एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

चूंकि पुलिसकर्मी और चोर एक ही समय पर दौड़ना शुरू करते हैं और पीछा तब समाप्त होता है जब पुलिसकर्मी चोर को पकड़ लेता है, इसलिए दोनों के लिए यात्रा का समय t नियत (constant) है। सूत्र दूरी = चाल × समय का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि जब समय नियत होता है, तो तय की गई दूरी चाल के सीधे समानुपाती होती है (D ∝ V)।

पुलिसकर्मी और चोर की चाल का अनुपात Vₚ : Vₜ = 5 : 4 है। इसलिए, उनके द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात भी Dₚ : Dₜ = 5 : 4 है। माना पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 5x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 4x है।

तय की गई दूरियों का अंतर 150 मीटर के शुरुआती अंतर को दर्शाता है जिसे पुलिसकर्मी को पूरा करना है। 5x - 4x = 150 x = 150

पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी 4x है: Dₜ = 4 × 150 = 600 मीटर

व्याख्या

छह महीनों के लिए दिए गए उत्पादन आंकड़ों से, उच्चतम उत्पादन मूल्य 108 इकाइयाँ है, जो नवंबर में हुआ था। न्यूनतम उत्पादन मूल्य 45 इकाइयाँ है, जो मई में हुआ था।

उच्चतम उत्पादन का न्यूनतम उत्पादन से आवश्यक अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम भिन्न बनाते हैं:

अनुपात = (उच्चतम उत्पादन)/(न्यूनतम उत्पादन) = ¹⁰⁸⁄₄₅

108 और 45 दोनों अपने महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाज्य हैं, जो कि 9 है। अंश और हर दोनों को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

108 ÷ 9 = 12 45 ÷ 9 = 5

इसके परिणामस्वरूप सरल अनुपात 12 : 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

VBODMAS नियम का पालन करते हुए, हम सबसे पहले कोष्ठक के अंदर की संक्रियाओं को हल करते हैं, उसके बाद 'का' (of), भाग, गुणा, जोड़ और घटाव को हल करते हैं।

व्यंजक [(2.5 + 1.5)² ÷ 4 का ½ × 8 - 1] है।

चरण 1: कोष्ठक के अंदर के जोड़ को हल करें: (2.5 + 1.5) = 4

चरण 2: परिणाम का वर्ग करें: 4² = 16

चरण 3: 'का' (of) संकारक को हल करें: 4 का ½ = 4 × ½ = 2

अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: [16 ÷ 2 × 8 - 1]

चरण 4: भाग करें: 16 ÷ 2 = 8

चरण 5: गुणा करें: 8 × 8 = 64

चरण 6: अंतिम घटाव करें: 64 - 1 = 63

व्याख्या

किसी त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई s, सूत्र s = (θ)/(360) · 2π r द्वारा दी जाती है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r त्रिज्या है। दिया गया है s = 44 सेमी और θ = 30°, हम सबसे पहले त्रिज्या ज्ञात करते हैं: 44 = ³⁰⁄₃₆₀ · 2 · ²²⁄₇ · r 44 = ¹⁄₁₂ · ⁴⁴⁄₇ · r r = (44 · 84)/(44) = 84 सेमी।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A, चाप की लंबाई और त्रिज्या के बीच के संबंध, A = ½ · s · r का उपयोग करके सीधे ज्ञात किया जा सकता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = ½ · 44 · 84 A = 22 · 84 = 1848 सेमी²।

व्याख्या

एक बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) की गणना सूत्र CSA = 2 π r h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या को और h ऊँचाई को दर्शाता है। जब दो बेलनों की तुलना की जाती है, तो उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात और उनकी ऊँचाइयों के अनुपात का गुणनफल होता है क्योंकि नियतांक पद 2 π आपस में कट जाता है:

CSA₁{CSA₂} = 2 π r₁ h₁{2 π r₂ h₂} = ( r₁{r₂} ) × ( h₁{h₂} )

यह दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात r₁:r₂ = 4:5 है और ऊँचाइयों का अनुपात h₁:h₂ = 5:7 है, इन मानों को संबंध में रखने पर:

CSA₁{CSA₂} = ⅘ × ⁵⁄₇

अंश और हर में मौजूद मान 5 आपस में कट जाता है, जिससे अनुपात 4/7 बचता है। अतः, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4:7 है।

व्याख्या

व्यंजक (1)/(1+cos θ) + (1)/(1-cos θ) को सरल करने के लिए, हम सबसे पहले दोनों अलग-अलग हरों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं: (1 + cos θ)(1 - cos θ)। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करने पर, हर 1 - cos² θ हो जाता है।

तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) द्वारा अंश ज्ञात किया जाता है: (1 - cos θ) + (1 + cos θ)। अंश को सरल करने पर 1 - cos θ + 1 + cos θ = 2 प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप संयुक्त भिन्न प्राप्त होती है:

(2)/(1 - cos² θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, व्यंजक 1 - cos² θ, sin² θ के बराबर होता है। इसे भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(2)/(sin² θ)

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (reciprocal trigonometric identity) का उपयोग करने पर जहाँ (1)/(sin θ) = csc θ होता है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि (1)/(sin² θ) = csc² θ। अतः, मूल व्यंजक का सरलीकृत मान 2 csc² θ है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि पाइप B को कब बंद किया जाना चाहिए, हम कुल अवधि के दौरान पाइप A द्वारा भरे गए टैंक के भाग को निर्धारित करते हैं। चूंकि टैंक 32 मिनट में भर जाता है और पाइप A को कभी बंद नहीं किया जाता है, इसलिए पाइप A पूरे 32 मिनट तक कार्य करता है। पाइप A और B के भरने की दर क्रमशः प्रति मिनट टैंक का 1/48 और 1/66 भाग है।

32 मिनट में पाइप A द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार है: कार्य_A = 32 × ¹⁄₄₈ = ⅔

पाइप B द्वारा पूरा किया जाने वाला शेष कार्य है: कार्य_B = 1 - ⅔ = ⅓

मान लीजिए कि पाइप B, x मिनट तक खुला रहता है। x मिनट में पाइप B द्वारा किया गया कार्य है: ˣ⁄₆₆ = ⅓

x के लिए हल करने पर: x = ⁶⁶⁄₃ = 22

अतः, यह सुनिश्चित करने के लिए कि टैंक ठीक 32 मिनट में भर जाए, पाइप B को 22 मिनट के बाद बंद कर दिया जाना चाहिए।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 7 tan θ = 3 से, हमें प्राप्त होता है कि tan θ = ³⁄₇। व्यंजक (7 sin θ + 5 cos θ)/(7 sin θ - 2 cos θ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम पदों को tan θ के रूप में व्यक्त करने के लिए अंश और हर दोनों को cos θ से विभाजित कर सकते हैं:

(7 sin θ)/(cos θ) + (5 cos θ)/(cos θ){(7 sin θ)/(cos θ) - (2 cos θ)/(cos θ)} = (7 tan θ + 5)/(7 tan θ - 2)

इस सरलीकृत रूप में सीधे दिए गए मान 7 tan θ = 3 को प्रतिस्थापित करने पर:

(3 + 5)/(3 - 2) = ⁸⁄₁ = 8

वैकल्पिक रूप से, चूंकि tan θ = ³⁄₇ = (sin θ)/(cos θ), हम sin θ को 3k और cos θ को 7k से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(7(3k) + 5(7k))/(7(3k) - 2(7k)) = (21k + 35k)/(21k - 14k) = ⁵⁶ᵏ⁄₇ₖ = 8

व्याख्या

माना भुजा AB की लंबाई x सेमी है। दिए गए संबंधों के आधार पर, भुजा BC की लंबाई 2x - 2 सेमी है और भुजा AC की लंबाई x + 10 सेमी है। त्रिभुज का परिमाप इन तीनों भुजाओं का योग है, जो कि 40 सेमी दिया गया है। हम निम्नलिखित बीजगणितीय समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

x + (2x - 2) + (x + 10) = 40

समान पदों को मिलाकर समीकरण को सरल करने पर प्राप्त होता है:

4x + 8 = 40 4x = 32 x = 8

भुजाओं की लंबाई के व्यंजकों में x का मान वापस रखने पर, हमें प्राप्त होता है: AB = 8 सेमी BC = 2(8) - 2 = 14 सेमी AC = 8 + 10 = 18 सेमी

तीनों भुजाओं की लंबाई (8 सेमी, 14 सेमी और 18 सेमी) की तुलना करने पर, सबसे छोटी भुजा की लंबाई 8 सेमी है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण cot⁴φ - cot²φ = 1 को हम इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: cot⁴φ = 1 + cot²φ

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot²φ = csc²φ का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं: cot⁴φ = csc²φ

पदों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के रूप में व्यक्त करने पर: (cos⁴φ)/(sin⁴φ) = (1)/(sin²φ) cos⁴φ = (sin⁴φ)/(sin²φ) cos⁴φ = sin²φ

सर्वसमिका sin²φ = 1 - cos²φ का उपयोग करते हुए, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: cos⁴φ = 1 - cos²φ cos⁴φ + cos²φ = 1

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र Sₙ = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ द्वारा दिया जाता है। इन वर्गों का औसत ज्ञात करने के लिए, हम कुल योग को पदों की संख्या n से विभाजित करते हैं, जिससे यह सूत्र सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

औसत = ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆

प्रथम 46 प्राकृतिक संख्याओं के लिए, हम सूत्र में n = 46 रखते हैं:

औसत = ((46+1)(2 × 46 + 1))/(6) औसत = (47 × (92 + 1))/(6) औसत = (47 × 93)/(6)

93 और 6 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक 3 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

औसत = (47 × 31)/(2) औसत = ¹⁴⁵⁷⁄₂ औसत = 728.5

व्याख्या

मान लीजिए कि स्कूटर का विक्रय मूल्य (SP) x है। प्रश्न के अनुसार, लाभ विक्रय मूल्य का ⅙ भाग है, जो कि ˣ⁄₆ है।

क्रय मूल्य (CP) की गणना विक्रय मूल्य में से लाभ को घटाकर की जाती है: CP = SP - लाभ = x - ˣ⁄₆ = ⁵ˣ⁄₆

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(CP) × 100

सूत्र में मान रखने पर: लाभ % = (x)/(6){⁵ˣ⁄₆} × 100 = ⅕ × 100 = 20%

विक्रय मूल्य का संख्यात्मक मान (24,318) प्रतिशत की गणना को प्रभावित नहीं करता है क्योंकि लाभ को स्वयं विक्रय मूल्य के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि हम विक्रय मूल्य को 6 इकाई मानते हैं, तो लाभ 1 इकाई होगा, जिससे क्रय मूल्य 5 इकाई हो जाता है। इस प्रकार लाभ प्रतिशत ⅕ × 100 है, जो 20% के बराबर है।

व्याख्या

11 के लिए विभाज्यता का नियम यह कहता है कि कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का निरपेक्ष अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो। संख्या 128041 के लिए, विषम स्थानों (पहला, तीसरा और पांचवां) पर अंक 1, 8 और 4 हैं, जबकि सम स्थानों (दूसरा, चौथा और छठा) पर अंक 2, 0 और 1 हैं। योगों की गणना करने पर Sₒ_d_d = 1 + 8 + 4 = 13 और Sₑᵥₑₙ = 2 + 0 + 1 = 3 प्राप्त होता है। इन योगों के बीच का निरपेक्ष अंतर |13 - 3| = 10 है। चूंकि 10, 11 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 128041 भी 11 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

माना x = m - 16 और y = n - 8 है। इन दोनों चरों का योग ज्ञात करने के लिए, हम इन व्यंजकों को जोड़ते हैं: x + y = (m - 16) + (n - 8) = m + n - 24। दी गई शर्त m + n = 24 को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x + y = 24 - 24 = 0 प्राप्त होता है।

घनों के बीजगणितीय गुण के अनुसार, यदि दो संख्याओं का योग शून्य है, तो उनके घनों का योग भी शून्य होता है। विशेष रूप से, यदि x + y = 0 है, तो x = -y होगा। दोनों पक्षों का घन करने पर x³ = (-y)³ = -y³ प्राप्त होता है, जिससे x³ + y³ = 0 प्राप्त होता है। मूल व्यंजकों को वापस इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (m - 16)³ + (n - 8)³ = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज में एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा को ऐसे खंडों में विभाजित करता है जिनकी लंबाई आसन्न भुजाओं के अनुपात में होती है। Δ DEF में, चूंकि DN, ∠ D का समद्विभाजक है, इसलिए यह भुजा EF को इस प्रकार विभाजित करता है:

(EN)/(NF) = (DE)/(DF)

दिए गए मानों DE = 36 सेमी और DF = 40 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

(EN)/(NF) = ³⁶⁄₄₀ = ⁹⁄₁₀

इसका अर्थ है कि भुजा EF को दो भागों, EN और NF में 9:10 के अनुपात में विभाजित किया गया है। यह देखते हुए कि EF की कुल लंबाई 38 सेमी है, NF की लंबाई की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

NF = (10)/(9 + 10) × EF

NF = ¹⁰⁄₁₉ × 38

NF = 10 × 2 = 20 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि पुरुष और महिला सदस्यों की प्रारंभिक संख्या क्रमशः 2x और 3x है। जब पुरुष सदस्यों की संख्या में 200 की वृद्धि की जाती है, तो पुरुष सदस्यों की नई संख्या 2x + 200 हो जाती है। प्रश्न के अनुसार, पुरुषों और महिलाओं का नया अनुपात 5 : 6 है।

(2x + 200)/(3x) = 5/6

तिर्यक गुणन करने पर 6(2x + 200) = 5(3x) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 12x + 1200 = 15x प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 12x घटाने पर 3x = 1200 प्राप्त होता है। चूँकि महिला सदस्यों की संख्या 3x है, इसलिए क्लब में महिला सदस्यों की कुल संख्या 1200 है। वैकल्पिक रूप से, x के लिए हल करने पर x = 400 प्राप्त होता है, और इसे 3 से गुणा करने पर पुष्टि होती है कि महिला सदस्यों की संख्या 1200 है।

व्याख्या

छूट की राशि की गणना वस्तु के अंकित मूल्य (MP) पर सीधे छूट प्रतिशत लागू करके की जाती है। मानक सूत्र का उपयोग करते हुए:

छूट (रुपये में) = (छूट %)/(100) × अंकित मूल्य

यह देखते हुए कि अंकित मूल्य 180 रुपये है और छूट की दर 15% है, गणना इस प्रकार है:

छूट = ¹⁵⁄₁₀₀ × 180

छूट = 0.15 × 180

इसे जल्दी से हल करने के लिए, 180 का 10% 18 है, और 5% (10% का आधा) 9 है। इन्हें एक साथ जोड़ने पर 18 + 9 = 27 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, भिन्न को सरल करने पर:

छूट = ³⁄₂₀ × 180 = 3 × 9 = 27

वस्तु पर दी गई कुल छूट 27 रुपये है।

व्याख्या

माना n पहले वर्ष के बाद बीतने वाले वर्षों की संख्या को दर्शाता है। पहले वर्ष में, डेज़ी के 6 पौधे और चमेली के 26 पौधे हैं। चूंकि माली प्रत्येक वर्ष डेज़ी के 3 पौधे लगाता है, इसलिए n अतिरिक्त वर्षों के बाद डेज़ी के पौधों की संख्या को व्यंजक 6 + 3n द्वारा दर्शाया जाता है। इसी प्रकार, चूंकि माली के प्रत्येक वर्ष चमेली के 2 पौधे कम हो जाते हैं, इसलिए n अतिरिक्त वर्षों के बाद चमेली के पौधों की संख्या को व्यंजक 26 - 2n द्वारा दर्शाया जाता है।

यह ज्ञात करने के लिए कि पौधों की संख्या कब बराबर होगी, इन दोनों व्यंजकों को एक दूसरे के बराबर रखें: 6 + 3n = 26 - 2n

n वाले पदों को एक तरफ और अचर (constant) मानों को दूसरी तरफ व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3n + 2n = 26 - 6 5n = 20 n = 4

इस प्रकार, पहले वर्ष के 4 वर्ष बाद डेज़ी के पौधों की संख्या चमेली के पौधों की संख्या के बराबर होगी। इस समय, दोनों के पास 6 + 3(4) = 18 पौधे होंगे।

व्याख्या

एक वृत्त में, त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के सदैव लंबवत होती है। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और P, बिंदु T से स्पर्श रेखा खंड का स्पर्श बिंदु है। इससे एक समकोण त्रिभुज OPT बनता है, जहाँ कर्ण, केंद्र से बिंदु T की दूरी (OT = 40 सेमी) है और एक भुजा स्पर्श रेखा की लंबाई (PT = 32 सेमी) है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OP² + PT² = OT² r² + 32² = 40² r² = 1600 - 1024 r² = 576 r = √(576) = 24 सेमी

वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: d = 2r = 2 × 24 = 48 सेमी