एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक ग्राहक द्वारा भुगतान किया जाने वाला मूल्य, जिसे विक्रय मूल्य (SP) भी कहा जाता है, अंकित मूल्य (MP) में से छूट को घटाकर निर्धारित किया जाता है। विक्रय मूल्य का सूत्र है: SP = MP × (100 - Discount%)/100

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: SP = 15,620 × (100 - 27)/100 SP = 15,620 × 73/100 SP = 15,620 × 0.73

गुणा करने पर: 15,620 × 0.73 = 11,402.6

प्रश्न में निकटतम दहाई तक पूर्णांकित मूल्य पूछा गया है। चूंकि दशमलव से पहले का अंतिम अंक 2 है (जो 5 से कम है), इसलिए हम इसे दहाई के निकटतम गुणज में कम (राउंड डाउन) करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 11,400 प्राप्त होता है।

व्याख्या

p के पदों में (sin A)/(1 - cos A) का मान ज्ञात करने के लिए, हम p के दिए गए व्यंजक और उस व्यंजक के गुणनफल की जांच करते हैं जिसका मान हमें ज्ञात करना है:

p · (sin A)/(1 - cos A) = (sin A)/(1 + cos A) · (sin A)/(1 - cos A)

अंशों और हरों का गुणा करने पर प्राप्त होता है:

(sin² A)/((1 + cos A)(1 - cos A)) = (sin² A)/(1 - cos² A)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, हम जानते हैं कि 1 - cos² A = sin² A होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(sin² A)/(sin² A) = 1

चूंकि p और (sin A)/(1 - cos A) का गुणनफल 1 है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि:

(sin A)/(1 - cos A) = ¹⁄ₚ

वैकल्पिक रूप से, अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं (half-angle identities) का उपयोग करने पर, p = (2 sin(A/2) cos(A/2))/(2 cos²(A/2)) = tan(A/2) प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (2 sin(A/2) cos(A/2))/(2 sin²(A/2)) = cot(A/2) है। चूंकि cot(A/2) = (1)/(tan(A/2)) होता है, इसलिए परिणाम ¹⁄ₚ है।

व्याख्या

विलयन का प्रारंभिक आयतन 500 मिली (आधा लीटर) है। चूंकि इसमें 15% अल्कोहल है, इसलिए अल्कोहल का आयतन 0.15 × 500 = 75 मिली है, और पानी का आयतन 500 - 75 = 425 मिली है।

अल्कोहल की सांद्रता को 50% करने के लिए, अंतिम मिश्रण में अल्कोहल और पानी का आयतन बराबर होना चाहिए। चूंकि केवल अल्कोहल मिलाया जा रहा है, इसलिए पानी का आयतन 425 मिली पर स्थिर रहता है। इसलिए, अल्कोहल का अंतिम कुल आयतन भी 425 मिली होना चाहिए।

मिलाए जाने वाले अल्कोहल की मात्रा, अंतिम अल्कोहल आयतन और प्रारंभिक अल्कोहल आयतन के बीच का अंतर है: 425 मिली - 75 मिली = 350 मिली

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। चूंकि AC = BC है, इसलिए भुजा AC के सम्मुख कोण, भुजा BC के सम्मुख कोण के बराबर होगा, जिसका अर्थ है ∠ ABC = ∠ BAC। यह दिया गया है कि ∠ BAC = 70°, इसलिए ∠ ABC = 70° होगा।

बहिष्कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) के अनुसार, भुजा BC को D तक बढ़ाने पर बनने वाला बहिष्कोण ∠ ACD, दो अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है: ∠ ACD = ∠ BAC + ∠ ABC = 70° + 70° = 140°

दिए गए व्यंजक में इन मानों को रखने पर: 2.5∠ ACD - 1.5∠ ABC = 2.5(140°) - 1.5(70°) 2.5 × 140 = 350 1.5 × 70 = 105 350° - 105° = 245°

व्याख्या

दिया गया है कि 8cot θ = 7, इसलिए cot θ = ⅞। चूंकि tan θ = (1)/(cot θ), इसलिए tan θ = ⁸⁄₇।

व्यंजक (1 + sinθ)/(cosθ), (1)/(cosθ) + (sinθ)/(cosθ) = secθ + tanθ के समतुल्य है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ का उपयोग करने पर: sec² θ = 1 + (⁸⁄₇)² = 1 + ⁶⁴⁄₄₉ = (49 + 64)/(49) = ¹¹³⁄₄₉ sec θ = √(¹¹³⁄₄₉) = √(113){7}

सरलीकृत व्यंजक में sec θ और tan θ के मान प्रतिस्थापित करने पर: sec θ + tan θ = √(113){7} + ⁸⁄₇ = 8 + √(113){7}

व्याख्या

((x)/(y) + ʸ⁄ₓ)² - 3 का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करें। भिन्नों का योग (x² + y²)/(xy) द्वारा दिया गया है।

दिए गए मानों x = √6 + 2 और y = √6 - 2 का उपयोग करके, गुणनफल xy की गणना वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके की जाती है: xy = (√6 + 2)(√6 - 2) = (√6)² - 2² = 6 - 4 = 2

इसके बाद, बीजीय सर्वसमिका (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करके x² + y² की गणना करें: x² + y² = (√6 + 2)² + (√6 - 2)² = 2((√6)² + 2²) = 2(6 + 4) = 2(10) = 20

अब, इन मानों को वापस योग के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (x)/(y) + ʸ⁄ₓ = (x² + y²)/(xy) = ²⁰⁄₂ = 10

अंत में, अभीष्ट मान की गणना करें: ((x)/(y) + ʸ⁄ₓ)² - 3 = 10² - 3 = 100 - 3 = 97

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यह रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। इसलिए, (AD)/(DB) = (AE)/(EC) है।

प्रश्न में संबंध 5AE = 3EC दिया गया है, जिसे अनुपात (AE)/(EC) = 3/5 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसे आनुपातिकता समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर (AD)/(DB) = 3/5 प्राप्त होता है।

हम जानते हैं कि कुल लंबाई AB = AD + DB है। अनुपात (AD)/(DB) = 3/5 का उपयोग करके, हम AD को 3/5 DB के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसे भुजा की कुल लंबाई के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 6.4 = 3/5 DB + DB प्राप्त होता है।

दाहिनी ओर के पदों को जोड़ने पर 6.4 = 8/5 DB प्राप्त होता है। DB का मान ज्ञात करने के लिए, हम DB = (6.4 × 5)/(8) की गणना करते हैं। चूंकि 6.4 ÷ 8 = 0.8 है, इसलिए DB = 0.8 × 5 = 4 इकाई है।

व्याख्या

घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y) है। माना x = 2a और y = b। दिए गए मानों 2a - b = 3 और 8a³ - b³ = 999 को प्रतिस्थापित करने पर:

999 = 3³ + 3(2a)(b)(3) 999 = 27 + 18ab 972 = 18ab ab = 54

4a² - b² का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका 4a² - b² = (2a - b)(2a + b) का उपयोग कीजिए। 2a + b का मान संबंध (2a + b)² = (2a - b)² + 8ab का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

(2a + b)² = 3² + 8(54) (2a + b)² = 9 + 432 = 441 2a + b = √(441) = 21

इन मानों को वर्गों के अंतर के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 4a² - b² = 3 × 21 = 63

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल का योग होता है। इसका सूत्र इस प्रकार है:

TSA = 2 π r (h + r)

दी गई त्रिज्या r = 21 सेमी और ऊंचाई h = 5 सेमी है, हम π = ²²⁄₇ का उपयोग करके इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

TSA = 2 × ²²⁄₇ × 21 × (5 + 21)

21 को 7 से विभाजित करके व्यंजक को सरल करने पर प्राप्त होता है:

TSA = 2 × 22 × 3 × 26 TSA = 132 × 26

132 को 26 से गुणा करने पर:

132 × 20 = 2640 132 × 6 = 792 2640 + 792 = 3432 सेमी²

व्याख्या

वृत्त के प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। माना D वृत्त के दीर्घ चाप पर एक बिंदु है। चूंकि चाप ABC केंद्र O पर 138° का कोण अंतरित करता है, इसलिए परिधि पर बिंदु D पर इस चाप द्वारा अंतरित कोण है: ∠ ADC = ½ × ∠ AOC = (138°)/(2) = 69°

बिंदु A, B, C, और D वृत्त पर स्थित हैं, जिससे ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज बनता है। चक्रीय चतुर्भुज का एक प्रमुख गुण यह है कि इसकी एक भुजा को बढ़ाने पर बना बाह्य कोण, सम्मुख अंतः कोण के बराबर होता है।

जब जीवा AB को एक बिंदु P तक बढ़ाया जाता है, तो ∠ CBP शीर्ष B पर बाह्य कोण बन जाता है। ∠ ABC का सम्मुख अंतः कोण ∠ ADC है।

इसलिए: ∠ CBP = ∠ ADC = 69°

व्याख्या

जब किसी मान में x% की वृद्धि की जाती है और फिर y% की कमी की जाती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀

इस प्रश्न में, रमन विक्रय मूल्य निर्धारित करने के लिए क्रय मूल्य में 16% की वृद्धि करता है (x = +16) और फिर उस निर्धारित मूल्य पर 12% की छूट देता है (y = -12)। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

लाभ प्रतिशत = 16 - 12 + (16 × (-12))/(100)

लाभ प्रतिशत = 4 - ¹⁹²⁄₁₀₀

लाभ प्रतिशत = 4 - 1.92 = 2.08%

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य 100 माना जाता है, तो निर्धारित मूल्य 116 हो जाता है। विक्रय मूल्य निर्धारित मूल्य से 12% कम है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: 116 × (1 - 0.12) = 116 × 0.88 = 102.08। लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 102.08 - 100 = 2.08 है। चूंकि आधार 100 है, इसलिए लाभ प्रतिशत 2.08% है।

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी किए गए शेयरों की कुल संख्या 10 लाख है, जो कि 1,000,000 है। मीरा के पास वर्तमान में इन शेयरों का 45% हिस्सा है। मीरा के पास शुरुआत में मौजूद शेयरों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:

मीरा के प्रारंभिक शेयर = 1,000,000 × ⁴⁵⁄₁₀₀ = 450,000

जीवन अपने 20,000 शेयर मीरा को बेचने का निर्णय लेता है। खरीद के बाद मीरा के पास कुल शेयरों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम प्राप्त शेयरों को उसके प्रारंभिक शेयरों में जोड़ते हैं:

मीरा के कुल शेयर = 450,000 + 20,000 = 470,000

व्याख्या

कंपनी D में कर्मचारियों की कुल संख्या की गणना ज़ोन की संख्या को प्रति ज़ोन कर्मचारियों की औसत संख्या से गुणा करके की जाती है। तालिका के मानों का उपयोग करने पर:

कुल कर्मचारी = 25 × 450 = 11,250

कंपनी D में पुरुष और महिला कर्मचारियों का वितरण 5:4 के अनुपात में दिया गया है। अनुपात इकाइयों की कुल संख्या 5 + 4 = 9 है। पुरुष कर्मचारियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल अनुपात में पुरुष अनुपात के हिस्से का उपयोग करते हैं:

पुरुष कर्मचारियों की संख्या = ⁵⁄₉ × 11,250

सबसे पहले, 11,250 को 9 से विभाजित करें: 11,250 ÷ 9 = 1,250

फिर, पुरुष अनुपात के हिस्से से गुणा करें: 1,250 × 5 = 6,250

व्याख्या

साधारण ब्याज में मिश्रधन A, मूलधन P, दर R और समय T के बीच का संबंध सूत्र A = P (1 + (RT)/(100)) द्वारा दिया गया है। सूत्र में दिए गए मानों A = 21420, R = 9.5%, और T = 2 वर्ष को प्रतिस्थापित करने पर:

21420 = P (1 + (9.5 × 2)/(100))

21420 = P (1 + ¹⁹⁄₁₀₀)

21420 = P (1 + 0.19)

21420 = 1.19P

P ज्ञात करने के लिए, मिश्रधन को 1.19 से विभाजित करें:

P = (21420)/(1.19) = ²¹⁴²⁰⁰⁰⁄₁₁₉

भाग करने पर, 2142 ÷ 119 = 18। अतः, P = 18000।

व्याख्या

माना छोटी सम संख्या x है। चूंकि संख्याएं क्रमागत सम पूर्णांक हैं, इसलिए अगली संख्या x + 2 होगी। उनका योग 174 दिया गया है:

x + (x + 2) = 174 2x + 2 = 174 2x = 172 x = 86

वैकल्पिक रूप से, दो क्रमागत सम संख्याओं का औसत उनके बीच की विषम संख्या होती है। कुल योग को संख्याओं की संख्या से विभाजित करने पर मध्य बिंदु प्राप्त होता है: 174 / 2 = 87। मध्य बिंदु 87 के आस-पास की दो क्रमागत सम संख्याएं 86 और 88 हैं। इनमें से छोटी संख्या 86 है।

व्याख्या

चूंकि पुलिस कार और चोर एक ही समय पर चलना शुरू करते हैं और पीछा तब समाप्त होता है जब चोर पकड़ा जाता है, इसलिए दोनों के लिए समय t स्थिर है। जब समय स्थिर होता है, तो गतियों का अनुपात तय की गई दूरियों के अनुपात के सीधे समानुपाती होता है: vₚ / vₜ = dₚ / dₜ।

चोर dₜ = 1.5 किमी की दूरी तय करता है। पुलिस कार चोर से 250 मीटर (या 0.25 किमी) पीछे से शुरू होती है, इसलिए पुलिस कार द्वारा तय की गई कुल दूरी dₚ = 1.5 किमी + 0.25 किमी = 1.75 किमी है।

अनुपात में ज्ञात मानों को रखने पर:

70 / vₜ = 1.75 / 1.5

vₜ = (70 × 1.5) / 1.75

vₜ = 105 / 1.75 = 60 किमी/घंटा

व्याख्या

संबंध 'आय = व्यय + बचत' के आधार पर, मान लीजिए कि सुरेश का प्रारंभिक व्यय 300 है और उसकी प्रारंभिक बचत 100 है, जो 3 : 1 के अनुपात के अनुसार है। इसलिए, उसकी प्रारंभिक आय 300 + 100 = 400 है।

25% की वृद्धि के बाद, नई आय 400 × 1.25 = 500 हो जाती है। बचत में 20% की वृद्धि के साथ, नई बचत 100 × 1.20 = 120 हो जाती है। नए व्यय की गणना नई आय में से नई बचत को घटाकर की जाती है: 500 - 120 = 380।

व्यय में वृद्धि 380 - 300 = 80 है। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (वृद्धि / मूल व्यय) × 100 का उपयोग करते हैं। इससे (80 / 300) × 100 = 80 / 3 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 26 ⅔% हो जाता है।

व्याख्या

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई का उपयोग करके की जा सकती है। मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं और इन भुजाओं के संगत शीर्षलंब क्रमशः hₐ, h_b, h_c हैं। दिया गया है कि दो शीर्षों से खींचे गए शीर्षलंब बराबर हैं, मान लीजिए hₐ = h_b। चूंकि गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार पर ध्यान दिए बिना त्रिभुज का क्षेत्रफल स्थिर रहता है, इसलिए हमारे पास संबंध ½ × a × hₐ = ½ × b × h_b है। समीकरण में h_b के स्थान पर hₐ प्रतिस्थापित करने पर ½ a hₐ = ½ b hₐ प्राप्त होता है। उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने पर, हमें प्राप्त होता है कि a = b। वह त्रिभुज जिसकी दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।

व्याख्या

बिंदु की शक्ति प्रमेय (Power of a Point theorem) के अनुसार, O केंद्र और r त्रिज्या वाले एक वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P के लिए, P से गुजरने वाली किसी भी छेदक रेखा के खंडों की लंबाई का गुणनफल स्थिर होता है और यह P से केंद्र की दूरी के वर्ग में से त्रिज्या के वर्ग को घटाने पर प्राप्त मान के बराबर होता है। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

PA · PB = OP² - r²

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

12 · 22.5 = 17² - r²

270 = 289 - r²

r का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

r² = 289 - 270

r² = 19

r = √(19) सेमी

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य (CP) ₹1,000 है और अंकित मूल्य (MP) ₹1,500 है। विक्रेता दो क्रमिक छूट लागू करता है: 20% की व्यापारिक छूट और 10% की नकद छूट। अंतिम विक्रय मूल्य (SP) की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: SP = 1500 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) SP = 1500 × 0.8 × 0.9 SP = 1500 × 0.72 = 1080

विक्रेता द्वारा अर्जित लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ (Gain) = SP - CP = 1080 - 1000 = 80

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % (Gain %) = ((Gain)/(CP)) × 100 = (⁸⁰⁄₁₀₀₀) × 100 = 8%

व्याख्या

व्यंजक 626 × 2912 ÷ 8138 को सरल करने के लिए, हम संख्याओं के बीच उभयनिष्ठ गुणनखंड खोजते हैं। सबसे पहले, ध्यान दें कि 626 और 8138 का एक उभयनिष्ठ भाजक है। गुणनखंडों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि 626 = 2 × 313। हर की जाँच करने पर, हम पाते हैं कि 8138 भी 313 से विभाज्य है:

8138 ÷ 313 = 26

अब, हम पूरे व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(626 × 2912)/(8138) = ((2 × 313) × 2912)/(26 × 313)

अंश और हर से पद 313 निरस्त हो जाता है:

(2 × 2912)/(26) = ²⁹¹²⁄₁₃

इसके बाद, हम 2912 को 13 से विभाजित करते हैं: 29 ÷ 13 = 2, शेषफल 3 के साथ। 31 ÷ 13 = 2, शेषफल 5 के साथ। 52 ÷ 13 = 4।

परिणामी भागफल 224 है।

व्याख्या

माना A, B और C की मासिक आय क्रमशः 2x, 9x और 3x है। माना उनके मासिक व्यय क्रमशः 3y, 9y और 5y हैं। बचत की गणना आय में से व्यय घटाकर की जाती है।

दी गई शर्त के अनुसार, A की बचत उसकी कुल आय की आधी है: S_A = 2x - 3y = ½(2x) 2x - 3y = x x = 3y

अब, A, B और C की बचत के समीकरणों में x = 3y का मान रखने पर: S_A = 2(3y) - 3y = 6y - 3y = 3y S_B = 9(3y) - 9y = 27y - 9y = 18y S_C = 3(3y) - 5y = 9y - 5y = 4y

उनकी बचत का अनुपात है: S_A : S_B : S_C = 3y : 18y : 4y = 3 : 18 : 4

व्याख्या

माना पाइप A की कार्यक्षमता E_A इकाई/मिनट है। चूँकि पाइप B, टैंक को A की तुलना में दोगुनी गति से भरता है, इसलिए इसकी कार्यक्षमता E_B, 2E_A इकाई/मिनट है। दोनों पाइपों की एक साथ मिलकर संयुक्त कार्यक्षमता E_A + E_B = E_A + 2E_A = 3E_A इकाई/मिनट है।

कुल कार्य (टैंक की क्षमता) संयुक्त कार्यक्षमता और इसे भरने में लगे समय का गुणनफल है: कार्य = 3E_A × 45 = 135E_A इकाई।

अकेले पाइप A द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय कुल कार्य को पाइप A की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय_A = (कुल कार्य)/(E_A) = 135E_A/E_A = 135 मिनट।

व्याख्या

मिलने के समय का पता लगाने के लिए, सबसे पहले गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए ⁵⁄₁₈ से गुणा करें। भास्कर की गति 27 × ⁵⁄₁₈ = 7.5 मीटर/सेकंड है, और विनय की गति 45 × ⁵⁄₁₈ = 12.5 मीटर/सेकंड है।

एक वृत्ताकार दौड़ में, ट्रैक पर कहीं भी पहली बार मिलने के लिए दो व्यक्तियों द्वारा लिया गया समय सूत्र T = (L)/(vᵣₑₗ) द्वारा दिया जाता है, जहाँ L ट्रैक की लंबाई है और vᵣₑₗ सापेक्ष गति है।

जब वे विपरीत दिशाओं में दौड़ते हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है: vᵣₑₗ = 12.5 + 7.5 = 20 मीटर/सेकंड। मिलने में लगने वाला समय = ¹⁶⁰⁰⁄₂₀ = 80 सेकंड है। इसे मिनट और सेकंड में बदलने पर, 80 सेकंड का अर्थ 1 मिनट 20 सेकंड है।

जब वे समान दिशा में दौड़ते हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है: vᵣₑₗ = 12.5 - 7.5 = 5 मीटर/सेकंड। मिलने में लगने वाला समय = ¹⁶⁰⁰⁄₅ = 320 सेकंड है। इसे मिनट और सेकंड में बदलने पर, 320 सेकंड का अर्थ 5 मिनट 20 सेकंड है।

व्याख्या

व्यंजक sin⁴ θ + cos⁴ θ को सर्वसमिका a² + b² = (a+b)² - 2ab का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। a = sin² θ और b = cos² θ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin⁴ θ + cos⁴ θ = (sin² θ + cos² θ)² - 2 sin² θ cos² θ

चूँकि sin² θ + cos² θ = 1, इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

1 - 2 sin² θ cos² θ

इसे द्वि-कोण सूत्र (double-angle formula) sin 2θ = 2 sin θ cos θ का उपयोग करके आगे इस प्रकार लिखा जा सकता है, जिससे sin² 2θ = 4 sin² θ cos² θ प्राप्त होता है। इसे वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

1 - ½ (4 sin² θ cos² θ) = 1 - ½ sin² 2θ

sin² 2θ का मान 0 से 1 तक होता है। संपूर्ण व्यंजक का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम ½ sin² 2θ के न्यूनतम संभव मान को घटाते हैं। sin² 2θ का न्यूनतम मान 0 है, जो तब होता है जब 2θ = nπ हो। सरलीकृत व्यंजक में 0 प्रतिस्थापित करने पर अधिकतम मान प्राप्त होता है:

1 - ½(0) = 1

व्याख्या

वर्ष 2009 के कुल व्यय के सापेक्ष वर्ष 2006 के कुल व्यय का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले इन दोनों वर्षों में से प्रत्येक के लिए सभी व्यय श्रेणियों के योग की गणना करें।

वर्ष 2006 में कुल व्यय वेतन, ईंधन और परिवहन, बोनस, ऋण पर ब्याज और कर का योग है: कुल₂₀₀₆ = 225 + 98 + 4.25 + 29.7 + 110 = 466.95 लाख रुपये।

वर्ष 2009 में कुल व्यय उसी वर्ष के लिए समान श्रेणियों का योग है: कुल₂₀₀₉ = 295 + 145 + 6.25 + 49.6 + 118 = 613.85 लाख रुपये।

अभीष्ट प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (कुल₂₀₀₆ / कुल₂₀₀₉) × 100

परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = (466.95)/(613.85) × 100 ≈ 0.7606907 × 100 ≈ 76.069%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, यह मान 76.07% है।

व्याख्या

भिन्न का अंश, 4x² - 49y², वर्गों का अंतर (difference of squares) है, जिसे बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। इस स्थिति में, a = 2x और b = 7y है, जिससे प्राप्त होता है:

4x² - 49y² = (2x + 7y)(2x - 7y)

इस गुणनखंडित रूप को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

((2x + 7y)(2x - 7y))/(2x + 7y) + 7y - 2x

अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड (2x + 7y) एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं, जिससे भिन्न सरल होकर (2x - 7y) हो जाती है। इसके बाद व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

2x - 7y + 7y - 2x

समान पदों को समूहीकृत और सरल करने पर, 2x और -2x पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, और -7y तथा +7y पद भी एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इसके परिणामस्वरूप अंतिम मान 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार, सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। त्रिभुज PQR के लिए, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ∠ P + ∠ Q + ∠ R = 180°

प्रश्न में दो कोणों का योग, ∠ P + ∠ Q = 84° दिया गया है। इस दिए गए मान को कोण योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम तीसरे कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं: 84° + ∠ R = 180°

दोनों पक्षों से 84° घटाने पर प्राप्त होता है: ∠ R = 180° - 84° ∠ R = 96°

व्याख्या

एक शंकु का आयतन V, सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा निर्धारित किया जाता है। दी गई आधार त्रिज्या r = 3.5 सेमी (जो ⁷⁄₂ सेमी के बराबर है) और ऊँचाई h = 18 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखकर आयतन की गणना की जाती है:

V = ⅓ × ²²⁄₇ × (⁷⁄₂)² × 18

V = ⅓ × ²²⁄₇ × ⁴⁹⁄₄ × 18

व्यंजक को सरल करने पर, अंश में 49 और हर में 7 को विभाजित करने पर 7 प्राप्त होता है। इसी प्रकार, ऊँचाई 18 को हर में उपस्थित 3 से विभाजित करने पर 6 प्राप्त होता है:

V = (22 × 7 × 6)/(4)

इसे और सरल करने के लिए 22 को 2 से और 6 को 2 से विभाजित किया जाता है, जिससे हर में उपस्थित 4 निरस्त हो जाता है:

V = 11 × 7 × 3 = 231 सेमी³

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि श्याम की आय, राम की आय से कितने प्रतिशत कम है, हम मानक प्रतिशत तुलना सूत्र का उपयोग करते हैं। यदि एक मान दूसरे मान से x% अधिक है, तो दूसरा मान पहले मान से (x)/(100 + x) × 100% कम होता है।

दिया गया है कि राम की आय, श्याम की आय से 2.5% अधिक है, हम सूत्र में x = 2.5 रखते हैं:

प्रतिशत कमी = (2.5)/(100 + 2.5) × 100

प्रतिशत कमी = (2.5)/(102.5) × 100

दशमलव हटाने के लिए अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

प्रतिशत कमी = ²⁵⁄₁₀₂₅ × 100

25 और 1025 दोनों को 25 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर:

प्रतिशत कमी = ¹⁄₄₁ × 100 = ¹⁰⁰⁄₄₁

भाग करने पर:

100 ÷ 41 ≈ 2.439...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें लगभग 2.43% प्राप्त होता है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करने पर, दोनों प्रकार के चावल की मात्रा का अनुपात उनकी व्यक्तिगत कीमतों और मिश्रण की लक्षित औसत कीमत के बीच के अंतर द्वारा निर्धारित किया जाता है। माना Q₁ ₹4 प्रति किग्रा मूल्य वाले चावल की मात्रा है और Q₂ ₹10 प्रति किग्रा मूल्य वाले चावल की मात्रा है।

मात्राओं के अनुपात की गणना निम्नानुसार की जाती है: Q₁{Q₂} = (महंगे चावल की कीमत - औसत कीमत)/(औसत कीमत - सस्ते चावल की कीमत) Q₁{15} = (10 - 6.50)/(6.50 - 4) Q₁{15} = (3.50)/(2.50) Q₁{15} = ⁷⁄₅

Q₁ के लिए हल करने पर: Q₁ = 15 × ⁷⁄₅ Q₁ = 3 × 7 Q₁ = 21 किग्रा

व्याख्या

दिया गया समीकरण (x)/(x² - 2x + 1) = ⅓ है। दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर (x² - 2x + 1)/(x) = 3 प्राप्त होता है। अंश के प्रत्येक पद को x से विभाजित करने पर, हमें x - 2 + ¹⁄ₓ = 3 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x + ¹⁄ₓ = 5 प्राप्त होता है।

त्रिघातीय व्यंजक x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हैं। यह सूत्र (x + ¹⁄ₓ)³ के प्रसार से प्राप्त होता है।

सर्वसमिका में x + ¹⁄ₓ = 5 का मान रखने पर: x³ + (1)/(x³) = 5³ - 3(5) x³ + (1)/(x³) = 125 - 15 = 110

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec θ = (1)/(cos θ) का उपयोग करके, x और y के दिए गए मानों को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

x = sec θ cos θ = (1)/(cos θ) · cos θ = 1

y = sec θ sin θ = (sin θ)/(cos θ) = tan θ

z का मान z = tan θ दिया गया है। इन सरल रूपों को व्यंजक (x²)/(a²) + (y²)/(b²) - (z²)/(c²) में प्रतिस्थापित करने पर (जहाँ a, b, c आमतौर पर x, y, z की परिभाषाओं में गुणांकों को दर्शाते हैं, जैसे कि x = a sec θ cos θ, आदि):

ˣ⁄ₐ = 1 ⟹ (x²)/(a²) = 1

(y)/(b) = tan θ ⟹ (y²)/(b²) = tan² θ

(z)/(c) = tan θ ⟹ (z²)/(c²) = tan² θ

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

1 + tan² θ - tan² θ = 1

व्याख्या

दुकानदार 3 किग्रा के एक त्रुटिपूर्ण वजन का उपयोग करता है जिसमें 100 ग्राम की त्रुटि है। विक्रेता के लाभ के संदर्भ में, इसका तात्पर्य है कि उपयोग किया गया वजन तराजू पर 3 किग्रा मापता है लेकिन वास्तव में केवल 3000 ग्राम - 100 ग्राम = 2900 ग्राम आलू ही देता है। इसलिए, चारु को बेची गई वास्तविक मात्रा 2.9 किग्रा है।

विक्रेता के लिए क्रय मूल्य 12 प्रति किग्रा है। दी गई वास्तविक मात्रा के लिए कुल क्रय मूल्य (CP) है: CP = 2.9 × 12 = 34.8

इस लेनदेन के लिए विक्रय मूल्य (SP) 46 दिया गया है। दुकानदार द्वारा अर्जित लाभ, विक्रय मूल्य और वास्तव में प्रदान किए गए आलू के कुल क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ (Profit) = SP - CP = 46 - 34.8 = 11.2

व्याख्या

△ XAY में, XA = YA की स्थिति यह दर्शाती है कि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। यदि हम आधार कोणों ∠ AXY और ∠ AYX में से प्रत्येक को 50° मानते हैं, तो A पर शीर्ष कोण की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ XAY = 180° - (50° + 50°) = 80°

चूंकि बिंदु A रेखाखंड YZ पर स्थित है, इसलिए कोण ∠ XAY और ∠ XAZ एक रैखिक युग्म बनाते हैं और संपूरक होते हैं: ∠ XAZ = 180° - ∠ XAY = 180° - 80° = 100°

△ XAZ में, अंतः कोणों का योग 180° होना चाहिए। दिए गए मान ∠ AZX = 19° का उपयोग करके, हम शेष कोण ∠ AXZ का माप ज्ञात कर सकते हैं: ∠ AXZ = 180° - (∠ XAZ + ∠ AZX) ∠ AXZ = 180° - (100° + 19°) ∠ AXZ = 180° - 119° = 61°

व्याख्या

रैखिक समीकरणों के निकाय में x = 2, y = -3, और z = 4 के मानों को प्रतिस्थापित करना समाधान को सत्यापित करने का सबसे तेज़ तरीका है। पहले समीकरण के लिए, x + 1.5y + 2z = 2 + 1.5(-3) + 2(4) = 2 - 4.5 + 8 = 5.5। दूसरे समीकरण के लिए, x + 5y + 7z = 2 + 5(-3) + 7(4) = 2 - 15 + 28 = 15। तीसरे समीकरण के लिए, 3x + 11y + 13z = 3(2) + 11(-3) + 13(4) = 6 - 33 + 52 = 25।

व्याख्या

किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों का योग हमेशा 3 से विभाज्य होता है। इस गुण को तीन क्रमागत संख्याओं n, n+1, और n+2 के योग के सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)

दी गई संख्याओं के लिए, योग 715 + 716 + 717 है। n = 715 के साथ सूत्र लागू करने पर: 3(715 + 1) = 3 × 716 = 2148

चूंकि योग का परिणाम 3 और एक पूर्णांक का गुणनफल है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है। इसे 3 के विभाज्यता नियम का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जहाँ परिणाम के अंकों का योग (2 + 1 + 4 + 8 = 15) 3 से विभाज्य है, जो यह पुष्टि करता है कि कुल योग 3 से विभाज्य है।

व्याख्या

दिया गया है कि cot θ = √(11), इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि cot² θ = 11 और tan² θ = ¹⁄₁₁। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं csc² θ = 1 + cot² θ और sec² θ = 1 + tan² θ का उपयोग करके, हमें आवश्यक मान प्राप्त होते हैं: csc² θ = 1 + 11 = 12 और sec² θ = 1 + ¹⁄₁₁ = ¹²⁄₁₁। इन्हें व्यंजक csc² θ - sec² θ{csc² θ + sec² θ} में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(12 - 12)/(11){12 + ¹²⁄₁₁}

अंश और हर से 12 को उभयनिष्ठ लेने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

(12(1 - 1)/(11)){12(1 + ¹⁄₁₁)} = (1 - 1)/(11){1 + ¹⁄₁₁} = (11 - 1)/(11){(11 + 1)/(11)} = ¹⁰⁄₁₂ = ⅚

व्याख्या

x, y और z के मान ज्ञात करने के लिए, हम विलोपन विधि का उपयोग करके दिए गए रैखिक समीकरण निकाय को हल करते हैं। समीकरण इस प्रकार हैं:

1. x + y + z = 12
2. x + y - z = 6
3. x - y + z = 4

समीकरण 1 में से समीकरण 2 को घटाने पर चर x और y का विलोपन हो जाता है: (x + y + z) - (x + y - z) = 12 - 6 2z = 6 ⟹ z = 3

समीकरण 1 में से समीकरण 3 को घटाने पर चर x और z का विलोपन हो जाता है: (x + y + z) - (x - y + z) = 12 - 4 2y = 8 ⟹ y = 4

समीकरण 2 और समीकरण 3 को जोड़ने पर चर y और z का विलोपन हो जाता है: (x + y - z) + (x - y + z) = 6 + 4 2x = 10 ⟹ x = 5

प्राप्त मान x = 5, y = 4 और z = 3 हैं। इन मानों को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हल की पुष्टि होती है: 5 + 4 + 3 = 12, जो कि सही है। इसी प्रकार, दूसरे समीकरण के लिए: 5 + 4 - 3 = 6, और तीसरे समीकरण के लिए: 5 - 4 + 3 = 4। सभी शर्तें संतुष्ट होती हैं।

व्याख्या

पुलिसकर्मी और चोर के बीच की दूरी 500 मीटर है, जो 0.5 किमी के बराबर है। चोर को पकड़ने में लगा समय 15 मिनट है, जो 15/60 = 0.25 घंटे के बराबर है। माना पुलिसकर्मी की गति v किमी/घंटा है। चूंकि दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति (v - 15) किमी/घंटा है।

सापेक्ष गति के सूत्र, सापेक्ष गति = दूरी / समय का उपयोग करते हुए, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: v - 15 = 0.5 / 0.25 v - 15 = 2 v = 17 किमी/घंटा

वैकल्पिक रूप से, मीटर प्रति मिनट में सापेक्ष गति 500 / 15 = 100/3 मीटर/मिनट है। इसे किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम 60/1000 से गुणा करते हैं, जिससे (100/3) × (60/1000) = 2 किमी/घंटा प्राप्त होता है। पुलिसकर्मी की गति, चोर की गति और इस सापेक्ष गति का योग है, जिसके परिणामस्वरूप 15 + 2 = 17 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, दोनों दिए गए अनुपातों में उभयनिष्ठ चर B का मान समान होना चाहिए। हमें दिया गया है कि A:B = 6:8 और B:C = 5:12। सबसे पहले, हम दोनों भागों को 2 से विभाजित करके अनुपात A:B = 6:8 को सरल बनाकर 3:4 करते हैं। अब, हमारे पास A:B = 3:4 और B:C = 5:12 है।

पहले अनुपात में B का मान 4 है और दूसरे अनुपात में 5 है। 4 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 20 है। दोनों अनुपातों में B के मान को 20 के बराबर करने के लिए, हम पहले अनुपात के पदों को 5 से और दूसरे अनुपात के पदों को 4 से गुणा करते हैं।

A:B = 3:4 को 5 से गुणा करने पर A:B = (3 × 5) : (4 × 5) = 15:20 प्राप्त होता है। B:C = 5:12 को 4 से गुणा करने पर B:C = (5 × 4) : (12 × 4) = 20:48 प्राप्त होता है।

चूंकि अब दोनों व्यंजकों में B का मान 20 है, इसलिए हम उन्हें मिलाकर अनुपात A:B:C = 15:20:48 ज्ञात कर सकते हैं।

व्याख्या

दिया गया है कि 2 tan θ = 3, जिससे हमें tan θ = ³⁄₂ प्राप्त होता है।

व्यंजक (3sinθ - 2cosθ)/(3sinθ + 2cosθ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cosθ से विभाजित कर सकते हैं। यह sin और cos के पदों को tan के पदों में परिवर्तित कर देता है:

(3sinθ)/(cosθ) - (2cosθ)/(cosθ){(3sinθ)/(cosθ) + (2cosθ)/(cosθ)} = (3tanθ - 2)/(3tanθ + 2)

समीकरण में tan θ = ³⁄₂ का मान रखने पर:

(3(3)/(2)) - 2{3(³⁄₂) + 2} = (9)/(2) - 2{⁹⁄₂ + 2}

भिन्नों को सरल करने के लिए, हम अंश और हर में अंकगणितीय संक्रियाएँ करते हैं:

(9 - 4)/(2){(9 + 4)/(2)} = (5)/(2){¹³⁄₂}

उभयनिष्ठ हर 2 आपस में कट जाता है, जिसके परिणामस्वरूप ⁵⁄₁₃ प्राप्त होता है।

व्याख्या

पहले समीकरण p cos A = 2q sin A से, हम (q)/(cos A) = (p)/(2 sin A) लिख सकते हैं। इसे दूसरे समीकरण 2p csc A - q sec A = 3 में प्रतिस्थापित करने पर, जो कि (2p)/(sin A) - (q)/(cos A) = 3 के समतुल्य है, हमें प्राप्त होता है:

(2p)/(sin A) - (p)/(2 sin A) = 3

पूरे समीकरण को 2 sin A से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

4p - p = 6 sin A 3p = 6 sin A p = 2 sin A

अब, p = 2 sin A को वापस पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(2 sin A) cos A = 2q sin A 2q = 2 cos A q = cos A

व्यंजक p² + 4q² का मान है:

p² + 4q² = (2 sin A)² + 4(cos A)² p² + 4q² = 4 sin² A + 4 cos² A p² + 4q² = 4(sin² A + cos² A)

चूंकि sin² A + cos² A = 1 है, इसलिए हमारे पास है:

p² + 4q² = 4(1) = 4

व्याख्या

चूंकि ∠ E = ∠ H और ∠ F = ∠ I के साथ Δ EFG ∼ Δ HIJ है, इसलिए त्रिभुज AA (कोण-कोण) कसौटी से समरूप हैं, और संगत शीर्ष E ↔ H, F ↔ I, और G ↔ J हैं। समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं की लम्बाइयों का अनुपात बराबर होता है:

(EF)/(HI) = (FG)/(IJ) = (EG)/(HJ)

प्रश्न में दिया गया है कि 3EF = HI, जिसका अर्थ है कि Δ HIJ की भुजाओं का Δ EFG की भुजाओं से अनुपात है:

(HI)/(EF) = 3

यह देखते हुए कि FG = 9 सेमी है, हम ज्ञात मानों को भुजा अनुपात समीकरण में रखते हैं:

(IJ)/(FG) = (HI)/(EF) = 3

IJ = 3 × FG

IJ = 3 × 9 = 27 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि दोनों कारों की चाल किमी/घंटा में क्रमशः u और v हैं, जहाँ u > v है। जब वे एक ही दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष चाल u - v होती है। चूँकि वे 1 घंटे में 20 किमी की दूरी तय करती हैं, इसलिए सापेक्ष चाल u - v = 20 / 1 = 20 है। जब वे एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो सापेक्ष चाल u + v होती है। वे 12 मिनट में मिलती हैं, जो कि 12/60 = 1/5 घंटा है, इसलिए सापेक्ष चाल u + v = 20 / (1/5) = 100 है। रैखिक समीकरणों के निकाय u - v = 20 और u + v = 100 को जोड़ने पर, हमें 2u = 120 प्राप्त होता है, जिससे u = 60 प्राप्त होता है। समीकरण u + v = 100 में u = 60 रखने पर, 60 + v = 100 प्राप्त होता है, जिससे v = 40 प्राप्त होता है। अतः, दोनों कारों की चाल क्रमशः 60 किमी/घंटा और 40 किमी/घंटा है।

व्याख्या

त्रिभुज के बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी भी शीर्ष पर बाह्य कोण का माप उसके दो विपरीत (अभिमुख) अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। दिया गया है कि त्रिभुज के दो अंतः कोण 45° और 65° हैं, इसलिए तीसरे (शेष) अंतः कोण से संबद्ध बाह्य कोण केवल इन दो विपरीत कोणों का योग होगा।

बाह्य कोण = 45° + 65° = 110°

वैकल्पिक रूप से, कोण योग गुण के अनुसार, एक त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है। तीसरा अंतः कोण 180° - (45° + 65°) = 180° - 110° = 70° है। चूंकि एक अंतः कोण और उसका संगत बाह्य कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए वे संपूरक होते हैं। अतः, बाह्य कोण 180° - 70° = 110° है।

व्याख्या

जब 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज को 3 सेमी की भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो वह भुजा शंकु का अक्ष बन जाती है, जो इसकी ऊंचाई h = 3 सेमी को दर्शाती है। त्रिभुज की दूसरी भुजा, जो 4 सेमी है, आधार की त्रिज्या r = 4 सेमी बन जाती है। 5 सेमी का कर्ण शंकु की तिर्यक ऊंचाई को दर्शाता है।

एक शंकु के आयतन V की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: V = ⅓ π r² h

निर्मित शंकु के आयामों का मान रखने पर: V = ⅓ × π × 4² × 3 V = ⅓ × π × 16 × 3 V = 16π सेमी³

व्याख्या

दो पाइपों द्वारा मिलकर एक पूल को भरने में लगने वाले समय की गणना सूत्र T = (xy)/(x + y) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ x और y प्रत्येक पाइप द्वारा व्यक्तिगत रूप से लिए गए समय को दर्शाते हैं। दिया गया है कि x = 30 घंटे और y = 45 घंटे, गणना इस प्रकार है:

T = (30 × 45)/(30 + 45) T = ¹³⁵⁰⁄₇₅ T = 18 घंटे

वैकल्पिक रूप से, एलसीएम (LCM) विधि का उपयोग करते हुए, मान लें कि पूल की कुल क्षमता 30 और 45 का एलसीएम (LCM) है, जो कि 90 इकाई है। पाइप L के भरने की दर 90 / 30 = 3 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप M के भरने की दर 90 / 45 = 2 इकाई प्रति घंटा है। दोनों पाइपों के खुले होने पर संयुक्त भरने की दर 3 + 2 = 5 इकाई प्रति घंटा है। 90-इकाई वाले पूल को भरने के लिए आवश्यक समय 90 / 5 = 18 घंटे है।

व्याख्या

बीजगणितीय संबंध का उपयोग करते हुए, जहाँ यदि z + (1)/(z) = k, तो z² + (1)/(z²) = k² - 2 होता है, माना z = √x और k = 7 है। इस सर्वसमिका में दिए गए मान √x + (1)/(√(x)) = 7 को प्रतिस्थापित करने पर, x + ¹⁄ₓ का व्यंजक 7² - 2 हो जाता है। वर्ग की गणना करने और अचर को घटाने पर 49 - 2 प्राप्त होता है, जो 47 के बराबर है।

व्याख्या

मिश्रण का नियम (rule of alligation) दो भागों के भारित औसत (weighted average) से संबंधित समस्याओं को हल करने का सबसे कुशल तरीका है। माना 10% लाभ पर बेची गई मात्रा Q₁ है और 40% लाभ पर बेची गई मात्रा Q₂ है। इन मात्राओं का अनुपात व्यक्तिगत लाभ प्रतिशत और औसत लाभ प्रतिशत के बीच के अंतर से निर्धारित होता है।

अनुपात Q₁ : Q₂ = (लाभ₂ - औसत लाभ) : (औसत लाभ - लाभ₁)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: अनुपात Q₁ : Q₂ = (40 - 20) : (20 - 10) = 20 : 10 = 2 : 1

1000 किग्रा के कुल भार को 2 + 1 = 3 भागों में विभाजित किया गया है। 40% लाभ पर बेची गई मात्रा इस अनुपात के 1 भाग के बराबर है।

40% लाभ पर बेची गई मात्रा = (1)/(2 + 1) × 1000 = ¹⁰⁰⁰⁄₃ = 333⅓ किग्रा