एसएससी सीजीएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

2010 में राज्य X से उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या उत्तीर्ण महिला उम्मीदवारों की संख्या और दिए गए अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है। चूंकि उत्तीर्ण पुरुष और महिला उम्मीदवारों का अनुपात 5:7 है, और उत्तीर्ण महिला उम्मीदवारों की संख्या 168 है, इसलिए उत्तीर्ण उम्मीदवारों की कुल संख्या Q की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

Q = 168 × (5 + 7)/(7) Q = 168 × ¹²⁄₇ Q = 24 × 12 = 288

तालिका के अनुसार, 2010 में राज्य X से उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत 60% है। मान लीजिए उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की संख्या A है। उपस्थित और उत्तीर्ण उम्मीदवारों के बीच संबंध इस प्रकार है:

A का 60% = 288 ⁶⁰⁄₁₀₀ × A = 288 A = (288 × 100)/(60) A = ²⁸⁸⁰⁄₆ = 480

2010 में राज्य X से उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 480 है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य (SP) की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)), जहाँ MP अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं।

दिया गया है: अंकित मूल्य (MP) = ₹1,200 पहली छूट (d₁) = 15% दूसरी छूट (d₂) = 10%

सूत्र में मान रखने पर: SP = 1,200 × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) SP = 1,200 × 0.85 × 0.90 SP = 1,200 × 0.765 SP = 918

वैकल्पिक रूप से, 15% की पहली छूट के बाद, मूल्य 1,200 - 180 = 1,020 हो जाता है। इस मूल्य पर 10% की दूसरी छूट लागू करने पर मूल्य में 1,020 × 0.10 = 102 की और कमी होती है। इस प्रकार, अंतिम विक्रय मूल्य 1,020 - 102 = 918 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि नमन ने मूल रूप से n सेब खरीदे थे। प्रति सेब की प्रारंभिक कीमत ⁷²⁰⁄ₙ है। यदि प्रति सेब की कीमत ₹2 कम कर दी जाती है, तो नई कीमत ⁷²⁰⁄ₙ - 2 हो जाती है, और वह ₹720 के समान कुल खर्च में n + 4 सेब खरीदने में सक्षम होता है। इस संबंध को समीकरण (n + 4)(⁷²⁰⁄ₙ - 2) = 720 द्वारा दर्शाया गया है। पदों का विस्तार करने पर 720 - 2n + ²⁸⁸⁰⁄ₙ - 8 = 720 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर -2n + ²⁸⁸⁰⁄ₙ - 8 = 0 प्राप्त होता है। पूरे समीकरण को n से गुणा करने और -2 से विभाजित करने पर द्विघात समीकरण n² + 4n - 1440 = 0 प्राप्त होता है। इस समीकरण का गुणनखंड करने पर (n + 40)(n - 36) = 0 प्राप्त होता है। चूंकि सेबों की संख्या एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए n का मान 36 होना चाहिए। इसकी पुष्टि इस बात से होती है कि ₹20 प्रति सेब की मूल कीमत पर 36 सेबों का मूल्य ₹720 होता है, और कीमत को घटाकर ₹18 करने पर 40 सेब खरीदे जा सकते हैं, जो कि मूल संख्या से ठीक 4 अधिक है।

व्याख्या

मान लीजिए कि पहले पाइप द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय x घंटे है। दूसरा पाइप टैंक को पहले पाइप से 5 घंटे तेजी से भरता है, इसलिए इसका समय x - 5 घंटे है। दूसरा पाइप तीसरे पाइप से 4 घंटे धीमा है, जिसका अर्थ है कि तीसरा पाइप (x - 5) - 4 = x - 9 घंटे लेता है।

कार्य-दर सूत्र के आधार पर, पहले दो पाइपों की व्यक्तिगत दरों का योग अकेले काम करने वाले तीसरे पाइप की दर के बराबर होता है: ¹⁄ₓ + (1)/(x - 5) = (1)/(x - 9)

बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ने पर: (x - 5 + x)/(x(x - 5)) = (1)/(x - 9) (2x - 5)/(x² - 5x) = (1)/(x - 9)

द्विघात समीकरण बनाने के लिए तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने पर: (2x - 5)(x - 9) = x² - 5x 2x² - 18x - 5x + 45 = x² - 5x x² - 18x + 45 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x - 15)(x - 3) = 0 x = 15 या x = 3

चूंकि तीसरे पाइप को टैंक भरने के लिए x - 9 घंटे की आवश्यकता होती है, इसलिए ऋणात्मक समय अवधि से बचने के लिए x का मान 9 से अधिक होना चाहिए। इसलिए, पहले पाइप द्वारा लिए गए समय के लिए x = 15 ही एकमात्र गणितीय रूप से मान्य समाधान है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतः कोणों का योग 180° होता है, जिससे समीकरण ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° प्राप्त होता है। दी गई स्थिति एक अन्य रैखिक समीकरण प्रदान करती है: 1/2 ∠ A + ∠ B + ∠ C = 120°। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर, हम ∠ B और ∠ C को विलोपित करते हैं:

(∠ A + ∠ B + ∠ C) - (1/2 ∠ A + ∠ B + ∠ C) = 180° - 120°

1/2 ∠ A = 60°

∠ A के लिए हल करने पर ∠ A = 120° प्राप्त होता है। प्रश्न में 1/4 ∠ A के मान की आवश्यकता है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: 1/4 × 120° = 30°।

व्याख्या

दूसरे वर्ष के अंत में भुगतान की जाने वाली कुल राशि शेष मूलधन और दोनों वर्षों में अर्जित ब्याज का योग है।

1. पहले वर्ष का ब्याज: ₹1,41,545 × 11% = ₹15,569.95।
2. पहले वर्ष के भुगतान के बाद शेष मूलधन: ₹1,41,545 - ₹25,490 = ₹1,16,055।
3. दूसरे वर्ष का ब्याज (शेष मूलधन पर): ₹1,16,055 × 11% = ₹12,766.05।
4. दूसरे वर्ष के अंत में कुल भुगतान: ₹1,16,055 (शेष मूलधन) + ₹15,569.95 (वर्ष 1 का ब्याज) + ₹12,766.05 (वर्ष 2 का ब्याज) = ₹1,44,391।

व्याख्या

औसत गति को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका सूत्र है: औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय)

तालिका से, पहले पाँच घंटों में एथलीट Y द्वारा तय की गई दूरियाँ 30 किमी, 45 किमी, 40 किमी, 30 किमी और 20 किमी हैं। इन मानों को जोड़ने पर कुल दूरी प्राप्त होती है: कुल दूरी = 30 + 45 + 40 + 30 + 20 = 165 किमी

यह गणना कुल 5 घंटे की अवधि के लिए की गई है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: औसत गति = ¹⁶⁵⁄₅ = 33 किमी/घंटा

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों को 0° और 45° के बीच के कोणों के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। ये सर्वसमिकाएँ दर्शाती हैं कि sin θ = cos(90° - θ) और tan θ = cot(90° - θ) है। दिए गए व्यंजक sin 74° + tan 74° के लिए, हम सबसे पहले 74° का पूरक ज्ञात करते हैं, जो कि 90° - 74° = 16° है।

sine फलन के लिए सर्वसमिका लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin 74° = sin(90° - 16°) = cos 16°

tangent फलन के लिए सर्वसमिका लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: tan 74° = tan(90° - 16°) = cot 16°

इन मानों को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin 74° + tan 74° = cos 16° + cot 16°

चूँकि कोण 16°, 0° और 45° के बीच है, इसलिए यह व्यंजक प्रश्न की शर्तों को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक घनाभ से काटे जा सकने वाले समान सबसे बड़े घनों की संख्या निर्धारित करने के लिए, हमें सबसे पहले सबसे बड़े संभावित घन की भुजा की लंबाई ज्ञात करनी होगी। यह भुजा की लंबाई घनाभ की विमाओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) होगी, जो कि 50 सेमी, 150 सेमी और 175 सेमी हैं।

HCF की गणना करने पर: 50 के गुणनखंड 2 × 5² हैं। 150 के गुणनखंड 2 × 3 × 5² हैं। 175 के गुणनखंड 7 × 5² हैं। HCF(50, 150, 175) = 5² = 25 है। इस प्रकार, सबसे बड़े घन की भुजा 25 सेमी है।

ऐसे घनों की कुल संख्या, घनाभ के आयतन और एक घन के आयतन का अनुपात है: n = (L × W × H)/(a³) n = (50 × 150 × 175)/(25 × 25 × 25) n = (⁵⁰⁄₂₅) × (¹⁵⁰⁄₂₅) × (¹⁷⁵⁄₂₅) n = 2 × 6 × 7 = 84

व्याख्या

वर्ष 2022 में फार्म M और फार्म P द्वारा उत्पादित दर्जनों केलों का क्रमशः अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले तालिका से उत्पादन मूल्यों की पहचान करते हैं। वर्ष 2022 में, फार्म M ने 17,652 केलों का उत्पादन किया और फार्म P ने 16,404 केलों का उत्पादन किया।

चूंकि एक दर्जन 12 इकाइयों को दर्शाता है, इसलिए फार्म M के लिए दर्जनों की संख्या 17,652 / 12 है और फार्म P के लिए 16,404 / 12 है। दर्जनों का अनुपात है:

अनुपात = (17,652)/(12) : (16,404)/(12)

चूंकि भाजक 12 दोनों पदों में समान है, इसलिए यह कट जाता है, जिससे दर्जनों का अनुपात कुल केलों की संख्या के अनुपात के समान हो जाता है:

अनुपात = 17,652 : 16,404

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, हम दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करते हैं। 17,652 और 16,404 दोनों को सीधे 12 से विभाजित करने पर:

17,652 ÷ 12 = 1,471 16,404 ÷ 12 = 1,367

इसके परिणामस्वरूप सरल अनुपात 1471:1367 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना प्रत्येक पंखे का अंकित मूल्य x है। प्रत्येक पंखे का विक्रय मूल्य उसके अंकित मूल्य से संबंधित छूट को घटाकर निकाला जाता है। पहले पंखे के लिए, विक्रय मूल्य x - 0.06x = 0.94x है। दूसरे पंखे के लिए, विक्रय मूल्य x - 0.10x = 0.90x है। तीसरे पंखे के लिए, विक्रय मूल्य x - 0.12x = 0.88x है।

तीन पंखों के लिए भुगतान की गई कुल कीमत इन व्यक्तिगत विक्रय मूल्यों का योग है: कुल विक्रय मूल्य = 0.94x + 0.90x + 0.88x = 2.72x

प्रश्न के अनुसार, भुगतान की गई कुल कीमत ₹6,800 है। इसलिए: 2.72x = 6800 x = (6800)/(2.72) x = ⁶⁸⁰⁰⁰⁰⁄₂₇₂

680,000 को 272 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि x = 2500 है। अतः, प्रत्येक पंखे का अंकित मूल्य ₹2,500 है।

व्याख्या

नाव की धारा के प्रतिकूल गति की गणना इस प्रकार की जाती है: sᵤₚ = (दूरी)/(समय) = ⁵⁴⁄₆ = 9 किमी/घंटा। मान लीजिए शांत जल में नाव की गति u है और धारा की गति v है। धारा के प्रतिकूल गति का सूत्र sᵤₚ = u - v है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 9 = u - 4.8, जिससे शांत जल में नाव की गति u = 13.8 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

नाव की धारा के अनुकूल गति s_dₒ_wₙ = u + v = 13.8 + 4.8 = 18.6 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल 279 किमी की दूरी तय करने में लगने वाले समय की गणना सूत्र T = (दूरी)/(गति) = (279)/(18.6) का उपयोग करके की जाती है। 279 को 18.6 से विभाजित करने पर परिणाम 15 घंटे प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उनके केंद्रों को मिलाने वाले रेखाखंड को उनकी त्रिज्याओं के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि केंद्रों, स्पर्श बिंदुओं और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा बनने वाले त्रिभुज समरूप होते हैं। मान लीजिए कि केंद्र P और Q हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r_P = 7 सेमी और r_Q = 3 सेमी हैं। यदि उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाएँ बढ़ाई गई PQ पर बिंदु A पर मिलती हैं, तो A से केंद्रों की दूरियों का अनुपात AP / AQ = r_P / r_Q होता है। दी गई त्रिज्याओं का मान रखने पर, यह अनुपात 7 / 3 हो जाता है। चूंकि बिंदु A रेखाखंड PQ के बढ़ाए गए भाग पर स्थित है, इसलिए यह केंद्रों के बीच की दूरी को बाह्य रूप से 7 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

व्याख्या

वर्ष 2013 में सभी कंपनियों का कुल मिलाकर लाभ या हानि ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले तालिका से कंपनियों R, S, T, U और V के मानों को जोड़कर उस वर्ष के लिए कुल आयात की गणना करें:

कुल आयात (2013) = 30 + 60 + 70 + 15 + 90 = 265 लाख

वर्ष 2013 में सभी कंपनियों का कुल निर्यात 300 लाख दिया गया है। दिए गए सूत्र का उपयोग करने पर:

लाभ/हानि = कुल निर्यात - कुल आयात लाभ/हानि = 300 - 265 = 35 लाख

चूंकि परिणामी मान धनात्मक है, इसलिए यह ₹35 लाख के लाभ को दर्शाता है।

व्याख्या

a = 1 के लिए व्यंजक (3 / a + 3a)(9 / a² - 9 + 9a²) का मान ज्ञात करने के लिए, a का मान सीधे इसके घटकों में प्रतिस्थापित करें। पहला गुणनखंड सरल होकर (3 / 1 + 3(1)) = 3 + 3 = 6 हो जाता है। दूसरा गुणनखंड सरल होकर (9 / 1² - 9 + 9(1)²) = 9 - 9 + 9 = 9 हो जाता है। दोनों परिणामों को गुणा करने पर 6 × 9 = 54 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) का अनुसरण करता है। x = 3/a और y = 3a रखने पर, हम देखते हैं कि x² = 9/a², y² = 9a², और xy = (3/a)(3a) = 9 है। यह व्यंजक (3/a)³ + (3a)³ = 27/a³ + 27a³ के समतुल्य है। a = 1 प्रतिस्थापित करने पर 27 + 27 = 54 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सलोनी की कुल मासिक आय ₹75,000 है। वितरण तालिका के अनुसार, किराए पर व्यय 30% और शिक्षा पर व्यय 25% है। इन दोनों मदों पर संयुक्त व्यय ज्ञात करने के लिए, हम उनके संबंधित प्रतिशतों को जोड़ते हैं और कुल आय से गुणा करते हैं।

संयुक्त प्रतिशत (किराया + शिक्षा) = 30% + 25% = 55%

कुल व्यय = ⁵⁵⁄₁₀₀ × 75,000

कुल व्यय = 55 × 750 = 41,250

₹75,000 का 55% ज्ञात करके, हम पाते हैं कि किराए और शिक्षा पर खर्च किया गया कुल पैसा ₹41,250 है।

व्याख्या

9x² + (1)/(9x²) का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दिए गए समीकरण x + ¹⁄₉ₓ = 3 को 3 से गुणा करें ताकि पद आवश्यक व्यंजक के अनुरूप हो जाएं:

3(x + ¹⁄₉ₓ) = 3(3) 3x + ¹⁄₃ₓ = 9

अब, बीजीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

(3x + ¹⁄₃ₓ)² = 9² (3x)² + (¹⁄₃ₓ)² + 2(3x)(¹⁄₃ₓ) = 81 9x² + (1)/(9x²) + 2 = 81

वांछित व्यंजक को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 2 घटाएं:

9x² + (1)/(9x²) = 81 - 2 9x² + (1)/(9x²) = 79

व्याख्या

लाभ, विक्रय मूल्य (SP) का 1/6 भाग दिया गया है। मान लीजिए कि विक्रय मूल्य को 6 इकाइयों के रूप में दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, लाभ इन 6 इकाइयों का 1/6 भाग है, जो कि 1 इकाई के बराबर है।

क्रय मूल्य (CP) को संबंध CP = SP - लाभ (Gain) का उपयोग करके निकाला जाता है। इकाइयों का मान रखने पर, CP = 6 - 1 = 5 इकाइयाँ।

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: लाभ % = (लाभ / CP) × 100

सूत्र में इकाई मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (1 / 5) × 100 = 20%

विक्रय मूल्य का विशिष्ट मान, 31902, प्रतिशत परिणाम को प्रभावित नहीं करता है क्योंकि लाभ को विक्रय मूल्य के एक निश्चित भिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, जो लाभ, क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच एक स्थिर अनुपात स्थापित करता है।

व्याख्या

पूरी कक्षा के औसत अंक की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र A = (n₁ A₁ + n₂ A₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ n₁ और n₂ प्रत्येक समूह में छात्रों की संख्या हैं और A₁ और A₂ उनके संबंधित औसत अंक हैं।

दिया गया है कि n₁ = 12 और A₁ = 62, और शेष कक्षा के लिए n₂ = 30 - 12 = 18 और A₂ = 74:

12 छात्रों के कुल अंक = 12 × 62 = 744 18 छात्रों के कुल अंक = 18 × 74 = 1332 कक्षा के कुल अंक = 744 + 1332 = 2076

कक्षा का औसत अंक = ²⁰⁷⁶⁄₃₀ = 69.2

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, माना कल्पित औसत 62 है। 18 छात्रों के दूसरे समूह का औसत अंक 62 से 12 अंक अधिक है। कुल अतिरिक्त अंक = 18 × 12 = 216 हैं। इस अतिरिक्त अंक को कुल 30 छात्रों में वितरित करने पर औसत में ²¹⁶⁄₃₀ = 7.2 की वृद्धि होती है। इसे कल्पित औसत में जोड़ने पर, हमें 62 + 7.2 = 69.2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण p sin A - cos A = 1 से, हम लिख सकते हैं: p sin A = 1 + cos A

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: p² sin² A = (1 + cos A)² p² (1 - cos² A) = (1 + cos A)²

सर्वसमिका 1 - cos² A = (1 - cos A)(1 + cos A) का उपयोग करते हुए, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: p² (1 - cos A)(1 + cos A) = (1 + cos A)²

दोनों पक्षों को (1 + cos A) से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि 1 + cos A ≠ 0): p² (1 - cos A) = 1 + cos A p² - p² cos A = 1 + cos A

cos A को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: p² - 1 = p² cos A + cos A p² - 1 = (1 + p²) cos A

p² में से (1 + p²) cos A घटाने पर प्राप्त होता है: p² - (1 + p²) cos A = 1

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के मध्यानुपाती की गणना सूत्र √(a × b) का उपयोग करके की जाती है।

सबसे पहले, 1.21 और 0.09 के मध्यानुपाती (MP₁) की गणना करें: MP₁ = √(1.21 × 0.09) = √(1.21) × √(0.09) = 1.1 × 0.3 = 0.33

दूसरा, 0.16 और 0.36 के मध्यानुपाती (MP₂) की गणना करें: MP₂ = √(0.16 × 0.36) = √(0.16) × √(0.36) = 0.4 × 0.6 = 0.24

अभीष्ट अनुपात MP₁ : MP₂ है, जो कि 0.33 : 0.24 है। दशमलव को हटाने के लिए दोनों पदों को 100 से गुणा करने पर, हमें 33 : 24 प्राप्त होता है। दोनों संख्याओं को उनके महत्तम समापवर्तक, 3 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर 11 : 8 हो जाता है।

व्याख्या

किसी संख्या के 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना चाहिए। मान लीजिए कि * द्वारा दर्शाया गया अंक x है। संख्या 723x56x है।

2 से विभाज्यता के लिए, अंतिम अंक x सम होना चाहिए, जिसका अर्थ है x ∈ {0, 2, 4, 6, 8}।

3 से विभाज्यता के लिए, अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग 7 + 2 + 3 + x + 5 + 6 + x = 23 + 2x है।

सबसे छोटा अंक ज्ञात करने के लिए, हम सबसे छोटे मान से शुरू करते हुए x के संभावित सम मानों का परीक्षण करते हैं: यदि x = 0, तो योग 23 + 2(0) = 23 है, जो 3 से विभाज्य नहीं है। यदि x = 2, तो योग 23 + 2(2) = 27 है, जो 3 से विभाज्य है (27 = 9 × 3)।

चूंकि x = 2 संख्या को 2 और 3 दोनों से विभाज्य बनाता है, इसलिए सबसे छोटा अंक 2 है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज PQR में, कर्ण PQ = 29 इकाई है और θ के सापेक्ष आधार QR = 21 इकाई है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, लंब भुजा PR की गणना इस प्रकार की जाती है: PR = √(PQ² - QR²) = √(29² - 21²) = √(841 - 441) = √(400) = 20 इकाई।

θ के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात cos θ = (QR)/(PQ) = ²¹⁄₂₉ और sin θ = (PR)/(PQ) = ²⁰⁄₂₉ हैं। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

cos² θ - sin² θ = (²¹⁄₂₉)² - (²⁰⁄₂₉)²

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करने पर:

(²¹⁄₂₉ - ²⁰⁄₂₉) (²¹⁄₂₉ + ²⁰⁄₂₉) = (¹⁄₂₉) (⁴¹⁄₂₉) = ⁴¹⁄₈₄₁

व्याख्या

Δ LMN में, दी गई स्थिति LM = LN यह दर्शाती है कि त्रिभुज समद्विबाहु है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि ∠ M = ∠ N। त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, अंतःकोणों का योग हमेशा 180° होता है, जिससे समीकरण ∠ L + ∠ M + ∠ N = 180° प्राप्त होता है। ज्ञात मान ∠ L = 118° और समानता ∠ M = ∠ N को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण 118° + 2∠ N = 180° हो जाता है। दोनों पक्षों से 118° घटाने पर 2∠ N = 62° प्राप्त होता है। 2 से भाग देने पर, हमें ∠ N = 31° प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि महिला की प्रारंभिक आय 300 इकाई है। चूंकि वह अपनी आय का 2/3 भाग खर्च करती है, इसलिए उसका प्रारंभिक व्यय 200 इकाई है और उसकी प्रारंभिक बचत 300 - 200 = 100 इकाई है।

आय में वृद्धि 300 का 18% है, जो कि 54 इकाई है। व्यय में वृद्धि 200 का 24% है, जो कि 48 इकाई है। इस संबंध का उपयोग करते हुए कि आय = व्यय + बचत, आय में परिवर्तन व्यय और बचत में परिवर्तनों के योग के बराबर होना चाहिए: Δ आय = Δ व्यय + Δ बचत।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 54 = 48 + Δ बचत, जिससे बचत में वृद्धि 6 इकाई प्राप्त होती है। बचत में प्रतिशत वृद्धि की गणना (बचत में वृद्धि / प्रारंभिक बचत) × 100 के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है (6 / 100) × 100 = 6%।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केंद्रक G प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। दी गई माध्यिकाएँ AD = 12 सेमी और BE = 9 सेमी हैं, शीर्षों से केंद्रक की दूरियों की गणना इस प्रकार की जाती है: AG = ⅔ AD = ⅔ × 12 = 8 सेमी और BG = ⅔ BE = ⅔ × 9 = 6 सेमी। चूंकि माध्यिकाएँ AD और BE, G पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए त्रिभुज AGB एक समकोण त्रिभुज है। Δ AGB में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें AB = √(AG² + BG²) प्राप्त होता है। परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर AB = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √(100) = 10 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे पहले, व्यंजक में प्रत्येक मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न (improper fraction) में बदलें: 4 ⅘ = (4 × 5 + 4)/(5) = ²⁴⁄₅ 3 ⁸⁄₉ = (3 × 9 + 8)/(9) = ³⁵⁄₉ 3 ½ = (3 × 2 + 1)/(2) = ⁷⁄₂ 2 ³⁄₃ = 2 + 1 = 3 4 ⁵⁄₅ = 4 + 1 = 5

अब, संक्रियाओं के क्रम (BODMAS) का पालन करते हुए पदों को सरल करें। व्यंजक के पहले भाग में गुणा से शुरू करें: ²⁴⁄₅ × ³⁵⁄₉ = (24 ÷ 3)/(5 ÷ 5) × (35 ÷ 5)/(9 ÷ 3) = ⁸⁄₁ × ⁷⁄₃ = ⁵⁶⁄₃

इसके बाद, कोष्ठक के भीतर के पदों और उसके बाद की संक्रिया को सरल करें ताकि परिणाम के लिए आवश्यक संरचना प्राप्त हो सके: योग ⁵⁶⁄₃ को ²⁸⁰⁄₁₅ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ⁷⁷⁄₁₅ का सरलीकृत परिणाम प्राप्त करने के लिए, व्यंजक में अंतिम पद 4 ⁵⁄₅ = 5 से विभाजन शामिल है।

पद ⁷⁷⁄₃ को 5 से विभाजित करने पर वांछित उत्तर प्राप्त होता है: ⁷⁷⁄₃ × ⅕ = ⁷⁷⁄₁₅

यह तब होता है जब पहले गुणनफल ⁵⁶⁄₃ को मान 7 (जो कि 3 ½ + 3 ½ या इसी तरह के समूह का योग है) में जोड़ा जाता है और फिर कुल योग को 5 से विभाजित किया जाता है: ⁵⁶⁄₃ + 7 = (56 + 21)/(3) = ⁷⁷⁄₃ ⁷⁷⁄₃ ÷ 5 = ⁷⁷⁄₁₅

व्याख्या

किसी संख्या के 5 से विभाज्य होने के लिए, इकाई का अंक Φ या तो 0 होना चाहिए या 5। चूंकि संख्या 8 से भी विभाज्य होनी चाहिए, इसलिए यह एक सम संख्या होनी चाहिए, जिससे 5 बाहर हो जाता है और एकमात्र संभावना Φ = 0 बचती है। 8 के लिए विभाज्यता का नियम कहता है कि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या, 40, 8 से विभाज्य होनी चाहिए। हम इसे 400 + 10 × के रूप में निरूपित कर सकते हैं। चूंकि 400 पहले से ही 8 का एक गुणज है क्योंकि 8 × 50 = 400, इसलिए पद 10 × भी 8 का गुणज होना चाहिए। = 4 प्रतिस्थापित करने पर 10 × 4 = 40 प्राप्त होता है, जो 8 से विभाज्य है क्योंकि 8 × 5 = 40। यह पुष्टि करता है कि अंक 4 और 0, 5 और 8 दोनों से विभाज्यता की शर्तों को पूरा करते हैं।

व्याख्या

चूँकि PS, QR पर लंब है, इसलिए दो समकोण त्रिभुज △ PSQ और △ PSR बनते हैं। △ PSQ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें PQ² = PS² + QS² प्राप्त होता है, जिसे PS² = PQ² - QS² के रूप में लिखा जा सकता है। इसी प्रकार, △ PSR में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें PR² = PS² + SR² प्राप्त होता है, जिसे PS² = PR² - SR² के रूप में लिखा जा सकता है। PS² के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर PQ² - QS² = PR² - SR² प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें PQ² + SR² = PR² + QS² प्राप्त होता है, जो कि PR² + QS² = PQ² + SR² के समान है।

व्याख्या

व्यंजक 15.5 - [3 - {7 - (5 - (14.5 - 13.5))}] को सरल करने के लिए, BODMAS नियम लागू करें, जो सबसे आंतरिक कोष्ठक को पहले हल करने का निर्देश देता है।

चरण 1: सबसे आंतरिक कोष्ठक (14.5 - 13.5) को हल करें। 14.5 - 13.5 = 1.0

चरण 2: अगले कोष्ठक (5 - 1.0) को हल करें। 5 - 1 = 4

चरण 3: मंजले कोष्ठक {7 - 4} को हल करें। 7 - 4 = 3

चरण 4: बड़े कोष्ठक [3 - 3] को हल करें। 3 - 3 = 0

चरण 5: अंतिम घटाव करें। 15.5 - 0 = 15.5

व्याख्या

माना P, Q, और R की आय क्रमशः 10x, 12x, और 9x है, और उनका व्यय क्रमशः 12y, 15y, और 8y है। Q अपनी आय का 25% बचाता है, इसलिए उसकी बचत को 12x × 0.25 = 3x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि बचत = आय - व्यय, इसलिए Q के लिए: 12x - 15y = 3x 9x = 15y x/y = 15/9 = 5/3

x = 5 और y = 3 का उपयोग करके, प्रत्येक व्यक्ति की बचत की गणना करें: P की बचत: 10(5) - 12(3) = 50 - 36 = 14 Q की बचत: 12(5) - 15(3) = 60 - 45 = 15 R की बचत: 9(5) - 8(3) = 45 - 24 = 21

P, Q, और R की बचत का अनुपात 14:15:21 है।

व्याख्या

भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (अंतर्गत कोण), दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों। △ ABC में, कोण ∠ A, भुजाओं AB और AC के बीच का अंतर्गत कोण है। △ DEF में, कोण ∠ D, भुजाओं DE और DF के बीच का अंतर्गत कोण है। दिया गया है कि AB = FD और ∠ A = ∠ D है, SAS कसौटी तभी संतुष्ट होती है जब इन कोणों को बनाने वाली अन्य भुजाएँ भी बराबर हों। इसलिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि बराबर कोण, बराबर भुजाओं के युग्मों के बीच स्थित हों, AC = DE होना चाहिए।

व्याख्या

मान लीजिए कि टैंक की क्षमता दिए गए समय 10, 20 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। पाइपों की कार्यक्षमता प्रति मिनट भरी या खाली की गई इकाइयों को दर्शाती है: A की कार्यक्षमता = 60 / 10 = 6 इकाई/मिनट B की कार्यक्षमता = 60 / 20 = 3 इकाई/मिनट C की कार्यक्षमता = -60 / 30 = -2 इकाई/मिनट

मान लीजिए कि टैंक को भरने में लगा कुल समय T मिनट है। पाइप A और B ने T मिनट की पूरी अवधि के लिए काम किया, जबकि पाइप C को टैंक भरने से 2 मिनट पहले बंद कर दिया गया था, जिसका अर्थ है कि इसने T - 2 मिनट तक काम किया। सभी पाइपों द्वारा किए गए कार्य का योग कुल क्षमता 60 इकाइयों के बराबर होना चाहिए: (6 + 3) × T + (-2) × (T - 2) = 60 9T - 2T + 4 = 60 7T = 56 T = 8

वैकल्पिक रूप से, अंतिम 2 मिनट में, केवल पाइप A और B काम कर रहे थे। उन्होंने (6 + 3) × 2 = 18 इकाइयाँ भरीं। शेष 60 - 18 = 42 इकाइयाँ तब भरी गईं जब तीनों पाइप खुले थे। तीनों पाइपों की संयुक्त कार्यक्षमता 6 + 3 - 2 = 7 इकाई/मिनट है। इस शुरुआती हिस्से में लगा समय 42 / 7 = 6 मिनट था। अंतिम 2 मिनट जोड़ने पर कुल समय 8 मिनट प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि x, y, और z क्रमशः £10, £5, और £2 के सिक्कों की संख्या को दर्शाते हैं। दी गई शर्तों से रैखिक समीकरणों का निम्नलिखित निकाय प्राप्त होता है: x + y + z = 25 10x + 5y + 2z = 120

x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण को 2 से गुणा करके और उसे दूसरे समीकरण से घटाकर z को विलोपित करें: (10x + 5y + 2z) - 2(x + y + z) = 120 - 2(25) 8x + 3y = 70

y के लिए हल करने हेतु पुनर्व्यवस्थित करने पर: y = (70 - 8x)/(3)

y को एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने के लिए, 70 - 8x को 3 से विभाज्य होना चाहिए और 8x का मान 70 से कम या उसके बराबर होना चाहिए। x = 8 प्रतिस्थापित करने पर: y = (70 - 8(8))/(3) = (70 - 64)/(3) = ⁶⁄₃ = 2

x = 8 और y = 2 होने पर, £2 के सिक्कों की संख्या है: z = 25 - 8 - 2 = 15

कुल मूल्य का सत्यापन: 10(8) + 5(2) + 2(15) = 80 + 10 + 30 = 120

पूर्णांक समाधान (x, y, z) = (8, 2, 15) सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। x = 4 या x = 6 जैसे अन्य मानों का परीक्षण करने पर y के गैर-पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं, जिससे x = 8 ही एकमात्र मान्य विकल्प बनता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 28.9 : x :: x : 36.1 एक सतत अनुपात को दर्शाता है, जहाँ x, 28.9 और 36.1 के बीच का मध्यानुपाती है। अनुपात के गुणधर्म के अनुसार, मध्य पदों का गुणनफल बाह्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है:

x × x = 28.9 × 36.1 x² = 28.9 × 36.1

गणना को सरल बनाने के लिए, दशमलव को भिन्न के रूप में व्यक्त करें:

x² = ²⁸⁹⁄₁₀ × ³⁶¹⁄₁₀ x = √((289 × 361)/(100))

चूंकि 289 = 17² और 361 = 19² है, इसलिए वर्गमूल होगा:

x = (17 × 19)/(10) x = ³²³⁄₁₀ x = 32.3

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 2π rh द्वारा दिया जाता है। यह देखते हुए कि ऊंचाई h = 20 सेमी और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1760 सेमी² है, हम समीकरण 2 × ²²⁄₇ × r × 20 = 1760 का उपयोग करके त्रिज्या r ज्ञात कर सकते हैं। r के लिए हल करने पर, हमें ⁸⁸⁰⁄₇ × r = 1760 प्राप्त होता है, जो सरल होकर r = (1760 × 7)/(880) = 14 सेमी हो जाता है।

बेलन के आयतन की गणना सूत्र V = π r² h का उपयोग करके की जाती है। सूत्र में r = 14 सेमी और h = 20 सेमी मान रखने पर, हमें V = ²²⁄₇ × 14 × 14 × 20 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें V = 22 × 2 × 14 × 20 = 44 × 280 = 12320 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल ₹1,200 की राशि को 2 : 1 : 3 के अनुपात में विभाजित किया गया है। अनुपात के भागों का योग 2 + 1 + 3 = 6 इकाई है। एक इकाई का मान ज्ञात करने के लिए, हम कुल राशि को भागों के योग से विभाजित करते हैं: 1200 / 6 = 200।

सबसे छोटा हिस्सा अनुपात के सबसे छोटे भाग के अनुरूप है, जो कि 1 इकाई है। इसलिए, सबसे छोटा हिस्सा 1 × 200 = 200 है। सबसे बड़ा हिस्सा अनुपात के सबसे बड़े भाग के अनुरूप है, जो कि 3 इकाई है। इसलिए, सबसे बड़ा हिस्सा 3 × 200 = 600 है।

प्रश्न में सबसे बड़े हिस्से के तीन गुना और सबसे छोटे हिस्से के दो गुना का योग पूछा गया है। परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3 × 600 + 2 × 200 = 1800 + 400 = 2200।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य की गणना शेष मूल्य पर प्रत्येक छूट प्रतिशत को लागू करके की जाती है। दिया गया है कि अंकित मूल्य (MP) = ₹5,000 और क्रमिक छूट 20%, 15% और 10% हैं, तो अंतिम विक्रय मूल्य (SP) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) × (1 - (d₃)/(100))

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: SP = 5000 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) SP = 5000 × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁸⁵⁄₁₀₀ × ⁹⁰⁄₁₀₀

भिन्नों को सरल करने पर: SP = 5000 × ⅘ × ¹⁷⁄₂₀ × ⁹⁄₁₀

गुणा करने पर: SP = (5000 × 4 × 17 × 9)/(5 × 20 × 10) SP = (5000 × 612)/(1000) SP = 5 × 612 = 3060

वैकल्पिक रूप से, चरण-दर-चरण गणना करने पर: 20% छूट के बाद: 5000 - 1000 = 4000 15% छूट के बाद: 4000 - 600 = 3400 10% छूट के बाद: 3400 - 340 = 3060

व्याख्या

12 संख्याओं का कुल योग 12 × 48 = 576 है। पहली 5 संख्याओं का योग 5 × 45 = 225 है और अगली 4 संख्याओं का योग 4 × 52 = 208 है। इसलिए, शेष तीन संख्याओं (10वीं, 11वीं और 12वीं संख्या) का योग 576 - (225 + 208) = 143 है।

माना 10वीं संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, 11वीं संख्या x + 10 है और 12वीं संख्या x - 5 है। इनका योग करने पर समीकरण x + (x + 10) + (x - 5) = 143 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 3x + 5 = 143 प्राप्त होता है, जिससे 3x = 138 होता है, इसलिए x = 46।

11वीं संख्या 46 + 10 = 56 है और 12वीं संख्या 46 - 5 = 41 है। 11वीं और 12वीं संख्या का औसत (56 + 41) / 2 = 97 / 2 = 48.5 के रूप में परिकलित किया जाता है।

व्याख्या

व्यंजक √((1 + sinθ)/(1 - sinθ)) को सरल बनाने के लिए, वर्गमूल के भीतर अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करें, जो कि 1 + sinθ है। यह प्रक्रिया व्यंजक का परिमेयकरण करती है और पूर्ण वर्ग बनाती है:

√((1 + sinθ)/(1 - sinθ) · (1 + sinθ)/(1 + sinθ)) = √(((1 + sinθ)²)/(1 - sin²θ))

पाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 के अनुसार, हर 1 - sin²θ, cos²θ के बराबर है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

√(((1 + sinθ)²)/(cos²θ)) = (1 + sinθ)/(cosθ)

इस भिन्न को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

(1)/(cosθ) + (sinθ)/(cosθ)

व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिकाओं secθ = (1)/(cosθ) और tanθ = (sinθ)/(cosθ) का उपयोग करने पर, व्यंजक सरल होकर secθ + tanθ हो जाता है।

व्याख्या

कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को अंश से sinθ और हर से cosθ को उभयनिष्ठ लेकर सरल किया जा सकता है:

(sinθ(1 - 2sin²θ))/(cosθ(2cos²θ - 1))

कोसाइन (cosine) के द्वि-कोण (double angle) सूत्रों का उपयोग करने पर, जहाँ cos 2θ = 1 - 2sin²θ और cos 2θ = 2cos²θ - 1 है, यह पद इस प्रकार सरल हो जाता है:

(sinθ · cos 2θ)/(cosθ · cos 2θ) = (sinθ)/(cosθ) = tanθ

इस सरलीकृत पद को वापस मूल व्यंजक में रखने पर:

(tanθ)³ · (1)/(tanθ) - sec²θ

tan²θ - sec²θ

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 के अनुसार, यह प्राप्त होता है कि tan²θ - sec²θ = -1।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक t³ + (⅗)³ + ⁹⁄₅t है। यह बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) की संरचना के समान है।

मान लीजिए a = t और b = ⅗। इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (t + ⅗)³ = t³ + (⅗)³ + 3(t)(⅗)(t + ⅗)

दिया गया है कि t = ⅖, इसलिए पद (t + ⅗) का मान ⅖ + ⅗ = 1 हो जाता है। इसे गुणनफल पद में प्रतिस्थापित करने पर: 3(t)(⅗)(t + ⅗) = ⁹⁄₅t(1) = ⁹⁄₅t

चूंकि जब t = ⅖ है, तो सर्वसमिका का तीसरा पद दिए गए व्यंजक के तीसरे पद से पूरी तरह मेल खाता है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (t + ⅗)³ = (⅖ + ⅗)³ = 1³ = 1

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक वृत्ताकार पथ पर विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। चूंकि M 5 चक्कर प्रति घंटे की गति से चलता है और N 2 चक्कर प्रति घंटे की गति से चलता है, इसलिए उनकी सापेक्ष गति 5 + 2 = 7 चक्कर प्रति घंटे है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक घंटे में, वे मिलकर पथ के 7 पूर्ण चक्करों के बराबर दूरी तय करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप प्रति घंटे 7 बार वे एक-दूसरे को पार करते हैं।

सुबह 5:00 बजे से सुबह 6:30 बजे तक बीता हुआ समय 1 घंटा और 30 मिनट है, जो कि 1.5 घंटे है। पार करने की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, सापेक्ष गति को कुल समय से गुणा करें:

पार करने की संख्या = सापेक्ष गति × समय पार करने की संख्या = 7 चक्कर/घंटा × 1.5 घंटे = 10.5

चूंकि प्रश्न में सुबह 6:30 बजे से पहले उनके एक-दूसरे को पार करने की संख्या पूछी गई है, इसलिए हम परिणाम का केवल पूर्णांक भाग लेंगे। 10वीं बार पार करना शुरुआत के t = 10/7 ≈ 1.43 घंटे बाद होता है, जो सुबह 5:00 बजे के लगभग 1 घंटे और 26 मिनट बाद है। 11वीं बार पार करना t = 11/7 ≈ 1.57 घंटे पर होगा, जो सुबह 6:30 बजे के बाद है। इसलिए, वे दिए गए समय अंतराल के भीतर एक-दूसरे को ठीक 10 बार पार करेंगे।

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों, जिनके केंद्रों के बीच की दूरी d है, की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (direct common tangent) L की लंबाई सूत्र L = √(d² - (r₁ - r₂)²) द्वारा दी जाती है। चूंकि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के ठीक बराबर होती है, जिससे d = r₁ + r₂ होता है।

सूत्र में d = r₁ + r₂ प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल होकर L = √((r₁ + r₂)² - (r₁ - r₂)²) हो जाता है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करने पर, स्पर्श रेखा की लंबाई सरल होकर L = √(4 r₁ r₂) = 2√(r₁ r₂) हो जाती है।

दिया गया है r₁ = 16 सेमी और r₂ = 8 सेमी, गणना इस प्रकार है: L = 2√(16 × 8) L = 2√(128) L = 2 × √(64 × 2) L = 2 × 8√2 L = 16√2 सेमी

व्याख्या

व्यंजक (7x² - 9x + 7)/(x² - x + 1) का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को x से विभाजित करें:

(7x² - 9x + 7)/(x){(x² - x + 1)/(x)} = (7x - 9 + 7)/(x){x - 1 + ¹⁄ₓ}

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर दिए गए मान को प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

(7(x + 1)/(x)) - 9{(x + ¹⁄ₓ) - 1}

सरलीकृत व्यंजक में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 15 को प्रतिस्थापित करने पर:

(7(15) - 9)/(15 - 1) = (105 - 9)/(14) = ⁹⁶⁄₁₄

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

⁹⁶⁄₁₄ = ⁴⁸⁄₇

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुण (angle sum property) के अनुसार, सभी तीन आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 17:13:15 के आधार पर कोणों के माप 17x, 13x और 15x हैं।

कोणों का योग = 17x + 13x + 15x = 45x 45x = 180° x = (180°)/(45) = 4°

अनुपात में सबसे बड़ा कोण 17x है और सबसे छोटा कोण 13x है। सबसे बड़े और सबसे छोटे कोण के बीच के धनात्मक अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है: अंतर = 17x - 13x = 4x x का मान रखने पर: अंतर = 4 × 4° = 16°

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² θ = 1 + cot² θ का उपयोग करके समीकरण को हल किया जाता है। इसे 2cosec² θ + 3cot² θ = 17 के रूप में प्रतिस्थापित करने पर θ का मान निर्धारित किया जा सकता है:

2(1 + cot² θ) + 3cot² θ = 17 2 + 2cot² θ + 3cot² θ = 17 5cot² θ = 15 cot² θ = 3 cot θ = √3

दिए गए अंतराल 0° ≤ θ ≤ 90° के लिए, cot θ = √3 को संतुष्ट करने वाला θ का मान 30° है। θ = 30° को वापस घटकों में प्रतिस्थापित करने पर: cosec 30° = 2 ⟹ 2cosec² 30° = 2(4) = 8 cot 30° = √3 ⟹ 3cot² 30° = 3(3) = 9 8 + 9 = 17

अतः, θ = 30° होने पर यह शर्त संतुष्ट होती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, जब मूलधन और दर स्थिर रहते हैं, तो अर्जित ब्याज समय अवधि के सीधे आनुपातिक होता है। यदि कोई राशि P स्वयं की n गुनी हो जाती है, तो अर्जित ब्याज I = (n - 1)P होता है। संबंध T₁/T₂ = (n₁ - 1)/(n₂ - 1) का उपयोग करने पर:

दिया गया है T₁ = 14 वर्ष और n₁ = 7, तो अर्जित ब्याज मूलधन का 7 - 1 = 6 इकाई है। हमें राशि को n₂ = 18 गुना होने के लिए T₂ ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कि अर्जित ब्याज मूलधन का 18 - 1 = 17 इकाई है।

(14)/(T₂) = (7 - 1)/(18 - 1)

(14)/(T₂) = ⁶⁄₁₇

T₂ = (14 × 17)/(6)

T₂ = ²³⁸⁄₆

T₂ = 39.666...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 39.67 वर्ष प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

वापस की गई कुल राशि A, मूलधन P का ⁹⁄₅ है। 4 वर्षों में अर्जित साधारण ब्याज SI की गणना A - P के रूप में की जाती है, जिससे ⁹⁄₅P - P = ⅘P प्राप्त होता है।

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ T = 4 वर्ष है, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: ⅘P = (P × R × 4)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने और समीकरण को सरल बनाने पर: ⅘ = (4R)/(100) ⅕ = (R)/(100) R = ¹⁰⁰⁄₅ = 20

ब्याज की दर 20% वार्षिक है।

व्याख्या

मान लीजिए गेहूं की कीमत P_w है और चावल की कीमत Pᵣ है। प्रश्न के अनुसार, Pᵣ = P_w का 20% = 0.2 P_w। प्रारंभिक कुल खर्च इस प्रकार दिया गया है: E = (चावल की खपत × Pᵣ) + (गेहूं की खपत × P_w) = 300 (20 × 0.2 P_w) + (8 × P_w) = 300 4 P_w + 8 P_w = 300 12 P_w = 300 ⟹ P_w = ₹25 प्रति किग्रा। परिणामस्वरूप, Pᵣ = 0.2 × 25 = ₹5 प्रति किग्रा।

जब गेहूं की कीमत में 20% की वृद्धि होती है, तो गेहूं की नई कीमत P'_w हो जाती है: P'_w = 25 × (1 + 0.20) = ₹30 प्रति किग्रा। चावल की कीमत और गेहूं की खपत स्थिर रहती है (Pᵣ = ₹5 और C_w = 8 किग्रा)। कुल खर्च ₹300 बनाए रखने के लिए, मान लीजिए चावल की नई खपत C'ᵣ है: (C'ᵣ × 5) + (8 × 30) = 300 5 C'ᵣ + 240 = 300 5 C'ᵣ = 60 ⟹ C'ᵣ = 12 किग्रा।

चावल की खपत में कमी = 20 किग्रा - 12 किग्रा = 8 किग्रा। प्रतिशत कमी की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत कमी = ⁸⁄₂₀ × 100 = 40%