एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अनिल 192 / 64 = 3 घंटे यात्रा करने के बाद बिंदु B पर पहुँचता है। चूँकि वह सुबह 8:20 बजे शुरू करता है, इसलिए वह सुबह 11:20 बजे B पर पहुँचता है और अपनी वापसी यात्रा शुरू करता है।

सुबह 11:20 बजे, तीरथ 1 घंटे और 30 मिनट (सुबह 9:50 बजे से सुबह 11:20 बजे तक) से गाड़ी चला रहा है, जो कि 1.5 घंटे है। इस दौरान तीरथ द्वारा तय की गई दूरी 96 × 1.5 = 144 किमी है। इस क्षण, अनिल बिंदु B पर है (A से 192 किमी) और तीरथ A से 144 किमी दूर है।

सुबह 11:20 बजे अनिल और तीरथ के बीच की दूरी 192 - 144 = 48 किमी है। चूँकि वे अब एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं (अनिल B से A की ओर और तीरथ A से B की ओर), उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: 64 + 96 = 160 किमी/घंटा।

सुबह 11:20 बजे के बाद उनके मिलने में लगने वाले समय की गणना इस प्रकार की जाती है: समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति) = ⁴⁸⁄₁₆₀ = 0.3 घंटे

0.3 घंटे को मिनटों में बदलने पर: 0.3 × 60 = 18 मिनट। इसलिए, वे सुबह 11:20 बजे + 18 मिनट पर मिलते हैं, जो कि सुबह 11:38 बजे है।

व्याख्या

एक वृत्त की चाप की लंबाई l को सूत्र l = (θ)/(360) × 2π r द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ θ केंद्र पर अंतरित कोण है और r त्रिज्या है। दिए गए मानों l = 19.25 सेमी और θ = 18° को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 19.25 = ¹⁸⁄₃₆₀ × 2 × ²²⁄₇ × r। इस व्यंजक को सरल करने पर, 19.25 = ¹⁄₂₀ × ⁴⁴⁄₇ × r, जिससे 19.25 = ¹¹⁄₃₅ × r प्राप्त होता है। r के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है: r = (19.25 × 35)/(11) = 1.75 × 35 = 61.25 सेमी।

वृत्त का क्षेत्रफल A सूत्र A = π r² का उपयोग करके निकाला जाता है। त्रिज्या का मान प्रतिस्थापित करने पर, A = ²²⁄₇ × (61.25)² = ²²⁄₇ × 3751.5625। 3751.5625 को 7 से भाग देने पर 535.9375 प्राप्त होता है। अंततः, A = 22 × 535.9375 = 11790.625 सेमी²।

व्याख्या

ज्यामिति में सर्वांगसमता का अर्थ है कि दो आकृतियाँ आकार (size) और आकृति (shape) दोनों में समान हैं। दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए, प्रत्येक संगत भुजा की लंबाई बराबर होनी चाहिए और प्रत्येक संगत कोण का माप बराबर होना चाहिए। यदि त्रिभुजों का आकार या आकृति समान नहीं है, तो वे सर्वांगसमता की कसौटी पर खरे नहीं उतरते हैं। यह दावा कि त्रिभुज सर्वांगसम हो सकते हैं, भले ही उनका आकार और आकृति बराबर हो या न हो, इस शब्द की मूलभूत गणितीय परिभाषा का सीधा खंडन है।

व्याख्या

Q पर समकोण त्रिभुज PQR में, जहाँ PQ:QR = 3:4 है, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार कर्ण PR = 5 है। इसलिए, sin P = QR/PR = 4/5, sin Q = sin 90 = 1, और sin R = PQ/PR = 3/5 है। इनका योग 4/5 + 1 + 3/5 = 12/5 है।

व्याख्या

पहली दुकान 50% की सीधे छूट प्रदान करती है। दूसरी दुकान के लिए, 30% और 30% की दो क्रमिक छूटों की प्रभावी छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, कुल छूट 30 + 30 - (30 × 30)/(100) = 60 - 9 = 51% है।

दोनों छूट दरों के बीच का अंतर 51% - 50% = 1% है। चूंकि अंतिम बिल का अंतर ₹43 है, इसलिए क्रय मूल्य (P) का यह 1%, ₹43 के बराबर होना चाहिए।

P का 1% = 43 ¹⁄₁₀₀ × P = 43 P = 43 × 100 = 4,300

व्याख्या

माना एक कुर्सी का विक्रय मूल्य (SP) x है। प्रश्न के अनुसार, कुल लाभ (4x) कुल विक्रय मूल्य (20x) में से कुल क्रय मूल्य (18,000) घटाने के बराबर है, जिससे समीकरण 4x = 20x - 18,000 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर 16x = 18,000 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 1,125 आता है।

व्याख्या

भारित औसत की गणना दोनों कॉलेजों के कुल अंकों (180 * 88 + 320 * 72 = 15,840 + 23,040 = 38,880) को छात्रों की कुल संख्या (180 + 320 = 500) से विभाजित करके की जाती है। 38,880 को 500 से विभाजित करने पर परिणाम 77.76 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि x² + 1/x² = 18, (x + 1/x)² = 20 प्राप्त करने के लिए हम दोनों पक्षों में 2 जोड़ते हैं, जिससे x + 1/x = √20 = 2√5 प्राप्त होता है। सर्वसमिका x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) का उपयोग करके, हम गणना करते हैं: (2√5)³ - 3(2√5) = 40√5 - 6√5 = 34√5।

व्याख्या

एक ऐसी यात्रा के लिए औसत गति जिसमें दो समान दूरियाँ अलग-अलग गतियों से तय की जाती हैं, उसकी गणना सूत्र 2xy/(x+y) का उपयोग करके की जाती है। 64 किमी/घंटा और 80 किमी/घंटा के मानों को रखने पर, गणना (2 * 64 * 80) / (64 + 80) = 10240 / 144 है, जो 71.11 किमी/घंटा के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक में प्रत्येक भिन्न को बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।

इस सर्वसमिका को पहले पद पर लागू करने पर, अंश (p - (q - r))(p + (q - r)) = (p - q + r)(p + q - r) हो जाता है और हर ((p + r) - q)((p + r) + q) = (p + r - q)(p + r + q) हो जाता है। उभयनिष्ठ गुणनखंड (p - q + r) को निरस्त करने पर, पहला पद सरल होकर (p + q - r)/(p + q + r) हो जाता है।

दूसरे पद पर भी यही तर्क लागू करने पर, अंश (q - (p - r))(q + (p - r)) = (q - p + r)(q + p - r) है और हर ((p + q) - r)((p + q) + r) = (p + q - r)(p + q + r) है। उभयनिष्ठ गुणनखंड (p + q - r) को निरस्त करने पर, दूसरा पद सरल होकर (q - p + r)/(p + q + r) हो जाता है।

तीसरे पद के लिए, अंश (r - (p - q))(r + (p - q)) = (r - p + q)(r + p - q) है और हर ((q + r) - p)((q + r) + p) = (q + r - p)(q + r + p) है। उभयनिष्ठ गुणनखंड (r + q - p) को निरस्त करने पर, तीसरा पद सरल होकर (r + p - q)/(p + q + r) हो जाता है।

सरलीकृत पदों का योग करने पर प्राप्त होता है: (p + q - r)/(p + q + r) + (q - p + r)/(p + q + r) + (r + p - q)/(p + q + r) = (p + q - r + q - p + r + r + p - q)/(p + q + r) = (p + q + r)/(p + q + r) = 1

वैकल्पिक रूप से, प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए प्रतिस्थापन (substitution) शॉर्टकट का उपयोग करते हुए, माना p = 1, q = 1, r = 1। व्यंजक ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1 हो जाता है।

व्याख्या

जब किसी मूल्य में पहले एक निश्चित प्रतिशत की वृद्धि की जाती है और फिर छूट प्रतिशत द्वारा कमी की जाती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀।

इस प्रश्न में, विक्रेता वस्तुओं पर क्रय मूल्य से 20% अधिक मूल्य अंकित करता है, इसलिए x = +20। फिर वह 15% की छूट देता है, इसलिए y = -15। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

शुद्ध लाभ % = 20 - 15 + (20 × (-15))/(100) शुद्ध लाभ % = 5 - ³⁰⁰⁄₁₀₀ शुद्ध लाभ % = 5 - 3 = 2%

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि क्रय मूल्य 100 है, तो 20% मूल्य वृद्धि के बाद अंकित मूल्य 120 हो जाता है। 120 के अंकित मूल्य पर 15% की छूट की गणना इस प्रकार की जाती है: 120 × 0.15 = 18। इसके बाद विक्रय मूल्य 120 - 18 = 102 हो जाता है। लाभ प्रतिशत, क्रय मूल्य के सापेक्ष विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: (102 - 100)/(100) × 100 = 2%।

व्याख्या

एक पाइप में जितना पानी आ सकता है, उसका आयतन उसके आंतरिक बेलन के आयतन के बराबर होता है, जिसे V_wₐₜₑᵣ = π r² h द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ r आंतरिक त्रिज्या है और h ऊँचाई या लंबाई है। दिया गया है कि h = 1 मीटर और V_wₐₜₑᵣ = ⁸⁸⁄₇ घन मीटर, इसलिए ²²⁄₇ × r² × 1 = ⁸⁸⁄₇। r के लिए हल करने पर, हमें 22r² = 88 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है r² = 4, इसलिए आंतरिक त्रिज्या r = 2 मीटर है। आंतरिक व्यास dᵢ = 2r = 4 मीटर है। प्रश्न के अनुसार, आंतरिक व्यास बाहरी त्रिज्या R के बराबर है, इसलिए R = 4 मीटर है। पाइप बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री का आयतन बाहरी और आंतरिक आयतनों का अंतर होता है, जिसकी गणना सूत्र Vₘₐₜₑᵣᵢₐₑ = π (R² - r²) h का उपयोग करके की जाती है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Vₘₐₜₑᵣᵢₐₑ = ²²⁄₇ × (4² - 2²) × 1 = ²²⁄₇ × (16 - 4) = (22 × 12)/(7) = ²⁶⁴⁄₇ ≈ 37.71 घन इकाइयाँ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की चाल u किमी/घंटा है और धारा की चाल v किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल चाल D = u + v है और धारा के प्रतिकूल चाल U = u - v है। पहली शर्त के अनुसार, नाव धारा के प्रतिकूल 120 किमी और धारा के अनुकूल 120 किमी की दूरी 30 घंटे में तय करती है, इसलिए 120/U + 120/D = 30। 30 से भाग देने पर समीकरण 4/U + 4/D = 1 या 1/U + 1/D = 1/4 प्राप्त होता है।

दूसरी शर्त के अनुसार, नाव धारा के प्रतिकूल 25 किमी और धारा के अनुकूल 40 किमी की दूरी 7 घंटे में तय करती है, इसलिए 25/U + 40/D = 7। इस समीकरण निकाय को हल करने के लिए, मान लीजिए x = 1/U और y = 1/D। समीकरण x + y = 0.25 और 25x + 40y = 7 हो जाते हैं। पहले समीकरण को 40 से गुणा करने पर 40x + 40y = 10 प्राप्त होता है। इस परिणाम से दूसरे समीकरण को घटाने पर 15x = 3 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 1/5, इसलिए U = 5 किमी/घंटा। x = 0.2 को x + y = 0.25 में प्रतिस्थापित करने पर y = 0.05 प्राप्त होता है, इसलिए D = 20 किमी/घंटा।

शांत जल में नाव की चाल धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल चालों का औसत है, u = (D + U) / 2 = (20 + 5) / 2 = 12.5 किमी/घंटा। शांत जल में 16 घंटे में नाव द्वारा तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: दूरी = चाल × समय = 12.5 × 16 = 200 किमी।

व्याख्या

मान लीजिए कि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 3x और 2x हैं। आयत के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई का उपयोग करके की जाती है। सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3x × 2x = 150 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 6x² = 150 हो जाता है। दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर x² = 25 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 5।

x के मान का उपयोग करने पर, आयत की लंबाई 3 × 5 = 15 सेमी और चौड़ाई 2 × 5 = 10 सेमी है। आयत का परिमाप सूत्र परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई) द्वारा निर्धारित किया जाता है। विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर परिमाप = 2(15 + 10) = 2 × 25 = 50 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2 cot θ = 3 से, हमें cot θ = 3/2 और tan θ = 1/(cot θ) = 2/3 प्राप्त होता है। एक समकोण त्रिभुज में जहाँ cot θ = (आधार)/(लंब) होता है, माना आधार 3 है और लंब 2 है। कर्ण की गणना √(3² + 2²) = √13 के रूप में की जाती है।

इन मापों का उपयोग करते हुए, हम sin θ = (लंब)/(कर्ण) = 2/√13 और cos θ = (आधार)/(कर्ण) = 3/√13 निर्धारित करते हैं। दिए गए व्यंजक के अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: √(13) sin θ - 3 tan θ = √(13) ( 2/√13 ) - 3 ( 2/3 ) = 2 - 2 = 0

हर में प्रतिस्थापित करने पर: 3 tan θ + √(13) cos θ = 3 ( 2/3 ) + √(13) ( 3/13 ) = 2 + 3 = 5

भिन्न का मान 0/5 = 0 है।

व्याख्या

इस व्यंजक में दो कोणों के योग के कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग किया गया है, जिसे cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B के रूप में परिभाषित किया गया है।

दिए गए व्यंजक 2 + cos 49°cos 41° - sin 49°sin 41° में, माना A = 49° और B = 41° है। सर्वसमिका में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

cos 49°cos 41° - sin 49°sin 41° = cos(49° + 41°) cos 49°cos 41° - sin 49°sin 41° = cos 90°

चूंकि cos 90° का मान 0 होता है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

2 + 0 = 2

व्याख्या

जूनियर स्कूल के छात्रों की संख्या और सीनियर स्कूल के छात्रों की संख्या का अनुपात मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। मान लीजिए कि जूनियर छात्रों की संख्या n₁ है और सीनियर छात्रों की संख्या n₂ है।

जूनियर का शुल्क c₁ = 325 है और सीनियर का शुल्क c₂ = 400 है, जिसका भारित औसत A = 352 है। अनुपात n₁ : n₂ की गणना इस प्रकार की जाती है:

n₁ : n₂ = (c₂ - A) : (A - c₁) n₁ : n₂ = (400 - 352) : (352 - 325) n₁ : n₂ = 48 : 27

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर निम्नलिखित हो जाता है: n₁ : n₂ = 16 : 9

हमें दिया गया है कि n₁ = 80 है। अनुपात के अनुसार: 16 भाग = 80 1 भाग = ⁸⁰⁄₁₆ = 5

सीनियर छात्रों की संख्या 9 भागों के संगत है: n₂ = 9 × 5 = 45

व्याख्या

चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर है क्योंकि वे एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं: सापेक्ष गति (Vᵣₑₗ) = 20 किमी/घंटा - 17 किमी/घंटा = 3 किमी/घंटा। 8 मिनट में तय की गई दूरी को मीटर में ज्ञात करने के लिए, सापेक्ष गति को मीटर प्रति मिनट में बदलें: सापेक्ष गति (Vᵣₑₗ) = 3 × (1000 मीटर)/(60 मिनट) = 50 मीटर/मिनट। 8 मिनट में उनके बीच की दूरी में आई कमी इस प्रकार है: कम हुई दूरी = सापेक्ष गति × समय = 50 मीटर/मिनट × 8 मिनट = 400 मीटर। प्रारंभ में, उनके बीच की दूरी 500 मीटर थी। 8 मिनट के बाद बची हुई दूरी है: शेष दूरी = प्रारंभिक दूरी - कम हुई दूरी = 500 मीटर - 400 मीटर = 100 मीटर।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि जीवा की कुल लंबाई 40 सेमी है, इसलिए आधी जीवा की लंबाई 40 / 2 = 20 सेमी है।

वृत्त की त्रिज्या (r), केंद्र से जीवा की दूरी (d), और आधी जीवा की लंबाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ त्रिज्या कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

r² = 21² + 20² r² = 441 + 400 r² = 841 r = √(841) = 29 सेमी

यह गणना पाइथागोरास त्रिक (20, 21, 29) के अनुरूप है, जहाँ 20² + 21² = 29² है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य P, Q और R द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(10, 15, 20) = 60 इकाई है।

P की कार्यक्षमता 60 / 10 = 6 इकाई प्रति दिन है। Q की कार्यक्षमता 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है। R की कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है।

जब वे मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 6 + 4 + 3 = 13 इकाई प्रति दिन होती है। कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय कुल कार्य को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 60 / 13 दिन है। इस अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर, हमें 4 ⁸⁄₁₃ दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

5% की हानि और 5% के लाभ के बीच का कुल प्रतिशत अंतर 5% - (-5%) = 10% है। क्रय मूल्य (CP) में यह 10% का अंतर विक्रय मूल्य में ₹300 की वृद्धि के बराबर है।

माना घड़ी का क्रय मूल्य x है। x का 10% = 300 ¹⁰⁄₁₀₀ × x = 300 x = 3000

प्रश्न में वह मूल विक्रय मूल्य (SP) पूछा गया है जिस पर घड़ी बेची गई थी, जो कि 5% की हानि पर थी। SP = x × (100 - हानि%)/(100) SP = 3000 × ⁹⁵⁄₁₀₀ = 2850

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने के लिए घातांक नियम xᵐ⁺ⁿ = xᵐ × xⁿ का उपयोग करें। अंश में, 4ᵃ⁺⁴ को 4ᵃ⁺² × 4² के रूप में लिखा जा सकता है। 4ᵃ⁺² को बाहर निकालने पर प्राप्त होता है: 4ᵃ⁺²(4² - 5) = 4ᵃ⁺²(16 - 5) = 11 × 4ᵃ⁺²

हर में, ध्यान दें कि 2² = 4 है। इससे दोनों पदों से 4ᵃ को बाहर निकाला जा सकता है: 15 × 4ᵃ - 4 × 4ᵃ = 4ᵃ(15 - 4) = 11 × 4ᵃ

इन सरलीकृत व्यंजकों को वापस भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 11 × 4ᵃ⁺²{11 × 4ᵃ}

अचर 11 निरस्त हो जाता है। घातांक विभाजन नियम (xᵐ)/(xⁿ) = xᵐ⁻ⁿ का उपयोग करने पर, व्यंजक और सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है: 4⁽ᵃ⁺²⁾⁻ᵃ = 4² = 16

व्याख्या

समीकरण 720 ÷ 8 + 915 ÷ 15 - m + 32 × 5 = 1104 ÷ 16 × 111 ÷ 37 को हल करने के लिए BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, सबसे पहले दोनों पक्षों में भाग और गुणा की क्रियाएं करें। बाएँ पक्ष में, 720 ÷ 8 = 90, 915 ÷ 15 = 61, और 32 × 5 = 160 है, जिससे व्यंजक 90 + 61 - m + 160 में परिवर्तित हो जाता है। संख्यात्मक मानों को जोड़ने पर 90 + 61 + 160 = 311 प्राप्त होता है, इसलिए बायाँ पक्ष 311 - m है। दाएँ पक्ष में, व्यंजक में 1104 ÷ 16 = 69 और 111 ÷ 37 = 3 शामिल हैं, जिससे 69 × 3 = 207 प्राप्त होता है। सरलीकृत समीकरण 311 - m = 207 है। m को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर m = 311 - 207 प्राप्त होता है, जिससे m = 104 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि P द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय x दिन है। चूंकि P को Q से दोगुना और R से तीन गुना समय लगता है, इसलिए Q द्वारा लिया गया समय x/2 दिन है और R द्वारा लिया गया समय x/3 दिन है।

P, Q और R की संयुक्त कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है। चूंकि वे मिलकर कार्य को 2 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए समीकरण है:

¹⁄ₓ + (1)/(x/2) + (1)/(x/3) = ½

¹⁄ₓ + ²⁄ₓ + ³⁄ₓ = ½

(1 + 2 + 3)/(x) = ½

⁶⁄ₓ = ½

x = 12

Q द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय x/2 = 12/2 = 6 दिन है। वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, यदि P की कार्यक्षमता 1 इकाई/दिन है, तो Q की कार्यक्षमता 2 इकाई/दिन है और R की कार्यक्षमता 3 इकाई/दिन है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 1 + 2 + 3 = 6 इकाई/दिन है। कुल कार्य कार्यक्षमता और समय का गुणनफल है, जो कि 6 × 2 = 12 इकाई है। Q का समय 12 / 2 = 6 दिन है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के लिए जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई a है, परित्रिज्या R त्रिभुज के केंद्र से उसके किसी भी शीर्ष की दूरी होती है। एक समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या की गणना करने का सूत्र R = (a)/(√(3)) है। यह देखते हुए कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 12 सेमी है, हम R = (12)/(√(3)) प्राप्त करने के लिए सूत्र में a = 12 रखते हैं। अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर, हमें R = 12 √3/3 प्राप्त होता है। इस भिन्न को सरल करने पर R = 4√3 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए कोष्ठकों को पहले छोटे कोष्ठक, फिर मझले कोष्ठक और फिर बड़े कोष्ठक के क्रम में हल किया जाता है, जिसके बाद भाग, गुणा, जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ की जाती हैं।

सबसे पहले, सबसे आंतरिक कोष्ठक का मान ज्ञात करें: 10 - 4 + 3 = 6 + 3 = 9

इसके बाद, पिछले चरण के परिणाम का उपयोग करके मझले कोष्ठक का मान ज्ञात करें: {6 - 9} = -3

फिर, बड़े कोष्ठक का मान ज्ञात करें: [9 - (-3)] = 9 + 3 = 12

अब व्यंजक सरल होकर 22 - 12 ÷ 2 × 3 हो जाता है। संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, भाग और गुणा को बाएँ से दाएँ हल किया जाता है: 12 ÷ 2 = 6 6 × 3 = 18

अंत में, घटाव की संक्रिया करें: 22 - 18 = 4

व्याख्या

चोर को 10 मिनट की बढ़त मिलती है, जो कि 10 / 60 = 1/6 घंटा है। इस बढ़त की अवधि के दौरान चोर द्वारा तय की गई दूरी = चाल × समय = 6 किमी/घंटा × (1/6) घंटा = 1 किमी है। चोर को पकड़ने के लिए, पुलिसकर्मी को इस 1 किमी के अंतर को कम करना होगा। चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष चाल = 8 किमी/घंटा - 6 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा है। इस अंतर को पाटने के लिए आवश्यक समय = (अंतर)/(सापेक्ष चाल) = (1 किमी)/(2 किमी/घंटा) = 0.5 घंटा है। प्रारंभिक बिंदु से वह दूरी जहाँ पुलिसकर्मी चोर को पकड़ता है, उस समय में पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई कुल दूरी है, जो कि 8 किमी/घंटा × 0.5 घंटा = 4 किमी है। वैकल्पिक रूप से, समय के अंतर के सूत्र का उपयोग करके जहाँ x दूरी है, ˣ⁄₆ - ˣ⁄₈ = ¹⁰⁄₆₀ को सरल करने पर ˣ⁄₂₄ = ⅙ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 4 किमी आता है।

व्याख्या

बीजगणितीय व्यंजक a² + b² + c² - ab - bc - ca को मानक सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½ [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

दिए गए मानों a = 101, b = 102, और c = 103 को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a - b = 101 - 102 = -1 b - c = 102 - 103 = -1 c - a = 103 - 101 = 2

अब, इन अंतरों को वापस सूत्र में रखने पर: ½ [(-1)² + (-1)² + (2)²] = ½ [1 + 1 + 4] = ½ × 6 = 3

वैकल्पिक रूप से, जब a, b, और c समान अंतर (सार्व अंतर) d के साथ एक समांतर श्रेणी में होते हैं, तो व्यंजक a² + b² + c² - ab - bc - ca का मान हमेशा 3d² होता है। यहाँ, सार्व अंतर d, 1 है, इसलिए परिणाम 3 × (1)² = 3 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को स्वयं का n गुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन P का (n - 1) गुना होना चाहिए। यहाँ, राशि स्वयं की चार गुनी हो जाती है, जिसका अर्थ है मिश्रधन A = 4P। इसलिए, साधारण ब्याज SI = A - P = 4P - P = 3P।

साधारण ब्याज के मानक सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ R ब्याज की दर है और T वर्षों में समय है, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 3P = (P × R × 12)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने पर, समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 3 = (12R)/(100) 12R = 300 R = ³⁰⁰⁄₁₂ R = 25%

अतः, वार्षिक ब्याज दर 25% है।

व्याख्या

माना जनवरी 2022 में मासिक वेतन S है। 22% की ईएमआई (EMI) का भुगतान करने के बाद, शेष वेतन S का 100% - 22% = 78% है। यह शेष राशि किराने के सामान और कपड़ों के बीच 7:5 के अनुपात में विभाजित है। कपड़ों पर किया गया खर्च ₹18,200 दिया गया है। अनुपात का उपयोग करने पर: कपड़ों पर खर्च = ((5)/(7 + 5)) × 0.78S = 18200 (⁵⁄₁₂) × 0.78S = 18200 0.325S = 18200 S = (18200)/(0.325) = 56000

जनवरी 2022 में वेतन ₹56,000 था। फरवरी 2022 में, वेतन में 16% की वृद्धि हुई। फरवरी के वेतन की गणना इस प्रकार की जाती है: फरवरी का वेतन = 56000 × (1 + ¹⁶⁄₁₀₀) फरवरी का वेतन = 56000 × 1.16 = 64960

व्याख्या

सर्वसमिका tan 2α = (2tanα)/(1 - tan²α) में α = 15° प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: tan 30° = (2tan 15°)/(1 - tan² 15°) माना x = tan 15°। दिया गया है कि tan 30° = 1/√3, समीकरण इस प्रकार हो जाता है: 1/√3 = (2x)/(1 - x²) 1 - x² = 2√3x x² + 2√3x - 1 = 0 सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: x = (-2√3 ± √((2√3)² - 4(1)(-1))) / 2 = (-2√3 ± √16) / 2 = (-2√3 ± 4) / 2 = -√3 ± 2 चूंकि 15° प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए tan 15° धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, हम मूल x = 2 - √3 चुनते हैं। दिए गए मान √3 = 1.732 का उपयोग करने पर: tan 15° = 2 - 1.732 = 0.268

व्याख्या

स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, जब किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खंड और एक छेदक रेखा खंड खींचा जाता है, तो स्पर्श रेखा खंड की लंबाई का वर्ग, संपूर्ण छेदक रेखा खंड की लंबाई और उसके बाहरी भाग की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। इस स्थिति में, K बाहरी बिंदु है, KH स्पर्श रेखा है, और KDE छेदक रेखा है। यह संबंध सूत्र KH² = KD · KE द्वारा दिया गया है।

छेदक रेखा का बाहरी भाग KD = 9 सेमी और जीवा DE = 7 सेमी दिया गया है। संपूर्ण छेदक रेखा खंड KE की लंबाई इन दोनों भागों का योग है, इसलिए KE = KD + DE = 9 + 7 = 16 सेमी। सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर KH² = 9 · 16 प्राप्त होता है। इन्हें गुणा करने पर KH² = 144 प्राप्त होता है। KH की लंबाई ज्ञात करने के लिए, 144 का वर्गमूल लें, जिसके परिणामस्वरूप KH = 12 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब कुल कार्य स्थिर होता है, तो कार्यक्षमता और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, जिसे सूत्र E₁ × T₁ = E₂ × T₂ द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। माना विराट की कार्यक्षमता 100 है। चूंकि डैनियल, विराट की तुलना में 60% अधिक कुशल है, इसलिए डैनियल की कार्यक्षमता 160 है।

व्युत्क्रम अनुपात संबंध का उपयोग करने पर: 100 × 30 = 160 × T_Dₐₙᵢₑₗ 3000 = 160 × T_Dₐₙᵢₑₗ T_Dₐₙᵢₑₗ = ³⁰⁰⁰⁄₁₆₀ T_Dₐₙᵢₑₗ = ³⁰⁰⁄₁₆

अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: T_Dₐₙᵢₑₗ = ⁷⁵⁄₄

अनुचित भिन्न ⁷⁵⁄₄ को मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए, हम 75 को 4 से विभाजित करते हैं: 75 = 18 × 4 + 3 इसलिए, T_Dₐₙᵢₑₗ = 18 ¾ दिन।

व्याख्या

सही औसत की गणना गलत पढ़े गए मान के कारण हुए शुद्ध परिवर्तन के साथ प्रारंभिक औसत को समायोजित करके की जा सकती है। संशोधित औसत का सूत्र है:

सही औसत = पुराना औसत + (सही मान - गलत मान)/(n)

यह देखते हुए कि पुराना औसत 45 है, प्रेक्षणों की संख्या n = 36 है, सही मान 84 है, और गलत मान 48 है, हम योग में शुद्ध अंतर की गणना करते हैं:

शुद्ध अंतर = 84 - 48 = 36

अब, शुद्ध अंतर को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करके औसत में परिवर्तन ज्ञात कीजिए:

औसत में परिवर्तन = ³⁶⁄₃₆ = 1

मूल औसत में इस समायोजन को लागू करने पर:

सही औसत = 45 + 1 = 46

व्याख्या

दिया गया है कि sin 23° = (a)/(b), हम सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करके cos 23° का मान ज्ञात कर सकते हैं। इस प्रकार, cos 23° = √(1 - ((a)/(b))²) = √(b² - a²){b}।

मान ज्ञात करने वाला व्यंजक sec 23° - sin 67° है। पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करने पर, हमें sin 67° = sin(90° - 23°) = cos 23° प्राप्त होता है। इसे और sec 23° = (1)/(cos 23°) को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

sec 23° - cos 23° = (1)/(cos 23°) - cos 23° = (1 - cos² 23°)/(cos 23°) = (sin² 23°)/(cos 23°)

sin 23° और cos 23° के मान प्रतिस्थापित करने पर:

((a)/(b))²{√(b² - a²){b}} = (a²)/(b²) · (b)/(√(b² - a²)) = (a²)/(b√(b² - a²))

व्याख्या

मान लीजिए कि B, S, और A क्रमशः भास्कर, सराय और अर्जुन द्वारा प्राप्त मतों की संख्या को दर्शाते हैं। प्रश्न के अनुसार, सराय को भास्कर से 2% कम मत मिले: S = B - 0.02B = 0.98B

भास्कर और सराय के मतों के बीच का अंतर 1296 दिया गया है: B - S = 1296 B - 0.98B = 1296 0.02B = 1296 B = (1296)/(0.02) = 64800

अर्जुन को सराय से 50% अधिक मत मिले: A = 1.5 × S = 1.5 × (0.98B) = 1.47B

प्रश्न में अर्जुन और भास्कर के मतों के बीच के अंतर का आधा पूछा गया है। हम पहले B के पदों में अंतर ज्ञात करते हैं: |A - B| = |1.47B - B| = 0.47B

अभीष्ट मान है: ½ × 0.47B = 0.235B

ऊपर परिकलित B का मान रखने पर: 0.235 × 64800 = 23.5 × 648 = 15228

व्याख्या

कक्षा में लड़कों की संख्या 60 - 20 = 40 है। पूरी कक्षा के औसत वजन की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत वजन = ((n₁ × w₁) + (n₂ × w₂))/(n₁ + n₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ n₁ = 40 लड़के जिनका औसत w₁ = 40 किग्रा है, और n₂ = 20 लड़कियाँ जिनका औसत w₂ = 35 किग्रा है:

औसत वजन = ((40 × 40) + (20 × 35))/(40 + 20)

औसत वजन = (1600 + 700)/(60)

औसत वजन = ²³⁰⁰⁄₆₀ = ²³⁰⁄₆ = 38.333...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, पूरी कक्षा का औसत वजन 38.33 किग्रा है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, csc² θ - cot² θ = 1 होता है। इसे (csc θ + cot θ)(csc θ - cot θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। चूंकि csc θ + cot θ = m दिया गया है, इसलिए इसका मान प्रतिस्थापित करने पर हमें csc θ - cot θ = ¹⁄ₘ प्राप्त होता है।

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2 csc θ = m + ¹⁄ₘ = (m² + 1)/(m)

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: 2 cot θ = m - ¹⁄ₘ = (m² - 1)/(m)

(m² - 1)/(m² + 1) का मान ज्ञात करने के लिए, हम घटाव के परिणाम को जोड़ के परिणाम से विभाजित करते हैं: (2 cot θ)/(2 csc θ) = ((m² - 1) / m)/((m² + 1) / m)

दोनों पक्षों को सरल करने पर: (cos θ / sin θ)/(1 / sin θ) = (m² - 1)/(m² + 1) cos θ = (m² - 1)/(m² + 1)

व्याख्या

अनुपात ⅘ : ⅚ : ⁹⁄₁₀ को सरल बनाने के लिए, हम प्रत्येक पद को हरों 5, 6 और 10 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 30 है, से गुणा करते हैं।

पहला पद: ⅘ × 30 = 24 दूसरा पद: ⅚ × 30 = 25 तीसरा पद: ⁹⁄₁₀ × 30 = 27

तीनों संख्याओं का सरलीकृत अनुपात 24 : 25 : 27 है। माना संख्याएँ 24x, 25x और 27x हैं। सबसे छोटा मान 24x है और सबसे बड़ा मान 27x है। उनके बीच का अंतर 12 दिया गया है:

27x - 24x = 12 3x = 12 x = 4

वह संख्या जो न तो सबसे छोटी है और न ही सबसे बड़ी है, वह मध्य पद 25x है। x का मान रखने पर प्राप्त होता है:

25 × 4 = 100

व्याख्या

दोनों त्रिज्याओं (15 सेमी और 13 सेमी) और केंद्रों के बीच की दूरी (14 सेमी) द्वारा बनने वाले त्रिभुज में, उभयनिष्ठ जीवा केंद्रों के बीच की दूरी को दर्शाने वाली भुजा पर खींचे गए शीर्षलंब की ठीक दोगुनी होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो प्रतिच्छेदी वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है।

सबसे पहले, 15 सेमी, 13 सेमी और 14 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज के अर्ध-परिमाप s की गणना करें: s = (15 + 13 + 14)/(2) = 21 सेमी

इसके बाद, हीरोन के सूत्र का उपयोग करके इस त्रिभुज का क्षेत्रफल A ज्ञात करें: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(21(21-15)(21-13)(21-14)) A = √(21 × 6 × 8 × 7) = √(7056) = 84 सेमी²

त्रिभुज के क्षेत्रफल को ½ × आधार × ऊँचाई के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। केंद्रों के बीच की दूरी (14 सेमी) को आधार और उभयनिष्ठ जीवा के आधे भाग (h) को ऊँचाई मानकर: 84 = ½ × 14 × h 84 = 7h h = 12 सेमी

उभयनिष्ठ जीवा की कुल लंबाई 2h है, जो कि 2 × 12 = 24 सेमी है।

व्याख्या

प्रदान किए गए आंकड़े 'से कम' प्रकार के संचयी बारंबारता वितरण हैं। इस प्रारूप में, प्रत्येक वर्ग सीमा से जुड़ा मान उन प्रेक्षणों की कुल संख्या को दर्शाता है जो उस विशिष्ट मान से कम हैं। तालिका में स्पष्ट रूप से बताया गया है कि 20 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 5 है। इस संचयी योग में शून्य से लेकर 20 तक (लेकिन 20 को छोड़कर) अंक प्राप्त करने वाले सभी छात्र शामिल हैं। इसलिए, यह संख्या सीधे अंकों के वितरण तालिका की दूसरी पंक्ति से ली गई है।

व्याख्या

बीजीय व्यंजक x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, हम चरों के दिए गए संख्यात्मक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। x = 1 और y = 2 प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक 1² + 2² हो जाता है। सबसे पहले घातों का मान निकालने पर, हम पाते हैं कि 1² = 1 × 1 = 1 और 2² = 2 × 2 = 4 है। इन व्यक्तिगत परिणामों को आपस में जोड़ने पर 1 + 4 = 5 प्राप्त होता है। यह सीधा प्रतिस्थापन और अंकगणितीय योग निर्दिष्ट निर्देशांकों पर व्यंजक का परिणाम प्रदान करता है।

व्याख्या

दुकानदार को केवल उसी वजन के लिए लागत लगती है जो वह वास्तव में ग्राहक को देता है। चूंकि 1000 ग्राम बाजरे की लागत ₹16 है, इसलिए दिए गए 800 ग्राम का क्रय मूल्य (CP) है:

CP = 16 × ⁸⁰⁰⁄₁₀₀₀ = ₹12.8

दुकानदार इस 800 ग्राम मात्रा को ₹20 में बेचता है। इस लेनदेन पर अर्जित वास्तविक लाभ विक्रय मूल्य और दी गई मात्रा की लागत के बीच का अंतर है:

लाभ = 20 - 12.8 = ₹7.2

वास्तविक लाभ प्रतिशत की गणना बेची गई वस्तुओं की लागत (₹12.8) के आधार पर की जाती है:

लाभ प्रतिशत = (लाभ)/(CP) × 100 लाभ प्रतिशत = (7.2)/(12.8) × 100 = ⁷²⁄₁₂₈ × 100

अंश और हर दोनों को 8 से विभाजित करके भिन्न ⁷²⁄₁₂₈ को सरल करने पर ⁹⁄₁₆ प्राप्त होता है।

लाभ प्रतिशत = ⁹⁄₁₆ × 100 = 56.25%

क्रमिक अनुपात विधि (successive ratio method) का उपयोग करते हुए, मूल्य के कारण लाभ अनुपात ²⁰⁄₁₆ = ⁵⁄₄ है और वजन के कारण लाभ अनुपात ¹⁰⁰⁰⁄₈₀₀ = ⁵⁄₄ है। कुल अनुपात ⁵⁄₄ × ⁵⁄₄ = ²⁵⁄₁₆ है। लाभ 16 इकाइयों के आधार पर 25 - 16 = 9 इकाइयाँ है, जिसके परिणामस्वरूप 56.25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दी गई समयावधियों 30 और 120 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 120 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता E_A + E_B = ¹²⁰⁄₃₀ = 4 इकाई प्रति दिन है। अकेले C की कार्यक्षमता E_C = ¹²⁰⁄₁₂₀ = 1 इकाई प्रति दिन है।

प्रश्न के अनुसार, A को B और C द्वारा मिलकर लिए गए दिनों की तुलना में 1.5 गुना समय लगता है। चूंकि कार्यक्षमता लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए A की कार्यक्षमता B और C की संयुक्त कार्यक्षमता की (1)/(1.5) गुना है। इसे E_A = (1)/(1.5)(E_B + E_C) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो सरल होकर 3E_A = 2(E_B + E_C) हो जाता है।

कार्यक्षमता समीकरण में E_A = 4 - E_B और E_C = 1 रखने पर: 3(4 - E_B) = 2(E_B + 1) 12 - 3E_B = 2E_B + 2 10 = 5E_B E_B = 2 इकाई प्रति दिन।

B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए दिनों की संख्या कुल कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: दिन = ¹²⁰⁄₂ = 60 दिन।

व्याख्या

कार्य की दर पूर्ण किए गए कुल कार्य और लिए गए समय का अनुपात होती है। आरती की टाइपिंग दर की गणना इस प्रकार की जाती है: R_A = (85 पृष्ठ)/(10 घंटे) = 8.5 पृष्ठ प्रति घंटा। आरती और बीना की संयुक्त टाइपिंग दर R_A₊_B = (500 पृष्ठ)/(40 घंटे) = 12.5 पृष्ठ प्रति घंटा है।

बीना की व्यक्तिगत टाइपिंग दर ज्ञात करने के लिए, संयुक्त दर में से आरती की दर को घटाएं: R_B = R_A₊_B - R_A = 12.5 - 8.5 = 4 पृष्ठ प्रति घंटा। इसके बाद बीना द्वारा 40 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक समय की गणना कुल पृष्ठों की संख्या को उसकी प्रति घंटे की दर से विभाजित करके की जाती है: समय = (40 पृष्ठ)/(4 पृष्ठ/घंटा) = 10 घंटे।

व्याख्या

इस व्यंजक को BODMAS नियम का पालन करते हुए हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), घातांक (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, आंतरिक कोष्ठक के भीतर की गणना को हल करें: 6 + 6 = 12

इसे वापस मुख्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: [7 + 30 ÷ 6 - 12 + 7]

इसके बाद, भाग की संक्रिया करें: 30 ÷ 6 = 5

अब व्यंजक सरल होकर इस प्रकार हो जाता है: 7 + 5 - 12 + 7

अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव की संक्रिया करें: 7 + 5 = 12 12 - 12 = 0 0 + 7 = 7

वैकल्पिक रूप से, पहले सभी जोड़ने वाले पदों को समूहित करके: (7 + 5 + 7) - 12 = 19 - 12 = 7

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। चूँकि दोनों मामलों में साधारण ब्याज बराबर बताया गया है, हम दोनों स्थितियों के समीकरणों को बराबर रख सकते हैं:

(800 × 5.5 × 6)/(100) = (600 × 4 × T)/(100)

हर (denominator) को हटाने और संख्याओं को सरल करने पर: 800 × 5.5 × 6 = 600 × 4 × T 4800 × 5.5 = 2400 × T

दोनों पक्षों को 2400 से विभाजित करने पर: 2 × 5.5 = T T = 11

T का मान वर्षों में आवश्यक समयावधि को दर्शाता है।

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले स्कूल Q और R के लिए कक्षा IX में छात्रों की कुल संख्या की गणना करें। तालिका से, स्कूल Q के लिए कक्षा IX में छात्रों की संख्या 157 है और स्कूल R के लिए 143 है। इनका योग 157 + 143 = 300 है।

इसके बाद, स्कूल S और T के लिए कक्षा VI में छात्रों की कुल संख्या की गणना करें। तालिका के अनुसार, स्कूल S में 142 छात्र हैं और स्कूल T में कक्षा VI में 144 छात्र हैं। इनका योग 142 + 144 = 286 है।

क्रमशः अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है: अनुपात = 300 : 286

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 2 है, से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर निम्न हो जाता है: 150 : 143

व्याख्या

द्वितीय चतुर्थांश में, sin फलन धनात्मक होता है जबकि cos, tan और cot फलन ऋणात्मक होते हैं।

दिया गया है कि tan x = -¹²⁄₅, हम लंब P = 12 और आधार B = -5 मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण H की गणना की जाती है: H = √(P² + B²) = √(12² + (-5)²) = √(144 + 25) = 13

द्वितीय चतुर्थांश में x के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: sin x = (P)/(H) = ¹²⁄₁₃ cot x = (1)/(tan x) = -⁵⁄₁₂

इन मानों को आवश्यक व्यंजक sin x - cot x में प्रतिस्थापित करने पर: ¹²⁄₁₃ - (-⁵⁄₁₂) = ¹²⁄₁₃ + ⁵⁄₁₂

इसे हल करने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं, जो कि 13 × 12 = 156 है: (144 + 65)/(156) = ²⁰⁹⁄₁₅₆

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह द्वारा विभाज्य न्यूनतम संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होती है। 2, 3, 5, 6, 9 और 18 का LCM ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं: 2 = 2¹ 3 = 3¹ 5 = 5¹ 6 = 2¹ × 3¹ 9 = 3² 18 = 2¹ × 3²

LCM इसमें शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: LCM = 2¹ × 3² × 5¹ = 2 × 9 × 5 = 90

किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। 90 के अभाज्य गुणनखंडन में, जो कि 2¹ × 3² × 5¹ है, गुणनखंड 2 और 5 के घातांक विषम हैं। न्यूनतम पूर्ण वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम 90 को लुप्त अभाज्य गुणनखंडों से गुणा करते हैं ताकि उनके घातांक सम हो जाएं: अभीष्ट संख्या = 90 × 2¹ × 5¹ = 90 × 10 = 900

इस प्रकार, 900 वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग (30²) है जो दी गई सभी संख्याओं से विभाज्य है।