एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

इस व्यंजक में त्रिकोणमितीय पद शामिल हैं जिन्हें cosecant और cotangent से संबंधित मूलभूत सर्वसमिका: csc² θ - cot² θ = 1 का उपयोग करके सरल किया जाता है।

इस सर्वसमिका को वर्गों के अंतर का उपयोग करके (csc θ - cot θ)(csc θ + cot θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

इस गुणनखंडित रूप को पुनर्व्यवस्थित करने पर, अंतर का व्युत्क्रम, योग के बराबर होता है: (1)/(csc θ - cot θ) = csc θ + cot θ

इसे दिए गए व्यंजक के पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर: (csc θ + cot θ) - (1)/(sin θ)

दूसरा पद, (1)/(sin θ), cosecant फलन, csc θ की परिभाषा है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: csc θ + cot θ - csc θ

समान csc θ पदों को आपस में घटाने पर, व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है: cot θ

व्याख्या

दिया गया समीकरण a + b + c = 0 है। पदों a और b को एक तरफ अलग करने के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें a + b = -c प्राप्त होता है। मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक, a² + b² + 2ab, द्विपद वर्ग (a + b)² का मानक विस्तार है। पुनर्व्यवस्थित समीकरण से a + b के मान को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a + b)² = (-c)² प्राप्त होता है। चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए (-c)² = c² है। इसलिए, a² + b² + 2ab = c²।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, T = 8 और SI = ⅗P है। इन मानों को सूत्र में रखने पर समीकरण ⅗P = (P × R × 8)/(100) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर, हमें ⅗ = (8R)/(100) प्राप्त होता है। R के लिए हल करने पर R = (3 × 100)/(5 × 8) प्राप्त होता है, जो सरल होकर R = ³⁰⁰⁄₄₀ हो जाता है। इसके परिणामस्वरूप R = 7.5 प्राप्त होता है, जो 7½% के बराबर है।

व्याख्या

माना राम, रवि, मायादेवी और सोहम की आयु क्रमशः R, V, M और S है। प्रश्न से, हमारे पास निम्नलिखित संबंध हैं: M = 3R V = 4S ⟹ S = (V)/(4) |R - V| = 7 |M - S| = 65

M और S के मानों को अंतर के समीकरण में रखने पर: |3R - (V)/(4)| = 65 |12R - V| = 260

यह मानते हुए कि राम, रवि से बड़ा है, R - V = 7 ⟹ V = R - 7. इसे निरपेक्ष मान वाले समीकरण में रखने पर: |12R - (R - 7)| = 260 |11R + 7| = 260 11R + 7 = 260 ⟹ 11R = 253 ⟹ R = 23

मायादेवी की आयु M = 3R = 3 × 23 = 69. सत्यापन के लिए, यदि राम की आयु 23 वर्ष है, तो रवि की आयु 23 - 7 = 16 वर्ष होगी। सोहम की आयु S = 16/4 = 4 वर्ष होगी। मायादेवी और सोहम की आयु का अंतर 69 - 4 = 65 वर्ष है, जो दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

कोण-कोण-कोण (AAA) मानदंड दो त्रिभुजों के बीच समरूपता स्थापित करता है लेकिन सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए अपर्याप्त है। यद्यपि यह सुनिश्चित करता है कि त्रिभुजों की आकृति बिल्कुल समान है, लेकिन यह उनके वास्तविक भौतिक आयामों या माप के संबंध में कोई जानकारी प्रदान नहीं करता है। दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए, उन्हें आकृति (shape) और आकार (size) दोनों में समान होना चाहिए। चूंकि समान संगत कोणों वाले त्रिभुजों की भुजाएँ भिन्न लंबाइयों की समानुपाती हो सकती हैं—जैसे कि दो समबाहु त्रिभुज जिनमें से एक की भुजाएँ 2 इकाई और दूसरे की भुजाएँ 5 इकाई हैं—इसलिए AAA मानदंड यह गारंटी नहीं दे सकता कि त्रिभुज सभी प्रकार से सर्वांगसम हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 3:5:7 के अनुसार, ₹1, ₹5 और ₹10 के सिक्कों की संख्या क्रमशः 3x, 5x और 7x है। थैले में कुल राशि का मूल्य प्रत्येक मूल्यवर्ग और उसके सिक्कों की संगत संख्या के गुणनफलों का योग है। इससे समीकरण 1(3x) + 5(5x) + 10(7x) = 980 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें 3x + 25x + 70x = 980 प्राप्त होता है, जो मिलकर 98x = 980 हो जाता है। दोनों पक्षों को 98 से विभाजित करने पर, हमें x = 10 प्राप्त होता है। ₹10 के सिक्कों की संख्या को 7x द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए x का मान प्रतिस्थापित करने पर 7 × 10 = 70 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना तीन वर्ष पूर्व A और B की आयु क्रमशः 5x और 7x थी। 3 वर्ष पूर्व और अब से 13 वर्ष बाद के बीच का समय अंतराल 3 + 13 = 16 वर्ष है।

अनुपात विधि के अनुसार, अनुपात के दोनों भागों में 5:7 से 9:11 तक की वृद्धि 9 - 5 = 4 और 11 - 7 = 4 है। चूंकि अंतर समान है, हम इन 4 इकाइयों को 16 वर्षों के कुल समय अंतराल के बराबर रख सकते हैं। इसलिए, 4 इकाइयाँ = 16 वर्ष, जिससे 1 इकाई = 4 वर्ष प्राप्त होता है।

तीन वर्ष पूर्व B की आयु 7 इकाइयाँ = 7 × 4 = 28 वर्ष थी। परिणामस्वरूप, B की वर्तमान आयु 28 + 3 = 31 वर्ष है। C की वर्तमान आयु B की आयु से 11 वर्ष कम दी गई है। अतः, C की वर्तमान आयु 31 - 11 = 20 वर्ष है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3t - ¹⁄₃ₜ = 3 में, बीजीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके दोनों पक्षों का वर्ग करने पर।

(3t - ¹⁄₃ₜ)² = 3² 9t² + (1)/(9t²) - 2(3t)(¹⁄₃ₜ) = 9 9t² + (1)/(9t²) - 2 = 9 9t² + (1)/(9t²) = 11

वह व्यंजक ज्ञात करने के लिए जिसका मान 12 के बराबर है, समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ें: 9t² + (1)/(9t²) + 1 = 11 + 1 = 12

यह व्यंजक 9t² + (1)/(9t²) + 1 से मेल खाता है।

व्याख्या

एक आयत के क्षेत्रफल की गणना मानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

दिए गए मानों को इस सूत्र में रखने पर: क्षेत्रफल = 52 मीटर × 9 मीटर क्षेत्रफल = 468 वर्ग मीटर

यह गुणनफल आयत की सीमा के भीतर घिरे कुल द्वि-विमीय क्षेत्र को दर्शाता है। मापन की इकाई वर्ग मीटर है क्योंकि यह मीटर में मापे गए दो रैखिक आयामों का गुणनफल है।

व्याख्या

माना सभी सात सदस्यों की औसत आयु x वर्ष है। इसलिए, सभी सात सदस्यों की कुल आयु 7x है। प्रश्न के अनुसार, छह सदस्यों की औसत आयु 42 वर्ष है, जिससे उनकी संयुक्त आयु 6 × 42 = 252 वर्ष हो जाती है। सातवें सदस्य की आयु x + 36 दी गई है।

पहले छह सदस्यों और सातवें सदस्य की आयु का योग टीम की कुल आयु के बराबर होना चाहिए। इससे निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होता है:

252 + (x + 36) = 7x

बाईं ओर के अचर (constant) पदों को जोड़ने पर:

288 + x = 7x

दोनों पक्षों से x घटाने पर प्राप्त होता है:

6x = 288

6 से विभाजित करने पर, हमें पूरी टीम की औसत आयु प्राप्त होती है:

x = 48

सातवें सदस्य की आयु x + 36 है। x का मान रखने पर:

48 + 36 = 84

व्याख्या

θ = 45° पर, त्रिकोणमितीय मान sin 45° = (1)/(√(2)) और cos 45° = (1)/(√(2)) होते हैं। इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

अंश (Numerator): sin² 45° - 2sin⁴ 45° = ((1)/(√(2)))² - 2((1)/(√(2)))⁴ = ½ - 2(¼) = ½ - ½ = 0.

हर (Denominator): 2cos⁴ 45° + cos² 45° = 2((1)/(√(2)))⁴ + ((1)/(√(2)))² = 2(¼) + ½ = ½ + ½ = 1.

व्यंजक का मान ⁰⁄₁ = 0 है। वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका cos 2θ = 1 - 2sin²θ का उपयोग करके, अंश को sin²θ(1 - 2sin²θ) = sin²θ cos 2θ के रूप में सरल किया जा सकता है। θ = 45° पर, पद cos 2θ = cos 90° = 0 हो जाता है, जिससे पूरा अंश शून्य हो जाता है। चूंकि इस कोण पर हर गैर-शून्य (non-zero) है, इसलिए परिणामी मान 0 है।

व्याख्या

कक्षा के औसत अंक की गणना भारित औसत सूत्र A = n₁x₁ + n₂x₂{n₁ + n₂} का उपयोग करके की जाती है, जहाँ n छात्रों की संख्या को दर्शाता है और x उनके संबंधित औसत अंकों को दर्शाता है। यह देखते हुए कि 12 छात्रों ने औसतन 62 अंक प्राप्त किए और शेष 18 छात्रों (30 - 12) ने औसतन 60 अंक प्राप्त किए, गणना इस प्रकार है:

12 छात्रों के कुल अंक = 12 × 62 = 744 18 छात्रों के कुल अंक = 18 × 60 = 1080 कक्षा के कुल अंक = 744 + 1080 = 1824

कक्षा का औसत अंक = ¹⁸²⁴⁄₃₀ = 60.8

विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, यदि हम आधार औसत 60 मानते हैं, तो 12 छात्रों का पहला समूह प्रत्येक +2 अंकों (62 - 60) का अतिरिक्त योगदान देता है, जिससे कुल अतिरिक्त अंक 12 × 2 = 24 हो जाते हैं। इस कुल अतिरिक्त अंक को पूरी कक्षा के आकार 30 से विभाजित करने पर आधार औसत से ²⁴⁄₃₀ = 0.8 की वृद्धि प्राप्त होती है। इसलिए, कक्षा का औसत 60 + 0.8 = 60.8 है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के सदैव लंबवत होती है। इससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी कर्ण को दर्शाती है, त्रिज्या एक भुजा है, और स्पर्श रेखा की लंबाई दूसरी भुजा है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, स्पर्श रेखा की लंबाई l सूत्र l = √(d² - r²) द्वारा दी गई है, जहाँ d केंद्र से दूरी है और r त्रिज्या है। दिए गए मानों को रखने पर:

l = √(10² - 4²) l = √(100 - 16) l = √(84)

84 के वर्गमूल को सबसे बड़े पूर्ण वर्ग को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालकर सरल किया जा सकता है: √(84) = √(4 × 21) = 2√(21) सेमी।

व्याख्या

5-अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99,999 है। 47 से विभाज्य 5-अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने हेतु 99,999 को 47 से विभाजित करते हैं।

विभाजन करने पर: 99,999 ÷ 47 = 2127 (शेषफल के साथ)। 47 × 2 = 94; 99 - 94 = 5. अगला अंक नीचे लाने पर 59 प्राप्त होता है। 47 × 1 = 47; 59 - 47 = 12. अगला अंक नीचे लाने पर 129 प्राप्त होता है। 47 × 2 = 94; 129 - 94 = 35. अंतिम अंक नीचे लाने पर 359 प्राप्त होता है। 47 × 7 = 329; 359 - 329 = 30.

शेषफल 30 है। 47 से पूर्णतः विभाज्य 5-अंकों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त करने के लिए, हम इस शेषफल को 99,999 में से घटाते हैं: 99,999 - 30 = 99,969।

व्याख्या

आय, खर्च और बचत का योग होती है, जिसे सूत्र I = E + S द्वारा दर्शाया जाता है। प्रश्न के अनुसार, खर्च की गई राशि (E), बचत (S) से 40% अधिक है, जिसका अर्थ है E = S + 0.40S = 1.4S। इसे आय के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर I = 1.4S + S, या I = 2.4S प्राप्त होता है।

चूंकि कुल आय ₹72,000 दी गई है, इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा: 72,000 = 2.4S S = 72,000 / 2.4 S = 720,000 / 24 S = 30,000

अतः, कर्मचारी की बचत ₹30,000 है।

व्याख्या

भुगतान अनुसूची एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाती है जहाँ प्रथम पद a = 100, सार्व अंतर d = -5, और कुल योग Sₙ = 975 है। समांतर श्रेणी के योग का सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n - 1)d] है। सूत्र में मान रखने पर:

975 = ⁿ⁄₂ [2(100) + (n - 1)(-5)] 1950 = n [200 - 5n + 5] 1950 = n [205 - 5n] 1950 = 205n - 5n² 5n² - 205n + 1950 = 0 n² - 41n + 390 = 0

गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण को हल करने पर: n² - 15n - 26n + 390 = 0 n(n - 15) - 26(n - 15) = 0 (n - 15)(n - 26) = 0

इससे दो गणितीय समाधान प्राप्त होते हैं, n = 15 और n = 26। व्यावहारिक पुनर्भुगतान परिदृश्य में, प्रक्रिया पहली बार योग आवश्यक राशि तक पहुँचने पर समाप्त हो जाती है। इसके अतिरिक्त, n = 26 के लिए, किस्तें अंततः ऋणात्मक मानों में बदल जाएँगी, जो कि ऋण चुकाने वाले ग्राहक के लिए व्यावहारिक नहीं है। इसलिए, पूरी राशि का भुगतान करने में लगा समय 15 महीने है।

व्याख्या

मान लीजिए कि विक्रय मूल्य S है। लाभ विक्रय मूल्य का ⅙ दिया गया है, जो कि (S)/(6) है। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले संबंध C = S - लाभ का उपयोग करके क्रय मूल्य (C) निर्धारित करते हैं: C = S - (S)/(6) = (5S)/(6)

लाभ प्रतिशत का सूत्र (लाभ)/(C) × 100 है। इस सूत्र में मान रखने पर: लाभ प्रतिशत = (S)/(6){(5S)/(6)} × 100 लाभ प्रतिशत = ⅕ × 100 = 20%

गणना के लिए विक्रय मूल्य का विशिष्ट संख्यात्मक मान (₹31524) आवश्यक नहीं है क्योंकि प्रतिशत लाभ और क्रय मूल्य के बीच के स्थिर अनुपात से प्राप्त होता है।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि जीवा की लंबाई 14 सेमी दी गई है, इसलिए आधी जीवा की लंबाई 14 / 2 = 7 सेमी है।

त्रिज्या r, केंद्र से जीवा की दूरी d = 24 सेमी, और आधी जीवा के खंड द्वारा एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

r² = 24² + 7² r² = 576 + 49 r² = 625 r = √(625) = 25 सेमी

यह मानक पाइथागोरस त्रिक (7, 24, 25) का अनुसरण करता है, जहाँ त्रिज्या त्रिभुज के कर्ण को दर्शाती है।

व्याख्या

3x - 2y का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = (a + b)² - 4ab का उपयोग करते हैं। a = 3x और b = 2y प्रतिस्थापित करने पर, सर्वसमिका इस प्रकार हो जाती है:

(3x - 2y)² = (3x + 2y)² - 4(3x)(2y) (3x - 2y)² = (3x + 2y)² - 24xy

दी गई जानकारी से, हम जानते हैं कि 3x + 2y = 10 और 2xy = 7 है। ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने के लिए हम पद 24xy को 12(2xy) के रूप में लिख सकते हैं। इसलिए:

24xy = 12 × 7 = 84

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

(3x - 2y)² = (10)² - 84 (3x - 2y)² = 100 - 84 (3x - 2y)² = 16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर 3x - 2y = ± 4 प्राप्त होता है। प्रश्न में शर्त 3x - 2y > 0 निर्दिष्ट है, जिसके लिए हमें धनात्मक परिणाम लेना होगा। इस प्रकार, 3x - 2y = 4।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई h, सूत्र h = (√3/2)a द्वारा ज्ञात की जाती है।

दिया गया है कि प्रत्येक भुजा a = 37√3 सेमी है, इस मान को सूत्र में रखने पर:

h = (√3/2) × 37√3

इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि √3 × √3 = 3, समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:

h = (37 × 3)/2

h = 111/2

h = 55.5 सेमी

व्याख्या

एक त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिए गए संबंध 4∠ P = 5∠ Q = 20∠ R के अनुसार, हम गुणांकों 4, 5 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके कोणों को उनके अनुपातों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जो कि 20 है। समीकरण के प्रत्येक पद को 20 से विभाजित करने पर, हमें (∠ P)/(5) = (∠ Q)/(4) = (∠ R)/(1) प्राप्त होता है।

माना ये अनुपात एक उभयनिष्ठ चर x के बराबर हैं, जिससे ∠ P = 5x, ∠ Q = 4x, और ∠ R = x प्राप्त होता है। कोण योग गुणधर्म के अनुसार, ∠ P + ∠ Q + ∠ R = 180° होता है। इस समीकरण में अनुपातों के मान रखने पर 5x + 4x + x = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 10x = 180°, या x = 18° प्राप्त होता है। ∠ Q का विशिष्ट मान ज्ञात करने के लिए, हम इसके संगत अनुपात का उपयोग करते हैं: ∠ Q = 4x = 4 × 18° = 72°।

व्याख्या

दी गई स्थिति को समीकरण sin²(t) = ½ tan(t) द्वारा व्यक्त किया जाता है। tan(t) = (sin(t))/(cos(t)) प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण sin²(t) = (sin(t))/(2cos(t)) बन जाता है। t के उन मानों के लिए जहाँ sin(t) ≠ 0 है, हम दोनों पक्षों को sin(t) से विभाजित करके sin(t) = (1)/(2cos(t)) प्राप्त कर सकते हैं। दोनों पक्षों को 2cos(t) से गुणा करने पर 2 sin(t) cos(t) = 1 प्राप्त होता है। द्वि-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) को लागू करने पर, समीकरण सरल होकर sin(2t) = 1 हो जाता है। साइन (sine) फलन का मान 1 तब होता है जब कोणांक (argument) 90° हो, इसलिए 2t = 90°, जिससे t = 45° प्राप्त होता है। t = 45° पर मूल्यांकन करने से पुष्टि होती है कि sin²(45°) = ((1)/(√(2)))² = ½ और ½ tan(45°) = ½(1) = ½ है।

व्याख्या

दिया गया है tan A = 1 / √(10), हम इसे एक समकोण त्रिभुज में लंब P और आधार B के अनुपात के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ P = 1 और B = √(10) है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण H की गणना की जाती है: H = √(P²⁾⁺^B^^^² = √(1²⁾⁺⁽^√⁽¹⁰⁾⁾^^^² = √(1 + 10) = √(11)

वांछित व्यंजक sin A + csc A के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: sin A = P / H = 1 / √(11) csc A = H / P = √(11) / 1 = √(11)

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin A + csc A = (1)/(√(11)) + √(11) = 1 + (√(11) · √(11)){√(11)} = (1 + 11)/(√(11)) = (12)/(√(11))

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है। दिए गए आयतन V = 1232 सेमी³ और ऊँचाई h = 24 सेमी का मान रखने पर: 1232 = ⅓ × ²²⁄₇ × r² × 24 1232 = ¹⁷⁶⁄₇ r² r² = (1232 × 7)/(176) r² = 7 × 7 = 49 r = 7 सेमी

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l की गणना संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके की जाती है: l = √(7² + 24²) l = √(49 + 576) = √(625) l = 25 सेमी

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र π r(r + l) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: TSA = ²²⁄₇ × 7 × (7 + 25) TSA = 22 × 32 TSA = 704 सेमी²

व्याख्या

व्यंजक 0.07 × 0.28 ÷ 0.04 + 0.64 - 1.64 ÷ 0.04 को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम लागू करते हैं, जो जोड़ और घटाव से पहले भाग और गुणा को प्राथमिकता देता है।

सबसे पहले, व्यंजक के भीतर भाग वाले भागों की गणना करें: 0.28 ÷ 0.04 = 7 1.64 ÷ 0.04 = 41

इन परिणामों को वापस व्यंजक में रखें: 0.07 × 7 + 0.64 - 41

इसके बाद, गुणा करें: 0.07 × 7 = 0.49

अब व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है: 0.49 + 0.64 - 41

अब, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव की क्रिया करें: 0.49 + 0.64 = 1.13 1.13 - 41 = -39.87

व्याख्या

पाइप A और B की संयुक्त भराव दर ¹⁄₂₀ + ¹⁄₃₀ = ⁵⁄₆₀ = ¹⁄₁₂ टंकी प्रति घंटा है। टंकी के पहले ⅓ भाग को भरने में लगा समय (1/3)/(1/12) = 4 घंटे है। जब टंकी एक-तिहाई भर जाती है, तो एक रिसाव हो जाता है जो आपूर्ति किए जा रहे पानी का ¼ भाग बाहर निकाल देता है, जिसका अर्थ है कि टंकी को भरने में संयुक्त दर का केवल ¾ भाग ही प्रभावी है। प्रभावी भराव दर ¾ × ¹⁄₁₂ = ¹⁄₁₆ टंकी प्रति घंटा हो जाती है। भरा जाने वाला शेष आयतन टंकी का 1 - ⅓ = ⅔ भाग है। इस शेष भाग को भरने के लिए आवश्यक समय (2/3)/(1/16) = ³²⁄₃ = 10 ⅔ घंटे है। टंकी को भरने में लगा कुल समय दोनों चरणों का योग है, जो कि 4 + 10 ⅔ = 14 ⅔ घंटे है।

व्याख्या

शांत जल में नाव की गति u, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल गतियों का अंकगणितीय माध्य होती है। सबसे पहले, धारा के अनुकूल गति की गणना करें: v_d = (दूरी)/(समय_अनुकूल) = ⁵⁵⁄₅ = 11 किमी/घंटा। फिर, धारा के प्रतिकूल गति की गणना करें: vᵤ = (दूरी)/(समय_प्रतिकूल) = ⁵⁵⁄₁₁ = 5 किमी/घंटा। शांत जल में नाव की गति इस सूत्र द्वारा दी गई है:

u = (v_d + vᵤ)/2

सूत्र में मान रखने पर:

u = (11 + 5)/(2) = ¹⁶⁄₂ = 8 किमी/घंटा

व्याख्या

क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल छूट ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक छूट दर को 1 में से घटाकर और उन्हें आपस में गुणा करके अंतिम गुणक की गणना करते हैं। माना प्रारंभिक मूल्य 100 है।

60% की पहली छूट मूल्य का 100% - 60% = 40% छोड़ती है। 70% की दूसरी छूट शेष मूल्य का 100% - 70% = 30% छोड़ती है। 80% की तीसरी छूट शेष मूल्य का 100% - 80% = 20% छोड़ती है।

अंकित मूल्य (MP) के एक अंश के रूप में अंतिम विक्रय मूल्य (SP) है: SP = MP × (1 - 0.60) × (1 - 0.70) × (1 - 0.80) SP = 100 × 0.40 × 0.30 × 0.20 SP = 100 × 0.024 = 2.4

एकल समतुल्य छूट मूल मूल्य से कुल कमी है: समतुल्य छूट = MP - SP समतुल्य छूट = 100 - 2.4 = 97.6%

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। संख्या 4,29,714 के लिए, अंकों का योग 4 + 2 + 9 + 7 + 1 + 4 = 27 है। चूंकि 27, 3 का एक गुणज (multiple) है, इसलिए संख्या 4,29,714, 3 से विभाज्य है। कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। संख्या 4,29,714 एक सम संख्या है क्योंकि यह अंक 4 पर समाप्त होती है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है। चूंकि यह 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, इसलिए यह 6 से भी विभाज्य है।

व्याख्या

प्रथम चतुर्थांश में जहाँ 0° < t < 90° है, sin(t) एक निरंतर वर्धमान फलन है और cos(t) एक निरंतर ह्रासमान फलन है। मध्य बिंदु t = 45° पर, दोनों फलन बराबर होते हैं क्योंकि sin(45°) = cos(45°) = (1)/(√(2)) होता है। किसी भी ऐसे कोण t के लिए जहाँ 0° < t < 45° हो, sin(t) का मान 0 से बढ़कर (1)/(√(2)) की ओर जाता है, जबकि cos(t) का मान 1 से घटकर (1)/(√(2)) की ओर जाता है। परिणामस्वरूप, इस अंतराल में, sin(t) का मान cos(t) से निरंतर कम रहता है।

व्याख्या

रमेश ने दो अलग-अलग खरीदारी की जिनका निपटान 19 नवंबर 2019 को किया गया। हम दी गई शर्तों के आधार पर प्रत्येक लेनदेन के लिए छूट की गणना करते हैं।

10 नवंबर 2019 को की गई ₹9,800 की पहली खरीदारी के लिए, 19 नवंबर को भुगतान 9 दिन बाद होता है। चूंकि यह 10 दिनों की अवधि के भीतर है, इसलिए उसे 2% की छूट मिलती है। राशि 1 = 9800 × (1 - 0.02) = 9800 × 0.98 = 9604

19 नवंबर 2019 को की गई ₹5,480 की दूसरी खरीदारी के लिए, भुगतान खरीद के समय नकद में किया जाता है। यह 5% नकद छूट के लिए योग्य है। राशि 2 = 5480 × (1 - 0.05) = 5480 × 0.95 = 5206

19 नवंबर को रमेश द्वारा भुगतान की गई कुल राशि इन दोनों निपटाए गए बिलों का योग है: कुल भुगतान = 9604 + 5206 = 14810

व्याख्या

मान लीजिए कि विक्रय मूल्य (SP) 6 इकाई है। चूंकि लाभ विक्रय मूल्य का ⅙ भाग है, इसलिए लाभ 1 इकाई है। क्रय मूल्य (CP) विक्रय मूल्य में से लाभ को घटाकर प्राप्त किया जाता है: CP = SP - लाभ = 6 - 1 = 5 इकाई

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = ( (लाभ)/(CP) ) × 100

इकाई मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = ⅕ × 100 = 20%

इस गणना के लिए विक्रय मूल्य के विशिष्ट मान (₹42564) की आवश्यकता नहीं है क्योंकि लाभ को विक्रय मूल्य के प्रत्यक्ष भिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है, जिससे लाभ और क्रय मूल्य के अनुपात से प्रतिशत प्राप्त किया जा सकता है।

व्याख्या

माना धीमे पाइप की कार्यक्षमता x इकाई प्रति मिनट है। चूंकि तेज पाइप टैंक को 6 गुना अधिक तेजी से भरता है, इसलिए इसकी कार्यक्षमता 6x इकाई प्रति मिनट है। दोनों पाइपों की एक साथ मिलकर संयुक्त कार्यक्षमता x + 6x = 7x इकाई प्रति मिनट है।

टैंक की कुल क्षमता संयुक्त कार्यक्षमता को इसे भरने में लगे कुल समय से गुणा करके निर्धारित की जाती है: क्षमता = 7x × 40 = 280x इकाई

अकेले धीमे पाइप द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय कुल क्षमता को उसकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है: समय = ²⁸⁰ˣ⁄ₓ = 280 मिनट

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 का एक गुणज हो। संख्या 6745k2 के लिए, अंकों का योग 6 + 7 + 4 + 5 + k + 2 = 24 + k है। 24 + k को 3 से विभाज्य होने के लिए, k का मान ऐसा होना चाहिए जिससे कि प्राप्त योग समुच्चय {24, 27, 30, 33, ...} से संबंधित हो। चूंकि 24 पहले से ही 3 से विभाज्य है, इसलिए एकल-अंक k के संभावित मान 0, 3, 6 और 9 हैं। इन संभावित मानों में से, अधिकतम मान 9 है। k = 9 रखने पर अंकों का योग 33 प्राप्त होता है, जो 3 से विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए अमित की वर्तमान आयु x है। इस कथन का कि उसके पिता की आयु अमित से पांच गुना अधिक है, तात्पर्य यह है कि पिता की आयु x + 5x = 6x है।

6 वर्ष बाद, अमित की आयु x + 6 होगी और उसके पिता की आयु 6x + 6 होगी। प्रश्न के अनुसार, इस समय पिता की आयु अमित की आयु की साढ़े तीन गुना है: 6x + 6 = 3.5(x + 6) 6x + 6 = ⁷⁄₂(x + 6) 12x + 12 = 7x + 42 5x = 30 x = 6

अमित की वर्तमान आयु 6 वर्ष है, और उसके पिता की वर्तमान आयु 6 × 6 = 36 वर्ष है।

प्रश्न में इसके और 9 वर्ष बाद का अनुपात पूछा गया है, जिसका अर्थ है वर्तमान से 6 + 9 = 15 वर्ष बाद। उस समय: अमित की आयु = 6 + 15 = 21 वर्ष पिता की आयु = 36 + 15 = 51 वर्ष

अमित की आयु के सापेक्ष पिता की आयु के गुना की गणना इस प्रकार की जाती है: ⁵¹⁄₂₁ = ¹⁷⁄₇ = 2³⁄₇ गुना

व्याख्या

मिश्रण का विक्रय मूल्य ₹75 प्रति किलोग्राम है और इस पर 20% का लाभ होता है। सबसे पहले, सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + लाभ %) का उपयोग करके मिश्रण का क्रय मूल्य (CPₘ) ज्ञात किया जाना चाहिए।

CPₘ = (75 × 100)/(100 + 20) = ⁷⁵⁰⁰⁄₁₂₀ = 62.5

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, दोनों मात्राओं के अनुपात की गणना व्यक्तिगत क्रय मूल्यों की तुलना मिश्रण के औसत क्रय मूल्य से करके की जाती है: चीनी 1 (CP₁ = 78) और चीनी 2 (CP₂ = 46) का अनुपात = (CPₘ - CP₂) : (CP₁ - CPₘ)

मान रखने पर: अनुपात = (62.5 - 46) : (78 - 62.5) अनुपात = 16.5 : 15.5

सरल करने के लिए, दशमलव हटाने के लिए दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें: अनुपात = 165 : 155

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), 5 से विभाजित करने पर: 165 / 5 = 33 155 / 5 = 31

अभीष्ट अनुपात 33:31 है।

व्याख्या

एक ही समय पर गति शुरू करने वाली और मिलने तक गतिमान रहने वाली दो वस्तुओं द्वारा तय की गई दूरी उनकी चाल के सीधे आनुपातिक होती है। मान लीजिए कि पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी dₚ है और चोर द्वारा तय की गई दूरी dₜ है। उनकी चाल का अनुपात vₚ : vₜ = 23 : 21 है।

चूंकि पकड़े जाने के क्षण तक समय t स्थिर है, इसलिए तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी चाल के अनुपात के समान होता है: dₚ / dₜ = 23 / 21। तय की गई दूरियों का अंतर उनके बीच का प्रारंभिक अंतर है, जो कि 100 मीटर है। इसलिए, dₚ - dₜ = 100 मीटर।

दूरियों को एक स्थिरांक x के रूप में दर्शाने पर, हमें प्राप्त होता है: 23x - 21x = 100, जिससे 2x = 100, या x = 50 प्राप्त होता है। पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी dₜ = 21x = 21 × 50 = 1050 मीटर है।

व्याख्या

व्यंजक (3x + 17 - 2y)(3x - 17 - 2y) को ((3x - 2y) + 17)((3x - 2y) - 17) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह संरचना वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का अनुसरण करती है, जहाँ a = 3x - 2y और b = 17 है।

सर्वसमिका लागू करने पर: ((3x - 2y) + 17)((3x - 2y) - 17) = (3x - 2y)² - 17²

द्विपद के वर्ग के सूत्र (p - q)² = p² - 2pq + q² का उपयोग करके पद (3x - 2y)² का विस्तार किया जाता है: (3x - 2y)² = (3x)² - 2(3x)(2y) + (2y)² = 9x² - 12xy + 4y²

अचर पद की गणना इस प्रकार की जाती है: 17² = 289

इन भागों को मिलाने पर सरल व्यंजक प्राप्त होता है: 9x² - 12xy + 4y² - 289

व्याख्या

इस व्यंजक का मान VBODMAS नियम का उपयोग करके निकाला जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (brackets), का (of), भाग (division), गुणा (multiplication), जोड़ (addition), और घटाव (subtraction)। दिए गए व्यंजक 11 - {(3 ÷ 4) का 8 - 4} - 8 के आधार पर:

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक को हल करें: (3 ÷ 4) = ¾

इसके बाद, 'का' (of) संकारक लागू करें, जो गुणा को दर्शाता है: 8 का ¾ = ¾ × 8 = 6

फिर, मझले कोष्ठक के भीतर के मान को हल करें: {6 - 4} = 2

अंत में, बाएं से दाएं घटाव करें: 11 - 2 - 8 = 9 - 8 = 1

व्याख्या

निवेश का अनुपात संबंध 2A = 4B = 6C द्वारा दिया गया है। उनके व्यक्तिगत हिस्सों A:B:C का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद को 2, 4 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाजित करते हैं, जो कि 12 है:

(2A)/(12) = (4B)/(12) = (6C)/(12) ⟹ (A)/(6) = (B)/(3) = (C)/(2)

इस प्रकार, अनुपात A:B:C, 6:3:2 है। अनुपात में कुल भाग 6 + 3 + 2 = 11 हैं। यह देखते हुए कि कुल लाभ 44,000 है, हम कुल लाभ को कुल भागों से विभाजित करके एक भाग का मूल्य ज्ञात करते हैं:

एक भाग = (44,000)/(11) = 4,000

चूंकि A के हिस्से में 6 भाग शामिल हैं, इसलिए A का लाभ हिस्सा 6 × 4,000 = $24,000 है।

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सूत्र CP = (SP)/(1 ± r) का उपयोग करके प्रत्येक कीबोर्ड का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करते हैं, जहाँ SP विक्रय मूल्य है और r दशमलव के रूप में व्यक्त की गई लाभ या हानि की दर है।

25% लाभ पर बेचे गए पहले कीबोर्ड के लिए: CP₁ = (1260)/(1 + 0.25) = (1260)/(1.25) = 1008

10% हानि पर बेचे गए दूसरे कीबोर्ड के लिए: CP₂ = (1440)/(1 - 0.10) = (1440)/(0.9) = 1600

अब, कुल क्रय मूल्य और कुल विक्रय मूल्य की गणना करें: कुल CP = 1008 + 1600 = 2608 कुल SP = 1260 + 1440 = 2700

चूंकि कुल विक्रय मूल्य कुल क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए कुल लाभ होता है: कुल लाभ = 2700 - 2608 = 92

कुल लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ% = (कुल लाभ)/(कुल CP) × 100 = ⁹²⁄₂₆₀₈ × 100 लाभ% = ⁹²⁰⁰⁄₂₆₀₈ = ¹¹⁵⁰⁄₃₂₆ = ⁵⁷⁵⁄₁₆₃ = 3 ⁸⁶⁄₁₆₃ %

परिणामी भिन्न 3 ⁸⁶⁄₁₆₃ % चुने गए विकल्प में दिए गए लाभ और संख्यात्मक मानों से मेल खाती है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं।

दिया गया है MP = 15000, d₁ = 20, और d₂ = 12, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: SP = 15000 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹²⁄₁₀₀) SP = 15000 × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁸⁸⁄₁₀₀ SP = 15000 × 0.8 × 0.88

पहले, पहली छूट के बाद मूल्य की गणना करने पर: 15000 × 0.8 = 12000

अब, घटे हुए मूल्य पर 12% की दूसरी छूट लागू करने पर: 12000 × 0.88 = 10560

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी d को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, क्योंकि त्रिज्या R, दूरी d और जीवा की आधी लंबाई L/2 एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। वृत्त के गुणधर्म के अनुसार, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

इस त्रिभुज में, त्रिज्या R कर्ण है, d लंबवत दूरी है, और L/2 आधार है। उनके बीच का संबंध इस प्रकार है: d = √(R²⁾⁻⁽^L^/²⁾^^^²

दिए गए मानों R = 12.5 सेमी और L = 11 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: d = √(12.5²⁾⁻⁽¹¹^/²⁾^^^² d = √(156.25 - 5.5²⁾ d = √(156.25 - 30.25) d = √(126)

126 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम देखते हैं कि 11² = 121 और 11.3² = 127.69 है। 11.2² = 125.44 की गणना करने पर। चूंकि 126, 127.69 की तुलना में 125.44 के अधिक निकट है, इसलिए एक दशमलव स्थान तक सही मान 11.2 सेमी है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन V, सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है।

दिया गया है कि आयतन V, 600 सेमी³ है और त्रिज्या r, 30 सेमी है, ऊंचाई ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं:

600 = π × (30)² × h 600 = 900 π h

h का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 900 π से विभाजित करते हैं:

h = (600)/(900 π) h = (2)/(3 π)

π ≈ 3.14159 के मान का उपयोग करने पर:

h ≈ (2)/(3 × 3.14159) h ≈ (2)/(9.42477) h ≈ 0.2122 सेमी

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, डिब्बे की ऊंचाई 0.21 सेमी है।

व्याख्या

सर्वांगसम त्रिभुजों △ ABC ≅ △ PQR में, संगत कोण बराबर होते हैं जैसे कि ∠ A = ∠ P, ∠ B = ∠ Q, और ∠ C = ∠ R। किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। △ ABC के लिए, इसे ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° के रूप में व्यक्त किया जाता है। समीकरण में दिए गए मान ∠ B = 35° को रखने पर, हमें ∠ A + 35° + ∠ C = 180° प्राप्त होता है। शेष कोणों के योग के लिए इसे व्यवस्थित करने पर, ∠ A + ∠ C = 180° - 35° = 145° प्राप्त होता है। चूंकि CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) प्रमेय के अनुसार ∠ A = ∠ P है, इसलिए हम योग में ∠ A को ∠ P से प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप ∠ P + ∠ C = 145° प्राप्त होता है।

व्याख्या

केंद्र A वाले वृत्त में, चूँकि PQ व्यास है, इसलिए बिंदु P, A और Q संरेख हैं। △ MAQ में, भुजाएँ AM और AQ एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिससे वे बराबर (AM = AQ) हो जाती हैं। इसलिए, △ MAQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ समान भुजाओं के सम्मुख आधार कोण भी बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है m∠ AMQ = m∠ MQA।

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, △ MAQ का बाह्य कोण ∠ MAP दो अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। इस प्रकार, m∠ MAP = m∠ AMQ + m∠ MQA। ज्ञात मानों और आधार कोणों की समानता को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 110° = 2 × m∠ MQA प्राप्त होता है। वांछित कोण के लिए हल करने पर m∠ MQA = 110° / 2 = 55° प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय अनुपात sec θ = √2 है। चूंकि cos θ = (1)/(sec θ) होता है, इसलिए cos θ = (1)/(√(2)) होगा। यह मान प्रथम चतुर्थांश में θ = 45° (या (π)/(4) रेडियन) के कोण के संगत है। csc θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम संबंध csc θ = (1)/(sin θ) का उपयोग करते हैं। θ = 45° पर, ज्या (sine) का मान sin 45° = (1)/(√(2)) होता है। इसलिए, csc 45° = (1)/(1/√(2)) = √2।

वैकल्पिक रूप से, मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 1 + tan² θ = sec² θ होता है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 + tan² θ = (√2)² = 2 प्राप्त होता है, जिससे tan² θ = 1 प्राप्त होता है। चूंकि cot θ, tan θ का व्युत्क्रम है, इसलिए cot² θ = 1 होगा। सर्वसमिका 1 + cot² θ = csc² θ का उपयोग करने पर, हमें csc² θ = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, हमें csc θ = √2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज की गणना कुल मिश्रधन में से मूलधन को घटाकर की जाती है: SI = A - P = 24,800 - 10,800 = 14,000। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

14,000 = (10,800 × 15.5 × T)/(100)

14,000 = 108 × 15.5 × T

14,000 = 1,674 × T

T = (14,000)/(1,674)

T ≈ 8.3632...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, आवश्यक समय 8.36 वर्ष है।

व्याख्या

मान लीजिए कि मतों की कुल संख्या V है। प्रश्न के अनुसार, 80% मतदाताओं ने अपने मत डाले, और डाले गए मतों में से 4% मतों को अवैध घोषित कर दिया गया। इसका अर्थ है कि डाले गए मतों में से 96% मत वैध थे। उम्मीदवार को इन वैध मतों का 80% प्राप्त हुआ, जो 15,360 के बराबर है।

हम इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शा सकते हैं: V × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁹⁶⁄₁₀₀ × ⁸⁰⁄₁₀₀ = 15,360

भिन्नों को सरल करने पर: V × ⅘ × ²⁴⁄₂₅ × ⅘ = 15,360 V × ³⁸⁴⁄₆₂₅ = 15,360

V का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे एक तरफ अलग करते हैं: V = (15,360 × 625)/(384)

15,360 को 384 से विभाजित करने पर: 15,360 ÷ 384 = 40

अब, 625 से गुणा करने पर: V = 40 × 625 V = 25,000

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 2sin²θ +3sin θ -2 = 0, sin θ के रूप में एक द्विघात समीकरण है। माना x = sin θ है। समीकरण 2x² + 3x - 2 = 0 हो जाता है। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करने पर: 2x² + 4x - x - 2 = 0 2x(x + 2) - 1(x + 2) = 0 (2x - 1)(x + 2) = 0

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = 1/2 या x = -2। चूंकि ज्या (sine) फलन का परिसर [-1, 1] तक सीमित है, इसलिए sin θ = -2 मान गणितीय रूप से असंभव है। इसलिए, हमें sin θ = 1/2 प्राप्त होता है। दिए गए प्रतिबंध 0 < θ < 90° के अंतर्गत, इस शर्त को पूरा करने वाला एकमात्र मान θ = 30° है क्योंकि sin 30° = 1/2 है।