप से भरने के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है: LCM(40, 80, 120) = 240 इकाई।

प्रत्येक पाइप की कार्यक्षमता (प्रति मिनट कार्य) है: P की कार्यक्षमता = 240 / 40 = 6 इकाई/मिनट Q की कार्यक्षमता = 240 / 80 = 3 इकाई/मिनट R की कार्यक्षमता = 240 / 120 = 2 इकाई/मिनट

पाइप P पूरे 30 मिनट (आधे घंटे) की अवधि के लिए खुला रहता है, जबकि पाइप Q और R को t मिनट के बाद बंद कर दिया जाता है। सभी पाइपों द्वारा किए गए कार्य का योग कुल क्षमता के बराबर होना चाहिए: (P की कार्यक्षमता × 30) + (Q की कार्यक्षमता + R की कार्यक्षमता) × t = 240 (6 × 30) + (3 + 2) × t = 240 180 + 5t = 240 5t = 60 t = 12

पाइप Q और R को 12 मिनट के बाद बंद कर दिया जाना चाहिए।

व्याख्या

तीन संख्याओं के योग, उनके वर्गों के योग और उनके घनों के योग में से उनके गुणनफल के तीन गुने को घटाने से संबंधित बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) है।

ab + bc + ca का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करें। दिए गए मानों a + b + c = 18 और a² + b² + c² = 36 को प्रतिस्थापित करने पर:

18² = 36 + 2(ab + bc + ca) 324 = 36 + 2(ab + bc + ca) 288 = 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca = 144

अब, इन मानों को घनीय सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 18(36 - 144) a³ + b³ + c³ - 3abc = 18(-108) a³ + b³ + c³ - 3abc = -1944

व्याख्या

सबसे पहले, पहले कोष्ठक को हल करें: 25 - (48 ÷ 6) + (12 × 2) = 25 - 8 + 24 = 41। इसके बाद, दूसरे कोष्ठक को सरल करें: 5 + 3 का (25 - 20) = 5 + 3 का 5 = 5 + 15 = 20। अंत में, शेष संक्रियाओं को हल करें: 41 + 78 - 20 = 119 - 20 = 99।

व्याख्या

वर्ष 2015 में कंपनी S के लिए, निर्यात 51 है और निर्यात का आयात से अनुपात 3:2 है, इसलिए आयात = (51 * 2) / 3 = 34। वर्ष 2015 में कंपनी U के लिए, निर्यात 70 है और निर्यात का आयात से अनुपात 1:2 है, इसलिए आयात = 70 * 2 = 140। कंपनियों S और U का मिलाकर कुल आयात 34 + 140 = 174 लाख है।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक बचत 100 है और व्यय 400 है, जिसके परिणामस्वरूप आय 500 होती है। आय में 20 प्रतिशत की वृद्धि (500 से 600) और व्यय में 10 प्रतिशत की वृद्धि (400 से 440) होने पर नई बचत का शेष 160 बचता है। 100 से 160 की वृद्धि 60 प्रतिशत की वृद्धि है।

व्याख्या

क्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: 144 / (1 - 0.28) = 144 / 0.72 = 200। वस्तु को 288 में बेचने पर 88 का लाभ होता है, और लाभ प्रतिशत (88 / 200) * 100 = 44% है।

व्याख्या

नए वृत्त की परिधि दिए गए दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है, इसलिए 2πR = 2π(12) + 2π(16), जिसे सरल करने पर R = 12 + 16 = 28 सेमी प्राप्त होता है। वृत्त का व्यास 2R है, जो 2 × 28 = 56 सेमी के बराबर है।

व्याख्या

एक पतंग ABCD में जहाँ AB = BC और AD = DC है, विकर्ण BD सममिति अक्ष के रूप में कार्य करता है, जिससे त्रिभुज ABD और CBD सर्वांगसम हो जाते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि कोण ABD = कोण CBD (68 = 3x + 2, इसलिए x = 22) और कोण ADB = कोण CDB (2y - 7 = 33, इसलिए y = 20) है। 2x + 3y का मान 2(22) + 3(20) = 44 + 60 = 104 है।

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण cot² θ - 2 cos² θ = 0 है। चूंकि cot θ = (cos θ)/(sin θ) है, इसलिए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(cos² θ)/(sin² θ) - 2 cos² θ = 0

दोनों पदों से cos² θ को उभयनिष्ठ लेने पर:

cos² θ ( (1)/(sin² θ) - 2 ) = 0

दी गई शर्त 0° < θ < 90° के अनुसार, cos θ शून्य नहीं हो सकता क्योंकि cos θ = 0 केवल θ = 90° पर होता है। इसलिए, कोष्ठक के भीतर का पद शून्य के बराबर होना चाहिए:

(1)/(sin² θ) - 2 = 0 sin² θ = ½ sin θ = (1)/(√(2))

अंतराल 0° < θ < 90° में, sine फलन का मान (1)/(√(2)) तब होता है जब θ = 45° होता है।

व्याख्या

दो रैखिक समीकरणों a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के एक निकाय द्वारा संपाती रेखाओं को निरूपित करने के लिए, उनके गुणांकों और अचरों का अनुपात बराबर होना चाहिए: a₁{a₂} = b₁{b₂} = c₁{c₂}।

दिए गए समीकरणों K₁x + 3y = 8 और 4x + K₂y = 16 से मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: K₁{4} = (3)/(K₂₎ = ⁸⁄₁₆

अचर अनुपात को सरल करने पर: ⁸⁄₁₆ = ½

पहले अनुपात को अचर अनुपात के बराबर रखने पर: K₁{4} = ½ ⟹ K₁ = 2

दूसरे अनुपात को अचर अनुपात के बराबर रखने पर: (3)/(K₂₎ = ½ ⟹ K₂ = 6

K₁ = 2 और K₂ = 6 के मानों की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि 6 = 3 × 2, जिससे संबंध K₂ = 3K₁ प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो पाइप एक साथ मिलकर किसी टैंक को भरते हैं, तो लिया गया कुल समय T सूत्र T = (xy)/(x + y) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ x और y प्रत्येक पाइप द्वारा लिया गया व्यक्तिगत समय है। दिए गए मानों x = 14 घंटे और y = 21 घंटे को सूत्र में रखने पर, हमें T = (14 × 21)/(14 + 21) प्राप्त होता है। इससे T = ²⁹⁴⁄₃₅ प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 7 से विभाजित करने पर, भिन्न सरल होकर ⁴²⁄₅ हो जाती है। इस अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर, हमें 8 ⅖ घंटे प्राप्त होते हैं।

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि टैंक की कुल क्षमता 14 और 21 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 42 इकाई है। पाइप X की कार्यक्षमता ⁴²⁄₁₄ = 3 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप Y की कार्यक्षमता ⁴²⁄₂₁ = 2 इकाई प्रति घंटा है। दोनों को एक साथ खोलने पर उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 2 = 5 इकाई प्रति घंटा है। टैंक को भरने में लिया गया समय कुल क्षमता को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि ⁴²⁄₅ = 8 ⅖ घंटे है।

व्याख्या

वृत्तों के ज्यामितीय गुण के अनुसार, परिधि के किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण हमेशा एक समकोण होता है, जिसे अर्धवृत्त में बना कोण भी कहा जाता है। चूंकि PR पहले वृत्त का व्यास है और बिंदु Q उसकी परिधि पर स्थित एक प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए ∠ PQR का मान 90° होना चाहिए। इसी प्रकार, दूसरे वृत्त में जहाँ PS व्यास है, ∠ PQS भी 90° है। चूंकि ∠ PQR और ∠ PQS का योग 180° के बराबर है, इसलिए बिंदु R, Q और S संरेख हैं, जो एक सरल रेखा खंड RS बनाते हैं।

व्याख्या

अंतिम भुगतान ज्ञात करने के लिए, हम चरण-दर-चरण ब्याज और शेष मूलधन की गणना करते हैं:

1. पहले वर्ष का ब्याज प्रारंभिक मूलधन का 8% है: 3,48,020 * 0.08 = ₹27,841.60।
2. पहले वर्ष के अंत में, नमन मूलधन के रूप में ₹15,090 का भुगतान करता है, जिससे नया मूलधन 3,48,020 - 15,090 = ₹3,32,930 बचता है।
3. दूसरे वर्ष का ब्याज शेष मूलधन का 8% है: 3,32,930 * 0.08 = ₹26,634.40।
4. दूसरे वर्ष के अंत में भुगतान की जाने वाली कुल राशि शेष मूलधन और दोनों वर्षों का ब्याज है: 3,32,930 + 27,841.60 + 26,634.40 = ₹3,87,406।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों से, हम त्रिकोणमितीय अनुपातों को अलग करते हैं: ˣ⁄ₚ = sec A cos B (y)/(q) = sec A sin B ᶻ⁄ᵣ = tan A

इन अनुपातों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x²)/(p²) = sec² A cos² B (y²)/(q²) = sec² A sin² B (z²)/(r²) = tan² A

अब, इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (x²)/(p²) + (y²)/(q²) - (z²)/(r²) = sec² A cos² B + sec² A sin² B - tan² A

पहले दो पदों से sec² A को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: sec² A (cos² B + sin² B) - tan² A

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: sec² A (1) - tan² A = sec² A - tan² A

सर्वसमिका 1 + tan² A = sec² A के अनुसार, यह निष्कर्ष निकलता है कि sec² A - tan² A = 1 है। इसलिए, व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

यह परिणाम एक द्विपद योग और एक द्विपद अंतर के वर्गों के योग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका को लागू करके प्राप्त किया जाता है: (A + B)² + (A - B)² = 2(A² + B²) इस सर्वसमिका में A = x और B = y प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²) यह संबंध क्रमशः दोनों वर्गों को x² + 2xy + y² और x² - 2xy + y² में विस्तारित करके प्राप्त किया जाता है। जब इन दोनों व्यंजकों को जोड़ा जाता है, तो मध्य पद +2xy और -2xy योगात्मक प्रतिलोम होने के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे x² + y² + x² + y² बचता है। समान पदों को मिलाने पर 2x² + 2y² प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर गुणनखंडित रूप 2(x² + y²) प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी और चोर के बीच की प्रारंभिक दूरी की गणना सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करके की जा सकती है। चूंकि दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों के बीच का अंतर है।

सापेक्ष गति = पुलिसकर्मी की गति - चोर की गति = 12 किमी/घंटा - 10 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा।

चोर को पकड़ने में लगा समय 30 मिनट दिया गया है। इसे घंटों में बदलने पर: समय = 30 / 60 = 0.5 घंटे।

उनके बीच की दूरी उनकी सापेक्ष गति और अंतर को पाटने में लगे समय का गुणनफल है: दूरी = सापेक्ष गति × समय = 2 किमी/घंटा × 0.5 घंटे = 1 किमी।

इस दूरी को मीटर में बदलने के लिए: मीटर में दूरी = 1 × 1000 = 1000 मीटर।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप, वृत्ताकार चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड को घेरने वाली दोनों त्रिज्याओं के योग के बराबर होता है। परिमाप P का सूत्र P = (θ)/(360°) × 2π r + 2r द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और θ केंद्र पर अंतरित कोण (डिग्री में) है।

दी गई त्रिज्या r = 14 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 45°, और π = ²²⁄₇ है, हम सबसे पहले चाप की लंबाई l की गणना करते हैं: l = ⁴⁵⁄₃₆₀ × 2 × ²²⁄₇ × 14 l = ⅛ × 2 × 22 × 2 l = ⁸⁸⁄₈ = 11 सेमी

त्रिज्यखंड का कुल परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम चाप की लंबाई में दोनों त्रिज्याओं को जोड़ते हैं: P = l + 2r P = 11 + 2(14) P = 11 + 28 = 39 सेमी

व्याख्या

किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, बीजीय सर्वसमिका xⁿ - yⁿ हमेशा x - y से विभाज्य होती है। चूंकि m को एक सम संख्या के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, इसलिए हम मान सकते हैं कि m = 2k, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है। इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 8²ᵏ - 1 प्राप्त होता है। इसे (8²)ᵏ - 1ᵏ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो सरल होकर 64ᵏ - 1ᵏ हो जाता है। विभाज्यता के नियम को लागू करने पर जहाँ x = 64 और y = 1 है, व्यंजक 64ᵏ - 1, k के सभी पूर्णांक मानों के लिए अनिवार्य रूप से 64 - 1 = 63 से विभाज्य है। सबसे छोटे सम धनात्मक पूर्णांक के साथ इसकी पुष्टि करने के लिए, m = 2 रखने पर 8² - 1 = 64 - 1 = 63 प्राप्त होता है, जो कि 63 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के रूप में निरूपित रैखिक समीकरणों के एक निकाय का एक अद्वितीय हल होता है यदि रेखाएं ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। ऐसा तब होता है जब x के गुणांकों का अनुपात y के गुणांकों के अनुपात के बराबर नहीं होता है, जिसे (a₁)/(a₂) ≠ (b₁)/(b₂) की शर्त द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिए गए समीकरणों, 4x + 6y - 7 = 0 और 6x + (k + 4)y - 21 = 0 से, गुणांक a₁ = 4, b₁ = 6, a₂ = 6, और b₂ = k + 4 हैं। इन्हें अद्वितीय हल की शर्त में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

⁴⁄₆ ≠ (6)/(k + 4)

बाईं ओर के भिन्न को सरल करके ⅔ करने और पदों का तिर्यक-गुणन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2(k + 4) ≠ 6 × 3 2k + 8 ≠ 18 2k ≠ 18 - 8 2k ≠ 10 k ≠ 5

व्याख्या

एक 'x खरीदें, y मुफ्त पाएं' (Buy x Get y Free) ऑफर में, प्रभावी छूट की गणना ग्राहक को सौंपी गई वस्तुओं की कुल संख्या के आधार पर की जाती है। मान लीजिए कि प्रत्येक स्वेटर का अंकित मूल्य M है। इस विशिष्ट योजना में, ग्राहक 5 स्वेटरों के लिए भुगतान करता है लेकिन उसे कुल 7 स्वेटर प्राप्त होते हैं।

7 स्वेटरों का कुल अंकित मूल्य = 7M दी गई कुल छूट (2 मुफ्त स्वेटरों का मूल्य) = 2M

प्रभावी छूट प्रतिशत का सूत्र है: छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या)/(वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: छूट % = (2)/(5 + 2) × 100 = ²⁄₇ × 100

भिन्नात्मक समतुल्य का उपयोग करते हुए जहाँ ⅐ = 14 ²⁄₇% है, हम गणना करते हैं: छूट % = 2 × 14 ²⁄₇% = 28 ⁴⁄₇%

व्याख्या

पूरी कक्षा का औसत अंक भारित औसत सूत्र A = (n₁ a₁ + n₂ a₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। 30 छात्रों की इस कक्षा में, पहले समूह में n₁ = 10 छात्र हैं जिनका औसत अंक a₁ = 90 है। शेष छात्र दूसरा समूह बनाते हैं, जहाँ n₂ = 30 - 10 = 20 है, जिनका औसत अंक a₂ = 75 है। गणना को सरल बनाने के लिए, छात्रों की संख्या को n₁:n₂ = 10:20 के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो घटकर 1:2 हो जाता है। इन अनुपातों को भार के रूप में उपयोग करने पर, गणना ((1 × 90) + (2 × 75))/(1 + 2) हो जाती है। यह आगे सरल होकर (90 + 150)/(3) = ²⁴⁰⁄₃ = 80 हो जाता है।