एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

रमेश के पास कुल ₹18,000 की पूंजी है। पूंजी को तीन भागों में विभाजित किया गया है। पहला भाग ₹7,000 है, और दूसरा भाग ₹6,000 है। इसलिए, शेष पूंजी की गणना इस प्रकार की जाती है: 18,000 - (7,000 + 6,000) = 5,000।

एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P · R · T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। चूंकि समय अवधि एक वर्ष (T = 1) है, इसलिए प्रत्येक भाग से प्राप्त ब्याज है: पहले भाग से ब्याज: (7,000 · 5 · 1)/(100) = 350 दूसरे भाग से ब्याज: (6,000 · 6 · 1)/(100) = 360

इन दोनों भागों से प्राप्त ब्याज का योग 350 + 360 = 710 है। चूंकि वर्ष के अंत में प्राप्त कुल ब्याज ₹1,160 है, इसलिए ₹5,000 की शेष पूंजी से अर्जित ब्याज 1,160 - 710 = 450 होना चाहिए।

शेष पूंजी पर ब्याज दर (R) ज्ञात करने के लिए, साधारण ब्याज के सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें: 450 = (5,000 · R · 1)/(100) 450 = 50 · R R = ⁴⁵⁰⁄₅₀ = 9%

व्याख्या

एक घनाभ का आयतन V सूत्र V = l × b × h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ l लंबाई को, b चौड़ाई को और h ऊंचाई को दर्शाता है। दी गई विमाएँ l = 8 सेमी, b = 4 सेमी और h = 6 सेमी हैं, आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है:

V = 8 × 4 × 6 = 192 सेमी³

व्याख्या

l, b, और h विमाओं वाले एक घनाभ के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई विकर्ण सूत्र d = √(l² + b² + h²) द्वारा दी जाती है।

दी गई विमाएँ l = 1.2 सेमी, b = 1.3 सेमी, और h = 1.5 सेमी हैं, इन्हें सूत्र में रखने पर:

d = √(1.2² + 1.3² + 1.5²) d = √(1.44 + 1.69 + 2.25) d = √(5.38)

5.38 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, ध्यान दें कि 2.3² = 5.29 और 2.4² = 5.76 है। चूंकि 5.38, 5.29 के बहुत करीब है, इसलिए हम 2.32² की जांच करते हैं: 2.32 × 2.32 = 5.3824

√(5.38) का मान लगभग 2.31948 है, जिसे दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 2.32 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + 1/x = 65/8 है। भिन्न 65/8 को मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, हमें 65/8 = 8 + 1/8 प्राप्त होता है। इसकी तुलना समीकरण x + 1/x की संरचना से करने पर, और यह जानते हुए कि x एक पूर्णांक होना चाहिए, हम सीधे पहचान सकते हैं कि x = 8 है।

x - 1/x का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक में x = 8 प्रतिस्थापित करते हैं: x - 1/x = 8 - 1/8 x - 1/x = (8 × 8 - 1) / 8 x - 1/x = (64 - 1) / 8 = 63/8

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सर्वसमिका (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 का उपयोग करके, हम दिए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं: (x - 1/x)² = (65/8)² - 4 (x - 1/x)² = 4225/64 - 4 (x - 1/x)² = (4225 - 256) / 64 (x - 1/x)² = 3969/64 दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x - 1/x = ± √(3969/64) = ± 63/8 प्राप्त होता है। चूंकि x पूर्णांक 8 है, इसलिए धनात्मक परिणाम 63/8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किसी भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ a, b और c हैं, उसकी किसी भी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के निरपेक्ष अंतर (absolute difference) से अधिक और उनके योग से कम होनी चाहिए। इसे |a - b| < c < a + b के रूप में व्यक्त किया जाता है।

दी गई भुजाएँ 6 और 12 हैं, मान लीजिए तीसरी भुजा x है। असमिका (inequality) में ज्ञात मानों को रखने पर |12 - 6| < x < 12 + 6 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 6 < x < 18 हो जाता है।

चूंकि x एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए संभावित मान 6 और 18 के ठीक बीच के पूर्णांक हैं, जो {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} हैं। एक खुले अंतराल (open interval) (m, n) में पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (n - m) - 1 का उपयोग करते हैं। इसे लागू करने पर, हमें (18 - 6) - 1 = 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वह समय ज्ञात करने के लिए जब दो धावक पहली बार शुरुआती बिंदु पर मिलते हैं, हम प्रत्येक व्यक्ति द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। अरविंद को एक चक्कर पूरा करने में 180 सेकंड और चेतन को 420 सेकंड लगते हैं। 180 और 420 का LCM उनके अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है: 180 = 2² × 3² × 5 420 = 2² × 3 × 5 × 7 LCM(180, 420) = 2² × 3² × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = 1260 सेकंड समय को सेकंड से मिनट में बदलने के लिए, हम इसे 60 से विभाजित करते हैं: (1260 सेकंड)/(60 सेकंड/मिनट) = 21 मिनट

व्याख्या

सभी स्टॉक एक्सचेंजों में कंपनी C के लिए न्यूनतम दरों का औसत ज्ञात करने के लिए, हम हैदराबाद, मुंबई और बेंगलुरु से न्यूनतम दरों को जोड़ते हैं और तीन से विभाजित करते हैं। कंपनी C के लिए न्यूनतम दरें हैदराबाद में 175, मुंबई में 180 और बेंगलुरु में 185 हैं।

औसत न्यूनतम दर = (175 + 180 + 185)/(3) = ⁵⁴⁰⁄₃ = 180

प्रश्न में उस/उन स्टॉक एक्सचेंज (एक्सचेंजों) की पहचान करने के लिए कहा गया है जहाँ कंपनी C के शेयरों की दरें 180 के इस औसत से कम हैं। प्रत्येक एक्सचेंज में कंपनी C की दरों की तुलना 180 से करने पर: हैदराबाद एक्सचेंज में, दरें 180 (उच्चतम) और 175 (न्यूनतम) हैं। चूंकि 175 की न्यूनतम दर 180 के औसत से स्पष्ट रूप से कम है, इसलिए यह शर्त हैदराबाद स्टॉक एक्सचेंज में पूरी होती है। मुंबई में, दरें 195 और 180 हैं, जिनमें से कोई भी 180 से कम नहीं है। बेंगलुरु में, दरें 190 और 185 हैं, जो दोनों 180 से अधिक हैं।

व्याख्या

11 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 होना चाहिए या 11 का गुणज होना चाहिए। संख्या 6954P के लिए, विषम स्थानों पर अंकों का योग 6 + 5 + P = 11 + P है। सम स्थानों पर अंकों का योग 9 + 4 = 13 है।

P का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन योगों के बीच के अंतर की गणना करते हैं: (11 + P) - 13 = P - 2। संख्या को 11 से विभाज्य होने के लिए, इस अंतर को P - 2 = 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। P - 2 = 0 को हल करने पर P = 2 प्राप्त होता है। चूंकि P एक एकल अंक होना चाहिए, इसलिए 2 वह सही मान है जो विभाज्यता के मानदंड को पूरा करता है।

व्याख्या

बैंक की अंतिम कमाई शेयर बाजार के निवेश से उत्पन्न आय और उसके जमाकर्ताओं को भुगतान किए गए ब्याज के बीच का अंतर है।

सबसे पहले, बैंक को अपने निवेश से प्राप्त होने वाली रिटर्न की दर की गणना करें। बैंक प्रत्येक ₹3,00,000 के निवेश पर ₹30,000 कमाता है। निवेश अर्जन दर (Investment Earning Rate) = (30,000)/(3,00,000) × 100 = 10%

बैंक जमाकर्ताओं को 6% ब्याज देता है। बैंक के लिए शुद्ध लाभ दर, अर्जन दर और भुगतान किए गए ब्याज के बीच का अंतर है: शुद्ध लाभ दर (Net Profit Rate) = 10% - 6% = 4%

यह देखते हुए कि कुल जमा राशि ₹60,00,000 है, अंतिम कमाई की गणना कुल जमा पर शुद्ध लाभ दर लागू करके की जाती है: अंतिम कमाई (Final Earning) = 60,00,000 का 4% = ⁴⁄₁₀₀ × 60,00,000 = 2,40,000

वैकल्पिक रूप से, निवेश से कुल आय 60,00,000 का 10% = 6,00,000 है, और भुगतान किया गया कुल ब्याज 60,00,000 का 6% = 3,60,000 है। निवेश आय में से भुगतान किए गए ब्याज को घटाने पर 6,00,000 - 3,60,000 = 2,40,000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

परिवहन पर प्रति वर्ष औसत व्यय की गणना सभी निर्दिष्ट वर्षों में उस श्रेणी के व्यय का योग ज्ञात करके और उसे वर्षों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। तालिका के अनुसार, वर्ष 1998, 1999, 2000 और 2001 के लिए परिवहन व्यय क्रमशः 38, 45, 57 और 63 लाख हैं।

इन व्ययों के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: योग = 38 + 45 + 57 + 63 = 203

यह अवधि 4 वर्षों की है। औसत व्यय की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत = (कुल योग)/(वर्षों की संख्या)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: औसत = ²⁰³⁄₄ = 50.75

व्याख्या

दिया गया है कि csc x = 5/4, हम जानते हैं कि sin x = 1/csc x = 4/5 है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करके, या (3, 4, 5) पाइथागोरस त्रिक को पहचानकर जहाँ लम्ब 4 है और कर्ण 5 है, आधार √(5² - 4²) = 3 प्राप्त होता है।

इससे, हम आवश्यक त्रिकोणमितीय मान प्राप्त करते हैं: sin² x = (4/5)² = 16/25 cos² x = (3/5)² = 9/25 tan² x = (4/3)² = 16/9 cot² x = (3/4)² = 9/16

इन मानों को दिए गए व्यंजक (5sin² x + 8cot² x)/(27tan² x - 125cos² x) में प्रतिस्थापित करने पर:

अंश की गणना: 5(16/25) + 8(9/16) = 16/5 + 9/2 = (32 + 45) / 10 = 77/10

हर की गणना: 27(16/9) - 125(9/25) = 3(16) - 5(9) = 48 - 45 = 3

अंतिम मान: (77/10)/(3) = 77/30

व्याख्या

मिश्रण के औसत मूल्य की गणना भारित औसत सूत्र Pₐᵥ_g = (Q₁ P₁ + Q₂ P₂)/(Q₁ + Q₂) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ Q मात्रा को दर्शाता है और P प्रति इकाई मूल्य को दर्शाता है।

दिया गया है: Q₁ = 42 लीटर, P₁ = 25 प्रति लीटर Q₂ = 28 लीटर, P₂ = 40 प्रति लीटर

गणना को सरल बनाने के लिए, मात्राओं का अनुपात ज्ञात कीजिए: Q₁ : Q₂ = 42 : 28 = 3 : 2

भारित औसत सूत्र में सरलीकृत अनुपात का उपयोग करने पर: औसत मूल्य = ((3 × 25) + (2 × 40))/(3 + 2) औसत मूल्य = (75 + 80)/(5) औसत मूल्य = ¹⁵⁵⁄₅ = 31

वैकल्पिक रूप से, कुल मानों का उपयोग करने पर: कुल लागत = (42 × 25) + (28 × 40) = 1050 + 1120 = 2170 कुल मात्रा = 42 + 28 = 70 लीटर औसत मूल्य = ²¹⁷⁰⁄₇₀ = 31

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, माना D, BC का मध्य-बिंदु है, जिसका अर्थ है BD = DC। हमें दिया गया है कि DL ⊥ AB और DM ⊥ AC इस प्रकार है कि DL = DM। समकोण त्रिभुजों △ DLB और △ DMC पर विचार करें। इन त्रिभुजों में, कर्ण BD और DC बराबर हैं, और भुजाएँ DL और DM बराबर हैं। RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता मानदंड के अनुसार, △ DLB ≅ △ DMC। सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) के गुण से, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होने चाहिए, इसलिए ∠ B = ∠ C। त्रिभुज ABC में, चूंकि भुजाओं AC और AB के सम्मुख कोण बराबर हैं, इसलिए भुजाएँ AB और AC भी बराबर होनी चाहिए। कम से कम दो बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज को समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है और d₁, d₂ प्रतिशत छूट हैं। टीवी सेट का अंकित मूल्य ₹18,500 और क्रमिक छूट 20% और 5% दी गई है, गणना इस प्रकार है:

SP = 18,500 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ⁵⁄₁₀₀) SP = 18,500 × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁹⁵⁄₁₀₀ SP = 18,500 × 0.8 × 0.95

पहले, 20% की छूट लागू करने पर: 18,500 × 0.8 = 14,800

इसके बाद, शेष राशि पर 5% की छूट लागू करने पर: 14,800 × 0.95 = 14,800 × (1 - 0.05) = 14,800 - 740 = 14,060

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी छूट सूत्र D = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100) का उपयोग करने पर, कुल छूट 20 + 5 - (20 × 5)/(100) = 24% है। इसके बाद विक्रय मूल्य 18,500 × (100% - 24%) = 18,500 × 0.76 = 14,060 होगा।

व्याख्या

माना प्रारंभिक आय 300 इकाई है। चूंकि 66⅔% भिन्न ⅔ के बराबर है, इसलिए प्रारंभिक व्यय ⅔ × 300 = 200 इकाई है। इसके परिणामस्वरूप प्रारंभिक बचत 300 - 200 = 100 इकाई होती है।

जब आय में 25% की वृद्धि होती है, तो नई आय 300 × 1.25 = 375 इकाई हो जाती है। जब व्यय में 20% की वृद्धि होती है, तो नया व्यय 200 × 1.20 = 240 इकाई हो जाता है। नई बचत की गणना नई आय और नए व्यय के बीच के अंतर के रूप में की जाती है: 375 - 240 = 135 इकाई।

बचत पर प्रतिशत प्रभाव की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत परिवर्तन = (नई बचत - प्रारंभिक बचत)/(प्रारंभिक बचत) × 100 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (135 - 100)/(100) × 100 = 35%

व्याख्या

फलन का विवरण दर्शाता है कि यह x के अनुक्रमानुपाती और y के व्युत्क्रमानुपाती परिवर्तित होता है। यह इन दोनों परिवर्तनों के एक रैखिक संयोजन को दर्शाता है, जिसे सामान्य रूप f(x, y) = mx + (n)/(y) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ m और n स्थिरांक हैं।

स्थिरांकों को ज्ञात करने के लिए, दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें। पहली स्थिति का उपयोग करने पर जहाँ x = 0, y = 1, और f = 15 है: 15 = m(0) + ⁿ⁄₁ n = 15

इसके बाद, दूसरी स्थिति का उपयोग करने पर जहाँ x = 1, y = 15, और f = 2 है: 2 = m(1) + ¹⁵⁄₁₅ 2 = m + 1 m = 1

विशिष्ट फलन को f(x, y) = x + (15)/(y) के रूप में परिभाषित किया गया है। जब x = 5 और y = 3 हो, तो फलन का मान ज्ञात करने के लिए, इन निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: f(5, 3) = 5 + ¹⁵⁄₃ f(5, 3) = 5 + 5 = 10

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना कुल मिश्रधन (A) और मूलधन (P) के बीच के अंतर के रूप में की जाती है। इस मामले में, SI = 8,928 - 7,200 = 1,728। साधारण ब्याज के मानक सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ R ब्याज की दर है और T वर्षों में समय है, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 1,728 = (7,200 × 8 × T)/(100)। यह सरल होकर 1,728 = 72 × 8 × T, या 1,728 = 576 × T हो जाता है। 1,728 को 576 से विभाजित करने पर T = 3 वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

निर्माता Q की कुल बिक्री का निर्माता S की कुल बिक्री से अनुपात ज्ञात करने के लिए, तालिका में दी गई 2016 से 2020 तक की पूरी अवधि के लिए प्रत्येक निर्माता की बिक्री के योग की गणना करें।

निर्माता Q के लिए कुल बिक्री = 280 + 290 + 310 + 310 + 330 = 1520 (हजारों में) निर्माता S के लिए कुल बिक्री = 400 + 420 + 430 + 440 + 450 = 2140 (हजारों में)

अभीष्ट अनुपात 1520 : 2140 है। इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करें, जो कि 20 है:

1520 ÷ 20 = 76 2140 ÷ 20 = 107

सरलीकृत अनुपात 76 : 107 है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण sinθ + cosθ = √3cosθ में, sinθ को एक तरफ अलग करने के लिए हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: sinθ = √3cosθ - cosθ sinθ = (√3 - 1)cosθ

cotθ का मान ज्ञात करने के लिए, जिसे (cosθ)/(sinθ) के रूप में परिभाषित किया गया है, हम दोनों पक्षों को (√3 - 1)sinθ से विभाजित करते हैं: cotθ = (cosθ)/(sinθ) = (1)/(√(3) - 1)

हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को संयुग्मी व्यंजक (√3 + 1) से गुणा करते हैं: cotθ = 1(√3 + 1){(√3 - 1)(√3 + 1)}

हर में बीजीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² लागू करने पर: cotθ = √3 + 1{(√3)² - (1)²} cotθ = √3 + 1{3 - 1} cotθ = √3 + 1{2}

व्याख्या

व्यंजक -7/6 + 4/9 ÷ 5/3 × 1/16 को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया जाता है, जो योग (जोड़) से पहले भाग और गुणा (बाएँ से दाएँ) को प्राथमिकता देता है।

सबसे पहले, भाग की क्रिया करें: 4/9 ÷ 5/3 = 4/9 × 3/5 = (4 × 3) / (9 × 5) = 12/45 = 4/15

इसके बाद, पिछले चरण से प्राप्त परिणाम का उपयोग करके गुणा की क्रिया करें: 4/15 × 1/16 = 4 / (15 × 16) = 1 / (15 × 4) = 1/60

अब, योग करने के लिए इस मान को वापस मूल व्यंजक में रखें: -7/6 + 1/60

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हरों 6 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 60 है। -7/6 को 60 हर वाले एक समतुल्य भिन्न में बदलें: -7/6 = (-7 × 10) / (6 × 10) = -70/60

भिन्नों को संयोजित करें: -70/60 + 1/60 = (-70 + 1) / 60 = -69/60

अंत में, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से विभाजित करके भिन्न को सरल करें, जो कि 3 है: -69 ÷ 3 = -23 60 ÷ 3 = 20

सरलीकृत मान -23/20 है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के परिमाप की गणना वृत्तीय चाप की लंबाई में त्रिज्यखंड बनाने वाली दोनों त्रिज्याओं को जोड़कर की जाती है। चाप की लंबाई l का सूत्र (θ)/(360°) × 2π r है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r त्रिज्या है।

दिए गए मानों θ = 15°, r = 14 सेमी, और π = 3.14 को प्रतिस्थापित करने पर: l = ¹⁵⁄₃₆₀ × 2 × 3.14 × 14 l = ¹⁄₂₄ × 87.92 l ≈ 3.6633 सेमी

त्रिज्यखंड का परिमाप P, P = l + 2r द्वारा दिया जाता है। P = 3.6633 + 2(14) P = 3.6633 + 28 = 31.6633 सेमी

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, परिमाप 31.66 सेमी है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के परिमाप की गणना दोनों त्रिज्याओं की लंबाई को चाप की लंबाई में जोड़कर की जाती है। परिमाप P का सूत्र P = 2r + l है, जहाँ l चाप की लंबाई है। चाप की लंबाई l सूत्र l = (θ)/(360) × 2π r द्वारा निर्धारित की जाती है।

दी गई त्रिज्या r = 10 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 30°, और π = 3.14 है, गणना इस प्रकार है:

l = ³⁰⁄₃₆₀ × 2 × 3.14 × 10 l = ¹⁄₁₂ × 62.8 l ≈ 5.233 सेमी

चाप की लंबाई को वापस परिमाप के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

P = 2(10) + 5.233 P = 20 + 5.233 P = 25.233 सेमी

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, त्रिज्यखंड का परिमाप 25.2 सेमी है।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, जब एक बहुपद f(m) को (m - a) के रूप के एक रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल f(a) के बराबर होता है। इस स्थिति में, भाजक (m - 2) है, इसलिए हम बहुपद f(m) = m⁵ + 5m⁴ - 3m + 7 में a = 2 प्रतिस्थापित करते हैं।

m = 2 प्रतिस्थापित करने पर: f(2) = (2)⁵ + 5(2)⁴ - 3(2) + 7

प्रत्येक पद की गणना करने पर: 2⁵ = 32 5(2⁴) = 5(16) = 80 3(2) = 6

अब, मानों को संयोजित करने पर: f(2) = 32 + 80 - 6 + 7 f(2) = 112 - 6 + 7 f(2) = 106 + 7 f(2) = 113

बहुपद को (m - 2) से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल 113 है।

व्याख्या

प्रश्न के कथन से, हम दो रैखिक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। पहली शर्त के अनुसार, पीले कंचों के 18% को नीले कंचों के 24% में जोड़ने पर 30 प्राप्त होता है: 0.18y + 0.24b = 30 पूरे समीकरण को 100 से गुणा करने पर 18y + 24b = 3000 प्राप्त होता है। इसे 6 से विभाजित करने पर यह सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 3y + 4b = 500

दूसरी शर्त के अनुसार, पीले कंचों की संख्या का तीन गुना, नीले कंचों की संख्या के दोगुने से 200 अधिक है: 3y - 2b = 200

y को विलुप्त करने और b का मान ज्ञात करने के लिए, सरल किए गए पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाइए: (3y + 4b) - (3y - 2b) = 500 - 200 6b = 300 b = 50

अब, y का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण 3y - 2b = 200 में b = 50 रखिए: 3y - 2(50) = 200 3y - 100 = 200 3y = 300 y = 100

y² का b² से अनुपात है: y² : b² = 100² : 50² गुणधर्म (a² / b²) = (a / b)² का उपयोग करने पर: (100 / 50)² = 2² = 4 अतः, अनुपात 4 : 1 है।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, a, b और c भुजाओं वाले किसी भी त्रिभुज के लिए, किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से हमेशा अधिक होना चाहिए, जिसे a + b > c के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह देखते हुए कि त्रिभुज का परिमाप a + b + c = 52 है, हम दो भुजाओं के योग को a + b = 52 - c के रूप में लिख सकते हैं। इस मान को असमानता में प्रतिस्थापित करने पर 52 - c > c प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में c जोड़ने पर, हमें 52 > 2c प्राप्त होता है, और 2 से विभाजित करने पर c < 26 प्राप्त होता है। चूंकि यह तर्क त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर लागू होता है, इसलिए प्रत्येक भुजा की लंबाई परिमाप के आधे से कम होनी चाहिए।

व्याख्या

टैंक को भरने की शुद्ध दर अलग-अलग पाइपों की दरों का योग है, जिसमें खाली करने वाले पाइप की दर ऋणात्मक होती है। मान लीजिए कि टैंक की कुल क्षमता दिए गए समय 12, 18 और 8 घंटों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

LCM(12, 18, 8) = 72 इकाई (units)।

पहले भरने वाले पाइप की कार्यक्षमता = 72 / 12 = 6 इकाई/घंटा। दूसरे भरने वाले पाइप की कार्यक्षमता = 72 / 18 = 4 इकाई/घंटा। तीसरे खाली करने वाले पाइप की कार्यक्षमता = 72 / 8 = 9 इकाई/घंटा।

जब तीनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो शुद्ध कार्यक्षमता है: शुद्ध कार्यक्षमता = 6 + 4 - 9 = 1 इकाई/घंटा।

टैंक को भरने में लगने वाला समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: समय = कुल क्षमता / शुद्ध कार्यक्षमता समय = 72 / 1 = 72 घंटे।

व्याख्या

11 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 हो या 11 का एक गुणज हो। दी गई संख्या 7845K854 के लिए, विषम स्थानों पर (बाईं ओर से शुरू करने पर) अंक 7, 4, K और 5 हैं। उनका योग S₁ = 7 + 4 + K + 5 = 16 + K है। सम स्थानों पर अंक 8, 5, 8 और 4 हैं। उनका योग S₂ = 8 + 5 + 8 + 4 = 25 है। इन योगों के बीच का अंतर D = S₂ - S₁ = 25 - (16 + K) = 9 - K है। संख्या को 11 से विभाज्य होने के लिए, यह अंतर 0 या 11 के गुणज के बराबर होना चाहिए। चूंकि K एक एकल-अंकीय पूर्णांक है, इसलिए एकमात्र मान जिससे अंतर 0 प्राप्त होता है, वह K = 9 है।

व्याख्या

व्यंजक (sin A)/(1 + cos A) को सरल करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करते हैं, जो कि 1 - cos A है:

(sin A)/(1 + cos A) · (1 - cos A)/(1 - cos A) = (sin A(1 - cos A))/(1 - cos² A)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 1 - cos² A = sin² A है। इसे हर में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(sin A(1 - cos A))/(sin² A)

अंश और हर दोनों को sin A से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

(1 - cos A)/(sin A)

वैकल्पिक रूप से, अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं (half-angle identities) का उपयोग करके, जहाँ sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2) और 1 + cos A = 2 cos²(A/2) है, व्यंजक को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

(2 sin(A/2) cos(A/2))/(2 cos²(A/2)) = (sin(A/2))/(cos(A/2)) = tan(A/2)

चूंकि (1 - cos A)/(sin A) = (2 sin²(A/2))/(2 sin(A/2) cos(A/2)) = tan(A/2) है, इसलिए दोनों व्यंजक समान हैं।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, वह बिंदु जहाँ आंतरिक कोण समद्विभाजक मिलते हैं, अंतःकेंद्र (incenter) होता है। दो शीर्ष कोणों द्वारा अंतःकेंद्र पर बनने वाला कोण सूत्र ∠ QOR = 90° + ½ ∠ P द्वारा दिया जाता है। सूत्र में ∠ QOR = 107° का दिया गया मान रखने पर, हमें 107° = 90° + (∠ P)/(2) प्राप्त होता है। ∠ P का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम दोनों पक्षों से 90° घटाते हैं जिससे हमें 17° = (∠ P)/(2) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है कि ∠ P = 34°।

व्याख्या

tan θ का मान ज्ञात करने के लिए, व्यंजक (7sin θ + 4cos θ)/(9sin θ - 2cos θ) = 5/4 के अंश और हर को cos θ से विभाजित करें। इससे हमें प्राप्त होता है:

(7tan θ + 4)/(9tan θ - 2) = 5/4

समीकरण का तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) करने पर:

4(7tan θ + 4) = 5(9tan θ - 2) 28tan θ + 16 = 45tan θ - 10 17tan θ = 26 tan θ = 26/17

tan² θ का मान (26/17)² = 676/289 है। अब इसे अभीष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

(tan²θ + 5)/(tan²θ - 5) = ((676/289) + 5) / ((676/289) - 5)

उभयनिष्ठ हर (common denominator) 289 का उपयोग करके अंश और हर को सरल करें:

अंश: (676 + 5(289))/(289) = (676 + 1445)/(289) = 2121/289 हर: (676 - 5(289))/(289) = (676 - 1445)/(289) = -769/289

यह अनुपात इस प्रकार हो जाता है:

(2121 / 289)/(-769 / 289) = -2121/769

व्याख्या

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, हम क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों x और y के सूत्र का उपयोग करते हैं, जो कि x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ है। सबसे पहले, 12% और 23% की दो प्रारंभिक वृद्धियों के संयुक्त प्रभाव की गणना करें।

शुद्ध वृद्धि = 12 + 23 + (12 × 23)/(100) = 35 + ²⁷⁶⁄₁₀₀ = 37.76%

इसके बाद, इसी सूत्र में x = 37.76 और y = -34 रखकर इस संयुक्त मान पर 34% की कमी लागू करें:

शुद्ध परिवर्तन = 37.76 - 34 + (37.76 × (-34))/(100) शुद्ध परिवर्तन = 3.76 - (1283.84)/(100) शुद्ध परिवर्तन = 3.76 - 12.8384 = -9.0784%

ऋणात्मक चिह्न शुद्ध कमी को दर्शाता है। निकटतम पूर्णांक में बदलने पर, 9.0784% लगभग 9% हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करके, अंतिम मान की गणना 1.12 × 1.23 × 0.66 = 0.909216 के रूप में की जाती है। कुल कमी 1 - 0.909216 = 0.090784 है, जो 9.0784% की कमी के बराबर है।

व्याख्या

दुकानदार नमक को उसके क्रय मूल्य पर बेचता है, जिसका अर्थ है कि लाभ पूरी तरह से वजन में हेरफेर से प्राप्त होता है। जब कोई व्यापारी गलत वजन का उपयोग करता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना बचाए गए वजन और ग्राहक को वास्तव में दिए गए वजन के बीच के संबंध का उपयोग करके की जाती है।

ग्राहक से वादा किया गया वजन 1000 ग्राम (1 किग्रा) है, लेकिन दुकानदार 200 ग्राम कम कर देता है, जिसके परिणामस्वरूप दिया गया वास्तविक वजन 1000 - 200 = 800 ग्राम होता है। ऐसे मामलों में लाभ प्रतिशत का सूत्र है:

लाभ % = (त्रुटि)/(वास्तविक मान - त्रुटि) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (200)/(1000 - 200) × 100 लाभ % = ²⁰⁰⁄₈₀₀ × 100 लाभ % = ¼ × 100 = 25%

यह गणना दर्शाती है कि 1000 ग्राम के लिए शुल्क लेते हुए केवल 800 ग्राम देकर, दुकानदार वास्तव में अपनी वास्तविक लागत पर 25% का लाभ अर्जित करता है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी उनके बीच की सापेक्ष गति का उपयोग करके 600 मीटर के प्रारंभिक अंतर को पाटकर चोर को पकड़ता है। चूंकि दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर है: सापेक्ष गति = 15 किमी/घंटा - 12 किमी/घंटा = 3 किमी/घंटा

आसान गणना के लिए इस गति को मीटर प्रति मिनट में बदलने पर: 3 किमी/घंटा = (3 × 1000)/(60) मीटर/मिनट = 50 मीटर/मिनट

600 मीटर की प्रारंभिक दूरी को पाटने के लिए आवश्यक समय है: समय = (प्रारंभिक दूरी)/(सापेक्ष गति) समय = (600 मीटर)/(50 मीटर/मिनट) = 12 मिनट

व्याख्या

साधारण ब्याज में वृद्धि, दी गई अवधि में ब्याज की दर में वृद्धि के सीधे आनुपातिक होती है। साधारण ब्याज में अंतर का सूत्र Δ SI = (P × Δ R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, Δ R दर में वृद्धि है, और T वर्षों में समय है।

यह दिया गया है कि Δ SI = 1,512, Δ R = 7%, और T = 6 वर्ष, तो समीकरण इस प्रकार होगा:

1,512 = (P × 7 × 6)/(100)

1,512 = (P × 42)/(100)

P = (1,512 × 100)/(42)

1,512 को 42 से विभाजित करने पर 36 प्राप्त होता है। इसलिए:

P = 36 × 100 = 3,600

व्याख्या

त्रिज्यखंड का परिमाप सूत्र P = 2r + l द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है। केंद्रीय कोण θ के लिए चाप की लंबाई l की गणना l = (θ)/(360) × 2π r के रूप में की जाती है।

दिया गया है कि केंद्रीय कोण θ = 60° और π = 22/7 है, परिमाप का समीकरण इस प्रकार बनता है: 64/3 = 2r + ⁶⁰⁄₃₆₀ × 2 × ²²⁄₇ × r 64/3 = 2r + ⅙ × ⁴⁴⁄₇ × r 64/3 = 2r + ²²⁄₂₁r 64/3 = (42r + 22r)/(21) 64/3 = ⁶⁴ʳ⁄₂₁

r के लिए हल करने पर: 1/3 = r/21 r = 7 सेमी

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A सूत्र A = (θ)/(360) × π r² द्वारा दिया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = ⁶⁰⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × 7² A = ⅙ × ²²⁄₇ × 49 A = ⅙ × 22 × 7 A = ¹⁵⁴⁄₆ = ⁷⁷⁄₃ सेमी²

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह ज्यामिति एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ त्रिज्या r कर्ण है, केंद्र से लंबवत दूरी d = 12 सेमी एक भुजा है, और जीवा की आधी लंबाई s = 32 / 2 = 16 सेमी दूसरी भुजा है। पाइथागोरस प्रमेय r² = d² + s² का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं जिससे r² = 12² + 16² प्राप्त होता है। वर्गों की गणना करने पर r² = 144 + 256 = 400 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर r = √(400) = 20 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य तब न्यूनतम होता है जब दी जाने वाली कुल छूट का प्रतिशत अधिकतम हो। योजनाओं की तुलना करने के लिए, हम सूत्र a + b - ab/100 का उपयोग करके क्रमिक दरों a% और b% के लिए प्रभावी छूट की गणना करते हैं।

योजना I में, प्रभावी छूट 15 + 20 - (15 × 20)/(100) = 35 - 3 = 32% है। योजना II में, प्रभावी छूट 25 + 10 - (25 × 10)/(100) = 35 - 2.5 = 32.5% है। योजना III में, छूट 33% का एकल मूल्य है।

तीनों परिणामों की तुलना करने पर, योजना III 33% की उच्चतम कुल छूट प्रदान करती है। अधिक छूट प्रतिशत सीधे खरीदार के लिए कम प्रभावी विक्रय मूल्य की ओर ले जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि आयताकार बगीचे की चौड़ाई b मीटर और उसकी लंबाई l मीटर है। एक आयत का परिमाप P सूत्र P = 2(l + b) द्वारा दिया जाता है। चूंकि परिमाप 48 मीटर दिया गया है, इसलिए हमारे पास 2(l + b) = 48 है, जिसे सरल करने पर l + b = 24 प्राप्त होता है।

प्रश्न के अनुसार, लंबाई चौड़ाई से 6 मीटर अधिक है, इसलिए l = b + 6। l के इस मान को सरल किए गए परिमाप समीकरण में रखने पर (b + 6) + b = 24 प्राप्त होता है। b के लिए हल करने पर, हमें 2b + 6 = 24 प्राप्त होता है, जिससे 2b = 18 होता है, और इस प्रकार b = 9 मीटर प्राप्त होता है।

लंबाई l = 9 + 6 = 15 मीटर है। बगीचे के क्षेत्रफल A की गणना सूत्र A = l × b का उपयोग करके की जाती है। इसलिए, A = 15 × 9 = 135 वर्ग मीटर।

व्याख्या

प्रत्येक घन का आयतन V = 512 सेमी³ है। चूंकि घन का आयतन a³ होता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है, इसलिए a = ³√(512) = 8 सेमी। जब तीन घनों को एक सिरे से दूसरे सिरे तक जोड़ा जाता है, तो प्राप्त घनाभ की लंबाई L = 3 × 8 = 24 सेमी हो जाती है, जबकि चौड़ाई B और ऊंचाई H 8 सेमी ही रहती है। प्राप्त घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र 2(LB + BH + HL) का उपयोग करके की जाती है। विमाओं का मान रखने पर, पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(24 × 8 + 8 × 8 + 8 × 24) = 2(192 + 64 + 192) = 2(448) = 896 सेमी² है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक घन के 6 फलक होते हैं, जिससे तीन अलग-अलग घनों के कुल 18 फलक बनते हैं। जब इन्हें दो अंतरापृष्ठों पर जोड़ा जाता है, तो 4 फलक (प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर 2) सतह से छिप जाते हैं। शेष पृष्ठीय क्षेत्रफल में 18 - 4 = 14 वर्गाकार फलक शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल a² = 64 सेमी² है, जिससे कुल क्षेत्रफल 14 × 64 = 896 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि r को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 3 बचता है, हम मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुण का उपयोग कर सकते हैं जहाँ r ≡ 3 (mod 8) है। व्यंजक (r² + 6r + 7) को 8 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद में r का मान 3 प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें 3² + 6(3) + 7 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 9 + 18 + 7 = 34 प्राप्त होता है। मूल व्यंजक का शेषफल, 34 को 8 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले शेषफल के समतुल्य है। विभाजन करने पर, 34 = 8 × 4 + 2 प्राप्त होता है, जिससे शेषफल 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपात sec(t) को एक समकोण त्रिभुज में कर्ण और संलग्न भुजा (आधार) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि sec(t) = (x)/(y), हम कर्ण को x और संलग्न भुजा को y मानते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, सम्मुख भुजा (लंब) के वर्ग की गणना कर्ण के वर्ग और संलग्न भुजा के वर्ग के अंतर के रूप में की जाती है। यदि p सम्मुख भुजा को दर्शाता है, तो p² = x² - y², जिससे p = √(x² - y²) प्राप्त होता है। चूंकि cot(t) संलग्न भुजा और सम्मुख भुजा का अनुपात है, इसलिए cot(t) = (y)/(√(x² - y²)) होगा।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती को उनके गुणनफल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे सूत्र √(a × b) द्वारा व्यक्त किया जाता है। दिए गए मानों a = 36 और b = 100 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना √(36 × 100) हो जाती है। यह सरल होकर √(3600) हो जाता है, जो 60 के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, वर्गमूल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, √(36 × 100) = √(36) × √(100) = 6 × 10 = 60।

व्याख्या

मान लीजिए कि निर्वाचन क्षेत्र में मतदाताओं की कुल संख्या 100 है। प्रश्न के अनुसार, वितरण इस प्रकार है:

पुरुषों की संख्या = 100 का 45% = 45 महिलाओं की संख्या = 100 - 45 = 55

साक्षर पुरुषों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि 60% पुरुष निरक्षर हैं, जिसका अर्थ है कि 40% साक्षर हैं: साक्षर पुरुष = 45 का 40% = 0.40 × 45 = 18

निरक्षर महिलाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि 60% महिलाएं साक्षर हैं, जिसका अर्थ है कि 40% निरक्षर हैं: निरक्षर महिलाएं = 55 का 40% = 0.40 × 55 = 22

प्रश्न में पूछा गया है कि निरक्षर महिलाओं की संख्या, साक्षर पुरुषों की संख्या से कितने प्रतिशत अधिक है। हम प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत वृद्धि = (निरक्षर महिलाएं - साक्षर पुरुष)/(साक्षर पुरुष) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (22 - 18)/(18) × 100 = ⁴⁄₁₈ × 100 = ²⁄₉ × 100

चूंकि ⅑ ≈ 11.11%, इसलिए ²⁄₉ ≈ 22.22% है।

व्याख्या

n क्रमागत संख्याओं की एक श्रृंखला के लिए, जब n विषम होता है, तो औसत (अंकगणितीय माध्य) मध्य पद के बराबर होता है। यह देखते हुए कि पाँच क्रमागत संख्याओं का योग 80 है, औसत की गणना 80 / 5 = 16 के रूप में की जाती है। यह औसत श्रृंखला में मध्य (तीसरी) संख्या को दर्शाता है। सबसे बड़ी (पाँचवीं) संख्या निर्धारित करने के लिए, हम श्रृंखला में बाद के दो पदों में से प्रत्येक के लिए केवल 1 जोड़ते हैं। इसलिए, सबसे बड़ी संख्या 16 + 1 + 1 = 18 है।

बीजगणितीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, यदि पाँच क्रमागत संख्याओं को x, x+1, x+2, x+3, और x+4 के रूप में दर्शाया जाता है, तो उनका योग 5x + 10 = 80 होता है। x के लिए हल करने पर 5x = 70 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 14। इस समूह में सबसे बड़ी संख्या x+4 है, जो 14 + 4 = 18 के बराबर है।

व्याख्या

विभिन्न लाभ दरों पर बेचे गए विभिन्न भागों वाले लेन-देन में कुल लाभ प्रतिशत की गणना भारित औसत विधि (weighted average method) का उपयोग करके की जा सकती है। माना वस्तुओं की कुल संख्या 1 है। दुकानदार वस्तुओं का ⅝ भाग 20% लाभ पर और शेष 1 - ⅝ = ⅜ भाग क्रय मूल्य पर बेचता है, जिसका अर्थ 0% लाभ है।

कुल लाभ प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: कुल लाभ % = (भिन्न 1 × लाभ दर 1) + (भिन्न 2 × लाभ दर 2)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: कुल लाभ % = (⅝ × 20%) + (⅜ × 0%) कुल लाभ % = ¹⁰⁰⁄₈% + 0% कुल लाभ % = 12.5%

दशमलव को मिश्रित भिन्न में बदलने पर, हमें 12 ½% प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि वस्तुओं की कुल संख्या 8 है और प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य 100 है, तो कुल क्रय मूल्य 800 है। 20% लाभ पर 5 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 5 × 120 = 600 है, और क्रय मूल्य पर शेष 3 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 3 × 100 = 300 है। कुल विक्रय मूल्य 900 है। कुल लाभ 900 - 800 = 100 है, और लाभ प्रतिशत (¹⁰⁰⁄₈₀₀) × 100 = 12.5% है।

व्याख्या

पाइप X की कार्य दर प्रति घंटे टैंक का 1/60 भाग है, और पाइप Y की कार्य दर प्रति घंटे टैंक का 1/72 भाग है। जब दोनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो उनकी प्रति घंटे की संयुक्त दर की गणना इस प्रकार की जाती है:

संयुक्त दर = ¹⁄₆₀ + ¹⁄₇₂

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, 60 और 72 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 360 है।

संयुक्त दर = ⁶⁄₃₆₀ + ⁵⁄₃₆₀ = ¹¹⁄₃₆₀

20 घंटों में, दोनों पाइपों द्वारा भरे गए टैंक का कुल भाग है:

भरा गया भाग = 20 × ¹¹⁄₃₆₀ = ¹¹⁄₁₈

टैंक का वह भाग जो खाली रहता है, कुल क्षमता (1) में से भरे गए भाग को घटाकर प्राप्त होता है:

खाली भाग = 1 - ¹¹⁄₁₈ = (18 - 11)/(18) = ⁷⁄₁₈

व्याख्या

दिया गया है x = 7 - 4√3, हम हर का परिमेयकरण करके इसका व्युत्क्रम ¹⁄ₓ ज्ञात करते हैं। ¹⁄ₓ = (1)/(7 - 4√(3)) × 7 + 4√3{7 + 4√3} = 7 + 4√3{7² - (4√3)²} = 7 + 4√3{49 - 48} = 7 + 4√3

अब, x और इसके व्युत्क्रम का योग ज्ञात कीजिए: x + ¹⁄ₓ = (7 - 4√3) + (7 + 4√3) = 14

x² + (1)/(x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² = (a + b)² - 2ab का उपयोग करते हैं। a = x और b = ¹⁄ₓ रखने पर: x² + (1)/(x²⁾ = (x + ¹⁄ₓ)² - 2

समीकरण में (x + ¹⁄ₓ) का मान रखने पर: x² + (1)/(x²⁾ = 14² - 2 = 196 - 2 = 194

व्याख्या

मान a = 1 का परीक्षण करने पर, हम दिए गए निकाय का उपयोग करके x, y और z के मान ज्ञात करते हैं। जब a = 1 होता है, तो समीकरण x - y + z = 2, x + 4y - 2z = 9, और 2x - 3y + 4z = 4 बनते हैं। इस निकाय को हल करने पर x = 3, y = 2, और z = 1 प्राप्त होता है, जो तीन क्रमागत पूर्णांक (1, 2, 3) हैं, जिससे यह शर्त संतुष्ट होती है। अन्य विकल्पों जैसे a = 2 का परीक्षण करने पर चरों के गैर-क्रमागत मान प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

वह कोण ज्ञात करने के लिए जहाँ sin(θ) = cos(θ) है, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(θ) = (sin(θ))/(cos(θ)) का उपयोग करते हैं। दोनों फलनों को एक-दूसरे के बराबर रखने पर, sin(θ) = cos(θ), और दोनों पक्षों को cos(θ) से विभाजित करने पर tan(θ) = 1 प्राप्त होता है। प्रथम चतुर्थांश में, स्पर्शज्या (tangent) फलन का मान 1 होता है जब θ = 45° होता है। मानक त्रिकोणमितीय सारणी से, sin(45°) और cos(45°) दोनों का मान (1)/(√(2)) के बराबर होता है, जो लगभग 0.7071 है।

व्याख्या

चूंकि AOC वृत्त का व्यास है, इसलिए बिंदु A, O और C एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, और केंद्रीय कोण ∠ AOC = 180° है। इसका अर्थ है कि केंद्र O पर चाप AB और चाप BC द्वारा अंतरित कोणों का योग 180° होना चाहिए। किसी भी वृत्त में, चाप की लंबाई उसके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण के समानुपाती होती है।

दिया गया है कि चाप AB = चाप BC का ⅕, मान लीजिए कि केंद्र पर चाप BC द्वारा अंतरित कोण का डिग्री माप ∠ BOC = x है। परिणामस्वरूप, चाप AB द्वारा अंतरित कोण ∠ AOB = ⅕x है। व्यास के लिए रैखिक समीकरण बनाने पर:

∠ AOB + ∠ BOC = 180° ⅕x + x = 180° ⁶⁄₅x = 180° x = 180° × ⅚ x = 30° × 5 = 150°