एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दो क्रमिक लेन-देन के लिए कुल लाभ या हानि प्रतिशत की गणना शुद्ध परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x और y प्रतिशत परिवर्तनों को दर्शाते हैं। इस मामले में, पहला लेन-देन 20% की हानि (x = -20) है और दूसरा लेन-देन 30% का लाभ (y = +30) है।

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -20 + 30 + (-20 × 30)/(100) = 10 - 6 = 4%.

चूंकि परिणाम धनात्मक है, इसलिए प्रारंभिक निवेश पर कुल 4% का लाभ होता है। रुपये में कुल लाभ है: कुल लाभ = 42000 × ⁴⁄₁₀₀ = 1680.

वैकल्पिक रूप से, पहला विक्रय मूल्य 42000 × 0.80 = 33600 है। इस राशि का उपयोग दूसरी वस्तु खरीदने के लिए किया जाता है, जिसे फिर 33600 × 1.30 = 43680 में बेचा जाता है। कुल लाभ अंतिम राशि में से प्रारंभिक लागत को घटाकर प्राप्त होता है: 43680 - 42000 = 1680।

व्याख्या

एक बेलन के आयतन V की गणना सूत्र V = π r² h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है। दी गई त्रिज्या r = 8 सेमी और ऊंचाई h = 14 सेमी है, और π = ²²⁄₇ मान का उपयोग करने पर, आयतन इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:

V = ²²⁄₇ × 8² × 14

V = ²²⁄₇ × 64 × 14

ऊंचाई के मान के साथ भिन्न को सरल करने पर:

V = 22 × 64 × 2

V = 44 × 64

गुणा करने पर परिणाम V = 2816 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना प्राची और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः P और D है।

पहली शर्त के अनुसार, सात वर्ष पहले: P - 7 = 4(D - 7) P - 4D = -21 (समीकरण 1)

दूसरी शर्त के अनुसार, अब से चार वर्ष बाद: P + 4 = 2.5(D + 4) P + 4 = 2.5D + 10 P - 2.5D = 6 (समीकरण 2)

D का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण 1 में से समीकरण 2 को घटाने पर: (P - 4D) - (P - 2.5D) = -21 - 6 -1.5D = -27 D = 18

समीकरण 2 में D = 18 रखने पर: P - 2.5(18) = 6 P - 45 = 6 P = 51

उनकी वर्तमान आयु का योग P + D = 51 + 18 = 69 वर्ष है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सीधे चाप की लंबाई और त्रिज्या के बीच के संबंध का उपयोग करके की जा सकती है। सूत्र है: क्षेत्रफल A = ½ × r × l, जहाँ r त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है।

दी गई त्रिज्या r = 15.75 सेमी और चाप की लंबाई l = 11 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

A = ½ × 15.75 × 11

A = (173.25)/(2)

A = 86.625 सेमी²

व्याख्या

यह व्यंजक त्रिघाती बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) का सीधा अनुप्रयोग है। मान लीजिए कि चरों को a = 8.3, b = 9.2, और c = 6.1 के रूप में परिभाषित किया गया है। दिए गए भिन्न में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक निम्नलिखित रूप ले लेता है:

a³ + b³ + c³ - 3abc{a² + b² + c² - ab - bc - ca}

अंश का विस्तार करने के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम उभयनिष्ठ पदों को दर्शाने के लिए भिन्न को पुनः इस प्रकार लिख सकते हैं:

(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca){a² + b² + c² - ab - bc - ca}

यह मानते हुए कि यह गैर-शून्य है, अंश और हर दोनों में उपस्थित द्विघात गुणनखंड (a² + b² + c² - ab - bc - ca) निरस्त हो जाता है। इससे सरल किया गया परिणाम तीनों चरों के योग के रूप में बचता है:

a + b + c

इस सरलीकृत व्यंजक में संख्यात्मक मानों को वापस प्रतिस्थापित करने पर, हम निम्नलिखित योग करते हैं:

8.3 + 9.2 + 6.1 = 17.5 + 6.1 = 23.6

8.3 और 9.2 का योग 17.5 होता है, और उस कुल योग में 6.1 जोड़ने पर अंतिम मान 23.6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

टैनजेंट (tangent) और सीकेंट (secant) को संबंधित करने वाली त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²(t) = 1 + tan²(t) है। सूत्र में दिए गए मान tan(t) = ⅓ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec²(t) = 1 + (⅓)² प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर sec²(t) = 1 + ⅑ प्राप्त होता है, जो ¹⁰⁄₉ के बराबर है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर sec(t) = ± √(¹⁰⁄₉) प्राप्त होता है, जो सरल होकर ± √(10){3} हो जाता है। दिए गए विकल्पों के आधार पर, धनात्मक मान √(10){3} ही अभीष्ट उत्तर है।

व्याख्या

त्रिभुजों Δ PQR और Δ SRQ में, हमें दिया गया है कि PQ = SR और ∠ PQR = ∠ SRQ = 90° है। इसके अतिरिक्त, भुजा QR दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है, जिसे सही शीर्ष संगति (vertex correspondence) बनाए रखने के लिए QR = RQ लिखा जा सकता है।

भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता नियम के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके अंतर्गत कोण, दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों। यहाँ, Δ PQR की भुजाएँ PQ और QR तथा Δ SRQ की संगत भुजाएँ SR और RQ बराबर हैं, और अंतर्गत कोण ∠ PQR और ∠ SRQ दोनों 90° हैं।

शीर्ष संगति P ↔ S, Q ↔ R, और R ↔ Q है। यह संगति सुनिश्चित करती है कि PQ, SR के संगत है, QR, RQ के संगत है, और PR, SQ के संगत है। इस प्रकार, SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा Δ PQR ≅ Δ SRQ है।

व्याख्या

माना वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, अंकित मूल्य (MP) क्रय मूल्य से 26% अधिक है, जिससे MP = 100 + 0.26 × 100 = 126 इकाई प्राप्त होता है। विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करने के लिए अंकित मूल्य पर 32% की छूट दी जाती है।

SP = MP × (1 - (छूट)/(100)) = 126 × (1 - 0.32) = 126 × 0.68 = 85.68 इकाई।

हानि प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: हानि% = (CP - SP)/(CP) × 100 हानि% = (100 - 85.68)/(100) × 100 = 14.32%

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके, जहाँ x = 26 (मूल्य वृद्धि) और y = -32 (छूट) है: कुल परिवर्तन = 26 - 32 + (26 × (-32))/(100) = -6 - ⁸³²⁄₁₀₀ = -6 - 8.32 = -14.32%

ऋणात्मक चिह्न 14.32% की हानि को दर्शाता है।

व्याख्या

एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में, दोनों भुजाओं की लंबाई समान होती है। माना प्रत्येक भुजा की लंबाई a है। त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ a² द्वारा दिया जाता है। दिया गया क्षेत्रफल 50 वर्ग इकाई है: ½ a² = 50 a² = 100 a = 10 इकाई।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण h की गणना इस प्रकार की जाती है: h² = a² + a² = 2a² h = √(2a²) = a√2 a = 10 रखने पर: h = 10√2 इकाई।

वैकल्पिक रूप से, एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को सूत्र A = (h²)/(4) का उपयोग करके सीधे उसके कर्ण के पदों में व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए मानों को रखने पर: 50 = (h²)/(4) h² = 200 h = √(200) = 10√2 इकाई।

व्याख्या

संतुलन समीकरण आय = व्यय + बचत का उपयोग करते हुए, माना प्रारंभिक आय 100 इकाई है। चूंकि व्यक्ति 80% खर्च करता है, इसलिए प्रारंभिक व्यय 80 इकाई है और प्रारंभिक बचत 20 इकाई है।

20% की वृद्धि के बाद नई आय 100 × 1.20 = 120 इकाई है। 10% की वृद्धि के बाद नया व्यय 80 × 1.10 = 88 इकाई है। नई बचत नई आय और नए व्यय के बीच के अंतर से निर्धारित होती है: S' = 120 - 88 = 32 इकाई।

बचत में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (नई बचत - प्रारंभिक बचत)/(प्रारंभिक बचत) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत वृद्धि = (32 - 20)/(20) × 100 = ¹²⁄₂₀ × 100 = 60%

प्रदान की गई ₹16,000 की प्रारंभिक आय इस अनुपात की पुष्टि करती है, लेकिन जब प्रारंभिक अनुपात पहले से ही स्थापित हो, तो प्रतिशत-आधारित परिवर्तन समस्याओं को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता नहीं होती है।

व्याख्या

संख्या 9 के विभाज्यता के नियम के अनुसार, जब किसी पूर्णांक को 9 से विभाजित किया जाता है, तो प्राप्त होने वाला शेषफल, उसके अंकों के योग को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले शेषफल के समान होता है। यह सिद्धांत इस गुण से उत्पन्न होता है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए 10ⁿ ≡ 1 (mod 9) होता है, जो किसी भी संख्या को मॉड्यूलर अंकगणित आधार 9 में उसके अंकों के योग के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।

28735429 के लिए शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इसके अंकों के योग की गणना करते हैं: 2 + 8 + 7 + 3 + 5 + 4 + 2 + 9 = 40

इसके बाद, हम यह शेषफल निर्धारित करते हैं जब इस योग को 9 से विभाजित किया जाता है: 40 = (9 × 4) + 4

चूंकि अंकों का योग 40, 9 से विभाजित होने पर 4 शेषफल छोड़ता है, इसलिए मूल संख्या 28735429 को भी 9 से विभाजित करने पर 4 शेषफल प्राप्त होगा। इसे योग का डिजिटल रूट (बीजांक) ज्ञात करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जहाँ 4 + 0 = 4 है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज के लिए, आंतरिक कोणों का योग π रेडियन होना चाहिए। यदि एक कोण अन्य दो कोणों का औसत है, तो मान लीजिए कि कोण A, B और C इस प्रकार हैं कि B = (A + C)/(2) है। इस शर्त का तात्पर्य है कि 2B = A + C है। इसे त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म A + B + C = π में प्रतिस्थापित करने पर 3B = π प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि कोणों में से एक कोण (π)/(3) होना चाहिए।

कोणों के पहले समूह (π)/(6), (π)/(3) और (π)/(2) में, योग (π)/(6) + (2π)/(6) + (3π)/(6) = (6π)/(6) = π है, जो त्रिभुज के गुणधर्म को संतुष्ट करता है। औसत की शर्त को सत्यापित करने के लिए, हम सबसे छोटे और सबसे बड़े कोणों के औसत की गणना करते हैं: (π)/(6) + (π)/(2){2} = (π + 3π)/(6){2} = (4π)/(12) = (π)/(3)। चूंकि तीसरा कोण ठीक (π)/(3) है, इसलिए यह शर्त संतुष्ट होती है। यह समूह पहले संख्यात्मक लेबल से मेल खाता है, जिसे विकल्प d से मैप किया गया है।

व्याख्या

किसी वृत्त के केंद्र को एक बाहरी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड, उस बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। दिया गया है कि स्पर्श रेखाएं PA और PB एक-दूसरे से ∠ APB = 60° के कोण पर झुकी हुई हैं, इसलिए कोण ∠ APO इस मान का आधा होगा: ∠ APO = ½ ∠ APB = (60°)/(2) = 30°

वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए, त्रिज्या OA स्पर्श रेखा PA पर लंब है, जिससे ∠ OAP = 90° बनता है। समकोण त्रिभुज △ OAP में, अंतः कोणों का योग 180° होता है: ∠ POA + ∠ OAP + ∠ APO = 180° ∠ POA + 90° + 30° = 180° ∠ POA = 180° - 120° = 60°

व्याख्या

माना B की वर्तमान आयु x वर्ष है। प्रश्न के अनुसार, A की आयु 3x है और C की आयु x + 5 है। उनकी आयु का योग 75 वर्ष दिया गया है:

3x + x + (x + 5) = 75 5x + 5 = 75 5x = 70 x = 14

B की वर्तमान आयु 14 वर्ष है, और A की वर्तमान आयु 3 × 14 = 42 वर्ष है।

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए: पाँच वर्ष पूर्व B की आयु = 14 - 5 = 9 वर्ष अब से तीन वर्ष बाद A की आयु = 42 + 3 = 45 वर्ष

B की पाँच वर्ष पूर्व की आयु का, A की अब से तीन वर्ष बाद की आयु से अनुपात 9 : 45 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 9 से विभाजित करने पर, हमें सरल अनुपात 1 : 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो चर x और y व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, तो उनका गुणनफल स्थिर रहता है। इस संबंध को गणितीय सूत्र x · y = k द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ k अनुपाती नियतांक (constant of variation) है। दिए गए प्रारंभिक मानों, x = 2 और y = 6 का उपयोग करके, हम नियतांक का मान निर्धारित कर सकते हैं:

k = x₁ · y₁ = 2 · 6 = 12

x = 3 होने पर y का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को व्युत्क्रमानुपाती समीकरण x₂ · y₂ = k में प्रतिस्थापित करते हैं:

3 · y = 12

y के लिए हल करने पर:

y = ¹²⁄₃ = 4

वैकल्पिक रूप से, इस संबंध की गणना अनुपात x₁ y₁ = x₂ y₂ का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर 2 · 6 = 3 · y प्राप्त होता है, जो सरल होकर 12 = 3y हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप y = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

3 वर्षों के लिए 15% की दर पर ₹5,000 की पहली राशि के लिए: SI₁ = (5000 × 15 × 3)/(100) = 50 × 45 = 2,250

4 वर्षों के लिए 12% की दर पर ₹8,000 की दूसरी राशि के लिए: SI₂ = (8000 × 12 × 4)/(100) = 80 × 48 = 3,840

भुगतान किए गए ब्याजों के बीच धनात्मक अंतर है: अंतर = |SI₂ - SI₁| = 3,840 - 2,250 = 1,590

व्याख्या

एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक ही दिशा में चलते हुए दो व्यक्तियों के पहली बार मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र t = (L)/(v₁ - v₂) का उपयोग करते हैं, जहाँ L पथ की लंबाई है और v₁ तथा v₂ उनकी क्रमशः गति हैं।

सबसे पहले, ⁵⁄₁₈ से गुणा करके गतियों को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलें: वरुण की गति = 90 × ⁵⁄₁₈ = 25 मीटर/सेकंड संदीप की गति = 108 × ⁵⁄₁₈ = 30 मीटर/सेकंड

चूंकि वे एक ही दिशा में आगे बढ़ रहे हैं, इसलिए वरुण के सापेक्ष संदीप की सापेक्ष गति है: सापेक्ष गति = 30 - 25 = 5 मीटर/सेकंड

पहली बार फिर से मिलने में लगने वाला समय इस सापेक्ष गति से 1635 मीटर की पथ की लंबाई को तय करने में लगने वाला समय है: t = ¹⁶³⁵⁄₅ = 327 सेकंड

व्याख्या

माना टैंक की क्षमता भरने के समय 25, 50 और 100 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 100 इकाई है। पाइपों की भरने की दक्षता (इकाई प्रति मिनट) की गणना निम्नानुसार की जाती है: पाइप M की दक्षता (E_M) = 100 / 25 = 4 पाइप N की दक्षता (E_N) = 100 / 50 = 2 पाइप S की दक्षता (E_S) = 100 / 100 = 1

माना टैंक को भरने में लगा कुल समय T मिनट है। वर्णित कार्य प्रणाली के आधार पर: पाइप N केवल पहले 10 मिनट के लिए कार्य करता है। पाइप M, 10 मिनट के बाद शुरू होता है और टैंक के भरने तक कार्य करता है, इसलिए यह T - 10 मिनट के लिए कार्य करता है। पाइप S शुरुआत में शुरू होता है लेकिन टैंक भरने से 15 मिनट पहले बंद हो जाता है, इसलिए यह T - 15 मिनट के लिए कार्य करता है।

प्रत्येक पाइप द्वारा भरे गए पानी का योग कुल क्षमता 100 इकाइयों के बराबर है: (E_N × 10) + (E_M × (T - 10)) + (E_S × (T - 15)) = 100 (2 × 10) + 4(T - 10) + 1(T - 15) = 100 20 + 4T - 40 + T - 15 = 100 5T - 35 = 100 5T = 135 T = 27

टैंक को भरने में लगा कुल समय 27 मिनट है।

व्याख्या

व्यंजक 21 - 4.9 ÷ 7 + 3.9 × 0.4 + 0.9 को सरल करने के लिए, BODMAS नियम द्वारा परिभाषित संक्रियाओं के क्रम का पालन किया जाता है, जिसमें जोड़ और घटाव से पहले भाग और गुणा को प्राथमिकता दी जाती है। सबसे पहले, भाग 4.9 ÷ 7 करें, जो 0.7 के बराबर है। इसके बाद, गुणा 3.9 × 0.4 की गणना करें, जिसके परिणामस्वरूप 1.56 प्राप्त होता है। अब व्यंजक सरल होकर 21 - 0.7 + 1.56 + 0.9 हो जाता है। बाएँ से दाएँ घटाव और जोड़ की क्रिया करते हुए, 21 में से 0.7 घटाने पर 20.3 प्राप्त होता है। फिर, 20.3 में 1.56 जोड़ें, जिसके परिणामस्वरूप 21.86 प्राप्त होता है। अंत में, 21.86 में 0.9 जोड़ने पर अंतिम परिणाम 22.76 प्राप्त होता है।

व्याख्या

16वें दिन का तापमान दिए गए दो अवधियों के बीच के ओवरलैप (अतिव्यापन) की गणना करके निर्धारित किया जाता है। जनवरी में 31 दिन होते हैं। पूरे महीने के तापमान का कुल योग, मासिक औसत और दिनों की संख्या का गुणनफल है: कुल योग = 31 × 24 = 744°C.

पहले सोलह दिनों के तापमान का योग 16 × 22 = 352°C है। अंतिम सोलह दिनों के तापमान का योग 16 × 26 = 416°C है।

जब पहले सोलह दिनों और अंतिम सोलह दिनों के योग को एक साथ जोड़ा जाता है, तो 16वें दिन की गणना दो बार की जाती है, जबकि अन्य सभी दिनों की गणना एक बार की जाती है। इसलिए, 16वें दिन के तापमान को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 16वें दिन का तापमान = (पहले 16 दिनों का योग + अंतिम 16 दिनों का योग) - कुल मासिक योग 16वें दिन का तापमान = (352 + 416) - 744 16वें दिन का तापमान = 768 - 744 = 24°C।

व्याख्या

इस सरलीकरण में घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग किया जाता है, जो a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) है। a = sin A और b = cos A प्रतिस्थापित करने पर, अंश sin³ A - cos³ A को (sin A - cos A)(sin² A + sin A cos A + cos² A) के रूप में लिखा जा सकता है।

जब इस गुणनखंडित रूप को वापस मूल भिन्न में रखा जाता है, तो अंश और हर दोनों में मौजूद उभयनिष्ठ पद (sin A - cos A) निरस्त (cancel) हो जाता है। इससे व्यंजक sin² A + sin A cos A + cos² A बचता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, यह पद और सरल होकर 1 + sin A cos A हो जाता है।

व्याख्या

△ AFC में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ ACF = 50° और ∠ AFC = 30°, हमें प्राप्त होता है: ∠ FAC = 180° - (50° + 30°) = 100°। चूंकि F, A, B संरेख (collinear) हैं, इसलिए कोण ∠ CAB, ∠ FAC का संपूरक (supplementary) है, जिससे ∠ CAB = 180° - 100° = 80° प्राप्त होता है।

एकांत वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्श रेखा FC और जीवा AC के बीच का कोण, एकांत वृत्तखंड में उस जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है। इसलिए, ∠ ABC = ∠ ACF = 50°। △ ABC में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ ACB = 180° - (∠ CAB + ∠ ABC) = 180° - (80° + 50°) = 50°।

केंद्रीय कोण प्रमेय (Central Angle Theorem) के अनुसार, किसी जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, परिधि पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। परिणामस्वरूप, ∠ AOB = 2 × ∠ ACB = 2 × 50° = 100°।

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी प्रतिशत सूत्र D = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100) द्वारा दिया जाता है। 15% और 20% मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

प्रभावी छूट = 15 + 20 - (15 × 20)/(100) प्रभावी छूट = 35 - 3 = 32%

दोनों छूट दरों के बीच का अंतर 32% - 25% = 7% है। यह देखते हुए कि मूल्य में यह अंतर ₹28 है, माना कुल बिल राशि x है।

x का 7% = 28 ⁷⁄₁₀₀ × x = 28 x = (28 × 100)/(7) x = 4 × 100 = 400

बिल की कुल राशि ₹400 है।

व्याख्या

2, 5, 10 और 11 से विभाज्य होने के लिए, किसी संख्या को उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य होना चाहिए। चूंकि 10 पहले से ही 2 और 5 का एक गुणज है, इसलिए हम LCM(10, 11) = 110 ज्ञात करते हैं। कोई संख्या 110 से विभाज्य होती है यदि वह 0 पर समाप्त होती है और 11 की विभाज्यता के नियम को संतुष्ट करती है। संख्या 589270, 0 पर समाप्त होती है, जिससे पहली आवश्यकता पूरी होती है। 11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। 589270 में, दाईं ओर से विषम स्थानों पर अंकों का योग 0 + 2 + 8 = 10 है, और सम स्थानों पर अंकों का योग 7 + 9 + 5 = 21 है। अंतर |21 - 10| = 11 है, जो कि 11 का एक गुणज है, जिससे यह पुष्टि होती है कि संख्या 110 से विभाज्य है।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों के निकाय a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के अपरिमित रूप से अनेक (अनंत) हल होने के लिए, उनके गुणांकों और अचर पदों का अनुपात बराबर होना चाहिए: (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) = (c₁)/(c₂)।

दिए गए समीकरणों 2x + y = a और 8x + by = 12 में, गुणांक इस प्रकार हैं: a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = a a₂ = 8, b₂ = b, c₂ = 12

इन्हें अनंत हल होने की शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: ²⁄₈ = (1)/(b) = ᵃ⁄₁₂

अनुपात ²⁄₈ सरल होकर ¼ हो जाता है। अन्य अनुपातों को ¼ के बराबर रखने पर, हम a और b का मान ज्ञात करते हैं: b के लिए: (1)/(b) = ¼ ⟹ b = 4 a के लिए: ᵃ⁄₁₂ = ¼ ⟹ a = ¹²⁄₄ = 3

a और b के मानों का योग है: a + b = 3 + 4 = 7

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना करने के लिए, सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करें, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय अवधि है। इस मामले में, मूलधन P = ₹6,700 है, दर R = 12% है, और समय T = 13 महीने है। चूँकि ब्याज दर वार्षिक है, इसलिए समय को 12 से विभाजित करके वर्षों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, जिससे T = ¹³⁄₁₂ वर्ष प्राप्त होता है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: SI = (6700 × 12 × 13)/(12){100}

अंश और हर में मौजूद 12 एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं, जिससे समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: SI = (6700 × 13)/(100) SI = 67 × 13

67 को 13 से गुणा करने पर 871 प्राप्त होता है। अतः, 13 महीनों में अर्जित साधारण ब्याज ₹871 है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि tan A · tan B = 1 है, तो A + B = 90° होता है। यह संबंध इसलिए प्राप्त होता है क्योंकि tan A = (1)/(tan B), जो tan A = cot B के बराबर है। चूंकि cot B = tan(90° - B) होता है, इसलिए A = 90° - B, या A + B = 90° प्राप्त होता है।

दिए गए समीकरण tan 4θ · tan 6θ = 1 के अनुसार, हम कोणों के योग को 90° के बराबर रख सकते हैं: 4θ + 6θ = 90° 10θ = 90° θ = 9°

प्रश्न में cot 5θ का मान ज्ञात करना है। θ के परिकलित मान को व्यंजक में रखने पर: cot 5θ = cot(5 × 9°) cot 5θ = cot 45°

मानक त्रिकोणमितीय मानों के अनुसार, cot 45° = 1 होता है।

व्याख्या

कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो। 91876a2 के लिए, अंतिम तीन अंक 6a2 हैं। इसे 600 + 10a + 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि 600 पहले से ही 8 से विभाज्य है (8 × 75 = 600), इसलिए हमें केवल शेष भाग 10a + 2 को 8 से विभाज्य होने की आवश्यकता है। हम a के लिए न्यूनतम संभव अंकों का परीक्षण करते हैं। यदि a = 0, तो 10(0) + 2 = 2। यदि a = 1, तो 10(1) + 2 = 12। यदि a = 2, तो 10(2) + 2 = 22। इनमें से कोई भी 8 से विभाज्य नहीं है। जब a = 3, तो यह व्यंजक 10(3) + 2 = 32 हो जाता है, जो 8 से विभाज्य है (8 × 4 = 32)। इसलिए, 3 वह न्यूनतम मान है जो पूरी संख्या को 8 से विभाज्य बनाता है।

व्याख्या

पाइप A द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय 1 ⅓ घंटे है, जो ⁴⁄₃ घंटे के बराबर है। पाइप B द्वारा लिया गया समय 2 घंटे है। टैंक को भरने वाले दोनों पाइपों की संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है।

पाइप A की दर = (1)/(4/3) = ¾ टैंक प्रति घंटा पाइप B की दर = ½ टैंक प्रति घंटा

संयुक्त दर = ¾ + ½ = ³⁺²⁄₄ = ⁵⁄₄ टैंक प्रति घंटा

टैंक को भरने के लिए आवश्यक कुल समय T संयुक्त दर का व्युत्क्रम है: T = (1)/(5/4) = ⅘ घंटे

इसे मिनटों में बदलने के लिए, 60 से गुणा करें: T = ⅘ × 60 = 4 × 12 = 48 मिनट

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + c² = 2(a + c - 1) के सभी पदों को एक तरफ लाकर इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: a² + b² + c² - 2a - 2c + 2 = 0। a, b, और c से संबंधित पदों को समूहीकृत करके, हम पूर्ण वर्ग बना सकते हैं:

(a² - 2a + 1) + b² + (c² - 2c + 1) = 0

यह सरल होकर (a - 1)² + b² + (c - 1)² = 0 हो जाता है। वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक पद का स्वतंत्र रूप से शून्य होना आवश्यक है। इसलिए:

a - 1 = 0 ⟹ a = 1 b = 0 c - 1 = 0 ⟹ c = 1

इन मानों को वांछित व्यंजक में रखने पर: a³ + b³ + c³ = 1³ + 0³ + 1³ = 1 + 0 + 1 = 2

व्याख्या

सबसे पहले, धारा के प्रतिकूल और धारा के अनुकूल गति की गणना करें।

धारा के प्रतिकूल गति u = (2 किमी)/(1 घंटा) = 2 किमी/घंटा दी गई है। धारा के अनुकूल गति v = (1 किमी)/(10/60 घंटा) = 6 किमी/घंटा है।

शांत जल में नाव की गति x, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल गतियों का औसत है: x = (u + v)/(2) = (2 + 6)/(2) = 4 किमी/घंटा

शांत जल में 6 किमी की दूरी तय करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, सूत्र समय (t) = (दूरी)/(गति) का उपयोग करें: t = (6 किमी)/(4 किमी/घंटा) = 1.5 घंटे

1.5 घंटे को घंटे और मिनट में बदलने पर: 1.5 घंटे = 1 घंटा + (0.5 × 60) मिनट = 1 घंटा 30 मिनट

व्याख्या

दिए गए रैखिक समीकरणों के निकाय में x = -5, y = 3, और z = 8 प्रतिस्थापित करके चरों के मानों को सत्यापित किया जा सकता है।

पहले समीकरण के लिए: 5(-5) - 3(3) + 7(8) = -25 - 9 + 56 = -34 + 56 = 22

दूसरे समीकरण के लिए: 3(-5) - 5(3) - 2(8) = -15 - 15 - 16 = -30 - 16 = -46

तीसरे समीकरण के लिए: 2(-5) - 2(3) + 5(8) = -10 - 6 + 40 = -16 + 40 = 24

चूंकि ये मान एक साथ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, इसलिए x = -5, y = 3, और z = 8 इस निकाय का अद्वितीय हल है।

व्याख्या

एक शंक्वाकार तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र CSA = π r l का उपयोग करते हैं, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

दी गई ऊँचाई h = 8 मी. और इस प्रश्न के लिए अभीष्ट आयामों के अनुसार, त्रिज्या r, 8√3 मी. है। तिर्यक ऊँचाई l की गणना पाइथागोरस संबंध का उपयोग करके की जाती है:

l = √(r² + h²)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: l = √((8√3))² + 8² l = √(192 + 64) l = √(256) l = 16 मी.

अब, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें: CSA = π × r × l CSA = π × 8√3 × 16 CSA = 128√3π मी²

व्याख्या

sin 150° का मान त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्र sin(180° - θ) = sin θ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। चूंकि 150° दूसरे चतुर्थांश में है जहां साइन (sine) फलन धनात्मक होता है, इसलिए हम सूत्र में θ = 30° प्रतिस्थापित करते हैं: sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30°। sin 30° का सटीक मान 1/2 है, जो 0.5 के बराबर होता है। वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका sin(90° + θ) = cos θ का उपयोग करके, हमें sin(90° + 60°) = cos 60° = 0.5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती को सूत्र x = √(ab) द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह मान x दोनों संख्याओं के गुणोत्तर माध्य (geometric mean) को दर्शाता है, जहाँ अनुपात a:x, अनुपात x:b के बराबर होता है। दिए गए मानों a = 2 और b = 32 को सूत्र में रखने पर, हमें x = √(2 × 32) प्राप्त होता है। करणी (radical) के भीतर गुणा करने पर √(64) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक क्रय मूल्य (CP) 100 है। दिया गया है कि लाभ क्रय मूल्य का 320% है, इसलिए लाभ 320 है। विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य और लाभ का योग है: SP = 100 + 320 = 420

यदि क्रय मूल्य में 10% की वृद्धि होती है, तो नया क्रय मूल्य (CP_new) हो जाता है: CP_new = 100 + 10 = 110

विक्रय मूल्य 420 पर स्थिर रहता है। नए लाभ की गणना विक्रय मूल्य में से नए क्रय मूल्य को घटाकर की जाती है: नया लाभ (Profit_new) = 420 - 110 = 310

यह लाभ विक्रय मूल्य का कितना प्रतिशत है, यह ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत = (नया लाभ / SP) × 100 प्रतिशत = ³¹⁰⁄₄₂₀ × 100 = ³¹⁄₄₂ × 100 प्रतिशत = ¹⁵⁵⁰⁄₂₁ ≈ 73.809%

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, लाभ विक्रय मूल्य का 73.8% है।

व्याख्या

एक त्रिज्यखंड के परिमाप को उसकी चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड को घेरने वाली दोनों त्रिज्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। त्रिज्या r और डिग्री में केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई l का सूत्र l = (θ)/(360) × 2π r है।

दी गई त्रिज्या r = 12 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 30°, और π = 3.14 है, चाप की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: l = ³⁰⁄₃₆₀ × 2 × 3.14 × 12 l = ¹⁄₁₂ × 24 × 3.14 l = 2 × 3.14 = 6.28 सेमी

कुल परिमाप P, चाप की लंबाई और त्रिज्या के दोगुने का योग है: P = l + 2r P = 6.28 + 2(12) P = 6.28 + 24 = 30.28 सेमी

व्याख्या

मिश्रण का क्रय मूल्य दोनों किस्मों के भारित औसत द्वारा निर्धारित किया जाता है। भारित माध्य का सूत्र है:

CP = w₁c₁ + w₂c₂{w₁ + w₂}

यहाँ, w₁ = 5 किलोग्राम और c₁ = 4 प्रति किलोग्राम है, जबकि w₂ = 3 किलोग्राम और c₂ = 6 प्रति किलोग्राम है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर:

CP = ((5 × 4) + (3 × 6))/(5 + 3)

CP = (20 + 18)/(8)

CP = ³⁸⁄₈ = 4.75

यह गणना व्यक्तिगत खरीद कीमतों और मात्राओं के आधार पर कुल 8 किलोग्राम मिश्रण की प्रति किलोग्राम प्रत्यक्ष औसत लागत प्रदान करती है।

व्याख्या

माना सुरेश का प्रारंभिक व्यय E = 300 और उसकी प्रारंभिक बचत S = 100 है, जो 3:1 के अनुपात के अनुरूप है। चूंकि कुल आय I = E + S है, इसलिए उसका प्रारंभिक वेतन I = 300 + 100 = 400 है। जब वेतन में 25% की वृद्धि होती है, तो नया वेतन 400 + (0.25 × 400) = 500 हो जाता है। बचत में 10% की वृद्धि होती है, इसलिए नई बचत 100 + (0.10 × 100) = 110 हो जाती है।

नया व्यय ज्ञात करने के लिए, हम नए वेतन में से नई बचत को घटाते हैं: 500 - 110 = 390। व्यय में वृद्धि नए और पुराने व्यय के मानों के बीच का अंतर है, जो कि 390 - 300 = 90 है। व्यय में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: ⁹⁰⁄₃₀₀ × 100 = 30%।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 7 cos A = 6 से, हमें प्राप्त होता है कि cos A = ⁶⁄₇।

व्यंजक (csc A + cot A)/(csc A - cot A) का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय पदों को sin A और cos A के पदों में पुनः लिखते हैं: csc A = (1)/(sin A) और cot A = (cos A)/(sin A)

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1)/(sin A) + (cos A)/(sin A){(1)/(sin A) - (cos A)/(sin A)} = (1 + cos A)/(1 - cos A)

अब, सरलीकृत व्यंजक में cos A = ⁶⁄₇ का मान प्रतिस्थापित करने पर: (1 + 6)/(7){1 - ⁶⁄₇} = (7 + 6)/(7){(7 - 6)/(7)} = (13)/(7){⅐}

उभयनिष्ठ हर 7 को निरस्त करने पर, हमें प्राप्त होता है: ¹³⁄₁ = 13

व्याख्या

एक चाप की लंबाई L की गणना सूत्र L = (θ)/(360°) × 2π r का उपयोग करके की जाती है, जहाँ θ त्रिज्यखंड का कोण है और r त्रिज्या है। दिए गए मानों r = 9.6 इकाई और θ = 75° को प्रतिस्थापित करने पर:

L = ⁷⁵⁄₃₆₀ × 2π × 9.6

अंश और हर दोनों को 15 से विभाजित करके भिन्न ⁷⁵⁄₃₆₀ को सरल करने पर ⁵⁄₂₄ प्राप्त होता है। इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

L = ⁵⁄₂₄ × 19.2π

19.2 को 24 से विभाजित करने पर 0.8 प्राप्त होता है। अंत में, 5 को 0.8π से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

L = 4π

व्याख्या

दिया गया समीकरण p(√3 + cot 30°) = tan³ 60° - 2sin 60° है। मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर, हमारे पास cot 30° = √3, tan 60° = √3, और sin 60° = √3{2} है।

इन मानों को समीकरण में रखने पर: p(√3 + √3) = (√3)³ - 2(√3{2})

दोनों पक्षों को सरल करने पर: p(2√3) = 3√3 - √3 2√3 p = 2√3

दोनों पक्षों को 2√3 से विभाजित करने पर: p = 2√3{2√3} = 1

व्याख्या

प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले 93, 90, 90, 95 और 78 को जोड़कर प्राप्त कुल अंकों की गणना करें, जो 446 के बराबर है। चूंकि प्रत्येक 100 अंकों के 5 विषय हैं, इसलिए अधिकतम संभावित अंक 500 हैं। प्रतिशत (446/500) * 100 है, जिसके परिणामस्वरूप 89.2% प्राप्त होता है।

व्याख्या

पिज्जा के शेष तीन-चौथाई भाग का परिमाप, चाप की लंबाई और दो सीधे त्रिज्यीय किनारों का योग है। चाप की लंबाई (3/4) × 2 × (22/7) × 21 = 99 सेमी है, और दोनों त्रिज्याएँ 2 × 21 = 42 सेमी हैं, जिससे कुल योग 141 सेमी होता है।

व्याख्या

पहले प्रकार के चावल की कीमत 250/5 = ₹50 प्रति किग्रा है, और दूसरे प्रकार के चावल की कीमत 280/5 = ₹56 प्रति किग्रा है। 7:8 के अनुपात के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करने पर, शुद्ध लागत [(7 * 50) + (8 * 56)] / (7 + 8) = (350 + 448) / 15 = 798 / 15 = ₹53.20 प्रति किग्रा है।

व्याख्या

माना S को मिले मतों की संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, R को S के मतों का 110% प्राप्त होता है, जिसे 1.1x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। R और S के मतों के बीच का अंतर 770 दिया गया है।

हम अंतर के आधार पर समीकरण बनाते हैं: 1.1x - x = 770 0.1x = 770 x = (770)/(0.1) = 7700

डाले गए कुल मतों की संख्या R और S द्वारा प्राप्त मतों का योग है। चूंकि कोई भी मत अवैध नहीं है, इसलिए कुल मत हैं: कुल मत = R + S = 1.1x + x = 2.1x x का मान रखने पर: कुल मत = 2.1 × 7700 = 16170

व्याख्या

कोई संख्या 6 का गुणज तब होती है जब वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। दी गई संख्या 321y72 अंक 2 पर समाप्त होती है, जो कि एक सम संख्या है, इसलिए y के मान पर ध्यान दिए बिना यह 2 से विभाज्यता की शर्त को पूरा करती है। 3 से विभाज्यता के लिए, संख्या के अंकों का योग 3 का गुणज होना चाहिए।

अंकों का योग 3 + 2 + 1 + y + 7 + 2 = 15 + y है। कुल योग को 3 से विभाज्य होने के लिए, व्यंजक 15 + y का मान 3 का गुणज होना चाहिए। चूंकि 15 पहले से ही 3 का एक गुणज है, इसलिए अंक y को भी स्वयं 3 का गुणज होना चाहिए। अंक y के संभावित मान 0, 3, 6 और 9 हैं। इन मानों की तुलना करने पर, y का न्यूनतम मान 0 हो सकता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि क्रय मूल्य (CP) 100 इकाई है। चूंकि वस्तु को 250% के लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए अर्जित लाभ 100 का 250% है, जो कि 250 इकाई के बराबर है। विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = CP + लाभ का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SP = 100 + 250 = 350 इकाई प्राप्त होता है। क्रय मूल्य का विक्रय मूल्य से अनुपात CP : SP = 100 : 350 है। अनुपात के दोनों पक्षों को उनके महत्तम समापवर्तक, 50 से विभाजित करने पर, यह व्यंजक सरल होकर 2 : 7 हो जाता है।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों के एक निकाय के लिए, दिए गए विकल्पों में से सही हल निर्धारित करने की सबसे कुशल विधि प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन है। तीनों समीकरणों में से प्रत्येक में x = 1, y = 1, और z = 1 मानों को प्रतिस्थापित करने पर उनकी वैधता की पुष्टि होती है।

पहले समीकरण के लिए: 5(1) + 4(1) - 8(1) = 5 + 4 - 8 = 1

दूसरे समीकरण के लिए: 7(1) - 9(1) + 1 = 7 - 9 + 1 = - 1

तीसरे समीकरण के लिए: 2(1) + 3(1) - 4(1) = 2 + 3 - 4 = 1

चूंकि ये मान एक साथ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, इसलिए इस निकाय का हल x = 1, y = 1, और z = 1 है।

व्याख्या

पहले वर्ष के लिए साधारण ब्याज की गणना ₹6,23,305 के प्रारंभिक मूलधन पर की जाती है। सूत्र I = P × r × t का उपयोग करने पर, पहले वर्ष का ब्याज I₁ है: I₁ = 6,23,305 × 10% × 1 = 62,330.5

पहले वर्ष के अंत में, प्रणव मूलधन के रूप में ₹16,390 का भुगतान करता है। इसलिए, दूसरे वर्ष के लिए शेष मूलधन P₂ है: P₂ = 6,23,305 - 16,390 = 6,06,915

दूसरे वर्ष का ब्याज I₂ इस घटे हुए मूलधन पर परिकलित किया जाता है: I₂ = 6,06,915 × 10% × 1 = 60,691.5

दूसरे वर्ष के अंत में सभी बकाये को चुकाने के लिए, प्रणव को शेष मूलधन और दोनों वर्षों में अर्जित कुल ब्याज का भुगतान करना होगा। कुल भुगतान A है: A = P₂ + I₁ + I₂ A = 6,06,915 + 62,330.5 + 60,691.5 A = 6,06,915 + 1,23,022 A = 7,29,937