एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप उसकी चाप की लंबाई और उसे घेरने वाली दोनों त्रिज्याओं का योग होता है। चाप की लंबाई l का सूत्र l = (θ)/(360) × 2π r द्वारा दिया जाता है, जहाँ θ केंद्र पर अंतरित कोण है और r त्रिज्या है।

दिए गए मानों r = 24 सेमी, θ = 60°, और π = 3.14 को प्रतिस्थापित करने पर: l = ⁶⁰⁄₃₆₀ × 2 × 3.14 × 24 l = ⅙ × 48 × 3.14 l = 8 × 3.14 = 25.12 सेमी

कुल परिमाप P की गणना इस प्रकार की जाती है: P = l + 2r P = 25.12 + 2(24) P = 25.12 + 48 = 73.12 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3 sin A + 4 cos A = 5 में, हम देखते हैं कि गुणांक 3, 4, और 5 एक पाइथागोरास त्रिक (Pythagorean triplet) बनाते हैं क्योंकि 3² + 4² = 5² है। a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) के रूप के किसी भी समीकरण के लिए, हम समीकरण को अचर पद (constant term) से विभाजित करके इसकी तुलना मूलभूत सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 से कर सकते हैं।

दिए गए समीकरण को 5 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: ⅗ sin A + ⅘ cos A = 1

इसकी तुलना sin A · sin A + cos A · cos A = 1 से करने पर, हमें प्राप्त होता है कि sin A = ⅗ और cos A = ⅘। tan A का मान साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: tan A = (sin A)/(cos A) = (3/5)/(4/5) = ¾

व्याख्या

मान लीजिए धारा के प्रतिकूल गति U है और धारा के अनुकूल गति D है। संबंध समय = दूरी / गति के आधार पर, हम दी गई शर्तों से दो रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

24/U + 40/D = 17 ... (i) 12/U + 32/D = 10 ... (ii)

1/D का मान ज्ञात करने के लिए, 1/U के गुणांकों को बराबर करने हेतु समीकरण (ii) को 2 से गुणा करें: 24/U + 64/D = 20 ... (iii)

समीकरण (iii) में से समीकरण (i) को घटाने पर U पद विलोपित हो जाता है: (24/U + 64/D) - (24/U + 40/D) = 20 - 17 24/D = 3 D = 8 किमी/घंटा

D = 8 का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: 12/U + 32/8 = 10 12/U + 4 = 10 12/U = 6 U = 2 किमी/घंटा

धारा की गति की गणना धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल गतियों के अंतर के आधे के रूप में की जाती है: धारा की गति = (D - U) / 2 = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3 किमी/घंटा

व्याख्या

चूंकि △ ABC ≅ △ QPR है, इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होने चाहिए। इसका अर्थ है कि शीर्ष दिए गए क्रम में एक-दूसरे के संगत हैं: A ↔ Q, B ↔ P, और C ↔ R। परिणामस्वरूप, भुजाओं की लंबाइयाँ इस प्रकार संगत होंगी: AB = QP, BC = PR, और AC = QR, जबकि कोण इस प्रकार संगत होंगे: ∠ A = ∠ Q, ∠ B = ∠ P, और ∠ C = ∠ R।

दिया गया है कि AB = 7 cm, इसलिए हमें प्राप्त होता है कि PQ = AB = 7 cm। इसी प्रकार, दिया गया है कि ∠ C = 75°, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ R = ∠ C = 75°। इसलिए, सर्वांगसमता संबंध के आधार पर PQ = 7 cm और ∠ R = 75° दोनों सत्य हैं।

व्याख्या

विपरीत दिशाओं में दौड़ते समय एक वृत्ताकार ट्रैक पर A और B के पहली बार मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ से गुणा करें।

A की गति = 36 × ⁵⁄₁₈ = 10 मीटर/सेकंड। B की गति = 54 × ⁵⁄₁₈ = 15 मीटर/सेकंड।

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। सापेक्ष गति = 10 + 15 = 25 मीटर/सेकंड।

ट्रैक पर कहीं भी पहली बार मिलने में उनके द्वारा लिया गया समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति)

कुल ट्रैक की लंबाई और सापेक्ष गति का मान रखने पर: समय = ⁴⁸⁰⁰⁄₂₅ = 192 सेकंड।

व्याख्या

नए छात्र के वजन की गणना मानक प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके की जाती है: नए व्यक्ति का वजन = प्रतिस्थापित व्यक्ति का वजन + (कुल वस्तुओं की संख्या × औसत में परिवर्तन)। चूंकि 10 छात्रों का औसत वजन 0.5 किलोग्राम बढ़ जाता है, इसलिए समूह का कुल वजन 10 × 0.5 = 5 किलोग्राम बढ़ जाता है। यह वृद्धि इसलिए होती है क्योंकि नए छात्र का वजन, प्रतिस्थापित छात्र के वजन से ठीक इतनी ही मात्रा में अधिक है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, नए छात्र का वजन 51 + 5 = 56 किलोग्राम है।

व्याख्या

मान लीजिए कि टैंक की कुल क्षमता 24 इकाई (units) है, जो अलग-अलग भरने के समय 6 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। इसके आधार पर, पाइप A के भरने की दर 24 / 6 = 4 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप B के भरने की दर 24 / 8 = 3 इकाई प्रति घंटा है।

जब दोनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो उनके भरने की संयुक्त दर 4 + 3 = 7 इकाई प्रति घंटा होती है। पहले 3 घंटों में, दोनों पाइपों द्वारा भरे गए टैंक का भाग 7 × 3 = 21 इकाई है।

टैंक की शेष क्षमता 24 - 21 = 3 इकाई है। चूंकि 3 घंटे के बाद पाइप A को बंद कर दिया जाता है, इसलिए पाइप B को अकेले शेष 3 इकाइयों को भरना होगा। पाइप B द्वारा इस शेष भाग को भरने में लिया गया समय 3 / 3 = 1 घंटा है। परिणामस्वरूप, प्रारंभ से लेकर टैंक के पूरी तरह भरने तक बीता कुल समय 3 घंटे (दोनों पाइपों के साथ) और 1 घंटा (केवल पाइप B के साथ) है, जिसके परिणामस्वरूप कुल 4 घंटे का समय लगता है।

व्याख्या

लाभ, विक्रय मूल्य (SP) का ⅕ दिया गया है। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले संबंध CP = SP - लाभ (Gain) का उपयोग करके क्रय मूल्य (CP) निर्धारित करते हैं।

दिए गए लाभ के मान को प्रतिस्थापित करने पर: CP = SP - ⅕ SP = ⅘ SP

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य के आधार पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(CP) × 100

SP के संदर्भ में लाभ और क्रय मूल्य के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = [(1/5) SP] / [(4/5) SP] × 100 लाभ % = ¼ × 100 = 25%

यद्यपि विक्रय मूल्य ₹71,785 दिया गया है, लेकिन गणना के लिए इसकी आवश्यकता नहीं है क्योंकि प्रतिशत लाभ और क्रय मूल्य के बीच के स्थिर अनुपात से प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, tan(90° - θ) = cot θ होता है। दिए गए व्यंजक (tan 55°)/(cot 35°) में, हम देखते हैं कि कोणों का योग 55° + 35° = 90° है, जिसका अर्थ है कि वे पूरक कोण हैं। इस संबंध का उपयोग करके अंश को पुनः लिखने पर, हमें tan 55° = tan(90° - 35°) = cot 35° प्राप्त होता है। इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर (cot 35°)/(cot 35°) प्राप्त होता है, जिसका मान सरल करने पर 1 आता है।

व्याख्या

दो संख्याओं p और q का मध्यानुपाती सूत्र √(p × q) द्वारा दिया जाता है। इस प्रश्न में, दो संख्याएँ 4a² और x हैं, और उनका मध्यानुपाती ¹⁄₅ₐ है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

¹⁄₅ₐ = √(4a² · x)

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

(¹⁄₅ₐ)² = (√(4a² · x))²

(1)/(25a²) = 4a² · x

दोनों पक्षों को 4a² से विभाजित करने पर:

x = (1)/(25a² · 4a²)

x = (1)/(100a⁴)

व्याख्या

अंकित मूल्य MP पर दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के बाद अंतिम विक्रय मूल्य SP, संबंध SP = MP × (1 - d₁{100}) × (1 - d₂{100}) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

दिया गया है MP = 150, SP = 105, और d₁ = 12.5%, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं। चूंकि 12.5% भिन्न ⅛ के बराबर है, इसलिए पहली छूट के बाद शेष मूल्य 150 × (1 - ⅛) = 150 × ⅞ = 131.25 है।

अब, हम मध्यवर्ती मूल्य का उपयोग करके दूसरी छूट d₂ की गणना करते हैं: 105 = 131.25 × (1 - d₂{100}) 1 - d₂{100} = (105)/(131.25) इस गणना को सरल बनाने के लिए, हम 131.25 को ⁵²⁵⁄₄ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: 1 - d₂{100} = 105 × ⁴⁄₅₂₅ 1 - d₂{100} = ⁴²⁰⁄₅₂₅ = ⅘ 1 - d₂{100} = 0.8 d₂{100} = 1 - 0.8 = 0.2 d₂ = 20%

व्याख्या

मान लीजिए A और B की वर्तमान आयु क्रमशः 3x और 4x वर्ष है। पांच वर्ष पहले, उनकी आयु क्रमशः 3x - 5 और 4x - 5 थी। दी गई शर्त के अनुसार, पांच वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात 2 : 3 था, जिसे समीकरण (3x - 5)/(4x - 5) = 2/3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें 3(3x - 5) = 2(4x - 5) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 9x - 15 = 8x - 10 हो जाता है। x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें 9x - 8x = 15 - 10 प्राप्त होता है, जिससे x = 5 मिलता है। A की वर्तमान आयु को 3x द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए A की वर्तमान आयु 3 × 5 = 15 वर्ष है।

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करने पर, A और B दोनों के लिए अनुपात के भागों के बीच का अंतर 3 - 2 = 1 इकाई और 4 - 3 = 1 इकाई है। यह 1 इकाई का अंतर 5 वर्ष के समयांतराल के संगत है। चूंकि 1 इकाई = 5 वर्ष है, इसलिए A की वर्तमान आयु 3 इकाई = 3 × 5 = 15 वर्ष होगी।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = √3{4} a² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई को दर्शाता है। दी गई भुजा की लंबाई a = 18 सेमी के लिए, गणना इस प्रकार की जाती है:

क्षेत्रफल = √3{4} × (18)²

भुजा की लंबाई का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

क्षेत्रफल = √3{4} × 324

324 को 4 से विभाजित करने पर 81 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम क्षेत्रफल 81√3 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

19²⁰⁰ को 20 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों का उपयोग करते हैं। हम देखते हैं कि 20 के सापेक्ष मॉड्यूलो लेने पर 19, -1 के समतुल्य है, क्योंकि 19 = 20 - 1। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

19 ≡ -1 20

सर्वांगसमता (congruence) के घात नियम के अनुसार, यदि किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए a ≡ b n है, तो aᵏ ≡ bᵏ n होगा। k = 200 के साथ इस गुण को हमारे व्यंजक पर लागू करने पर:

19²⁰⁰ ≡ (-1)²⁰⁰ 20

चूंकि 200 एक सम पूर्णांक है, इसलिए इस घात पर उठाई गई कोई भी ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक मान देती है। विशेष रूप से, (-1)²⁰⁰ = 1। इसलिए:

19²⁰⁰ ≡ 1 20

वैकल्पिक रूप से, इसे (20 - 1)²⁰⁰ के द्विपद प्रसार (binomial expansion) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। प्रसार के प्रत्येक पद में 20 का एक गुणनखंड (factor) होता है, सिवाय अंतिम पद के, जो कि 200{200} (-1)²⁰⁰ है। चूंकि अन्य सभी पद 20 से विभाज्य हैं, इसलिए शेषफल पूरी तरह से इस अंतिम पद द्वारा निर्धारित होता है:

1 × (-1)²⁰⁰ = 1

व्याख्या

व्यक्तिगत साधारण ब्याज दरों और समग्र प्रभावी दर के आधार पर दोनों निवेशों का अनुपात निर्धारित करने के लिए मिश्रण (alligation) के नियम का उपयोग करने पर:

पहले भाग की दर (R₁) = 4% दूसरे भाग की दर (R₂) = 6% औसत प्रभावी दर (Rₘ) = 4.7%

4% पर निवेश किए गए मूलधन (P₁) और 6% पर निवेश किए गए मूलधन (P₂) का अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है: (P₁)/(P₂) = (R₂ - Rₘ)/(Rₘ - R₁) = (6 - 4.7)/(4.7 - 4) = (1.3)/(0.7) = ¹³⁄₇

₹2,00,000 के कुल मूलधन को इस अनुपात के अनुसार विभाजित किया जाता है। कुल भागों की संख्या 13 + 7 = 20 है। एक भाग का मान = (2,00,000)/(20) = 10,000

पहले बैंक में निवेश (4% पर) = 13 × 10,000 = 1,30,000 दूसरे बैंक में निवेश (6% पर) = 7 × 10,000 = 70,000

अतः, निवेश की गई राशियाँ क्रमशः ₹1,30,000 और ₹70,000 हैं।

व्याख्या

सर्वप्रथम सर्वसमिका cot A = (cos A)/(sin A) को प्रतिस्थापित करके व्यंजक को सरल किया जाता है, जिससे प्राप्त होता है: (sin A)/(1 + cos A) + (cos A)/(sin A) उभयनिष्ठ हर sin A(1 + cos A) का उपयोग करके इन भिन्नों को संयोजित करने पर प्राप्त होता है: (sin² A + cos A(1 + cos A))/(sin A(1 + cos A)) अंश में पदों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है: (sin² A + cos A + cos² A)/(sin A(1 + cos A)) पाइथागोरस सर्वसमिका के अनुसार, sin² A + cos² A = 1 होता है। इसे अंश में प्रतिस्थापित करने पर व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (1 + cos A)/(sin A(1 + cos A)) अंश और हर में से उभयनिष्ठ पद (1 + cos A) को निरस्त करने पर (1)/(sin A) बचता है। त्रिकोणमितीय परिभाषा के अनुसार, साइन (sine) फलन का व्युत्क्रम कोसीकेंट (cosecant) फलन या csc A (cosecA) होता है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) की गणना सूत्र CSA = π r l का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या को दर्शाता है और l शंकु की तिर्यक ऊंचाई को दर्शाता है।

दी गई त्रिज्या r = 9 सेमी और तिर्यक ऊंचाई l = 49 सेमी है, हम π ≈ ²²⁄₇ का उपयोग करके इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

CSA = ²²⁄₇ × 9 × 49

व्यंजक को सरल करने पर, हर (denominator) में मौजूद 7 से 49 को विभाजित करने पर 7 प्राप्त होता है:

CSA = 22 × 9 × 7

CSA = 22 × 63

CSA = 1386 सेमी²

व्याख्या

एक वृत्त में, यदि दो चाप सर्वांगसम हैं, तो वे वृत्त के केंद्र पर समान कोण अंतरित करते हैं। वृत्त के गुणधर्म के अनुसार, एक वृत्त के समान चाप समान जीवाएँ अंतरित करते हैं। माना वृत्त का केंद्र O और त्रिज्या r है। यदि चाप PAQ, चाप RBS के सर्वांगसम है, तो केंद्रीय कोण ∠ POQ और ∠ ROS बराबर होंगे। कोज्या नियम (law of cosines) या त्रिज्याओं द्वारा निर्मित समद्विबाहु त्रिभुजों के गुणधर्म का उपयोग करने पर, जीवा PQ की लंबाई 2r sin(∠ POQ / 2) द्वारा दी जाती है और जीवा RS की लंबाई 2r sin(∠ ROS / 2) द्वारा दी जाती है। चूंकि केंद्रीय कोण बराबर हैं, इसलिए PQ = RS प्राप्त होता है। अतः, जीवाओं PQ और RS की लंबाइयों का अनुपात 1 : 1 है।

व्याख्या

दो उम्मीदवारों वाले एक चुनाव में जहाँ सभी मत वैध हैं, दोनों उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त मतों के प्रतिशत का योग 100% होता है। यदि जीतने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 88% प्राप्त हुआ, तो हारने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 100% - 88% = 12% प्राप्त हुआ।

वह बहुमत जिससे एक उम्मीदवार निर्वाचित होता है, उसे विजेता और हारने वाले के मतों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रतिशत के संदर्भ में, बहुमत है:

बहुमत प्रतिशत = 88% - 12% = 76%

यह देखते हुए कि बहुमत 684 मत है, हम एक संबंध स्थापित कर सकते हैं जहाँ कुल मतों x का 76%, 684 के बराबर है:

⁷⁶⁄₁₀₀ × x = 684

कुल मतों की संख्या x ज्ञात करने के लिए, सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें:

x = (684 × 100)/(76)

684 को 76 से विभाजित करने पर 9 प्राप्त होता है। इसलिए:

x = 9 × 100 = 900

व्याख्या

सबसे बड़ी भिन्न की पहचान करने के लिए, हम प्रत्येक पद के संख्यात्मक मान का मूल्यांकन करते हैं। 79/90 को दशमलव रूप में बदलने पर लगभग 0.878 प्राप्त होता है, जो दिए गए समूह में सबसे अधिक मान है। इसकी पुष्टि प्रत्येक भिन्न की 1 से निकटता की तुलना करके की जा सकती है। पूर्ण (1) से 79/90 की दूरी 1 - 79/90 = 11/90 है, जो लगभग 0.122 है। यह अंतर अन्य भिन्नों के अंतर की तुलना में काफी छोटा है, जो कम से कम 0.25 या उससे अधिक हैं। चूंकि 79/90 में 1 से सबसे कम कमी है, इसलिए यह दिया गया सबसे बड़ा मान है। अंशों की हरों से तुलना करने पर यह भी पता चलता है कि 79/90 एक पूर्ण संख्या के लगभग 88 प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करता है, जो अन्य अनुपातों के अनुपात से अधिक है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में जहाँ PQ = PR है, शीर्ष P से आधार QR पर खींचा गया शीर्षलंब PT, आधार को समद्विभाजित करता है। इसका तात्पर्य है कि QT = TR और यह एक समकोण त्रिभुज △ PTQ बनाता है। △ PTQ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

PQ² = PT² + QT² 17² = 15² + QT² 289 = 225 + QT² QT² = 64 QT = 8 सेमी

यह गणना मानक पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) के अनुरूप है। चूँकि PT, QR को समद्विभाजित करता है, इसलिए आधार की कुल लंबाई QR = 2 × QT = 2 × 8 = 16 सेमी है।

व्याख्या

समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 के दोनों पक्षों को x से गुणा करके इसे पुनः व्यवस्थित करने पर x² + 1 = 2x प्राप्त होता है, जो कि x² - 2x + 1 = 0 है। यह पूर्ण वर्ग (x - 1)² = 0 का विस्तार है, जिससे अद्वितीय हल x = 1 प्राप्त होता है। व्यंजक (x²⁷²³ + (1)/(x²³⁵⁶⁾) में x = 1 रखने पर, हमें 1²⁷²³ + (1)/(1²³⁵⁶⁾ प्राप्त होता है। चूंकि 1 की किसी भी परिमित घात का मान 1 होता है, इसलिए यह मान 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2 हो जाता है।

व्याख्या

यह व्यंजक दो घनों के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का अनुसरण करता है: (a³ - b³)/(a² + ab + b²) = a - b

दिए गए व्यंजक में, यद्यपि अंश को वर्गों के साथ लिखा गया है, लेकिन हर की संरचना, 7.3² + 7.3 × 4.7 + 4.7², घनीय सर्वसमिका का विशिष्ट द्विघात गुणनखंड (a² + ab + b²) है। यह दर्शाता है कि सरल किया जाने वाला अभीष्ट व्यंजक a = 7.3 और b = 4.7 पर आधारित है।

सर्वसमिका के परिणाम को लागू करने पर: a - b = 7.3 - 4.7 7.3 - 4.7 = 2.6

व्याख्या

जब समान त्रिज्या r वाले दो वृत्त एक-दूसरे के केंद्रों से होकर गुजरते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी भी r होती है। मान लीजिए कि केंद्र C₁ और C₂ हैं, तथा प्रतिच्छेदन बिंदु A और B हैं। रेखाखंड C₁C₂ की लंबाई r है। दूरियाँ AC₁ और AC₂ दोनों त्रिज्याएँ हैं, इसलिए AC₁ = AC₂ = r है। इससे त्रिभुज AC₁C₂ भुजा की लंबाई r वाला एक समबाहु त्रिभुज बन जाता है। उभयनिष्ठ जीवा AB केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंबवत होती है और इसके द्वारा समद्विभाजित होती है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई समबाहु त्रिभुज AC₁C₂ की ऊंचाई की दोगुनी होती है। भुजा r वाले समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई h सूत्र h = (√3/2)r द्वारा दी जाती है। इसलिए, उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई AB = 2h = 2 × (√3/2)r = √3r है। दी गई त्रिज्या r = 13 सेमी प्रतिस्थापित करने पर, उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 13√3 सेमी है।

व्याख्या

किसी संख्या के 36 से विभाज्य होने के लिए, उसे 4 और 9 दोनों से एक साथ विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 36 = 4 × 9 है और ये गुणनखंड सह-अभाज्य (coprime) हैं।

4 की विभाज्यता का नियम कहता है कि संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए। यहाँ, अंतिम दो अंक y6 हैं। अंक y के संभावित मान जो y6 को 4 से विभाज्य बनाते हैं, वे 1, 3, 5, 7 और 9 (16, 36, 56, 76, 96) हैं। प्रश्न में y के अधिकतम संभव मान की आवश्यकता है, जो कि y = 9 है।

9 की विभाज्यता का नियम कहता है कि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। 5x79856y6 के अंकों का योग 5 + x + 7 + 9 + 8 + 5 + 6 + y + 6 = 46 + x + y है। y = 9 रखने पर, योग 46 + x + 9 = 55 + x हो जाता है। 55 + x को 9 से विभाज्य होने के लिए, 55 से बड़ा 9 का निकटतम गुणज 63 है। इस प्रकार, 55 + x = 63, जिससे x = 8 प्राप्त होता है।

हमें √(2x + y) के ऋणात्मक मान की गणना करने की आवश्यकता है। व्यंजक में x = 8 और y = 9 रखने पर: √(2(8) + 9) = √(16 + 9) = √(25) = 5

इस परिणाम का ऋणात्मक मान -5 है।

व्याख्या

माना A और B क्रमशः अन्ना और बेन के पास मौजूद कंचों की संख्या को दर्शाते हैं। पहली शर्त के अनुसार, यदि अन्ना, बेन को एक कंचा देती है, तो दोनों के पास बराबर मात्रा होगी: A - 1 = B + 1। यह समीकरण सरल होकर A = B + 2 हो जाता है।

दूसरी शर्त के अनुसार, यदि बेन, अन्ना को एक कंचा देता है, तो अन्ना के पास बेन से तीन गुना कंचे हो जाते हैं: A + 1 = 3(B - 1)। पहले संबंध को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (B + 2) + 1 = 3B - 3 B + 3 = 3B - 3 2B = 6 B = 3

A = B + 2 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है कि A = 3 + 2 = 5। इसलिए, उन दोनों के पास कंचों की कुल संख्या A + B = 5 + 3 = 8 है।

व्याख्या

दिए गए अनुपातों A:B = 6:8 और B:C = 7:12 से संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, हम दोनों व्यंजकों में उभयनिष्ठ पद B को समान करते हैं। अनुपात A:B को सरल करके 3:4 किया जा सकता है। दोनों अनुपातों में B के मान को समान करने के लिए, हम 4 (A:B से) और 7 (B:C से) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो कि 28 है। A:B के पदों को 7 से गुणा करने पर 21:28 प्राप्त होता है, और B:C के पदों को 4 से गुणा करने पर 28:48 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, मानक संयोजन विधि (compounding method) का उपयोग करके: A = 6 × 7 = 42 B = 8 × 7 = 56 C = 8 × 12 = 96

परिणामी अनुपात 42:56:96 है। प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 से विभाजित करने पर सरल अनुपात 21:28:48 प्राप्त होता है।

व्याख्या

शांत जल में व्यक्ति की गति u = 6 किमी/घंटा है। व्यक्ति धारा के अनुकूल 45 मिनट में 6 किमी की दूरी तय करता है, जो उसकी धारा के अनुकूल गति (downstream speed) v_d है। समय को घंटों में बदलने पर, 45 मिनट = 0.75 घंटे होते हैं, इसलिए v_d = 6 / 0.75 = 8 किमी/घंटा।

धारा की गति v को संबंध v_d = u + v का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 8 = 6 + v, जिससे v = 2 किमी/घंटा प्राप्त होता है। धारा के प्रतिकूल व्यक्ति की गति, या प्रतिकूल गति (upstream speed) vᵤ, vᵤ = u - v = 6 - 2 = 4 किमी/घंटा द्वारा दी गई है।

16 किमी की आने-जाने की यात्रा के लिए लिया गया कुल समय ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक यात्रा में लगने वाले समय की गणना करते हैं। धारा के अनुकूल यात्रा करने में लिया गया समय t_d = 16 / v_d = 16 / 8 = 2 घंटे है। धारा के प्रतिकूल वापस लौटने में लिया गया समय tᵤ = 16 / vᵤ = 16 / 4 = 4 घंटे है। लिया गया कुल समय t_d + tᵤ = 2 + 4 = 6 घंटे है।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमारे पास (3a + 2b)³ = (3a)³ + (2b)³ + 3(3a)(2b)(3a + 2b) है। इस सूत्र में दिए गए मानों 3a + 2b = 27 और 27a³ + 8b³ = 1458 को प्रतिस्थापित करने पर:

27³ = 1458 + 3(6ab)(27)

27 का घन ज्ञात करने पर, हमें 27³ = 19683 प्राप्त होता है। इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

19683 = 1458 + 18ab(27)

दोनों पक्षों से 1458 घटाने पर:

19683 - 1458 = 18ab(27) 18225 = 486ab

2ab का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2ab = (18225 × 2)/(486) 2ab = ¹⁸²²⁵⁄₂₄₃

18225 को 243 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2ab = 75

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज MNOP में, सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं, इसलिए MN = OP और MN ∥ OP है। प्रश्न के अनुसार, MN को Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि MN = NQ हो। इसलिए, NQ = OP और NQ ∥ OP है। त्रिभुजों △ RNQ और △ ROP पर विचार करें। चूंकि NQ ∥ OP है, इसलिए एकांतर अंतः कोण ∠ RNQ = ∠ ROP और ∠ RQN = ∠ RPO बराबर हैं। चूंकि हमारे पास NQ = OP भी है, इसलिए कोण-भुजा-कोण (ASA) कसौटी के अनुसार त्रिभुज △ RNQ और △ ROP सर्वांगसम हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों में, संगत भाग बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है RN = RO। चूंकि RN और RO रेखा ON के बराबर खंड हैं, इसलिए बिंदु R, ON का मध्य-बिंदु है, जो इसे 1 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

व्याख्या

अंश 4x² + 9y² - 12xy एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है जो बीजीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का अनुसरण करता है। पदों की पहचान करने पर, हम देखते हैं कि a² = 4x² (जिसका अर्थ है a = 2x) और b² = 9y² (जिसका अर्थ है b = 3y) है। मध्य पद 2ab = 2(2x)(3y) = 12xy दिए गए व्यंजक से मेल खाता है। इसलिए, अंश का गुणनखंड (2x - 3y)² के रूप में किया जा सकता है।

बीजगणित में, एक द्विपद का वर्ग (A - B)² और (B - A)² समान होते हैं क्योंकि (-(B - A))² = (B - A)² होता है। इससे अंश को (3y - 2x)² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे मूल भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(3y - 2x)² / (3y - 2x)

घातांक के नियम aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ को लागू करके, हम अंश की घात से हर की घात को घटाते हैं। यह व्यंजक को सरल करके (3y - 2x)²⁻¹ कर देता है, जो 3y - 2x के बराबर है।

व्याख्या

sin A sin B के लिए गुणनफल-से-योग त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को कोज्या (cosine) के संयुक्त कोण सूत्रों से प्राप्त किया जाता है। दो कोणों के अंतर और योग के कोज्या (cosine) का प्रसार इस प्रकार है: cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B cos(A - B) के व्यंजक में से cos(A + B) के व्यंजक को घटाने पर, cos A cos B वाले पद निरस्त हो जाते हैं: cos(A - B) - cos(A + B) = (cos A cos B + sin A sin B) - (cos A cos B - sin A sin B) cos(A - B) - cos(A + B) = 2 sin A sin B समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर ज्या (sine) फलनों का गुणनफल प्राप्त होता है: sin A sin B = ½ {cos(A - B) - cos(A + B)}

व्याख्या

क्रमिक वृद्धि या कमी के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है।

सबसे पहले, पहले दो दिनों के लिए शुद्ध परिवर्तन की गणना करें (18% वृद्धि और 15% कमी): शुद्ध₁_,₂ = 18 - 15 + (18 × (-15))/(100) = 3 - ²⁷⁰⁄₁₀₀ = 3 - 2.7 = 0.3% वृद्धि।

इसके बाद, इस परिणाम को तीसरे दिन के परिवर्तन (3% कमी) के साथ मिलाएँ: शुद्ध_कुल = 0.3 - 3 + (0.3 × (-3))/(100) = -2.7 - (0.9)/(100) = -2.7 - 0.009 = -2.709%.

ऋणात्मक परिणाम कमी को दर्शाता है। 2.709% को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 2.7% की कमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

एक जीवा को एक ऐसे रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके अंत्य बिंदु एक वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं। जब इस रेखाखंड को दोनों दिशाओं में अनंत रूप से बढ़ाया जाता है, तो यह एक सीधी रेखा बन जाती है जो वृत्त से दो अलग-अलग बिंदुओं पर होकर गुजरती है। ज्यामिति में, एक रेखा जो एक वृत्त को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, उसे छेदक रेखा कहा जाता है। इसलिए, एक जीवा का अनंत विस्तार एक छेदक रेखा में परिणत होता है।

व्याख्या

दूसरे वर्ष के अंत में अंतिम भुगतान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले पहले वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज और आंशिक पुनर्भुगतान के बाद शेष मूलधन की गणना करते हैं।

प्रारंभिक मूलधन P₁ = 192208। पहले वर्ष का ब्याज I₁ = P₁ × R × T = 192208 × 0.15 × 1 = 28831.2।

पहले वर्ष के अंत में, अमन मूलधन के रूप में 20196 का भुगतान करता है। दूसरे वर्ष के लिए शेष मूलधन P₂ = 192208 - 20196 = 172012।

दूसरे वर्ष के ब्याज की गणना शेष मूलधन P₂ पर की जाती है क्योंकि ऐसे पुनर्भुगतान परिदृश्यों में साधारण ब्याज की गणना आमतौर पर बकाया राशि पर की जाती है। दूसरे वर्ष का ब्याज I₂ = 172012 × 0.15 × 1 = 25801.8।

सभी बकाये को चुकाने के लिए दूसरे वर्ष के अंत में भुगतान की जाने वाली कुल राशि में शेष मूलधन P₂, पहले वर्ष का ब्याज I₁, और दूसरे वर्ष का ब्याज I₂ शामिल हैं।

कुल भुगतान = P₂ + I₁ + I₂ = 172012 + 28831.2 + 25801.8 = 172012 + 54633 = 226645।

व्याख्या

20 कुकीज़ (जो एक किलोग्राम को दर्शाती हैं) के एक मानक बैच के लिए विक्रेता का क्रय मूल्य ₹76 है। इससे, एक कुकी का क्रय मूल्य 76 / 20 = 3.8 के रूप में परिकलित किया जाता है। हालांकि ग्राहक एक किलोग्राम (20 कुकीज़) की उम्मीद करता है, लेकिन विक्रेता धोखा देता है और केवल 19 कुकीज़ ही देता है। वितरित की गई मात्रा के लिए विक्रेता द्वारा वहन की गई वास्तविक लागत 19 कुकीज़ की लागत है, जो कि 19 × 3.8 = 72.2 है। विक्रेता को इस लेनदेन के लिए ₹95 का विक्रय मूल्य प्राप्त होता है। लाभ, विक्रय मूल्य और वास्तव में दी गई कुकीज़ की लागत के बीच का अंतर है: लाभ = 95 - 72.2 = 22.8।

व्याख्या

किसी वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A, सूत्र A = ½ r l का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है। यह सूत्र त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और वृत्त के कुल क्षेत्रफल के अनुपात के, चाप की लंबाई और कुल परिधि के अनुपात के बराबर होने से प्राप्त होता है।

सूत्र में दी गई त्रिज्या r = 24 सेमी और चाप की लंबाई l = 7 सेमी रखने पर:

A = ½ × 24 × 7

A = 12 × 7 = 84

इस गणना के परिणामस्वरूप क्षेत्रफल 84 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

छूट के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) से सूत्र SP = MP × (1 - ᵈ⁄₁₀₀) द्वारा संबंधित होता है, जहाँ d छूट प्रतिशत है।

दिया गया है कि विक्रय मूल्य SP = 1792 और छूट d = 20% है, तो यह संबंध इस प्रकार है:

1792 = MP × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) 1792 = MP × 0.80

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, विक्रय मूल्य को शेष प्रतिशत से विभाजित करें:

MP = (1792)/(0.8) MP = ¹⁷⁹²⁰⁄₈ MP = 2240

वैकल्पिक रूप से, यदि कोई वस्तु 20% की छूट पर बेची जाती है, तो अंकित मूल्य का 80% विक्रय मूल्य के बराबर होता है। इसलिए, MP का 80% = 1792 है। 100% की गणना करने पर ¹⁷⁹²⁄₈₀ × 100 = 22.4 × 100 = 2240 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना टैंक की कुल क्षमता 60 और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 180 इकाई है। पाइप Q के भरने की दर 180 / 60 = 3 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप R के भरने की दर 180 / 45 = 4 इकाई प्रति घंटा है। पहले 6 घंटों में, पाइप Q और R मिलकर 6 × (3 + 4) = 42 इकाई भरते हैं।

6 घंटे के बाद, टैंक को खाली करने के लिए पाइप W को खोला जाता है। माना इसके खाली करने की दर w इकाई प्रति घंटा है। अगले 24 घंटों के लिए, तीनों पाइप सक्रिय रहते हैं, जिससे कुल 24 × (3 + 4 - w) = 24(7 - w) इकाई पानी जमा होता है। इन 24 घंटों के बाद टैंक में कुल मात्रा आधे स्तर तक पहुँच जाती है, जो कि 180 / 2 = 90 इकाई है।

कुल मात्रा को दर्शाने वाला समीकरण 42 + 24(7 - w) = 90 है। दोनों पक्षों से 42 घटाने पर 24(7 - w) = 48 प्राप्त होता है। 24 से भाग देने पर 7 - w = 2 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप w = 5 इकाई प्रति घंटा आता है। अकेले पाइप W द्वारा पूरे 180-इकाई वाले टैंक को खाली करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल क्षमता को इसकी खाली करने की दर से विभाजित करते हैं: 180 / 5 = 36 घंटे।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, हम दोनों वर्गमूल पदों को मिलाकर एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं:

(√(secθ + 1))² + (√(secθ - 1))²{√((secθ - 1)(secθ + 1))}

अंश में वर्गों का विस्तार करने और हर में बीजीय सर्वसमिका (a-b)(a+b) = a² - b² को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(secθ + 1 + secθ - 1)/(√(sec²θ - 1)) = (2secθ)/(√(sec²θ - 1))

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - 1 = tan²θ का उपयोग करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(2secθ)/(tanθ)

secθ = (1)/(cosθ) और tanθ = (sinθ)/(cosθ) प्रतिस्थापित करने पर, गणना निम्नानुसार आगे बढ़ती है:

(2)/(cosθ) · (cosθ)/(sinθ) = (2)/(sinθ) = 2cscθ

व्याख्या

यहाँ त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 और पूरक कोण संबंधों sin(90° - θ) = cos θ तथा cos(90° - θ) = sin θ का अनुप्रयोग किया गया है।

अंश में, चूँकि 26° + 64° = 90° है, इसलिए sin 64° = cos 26° होगा। इस प्रकार, sin² 64° = cos² 26°। इसे प्रतिस्थापित करने पर, अंश 9sin² 26° + 9cos² 26° + 36 = 9(sin² 26° + cos² 26°) + 36 = 9(1) + 36 = 45 हो जाता है।

हर में, चूँकि 32° + 58° = 90° है, इसलिए cos 58° = sin 32° होगा। इस प्रकार, cos² 58° = sin² 32°। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हर 32 - 7cos² 32° - 7sin² 32° = 32 - 7(cos² 32° + sin² 32°) = 32 - 7(1) = 25 हो जाता है।

संपूर्ण व्यंजक √(⁴⁵⁄₂₅) = √(⁹⁄₅) = (3)/(√(5)) है। परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को √5 से गुणा करने पर 3√5/5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के औसत की गणना सूत्र (n + 1)/(2) का उपयोग करके की जाती है। यह सूत्र प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग से प्राप्त होता है, जो कि (n(n + 1))/(2) है। औसत ज्ञात करने के लिए, योग को पदों की कुल संख्या n से विभाजित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप (n + 1)/(2) प्राप्त होता है।

इस प्रश्न में, n = 125 है। इस मान को सूत्र में रखने पर:

औसत = (125 + 1)/(2)

औसत = ¹²⁶⁄₂

औसत = 63

इसे एक समांतर श्रेणी के मध्य पद के रूप में भी समझा जा सकता है। क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के एक अनुक्रम के लिए, औसत केवल पहले पद (1) और अंतिम पद (125) का माध्य होता है, जिससे (1 + 125)/(2) = 63 प्राप्त होता है।

व्याख्या

शंकु के आयतन की गणना सूत्र V = ⅓π r²h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊर्ध्वाधर ऊंचाई है। ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिए गए तिर्यक ऊंचाई l, त्रिज्या r और ऊंचाई h के बीच के संबंध का उपयोग करते हैं: l² = r² + h²।

समीकरण में दिए गए मानों r = 3 और l = 3√2 को प्रतिस्थापित करने पर: (3√2)² = 3² + h² 18 = 9 + h² h² = 9 h = 3 इकाई।

अब, आयतन के सूत्र में r = 3 और h = 3 प्रतिस्थापित करने पर: V = ⅓ × π × 3² × 3 V = ⅓ × π × 9 × 3 V = 9π घन इकाई।

व्याख्या

चतुर्भुज WXYZ में, विकर्ण ZX और WY बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। ZX की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम त्रिभुजों △ XQO और △ ZPO पर विचार करते हैं। दिया गया है कि XQ ⊥ WY और ZP ⊥ WY, जिससे यह प्राप्त होता है कि ∠ XQO = ∠ ZPO = 90° है। इसके अतिरिक्त, ∠ XOQ और ∠ ZOP शीर्षाभिमुख कोण हैं, जो उन्हें बराबर बनाते हैं। प्रश्न में दिया गया है कि XQ = ZP है, जो कोण-कोण-भुजा (AAS) सर्वांगसमता नियम के लिए आवश्यक शर्तें प्रदान करता है। चूंकि △ XQO ≅ △ ZPO है, इसलिए उनके संगत भाग बराबर होने चाहिए, जिसका अर्थ है OX = OZ। दिया गया है कि OX = 12 सेमी है, इसलिए OZ की लंबाई भी 12 सेमी होगी। विकर्ण ZX, रेखाखंडों OX और OZ से मिलकर बना है, इसलिए इसकी कुल लंबाई ZX = OX + OZ = 12 + 12 = 24 सेमी है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां ऊंचाई आधार और उसकी विपरीत समांतर भुजा के बीच की लंबवत दूरी होती है। यह ज्यामितीय गुण इसलिए मौजूद है क्योंकि किसी भी समांतर चतुर्भुज के एक छोर से एक त्रिकोणीय भाग को दूसरे छोर पर स्थानांतरित करके उसे समान आधार और ऊंचाई वाले आयत में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जिससे समान पृष्ठीय क्षेत्रफल बना रहता है।

26 सेमी आधार और 18 सेमी ऊंचाई वाले समांतर चतुर्भुज के लिए, गणना इस प्रकार है: क्षेत्रफल = 26 सेमी × 18 सेमी

मानसिक गणना का उपयोग करके इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, गणना को निम्नानुसार विभाजित किया जा सकता है: 26 × 18 = 26 × (20 - 2) 26 × 20 = 520 26 × 2 = 52 520 - 52 = 468

परिणामी गुणनफल से कुल 468 सेमी² का क्षेत्रफल प्राप्त होता है, जो आकृति की चारों भुजाओं से घिरे द्वि-आयामी स्थान को दर्शाता है।

व्याख्या

बिंदु की घात प्रमेय (Power of a Point theorem) के अनुसार, केंद्र O और त्रिज्या r वाले एक वृत्त के बाहर स्थित बिंदु R के लिए, बिंदु की घात d² - r² द्वारा दी जाती है, जहाँ d बिंदु से केंद्र की दूरी है। यह मान R से गुजरने वाली किसी भी छेदक रेखा के दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं की बिंदु R से दूरियों के गुणनफल के बराबर होता है।

दिया गया है कि छेदक रेखा वृत्त को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करती है, इसलिए बिंदु R की घात RA · RB है। हमें RA = 7 सेमी और AB = 5 सेमी दिया गया है। चूँकि A और B, R से शुरू होने वाली एक ही छेदक रेखा पर हैं, इसलिए दूरी RB = RA + AB = 7 + 5 = 12 सेमी है।

प्रमेय में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: RA · RB = d² - r² 7 · 12 = 18² - r² 84 = 324 - r² r² = 324 - 84 r² = 240

त्रिज्या ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेने पर: r = √(240) = √(16 · 15) = 4√(15) सेमी

व्याख्या

दिया गया व्यंजक sin x + csc x = 2 है। चूंकि csc x = (1)/(sin x), मान लीजिए sin x = t। समीकरण t + ¹⁄ₜ = 2 में परिवर्तित हो जाता है। t से गुणा करने पर t² + 1 = 2t प्राप्त होता है, जिसे t² - 2t + 1 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह सर्वसमिका (t - 1)² = 0 का विस्तार है, जिससे प्राप्त होता है कि t = 1।

फलस्वरूप, sin x = 1। चूंकि csc x, sin x का व्युत्क्रम है, इसलिए csc x = ¹⁄₁ = 1। sin⁷ x + csc⁷ x का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 1⁷ + 1⁷ = 1 + 1 = 2। यह इस बीजगणितीय सिद्धांत का अनुसरण करता है कि यदि x + ¹⁄ₓ = 2 है, तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए xⁿ + (1)/(xⁿ⁾ = 2 होगा, क्योंकि प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाला एकमात्र वास्तविक मान x = 1 है।

व्याख्या

छात्र C द्वारा प्राप्त प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सभी छह विषयों: अंग्रेजी, हिंदी, गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में प्राप्त अंकों को जोड़कर कुल प्राप्त अंकों की गणना करते हैं। तालिका के आधार पर, छात्र C के अंक क्रमशः 80, 80, 70, 60, 70 और 60 हैं।

C द्वारा प्राप्त कुल अंक = 80 + 80 + 70 + 60 + 70 + 60 = 420

चूंकि प्रत्येक विषय 100 अंकों का है, इसलिए छह विषयों के कुल अधिकतम अंक 6 × 100 = 600 हैं। प्रतिशत स्कोर की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत = (कुल प्राप्त अंक / अधिकतम अंक) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत = (420 / 600) × 100 = 420 / 6 = 70%

व्याख्या

कुल बिक्री के सापेक्ष जून और जुलाई के महीनों की बिक्री का प्रतिशत हिस्सा ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले तालिका में उल्लिखित सभी महीनों की कुल बिक्री की गणना करते हैं और फिर लक्षित महीनों की संयुक्त बिक्री निर्धारित करते हैं।

कुल बिक्री = 25,000 (मई) + 24,000 (जून) + 18,000 (जुलाई) + 35,000 (नवंबर) + 26,000 (दिसंबर) + 22,000 (जनवरी) = 150,000

संयुक्त बिक्री (जून और जुलाई) = 24,000 + 18,000 = 42,000

प्रतिशत हिस्से की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत हिस्सा = ( (जून और जुलाई में बिक्री)/(कुल बिक्री) ) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत हिस्सा = ( (42,000)/(150,000) ) × 100 = ⁴²⁄₁₅₀ × 100 = ¹⁴⁄₅₀ × 100 = 14 × 2 = 28%

व्याख्या

मान लीजिए कि H, W और S क्रमशः पति, पत्नी और पुत्र की वर्तमान आयु को दर्शाते हैं। प्रश्न के अनुसार:

1. H + W + S = 90
2. H - W = (S)/(3)
3. S + 10 = ½(H + 10)

H का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण (3) को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2S + 20 = H + 10 H = 2S + 10

H के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम W को S के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: (2S + 10) - W = (S)/(3) W = 2S + 10 - (S)/(3) = (5S + 30)/(3)

अब, समीकरण (1) में H और W के मान प्रतिस्थापित करने पर: (2S + 10) + (5S + 30)/(3) + S = 90 3S + 10 + (5S + 30)/(3) = 90 3(3S + 10) + (5S + 30) = 270 9S + 30 + 5S + 30 = 270 14S + 60 = 270 14S = 210 S = 15

पुत्र की आयु S = 15 होने पर, हमें पति की आयु प्राप्त होती है: H = 2(15) + 10 = 40

माता (पत्नी) की वर्तमान आयु इस प्रकार है: W = H - (S)/(3) = 40 - ¹⁵⁄₃ = 40 - 5 = 35