एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। दी गई संख्या 249k876 का अंतिम अंक 6 है, जो कि एक सम संख्या है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि यह k के किसी भी मान के लिए 2 से विभाज्य है। संख्या को 3 से विभाज्य होने के लिए, इसके अंकों का योग 3 का गुणज होना चाहिए।

अंकों का योग 2 + 4 + 9 + k + 8 + 7 + 6 = 36 + k है। 36 + k को 3 से विभाज्य होने के लिए, k को 3 का गुणज होना चाहिए क्योंकि 36 पहले से ही 3 से विभाज्य है। अंक k के संभावित मान 0, 3, 6 और 9 हैं। k का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम इस समूह में से सबसे छोटी संख्या चुनते हैं, जो कि 0 है। k = 0 रखने पर संख्या 2490876 प्राप्त होती है, जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T समयावधि है। प्रश्न के अनुसार, ₹7,200 पर 16% की दर से 3 वर्षों का साधारण ब्याज, ₹9,600 पर x% की दर से 4 वर्षों के साधारण ब्याज के बराबर है। साधारण ब्याज के दोनों समीकरणों को बराबर रखने पर:

(7200 × 16 × 3)/(100) = (9600 × x × 4)/(100)

दोनों पक्षों से हर 100 और मूलधन के शून्यों को काटने पर, हमें प्राप्त होता है:

72 × 16 × 3 = 96 × 4 × x

समीकरण को सरल करने पर:

72 × 48 = 384 × x

3456 = 384x

x = ³⁴⁵⁶⁄₃₈₄

x = 9

वैकल्पिक रूप से, दोनों पक्षों को 2400 से विभाजित करने और अनुपातों को सीधे सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3 × 16 × 3 = 4 × x × 4, जिससे 144 = 16x प्राप्त होता है, और इस प्रकार x = 9।

व्याख्या

चीनी के क्रय मूल्य (CP) की गणना 44.8 / 1.12 = ₹40 प्रति किलोग्राम के रूप में की जाती है। प्रारंभिक निवेश पर कुल 5 प्रतिशत का लाभ प्राप्त करने के लिए, शेष 4/5 चीनी को बेचने से प्राप्त कुल राजस्व मूल मात्रा का 1.05 * 40 = ₹42 प्रति किलोग्राम होना चाहिए। लक्षित राजस्व को शेष मात्रा (0.8 किलोग्राम) से विभाजित करने पर आवश्यक विक्रय मूल्य 42 / 0.8 = ₹52.5 प्रति किलोग्राम प्राप्त होता है।

व्याख्या

रैखिक समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 का कोई हल न होने के लिए, रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए और संपाती नहीं होनी चाहिए। यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर हो, लेकिन अचर पदों के अनुपात के बराबर न हो: (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) ≠ (c₁)/(c₂)

दिए गए समीकरणों kx - 15y + 7 = 0 और 7x - 21y - 19 = 0 की मानक रूप से तुलना करने पर, हमें a₁ = k, b₁ = -15, c₁ = 7, a₂ = 7, b₂ = -21, और c₂ = -19 प्राप्त होता है।

गुणांकों के अनुपात में मान रखने पर: ᵏ⁄₇ = ⁻¹⁵⁄₋₂₁

दोनों पदों को -3 से विभाजित करके दाएं पक्ष को सरल करने पर: ᵏ⁄₇ = ⁵⁄₇

k के लिए हल करने पर k = 5 प्राप्त होता है। स्थिति के दूसरे भाग को सत्यापित करने पर, हम देखते हैं कि ⁵⁄₇ ≠ ⁷⁄₋₁₉, जो इसकी पुष्टि करता है कि k = 5 होने पर निकाय का कोई हल नहीं है।

व्याख्या

वर्ष 2022 में निर्मित कारों की औसत संख्या उस वर्ष में सभी प्रकार की कारों के उत्पादन की मात्रा के योग की गणना करके और उसे कारों के प्रकारों की कुल संख्या से विभाजित करके निर्धारित की जाती है। तालिका के आधार पर, वर्ष 2022 के लिए उत्पादन के आंकड़े कार X के लिए 3551, कार Y के लिए 3020 और कार Z के लिए 2600 हैं।

वर्ष 2022 में कुल उत्पादन = 3551 + 3020 + 2600 = 9171

चूंकि कारों के तीन प्रकार (X, Y और Z) हैं, इसलिए औसत है:

औसत = ⁹¹⁷¹⁄₃ = 3057

व्याख्या

एक वृत्त का परिमाप, जिसे परिधि भी कहा जाता है, सूत्र P = 2π r द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त के केंद्र पर θ कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई की गणना सूत्र L = (θ)/(360°) × 2π r का उपयोग करके की जाती है।

वह कोण ज्ञात करने के लिए जिस पर चाप की लंबाई परिधि की ठीक आधी हो, हम समीकरण L = ½P स्थापित करते हैं। संबंधित सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (θ)/(360°) × 2π r = ½ × 2π r प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को 2π r से विभाजित करने पर, यह संबंध सरल होकर (θ)/(360°) = ½ हो जाता है। θ के लिए हल करने पर θ = (360°)/(2) = 180° प्राप्त होता है। यह कोण केंद्र से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है, जो वृत्त को दो बराबर अर्धवृत्तों में विभाजित करती है।

व्याख्या

टैंक की कुल क्षमता प्रत्येक पाइप द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर निर्धारित की जाती है: LCM(15, 25, 40) = 600 इकाई। इस क्षमता के आधार पर, पाइपों की व्यक्तिगत दक्षता की गणना निम्नानुसार की जाती है: पाइप A की दक्षता = 600 / 15 = 40 इकाई/घंटा पाइप B की दक्षता = 600 / 25 = 24 इकाई/घंटा पाइप C की दक्षता = - (600 / 40) = -15 इकाई/घंटा (ऋणात्मक क्योंकि यह खाली करने वाला पाइप है)

जब तीनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो शुद्ध दक्षता 40 + 24 - 15 = 49 इकाई/घंटा होती है। पहले 5 घंटों में, भरे गए पानी की मात्रा 49 × 5 = 245 इकाई है। भरी जाने वाली शेष क्षमता 600 - 245 = 355 इकाई है। पाइप A को बंद करने के बाद, केवल पाइप B और C खुले रहते हैं, जिनकी संयुक्त दक्षता 24 - 15 = 9 इकाई/घंटा है। टैंक के शेष भाग को भरने के लिए आवश्यक समय 355 / 9 घंटे है, जिसे सरल करने पर 39⁴⁄₉ घंटे प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक [(⅙÷ ⅑× ⅔)× 18 + 5] को सरल करने के लिए, BODMAS नियम का पालन करें जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), भाग (Division), गुणा (Multiplication) और जोड़ (Addition) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, आंतरिक कोष्ठक का मान ज्ञात करें। संक्रियाओं के क्रम के अनुसार, गुणा से पहले भाग किया जाता है: ⅙ ÷ ⅑ = ⅙ × 9 = ⁹⁄₆ = ³⁄₂

इसके बाद, परिणाम को अगले भिन्न से गुणा करके कोष्ठक के भीतर की गणना पूरी करें: ³⁄₂ × ⅔ = 1

अब, इस परिणाम को वर्गाकार कोष्ठक के भीतर मुख्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। जोड़ से पहले गुणा करें: 1 × 18 + 5 18 + 5 = 23

व्याख्या

कुल लाभ प्रत्येक व्यक्तिगत वस्तु पर अर्जित लाभ का योग है। किसी वस्तु के लिए लाभ की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ = क्रय मूल्य × (लाभ%)/(100)।

मोबाइल के लिए, लाभ 20,000 × ¹⁰⁄₁₀₀ = 2,000 है। लैपटॉप के लिए, लाभ 72,000 × ²⁰⁄₁₀₀ = 14,400 है। मोबाइल कवर के लिए, क्रय मूल्य प्रति इकाई दिया गया है, और यह मानते हुए कि एक इकाई बेची गई थी, लाभ 300 × ¹²⁄₁₀₀ = 36 है।

दुकानदार द्वारा अर्जित कुल लाभ ज्ञात करने के लिए, व्यक्तिगत लाभों को एक साथ जोड़ें: 2,000 + 14,400 + 36 = 16,436।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² द्वारा दिया जाता है, जहाँ A क्षेत्रफल है, θ डिग्री में केंद्रीय कोण है, और r त्रिज्या है।

यह दिया गया है कि क्षेत्रफल A = 16π और त्रिज्या r = 8 है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

16π = (θ)/(360°) × π × (8)²

दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर समीकरण सरल हो जाता है:

16 = (θ × 64)/(360°)

दोनों पक्षों को 16 से विभाजित करके हम इसे और सरल बना सकते हैं:

1 = (θ × 4)/(360°)

θ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

4θ = 360° θ = (360°)/(4) = 90°

त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 90° है।

व्याख्या

भुजाओं a = 20 सेमी, b = 20 सेमी, और c = 10 सेमी वाले समद्विबाहु त्रिभुज △ ABC के लिए, अर्ध-परिमाप s की गणना इस प्रकार की जाती है: s = (20 + 20 + 10)/(2) = 25 सेमी।

हेरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल(△ ABC) = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(25(25-20)(25-20)(25-10)) क्षेत्रफल(△ ABC) = √(25 · 5 · 5 · 15) = 5 · 5√(15) = 25√(15)

दिए गए मान √(15) = 3.87 को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल(△ ABC) = 25 · 3.87 = 96.75 सेमी²

समकोण त्रिभुज △ PQR के लिए, जिसका कर्ण 13 सेमी और एक लंबवत भुजा 12 सेमी है, दूसरी लंबवत भुजा पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से ज्ञात की जाती है: आधार = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √(25) = 5 सेमी क्षेत्रफल(△ PQR) = ½ · आधार · ऊँचाई = ½ · 5 · 12 = 30 सेमी²

दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बीच का अंतर 96.75 - 30 = 66.75 सेमी² है।

व्याख्या

कुल वेतन की गणना कर्मचारियों की संख्या और प्रति व्यक्ति वेतन के गुणनफल के रूप में की जाती है। मान लीजिए कि कर्मचारियों की प्रारंभिक संख्या x है और प्रारंभिक प्रति व्यक्ति वेतन y है। प्रारंभिक कुल वेतन xy है।

जब गुणनफल बनाने वाली दो राशियों में a% और b% का परिवर्तन होता है, तो उनके गुणनफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: शुद्ध परिवर्तन % = a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀

कर्मचारियों में 20% की वृद्धि (a = +20) और प्रति व्यक्ति वेतन में 18% की कमी (b = -18) को देखते हुए, इन मानों को सूत्र में रखें: शुद्ध परिवर्तन % = 20 + (-18) + (20 × (-18))/(100) शुद्ध परिवर्तन % = 2 - ³⁶⁰⁄₁₀₀ शुद्ध परिवर्तन % = 2 - 3.6 शुद्ध परिवर्तन % = -1.6%

ऋणात्मक परिणाम कमी को दर्शाता है। इसलिए, कुल वेतन में 1.6% की कमी होती है।

व्याख्या

जब किसी वस्तु पर मूल्य वृद्धि (मार्कअप) और फिर छूट दी जाती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत को क्रमिक प्रतिशत सूत्र Net% = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

इस मामले में, मूल्य वृद्धि प्रतिशत x = 20 और छूट प्रतिशत y = -30 है (चूंकि छूट मूल्य को कम करती है)। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

Net% = 20 - 30 + (20 × (-30))/(100)

Net% = -10 - ⁶⁰⁰⁄₁₀₀

Net% = -10 - 6 = -16%

ऋणात्मक परिणाम 16% की हानि को दर्शाता है। इसे क्रय मूल्य को 100 मानकर भी सत्यापित किया जा सकता है। 20% मूल्य वृद्धि के परिणामस्वरूप अंकित मूल्य 120 हो जाता है। 120 पर 30% की छूट देने पर छूट का मूल्य 120 × 0.30 = 36 प्राप्त होता है। इसके बाद विक्रय मूल्य 120 - 36 = 84 हो जाता है। चूंकि विक्रय मूल्य, 100 के क्रय मूल्य से 16 कम है, इसलिए हानि 16% है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠ B = 90° है, tan A = 1 की स्थिति से यह प्राप्त होता है कि A = 45° है। 4 sin A cos A का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin 2A = 2 sin A cos A का उपयोग कर सकते हैं। इस व्यंजक को 2(2 sin A cos A) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो सरल होकर 2 sin 2A हो जाता है। इस सर्वसमिका में A = 45° प्रतिस्थापित करने पर 2 sin(2 × 45°) = 2 sin 90° प्राप्त होता है। चूंकि sin 90° = 1 है, इसलिए परिणाम 2 × 1 = 2 है। वैकल्पिक रूप से, sin 45° = (1)/(√(2)) और cos 45° = (1)/(√(2)) के मानों को सीधे प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक 4 sin A cos A इस प्रकार हो जाता है: 4 × (1)/(√(2)) × (1)/(√(2)) = 4 × ½ = 2।

व्याख्या

x³ - (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) - 2 का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करते हैं। दिए गए मान x² + (1)/(x²) = 83 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(x - ¹⁄ₓ)² = 83 - 2 = 81

चूंकि x > 1 है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि x > ¹⁄ₓ, जिससे अंतर x - ¹⁄ₓ धनात्मक हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें प्राप्त होता है: x - ¹⁄ₓ = √(81) = 9।

अब, हम घनों के अंतर के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x - ¹⁄ₓ)। मान x - ¹⁄ₓ = 9 प्रतिस्थापित करने पर:

x³ - (1)/(x³) = 9³ + 3(9) x³ - (1)/(x³) = 729 + 27 = 756

व्याख्या

एक वृत्त में, स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए, ∠ APO = 90° और ∠ AQO = 90°। चतुर्भुज APOQ में, अंतः कोणों का योग 360° होना चाहिए। इससे यह संबंध प्राप्त होता है: ∠ PAQ + ∠ APO + ∠ POQ + ∠ AQO = 360°। ज्ञात मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 40° + 90° + ∠ POQ + 90° = 360°।

इसे सरल करने पर, ∠ PAQ + ∠ POQ = 180°, जो इसकी पुष्टि करता है कि दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा अंतरित कोण संपूरक होते हैं। दिए गए कोण का मान रखने पर, ∠ POQ = 180° - 40° = 140°।

व्याख्या

संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, दोनों दिए गए अनुपातों में उभयनिष्ठ पद B का मान समान होना चाहिए। दोनों पदों को 2 से विभाजित करके अनुपात A:B = 6:8 को सरल करके 3:4 किया जा सकता है। हमें B:C = 7:10 भी दिया गया है। इन अनुपातों में B के मान क्रमशः 4 और 7 हैं।

4 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 28 है। हम दोनों अनुपातों को इस प्रकार समायोजित करते हैं कि B का मान 28 हो जाए: A:B = 3 × 7 : 4 × 7 = 21:28 B:C = 7 × 4 : 10 × 4 = 28:40

इन परिणामों को मिलाकर, हम अनुपात A:B:C = 21:28:40 प्राप्त करते हैं।

व्याख्या

एक बेलन के आधार की परिधि C = 2π r द्वारा दी जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 44 = 2 × ²²⁄₇ × r 44 = ⁴⁴⁄₇ × r r = (44 × 7)/(44) = 7 सेमी

बेलन का आयतन सूत्र V = π r² h का उपयोग करके निकाला जाता है। r = 7 सेमी और h = 25 सेमी प्रतिस्थापित करने पर: V = ²²⁄₇ × 7² × 25 V = 22 × 7 × 25 V = 154 × 25 = 3850 सेमी³

लीटर में क्षमता ज्ञात करने के लिए, हम इस परिवर्तन का उपयोग करते हैं: 1000 सेमी³ = 1 लीटर: क्षमता = ³⁸⁵⁰⁄₁₀₀₀ = 3.85 लीटर

व्याख्या

एक पोर्टफोलियो के औसत प्रतिफल की गणना भारित औसत प्रतिफल (वेटेड एवरेज रिटर्न) सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहां कुल प्रतिफल प्रत्येक स्टॉक के भार (वेट) और उसके व्यक्तिगत प्रतिफल के गुणनफलों का योग होता है:

Rₚ = (w_A × r_A) + (w_B × r_B) + (w_C × r_C) + (w_D × r_D)

दिए गए प्रतिशतों और प्रतिफलों का मान रखने पर:

Rₚ = (0.20 × 6%) + (0.30 × 8%) + (0.20 × 4%) + (0.30 × -5%)

प्रत्येक घटक की गणना करने पर:

स्टॉक A: 0.20 × 6 = 1.2% स्टॉक B: 0.30 × 8 = 2.4% स्टॉक C: 0.20 × 4 = 0.8% स्टॉक D: 0.30 × -5 = -1.5%

इन मानों का योग करने पर:

Rₚ = 1.2% + 2.4% + 0.8% - 1.5% Rₚ = 4.4% - 1.5% = 2.9%

व्याख्या

व्यंजक 13 - [7 - (4 + 7) - {7 - (7 - 4 + 7)} + 14] को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम का पालन करते हैं, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)। हम सबसे आंतरिक छोटे कोष्ठक से शुरू करते हैं।

सबसे पहले, हम कोष्ठक के अंदर के मानों की गणना करते हैं: 4 + 7 = 11 7 - 4 + 7 = 3 + 7 = 10

इन्हें वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 13 - [7 - 11 - {7 - 10} + 14]

इसके बाद, हम मझले कोष्ठक को हल करते हैं: {7 - 10} = -3

व्यंजक को पुनः अद्यतन करने पर: 13 - [7 - 11 - (-3) + 14] 13 - [7 - 11 + 3 + 14]

अब, हम बड़े कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करते हैं। बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव करने पर: 7 - 11 = -4 -4 + 3 = -1 -1 + 14 = 13

अंत में, हम बड़े कोष्ठक के मान को वापस मुख्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: 13 - 13 = 0

व्याख्या

साड़ी पर छूट, अंकित मूल्य और वास्तविक विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है। छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य = 10,490 - 9,441 = 1,049 छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके अंकित मूल्य के सापेक्ष की जाती है: छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100 दिए गए मानों को रखने पर: छूट प्रतिशत = (1,049 / 10,490) × 100 छूट प्रतिशत = (1 / 10) × 100 = 10%

व्याख्या

रिसाव की दर, पाइप के भरने की दर और रिसाव के सक्रिय होने पर शुद्ध (नेट) भरने की दर के बीच का अंतर है। मानक कार्य दर सूत्र का उपयोग करते हुए: (1)/(Tₗₑₐₖ₎ = (1)/(T_fᵢₗₗ₎ - (1)/(Tₙₑₜ₎ दिए गए मानों T_fᵢₗₗ = 12 घंटे और Tₙₑₜ = 18 घंटे को प्रतिस्थापित करने पर: (1)/(Tₗₑₐₖ₎ = ¹⁄₁₂ - ¹⁄₁₈ 36 का सामान्य हर (common denominator) ज्ञात करने पर: (1)/(Tₗₑₐₖ₎ = (3 - 2)/(36) = ¹⁄₃₆ Tₗₑₐₖ = 36 घंटे

व्याख्या

मान लीजिए कि मतदाताओं की कुल संख्या V है। प्रश्न के अनुसार, 80% मतदाताओं ने अपने मत डाले, और उनमें से 5% मत अवैध थे, जिसका अर्थ है कि डाले गए मतों के 95% मत वैध थे। जीतने वाले उम्मीदवार को वैध मतों का 70% प्राप्त हुआ, जबकि हारने वाले उम्मीदवार को शेष 30% प्राप्त हुआ। 36,480 मतों का बहुमत विजेता और हारने वाले के हिस्से के बीच के अंतर को दर्शाता है, जो वैध मतों का 40% (70% - 30%) है।

इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: V × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁹⁵⁄₁₀₀ × ⁴⁰⁄₁₀₀ = 36,480

दशमलव को सरल करने पर: V × 0.80 × 0.95 × 0.40 = 36,480 V × 0.304 = 36,480

V का मान ज्ञात करने के लिए: V = (36,480)/(0.304) V = 1,20,000

व्याख्या

दो वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (direct common tangent) की लंबाई की गणना सूत्र L = √(d² - (r₁ - r₂)²) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ तथा r₂ उनकी क्रमशः त्रिज्याएँ हैं।

इस प्रश्न में, केंद्र M और N हैं जहाँ d = MN = 16 सेमी है। त्रिज्याएँ r₁ = 12 सेमी और r₂ = 8 सेमी हैं। चूँकि केंद्रों के बीच की दूरी (16 सेमी) त्रिज्याओं के योग (12 + 8 = 20 सेमी) से कम है लेकिन त्रिज्याओं के अंतर (12 - 8 = 4 सेमी) से अधिक है, इसलिए वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, और QR उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा को दर्शाता है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: QR = √(16² - (12 - 8)²) QR = √(256 - 4²) QR = √(256 - 16) QR = √(240)

√(240) को सरल करने के लिए, हम सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड ज्ञात करते हैं: QR = √(16 × 15) QR = 4√(15) सेमी

व्याख्या

समूह का औसत अंक भारित औसत सूत्र A = (n₁ A₁ + n₂ A₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इस मामले में, पहले समूह में n₁ = 12 छात्र हैं जिनका औसत अंक A₁ = 62 है, और दूसरे समूह में शेष n₂ = 30 - 12 = 18 छात्र शामिल हैं जिनका औसत अंक A₂ = 76 है।

गणना को सरल बनाने के लिए, दोनों समूहों में छात्रों की संख्या के अनुपात, 12:18, को घटाकर 2:3 किया जा सकता है। पूरे समूह के औसत की गणना इस प्रकार की जाती है:

औसत = ((2 × 62) + (3 × 76))/(2 + 3)

औसत = (124 + 228)/(5)

औसत = ³⁵²⁄₅ = 70.4

यह विधि सभी व्यक्तिगत अंकों का योग लेकर और इसे छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके 30 छात्रों के कुल समूह के लिए माध्य अंक की गणना करती है।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए कि केंद्र O से जीवाओं AB और CD की दूरियां क्रमशः x और y हैं। दी गई लंबाई AB = 24 सेमी और CD = 18 सेमी है, जीवाओं की आधी लंबाई 12 सेमी और 9 सेमी है। त्रिज्या r, आधी जीवा और केंद्र से दूरी द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुजों में, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं:

r² = x² + 12² r² = y² + 9²

r² के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर x² + 144 = y² + 81 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर y² - x² = 63 प्राप्त होता है। यदि जीवाएं केंद्र के विपरीत पक्षों पर हैं, तो उनके बीच की दूरी x + y = 21 है। बीजगणितीय सर्वसमिका y² - x² = (y - x)(y + x) का उपयोग करते हुए, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:

63 = (y - x)(21) y - x = 3

अब हमारे पास रैखिक समीकरणों का एक निकाय है: y + x = 21 और y - x = 3। इन्हें जोड़ने पर 2y = 24 प्राप्त होता है, इसलिए y = 12 सेमी, और x = 9 सेमी। त्रिज्या के सूत्र में x = 9 का मान वापस रखने पर:

r² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 r = √(225) = 15 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि शांत जल में नाव की चाल u है और धारा की चाल v है। जब तय की गई दूरी स्थिर होती है, तो शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल का अनुपात, धारा के प्रतिकूल (Tᵤₚ) और धारा के अनुकूल (T_dₒ_wₙ) यात्रा में लगने वाले समय का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

यह संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: u / v = (Tᵤₚ + T_dₒ_wₙ) / (Tᵤₚ - T_dₒ_wₙ)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ Tᵤₚ = 36 घंटे और T_dₒ_wₙ = 18 घंटे हैं: u / v = (36 + 18) / (36 - 18) u / v = 54 / 18 u / v = 3 / 1

वैकल्पिक रूप से, चूंकि दूरी D स्थिर है, हमारे पास है: D = (u + v) × 18 D = (u - v) × 36 (u + v) × 18 = (u - v) × 36 u + v = 2(u - v) u + v = 2u - 2v 3v = u u / v = 3 / 1

व्याख्या

पुरुषों और महिलाओं का प्रारंभिक अनुपात 5 : 3 दिया गया है। चूंकि अतिरिक्त महिलाओं को नियोजित करने पर पुरुषों की संख्या में कोई बदलाव नहीं होता है, इसलिए हम पुरुषों की संख्या को 5x और महिलाओं की प्रारंभिक संख्या को 3x के रूप में दर्शा सकते हैं। 150 महिलाओं को जोड़ने के बाद, महिलाओं की नई संख्या 3x + 150 हो जाती है। पुरुषों और महिलाओं का नया अनुपात 5 : 4 है।

चूंकि पुराने और नए दोनों अनुपातों में पुरुषों के लिए अनुपात के हिस्से समान (5 हिस्से) रहते हैं, इसलिए महिलाओं के लिए अनुपात के हिस्सों में वृद्धि अतिरिक्त कर्मचारियों को दर्शाती है। महिलाओं का हिस्सा 3 से बढ़कर 4 हो जाता है, जो कि 4 - 3 = 1 हिस्से की वृद्धि है। यह 1 हिस्सा 150 अतिरिक्त महिलाओं के बराबर है। इसलिए, 1 हिस्सा = 150। पुरुषों की संख्या को 5 हिस्सों द्वारा दर्शाया गया है, जिसकी गणना 5 × 150 = 750 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात सूत्र (2π r(h + r))/(2π rh) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है। उभयनिष्ठ पदों 2π r को निरस्त करने पर यह व्यंजक सरल होकर (h + r)/(h) हो जाता है। चूंकि व्यास 28 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r उसकी आधी होगी, जो कि 14 सेमी है। सरलीकृत अनुपात में त्रिज्या 14 सेमी और ऊंचाई h = 12 सेमी रखने पर (12 + 14)/(12) प्राप्त होता है। इस गणना के परिणामस्वरूप ²⁶⁄₁₂ प्राप्त होता है, जो उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 से विभाजित करने पर सरल होकर 13:6 हो जाता है।

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम (≅) तब होते हैं जब उनका आकार और माप बिल्कुल समान हो। सर्वांगसमता का तात्पर्य है कि सभी संगत भुजाओं की लंबाई बराबर होती है और सभी संगत आंतरिक कोण बराबर होते हैं।

चूंकि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई का एक फलन (function) होता है (उदाहरण के लिए, हीरोन के सूत्र या ½ × आधार × ऊंचाई के सूत्र का उपयोग करके), इसलिए किन्हीं भी दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होना चाहिए। यह देखते हुए कि Δ EFG ≅ Δ HIJ, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्षेत्रफल(Δ HIJ) = क्षेत्रफल(Δ EFG)। इसलिए, चूंकि Δ EFG का क्षेत्रफल 124 cm² है, Δ HIJ का क्षेत्रफल भी 124 cm² होगा।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a + b = 2c है, इस व्यंजक के दोनों पक्षों को पद (a - b) से गुणा करने पर: (a + b)(a - b) = 2c(a - b) दो वर्गों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका x² - y² = (x + y)(x - y) का उपयोग करने पर, बायाँ पक्ष सरल होकर a² - b² हो जाता है। दाहिनी ओर के पद को वितरित करने पर प्राप्त होता है: a² - b² = 2ac - 2bc समीकरण को दिए गए व्यंजक के अनुरूप बनाने के लिए, दोनों पक्षों में b² और 2bc जोड़कर पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: a² + 2bc = b² + 2ac

व्याख्या

दो रेखाओं a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के समांतर होने के लिए, उनके गुणांकों का अनुपात (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) को संतुष्ट करना चाहिए। दिए गए समीकरणों 4x + (k - 2)y + 3 = 0 और (k - 2)x + 9y - 5 = 0 से गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(4)/(k - 2) = (k - 2)/(9)

समीकरण को व्यवस्थित करने पर (k - 2)² = 36 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर k - 2 = ± 6 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप k = 8 या k = -4 प्राप्त होता है। चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि k > 0 है, इसलिए हम k = 8 लेते हैं। अंतिम मान ज्ञात करने के लिए, व्यंजक k² + 6 में k = 8 प्रतिस्थापित करने पर:

8² + 6 = 64 + 6 = 70

व्याख्या

सबसे पहले, एक समान हर (common denominator) ज्ञात करके कोष्ठक के भीतर के पद को सरल करें: 5 - ¹⁵⁄₁₆ = (5 × 16 - 15)/(16) = (80 - 15)/(16) = ⁶⁵⁄₁₆।

इसके बाद, मिश्रित भिन्न (mixed fraction) 1¹²⁄₁₃ को अनुचित भिन्न (improper fraction) में बदलें: 1¹²⁄₁₃ = (1 × 13 + 12)/(13) = ²⁵⁄₁₃।

अब, प्राप्त दोनों भिन्नों को गुणा करें: ⁶⁵⁄₁₆ × ²⁵⁄₁₃। गणना को सरल बनाने के लिए, अंश 65 और हर 13 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करें, जो कि 13 है। इससे प्राप्त होता है: ⁵⁄₁₆ × ²⁵⁄₁ = ¹²⁵⁄₁₆।

अंत में, अनुचित भिन्न ¹²⁵⁄₁₆ को वापस एक मिश्रित भिन्न में बदलें। 125 को 16 से विभाजित करने पर भागफल 7 (16 × 7 = 112) और शेषफल 13 (125 - 112 = 13) प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप 7¹³⁄₁₆ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि हौज की क्षमता भरने के समय 8 मिनट और 10 मिनट का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 40 इकाई है। पहले पाइप की सामान्य कार्यक्षमता 40 / 8 = 5 इकाई प्रति मिनट है, और दूसरे पाइप की सामान्य कार्यक्षमता 40 / 10 = 4 इकाई प्रति मिनट है।

रुकावट के कारण, प्रवाह दर कम हो जाती है। पहले पाइप की कार्यक्षमता 5 × ⅝ = ²⁵⁄₈ इकाई प्रति मिनट हो जाती है, और दूसरे पाइप की कार्यक्षमता 4 × ⅗ = ¹²⁄₅ इकाई प्रति मिनट हो जाती है। रुकावट के दौरान संयुक्त कार्यक्षमता ²⁵⁄₈ + ¹²⁄₅ = (125 + 96)/(40) = ²²¹⁄₄₀ इकाई प्रति मिनट है।

रुकावट को हटा दिया गया, और अगले 3 मिनट में हौज भर गया। इन 3 मिनटों के दौरान, दोनों पाइपों ने अपनी सामान्य संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 4 = 9 इकाई प्रति मिनट पर काम किया। इस अवधि के दौरान भरे गए पानी की मात्रा 9 × 3 = 27 इकाई है।

रुकावट के मौजूद रहने के दौरान भरे गए पानी की मात्रा 40 - 27 = 13 इकाई है। पूर्ण प्रवाह शुरू होने से पहले लगे समय को ज्ञात करने के लिए, हम इस शेष कार्य को संयुक्त बाधित कार्यक्षमता से विभाजित करते हैं: समय = (13)/(221){40} = (13 × 40)/(221) = ⁴⁰⁄₁₇ = 2⁶⁄₁₇ मिनट।

व्याख्या

a² + b² का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं और उन्हें आपस में जोड़ते हैं।

a² का विस्तार करने पर: a² = (xcosθ + ysinθ)² = x²cos²θ + y²sin²θ + 2xycosθ

b² का विस्तार करने पर: b² = (xsinθ - ycosθ)² = x²sin²θ + y²cos²θ - 2xysinθ

अब, a² और b² को जोड़ने पर: a² + b² = (x²cos²θ + y²sin²θ + 2xysinθ) + (x²sin²θ + y²cos²θ - 2xysinθ)

क्रॉस पद +2xysinθ और -2xysinθ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। x² और y² के पदों को समूहीकृत करने पर प्राप्त होता है: a² + b² = x²(cos²θ + sin²θ) + y²(sin²θ + cos²θ)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: a² + b² = x²(1) + y²(1) = x² + y²

व्याख्या

रैखिक समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के अनंत हल होने के लिए, रेखाएँ संपाती होनी चाहिए। यह तब होता है जब x, y के गुणांकों और अचर पदों के अनुपात आपस में बराबर होते हैं: (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) = (c₁)/(c₂)।

दिए गए समीकरणों 4x + 12y + 36 = 0 और 5x + ky + 45 = 0 में, गुणांक a₁ = 4, b₁ = 12, c₁ = 36 और a₂ = 5, b₂ = k, c₂ = 45 हैं। अनंत हलों की शर्त में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ⅘ = ¹²⁄ₖ = ³⁶⁄₄₅ प्राप्त होता है। अचर पदों के अनुपात को सरल करने पर, ³⁶⁄₄₅ = ⅘ प्राप्त होता है, जो निकाय की संगति की पुष्टि करता है। k का मान ज्ञात करने के लिए, हम x और y के गुणांकों के अनुपात को बराबर रखते हैं: ⅘ = ¹²⁄ₖ। तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) द्वारा हल करने पर, हमें 4k = 60 प्राप्त होता है, जिससे k = 15 मिलता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में जहाँ ∠ C = 90° और CM ⊥ AB है, शीर्षलंब CM कर्ण AB को दो खंडों AM और MB में विभाजित करता है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय (कर्ण पर शीर्षलंब का गुणधर्म) के अनुसार, शीर्षलंब का वर्ग कर्ण के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है।

सबसे पहले, खंड AM की लंबाई की गणना करें: AM = AB - BM = 18 सेमी - 6 सेमी = 12 सेमी

अब, शीर्षलंब CM के लिए सूत्र लागू करें: CM² = AM · BM CM² = 12 · 6 CM² = 72 CM = √(72) CM = √(36 · 2) CM = 6√2 सेमी

व्याख्या

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो। संख्या 57x716 के लिए, अंकों के योग की गणना 5 + 7 + x + 7 + 1 + 6 = 26 + x के रूप में की जाती है। इस योग को 9 से विभाज्य बनाने के लिए, 26 + x का मान 9 का गुणज होना चाहिए। 26 से बड़ा या उसके बराबर 9 का सबसे छोटा गुणज 27 है। 26 + x = 27 रखने पर x = 1 प्राप्त होता है। चूँकि x एक एकल अंक होना चाहिए, और 1 इस शर्त को पूरा करने वाला सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, इसलिए x का न्यूनतम मान 1 है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज PQRS में, विकर्ण PR और QS एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं। इस ज्यामितीय गुण का अर्थ है कि शीर्षों P और R से समदूरस्थ कोई भी बिंदु रेखाखंड PR के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए। दी गई शर्त OP = OR के अनुसार, बिंदु O विकर्ण QS पर स्थित होना चाहिए। चूंकि O समचतुर्भुज का एक आंतरिक बिंदु है जो विकर्ण QS पर स्थित है, इसलिए बिंदु S, O और Q संरेख हैं। ज्यामिति में, तीन संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाला कोण, जहाँ शीर्ष O, S और Q के बीच स्थित है, एक सरल कोण होता है। एक सरल कोण का माप 180° होता है, इसलिए ∠SOQ = 180°।

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य एकल छूट ज्ञात करने का मानक सूत्र D = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100) है।

इस प्रश्न में, पहली छूट d₁ = 40% है और दूसरी छूट d₂ = 20% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

D = 40 + 20 - (40 × 20)/(100)

D = 60 - ⁸⁰⁰⁄₁₀₀

D = 60 - 8 = 52%

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि वस्तुओं का अंकित मूल्य 100 इकाई है, तो 40% की पहली छूट मूल्य को घटाकर 60 इकाई कर देती है। इसके बाद शेष 60 इकाई पर 20% की दूसरी छूट लागू की जाती है, जो कि 12 इकाई (0.20 × 60 = 12) के बराबर है। अंतिम विक्रय मूल्य 60 - 12 = 48 इकाई हो जाता है। कुल छूट प्रारंभिक मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 100 - 48 = 52 इकाई, या 52% है।

व्याख्या

दिए गए बारंबारता वितरण में, अंक श्रेणियां (0, 10, 20, 30, 40 और उससे अधिक) दर्शाती हैं कि विषय के लिए अधिकतम अंक 50 हैं।

उच्च अध्ययन के लिए पात्र छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले 40% की आवश्यकता के आधार पर अर्हता अंकों की गणना करते हैं: अर्हता अंक = कुल अंकों का 40% अर्हता अंक = ⁴⁰⁄₁₀₀ × 50 = 20

तालिका के अनुसार, रसायन विज्ञान में 20 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 66 है। इसलिए, 66 छात्र रसायन विज्ञान में उच्च अध्ययन करने के लिए पात्र हैं।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 8a³ + b³ + 27c³ = 18abc को x = 2a, y = b, और z = 3c प्रतिस्थापित करके मानक बीजगणितीय रूप x³ + y³ + z³ = 3xyz में फिर से लिखा जा सकता है। इससे (2a)³ + (b)³ + (3c)³ = 3(2a)(b)(3c) प्राप्त होता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) के अनुसार, शर्त x³ + y³ + z³ = 3xyz तब संतुष्ट होती है जब या तो x + y + z = 0 हो या x = y = z हो।

चरों 2a, b, और 3c पर शर्त x + y + z = 0 लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2a + b + 3c = 0

दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: b + 3c = -2a

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का मूल क्रय मूल्य 100 है। पहला विक्रेता 30% का लाभ कमाता है, इसलिए वह मूल्य जिस पर दूसरा विक्रेता वस्तु खरीदता है, 100 + 30 = 130 है। दूसरे विक्रेता के माध्यम से गुजरने के बाद, वस्तु का अंतिम विक्रय मूल्य मूल क्रय मूल्य पर 40% का कुल लाभ दर्शाता है। इसलिए, अंतिम विक्रय मूल्य 100 + 40 = 140 है।

दूसरे विक्रेता द्वारा अर्जित लाभ उसके विक्रय मूल्य और उसके क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 140 - 130 = 10 है। दूसरे विक्रेता के लिए लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम उसके अपने क्रय मूल्य के सापेक्ष लाभ की गणना करते हैं:

लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(दूसरे विक्रेता के लिए क्रय मूल्य) × 100

लाभ प्रतिशत = ¹⁰⁄₁₃₀ × 100 = ¹⁰⁰⁄₁₃

100 को 13 से विभाजित करने पर, हमें भागफल के रूप में 7 और शेषफल के रूप में 9 प्राप्त होता है। इस प्रकार, लाभ प्रतिशत 7⁹⁄₁₃% है।

व्याख्या

sin⁴ A + cos⁴ A का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका sin⁴ A + cos⁴ A = (sin² A + cos² A)² - 2 sin² A cos² A का उपयोग करते हैं। चूँकि sin² A + cos² A = 1 है, इसलिए यह सरल होकर 1 - 2 sin² A cos² A हो जाता है।

सबसे पहले, दिए गए समीकरण sin A + cos A = (1)/(2√(2)) का वर्ग करें: (sin A + cos A)² = ((1)/(2√(2)))² sin² A + cos² A + 2 sin A cos A = ⅛ 1 + 2 sin A cos A = ⅛ 2 sin A cos A = ⅛ - 1 = -⅞ sin A cos A = -⁷⁄₁₆

अब, sin⁴ A + cos⁴ A की सर्वसमिका में sin A cos A का मान प्रतिस्थापित करें: sin⁴ A + cos⁴ A = 1 - 2 (sin A cos A)² sin⁴ A + cos⁴ A = 1 - 2 (-⁷⁄₁₆)² sin⁴ A + cos⁴ A = 1 - 2 (⁴⁹⁄₂₅₆) sin⁴ A + cos⁴ A = 1 - ⁴⁹⁄₁₂₈ sin⁴ A + cos⁴ A = (128 - 49)/(128) = ⁷⁹⁄₁₂₈

व्याख्या

सबसे पहले, हम विभिन्न चतुर्थांशों में कोणों के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को लागू करते हैं: cos(90° - θ) = sin θ sin(90° + θ) = cos θ sin²(90° + θ) = (cos θ)² = cos² θ cos²(90° - θ) = (sin θ)² = sin² θ

इन्हें व्यंजक के अंश (numerator) में प्रतिस्थापित करने पर: अंश = 4sin θ cos² θ - 4cos θ sin² θ अंश = 4sin θ cos θ (cos θ - sin θ)

अब, हर (denominator) को सरल करते हैं: cos((180° + θ)/(2)) = cos(90° + (θ)/(2)) = -sin((θ)/(2))

चूंकि दिए गए विकल्प अचर (constants) हैं, इसलिए व्यंजक का मान θ से स्वतंत्र होना चाहिए। हम θ के लिए एक विशिष्ट मान प्रतिस्थापित करके इस अचर को निर्धारित कर सकते हैं। माना θ = 90°: अंश = 4sin 90° cos² 90° - 4cos 90° sin² 90° = 4(1)(0)² - 4(0)(1)² = 0 हर = cos((180° + 90°)/(2)) = cos(135°) = -(1)/(√(2))

θ = 90° पर व्यंजक का मान है: (0)/(-1/√(2)) = 0

एक अन्य मान का परीक्षण करने पर, जैसे कि θ = 45°: अंश = 4sin 45° cos² 45° - 4cos 45° sin² 45° चूंकि sin 45° = cos 45° = (1)/(√(2)), पद समान हैं: अंश = 4((1)/(√(2)))(½) - 4((1)/(√(2)))(½) = 0 हर = cos(112.5°) ≠ 0

चूंकि इन बिंदुओं के लिए व्यंजक का मान 0 प्राप्त होता है, इसलिए व्यंजक का अचर मान 0 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a³ + 3a² + 3a = 7 है। समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर, हम बाईं ओर पूर्ण घन बना सकते हैं:

a³ + 3a² + 3a + 1 = 7 + 1

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ का उपयोग करके, हम बाईं ओर को (a + 1)³ के विस्तार के रूप में पहचान सकते हैं:

(a + 1)³ = 8

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

a + 1 = 2 a = 1

हमें a² + 2a का मान ज्ञात करना है। इस व्यंजक में a = 1 रखने पर:

1² + 2(1) = 1 + 2 = 3

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI), मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर होता है। SI = 1230 - 1040 = 190 समय T, 1.5 वर्ष या ³⁄₂ वर्ष है।

ब्याज की दर के सूत्र का उपयोग करने पर: R = (SI × 100)/(P × T) R = (190 × 100)/(1040 × 1.5) R = ¹⁹⁰⁰⁰⁄₁₅₆₀ R = ¹⁹⁰⁰⁄₁₅₆

अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करने पर: R = ⁴⁷⁵⁄₃₉

इसे मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए: 475 = 39 × 12 + 7 R = 12⁷⁄₃₉%

व्याख्या

समांतर माध्य - हरात्मक माध्य (AM-HM) असमिका के अनुसार, धनात्मक वास्तविक संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए, समांतर माध्य हमेशा हरात्मक माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है। तीन धनात्मक संख्याओं x, y और z के लिए, इस असमिका को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(x + y + z)/(3) ≥ 3 / (1/x + 1/y + 1/z)

दिए गए प्रतिबंध x + y + z = 1 के अनुसार, हम समांतर माध्य के अंश में इस मान को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

1/3 ≥ 3 / (1/x + 1/y + 1/z)

व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम व्युत्क्रमों के योग को हल करने के लिए असमिका को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

1/x + 1/y + 1/z ≥ 3 × 3

1/x + 1/y + 1/z ≥ 9

न्यूनतम मान 9 तब प्राप्त होता है जब x = y = z हो। चूंकि उनका योग 1 है, इसलिए यह तब संभव है जब x = y = z = 1/3 हो। इन मानों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर हमें 3 + 3 + 3 = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं x और y के मध्यानुपाती को उनके गुणनफल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे सूत्र √(x · y) द्वारा दर्शाया जाता है। इस सूत्र में दिए गए मानों 8a² और 18 / a⁴ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें √(8a² · (18)/(a⁴)) प्राप्त होता है। वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर, गुणनफल (144a²)/(a⁴) प्राप्त होता है, जो सरल होकर (144)/(a²) हो जाता है। इस भिन्न का वर्गमूल लेने पर √(144)/√(a²) प्राप्त होता है। चूंकि a एक धनात्मक संख्या है, इसलिए a² का वर्गमूल a है और 144 का वर्गमूल 12 है। इसलिए, मध्यानुपाती 12 / a है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण पर योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर, हमें (2 sec α) / (2 tan α) = (7 + 4) / (7 - 4) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर sec α / tan α = 11/3 प्राप्त होता है। चूंकि sec α / tan α = (1 / cos α) / (sin α / cos α) = 1 / sin α = cosec α है, इसलिए मान 11/3 है।