एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक शंक्वाकार पानी की टंकी का आयतन मानक सूत्र V = ⅓π r²h का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, जहाँ V आयतन को दर्शाता है, r आधार की त्रिज्या है, और h ऊंचाई है। सूत्र में दिए गए मानों V = 46,200 मीटर³, r = 70 मीटर, और π = ²²⁄₇ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

46200 = ⅓ × ²²⁄₇ × 70 × 70 × h

समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल करने के लिए, हर (denominator) में स्थित 7, 70 के एक गुणनखंड को विभाजित करके 10 कर देता है:

46200 = ⅓ × 22 × 10 × 70 × h

46200 = ¹⁵⁴⁰⁰⁄₃ × h

इसके बाद, दोनों पक्षों को 3 से गुणा करके और 15,400 से विभाजित करके h को अलग करें:

h = (46200 × 3)/(15400)

चूंकि 46,200 को 15,400 से विभाजित करने पर ठीक 3 प्राप्त होता है, इसलिए गणना इस प्रकार सरल हो जाती है:

h = 3 × 3

h = 9 मीटर

व्याख्या

दिए गए अनुपातों A:B और B:C से संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, उभयनिष्ठ पद B के मान को समान करना होगा। इसे अनुपातों a:b और c:d को संयोजित करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

A:B:C = (a × c) : (b × c) : (b × d)

दिया गया है: A:B = 6:8 B:C = 5:10

इन मानों (a=6, b=8, c=5, d=10) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: A:B:C = (6 × 5) : (8 × 5) : (8 × 10) A:B:C = 30 : 40 : 80

परिणाम को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को महत्तम समापवर्तक (GCD) से विभाजित करें, जो कि 10 है: A:B:C = 3 : 4 : 8

वैकल्पिक रूप से, पहले अलग-अलग अनुपातों को सरल करने पर A:B = 3:4 और B:C = 1:2 प्राप्त होता है। पहले अनुपात में B के मान से मिलान करने के लिए दूसरे अनुपात के पदों को 4 से गुणा करने पर B:C = 4:8 प्राप्त होता है। इन्हें संयोजित करने पर वही सतत अनुपात 3:4:8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, वर्गाकार कोष्ठक (square bracket) के अंदर के पदों का मान ज्ञात कीजिए। उप-व्यंजक (70 - 60 ÷ 2 का 6) में, 'का' (of) संक्रिया पहले की जाती है, जिससे 2 × 6 = 12 प्राप्त होता है। इसके बाद भाग करने पर 60 ÷ 12 = 5 प्राप्त होता है, और घटाने पर 70 - 5 = 65 प्राप्त होता है। उप-व्यंजक (20 - 10) ÷ 10 में, कोष्ठक को पहले हल करने पर 10 प्राप्त होता है, जिसके बाद भाग करने पर 10 ÷ 10 = 1 प्राप्त होता है। इन परिणामों को जोड़ने पर 65 + 1 = 66 प्राप्त होता है।

दूसरा, व्यंजक के शेष भाग को सरल कीजिए। 600 ÷ 25 का (2 × 3) में, कोष्ठक को पहले हल करने पर 6 प्राप्त होता है, फिर 'का' संक्रिया से 25 × 6 = 150 प्राप्त होता है। भाग करने पर 600 ÷ 150 = 4 प्राप्त होता है। इस परिणाम को अगले पद (2 का 3) से गुणा किया जाता है, जो कि 6 है, जिससे 4 × 6 = 24 प्राप्त होता है। अंत में, 2 का 5 = 10 की गणना कीजिए।

सरलीकृत घटकों को मिलाने पर 66 + 24 + 10 = 100 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की गति x किमी/घंटा है और धारा की गति y किमी/घंटा है। धारा के प्रतिकूल गति U = x - y है और धारा के अनुकूल गति D = x + y है।

पहली शर्त से, नाव धारा के प्रतिकूल 78 किमी और धारा के अनुकूल 78 किमी की यात्रा 32 घंटे में करती है: (78)/(U) + (78)/(D) = 32 2 से विभाजित करने पर: (39)/(U) + (39)/(D) = 16 — (समीकरण 1)

दूसरी शर्त से, नाव धारा के प्रतिकूल 15 किमी और धारा के अनुकूल 52 किमी की यात्रा 9 घंटे में करती है: (15)/(U) + (52)/(D) = 9 — (समीकरण 2)

इन समीकरणों को हल करने के लिए, धारा के अनुकूल गुणांकों को संरेखित करने के लिए समीकरण 1 को 4 से और समीकरण 2 को 3 से गुणा करें: 4 × ((39)/(U) + (39)/(D)) = 64 ⟹ (156)/(U) + (156)/(D) = 64 3 × ((15)/(U) + (52)/(D)) = 27 ⟹ (45)/(U) + (156)/(D) = 27

दोनों परिणामों को घटाने पर: (111)/(U) = 37 ⟹ U = ¹¹¹⁄₃₇ = 3 किमी/घंटा

समीकरण 2 में U = 3 प्रतिस्थापित करने पर: ¹⁵⁄₃ + (52)/(D) = 9 ⟹ 5 + (52)/(D) = 9 ⟹ (52)/(D) = 4 ⟹ D = 13 किमी/घंटा

शांत जल में नाव की गति x, धारा के अनुकूल और प्रतिकूल गतियों का औसत है: x = (D + U)/(2) = (13 + 3)/(2) = 8 किमी/घंटा

शांत जल में 12 घंटे में नाव द्वारा तय की गई दूरी है: दूरी = x × समय = 8 × 12 = 96 किमी

व्याख्या

त्रिभुज ACB में, चूँकि वृत्त C, वृत्तों A और B को बाह्य रूप से स्पर्श करता है, इसलिए केंद्रों के बीच की दूरियाँ उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होंगी। इसलिए, AC = 2 + r और BC = 1 + r। प्रश्न के अनुसार, ∠ ACB = 90° है और केंद्रों A और B के बीच की दूरी AB = 5 सेमी है। समकोण त्रिभुज ACB में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

AC² + BC² = AB²

भुजाओं के मान प्रतिस्थापित करने पर:

(2 + r)² + (1 + r)² = 5²

पदों का विस्तार करने पर:

4 + 4r + r² + 1 + 2r + r² = 25

समान पदों को संयोजित करने और समीकरण को सरल बनाने पर:

2r² + 6r + 5 = 25 2r² + 6r - 20 = 0 r² + 3r - 10 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर (r + 5)(r - 2) = 0 प्राप्त होता है। r के लिए हल करने पर, r = -5 या r = 2 प्राप्त होता है। चूँकि त्रिज्या हमेशा एक धनात्मक लंबाई होनी चाहिए, इसलिए r का मान 2 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए a = x - y, b = y - z, और c = z - x है। इन तीनों चरों का योग करने पर a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0 प्राप्त होता है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) के अनुसार, यदि तीन चरों का योग शून्य है, तो उनके घनों का योग उनके गुणनफल के तीन गुना के बराबर होता है (a³ + b³ + c³ = 3abc)।

दिए गए व्यंजक के अंश पर इस सर्वसमिका को लागू करने पर, (x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ सरल होकर 3(x - y)(y - z)(z - x) हो जाता है। मूल व्यंजक में इस सरलीकृत रूप को प्रतिस्थापित करने पर (3(x - y)(y - z)(z - x))/((x - y)(y - z)(z - x)) प्राप्त होता है। अंश और हर से उभयनिष्ठ पदों (x - y)(y - z)(z - x) को निरस्त करने पर, व्यंजक का मान 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। इस व्यंजक में दिए गए मानों x = 10 और y = 15 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना 10 + 15 - (10 × 15)/(100) हो जाती है। यह सरल होकर 25 - 1.5 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एकल समतुल्य छूट 23.5% प्राप्त होती है। यह विधि मूल मूल्य के सापेक्ष दो प्रतिशत कटौतियों को प्रभावी ढंग से एक संचयी दर में संयोजित करती है।

व्याख्या

माना कि धीमी गति वाले पाइप की कार्यक्षमता x है। चूंकि तेज गति वाला पाइप टंकी को ढाई गुना अधिक तेजी से भरता है, इसलिए इसकी कार्यक्षमता 2.5x है। एक साथ काम करने वाले दोनों पाइपों की संयुक्त कार्यक्षमता x + 2.5x = 3.5x है। टंकी की कुल क्षमता संयुक्त कार्यक्षमता और इसे एक साथ भरने में लगने वाले समय का गुणनफल है। कुल क्षमता = 3.5x × 20 = 70x। अकेले तेज गति वाले पाइप द्वारा टंकी को भरने में लिया गया समय कुल क्षमता को उसकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है। समय = 70x / 2.5x = 70 / 2.5 = 28 मिनट। इसे अनुपातों का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है। तेज गति वाले पाइप और धीमी गति वाले पाइप की कार्यक्षमताओं का अनुपात 2.5:1 है, जो सरल होकर 5:2 हो जाता है। संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 2 = 7 इकाई प्रति मिनट है। कुल कार्य 7 × 20 = 140 इकाई है। तेज गति वाले पाइप द्वारा लिया गया समय 140 / 5 = 28 मिनट है।

व्याख्या

सर्वांगसम त्रिभुजों Δ PQR और Δ ABC में, संगत भाग बराबर होते हैं (CPCT)। संगति PQR ↔ ABC को देखते हुए, भुजा PQ भुजा AB के संगत है, और कोण ∠ R कोण ∠ C के संगत है।

सबसे पहले, त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म का उपयोग करके Δ ABC में ∠ C का मान ज्ञात कीजिए: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° 70° + 50° + ∠ C = 180° 120° + ∠ C = 180° ∠ C = 60°

सर्वांगसमता संबंध Δ PQR ≅ Δ ABC से: PQ = AB = 6 cm ∠ R = ∠ C = 60°

इसलिए, स्थिति QP = 6 cm और ∠ R = 60° सत्य है।

व्याख्या

मान लीजिए कि चाय के कपों की संख्या t है और कॉफी के कपों की संख्या c है। चूंकि रमा ने 7 मित्रों के लिए पेय खरीदे, इसलिए कपों की कुल संख्या t + c = 7 है। इन पेयों की कुल लागत समीकरण 30t + 40c = 240 द्वारा दी गई है, जहाँ 30 और 40 क्रमशः चाय और कॉफी की कीमतें हैं। पहले समीकरण से, हम कॉफी के कपों की संख्या को c = 7 - t के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसे लागत समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 30t + 40(7 - t) = 240 प्राप्त होता है। पदों का विस्तार करने पर 30t + 280 - 40t = 240 प्राप्त होता है, जो सरल होकर -10t = 240 - 280, या -10t = -40 हो जाता है। दोनों पक्षों को -10 से विभाजित करने पर, हमें t = 4 प्राप्त होता है। इस प्रकार, उसने चाय के 4 कप खरीदे।

व्याख्या

मान लीजिए कि बड़े वृत्त की त्रिज्या R है और छोटे वृत्त की त्रिज्या r है। इन दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच के वलयाकार भाग का क्षेत्रफल सूत्र A = π R² - π r² = π(R² - r²) द्वारा दिया जाता है।

बड़े वृत्त की एक जीवा जो छोटे वृत्त की स्पर्शरेखा है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है। चूंकि जीवा की लंबाई 20 सेमी है, इसलिए जीवा के प्रत्येक आधे भाग की माप 10 सेमी है। छोटे वृत्त की त्रिज्या r, जीवा की आधी लंबाई 10 सेमी और कर्ण के रूप में बड़े वृत्त की त्रिज्या R द्वारा एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, संबंध R² = r² + 10² है, जो सरल होकर R² - r² = 100 हो जाता है। इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = π(100) = 100π सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (1)/(a²) + (1)/(b²) + (2)/(ab) मानक बीजगणितीय सर्वसमिका x² + y² + 2xy = (x + y)² के रूप में है, जहाँ x = ¹⁄ₐ और y = (1)/(b) है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (¹⁄ₐ + (1)/(b))²

कोष्ठक के भीतर के पदों को जोड़ने के लिए, हम एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं: ¹⁄ₐ + (1)/(b) = (b + a)/(ab)

प्रश्न में दिया गया है कि a + b = 1 है। भिन्न के अंश में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (1)/(ab)

अंत में, मूल व्यंजक की गणना को पूरा करने के लिए इस मान का वर्ग करने पर: ((1)/(ab))² = (1)/(a²b²)

व्याख्या

एक बेलन का आयतन V, सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। प्रश्न के अनुसार, त्रिज्या r, 4 इकाई है। व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है, इसलिए d = 2 × 4 = 8 इकाई। चूँकि ऊँचाई व्यास के बराबर है, इसलिए h = 8 इकाई। इन मानों को सूत्र में रखने पर V = π × 4² × 8 प्राप्त होता है। वर्ग और गुणनफल की गणना करने पर परिणाम V = π × 16 × 8 = 128π घन इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

1 वर्ष में देय ₹9,810 का ऋण कुल मिश्रधन (A) को दर्शाता है, जिसमें मूलधन (वर्तमान मूल्य - Present Worth) और एक वर्ष का साधारण ब्याज शामिल है। हम सबसे पहले मानक सूत्र का उपयोग करके वर्ष की शुरुआत में ऋण के वर्तमान मूल्य (PW) की गणना करते हैं:

PW = (A)/(1 + RT)

दिए गए मानों A = 9810, R = 9% = 0.09, और T = 1 वर्ष को रखने पर:

PW = (9810)/(1 + (0.09 × 1)) = (9810)/(1.09) = 9000

व्यापारी 6 महीने (0.5 वर्ष) बाद खाते का निपटान करना चाहता है। उस समय आवश्यक नकद भुगतान, वर्तमान मूल्य और उन 6 महीनों में अर्जित होने वाले ब्याज का योग होगा:

भुगतान (Payment) = PW × (1 + R × T_settle)

भुगतान = 9000 × (1 + 0.09 × 0.5)

भुगतान = 9000 × (1 + 0.045) = 9000 × 1.045 = 9405

खाते का निपटान करने के लिए व्यापारी को ₹9,405 का भुगतान करना चाहिए।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (tan(x))/(sec(x)) सरल होकर sin(x) हो जाता है क्योंकि (sin(x)/cos(x))/(1/cos(x)) = sin(x) है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin(x) = ½ प्राप्त होता है।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (sin(x) + cos(x))² है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)² = a² + b² + 2ab और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²(x) + cos²(x) = 1 का उपयोग करके इसका विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: (sin(x) + cos(x))² = sin²(x) + cos²(x) + 2sin(x)cos(x) = 1 + sin(2x)

मुख्य मान के लिए जहाँ sin(x) = ½ है, कोण x, 30° है। इस मान को व्यंजक के सरलीकृत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + sin(2 · 30°) = 1 + sin(60°) = 1 + √3{2} = 2 + √3{2}

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ त्रिज्या r कर्ण है, केंद्र से लंबवत दूरी d एक भुजा है, और जीवा की आधी लंबाई c/2 दूसरी भुजा है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: r² = (c/2)² + d²

दिया गया है कि जीवा की लंबाई c = 50 सेमी और लंबवत दूरी d = 21 सेमी है: जीवा की आधी लंबाई = 50 / 2 = 25 सेमी

सूत्र में मान रखने पर: r² = 25² + 21² r² = 625 + 441 r² = 1066 r = √(1066) सेमी

व्याख्या

वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर हमेशा लंबवत होती है। यह गुण एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ त्रिज्या r और स्पर्श रेखा की लंबाई L भुजाएँ हैं, और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी d कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

r² + L² = d²

समीकरण में दिए गए मानों r = 8 सेमी और d = 17 सेमी को रखने पर:

8² + L² = 17² 64 + L² = 289 L² = 289 - 64 L² = 225 L = √(225) = 15 सेमी

पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) को पहचानकर भी गणना को सरल बनाया जा सकता है, जो सीधे स्पर्श रेखा की लंबाई को 15 सेमी के रूप में दर्शाता है।

व्याख्या

मिश्रण को चाय की तीन किस्मों को 1:1:2 के अनुपात में मिलाकर बनाया गया है। माना तीसरी किस्म का मूल्य x रुपये प्रति किग्रा है। मिश्रण के मूल्य के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करने पर:

Pₘᵢₓ = (w₁ P₁ + w₂ P₂ + w₃ P₃)/(w₁ + w₂ + w₃)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 350 = (1(250) + 1(300) + 2(x))/(1 + 1 + 2)

x के लिए समीकरण को हल करने पर: 350 = (250 + 300 + 2x)/(4) 350 × 4 = 550 + 2x 1400 = 550 + 2x 2x = 1400 - 550 2x = 850 x = 425

तीसरी किस्म के चाय पाउडर का मूल्य ₹425/किग्रा है।

व्याख्या

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक cos B(sec B - tan B) है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sec B = (1)/(cos B) और tan B = (sin B)/(cos B) का उपयोग करके, हम cos B को वितरित करके व्यंजक को सरल कर सकते हैं:

cos B(sec B - tan B) = cos B · (1)/(cos B) - cos B · (sin B)/(cos B)

सरलीकरण करने पर, व्यंजक के दोनों भागों में cos B के पद आपस में कट जाते हैं:

1 - sin B

हमें दिया गया है कि sin B = ¹⁵⁄₁₇ है। इस मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

1 - ¹⁵⁄₁₇ = (17 - 15)/(17) = ²⁄₁₇

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट का सूत्र D = x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों x = 10% और y = 16% को सूत्र में रखने पर: D = 10 + 16 - (10 × 16)/(100) D = 26 - ¹⁶⁰⁄₁₀₀ D = 26 - 1.6 D = 24.4%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक मूल्य 100 है, तो 10% की पहली छूट मूल्य को घटाकर 90 कर देती है। इसके बाद 16% की दूसरी छूट 90 पर लागू होती है, जो कि 90 × 0.16 = 14.4 है। कुल छूट 10 + 14.4 = 24.4 है, जो 100 के मूल मूल्य पर 24.4% की एकल छूट को दर्शाती है।

व्याख्या

ज्यामिति में मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने पर मूल त्रिभुज समान क्षेत्रफल वाले चार छोटे त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है। परिणामस्वरूप, △ PQR का क्षेत्रफल समबाहु त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का एक-चौथाई है।

भुजा की लंबाई s वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = √3{4}s²

△ ABC के लिए दी गई भुजा की लंबाई s = 11 सेमी रखने पर: क्षेत्रफल(△ ABC) = √3{4} × 11² = 121√3{4} सेमी²

चूंकि △ PQR, मध्य-बिंदुओं P, Q और R को मिलाने से बना है, इसलिए इसका क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल(△ PQR) = ¼ × क्षेत्रफल(△ ABC) = ¼ × 121√3{4} = 121√3{16} सेमी²

व्याख्या

सही उत्तर: d)

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष चाल उनकी व्यक्तिगत चालों का योग होती है। इस स्थिति में, P और Q की सापेक्ष चाल 10 मीटर/सेकंड + 8 मीटर/सेकंड = 18 मीटर/सेकंड है।

एक वृत्ताकार पथ पर पहली बार मिलने में उनके द्वारा लिया गया समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: समय = (दूरी)/(सापेक्ष चाल)। मिलने के लिए सापेक्ष रूप से तय की जाने वाली दूरी वृत्ताकार पथ की कुल लंबाई है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: समय = ¹⁶²⁰⁄₁₈ = 90 सेकंड

व्याख्या

दोनों पात्रों में विलयन में घटक A और B का अनुपात समान है। पहले पात्र में, A और B का अनुपात 252 : 441 दिया गया है। इस अनुपात को सरल करने के लिए, हम दोनों संख्याओं को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 63 से विभाजित करते हैं:

अनुपात A:B = ²⁵²⁄₆₃ : ⁴⁴¹⁄₆₃ = 4 : 7

दूसरे पात्र में कुल आयतन 1188 लीटर है। 4 : 7 के अनुपात के अनुसार, विलयन में कुल भागों की संख्या 4 + 7 = 11 है। एक भाग का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम कुल मात्रा को भागों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं:

1 भाग = ¹¹⁸⁸⁄₁₁ = 108 लीटर

दूसरे पात्र में घटक B की मात्रा को अनुपात के 7 भागों द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार, B का कुल आयतन है:

B की मात्रा = 7 × 108 = 756 लीटर

व्याख्या

रेखाखंड PQ की कुल लंबाई 10 सेमी पर स्थिर है। चूंकि R, PQ पर एक बिंदु है, इसलिए रेखाखंडों के बीच का संबंध PQ = PR + QR है। प्रारंभ में, PR = 6 सेमी होने पर, QR की लंबाई है: QR = PQ - PR = 10 - 6 = 4 सेमी

जब PR की लंबाई में 5% की वृद्धि की जाती है, तो नई लंबाई PR' की गणना इस प्रकार की जाती है: PR' = 6 + (0.05 × 6) = 6 + 0.3 = 6.3 सेमी

चूंकि बिंदु P और Q स्थिर हैं, इसलिए कुल दूरी PQ 10 सेमी ही रहती है। इसलिए, नई लंबाई QR' है: QR' = PQ - PR' = 10 - 6.3 = 3.7 सेमी

QR की लंबाई में वास्तविक कमी 4 - 3.7 = 0.3 सेमी है। QR की मूल लंबाई के सापेक्ष प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत कमी = (कमी)/(मूल लंबाई) × 100 प्रतिशत कमी = (0.3)/(4) × 100 = 7.5%

व्याख्या

प्रति मिनट किया गया कुल (नेट) कार्य, भरने की दर और खाली करने की दर के बीच का अंतर है। मान लीजिए कि टंकी की कुल क्षमता 5 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 30 इकाई है। भरने वाला पाइप प्रति मिनट 30 / 5 = 6 इकाई जोड़ता है, और खाली करने वाला पाइप प्रति मिनट 30 / 6 = 5 इकाई निकालता है। जब दोनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो कुल भरने की दर 6 - 5 = 1 इकाई प्रति मिनट होती है। टंकी को भरने के लिए आवश्यक समय कुल क्षमता को कुल दर से विभाजित करके प्राप्त होता है, जिसकी गणना 30 / 1 = 30 मिनट के रूप में की जाती है। कार्य दर सूत्र 1/T = 1/x - 1/y का उपयोग करने पर, जहाँ x = 5 और y = 6 है, हमें 1/T = 1/5 - 1/6 = (6 - 5) / 30 = 1/30 प्राप्त होता है, जिससे T = 30 मिनट मिलता है।

व्याख्या

रमेश का लाभ मूल्य वृद्धि और गलत वजन के उपयोग दोनों से होता है। 1 किलोग्राम (1000 ग्राम) चावल का क्रय मूल्य ₹30 है। चूंकि वह ग्राहक को केवल 800 ग्राम ही देता है, इसलिए इस लेनदेन के लिए उसका वास्तविक क्रय मूल्य (CP) है: वास्तविक CP = ³⁰⁄₁₀₀₀ × 800 = 24 वह इस 800 ग्राम मात्रा को ₹36 में बेचता है, और यह दिखाता है कि यह 1 किलोग्राम है। इस लेनदेन पर अर्जित लाभ विक्रय मूल्य और उसके वास्तविक क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 36 - 24 = 12 वास्तविक लाभ प्रतिशत की गणना इस लाभ को वास्तव में वितरित की गई वस्तुओं की लागत से विभाजित करके की जाती है: लाभ % = ( ¹²⁄₂₄ ) × 100 = 50% इसकी गणना अनुपात विधि का उपयोग करके भी की जा सकती है। मूल्य अनुपात (SP/CP) 36/30 = 6/5 है और वजन अनुपात (अंकित/वास्तविक) 1000/800 = 5/4 है। इन अनुपातों को गुणा करने पर अंतिम अनुपात ⁶⁄₅ × ⁵⁄₄ = ⁶⁄₄ = ³⁄₂ प्राप्त होता है। 3/2 का अनुपात 2 इकाइयों की लागत पर 1 इकाई का लाभ दर्शाता है, जो कि 50% है।

व्याख्या

किसी संख्या के 5 से विभाज्य होने के लिए, उसका अंतिम अंक y या तो 0 या 5 होना चाहिए। हालांकि, संख्या 8 से भी विभाज्य होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह एक सम संख्या होनी चाहिए। इसलिए, y का मान 0 होना चाहिए।

8 की विभाज्यता का नियम कहता है कि संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए। संख्या 62684xy में, अंतिम तीन अंक 4x0 हैं। हमें एक ऐसा अंक x ज्ञात करना होगा जिससे तीन अंकों की संख्या 4x0, 8 से विभाज्य हो।

हम 4x0 को 400 + 10x के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूंकि 400 पहले से ही 8 से विभाज्य है (400 = 8 × 50), इसलिए पद 10x भी 8 से विभाज्य होना चाहिए। x के संभावित एकल-अंकीय मानों में से, यदि x = 4 है, तो 10x = 40 होगा, और 40, 8 से विभाज्य है (40 = 8 × 5)। इस प्रकार, अंतिम तीन अंक 440 हो जाते हैं, और 440 ÷ 8 = 55 होता है। यह पुष्टि करता है कि x = 4 और y = 0 दोनों विभाज्यता शर्तों को पूरा करते हैं।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों के निकाय a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ का कोई हल न होने के लिए, रेखाएँ समानांतर और भिन्न होनी चाहिए। यह तब होता है जब निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) ≠ (c₁)/(c₂)

दिए गए समीकरणों से, हमारे पास है: a₁ = 1, b₁ = -a, c₁ = 2 - a a₂ = 1 - a, b₂ = 6, c₂ = a + b

सबसे पहले, x और y के गुणांकों के अनुपातों की तुलना करें: (1)/(1 - a) = ⁻ᵃ⁄₆ 6 = -a(1 - a) 6 = -a + a² a² - a - 6 = 0 (a - 3)(a + 2) = 0

इससे a = 3 या a = -2 प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के साथ इनका मिलान करने पर, हम a = 3 का उपयोग करते हैं।

इसके बाद, a = 3 का उपयोग करके अचर पदों (constant terms) के लिए शर्त की जाँच करें: (b₁)/(b₂) ≠ (c₁)/(c₂) ⁻³⁄₆ ≠ (2 - 3)/(3 + b) -½ ≠ (-1)/(3 + b) 3 + b ≠ 2 b ≠ -1

जब a = 3 होता है, तो गुणांकों का अनुपात -1/2 होता है। निकाय का कोई हल न होने के लिए, अचर पदों का अनुपात -1/2 के बराबर नहीं होना चाहिए, जो तब होता है जब b ≠ -1 हो। अतः a = 3, b ≠ -1 (विकल्प B)।

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, धारा के अनुकूल 10 किमी जाने में लगा समय, धारा के प्रतिकूल 4 किमी जाने में लगे समय के बराबर है। चूंकि समय स्थिर है, इसलिए अनुकूल गति D और प्रतिकूल गति U का अनुपात तय की गई दूरियों के अनुपात के बराबर है: D : U = 10 : 4 = 5 : 2. माना D = 5k और U = 2k.

30 किमी की आने-जाने की यात्रा का कुल समय 14 घंटे है। यह धारा के अनुकूल जाने और धारा के प्रतिकूल वापस आने में लगे समय का योग है: (30)/(D) + (30)/(U) = 14 D और U के मान रखने पर: ³⁰⁄₅ₖ + ³⁰⁄₂ₖ = 14 ⁶⁄ₖ + ¹⁵⁄ₖ = 14 ²¹⁄ₖ = 14 k = ²¹⁄₁₄ = ³⁄₂

k = ³⁄₂ का मान रखने पर, हमें D = 5 × ³⁄₂ = ¹⁵⁄₂ किमी/घंटा और U = 2 × ³⁄₂ = 3 किमी/घंटा प्राप्त होता है। धारा की गति v, अनुकूल और प्रतिकूल गतियों के अंतर की आधी होती है: v = (D - U)/(2) = (15)/(2) - 3{2} = (9)/(2){2} = ⁹⁄₄

व्याख्या

व्यंजक (17¹³ - 21) ÷ 18 के शेषफल की गणना मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों का उपयोग करके कुशलतापूर्वक की जा सकती है। हम भाजक 18 के सापेक्ष व्यंजक के प्रत्येक भाग का मूल्यांकन करते हैं।

पहले पद, 17¹³ 18 के लिए, हम ध्यान देते हैं कि 17 ≡ -1 18 है। घात वाले व्यंजक में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 17¹³ ≡ (-1)¹³ 18 चूंकि घातांक 13 विषम है, इसलिए (-1)¹³ = -1 है। इसलिए, 17¹³ ≡ -1 18।

दूसरे पद के लिए, हम 18 के सापेक्ष 21 को सरल करते हैं: 21 ≡ 3 18

अब, इन परिणामों को वापस मूल व्यंजक में संयोजित करने पर: 17¹³ - 21 ≡ -1 - 3 18 17¹³ - 21 ≡ -4 18

मॉड्यूलर अंकगणित में, भाजक को जोड़कर एक ऋणात्मक शेषफल को धनात्मक शेषफल में परिवर्तित किया जाता है। परिणाम में 18 जोड़ने पर: -4 + 18 = 14

इस प्रकार, अंतिम शेषफल 14 है।

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को भाग, गुणा, जोड़ और फिर घटाव के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, भाग की संक्रिया करें: 16 ÷ 2 = 8 15 ÷ 3 = 5

इन मानों को वापस व्यंजक में रखें: 8 - 7 × 5 + 5 × 5 + 4 × 3 - 10

इसके बाद, गुणा की संक्रिया करें: 7 × 5 = 35 5 × 5 = 25 4 × 3 = 12

इन मानों को वापस व्यंजक में रखें: 8 - 35 + 25 + 12 - 10

अब, जोड़ और घटाव करने के लिए धनात्मक और ऋणात्मक पदों को एक साथ समूहित करें: धनात्मक पदों का योग: 8 + 25 + 12 = 45 ऋणात्मक पदों का योग: -35 - 10 = -45

अंतिम गणना इस प्रकार है: 45 - 45 = 0

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = 2π rh द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है। यह दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 880 सेमी² है, हम π = 22/7 का उपयोग करके ज्ञात मानों को सूत्र में रख सकते हैं:

880 = 2 × ²²⁄₇ × rh

त्रिज्या और ऊंचाई (rh) का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, पद rh को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

880 = ⁴⁴⁄₇ × rh

rh = (880 × 7)/(44)

rh = 20 × 7

rh = 140 सेमी²

व्याख्या

एक घड़ी की मिनट की सुई 60 मिनट में एक पूरा चक्कर लगाती है, जो 2π रेडियन को दर्शाता है। किसी विशिष्ट अवधि में घूमे गए कोण को ज्ञात करने के लिए, हम पूर्ण घूर्णन के उस हिस्से की गणना करते हैं जो बीते हुए समय के संगत है।

मिनट की सुई की कोणीय गति निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: कोणीय गति = (कुल कोण)/(कुल समय) = (2π)/(60) = (π)/(30) रेडियन प्रति मिनट

25 मिनट में घूमे गए कोण θ को ज्ञात करने के लिए, हम कोणीय गति को समयावधि से गुणा करते हैं: θ = 25 × (π)/(30)

व्यंजक को सरल करके और 25 तथा 30 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 5 है, से विभाजित करके, हम इस परिणाम पर पहुँचते हैं: θ = (5π)/(6) रेडियन

यह गणना निर्दिष्ट 25 मिनट के अंतराल में मिनट की सुई के कुल कोणीय विस्थापन की पुष्टि करती है।

व्याख्या

पूरी कक्षा के औसत अंक की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र A = (n₁x₁ + n₂x₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके की जाती है। इस प्रश्न में, n₁ = 12 छात्रों का औसत अंक x₁ = 62 है, और शेष n₂ = 30 - 12 = 18 छात्रों का औसत अंक x₂ = 72 है।

गणना को सरल बनाने के लिए, छात्रों की संख्या के अनुपात का उपयोग किया जा सकता है: n₁ : n₂ = 12 : 18, जो घटकर 2 : 3 हो जाता है। इन मानों को भारित औसत सूत्र में रखने पर:

A = (2 × 62 + 3 × 72)/(2 + 3)

A = (124 + 216)/(5)

A = ³⁴⁰⁄₅ = 68

वैकल्पिक रूप से, कक्षा का कुल अंक दोनों समूहों के अंकों का योग है। पहला समूह 12 × 62 = 744 अंकों का योगदान देता है, और दूसरा समूह 18 × 72 = 1296 अंकों का योगदान देता है। अंकों का कुल योग 744 + 1296 = 2040 है। इस कुल योग को कक्षा के 30 छात्रों से विभाजित करने पर 2040 / 30 = 68 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में m = a sec A और y = b tan A प्रतिस्थापित करने पर। पहले दो पदों के लिए, b² m² - a² y² = b² (a sec A)² - a² (b tan A)² = a² b² sec² A - a² b² tan² A = a² b² (sec² A - tan² A)। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - tan² A = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक का यह भाग सरल होकर a² b² हो जाता है।

तीसरे पद का मान इस प्रकार निकाला जाता है: (a² y²)/(b² m²) = (a² (b tan A)²)/(b² (a sec A)²) = (a² b² tan² A)/(a² b² sec² A) = (tan² A)/(sec² A)। इन्हें साइन (sine) और कोसाइन (cosine) में बदलने पर, हमें (sin² A / cos² A)/(1 / cos² A) = sin² A प्राप्त होता है। इसे व्यंजक के अंतिम पद के साथ मिलाने पर, हमें sin² A + cos² A प्राप्त होता है। सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 लागू करने पर, संपूर्ण व्यंजक का योग a² b² + 1 हो जाता है।

व्याख्या

जब दो पाइप P और Q एक टैंक को क्रमशः t₁ और t₂ समय में भरते हैं, तो दोनों को एक साथ खोलने पर टैंक को भरने में लगने वाला समय सूत्र T = (t₁ × t₂) / (t₁ + t₂) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों t₁ = 36 मिनट और t₂ = 45 मिनट को प्रतिस्थापित करने पर:

T = (36 × 45) / (36 + 45) T = 1620 / 81 T = 20 मिनट

वैकल्पिक रूप से, एलसीएम (LCM) विधि का उपयोग करते हुए, मान लें कि टैंक की क्षमता 36 और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 180 इकाई है। पाइप P की कार्यक्षमता (प्रति मिनट कार्य) 180 / 36 = 5 इकाई प्रति मिनट है। पाइप Q की कार्यक्षमता 180 / 45 = 4 इकाई प्रति मिनट है। दोनों पाइपों की संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 4 = 9 इकाई प्रति मिनट है। टैंक को भरने में लगा कुल समय कुल क्षमता को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 180 / 9 = 20 मिनट।

व्याख्या

व्यापारिक छूट की गणना खरीदी गई वस्तुओं के कुल सूची मूल्य पर की जाती है। डीलर ने 25,000 रुपये प्रति फोन की दर से 6 स्मार्ट फोन खरीदे।

कुल सूची मूल्य = इकाइयों की संख्या × प्रति इकाई मूल्य कुल सूची मूल्य = 6 × 25,000 = 1,50,000

निर्माता इस कुल राशि पर 30% की व्यापारिक छूट प्रदान करता है।

व्यापारिक छूट = कुल सूची मूल्य × छूट की दर व्यापारिक छूट = 1,50,000 × ³⁰⁄₁₀₀ व्यापारिक छूट = 1,500 × 30 = 45,000

अतः, डीलर को दी जाने वाली व्यापारिक छूट की कुल राशि रु. 45,000 है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती की गणना गुणोत्तर माध्य सूत्र √(a × b) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों 12.96 और 0.16 के लिए, मध्यानुपाती √(12.96 × 0.16) है।

इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, गुणधर्म √(x × y) = √x × √y का उपयोग करके प्रत्येक गुणनखंड का वर्गमूल अलग-अलग ज्ञात कीजिए। चूंकि 36² = 1296 है, इसलिए 12.96 का वर्गमूल 3.6 है। इसी प्रकार, चूंकि 4² = 16 है, इसलिए 0.16 का वर्गमूल 0.4 है।

इन दोनों वर्गमूलों को गुणा करने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है: 3.6 × 0.4 = 1.44

वैकल्पिक रूप से, दशमलव को भिन्न में बदलकर: √(¹²⁹⁶⁄₁₀₀ × ¹⁶⁄₁₀₀) = √(1296) × √(16){√(10000)} = (36 × 4)/(100) = ¹⁴⁴⁄₁₀₀ = 1.44

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। चूंकि Δ RST, Δ ABC के समरूप है, इसलिए उनके परिमापों का अनुपात भुजा RS और भुजा AB के अनुपात के संगत होता है। यह संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है:

(Δ RST का परिमाप)/(Δ ABC का परिमाप) = (RS)/(AB)

समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

²⁶⁄₃₉ = (RS)/(24)

भिन्न ²⁶⁄₃₉ को अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 13 से विभाजित करके सरल किया जा सकता है:

⅔ = (RS)/(24)

RS का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 24 से गुणा करें:

RS = ⅔ × 24

RS = 2 × 8

RS = 16 सेमी

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार, सभी तीन आंतरिक कोणों का योग ठीक 180° होना चाहिए। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोणों का कोई समुच्चय एक त्रिभुज बना सकता है, हम सूत्र ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° का उपयोग करते हैं। समुच्चय {30°, 60°, 90°} के लिए, योग की गणना 30° + 60° + 90° = 180° के रूप में की जाती है। चूंकि यह योग ठीक 180° के बराबर है, इसलिए ये कोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता को पूरा करते हैं। विशेष रूप से, यह समुच्चय एक समकोण त्रिभुज को निरूपित करता है, जहाँ 90° का कोण सबसे बड़ा है और दो न्यून कोण, 30° और 60°, परस्पर पूरक हैं।

व्याख्या

व्यंजक (g-h)² - (g+h)² + 4gh का सरलीकरण अंतर के वर्ग और योग के वर्ग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करता है। विशेष रूप से, (g-h)² = g² - 2gh + h² और (g+h)² = g² + 2gh + h²।

मूल व्यंजक में इन सर्वसमिकाओं को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (g² - 2gh + h²) - (g² + 2gh + h²) + 4gh

दूसरे कोष्ठक वाले पद में ऋणात्मक चिह्न को वितरित करने पर प्राप्त होता है: g² - 2gh + h² - g² - 2gh - h² + 4gh

समान पदों को मिलाने पर, g² और -g² पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, और इसी तरह h² और -h² पद भी एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इससे व्यंजक इस प्रकार बचता है: -2gh - 2gh + 4gh

शेष पदों को मिलाने पर प्राप्त होता है: -4gh + 4gh = 0

व्याख्या

पहले 2 वर्षों के लिए, साधारण ब्याज की गणना सूत्र I = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T समय है। दिए गए मानों P = 10000, R = 15, और T = 2 को रखने पर: I₁ = (10000 × 15 × 2)/(100) = 3000

विस्तार के समझौते के अनुसार, इस ब्याज राशि को अगले दो वर्षों के लिए नया मूलधन बनाने के लिए प्रारंभिक मूलधन में जोड़ा जाता है। P_नया = 10000 + 3000 = 13000

अगले 2 वर्षों के लिए ब्याज की गणना इस नए मूलधन पर 15% प्रति वर्ष की समान साधारण ब्याज दर पर की जाती है: I₂ = (13000 × 15 × 2)/(100) = 3900

4 वर्ष के अंत में राजेश द्वारा भुगतान की गई कुल राशि, दूसरी अवधि के मूलधन और उस अवधि के दौरान अर्जित ब्याज का योग है: कुल राशि = 13000 + 3900 = 16900

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = ½ r l का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ r त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है। यह सूत्र त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और वृत्त के कुल क्षेत्रफल के बीच के संबंध से प्राप्त होता है, जहाँ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल परिधि के सापेक्ष चाप की लंबाई के समानुपाती होता है।

दिया गया है: त्रिज्या r = 12 सेमी चाप की लंबाई l = 7 सेमी

इन मानों को सूत्र में रखने पर: A = ½ × 12 सेमी × 7 सेमी A = 6 सेमी × 7 सेमी A = 42 सेमी²

व्याख्या

माना प्रारंभिक आय 100 है। चूंकि कल्याण अपनी आय का 80% खर्च करता है, इसलिए उसका प्रारंभिक व्यय 80 है और उसकी प्रारंभिक बचत 100 - 80 = 20 है।

जब आय में 15% की वृद्धि होती है, तो नई आय 115 हो जाती है। व्यय में 5% की वृद्धि होती है, इसलिए नया व्यय 80 + (80 का 5%) = 80 + 4 = 84 है।

नई बचत की गणना 'नई आय - नया व्यय' के रूप में की जाती है, जो कि 115 - 84 = 31 है। बचत में वृद्धि 31 - 20 = 11 है।

बचत में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत वृद्धि = (बचत में परिवर्तन / मूल बचत) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (11 / 20) × 100 = 55%

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, मान लें कि 1 किग्रा (1000 ग्राम) का क्रय मूल्य 1000 इकाई है। विक्रेता 20% लाभ पर 1000 ग्राम बेचने का दावा करता है, जिससे विक्रय मूल्य 1200 इकाई हो जाता है। हालाँकि, विक्रेता वास्तव में केवल 950 ग्राम ही देता है।

वितरित की गई मात्रा के लिए विक्रेता का वास्तविक क्रय मूल्य 950 ग्राम की लागत है, जो कि 950 इकाई है। इस लेनदेन से प्राप्त राजस्व 1200 इकाई है।

कुल लाभ = विक्रय मूल्य - वास्तविक क्रय मूल्य कुल लाभ = 1200 - 950 = 250 इकाई

लाभ प्रतिशत की गणना वास्तविक लागत पर की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(वास्तविक क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = ²⁵⁰⁄₉₅₀ × 100 लाभ % = ²⁵⁄₉₅ × 100 लाभ % = ⁵⁄₁₉ × 100 = ⁵⁰⁰⁄₁₉%

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का अनुसरण करता है। a = 1.5, b = 2.5, और c = 3.5 प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक का अंश इस सर्वसमिका से पूरी तरह मेल खाता है:

अंश: 1.5² + 2.5² + 3.5² + 2(1.5)(2.5) + 2(2.5)(3.5) + 2(1.5)(3.5) = (1.5 + 2.5 + 3.5)²

व्यंजक का हर 1.5 + 2.5 + 3.5 है। इसलिए, व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार है:

((1.5 + 2.5 + 3.5)²)/(1.5 + 2.5 + 3.5) = 1.5 + 2.5 + 3.5

पदों को जोड़ने पर: 1.5 + 2.5 + 3.5 = 4.0 + 3.5 = 7.5

व्याख्या

मान लीजिए एक बिस्कुट की कीमत B, एक चॉकलेट की कीमत C और एक कप कॉफी की कीमत K है। दी गई जानकारी के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों का निम्नलिखित निकाय बना सकते हैं: 2B + C = 69 (समीकरण 1) 2C + 3K = 127 (समीकरण 2) 3B + 4C + 2K = 229 (समीकरण 3)

तीनों समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर: (2B + C) + (2C + 3K) + (3B + 4C + 2K) = 69 + 127 + 229 5B + 7C + 5K = 425

5B + 5C + 5K का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले एक चॉकलेट (C) की कीमत निर्धारित करनी होगी। समीकरण 1 से, हमारे पास B = (69 - C) / 2 है। समीकरण 2 से, हमारे पास K = (127 - 2C) / 3 है। इन्हें समीकरण 3 में प्रतिस्थापित करने पर: 3((69 - C) / 2) + 4C + 2((127 - 2C) / 3) = 229 हरों (denominators) को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 6 से गुणा करने पर: 9(69 - C) + 24C + 4(127 - 2C) = 1374 621 - 9C + 24C + 508 - 8C = 1374 1129 + 7C = 1374 7C = 245 C = 35

अब, योग समीकरण 5B + 7C + 5K = 425 में C = 35 प्रतिस्थापित करने पर: 5B + 5C + 5K + 2C = 425 5(B + C + K) + 2(35) = 425 5(B + C + K) + 70 = 425 5(B + C + K) = 425 - 70 5(B + C + K) = 355

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत सूत्र (n + 1)(2n + 1) / 6 द्वारा दिया जाता है। n = 47 रखने पर, हमें (48 * 95) / 6 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 8 * 95 = 760 हो जाता है।

व्याख्या

जब अक्षरा और सिद्धार्थ R पर मिलते हैं, तो उनके द्वारा तय की गई कुल दूरी P से Q तक की दूरी की दोगुनी होती है, जो कि 144 किमी है। चूँकि वे समान समय के लिए यात्रा करते हैं, इसलिए अक्षरा द्वारा तय की गई दूरी (PR) की गणना इस प्रकार की जाती है: (अक्षरा की गति / गतियों का योग) * कुल दूरी, जो कि (8 / (8 + 10)) * 144 = 64 किमी है।

व्याख्या

माना सोने के सिक्कों की प्रारंभिक संख्या x और गैर-सोने के सिक्कों की संख्या 4x है। 20 और सोने के सिक्के जोड़ने के बाद, अनुपात (x + 20) / 4x = 2/3 हो जाता है, जिससे x = 12 प्राप्त होता है। सिक्कों की नई कुल संख्या (12 + 20) सोने के सिक्के + 48 गैर-सोने के सिक्के है, जो 80 सिक्कों के बराबर है।