एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी मिश्रण की अंतिम सांद्रता उसके घटकों की सांद्रता के भारित औसत (weighted average) द्वारा निर्धारित की जाती है। भारित औसत के सूत्र का उपयोग करने पर:

C_final = ((w_A × C_A) + (w_B × C_B) + (w_C × C_C))/(w_A + w_B + w_C)

दी गई सांद्रता C_A = 20%, C_B = 30%, C_C = 40% और मिश्रण का अनुपात 3 : 5 : a है, हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं जहाँ अंतिम सांद्रता 30% है:

30 = ((3 × 20) + (5 × 30) + (a × 40))/(3 + 5 + a)

30 = (60 + 150 + 40a)/(8 + a)

30(8 + a) = 210 + 40a

240 + 30a = 210 + 40a

240 - 210 = 40a - 30a

30 = 10a

a = 3

वैकल्पिक रूप से, चूंकि अम्ल B की सांद्रता ठीक 30% है, इसलिए यह अंतिम औसत को प्रभावित नहीं करती है यदि अम्ल A और C का भारित औसत भी 30% हो। A (20%) और C (40%) का औसत 30% होने के लिए, भार को समान विचलन (लक्ष्य से 10% कम और 10% अधिक) को संतुलित करना होगा। इस प्रकार, A का भार C के भार के बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है 3 = a।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a³ - b³)/(a² + ab + b²) = a - b का अनुसरण करता है। पदों का अवलोकन करने पर, माना a = 0.58 और b = 0.1 है। अंश 0.58 × 0.58 × 0.58 - 0.001 है, जो a³ - b³ के बराबर है क्योंकि 0.1³ = 0.001 है। हर 0.58 × 0.58 + 0.058 + 0.01 है, जो a² + ab + b² के अनुरूप है क्योंकि 0.58 × 0.1 = 0.058 और 0.1² = 0.01 है। सर्वसमिका लागू करने पर, संपूर्ण भिन्न सरल होकर a - b हो जाती है। इसलिए, गणना 0.58 - 0.1 है, जो 0.48 के बराबर है।

व्याख्या

क्रमिक वृद्धियों के लिए कुल लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, प्रभावी प्रतिशत सूत्र का उपयोग करें: कुल लाभ % = a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀

इस मामले में, पहली वृद्धि (a) और दूसरी वृद्धि (b) दोनों 50% हैं। सूत्र में इन मानों को रखने पर: कुल लाभ % = 50 + 50 + (50 × 50)/(100) कुल लाभ % = 100 + ²⁵⁰⁰⁄₁₀₀ कुल लाभ % = 100 + 25 = 125%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक वेतन 100 माना जाता है, तो पहली 50% की वृद्धि इसे 150 बना देती है। दूसरी 50% की वृद्धि इस नई राशि पर की जाती है: 150 का 50% 75 है। इस प्रकार, अंतिम वेतन 150 + 75 = 225 है। कुल लाभ 225 - 100 = 125 है, जो मूल वेतन से 125% की वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक secθ(1 + cot²θ)(csc²θ - cot²θ){csc³θ} है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + cot²θ = csc²θ और csc²θ - cot²θ = 1 का उपयोग करके, हम इन मानों को सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

अंश secθ · csc²θ · 1 हो जाता है। इसे हर csc³θ से विभाजित करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: secθ · csc²θ{csc³θ} = (secθ)/(cscθ)

पदों को sin और cos में बदलने पर, हमें प्राप्त होता है: (1/cosθ)/(1/sinθ) = (sinθ)/(cosθ) = tanθ

यह दिया गया है कि cotθ = 4/3, और हम जानते हैं कि tanθ = (1)/(cotθ), इसलिए: tanθ = (1)/(4/3) = 3/4

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 77⁷⁷ + 77 है। 78 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों का उपयोग करते हैं। चूंकि 77, 78 से एक कम है, इसलिए हम इसे 77 ≡ -1 (mod 78) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 77⁷⁷ + 77 ≡ (-1)⁷⁷ + (-1) (mod 78)

चूंकि घातांक 77 एक विषम संख्या है, इसलिए (-1)⁷⁷ सरल होकर -1 हो जाता है। तब सर्वांगसमता इस प्रकार हो जाती है: -1 + (-1) (mod 78) = -2 (mod 78)

मानक धनात्मक शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम ऋणात्मक परिणाम में भाजक जोड़ते हैं: 78 - 2 = 76

इसलिए, जब 77⁷⁷ + 77 को 78 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 76 होगा।

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के लिए एकल समतुल्य छूट D को सूत्र D = (d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100))% द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों d₁ = 40 और d₂ = 30 को प्रतिस्थापित करने पर: D = (40 + 30 - (40 × 30)/(100))% D = (70 - ¹²⁰⁰⁄₁₀₀)% D = (70 - 12)% D = 58%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक अंकित मूल्य को 100 माना जाए, तो 40% की पहली छूट मूल्य को घटाकर 60 कर देती है। इसके बाद शेष 60 पर 30% की दूसरी छूट लागू की जाती है, जो 18 (0.30 × 60) के बराबर है। अंतिम मूल्य 60 - 18 = 42 हो जाता है। कुल छूट की राशि प्रारंभिक मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 100 - 42 = 58 है। प्रारंभिक मूल्य के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने पर, यह 58% है।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है। यह रचना एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण वृत्त की त्रिज्या (r) है, एक भुजा केंद्र से जीवा की दूरी (d) है, और दूसरी भुजा जीवा की लंबाई की आधी (L/2) है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: r² = d² + (L/2)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ r = 5√(13) सेमी और d = 10 सेमी है: (5√(13))² = 10² + (L/2)² 25 × 13 = 100 + (L/2)² 325 = 100 + (L/2)²

दोनों पक्षों से 100 घटाने पर प्राप्त होता है: 225 = (L/2)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 15 = L/2

जीवा की पूरी लंबाई (L) ज्ञात करने के लिए, 2 से गुणा करें: L = 15 × 2 = 30 सेमी।

व्याख्या

R प्रतिशत वार्षिक साधारण ब्याज की दर से n वर्षों में देय ऋण A को चुकाने के लिए आवश्यक वार्षिक किस्त x को सूत्र A = nx + (Rx × n(n-1))/(200) द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि अंतिम किस्त को छोड़कर प्रत्येक किस्त पर उसके भुगतान के समय से लेकर n-वर्ष की अवधि के अंत तक ब्याज मिलता है।

दिए गए मानों A = 26,160, n = 4 वर्ष, और R = 6% को सूत्र में रखने पर:

26160 = 4x + (6 × x × 4 × (4 - 1))/(200)

26160 = 4x + (6 × x × 12)/(200)

26160 = 4x + ⁷²ˣ⁄₂₀₀

26160 = 4x + 0.36x

26160 = 4.36x

x = (26160)/(4.36)

x = ²⁶¹⁶⁰⁰⁰⁄₄₃₆

2,616,000 को 436 से विभाजित करने पर 6,000 प्राप्त होता है। इस प्रकार, ₹6,000 की वार्षिक किस्त 6% वार्षिक साधारण ब्याज पर 4 वर्षों में ₹26,160 के ऋण को चुका देगी।

व्याख्या

व्यंजक 21 - [6 + 7 - {3.22 - (1.1 × 0.2)}] को सरल करने के लिए, BODMAS नियम लागू करें, जो कोष्ठकों के अंदर की संक्रियाओं को क्रमशः छोटे कोष्ठक (), मझले कोष्ठक {}, और फिर बड़े कोष्ठक [] के क्रम में प्राथमिकता देता है।

सबसे पहले, छोटे कोष्ठक के अंदर के गुणनफल की गणना करें: 1.1 × 0.2 = 0.22

इसके बाद, पिछले चरण के परिणाम का उपयोग करके मझले कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को हल करें: {3.22 - 0.22} = 3

फिर, बड़े कोष्ठक के भीतर के पदों का मान ज्ञात करें: [6 + 7 - 3] = 13 - 3 = 10

अंत में, अंतिम मान ज्ञात करने के लिए कोष्ठक के बाहर घटाव की संक्रिया करें: 21 - 10 = 11

व्याख्या

संक्रियाओं के क्रम (BODMAS) के अनुसार, हम सबसे पहले दिए गए समीकरण 45 ÷ 3 + 4 × A - 48 ÷ 24 + 4 = 1 में भाग की संक्रियाएँ करते हैं।

भाग के परिणामों को प्रतिस्थापित करने पर: 15 + 4 × A - 2 + 4 = 1

इसके बाद, हम अचर पदों को एक साथ रखते हैं और रैखिक समीकरण को सरल करते हैं: 15 - 2 + 4 + 4A = 1 17 + 4A = 1

अब, A वाले पद को अलग करते हैं: 4A = 1 - 17 4A = -16

A के लिए हल करने पर: A = ⁻¹⁶⁄₄ A = -4

व्याख्या

त्रिज्याओं r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के बीच उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्श रेखा Lₑₓₜ की लंबाई सूत्र Lₑₓₜ² = d² - (r₁ - r₂)² द्वारा दी जाती है। उभयनिष्ठ आंतरिक स्पर्श रेखा Lᵢₙₜ की लंबाई सूत्र Lᵢₙₜ² = d² - (r₁ + r₂)² द्वारा दी जाती है।

त्रिज्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम दूरी d को समाप्त करने के लिए बाह्य स्पर्श रेखा के समीकरण से आंतरिक स्पर्श रेखा के समीकरण को घटाते हैं: Lₑₓₜ² - Lᵢₙₜ² = [d² - (r₁ - r₂)²] - [d² - (r₁ + r₂)²] Lₑₓₜ² - Lᵢₙₜ² = (r₁ + r₂)² - (r₁ - r₂)²

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करने पर, यह व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: Lₑₓₜ² - Lᵢₙₜ² = 4r₁r₂

दिए गए मानों Lₑₓₜ = 9 और Lᵢₙₜ = 5 को प्रतिस्थापित करने पर: 9² - 5² = 4r₁r₂ 81 - 25 = 4r₁r₂ 56 = 4r₁r₂

त्रिज्याओं के गुणनफल को हल करने के लिए 4 से विभाजित करने पर: r₁r₂ = 14

व्याख्या

चूंकि Δ PQR ≅ Δ MON है, इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि संगत कोण और संगत भुजाएं उनके नामकरण के क्रम में मेल खानी चाहिए।

संगत कोणों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: ∠ PQR = ∠ MON। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 82° = (5y - 8)° 5y = 82 + 8 5y = 90 y = 18

संगत भुजाओं की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: QR = ON। दिए गए मानों और y के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर: 24 = 3x + y 24 = 3x + 18 3x = 24 - 18 3x = 6 x = 2

(x + y) का मान है: 2 + 18 = 20

व्याख्या

किसी संख्या के 5 से विभाज्य होने के लिए, इकाई का अंक # या तो 0 होना चाहिए या 5। हालाँकि, चूंकि संख्या 8 से भी विभाज्य होनी चाहिए, इसलिए यह एक सम संख्या होनी चाहिए, जो इकाई के अंक # को 0 तक सीमित करती है। 8 के लिए विभाज्यता का नियम यह कहता है कि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए। 7-अंकीय संख्या 62684*# में, अंतिम तीन अंक 4*# हैं। हम # = 0 मान प्रतिस्थापित करते हैं और दिए गए विकल्पों से अंक * = 4 का परीक्षण करते हैं। इसके परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली तीन-अंकीय संख्या 440 है। चूंकि 440 = 8 × 55 है, इसलिए यह 8 से विभाज्यता की शर्त को पूरा करता है। अतः, * और # के लिए अंक क्रमशः 4 और 0 हैं।

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र A = s² द्वारा दिया जाता है, जहाँ s भुजा की लंबाई है। व्यंजक 16x² + 40x + 25 से भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम इसे a² + 2ab + b² = (a + b)² के रूप में एक पूर्ण वर्ग त्रिपद (perfect square trinomial) के रूप में पहचानते हैं। पदों की पहचान करने पर, हम देखते हैं कि 16x² = (4x)² और 25 = 5², जबकि मध्य पद 40x, 2(4x)(5) के बराबर है। इसलिए, क्षेत्रफल को (4x + 5)² के रूप में लिखा जा सकता है, और भुजा की लंबाई s, 4x + 5 इकाई है।

एक वर्ग का परिमाप P = 4s के रूप में परिभाषित किया गया है। इस सूत्र में भुजा की लंबाई का मान रखने पर P = 4(4x + 5) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 16x + 20 प्राप्त होता है। इस व्यंजक में से 2 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर 2(8x + 10) प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत, योग के सूत्र S = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ से प्राप्त किया जाता है। योग को पदों की संख्या n से विभाजित करने पर, औसत का सूत्र ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ हो जाता है।

प्रथम 45 प्राकृतिक संख्याओं के लिए, सूत्र में n = 45 रखने पर: औसत = ((45 + 1)(2 × 45 + 1))/(6) औसत = (46 × 91)/(6)

46 और 6 को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: औसत = (23 × 91)/(3) औसत = ²⁰⁹³⁄₃ औसत = 697.666...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, परिणाम 697.67 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब एक आयताकार कागज को उसकी चौड़ाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है, तो कागज की चौड़ाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है, और कागज की लंबाई बेलन की ऊंचाई बन जाती है। दिया गया है कि लंबाई 50 सेमी और चौड़ाई 22 सेमी है, इसलिए हमारे पास ऊंचाई h = 50 सेमी और परिधि C = 22 सेमी है।

परिधि के सूत्र C = 2 π r का उपयोग करने पर, जहाँ r त्रिज्या है: 2 × ²²⁄₇ × r = 22 r = (22 × 7)/(2 × 22) = ⁷⁄₂ = 3.5 सेमी

एक बेलन का आयतन V सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: V = ²²⁄₇ × (⁷⁄₂)² × 50 V = ²²⁄₇ × ⁴⁹⁄₄ × 50 V = 11 × 7 × 25 V = 77 × 25 = 1,925 सेमी³

व्याख्या

(x - y)/(x + y) का मान ज्ञात करने के लिए, हम योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, दिए गए मानों x² + y² = 280 और xy = 120 का उपयोग करके (x + y)² और (x - y)² की गणना करें:

(x + y)² = x² + y² + 2xy = 280 + 2(120) = 280 + 240 = 520 (x - y)² = x² + y² - 2xy = 280 - 2(120) = 280 - 240 = 40

इसके बाद, वर्गों का अनुपात ज्ञात करें: (x - y)²/{(x + y)²} = ⁴⁰⁄₅₂₀ = ⁴⁄₅₂ = ¹⁄₁₃

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: (x - y)/(x + y) = √(¹⁄₁₃) = (1)/(√(13))

व्याख्या

धारा के अनुकूल (अनुप्रवाह) नाव की चाल, शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल का योग होती है, जबकि धारा के प्रतिकूल (उर्ध्वप्रवाह) चाल दोनों का अंतर होती है।

धारा के अनुकूल चाल v_d = 18 + 3 = 21 किमी/घंटा धारा के प्रतिकूल चाल vᵤ = 18 - 3 = 15 किमी/घंटा

आने-जाने की पूरी यात्रा में लगा कुल समय, 105 किमी की समान दूरी को धारा के अनुकूल तय करने में लगे समय और धारा के प्रतिकूल तय करने में लगे समय का योग है।

कुल समय T = (दूरी)/(v_d) + (दूरी)/(vᵤ) T = ¹⁰⁵⁄₂₁ + ¹⁰⁵⁄₁₅ T = 5 + 7 = 12 घंटे

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है, ब्याज दर R है, और समय T वर्ष है। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, हमें दिया गया है कि SI = (P)/(5) और R = 5T। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

(P)/(5) = (P × 5T × T)/(100)

⅕ = (5T²)/(100)

T² = ¹⁰⁰⁄₂₅ = 4

T = 2 वर्ष

मूल ब्याज दर R = 5 × 2 = 10% वार्षिक है। नई ब्याज दर R_new = 10% + 3% = 13% वार्षिक है।

नई दर पर 6 वर्षों के लिए ₹5,600 पर साधारण ब्याज है:

SI = (5600 × 13 × 6)/(100)

SI = 56 × 78

SI = 4368

व्याख्या

कई क्रमिक छूटों के बाद अंतिम विक्रय मूल्य की गणना सूत्र SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100) का उपयोग करके की जाती है। यहाँ, अंकित मूल्य MP ₹1,000 है और क्रमिक छूट 20%, 30% और 10% हैं।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: SP = 1000 × (1 - 20/100) × (1 - 30/100) × (1 - 10/100) SP = 1000 × (80/100) × (70/100) × (90/100) SP = 1000 × 0.8 × 0.7 × 0.9 SP = 1000 × 0.504 SP = 504

तीनों छूट कारकों के गुणनफल के परिणामस्वरूप 0.504 का अंतिम मूल्य गुणक प्राप्त होता है, जिसे जब 1,000 के अंकित मूल्य पर लागू किया जाता है, तो 504 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि टंकी की कुल क्षमता दिए गए समय 10, 15 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। इस क्षमता के आधार पर, पाइप P की कार्यक्षमता 60 / 10 = 6 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप Q की कार्यक्षमता 60 / 15 = 4 इकाई प्रति घंटा है। चूंकि पाइप R एक निकासी पाइप है, इसलिए इसकी कार्यक्षमता 60 / 12 = -5 इकाई प्रति घंटा है।

सुबह 6 बजे से सुबह 9 बजे के बीच, केवल पाइप P और Q ही चालू हैं। इन 3 घंटों में, भरे गए पानी की मात्रा (6 + 4) × 3 = 30 इकाई है। भरी जाने वाली शेष क्षमता 60 - 30 = 30 इकाई है। सुबह 9 बजे से, तीनों पाइप P, Q और R खुले हैं, जिसके परिणामस्वरूप कुल भरने की दर 6 + 4 - 5 = 5 इकाई प्रति घंटा हो जाती है। शेष 30 इकाइयों को भरने के लिए आवश्यक समय 30 / 5 = 6 घंटे है। सुबह 9 बजे से शुरू करके, 6 घंटे जोड़ने पर समय दोपहर 3 बजे हो जाता है।

व्याख्या

दो रैखिक समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के निकाय का कोई हल न होने के लिए, रेखाओं को समानांतर और भिन्न होना चाहिए। ऐसा तब होता है जब x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर होता है, लेकिन अचर पदों के अनुपात के बराबर नहीं होता है, जैसा कि शर्त (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) ≠ (c₁)/(c₂) द्वारा परिभाषित है।

दिए गए समीकरणों 2x + 7ky - 8 = 0 और x + y - 9 = 0 में, हम गुणांकों की पहचान a₁ = 2, b₁ = 7k, c₁ = -8 और a₂ = 1, b₂ = 1, c₂ = -9 के रूप में करते हैं। कोई हल न होने की शर्त को लागू करते हुए, हम x के गुणांकों के अनुपात को y के गुणांकों के अनुपात के बराबर रखते हैं:

²⁄₁ = ⁷ᵏ⁄₁

k के लिए इस समीकरण को हल करने पर 2 = 7k प्राप्त होता है, जो सरल होकर k = ²⁄₇ हो जाता है। हम शर्त के तीसरे भाग को भी सत्यापित करते हैं: (a₁)/(a₂) = 2 और (c₁)/(c₂) = ⁻⁸⁄₋₉ = ⁸⁄₉। चूंकि 2 ≠ ⁸⁄₉ है, इसलिए रेखाएं समानांतर हैं और संपाती नहीं हैं, जिससे यह पुष्टि होती है कि जब k = ²⁄₇ हो, तो कोई हल नहीं होगा।

व्याख्या

दो वृत्तों के बीच अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (L) की गणना सूत्र L = √(d² - (r₁ + r₂)²) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी को दर्शाता है और r₁ तथा r₂ उनकी त्रिज्याओं को दर्शाते हैं।

दिए गए मान: r₁ = 5 सेमी r₂ = 10 सेमी d = 17 सेमी

सबसे पहले, त्रिज्याओं के योग की गणना करें: r₁ + r₂ = 5 + 10 = 15 सेमी

अब, सूत्र में मान रखें: L = √(17² - 15²) L = √(289 - 225) L = √(64) L = 8 सेमी

यह गणना पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) का अनुसरण करती है, जहाँ 17 कर्ण (केंद्रों के बीच की दूरी) है और 15 एक भुजा (त्रिज्याओं का योग) है, जिससे स्पर्श रेखा की लंबाई दूसरी भुजा बन जाती है, जो कि 8 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए नामांकित मतदाताओं की कुल संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, इन मतदाताओं में से 85% ने अपने मत डाले, और डाले गए मतों में से 2% मत अवैध थे, जिसका अर्थ है कि 98% मत वैध थे। सुनीता को इन वैध मतों का 78% प्राप्त हुआ, जो 64,974 के बराबर है।

इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: x × ⁸⁵⁄₁₀₀ × ⁹⁸⁄₁₀₀ × ⁷⁸⁄₁₀₀ = 64974

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: x = (64974 × 100 × 100 × 100)/(85 × 98 × 78)

गणना को सरल बनाने पर: 64974 ÷ 78 = 833 x = (833 × 10⁶)/(85 × 98)

833 और 98 को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 49 से विभाजित करके और सरल बनाने पर (चूंकि 833 = 49 × 17 और 98 = 49 × 2): x = (17 × 10⁶)/(85 × 2)

चूंकि 85 = 17 × 5: x = (1 × 10⁶)/(5 × 2) x = (1,000,000)/(10) x = 1,00,000

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करके, हम व्यंजक में प्रत्येक भिन्न को सरल कर सकते हैं।

पहले पद में, चूंकि 58° + 32° = 90° है, इसलिए sin 58° = sin(90° - 32°) = cos 32°। इसे पहले भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर: (3 cos 32°)/(5 cos 32°) = ⅗

दूसरे पद में, चूंकि 62° + 28° = 90° है, इसलिए cos 62° = cos(90° - 28°) = sin 28°। इसे दूसरे भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर: (2 sin 28°)/(5 sin 28°) = ⅖

इन दोनों मानों का योग करने पर: ⅗ + ⅖ = ⁵⁄₅ = 1

व्याख्या

सही उत्तर: a)

दिया गया है 7tanθ = 3, इसलिए tanθ = 3{7}।

व्यंजक के अंश और हर दोनों को cosθ से विभाजित करने पर:

(5sinθ - cosθ)/(5sinθ + 2cosθ) = (5tanθ - 1)/(5tanθ + 2)

tanθ = 3{7} प्रतिस्थापित करने पर:

= (5 × 3)/(7) - 1{5 × 3{7} + 2} = (15)/(7) - {7{7}}{15{7} + 14{7}} = (8)/(7){29{7}} = ⁸⁄₂₉

व्याख्या

दिए गए समीकरण 7cos²θ + 5sin²θ = 6 को सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: 5(sin²θ + cos²θ) + 2cos²θ = 6 5(1) + 2cos²θ = 6 2cos²θ = 1 ⟹ cos²θ = 1/2

चूंकि 0° < θ < 90° है, cosθ = 1/√2, जिससे θ = 45° प्राप्त होता है। इस मान पर, sec 45° = √2 और tan 45° = 1 है।

अब, सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करके आवश्यक व्यंजक को सरल करें: √(secθ + tanθ)√(secθ - tanθ) = √(((secθ + tanθ)(secθ + tanθ))/((secθ - tanθ)(secθ + tanθ))) = √((secθ + tanθ)²(sec²θ - tan²θ)) = secθ + tanθ

संपूर्ण व्यंजक में θ = 45° के मान प्रतिस्थापित करने पर: 1 + (sec 45° + tan 45°) = 1 + √2 + 1 = √2 + 2

व्याख्या

मिश्रण में दूध की सांद्रता, दूध के आयतन और मिश्रण के कुल आयतन का अनुपात होती है।

पहले व्यक्ति के लिए, मिश्रण का कुल आयतन 10 + 6 = 16 लीटर है। इस मिश्रण में दूध का अनुपात ¹⁰⁄₁₆ है, जो सरल होकर ⅝ हो जाता है।

दूसरे व्यक्ति के लिए, मिश्रण का कुल आयतन 8 + 4 = 12 लीटर है। इस मिश्रण में दूध का अनुपात ⁸⁄₁₂ है, जो सरल होकर ⅔ हो जाता है।

दोनों मिश्रणों में दूध का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम इन दोनों अनुपातों की तुलना करते हैं: अनुपात = ⅝ : ⅔

एक समान हर (denominator) प्राप्त करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर, अनुपात (5 × 3) : (2 × 8) हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 15 : 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब छूट दी जाती है और लाभ अर्जित किया जाता है, तो क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध इस तथ्य से प्राप्त होता है कि विक्रय मूल्य (SP) दोनों के लिए समान होता है। विशेष रूप से, SP = MP × (100 - D%)/(100) और SP = CP × (100 + P%)/(100)। इन्हें बराबर करने पर मानक अनुपात प्राप्त होता है:

(CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)

20% की छूट और 10% का लाभ दिए जाने पर, इन मानों को सूत्र में रखें:

(CP)/(MP) = (100 - 20)/(100 + 10)

(CP)/(MP) = ⁸⁰⁄₁₁₀

दोनों पदों को 10 से विभाजित करने पर भिन्न सरल होकर निम्न रूप में आ जाती है:

(CP)/(MP) = ⁸⁄₁₁

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A, A = ½rl द्वारा और परिमाप P, P = l + 2r द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है। क्षेत्रफल के सूत्र में l = 63 - 2r प्रतिस्थापित करने पर:

209 = ½r(63 - 2r) 418 = 63r - 2r² 2r² - 63r + 418 = 0

द्विघात सूत्र r = -b ± √(b² - 4ac){2a} का उपयोग करने पर: r = 63 ± √(63² - 4 · 2 · 418){4} r = 63 ± √(3969 - 3344){4} = 63 ± √(625){4} r = (63 ± 25)/(4)

r के मान 22 और 9.5 हैं। चूँकि त्रिज्या एक ऋणेतर पूर्णांक है, इसलिए हम r = 22 सेमी लेते हैं।

चाप की लंबाई l है: l = 63 - 2(22) = 19 सेमी

डिग्री में केंद्रीय कोण θ की गणना संबंध l = (θ)/(360) · 2π r का उपयोग करके की जाती है: 19 = (θ)/(360) · 2 · ²²⁄₇ · 22 θ = (19 · 360 · 7)/(2 · 22 · 22) = ⁴⁷⁸⁸⁰⁄₉₆₈ ≈ 49.4628°

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, केंद्रीय कोण 49.5° है।

व्याख्या

999 में जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए ताकि यह 99 से पूर्णतः विभाजित हो जाए, हम सबसे पहले 999 को 99 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना करते हैं।

999 को 99 से विभाजित करने पर: 999 = (99 × 10) + 9

शेषफल r, 9 है। किसी संख्या में x मान जोड़ने के बाद भाजक d से पूर्णतः विभाजित होने के लिए, आवश्यक मान की गणना x = d - r के रूप में की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x = 99 - 9 = 90

999 में 90 जोड़ने पर, हमें 1089 प्राप्त होता है। विभाज्यता की जाँच करने पर: 1089 ÷ 99 = 11

चूंकि विभाजन पूर्ण है, इसलिए जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या 90 है।

व्याख्या

x³ - (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए योग x + ¹⁄ₓ = 2√(10) का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ का मान निर्धारित करते हैं। हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (x - ¹⁄ₓ)² = (2√(10))² - 4 = 40 - 4 = 36

चूंकि x > 1 है, इसलिए अंतर x - ¹⁄ₓ धनात्मक होना चाहिए, जिससे x - ¹⁄ₓ = √(36) = 6 प्राप्त होता है।

इसके बाद, हम घनों के अंतर के लिए सर्वसमिका, x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x - ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हैं। इस सूत्र में मान 6 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x³ - (1)/(x³) = 6³ + 3(6) x³ - (1)/(x³) = 216 + 18 = 234

व्याख्या

उम्मीदवार Q द्वारा प्राप्त वैध मतों की संख्या कुल मतदाताओं पर भागीदारी और वैधता के प्रतिशत को लागू करके निर्धारित की जाती है। उम्मीदवार P को वैध मतों का 78 प्रतिशत प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि उम्मीदवार Q को शेष 22 प्रतिशत वैध मत प्राप्त हुए।

मतदान करने वाले मतदाताओं का प्रतिशत 100 प्रतिशत में से 10 प्रतिशत घटाकर है, जो 90 प्रतिशत के बराबर है। डाले गए मतों का प्रतिशत जो वैध थे, 100 प्रतिशत में से 15 प्रतिशत घटाकर है, जो 85 प्रतिशत के बराबर है।

Q के लिए वैध मतों की संख्या (V_Q) का सूत्र है: V_Q = कुल × (डाले गए मतों का %) × (वैध मतों का %) × (Q का हिस्सा %)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V_Q = 75,60,000 × ⁹⁰⁄₁₀₀ × ⁸⁵⁄₁₀₀ × ²²⁄₁₀₀ V_Q = 75,60,000 × 0.90 × 0.85 × 0.22

गणना करने पर: 75,60,000 × 0.90 = 68,04,000 (डाले गए मत) 68,04,000 × 0.85 = 57,83,400 (वैध मत) 57,83,400 × 0.22 = 12,72,348 (Q के लिए वैध मत)

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय (Intersecting Chords Theorem) के अनुसार, जब एक वृत्त की दो जीवाएँ वृत्त के अंदर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों की लंबाई का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। O पर प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं MN और PQ के लिए, संबंध MO × ON = PO × OQ है।

दी गई लंबाई MO = 9 सेमी, ON = 5 सेमी और OQ = 6 सेमी को सूत्र में रखने पर:

9 × 5 = OP × 6 45 = OP × 6 OP = ⁴⁵⁄₆ OP = 7.5 सेमी

व्याख्या

C पर समकोण वाले एक त्रिभुज ABC में, आंतरिक कोण C, 90° है। त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, जिसका अर्थ है A + B + C = 180°। C = 90° प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि A + B = 90°।

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक sin A cos B cot (A + B) है। कोणों A और B के योग का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin A cos B cot (90°)

cot 90° का त्रिकोणमितीय मान 0 होता है। चूंकि tan A = √3 दिया गया है, हम जानते हैं कि A = 60° और इसलिए B = 30° है। पद sin 60° और cos 30° दोनों ही √3/2 के बराबर हैं। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(√3/2) · (√3/2) · 0 = 0

चूंकि एक गुणनखंड के रूप में शून्य वाले किसी भी परिमित गुणनफल का मान शून्य होता है, इसलिए व्यंजक का मान 0 है।

व्याख्या

एक आयताकार आंगन में बिछाने के लिए आवश्यक वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक वर्गाकार टाइल की भुजा यथासंभव सबसे बड़ी होनी चाहिए। यह आंगन की लंबाई और चौड़ाई का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करके निर्धारित किया जाता है।

सबसे पहले, मापों को सेंटीमीटर में बदलें: लंबाई L = 4 मीटर 95 सेंटीमीटर = 495 सेंटीमीटर चौड़ाई B = 16 मीटर 65 सेंटीमीटर = 1665 सेंटीमीटर

इसके बाद, 495 और 1665 का HCF ज्ञात कीजिए। 495 का अभाज्य गुणनखंडन 3² × 5 × 11 है। 1665 का अभाज्य गुणनखंडन 3² × 5 × 37 है। HCF(495, 1665) = 3² × 5 = 45 सेमी। इस प्रकार, सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा 45 सेमी है।

आवश्यक टाइलों की कुल संख्या, आंगन के क्षेत्रफल को एक वर्गाकार टाइल के क्षेत्रफल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: टाइलों की संख्या = (आंगन का क्षेत्रफल)/(एक टाइल का क्षेत्रफल) = (495 × 1665)/(45 × 45)

गणना को सरल करने पर: ⁴⁹⁵⁄₄₅ = 11 ¹⁶⁶⁵⁄₄₅ = 37 टाइलों की संख्या = 11 × 37 = 407

व्याख्या

एक वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है। दी गई बाहरी त्रिज्या R = 28 मीटर और आंतरिक त्रिज्या r = 25 मीटर है, क्षेत्रफल A निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

A = π R² - π r² = π(R² - r²)

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

A = π(28 + 25)(28 - 25) A = π(53)(3) = 159π वर्ग मीटर

समतल करने की लागत ₹28 प्रति वर्ग मीटर दी गई है। कुल लागत की गणना पथ के क्षेत्रफल को इकाई दर से गुणा करके की जाती है:

कुल लागत = क्षेत्रफल × दर कुल लागत = 159π × 28

मानक सन्निकटन π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर:

कुल लागत = 159 × ²²⁄₇ × 28 कुल लागत = 159 × 22 × 4 कुल लागत = 159 × 88 कुल लागत = 13992

व्याख्या

माना धीमे पाइप की कार्यक्षमता x है। चूंकि तेज पाइप डेढ़ गुना अधिक तेज है, इसलिए इसकी कार्यक्षमता 1.5x या ³⁄₂x है। दोनों पाइपों की मिलकर कुल कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग है: कुल कार्यक्षमता (Efficiencyₜₒₜₐₗ) = x + ³⁄₂x = ⁵⁄₂x

टैंक की कुल क्षमता को कुल कार्यक्षमता और मिलकर भरने में लगे समय के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: कुल कार्य (Total Work) = ⁵⁄₂x × 15 = ⁷⁵⁄₂x

अकेले तेज पाइप द्वारा लिया गया समय, कुल कार्य को तेज पाइप की कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है: तेज पाइप का समय (Time_fₐₛₜₑᵣ) = (कुल कार्य)/(तेज पाइप की कार्यक्षमता) = (75)/(2)x / {³⁄₂x} तेज पाइप का समय (Time_fₐₛₜₑᵣ) = ⁷⁵⁄₂ × ⅔ = ⁷⁵⁄₃ = 25 मिनट

व्याख्या

इस व्यंजक का मान पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं, विशेष रूप से csc(90° - θ) = sec θ और sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

पहला पद (sec 35°)/(csc 55°) है। चूंकि 55° = 90° - 35° है, हम हर (denominator) को csc(90° - 35°) के रूप में लिख सकते हैं, जो sec 35° के बराबर है। इससे यह भिन्न सरल होकर (sec 35°)/(sec 35°) = 1 हो जाता है।

दूसरा पद (cos 25°)/(sin 65°) है। चूंकि 65° = 90° - 25° है, हम हर को sin(90° - 25°) के रूप में लिख सकते हैं, जो cos 25° के बराबर है। इससे यह भिन्न सरल होकर (cos 25°)/(cos 25°) = 1 हो जाता है।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में वापस रखने पर, हमें 1 - 1 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप सूत्र P = 3a द्वारा दिया जाता है, जहाँ a एक भुजा की लंबाई को दर्शाता है। यह देखते हुए कि परिमाप 36 इकाई है, भुजा की लंबाई की गणना a = ³⁶⁄₃ = 12 इकाई के रूप में की जाती है। एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = √3{4} a² द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस सूत्र में भुजा की लंबाई प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = √3{4} × 12² = √3{4} × 144 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर 36√3 वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण asin³ X + bcos³ X = sin Xcos X और asin X = bcos X हैं। हम घातों का गुणनखंड करके पहले समीकरण को पुनः लिख सकते हैं:

(asin X)sin² X + (bcos X)cos² X = sin Xcos X

पहले पद में संबंध asin X = bcos X को प्रतिस्थापित करने पर:

(bcos X)sin² X + (bcos X)cos² X = sin Xcos X

bcos X को उभयनिष्ठ (factor out) लेने पर:

bcos X(sin² X + cos² X) = sin Xcos X

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² X + cos² X = 1 का उपयोग करने पर:

bcos X = sin Xcos X

चूंकि X ≠ 90°, cos X ≠ 0, हम दोनों पक्षों को cos X से विभाजित कर सकते हैं:

b = sin X

अब, b = sin X को दूसरे दिए गए संबंध asin X = bcos X में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

asin X = (sin X)cos X

चूंकि X ≠ 0°, sin X ≠ 0, हम दोनों पक्षों को sin X से विभाजित कर सकते हैं:

a = cos X

a² + b² का मान ज्ञात करने के लिए:

a² + b² = (cos X)² + (sin X)² a² + b² = cos² X + sin² X = 1

व्याख्या

एक बेईमान व्यापारी के कुल लाभ प्रतिशत की गणना मूल्य वृद्धि और वजन में हेरफेर से होने वाले लाभ कारकों के गुणनफल का उपयोग करके की जा सकती है। व्यापारी विक्रय मूल्य पर 10% का लाभ कमाता है और वास्तविक वजन से 12% कम वजन का उपयोग करता है।

मान लीजिए कि वजन की 100 इकाइयों का क्रय मूल्य 100 है। 10% लाभ के कारण, वजन की 100 इकाइयों का विक्रय मूल्य 100 × (1 + 0.10) = 110 है। हालांकि, व्यापारी केवल 88 इकाई वजन (100 से 12% कम) प्रदान करता है। इस प्रकार, बेची गई मात्रा के लिए व्यापारी की वास्तविक लागत 88 है।

कुल लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल लाभ % = (विक्रय मूल्य - वास्तविक लागत)/(वास्तविक लागत) × 100 कुल लाभ % = (110 - 88)/(88) × 100 कुल लाभ % = ²²⁄₈₈ × 100 कुल लाभ % = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

माना विशु की गति v_V है और अतुल द्वारा 900 मीटर की दौड़ पूरी करने में लिया गया समय T_A है।

पहली स्थिति में, अतुल विशु को 20 सेकंड की शुरुआती बढ़त देता है और उसे 135 मीटर से हरा देता है। इसका अर्थ यह है कि जब अतुल T_A समय में 900 मीटर दौड़ता है, तो विशु T_A + 20 सेकंड में 900 - 135 = 765 मीटर दौड़ता है।

दूसरी स्थिति में, अतुल विशु को 189 मीटर की शुरुआती बढ़त देता है और उसे 8 सेकंड से हरा देता है। इसका अर्थ यह है कि जब अतुल T_A समय में 900 मीटर दौड़ता है, तो विशु T_A + 8 सेकंड में 900 - 189 = 711 मीटर दौड़ता है।

चूंकि विशु की गति v_V स्थिर है, हम दोनों स्थितियों के बीच की दूरी के अंतर और समय के अंतर के अनुपात की गणना करके इसे ज्ञात कर सकते हैं: v_V = (765 - 711) / ((T_A + 20) - (T_A + 8)) v_V = 54 / 12 = 4.5 मीटर/सेकंड

विशु द्वारा 900 मीटर की पूरी दौड़ को पूरा करने में लिया गया समय है: T_V = 900 / 4.5 = 200 सेकंड

200 सेकंड को मिनट और सेकंड में बदलने पर: 200 / 60 = 3 मिनट और 20 सेकंड

व्याख्या

मानक विभाजन एल्गोरिथ्म को भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल के रूप में व्यक्त किया जाता है। प्रश्न के अनुसार, शेषफल 32 है। चूंकि भाजक, शेषफल का 2 गुना है, इसलिए भाजक = 2 × 32 = 64 होगा। प्रश्न में यह भी कहा गया है कि भाजक, भागफल का 4 गुना है, जिसका अर्थ है कि भागफल = 64 / 4 = 16 है। इन मानों को विभाजन सूत्र में रखने पर, भाज्य = (64 × 16) + 32 होगा। गुणा करने पर, 64 × 16 = 1024 प्राप्त होता है। इसमें शेषफल जोड़ने पर, भाज्य = 1024 + 32 = 1056 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समय T इस शर्त से निर्धारित होता है कि किसी राशि पर 10% वार्षिक ब्याज दर से साधारण ब्याज उस राशि का तीन-पंचमांश (3/5) है। मानक साधारण ब्याज सूत्र I = (P · R · T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ I ब्याज है, P मूलधन है, R दर है, और T समय है, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (P · 10 · T)/(100) = ⅗ P

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने और व्यंजक को सरल करने पर, हमें वर्षों में अवधि प्राप्त होती है: (T)/(10) = ⅗ T = 6 वर्ष

उद्देश्य ₹16,000 के मूलधन पर 14% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से इस 6 वर्ष की अवधि के लिए अर्जित ब्याज ज्ञात करना है। पुनः साधारण ब्याज सूत्र लागू करने पर: ब्याज = (16,000 · 14 · 6)/(100) ब्याज = 160 · 84 ब्याज = 13,440

व्याख्या

दो समूहों के लिए भारित औसत (weighted average) का सूत्र A = n₁A₁ + n₂A₂{n₁ + n₂} द्वारा दिया जाता है, जहाँ n छात्रों की संख्या को दर्शाता है और A उनके औसत स्कोर को दर्शाता है। यह देखते हुए कि 12 छात्रों के पहले समूह का औसत 62 है और शेष 18 छात्रों का औसत भी 62 है, गणना इस प्रकार होगी: A = (12 × 62 + 18 × 62)/(30)। उभयनिष्ठ (common) पद को बाहर निकालने पर, हमें प्राप्त होता है: A = (62(12 + 18))/(30) = (62 × 30)/(30) = 62। गणितीय रूप से, यदि किसी समष्टि (population) के सभी उपसमूहों का माध्य (mean) समान है, तो संपूर्ण समष्टि का माध्य भी अनिवार्य रूप से उसी मान के बराबर होता है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं। समतल में उन सभी बिंदुओं P का बिंदुपथ (locus) जिनके लिए PA = PC है, रेखाखंड AC का लंब समद्विभाजक होता है। चूंकि विकर्ण BD, विकर्ण AC का लंब समद्विभाजक है, इसलिए OA = OC को संतुष्ट करने वाला कोई भी बिंदु O, विकर्ण BD वाली रेखा पर स्थित होना चाहिए।

चूंकि दिया गया है कि O समचतुर्भुज का एक आंतरिक बिंदु है और रेखा BD पर स्थित है, इसलिए इसे शीर्षों B और D के बीच रेखाखंड BD पर स्थित होना चाहिए। परिणामस्वरूप, बिंदु D, O और B संरेख (collinear) हैं, और किरणें OD और OB, बिंदु O से विपरीत दिशाओं में विस्तारित होती हैं। इसलिए, ऋजु कोण (straight angle) ∠ DOB का डिग्री माप 180° है।

∠ DOB के डिग्री माप का पांच-नौवां भाग ज्ञात करने के लिए: मान = ⁵⁄₉ × 180° मान = 5 × 20° मान = 100°

व्याख्या

वेतन वृद्धि एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) का अनुसरण करती है जहाँ वार्षिक वेतन वृद्धि सार्व अंतर d को दर्शाती है। n वर्षों की सेवा के बाद वेतन सूत्र Sₙ = S₀ + n × d द्वारा दिया जाता है, जहाँ S₀ प्रारंभिक वेतन है और d निश्चित वार्षिक वेतन वृद्धि है।

दिए गए डेटा का उपयोग करने पर: S₆ = S₀ + 6d = 28,400 S₁₅ = S₀ + 15d = 52,997

पंद्रहवें वर्ष और छठे वर्ष के वेतन के बीच का अंतर उन नौ वर्षों में अर्जित कुल वेतन वृद्धि को दर्शाता है: (S₀ + 15d) - (S₀ + 6d) = 52,997 - 28,400 9d = 24,597

वार्षिक वेतन वृद्धि d ज्ञात करने के लिए, कुल अंतर को वर्षों की संख्या से विभाजित करें: d = (24,597)/(9) d = 2,733

व्याख्या

माना P, Q, R, और S के हिस्सों को क्रमशः 4x, 9x, 2x, और 3x द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, Q को R से ₹560 अधिक मिलते हैं, जो उनके संबंधित अनुपात भागों के अंतर के बराबर है: 9x - 2x = 7x 7x = 560 x = ⁵⁶⁰⁄₇ = 80 S का हिस्सा 3x द्वारा दर्शाया गया है। इस समीकरण में x का मान रखने पर: S = 3 × 80 = 240

व्याख्या

गणित के औसत अंक सभी पांच छात्रों के व्यक्तिगत अंकों को जोड़कर और छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके प्राप्त किए जाते हैं। दिए गए आंकड़ों से, सुरेश, रमेश, अंकित, रंजीत और आर्यन के अंक क्रमशः 70, 85, 90, 95 और 75 हैं।

इन अंकों के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 70 + 85 + 90 + 95 + 75 = 415

छात्रों की कुल संख्या 5 है। समांतर माध्य के सूत्र का उपयोग करने पर: औसत = (Σ अंक)/(n) औसत = ⁴¹⁵⁄₅ = 83

यह गणना विशेष रूप से पांच छात्रों के समूह में गणित विषय के लिए माध्य (औसत) अंक प्रदान करती है।