एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

a⁶ + a⁻⁶ का मान ज्ञात करने के लिए, हम x + ¹⁄ₓ की घातों के लिए सर्वसमिकाओं (identities) का उपयोग कर सकते हैं। दिया गया है कि a + ¹⁄ₐ = 7√3, हम सबसे पहले सूत्र x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 का उपयोग करके a² + (1)/(a²) का मान ज्ञात करते हैं।

a² + (1)/(a²) = (7√3)² - 2 a² + (1)/(a²) = (49 × 3) - 2 = 147 - 2 = 145

अब, हम a⁶ + (1)/(a⁶) को (a²)³ + (1)/((a²)³) के रूप में मानकर इसकी गणना करते हैं। सूत्र y³ + (1)/(y³) = (y + (1)/(y))³ - 3(y + (1)/(y)) का उपयोग करने पर, जहाँ y = a²:

a⁶ + (1)/(a⁶) = (a² + (1)/(a²))³ - 3(a² + (1)/(a²)) a⁶ + (1)/(a⁶) = 145³ - 3(145)

145³ की गणना करने पर: 145² = 21025 145³ = 21025 × 145 = 3048625

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a⁶ + (1)/(a⁶) = 3048625 - 435 = 3048190

वैकल्पिक रूप से, हम पहले a³ + (1)/(a³) का मान ज्ञात कर सकते हैं: a³ + (1)/(a³) = (7√3)³ - 3(7√3) = 1029√3 - 21√3 = 1008√3 इसके बाद, a⁶ + (1)/(a⁶) = (a³ + (1)/(a³))² - 2 = (1008√3)² - 2 a⁶ + (1)/(a⁶) = (1016064 × 3) - 2 = 3048192 - 2 = 3048190

व्याख्या

गुंजा द्वारा प्राप्त अंकों का कुल प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सभी चार विषयों में उसके द्वारा प्राप्त कुल अंकों की गणना करें। गणित (112), भौतिकी (119), रसायन विज्ञान (99), और अंग्रेजी (97) में उसके अंकों का योग करने पर प्राप्त होता है:

112 + 119 + 99 + 97 = 427

प्रत्येक विषय के लिए अधिकतम अंक 175 हैं। चूंकि चार विषय हैं, इसलिए कुल अधिकतम अंक हैं:

175 × 4 = 700

कुल प्रतिशत की गणना प्राप्त कुल अंकों को कुल अधिकतम अंकों से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है:

कुल प्रतिशत = ⁴²⁷⁄₇₀₀ × 100

कुल प्रतिशत = ⁴²⁷⁄₇ = 61

व्याख्या

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, एक बहुपद P(x), (x - a) से विभाज्य होता है यदि P(a) = 0 हो। यह ज्ञात करने के लिए कि P(x) = x³ - 4x² - 8x + 11 में से कौन सी संख्या घटाई जानी चाहिए ताकि परिणाम (x + 2) से विभाज्य हो जाए, हम शेषफल P(-2) की गणना करते हैं। शेषफल का मान वही संख्या होती है जिसे पूर्ण विभाज्यता प्राप्त करने के लिए घटाया जाना आवश्यक है।

बहुपद व्यंजक में x = -2 रखने पर: P(-2) = (-2)³ - 4(-2)² - 8(-2) + 11 P(-2) = -8 - 4(4) + 16 + 11 P(-2) = -8 - 16 + 16 + 11 P(-2) = 3

चूंकि शेषफल 3 है, इसलिए व्यंजक में से इस मान को घटाने पर x³ - 4x² - 8x + 8 प्राप्त होता है, जो (x + 2) से विभाज्य होने की शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin A + cos A = √3 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (sin A + cos A)² = (√3)² प्राप्त होता है। बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर sin² A + cos² A + 2 sin A cos A = 3 प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, समीकरण 1 + 2 sin A cos A = 3 हो जाता है। इसे सरल करने पर 2 sin A cos A = 2 प्राप्त होता है, जिससे आगे sin A cos A = 1 प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक tan A + cot A + 2 sin A cos A का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दो पदों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करके सरल करते हैं: tan A + cot A = (sin A)/(cos A) + (cos A)/(sin A) = (sin² A + cos² A)/(sin A cos A) = (1)/(sin A cos A)। व्यंजक में प्राप्त मानों sin A cos A = 1 और 2 sin A cos A = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ¹⁄₁ + 2 = 1 + 2 = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना सूत्र SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, हमें SP = 2250 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) प्राप्त होता है। यह सरल होकर 2250 × 0.90 × 0.80 हो जाता है।

छूट कारकों को आपस में गुणा करने पर कुल गुणक 0.72 प्राप्त होता है। इसलिए, अंतिम विक्रय मूल्य 2250 × 0.72 है। इस गुणनफल की गणना करने पर, 2250 × 0.7 = 1575 और 2250 × 0.02 = 45 प्राप्त होता है। इन परिणामों को आपस में जोड़ने पर, 1575 + 45 = 1620 प्राप्त होता है। इसे इस रूप में भी देखा जा सकता है कि £2,250 पर 10% की छूट देकर £2,025 तक पहुँचा जाए, और फिर £2,025 पर 20% की छूट दी जाए, जिससे कीमत £405 कम होकर अंतिम राशि £1,620 हो जाती है।

व्याख्या

एक हीरे का मूल्य C उसके भार W के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है, जिसे सूत्र C = kW² द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ k एक स्थिरांक है। दिए गए अनुपात के आधार पर मान लीजिए कि चारों टुकड़ों का भार 4x, 3x, 2x और 1x है। मूल हीरे का कुल भार इन भागों का योग है: W = 4x + 3x + 2x + 1x = 10x।

हीरे का मूल मूल्य k(10x)² = 100kx² है। चारों टुकड़ों को अलग-अलग बेचने से प्राप्त कुल मूल्य k(4x)² + k(3x)² + k(2x)² + k(1x)² = 16kx² + 9kx² + 4kx² + 1kx² = 30kx² है। मूल्य में हुई हानि, मूल मूल्य और टुकड़ों के कुल मूल्य के बीच का अंतर है: 100kx² - 30kx² = 70kx²।

चूंकि व्यापारी को मूल मूल्य से £63,000 कम प्राप्त हुए, इसलिए हम समीकरण 70kx² = 63,000 बनाते हैं। एक इकाई kx² के मान के लिए हल करने पर, हमें kx² = 63,000 / 70 = 900 प्राप्त होता है। मूल मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम इसे वापस मूल मूल्य के समीकरण में रखते हैं: 100kx² = 100 × 900 = 90,000।

व्याख्या

किसी वस्तु के वास्तविक मूल्य को प्रति इकाई वजन की लागत के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रारंभ में, विक्रेता सब्जियों को £10 प्रति 1 किलोग्राम (1000 ग्राम) पर बेचता है। इसलिए, प्रारंभिक वास्तविक मूल्य Pᵢₙᵢₜᵢₐₗ = 10 / 1 = £10 प्रति किलोग्राम है।

दूसरी स्थिति में, विक्रेता कीमत घटाकर £7.2 कर देता है लेकिन 1000 ग्राम के स्थान पर केवल 900 ग्राम प्रदान करता है। प्रति किलोग्राम नया वास्तविक मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम इस दर के आधार पर 1000 ग्राम की लागत की गणना करते हैं: Pₙₑ_w = (7.2)/(900) × 1000 = (7.2)/(0.9) = £8 प्रति किलोग्राम।

वास्तविक मूल्य में प्रतिशत परिवर्तन की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत परिवर्तन = ((Pₙₑ_w - Pᵢₙᵢₜᵢₐₗ) / Pᵢₙᵢₜᵢₐₗ) × 100 प्रतिशत परिवर्तन = (8 - 10)/(10) × 100 = ⁻²⁄₁₀ × 100 = -20%

ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक मूल्य में 20% की कमी आई है।

व्याख्या

किसी वस्तु पर होने वाले व्यय की गणना उसकी कीमत और खपत की गई मात्रा के गुणनफल के रूप में की जाती है। मान लीजिए कि टमाटर की प्रारंभिक कीमत P है और प्रारंभिक खपत C है। इसलिए, प्रारंभिक व्यय Eᵢₙᵢₜᵢₐₗ = P × C है।

टमाटर की कीमत में 300% की वृद्धि होती है, जिसका अर्थ है कि नई कीमत Pₙₑ_w = P + P का 300% = P + 3P = 4P है। खपत में 70% की कमी होती है, जिसका अर्थ है कि नई खपत Cₙₑ_w = C - C का 70% = C - 0.7C = 0.3C है।

नए व्यय की गणना इस प्रकार की जाती है: Eₙₑ_w = Pₙₑ_w × Cₙₑ_w Eₙₑ_w = 4P × 0.3C = 1.2PC

व्यय में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत परिवर्तन = (Eₙₑ_w - Eᵢₙᵢₜᵢₐₗ) / Eᵢₙᵢₜᵢₐₗ × 100 प्रतिशत परिवर्तन = (1.2PC - 1.0PC)/(1.0PC) × 100 = 0.2 × 100 = 20%

चूंकि मान धनात्मक है, इसलिए व्यय में 20% की वृद्धि होती है।

व्याख्या

केंद्र O और त्रिज्या OA = 20 सेमी वाले एक वृत्त में, मान लीजिए कि M जीवा AB का मध्यबिंदु है। चूँकि AB = 32 सेमी है, इसलिए AM = 16 सेमी होगा। समकोण त्रिभुज OMA में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दूरी OM की गणना की जाती है: OM = √(OA² - AM²) = √(20² - 16²) = √(400 - 256) = √(144) = 12 सेमी।

स्पर्श रेखा TA त्रिज्या OA पर लंबवत है, जिससे △ OAT एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसमें ∠ OAT = 90° है। इस त्रिभुज में, AM कर्ण OT पर A से डाला गया शीर्षलंब है। समरूप त्रिभुजों △ OMA ∼ △ OAT के गुण का उपयोग करने पर, हमें निम्नलिखित अनुपात प्राप्त होता है: (AM)/(TA) = (OM)/(OA)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (16)/(TA) = ¹²⁄₂₀ TA = (16 × 20)/(12) = (16 × 5)/(3) = ⁸⁰⁄₃ ≈ 26.67 सेमी।

मान 26.67 दिए गए विकल्पों में संख्यात्मक अनुक्रम के अनुरूप है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम BODMAS/VBODMAS नियम लागू करते हैं, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

सबसे पहले, मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें: 4⅙ = ((4 × 6) + 1)/(6) = ²⁵⁄₆

इसके बाद, "का" (of) संक्रिया को हल करें, जो भाग और गुणा से पहले की जाती है: 125 का ⅕ = ⅕ × 125 = 25

इन प्रतियोगी परीक्षाओं के प्रश्नों की संरचना में आमतौर पर सरलीकृत भाग और गुणा के क्रम शामिल होते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने और सरलीकरण के लिए इच्छित भाग चिह्नों (division operators) का उपयोग करने पर: ²⁵⁄₆ ÷ 25 × 75 ÷ 25

बाएँ से दाएँ संक्रियाएँ करें: भाग: ²⁵⁄₆ ÷ 25 = ²⁵⁄₆ × ¹⁄₂₅ = ⅙ गुणा: ⅙ × 75 = ⁷⁵⁄₆ = ²⁵⁄₂ अंतिम भाग: ²⁵⁄₂ ÷ 25 = ²⁵⁄₂ × ¹⁄₂₅ = ½

व्याख्या

माना टैंक की कुल क्षमता 9 और 21 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 63 इकाई है। पाइप X की कार्यक्षमता 63 / 9 = 7 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप Y की कार्यक्षमता 63 / 21 = 3 इकाई प्रति घंटा है। दो घंटे के एक पूर्ण चक्र में, जहाँ पहले घंटे के लिए पाइप X खोला जाता है और दूसरे घंटे के लिए पाइप Y खोला जाता है, किया गया कुल कार्य 7 + 3 = 10 इकाई है।

ऐसे 6 चक्रों में, जो कुल 12 घंटों को दर्शाते हैं, पूरा किया गया कार्य 6 × 10 = 60 इकाई है। भरी जाने वाली शेष क्षमता 63 - 60 = 3 इकाई है। अगले चक्र की शुरुआत में पाइप X को खोला जाना है। चूंकि पाइप X प्रति घंटे 7 इकाई भरता है, इसलिए शेष 3 इकाइयों को भरने में उसके द्वारा लिया गया समय 3 / 7 घंटा है। टैंक को पूरा भरने के लिए आवश्यक कुल समय 12 + 3/7 = 12³⁄₇ घंटे है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज PQR में, अंतः कोणों का योग हमेशा 180° होता है, इसलिए P + Q + R = 180°। दिए गए संबंधों से, हम कोण Q और R को P के पदों में व्यक्त कर सकते हैं।

पहला संबंध P - Q = 20° हमें Q = P - 20° देता है। दूसरा संबंध Q - R = 26° हमें R = Q - 26° देता है। R के समीकरण में Q का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: R = (P - 20°) - 26° = P - 46°।

इन मानों को कोणों के योग वाले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: P + (P - 20°) + (P - 46°) = 180° 3P - 66° = 180° 3P = 180° + 66° 3P = 246° P = (246°)/(3) = 82°

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। माना योजना A में निवेश की गई राशि x है। इसलिए, योजना B में निवेश की गई राशि 4x है।

योजना A से प्राप्त ब्याज: SI_A = (x × 8 × 5)/(100) = ⁴⁰ˣ⁄₁₀₀ = 0.4x

योजना B से प्राप्त ब्याज: SI_B = (4x × 5 × 7)/(100) = ¹⁴⁰ˣ⁄₁₀₀ = 1.4x

प्राप्त कुल ब्याज ₹1,620 दिया गया है। SI_A + SI_B = 1,620 0.4x + 1.4x = 1,620 1.8x = 1,620 x = (1,620)/(1.8) = 900

योजना B में निवेश की गई राशि 4x है। योजना B में निवेश = 4 × 900 = 3,600

व्याख्या

औसत अंकों की गणना सभी विषयों में प्राप्त अंकों के योग को विषयों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। समांतर माध्य के सूत्र का उपयोग करते हुए:

औसत = (अंकों का योग)/(विषयों की कुल संख्या)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

योग = 98 + 97 + 93 + 94 + 92 + 93 = 567

विषयों की संख्या = 6

औसत = ⁵⁶⁷⁄₆ = 94.5

व्याख्या

जब दो ट्रेनें एक-दूसरे को पार करती हैं तो तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग होती है: D = 150 + 250 = 400 मीटर। मान लीजिए कि दोनों ट्रेनों की गति मीटर/सेकंड में क्रमशः V₁ और V₂ है। जब ट्रेनें समान दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है: V₁ - V₂ = ⁴⁰⁰⁄₂₀ = 20 मीटर/सेकंड। जब वे विपरीत दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है: V₁ + V₂ = ⁴⁰⁰⁄₅ = 80 मीटर/सेकंड।

इस रैखिक समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए, हम उन्हें जोड़ते हैं जिससे 2V₁ = 100 प्राप्त होता है, जो V₁ = 50 मीटर/सेकंड देता है। दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर 2V₂ = 60 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप V₂ = 30 मीटर/सेकंड होता है। इन गतियों को मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम परिवर्तन कारक ¹⁸⁄₅ का उपयोग करते हैं। इसलिए, पहली ट्रेन की गति 50 × ¹⁸⁄₅ = 180 किमी/घंटा है और दूसरी ट्रेन की गति 30 × ¹⁸⁄₅ = 108 किमी/घंटा है।

व्याख्या

माना R और K क्रमशः रवि और कविता के पास वास्तव में मौजूद कंचों की संख्या को दर्शाते हैं। प्रश्न के अनुसार, कविता के पास रवि से 12 कंचे अधिक हैं, जिसे K = R + 12, या R = K - 12 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि दोनों को एक और कंचा दिया जाता है, तो उनकी नई संख्याएँ K + 1 और R + 1 होंगी। इन नई संख्याओं के बीच के संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

3(K + 1) = 4(R + 1)

समीकरण में R = K - 12 प्रतिस्थापित करके, हम K का मान ज्ञात कर सकते हैं:

3(K + 1) = 4(K - 12 + 1) 3K + 3 = 4(K - 11) 3K + 3 = 4K - 44

समीकरण के एक तरफ चर (variable) को अलग करके K का मान ज्ञात करने पर:

3 + 44 = 4K - 3K K = 47

वास्तव में कविता के पास 47 कंचे थे।

व्याख्या

मिश्रणों के लिए भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करते हुए, माध्य मूल्य Pₘ की गणना Pₘ = Q₁P₁ + Q₂P₂{Q₁ + Q₂} के रूप में की जाती है, जहाँ Q मात्रा को दर्शाता है और P प्रति किग्रा मूल्य को दर्शाता है। इस प्रश्न में, Q₁ = 15 किग्रा, P₁ = ₹10 प्रति किग्रा, Q₂ = 5 किग्रा, और माध्य मूल्य Pₘ = ₹30 प्रति किग्रा है। मान लीजिए महंगे गेहूं का मूल्य x है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: 30 = ((15 × 10) + (5 × x))/(15 + 5) 30 = (150 + 5x)/(20) 600 = 150 + 5x 450 = 5x x = 90

वैकल्पिक रूप से, अज्ञात मूल्य ज्ञात करने के लिए मिश्रण नियम (rule of alligation) को लागू किया जा सकता है। मात्राओं का अनुपात महंगे मूल्य और माध्य मूल्य के अंतर को माध्य मूल्य और सस्ते मूल्य के अंतर से विभाजित करने के बराबर होता है: (सस्ते गेहूं की मात्रा)/(महंगे गेहूं की मात्रा) = (महंगे गेहूं का मूल्य - माध्य मूल्य)/(माध्य मूल्य - सस्ते गेहूं का मूल्य) ¹⁵⁄₅ = (x - 30)/(30 - 10) 3 = (x - 30)/(20) 60 = x - 30 x = 90

व्याख्या

tan θ का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण 3sin²θ + 5cos²θ = 4 को cos²θ से विभाजित करें। इस रूपांतरण के परिणामस्वरूप व्यंजक 3sin²θ/cos²θ + 5cos²θ/cos²θ = 4/cos²θ प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3tan²θ + 5 = 4sec²θ हो जाता है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ = 1 + tan²θ का उपयोग करते हुए, sec²θ का मान प्रतिस्थापित करने पर समीकरण 3tan²θ + 5 = 4(1 + tan²θ) प्राप्त होता है। दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर 3tan²θ + 5 = 4 + 4tan²θ प्राप्त होता है। tan²θ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर 5 - 4 = 4tan²θ - 3tan²θ प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1 = tan²θ हो जाता है। चूंकि θ एक न्यूनकोण है, इसलिए tan θ का मान धनात्मक होना चाहिए। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें tan θ = 1 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, समीकरण को 3(sin²θ + cos²θ) + 2cos²θ = 4 के रूप में व्यक्त करने पर 3(1) + 2cos²θ = 4 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है 2cos²θ = 1, जो यह भी पुष्टि करता है कि θ = 45° है।

व्याख्या

asin θ + bcos θ के रूप के किसी भी त्रिकोणमितीय व्यंजक के लिए, अधिकतम मान सूत्र √(a² + b²) द्वारा दिया जाता है और न्यूनतम मान -√(a² + b²) द्वारा दिया जाता है। दिए गए व्यंजक 2sin θ + 3cos θ में, गुणांक a = 2 और b = 3 हैं। इन मानों को सूत्र में रखने पर, अधिकतम मान √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √(13) है।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है। यह रचना एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ त्रिज्या (r) कर्ण है, केंद्र से लंबवत दूरी (d) एक भुजा है, और जीवा की आधी लंबाई (x) दूसरी भुजा है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: r² = d² + x²

दिए गए मानों r = 10 सेमी और d = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 10² = 6² + x² 100 = 36 + x² x² = 100 - 36 x² = 64 x = √(64) = 8 सेमी

जीवा की कुल लंबाई x के मान की दोगुनी है क्योंकि लंबवत दूरी इसे समद्विभाजित करती है: जीवा की लंबाई = 2x = 2 × 8 = 16 सेमी

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में परिभाषित करता है। इस नियम के अनुसार, 'का' (of) संकारक का मूल्यांकन भाग और घटाव से पहले किया जाता है।

सबसे पहले, व्यंजक के 'का' (of) वाले भागों को हल करें। पद 3 का 2 (3 of 2) = 3 × 2 = 6 है, और पद 6 का 3 (6 of 3) = 6 × 3 = 18 है। इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 25 ÷ 5 + 6 - 4 + 18 ÷ 2 - 8 + 4

इसके बाद, भाग की संक्रियाएँ करें। 25 को 5 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, और 18 को 2 से विभाजित करने पर 9 प्राप्त होता है। अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 5 + 6 - 4 + 9 - 8 + 4

अंत में, बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ करें। धनात्मक पदों को एक साथ रखने पर 5 + 6 + 9 + 4 = 24 प्राप्त होता है, और ऋणात्मक पदों को एक साथ रखने पर -4 - 8 = -12 प्राप्त होता है। इन परिणामों को मिलाने पर, हमें 24 - 12 = 12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी पद और उसके व्युत्क्रम के योग और अंतर के बीच का संबंध बीजीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 द्वारा स्थापित होता है। इस सूत्र में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 7 को प्रतिस्थापित करने पर:

(x - ¹⁄ₓ)² = 7² - 4 (x - ¹⁄ₓ)² = 49 - 4 = 45

(x - ¹⁄ₓ) का धनात्मक मान ज्ञात करने के लिए, हम 45 के वर्गमूल की गणना करते हैं:

x - ¹⁄ₓ = √(45) = √(9 × 5) = 3√5

व्याख्या

दुकानदार का कुल लाभ दो कारकों का परिणाम है: मूल्य वृद्धि (मार्कअप) और वजन में विसंगति। माना 1000 ग्राम चावल का क्रय मूल्य ₹40 है। दुकानदार 1000 ग्राम का विक्रय मूल्य ₹44 निर्धारित करता है।

हालाँकि, दुकानदार प्रत्येक पैकेट में केवल 800 ग्राम (1000 ग्राम - 200 ग्राम) ही देता है, जबकि मूल्य 1000 ग्राम का लेता है। हम सबसे पहले बेची गई मात्रा का वास्तविक क्रय मूल्य ज्ञात करते हैं। चूंकि 1000 ग्राम का मूल्य ₹40 है, इसलिए 800 ग्राम का क्रय मूल्य है: CP (क्रय मूल्य) = (40 / 1000) × 800 = ₹32

इस 800 ग्राम के पैकेट का विक्रय मूल्य वही है जो 1000 ग्राम के लिए लिया गया मूल्य है: SP (विक्रय मूल्य) = ₹44

प्रत्येक पैकेट पर अर्जित कुल लाभ है: लाभ = SP - CP = 44 - 32 = ₹12

कुल लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: लाभ % = (लाभ / CP) × 100 लाभ % = (12 / 32) × 100 लाभ % = (3 / 8) × 100 लाभ % = 37.5%

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी अनुपात विधि (effective ratio method) का उपयोग करते हुए, मूल्य का अनुपात 44/40 = 11/10 है और वजन का अनुपात 1000/800 = 5/4 है। इन्हें गुणा करने पर कुल अनुपात 55/40 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 11/8 हो जाता है। 11/8 का अनुपात 3/8 की वृद्धि को दर्शाता है, जो 37.5% के बराबर है।

व्याख्या

माना व्यक्ति की वर्तमान आयु P है और छोटे भाई की वर्तमान आयु B है। पहली शर्त के अनुसार, तीन वर्ष पहले व्यक्ति की आयु उसके छोटे भाई की आयु की छह गुनी थी, जिसे P - 3 = 6(B - 3) के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस समीकरण को सरल करने पर P - 3 = 6B - 18 प्राप्त होता है, जो सरल होकर P - 6B = -15 हो जाता है।

दूसरी शर्त के अनुसार, आठ वर्ष बाद, व्यक्ति की आयु भाई की आयु के दोगुने से तीन वर्ष कम होगी, जिसे P + 8 = 2(B + 8) - 3 के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस समीकरण को सरल करने पर P + 8 = 2B + 16 - 3 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप P - 2B = 5 प्राप्त होता है।

P और B के मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं: (P - 2B) - (P - 6B) = 5 - (-15)। इससे 4B = 20 प्राप्त होता है, इसलिए B = 5। B के मान को समीकरण P - 2B = 5 में प्रतिस्थापित करने पर P - 2(5) = 5 प्राप्त होता है, जो सरल होकर P - 10 = 5 हो जाता है, और इस प्रकार P = 15 प्राप्त होता है। व्यक्ति की वर्तमान आयु 15 वर्ष और छोटे भाई की वर्तमान आयु 5 वर्ष है।

व्याख्या

जब छूट दी जाती है और लाभ प्राप्त होता है, तो क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: CP = MP × (100 - छूट%)/(100 + लाभ%).

दिया गया है कि अंकित मूल्य 275 है, छूट 5% है, और लाभ 4.5% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

CP = 275 × (100 - 5)/(100 + 4.5)

CP = 275 × (95)/(104.5)

भिन्न को सरल बनाने के लिए, दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर को 10 से गुणा करें:

CP = 275 × ⁹⁵⁰⁄₁₀₄₅

950 और 1045 दोनों 95 से विभाज्य हैं। 950 को 95 से विभाजित करने पर 10 प्राप्त होता है, और 1045 को 95 से विभाजित करने पर 11 प्राप्त होता है। इसलिए:

CP = 275 × ¹⁰⁄₁₁

275 को 11 से विभाजित करने पर 25 प्राप्त होता है। इस प्रकार:

CP = 25 × 10 = 250

व्याख्या

ज्यामिति में, दो प्रतिच्छेदी वृत्तों की विस्तारित उभयनिष्ठ जीवा उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं को समद्विभाजित करती है। माना कि वृत्त बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे AB उभयनिष्ठ जीवा बनती है। जब AB को बढ़ाया जाता है, तो यह उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PQ से बिंदु X पर मिलती है।

बिंदु की घात प्रमेय (Power of a Point theorem) के अनुसार, किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा के खंड का वर्ग उस बिंदु से छेदक रेखा के खंडों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। बिंदु X के लिए: XP² = XA · XB (पहले वृत्त के लिए) XQ² = XA · XB (दूसरे वृत्त के लिए)

इससे प्राप्त होता है कि XP² = XQ², इसलिए XP = XQ। अतः, X, PQ का मध्यबिंदु है, और PQ = 2 · XP।

बिंदु X, A, B, और Y संरेख हैं। दिया गया है कि XY = 5 सेमी और AB = 3 सेमी, आकृति की समरूपता सुनिश्चित करती है कि XA = BY। हम XA की लंबाई की गणना निम्नानुसार करते हैं: XA + AB + BY = XY 2 · XA + 3 = 5 2 · XA = 2 ⟹ XA = 1 सेमी

X से B की दूरी है: XB = XA + AB = 1 + 3 = 4 सेमी

XP ज्ञात करने के लिए बिंदु की घात प्रमेय लागू करने पर: XP² = XA · XB = 1 · 4 = 4 XP = √4 = 2 सेमी

चूंकि X, PQ को समद्विभाजित करता है: PQ = 2 · XP = 2 · 2 = 4 सेमी

व्याख्या

ओवरहेड टैंक की कुल क्षमता स्थिर है और इसे बाल्टियों की संख्या और प्रत्येक बाल्टी की क्षमता के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सूत्र Vₜₒₜₐₗ = n₁ × c₁ = n₂ × c₂ का उपयोग करते हुए, जहाँ n बाल्टियों की संख्या है और c एक बाल्टी की क्षमता है, हमारे पास प्रारंभिक स्थिति Vₜₒₜₐₗ = 50 × c₁ के रूप में है।

बाल्टी की नई क्षमता c₂ = ⅖c₁ है। इसे आयतन के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 50 × c₁ = n₂ × ⅖c₁ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से c₁ को निरस्त करने पर, समीकरण सरल होकर 50 = ⅖n₂ हो जाता है। n₂ के लिए हल करने पर, हमें n₂ = (50 × 5)/(2) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप n₂ = 25 × 5 = 125 मिलता है। बर्तन की क्षमता को कम करने पर समान कुल आयतन बनाए रखने के लिए आनुपातिक रूप से अधिक इकाइयों (बाल्टियों) की आवश्यकता होती है।

व्याख्या

कुल कार्य 12 और 16 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो कि 48 इकाई है।

A की दैनिक कार्यक्षमता = 48 / 12 = 4 इकाई/दिन। B की दैनिक कार्यक्षमता = 48 / 16 = 3 इकाई/दिन। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता = 4 + 3 = 7 इकाई/दिन।

A और B द्वारा मिलकर 6 दिनों में पूरा किया गया कार्य = 6 × 7 = 42 इकाई। शेष कार्य = कुल कार्य - पूरा किया गया कार्य = 48 - 42 = 6 इकाई।

शेष बचे कार्य का भाग = शेष कार्य / कुल कार्य = 6 / 48 = 1 / 8।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज PQRS में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ PSR = 120°, इसलिए ∠ PSR + ∠ PQR = 180°, जिससे प्राप्त होता है कि ∠ PQR = 180° - 120° = 60°। चूंकि PQ वृत्त का एक व्यास है, इसलिए इसके द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण एक समकोण होता है, अर्थात ∠ PRQ = 90°। △ PQR में, सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ QPR + ∠ PRQ + ∠ PQR = 180°। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर ∠ QPR + 90° + 60° = 180° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ QPR = 180° - 150° = 30° प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक बेलन का आयतन V = π r² h द्वारा दिया जाता है और इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल CSA = 2π rh होता है। इन दोनों मापदंडों के बीच एक सीधा संबंध V = (CSA × r)/(2) है।

त्रिज्या r = 10.5 सेमी और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल CSA = 792 सेमी² के दिए गए मान रखने पर:

V = (792 × 10.5)/(2)

V = 396 × 10.5

V = 396 × ²¹⁄₂

V = 198 × 21

V = 4158 सेमी³

वैकल्पिक रूप से, CSA = 2π rh का उपयोग करके ऊंचाई h का मान ज्ञात करने पर:

792 = 2 × ²²⁄₇ × 10.5 × h

792 = 2 × ²²⁄₇ × ²¹⁄₂ × h

792 = 66h

h = 12 सेमी

आयतन की गणना करने पर:

V = ²²⁄₇ × 10.5 × 10.5 × 12

V = ²²⁄₇ × ²¹⁄₂ × ²¹⁄₂ × 12

V = 33 × ²¹⁄₂ × 12

V = 33 × 21 × 6 = 4158 सेमी³

व्याख्या

सर्वसमिका 1 ± sin(2t) = cos²(t) + sin²(t) ± 2sin(t)cos(t) = (cos(t) ± sin(t))² का उपयोग करके, व्यंजक के पहले भाग को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:

(1 - sin(2t))/(1 + sin(2t)) = ((cos(t) - sin(t))²)/((cos(t) + sin(t))²)

इसे वापस मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

((cos(t) - sin(t))²)/((cos(t) + sin(t))²) × (cos(t) + sin(t))/(cos(t) - sin(t))

अंश और हर से उभयनिष्ठ रैखिक गुणनखंडों को निरस्त (cancel) करने पर, व्यंजक निम्न रूप में आ जाता है:

(cos(t) - sin(t))/(cos(t) + sin(t))

इसे टैनजेंट (tangent)-आधारित व्यंजक में बदलने के लिए, अंश और हर दोनों को cos(t) से विभाजित करने पर:

(cos(t))/(cos(t)) - (sin(t))/(cos(t)){(cos(t))/(cos(t)) + (sin(t))/(cos(t))} = (1 - tan(t))/(1 + tan(t))

व्याख्या

मान लीजिए कि सबसे छोटे बच्चे की आयु x है। चूंकि 6 बच्चों का जन्म 2-2 वर्ष के अंतराल पर हुआ था, इसलिए उनकी आयु एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाती है: x, x+2, x+4, x+6, x+8, और x+10।

इन आयु का योग 90 वर्ष है। हम समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं: x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) + (x + 10) = 90 6x + 30 = 90 6x = 60 x = 10

सबसे बड़े बच्चे की आयु को x + 10 द्वारा दर्शाया गया है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर: 10 + 10 = 20

वैकल्पिक रूप से, n पदों वाली एक समांतर श्रेणी के लिए, औसत (माध्य) योग को n से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। यहाँ, औसत आयु 90 / 6 = 15 है। सम संख्या में पदों और 2 के सार्व अंतर (common difference) वाली एक श्रृंखला में, औसत ठीक दो मध्य पदों के बीच आता है। इस प्रकार आयु 15 ± 1, 15 ± 3, और 15 ± 5 हैं। सबसे बड़े बच्चे की आयु 15 + 5 = 20 है।

व्याख्या

निवेश की अवधि में अर्जित साधारण ब्याज (SI), परिपक्वता राशि (A) और मूलधन (P) के बीच का अंतर है। SI = A - P = 2366 - 1456 = 910

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ R प्रति वर्ष ब्याज की दर है और T वर्षों में समय है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 910 = (1456 × R × 10)/(100)

व्यंजक को सरल करने पर: 910 = (1456 × R)/(10) 9100 = 1456 × R R = ⁹¹⁰⁰⁄₁₄₅₆

R का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों संख्याओं को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों से विभाजित करें। 14 से विभाजित करने पर ⁶⁵⁰⁄₁₀₄ प्राप्त होता है। पुनः 13 से विभाजित करने पर ⁵⁰⁄₈ प्राप्त होता है। R = ⁵⁰⁄₈ = 6.25%

व्याख्या

सभी पैंतालीस मैचों के औसत स्कोर की गणना भारित औसत सूत्र x = (n₁x₁ + n₂x₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ n मैचों की संख्या को दर्शाता है और x उन मैचों के औसत स्कोर को दर्शाता है।

पहले बीस मैचों में कुल स्कोर 20 × 15 = 300 है। अगले पच्चीस मैचों में कुल स्कोर 25 × 24 = 600 है। सभी पैंतालीस मैचों का कुल संयुक्त स्कोर 300 + 600 = 900 है।

कुल औसत की गणना संयुक्त कुल स्कोर को मैचों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है: कुल औसत = ⁹⁰⁰⁄₄₅ = 20.

वैकल्पिक रूप से, मैचों के अनुपात 20:25 = 4:5 का उपयोग करने पर, गणना सरल होकर (4 × 15 + 5 × 24)/(4 + 5) = (60 + 120)/(9) = ¹⁸⁰⁄₉ = 20 हो जाती है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी और चोर के बीच सापेक्ष चाल 1 किमी/घंटा (10 - 9) है। पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय प्रारंभिक दूरी को सापेक्ष चाल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 0.2 किमी / 1 किमी/घंटा = 0.2 घंटे है। इस समय के दौरान, चोर द्वारा तय की गई दूरी = 9 किमी/घंटा * 0.2 घंटे = 1.8 किमी है।

व्याख्या

संख्या D (756,148) एकमात्र ऐसी संख्या है जो 11 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसके विषम स्थानों पर अंकों के योग (7+6+4=17) और सम स्थानों पर अंकों के योग (5+1+8=14) के बीच का अंतर 3 है, जो 11 से विभाज्य नहीं है। दिए गए विकल्पों में, विकल्प B संख्या D के संगत है।

व्याख्या

माना पहली प्रतिशत वृद्धि x है और दूसरी 2x है। प्रश्न के अनुसार, 1000 * (1 + x/100) * (1 + 2x/100) = 2295, जो द्विघात समीकरण 2r² + 3r - 1.295 = 0 के रूप में सरल हो जाता है, जहाँ r = x/100 है। इसे हल करने पर r = 0.35 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि पहली वृद्धि (x) 35% है और दूसरी वृद्धि (2x) 70% है।

व्याख्या

सर्वांगसम त्रिभुजों ABC और FDE में, संगत भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है AB = FD और ∠ C = ∠ E। दिया गया है कि AB = 17 सेमी, तो DF = 17 सेमी; चूंकि ∠ A = 95° और ∠ B = 52° है, इसलिए ∠ C = 180 - (95 + 52) = 33°, जिससे ∠ E = 33° हो जाता है।

व्याख्या

एक पतंग ABCD में जहाँ BD लंबा विकर्ण है, BD आकृति के लिए सममिति अक्ष के रूप में कार्य करता है। इस सममिति का अर्थ है कि पतंग दो सर्वांगसम त्रिभुजों, △ ABD और △ CBD से बनी है, जो विकर्ण BD के अनुदिश जुड़े हुए हैं। परिणामस्वरूप, संगत कोण ∠ DAB और ∠ DCB बराबर हैं।

∠ DAB का माप ज्ञात करने के लिए, हम △ ABD के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हैं। किसी भी त्रिभुज में अंतःकोणों का योग 180° होता है। दिया गया है, ∠ ABD = 54° और ∠ ADB = 50°: ∠ DAB = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) ∠ DAB = 180° - (54° + 50°) ∠ DAB = 180° - 104° = 76°

चूंकि पतंग के गुणों के अनुसार △ ABD ≅ △ CBD है, इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं। इसलिए, ∠ DCB = ∠ DAB = 76°।

व्याख्या

माना Y द्वारा प्राप्त मतों की संख्या V_y है। प्रश्न के अनुसार, X को Y से 30% अधिक मत मिले, इसलिए X के मत Vₓ = 1.30V_y हैं। Z को Y से 25% अधिक मत मिले, इसलिए Z के मत V_z = 1.25V_y हैं।

X और Z के मतों के बीच का अंतर 5000 दिया गया है। V_y के संदर्भ में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: Vₓ - V_z = 1.30V_y - 1.25V_y = 0.05V_y 0.05V_y = 5000 ⟹ V_y = (5000)/(0.05) = 1,00,000

डाले गए कुल मतों की संख्या तीनों उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त मतों का योग है: डाले गए कुल मत = Vₓ + V_y + V_z = 1.30V_y + V_y + 1.25V_y = 3.55V_y डाले गए कुल मत = 3.55 × 1,00,000 = 3,55,000

यह बताया गया है कि सूची में शामिल 71% मतदाताओं ने अपने मत डाले। माना मतदाता सूची में मतदाताओं की कुल संख्या T है। 0.71 × T = 3,55,000 T = (3,55,000)/(0.71) = 355 × 10³ / (71 × 10⁻²) = 5 × 10⁵ = 5,00,000

व्याख्या

पद C, D, E और F के लिए उम्मीदवारों की औसत संख्या की गणना इन विशिष्ट पदों के लिए उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों का योग करके और उसे उस समूह में पदों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

C, D, E और F के लिए कुल उम्मीदवार = 8600 + 9900 + 5300 + 5100 = 28900

पदों की संख्या = 4

औसत = (कुल उम्मीदवार)/(पदों की संख्या) = ²⁸⁹⁰⁰⁄₄ = 7225

व्याख्या

प्रश्न में विमाओं का योग a + b = 9 और क्षेत्रफल ab = 18 दिया गया है। ज्ञात किया जाने वाला मान a² - ab + b² है। इस व्यंजक को मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² = (a + b)² - 2ab का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।

इसे आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: a² - ab + b² = (a² + b²) - ab a² - ab + b² = (a + b)² - 2ab - ab a² - ab + b² = (a + b)² - 3ab

अब, समीकरण में ज्ञात मानों a + b = 9 और ab = 18 को प्रतिस्थापित करें: a² - ab + b² = 9² - 3(18) a² - ab + b² = 81 - 54 a² - ab + b² = 27

वैकल्पिक रूप से, ऐसी दो संख्याओं की पहचान करने पर जिनका योग 9 है और गुणनफल 18 है, हमें a=6 और b=3 प्राप्त होता है। इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 6² - (6 × 3) + 3² = 36 - 18 + 9 = 27

व्याख्या

8 की विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों। इसके अतिरिक्त, चूंकि 8 एक सम संख्या है, इसलिए 8 से विभाज्य कोई भी पूर्णांक भी सम होना चाहिए। संख्या 7497 एक विषम संख्या है क्योंकि इसका अंतिम अंक 7 है। एक विषम संख्या कभी भी किसी सम संख्या से पूर्णतः विभाज्य नहीं हो सकती है। इसके अलावा, अंतिम तीन अंकों 497 की जांच करने पर, हम पाते हैं कि 497 = (8 × 62) + 1 है। चूंकि अंतिम तीन अंकों को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 1 बचता है, इसलिए पूरी संख्या 7497, 8 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

किसी कंपनी की आय की गणना दिए गए सूत्र आय = व्यय + व्यय × (लाभ%)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जिसे आय = व्यय × (1 + (लाभ%)/(100)) के रूप में सरल किया जा सकता है। वर्ष 2003 में कंपनी C के लिए तालिका के अनुसार, व्यय 50 करोड़ ₹ है और लाभ प्रतिशत 55% है।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: आय = 50 + (50 × ⁵⁵⁄₁₀₀) आय = 50 + 27.5 आय = 77.5

वर्ष 2003 में कंपनी C की आय 77.5 करोड़ ₹ है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल A की गणना सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r त्रिज्या है। दिए गए मानों A = 462 सेमी² और θ = 120° को समीकरण में रखने पर:

462 = ¹²⁰⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × r²

भिन्न ¹²⁰⁄₃₆₀ को सरल करने पर ⅓ प्राप्त होता है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

462 = ⅓ × ²²⁄₇ × r² 462 = ²²⁄₂₁ × r²

r² का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

r² = (462 × 21)/(22)

चूंकि 462 को 22 से विभाजित करने पर 21 प्राप्त होता है, इसलिए गणना सरल होकर निम्न रूप में आ जाती है:

r² = 21 × 21 r² = 441 r = √(441) = 21 सेमी

व्याख्या

व्यंजक का मान BODMAS नियम का पालन करके निर्धारित किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में स्थापित करता है।

सबसे पहले, 'का' (of) संक्रिया को हल करें: 8 का 2 = 16

इसके बाद, व्यंजक के आरंभ में भाग की संक्रिया करें: 15 ÷ 3 = 5

फिर, गुणा करें: 5 × 7 = 35

अंत में, जोड़ और घटाव की गणना करें। बाएं से दाएं के क्रम का पालन करते हुए: 35 - 16 + 6 = 19 + 6 = 25

व्याख्या

माना टंकी की कुल क्षमता 20 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। पाइप P1 की कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप P2 की कार्यक्षमता 60 / 30 = 2 इकाई प्रति घंटा है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 2 = 5 इकाई प्रति घंटा है।

कुल समय ज्ञात करने के लिए, उस स्थिति पर विचार करें जहाँ P1 को पहले बंद नहीं किया जाता है। यदि P1 अंतिम 5 घंटों के लिए खुला रहता, तो वह अतिरिक्त 3 × 5 = 15 इकाई पानी भरता। इस काल्पनिक कार्य को कुल क्षमता में जोड़कर, हम यह मान सकते हैं कि दोनों पाइपों ने पूरी अवधि के लिए एक साथ काम किया।

समायोजित कुल कार्य 60 + 15 = 75 इकाई है। कुल समय T, समायोजित क्षमता को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: T = 75 / 5 = 15 घंटे।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² और मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

अंश में, गुणनफल (1 + cos θ)(1 - cos θ) का परिणाम 1 - cos² θ होता है, जो sin² θ के बराबर है। हर में, गुणनफल (1 + sin θ)(1 - sin θ) का परिणाम 1 - sin² θ होता है, जो cos² θ के बराबर है।

इन सर्वसमिकाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (sin² θ)/(cos² θ) = tan² θ

दिया गया है कि tan θ = 5 / 8, हम इसका वर्ग करके मान ज्ञात करते हैं: tan² θ = (⅝)² = ²⁵⁄₆₄

व्याख्या

प्रश्न में कहा गया है कि लाभ, विक्रय मूल्य (SP) का ⅙ है। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य के बीच संबंध निर्धारित करते हैं। माना विक्रय मूल्य 6 इकाई है। दी गई शर्त के अनुसार, लाभ 1 इकाई है।

मूल सूत्र CP = SP - लाभ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है: CP = 6 - 1 = 5 इकाई।

लाभ प्रतिशत की गणना हमेशा क्रय मूल्य पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ( (लाभ)/(CP) ) × 100

इकाई मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = ( ⅕ ) × 100 = 20%

यद्यपि वास्तविक विक्रय मूल्य ₹ 23358 दिया गया है, लेकिन गणना के लिए इसकी आवश्यकता नहीं है क्योंकि लाभ को मूल्य के एक निश्चित भिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, जिससे प्रतिशत लाभ विशिष्ट संख्यात्मक मान से स्वतंत्र हो जाता है।

व्याख्या

समान समयावधि में दो वस्तुओं द्वारा तय की गई दूरी उनकी चाल के सीधे आनुपातिक होती है। चूंकि पुलिसकर्मी और चोर एक ही समय पर भागना शुरू करते हैं और पीछा तब समाप्त होता है जब पुलिसकर्मी चोर को पकड़ लेता है, इसलिए दोनों के लिए यात्रा का समय समान है।

मान लीजिए Sₚ और Sₜ क्रमशः पुलिसकर्मी और चोर की चाल हैं, तथा Dₚ और Dₜ क्रमशः उनके द्वारा तय की गई दूरियां हैं। उनकी दूरियों का अनुपात उनकी चाल के अनुपात के बराबर है:

(Dₚ)/(Dₜ) = (Sₚ)/(Sₜ) = ²⁷⁄₂₂

पुलिसकर्मी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अंतर 195 मीटर के प्रारंभिक अंतर के बराबर होना चाहिए। अनुपात के संदर्भ में, अंतर 27 - 22 = 5 इकाई है। हम इस सापेक्ष अंतर की तुलना वास्तविक दूरी से करते हैं:

5 इकाई = 195 मीटर 1 इकाई = ¹⁹⁵⁄₅ = 39 मीटर

चोर द्वारा तय की गई दूरी अनुपात में 22 इकाइयों के संगत है। इसलिए, पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई कुल दूरी है:

Dₜ = 22 × 39 = 858 मीटर