एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समकोण त्रिभुज △ ABC में, जहाँ B पर समकोण है, भुजा AB, ∠ CAB की संलग्न भुजा (adjacent side) है और भुजा BC सम्मुख भुजा (opposite side) है। वह त्रिकोणमितीय अनुपात जो सम्मुख भुजा को संलग्न भुजा से जोड़ता है, स्पर्शज्या (tangent) फलन है।

∠ CAB के लिए स्पर्शज्या (tangent) की परिभाषा के अनुसार:

tan(∠ CAB) = (सम्मुख)/(संलग्न) = (BC)/(AB)

यह दिया गया है कि AB = 12 सेमी और ∠ CAB = 60° है, हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:

tan(60°) = (BC)/(12)

चूंकि tan(60°) का मान √3 होता है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

√3 = (BC)/(12)

दोनों पक्षों को 12 से गुणा करके BC का मान ज्ञात करने पर प्राप्त होता है:

BC = 12√3 सेमी

व्याख्या

व्यंजक (3²)² + 3 * 3 / 3 - 3 को सरल करने पर 81 + 3 - 3 प्राप्त होता है, जो 81 के बराबर है। चूंकि 9² का मान 81 होता है, इसलिए विकल्प B सही उत्तर है।

व्याख्या

A और B की कार्यक्षमता का अनुपात 5.4:1 है, जो कि 27:5 है, इसलिए लिए गए समय का अनुपात 5:27 है। समय की इकाइयों में अंतर 22 है, जो 22 दिनों के बराबर है, जिसका अर्थ है कि A को 5 दिन और B को 27 दिन लगते हैं। एक साथ कार्य करते हुए, वे कार्य को (5 * 27) / (5 + 27) = 135/32 = 4 7/32 दिनों में पूरा करते हैं।

व्याख्या

पाइप S3 खोले जाने के बाद लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले पाइपों की कार्यक्षमता निर्धारित करते हैं। यह मानते हुए कि टैंक की क्षमता 15, 20 और 40 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 120 इकाई है, कार्यक्षमता इस प्रकार है: S1 = 8 इकाई/घंटा, S2 = 6 इकाई/घंटा, और S3 = -3 इकाई/घंटा (खाली करना)। पहले 2 घंटों में, S1 और S2 मिलकर (8 + 6) * 2 = 28 इकाई भरते हैं, जिससे भरने के लिए 120 - 28 = 92 इकाई शेष बचती है। जब तीनों पाइप खुले होते हैं, तो शुद्ध कार्यक्षमता 8 + 6 - 3 = 11 इकाई/घंटा होती है, इसलिए आवश्यक शेष समय 92/11 घंटे है।

व्याख्या

अमित की प्रति घंटे कार्य करने की दर 1/5 है। अमित और पॉल की मिलकर कार्य करने की दर 1/3 है, इसलिए पॉल की दर 1/3 - 1/5 = 2/15 है। चूंकि जीवन और पॉल की मिलकर कार्य करने की दर 1/4 है, इसलिए जीवन की दर 1/4 - 2/15 = 7/60 है। जीवन को 60/7 घंटे लगेंगे, जो लगभग 8.57 घंटे है, जिसे निकटतम पूर्णांक 9 तक पूर्णांकित किया गया है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (2a - 5)/a - (4b - 5)/b + (6c + 5)/c = 0 को सरल करने पर (2 - 5/a) - (4 - 5/b) + (6 + 5/c) = 0 प्राप्त होता है। अचर पदों को व्यवस्थित करने पर 2 - 4 + 6 = 5/a - 5/b - 5/c प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर 4 = 5(1/a - 1/b - 1/c) हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप (1/a - 1/b - 1/c) = 4/5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और R इसकी त्रिज्या है। केंद्र से d दूरी पर स्थित L लंबाई की किसी भी जीवा के लिए, संबंध पाइथागोरस प्रमेय द्वारा इस प्रकार दिया गया है: R² = ((L)/(2))² + d²।

मान लीजिए केंद्र से जीवा AB (लंबाई 28 सेमी) की दूरी x है। चूंकि जीवा CD (लंबाई 22 सेमी) समांतर है और केंद्र के एक ही ओर AB से 4 सेमी की दूरी पर है, इसलिए केंद्र से इसकी दूरी x + 4 है।

जीवा AB के लिए: R² = 14² + x² = 196 + x²

जीवा CD के लिए: R² = 11² + (x + 4)² = 121 + x² + 8x + 16

R² के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: 196 + x² = 137 + x² + 8x 8x = 196 - 137 8x = 59 x = 7.375 सेमी

R² के समीकरण में x का मान वापस रखने पर: R² = 196 + (7.375)² R² = 196 + 54.390625 R² = 250.390625 R = √(250.390625) ≈ 15.8237 सेमी

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, वृत्त की त्रिज्या 15.82 सेमी है।

व्याख्या

सबसे पहले, दिए गए समीकरण x - 1/x = 2√2 का वर्ग करने पर हमें x² + 1/x² - 2 = 8 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x² + 1/x² = 10 प्राप्त होता है। फिर, सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का उपयोग करके इस परिणाम का घन करने पर, हमें x⁶ + 1/x⁶ + 3(10) = 10³ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 1000 - 30 = 970 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे पहले, प्रारंभिक विक्रय मूल्य और लाभ प्रतिशत का उपयोग करके क्रय मूल्य की गणना करें: क्रय मूल्य = 22,400 / 1.12 = 20,000। लाभ प्रतिशत को 12% से दोगुना करके 24% करने के लिए, नए विक्रय मूल्य की गणना 20,000 * 1.24 = 24,800 के रूप में की जाती है। अतः, विकल्प B सही उत्तर है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज के अर्धपरिमाप को उसके कुल परिमाप के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि परिमाप 100 सेमी दिया गया है, इसलिए अर्धपरिमाप 100 / 2 = 50 सेमी है।

व्याख्या

r₁%, r₂%, और r₃% की तीन क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना प्रारंभिक अंकित मूल्य के सापेक्ष अंतिम विक्रय मूल्य निर्धारित करके की जा सकती है। 100 के अंकित मूल्य के लिए क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करते हुए, अंतिम विक्रय मूल्य SP इस प्रकार दिया गया है: 100 × (1 - (r₁)/(100)) × (1 - (r₂)/(100)) × (1 - (r₃)/(100))।

प्रत्येक छूट के लिए 25% के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक 100 × (1 - 0.25)³ हो जाता है, जिसे सरल करने पर 100 × (0.75)³ प्राप्त होता है। चूंकि 0.75, ¾ के बराबर है, इसलिए गणना 100 × ²⁷⁄₆₄ है। इसका परिणाम 100 × 0.421875 = 42.1875 होता है। एकल समतुल्य छूट मूल मूल्य से कुल कमी है, जिसकी गणना 100 - 42.1875 = 57.8125% के रूप में की जाती है। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, यह 57.81% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। भुजाओं का अनुपात 5:7 दिया गया है, इसलिए क्षेत्रफलों का अनुपात 5 के वर्ग और 7 के वर्ग के अनुपात में होगा, जो कि 25:49 है।

व्याख्या

वर्गमूल के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण करने पर, हम अंश और हर को (1 - sin 3θ) से गुणा करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप ((1 - sin 3θ)² / cos² 3θ) का वर्गमूल प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर (1 - sin 3θ) / cos 3θ प्राप्त होता है, जो सरल होने पर sec 3θ - tan 3θ हो जाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90 - x) = cot(x) का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। यहाँ, tan(65) = cot(25) और tan(55) = cot(35) है, इसलिए tan(25)tan(65) = 1 और tan(35)tan(55) = 1 होगा। चूंकि tan(45) = 1 है, इसलिए सभी पदों का गुणनफल 1 * 1 * 1 = 1 है।

व्याख्या

व्यंजक 27x³ + 58x²y + 31xy² + 8y³ में x = 5 और y = -7 मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 27(125) + 58(25)(-7) + 31(5)(49) + 8(-343) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 3375 - 10150 + 7595 - 2744 प्राप्त होता है, जो -1924 के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक sec x - cos x को (1/cos x) - cos x के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो सरल होकर (1 - cos² x) / cos x हो जाता है। चूंकि 1 - cos² x = sin² x, इसलिए यह व्यंजक sin² x / cos x हो जाता है, जो (sin x / cos x) * sin x, या tan x sin x के बराबर है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है। कोष्ठक के भीतर के पदों को समूहीकृत करके, हम (1 - p) और (1 + p) पदों से शुरू करते हुए इस सर्वसमिका को क्रमिक रूप से लागू कर सकते हैं।

गुणनफल (1 - p)(1 + p) सरल होकर 1 - p² हो जाता है। इस परिणाम को अगले पद (1 + p²) से गुणा करने पर (1 - p²)(1 + p²) = 1 - (p²)² = 1 - p⁴ प्राप्त होता है। शेष गुणनखंडों में इसी पैटर्न का अनुसरण करते हुए, (1 - p⁴)(1 + p⁴) = 1 - p⁸, फिर (1 - p⁸)(1 + p⁸) = 1 - p¹⁶, और अंत में (1 - p¹⁶)(1 + p¹⁶) = 1 - p³² प्राप्त होता है।

सरलीकृत गुणनफल को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर [(1 - p³²) - 1] प्राप्त होता है। अचर पद को घटाने पर परिणाम 1 - p³² - 1 प्राप्त होता है, जिससे -p³² बचता है।

व्याख्या

ट्रेन 1 शाम 4:00 बजे से शाम 5:00 बजे तक अकेले यात्रा करती है। इस 1 घंटे के दौरान, यह 65 किमी/घंटा × 1 घंटा = 65 किमी की दूरी तय करती है। शाम 5:00 बजे, जब ट्रेन 2 प्रस्थान करती है, तो दोनों ट्रेनों के बीच की शेष दूरी 195 - 65 = 130 किमी होती है। चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: Vᵣₑₗ = 65 + 35 = 100 किमी/घंटा। शेष दूरी को तय करने में लगने वाला समय T = दूरी / Vᵣₑₗ = 130 / 100 = 1.3 घंटे है। दशमलव भाग को मिनटों में बदलने के लिए, 0.3 × 60 = 18 मिनट। इसलिए, ट्रेनें शाम 5:00 बजे के 1 घंटे और 18 मिनट बाद मिलती हैं, जो कि शाम 6:18 बजे है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय (Intersecting Chords Theorem) के अनुसार, यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD एक आंतरिक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। इसे सूत्र AP · PB = CP · PD द्वारा व्यक्त किया जाता है।

चूंकि P जीवा AB पर स्थित है, इसलिए खंड PB को जीवा AB की कुल लंबाई में से AP को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है, जिससे PB = AB - AP = 20 सेमी - 12 सेमी = 8 सेमी प्राप्त होता है।

प्रमेय के सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, हमें 12 · 8 = 16 · PD प्राप्त होता है। PD के लिए हल करने पर 96 = 16 · PD प्राप्त होता है, जिससे PD = 6 सेमी हो जाता है।

जीवा CD की कुल लंबाई इसके खंडों CP और PD का योग है। इसलिए, CD = CP + PD = 16 सेमी + 6 सेमी = 22 सेमी।

व्याख्या

कक्षा छोड़ने वाले छात्र का वजन, छात्र के जाने से पहले और बाद में कक्षा के कुल वजन के बीच के अंतर द्वारा निर्धारित किया जाता है। प्रारंभिक कुल वजन छात्रों की संख्या और उनके औसत वजन का गुणनफल है, जो कि 15 × 40 = 600 किग्रा है। एक छात्र के जाने के बाद, कक्षा में 14 छात्र बचते हैं जिनका नया औसत वजन 39.5 किग्रा है। नया कुल वजन 14 × 39.5 = 553 किग्रा है। प्रारंभिक कुल वजन में से नए कुल वजन को घटाकर, 600 - 553 = 47 किग्रा, हमें कक्षा छोड़ने वाले छात्र का वजन प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, कक्षा छोड़ने वाले छात्र का वजन प्रारंभिक औसत और औसत में कमी के कारण शेष छात्रों द्वारा खोए गए कुल वजन के योग के बराबर होता है। सूत्र है: वजन = प्रारंभिक औसत + [शेष छात्र × (प्रारंभिक औसत - नया औसत)]। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: वजन = 40 + [14 × (40 - 39.5)] = 40 + (14 × 0.5) = 40 + 7 = 47 किग्रा।

व्याख्या

Y पर समकोण वाले एक त्रिभुज XYZ में, न्यून कोणों का योग X + Z = 90° होता है। दिया गया है कि sin X = ½, इसलिए कोण X = 30° है। अतः, Z = 90° - 30° = 60° है। व्यंजक cos X cos Z + sin X sin Z दो कोणों के अंतर के कोसाइन (cosine) के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, cos(Z - X) को दर्शाता है।

सर्वसमिका में कोणों के मान रखने पर: cos(60° - 30°) = cos 30° = √3/2

वैकल्पिक रूप से, व्यक्तिगत त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर: cos 30° = √3/2 cos 60° = ½ sin 30° = ½ sin 60° = √3/2

गणना इस प्रकार है: (√3/2 × ½) + (½ × √3/2) = √3/4 + √3/4 = 2√3/4 = √3/2

व्याख्या

कुल लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले व्यक्तिगत समय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर कुल कार्य निर्धारित करें। 16 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 48 है, इसलिए कुल कार्य 48 इकाई है।

रेखा की कार्यक्षमता 48 / 16 = 3 इकाई प्रति दिन है, और बीना की कार्यक्षमता 48 / 12 = 4 इकाई प्रति दिन है। चूंकि वे रेखा से शुरू करते हुए बारी-बारी से काम करते हैं, इसलिए 2 दिनों के एक चक्र में पूरा किया गया कुल कार्य 3 + 4 = 7 इकाई है।

ऐसे 6 चक्रों में (जो 12 दिनों के बराबर है), पूरा किया गया कार्य 6 × 7 = 42 इकाई है। शेष कार्य 48 - 42 = 6 इकाई है। 13वें दिन रेखा की बारी है। वह 3 इकाई कार्य पूरा करती है, जिससे 6 - 3 = 3 इकाई कार्य अभी भी किया जाना शेष रह जाता है।

14वें दिन बीना की बारी है। चूंकि उसकी कार्यक्षमता 4 इकाई प्रति दिन है, इसलिए शेष 3 इकाइयों को पूरा करने में उसे 3 / 4 दिन का समय लगेगा। इसलिए, कार्य को पूरा करने में लिया गया कुल समय 13 + 3/4 = 13¾ दिन है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक दर है, और T वर्षों में समय है।

पहली स्थिति में, ब्याज SI₁ = (P × x × 3)/(100) है।

दूसरी स्थिति में, दर 3x% हो जाती है और समय मूल 3 वर्षों से y अधिक है, अर्थात 3 + y वर्ष है। ब्याज SI₂ = (P × 3x × (3 + y))/(100) है।

यह देखते हुए कि नया ब्याज पहले के ब्याज का सात गुना है, हम समीकरण SI₂ = 7 × SI₁ बनाते हैं:

(P × 3x × (3 + y))/(100) = 7 × (P × x × 3)/(100)

दोनों पक्षों से उभयनिष्ठ पदों P, x और हर 100 को काटने पर, समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

3(3 + y) = 7 × 3

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर:

3 + y = 7

y = 4

व्याख्या

व्यंजक (16 + 14) ÷ 2 - 12 + 16 × 4 - 28 + 13(-16 + 13) का मान ज्ञात करने के लिए, BODMAS नियम लागू करें, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), घातांक (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में स्थापित करता है।

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के पदों को हल करें: 16 + 14 = 30 -16 + 13 = -3

इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर प्राप्त होता है: 30 ÷ 2 - 12 + 16 × 4 - 28 + 13(-3)

इसके बाद, भाग और गुणा की संक्रियाएँ करें: 30 ÷ 2 = 15 16 × 4 = 64 13 × (-3) = -39

अब व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 15 - 12 + 64 - 28 - 39

अंत में, बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ करें: 15 - 12 = 3 3 + 64 = 67 67 - 28 = 39 39 - 39 = 0

व्याख्या

समान वर्षों की संख्या में दो डेटा सेटों के औसतों का अनुपात उनके संबंधित योगों के अनुपात के बराबर होता है। कॉलेज D के लिए, 2010 से 2014 तक नामांकित छात्रों की कुल संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 710 + 750 + 680 + 720 + 740 = 3600। नामांकित छात्रों की औसत संख्या 3600 / 5 = 720 है।

इसी अवधि के दौरान कॉलेज D से उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की कुल संख्या 650 + 710 + 640 + 690 + 710 = 3400 है। उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की औसत संख्या 3400 / 5 = 680 है।

औसत नामांकित छात्रों का औसत उत्तीर्ण छात्रों से अनुपात 720 : 680 है। दोनों पक्षों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 40 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर 18 : 17 हो जाता है।

व्याख्या

दो संख्याओं के योग और अंतर के बीच का संबंध निम्नलिखित बीजगणितीय सर्वसमिका द्वारा दिया गया है: (x + y)² = (x - y)² + 4xy

दिए गए मानों x - y = 5 और xy = 150 को सूत्र में रखने पर: (x + y)² = (5)² + 4(150) (x + y)² = 25 + 600 (x + y)² = 625

(x + y) ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x + y = √(625) x + y = 25

चूंकि x और y को धनात्मक संख्याओं के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, इसलिए उनका योग (x + y) धनात्मक होना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, 150 के ऐसे गुणनखंड ज्ञात करके संख्याओं की पहचान की जा सकती है जिनका अंतर 5 हो, जो कि 15 और 10 हैं। उनका योग 15 + 10 = 25 है।

व्याख्या

व्यंजक ³⁄₂ ÷ ⅐ × [(½ - ⅓) ÷ ¹⁄₄₂] का मान ज्ञात करने के लिए, हम BODMAS नियम लागू करते हैं, जिसकी शुरुआत सबसे आंतरिक कोष्ठक से होती है।

सबसे पहले, छोटे कोष्ठक के अंदर के घटाव को हल करें: ½ - ⅓ = (3 - 2)/(6) = ⅙

इसके बाद, वर्गाकार कोष्ठक के अंदर के भाग को हल करें: ⅙ ÷ ¹⁄₄₂ = ⅙ × 42 = 7

अब व्यंजक सरल होकर इस प्रकार हो जाता है: ³⁄₂ ÷ ⅐ × 7

भाग और गुणा के लिए बाएं से दाएं संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए: ³⁄₂ ÷ ⅐ = ³⁄₂ × 7 = ²¹⁄₂

अंत में, परिणाम को 7 से गुणा करें: ²¹⁄₂ × 7 = ¹⁴⁷⁄₂

विषम भिन्न ¹⁴⁷⁄₂ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर प्राप्त होता है: 147 ÷ 2 = 73, जिसमें शेषफल 1 बचता है, जो कि 73 ½ है।

व्याख्या

एक ही दिशा में दौड़ते समय एक वृत्ताकार ट्रैक पर A और B के पहली बार मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र T = (L)/(vᵣₑₗ) का उपयोग करते हैं, जहाँ L ट्रैक की लंबाई है और vᵣₑₗ दोनों धावकों की सापेक्ष गति है। सबसे पहले, गतियों को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए ⁵⁄₁₈ से गुणा करें। A की गति 27 × ⁵⁄₁₈ = 7.5 मीटर/सेकंड है और B की गति 45 × ⁵⁄₁₈ = 12.5 मीटर/सेकंड है। चूँकि वे एक ही दिशा में गति कर रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर है, जिसकी गणना 12.5 - 7.5 = 5 मीटर/सेकंड के रूप में की जाती है। मिलने के समय के सूत्र में मान रखने पर T = ¹⁶⁰⁰⁄₅ = 320 सेकंड प्राप्त होता है।

व्याख्या

A पूरे कार्य को 4 × ¹⁰⁰⁄₂₀ = 20 दिनों में पूरा करता है, और B इसे 10 × 3 = 30 दिनों में पूरा करता है। कुल कार्य को 20 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मानते हुए, माना कि कुल कार्य 60 इकाइयाँ है। A की कार्यक्षमता ⁶⁰⁄₂₀ = 3 इकाइयाँ प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता ⁶⁰⁄₃₀ = 2 इकाइयाँ प्रति दिन है। 9 दिनों में, A और B मिलकर (3 + 2) × 9 = 45 इकाइयाँ पूरी करते हैं। शेष कार्य 60 - 45 = 15 इकाइयाँ है, जिसे C, 6 दिनों में पूरा करता है, जिससे C की कार्यक्षमता ¹⁵⁄₆ = 2.5 इकाइयाँ प्रति दिन हो जाती है। B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 2 + 2.5 = 4.5 इकाइयाँ प्रति दिन है। कुल कार्य का 75% पूरा करने के लिए, जो कि 0.75 × 60 = 45 इकाइयाँ है, B और C मिलकर (45)/(4.5) = 10 दिन का समय लेंगे।

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य छूट की गणना सूत्र D = (a + b - ᵃᵇ⁄₁₀₀)% का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि व्यक्तिगत छूट दरें 9% और 17% हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर D = (9 + 17 - (9 × 17)/(100))% प्राप्त होता है। दोनों प्रतिशतों का योग करने पर 26% प्राप्त होता है, और गुणनफल पद का परिणाम ¹⁵³⁄₁₀₀ होता है, जो कि 1.53% है। इस मान को योग में से घटाने पर 26 - 1.53 प्राप्त होता है, जो 24.47% की एकल समतुल्य छूट के बराबर है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों (cos α)/(sin β) = 10 और (cos α)/(cos β) = 11 से, हम cos α के मानों की तुलना कर सकते हैं जिससे 10 sin β = 11 cos β प्राप्त होता है। यह संबंध सरल होकर tan β = 11/10 हो जाता है।

cos² β का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका cos² β = (1)/(sec² β) = (1)/(1 + tan² β) का उपयोग करते हैं। tan β का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: cos² β = (1)/(1 + (11/10)²) = (1)/(1 + 121/100) = (1)/(221/100) = 100/221 यह परिणाम दूसरे विकल्प में दिए गए अनुपात से मेल खाता है।

व्याख्या

जब कई ठोस धात्विक गोलों को पिघलाकर एक एकल गोले में ढाला जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। त्रिज्या r वाले गोले का आयतन V = ⁴⁄₃ π r³ के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, यदि R नए गोले की त्रिज्या है और r₁, r₂, r₃ तीन मूल गोलों की त्रिज्याएँ हैं, तो संबंध इस प्रकार स्थापित होता है:

⁴⁄₃ π R³ = ⁴⁄₃ π r₁³ + ⁴⁄₃ π r₂³ + ⁴⁄₃ π r₃³

दोनों पक्षों को नियतांक गुणांक ⁴⁄₃ π से विभाजित करने पर, समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

R³ = r₁³ + r₂³ + r₃³

दिए गए मानों r₁ = 1 सेमी, r₂ = 6 सेमी, और r₃ = 8 सेमी को समीकरण में रखने पर:

R³ = 1³ + 6³ + 8³ R³ = 1 + 216 + 512 R³ = 729

R का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

R = ³√(729) R = 9 सेमी

व्याख्या

अंश से sinθ और हर से cosθ को उभयनिष्ठ (common) लें: (sinθ(1 - 2sin²θ))/(cosθ(2cos²θ - 1))

cos 2θ के लिए त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग करें: cos 2θ = 1 - 2sin²θ cos 2θ = 2cos²θ - 1

इन सर्वसमिकाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (sinθ(cos 2θ))/(cosθ(cos 2θ))

अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड cos 2θ निरस्त (cancel) हो जाता है, जिससे बचता है: (sinθ)/(cosθ) = tanθ

व्याख्या

एक साथ मिलकर कार्य करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त दर सूत्र या लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि कुल कार्य ऋचा, रीता और रीना द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

8, 12 और 24 का LCM 24 इकाई है। यह पूरा किए जाने वाले कुल कार्य को दर्शाता है।

व्यक्तिगत कार्यक्षमता (प्रति घंटे किया गया कार्य) इस प्रकार है: ऋचा की कार्यक्षमता = 24 / 8 = 3 इकाई/घंटा रीता की कार्यक्षमता = 24 / 12 = 2 इकाई/घंटा रीना की कार्यक्षमता = 24 / 24 = 1 इकाई/घंटा

कुल संयुक्त कार्यक्षमता = 3 + 2 + 1 = 6 इकाई/घंटा।

तीनों द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया कुल समय इस प्रकार है: समय = कुल कार्य / कुल कार्यक्षमता = 24 / 6 = 4 घंटे।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल उसके चाप की लंबाई और त्रिज्या से सूत्र A = ½ × l × r द्वारा संबंधित होता है, जहाँ A त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है, l चाप की लंबाई है, और r वृत्त की त्रिज्या है। यह सूत्र त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल A = (θ)/(360) × π r² और चाप की लंबाई l = (θ)/(360) × 2π r के बीच के संबंध से प्राप्त होता है। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, हमें 112 = ½ × l × 28 प्राप्त होता है। समीकरण को सरल करने पर, हमें 112 = 14 × l प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 14 से विभाजित करने पर, चाप की लंबाई l, 8 सेमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि परीक्षा में कुल अंक T हैं। जैक और जॉन द्वारा प्राप्त अंकों के प्रतिशत के बीच का अंतर 35% - 20% = 15% है। उनके अंकों में संख्यात्मक अंतर, यह देखते हुए कि एक उत्तीर्ण अंक से नीचे है और एक ऊपर है, 20 - (-10) = 30 अंक है।

प्रतिशत अंतर को अंकों के अंतर के बराबर करने पर: T का 15% = 30 T = (30 × 100) / 15 = 200

उत्तीर्ण प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम जॉन के कम पड़े अंकों को प्रतिशत में बदल सकते हैं। चूंकि 15% = 30 अंक, इसलिए 1% = 30 / 15 = 2 अंक। जॉन 10 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ, जो 10 / 2 = 5% के बराबर है। इसे उसके स्कोर में जोड़ने पर न्यूनतम उत्तीर्ण प्रतिशत प्राप्त होता है: 20% + 5% = 25%

व्याख्या

चार संख्याओं a, b, c, और d के एक अनुक्रम में, यदि वे समानुपात में हैं, तो पहली दो संख्याओं का अनुपात अंतिम दो संख्याओं के अनुपात के बराबर होता है, जिसे a : b = c : d या a/b = c/d के रूप में दर्शाया जाता है। चतुर्थानुपाती d ज्ञात करने के लिए, सूत्र d = (b × c) / a है।

दी गई संख्याएँ a = 8, b = 12, और c = 14 हैं, इन्हें सूत्र में रखने पर: d = (12 × 14) / 8 d = 168 / 8 d = 21

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, 8/12 सरल होकर 2/3 हो जाता है। दूसरे युग्म के लिए समान अनुपात बनाए रखने के लिए, 14/d = 2/3 होना चाहिए। d के लिए हल करने पर 2d = 42 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप d = 21 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत दोनों ज्ञात हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

(MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ CP = £650, लाभ% = 20%, और छूट% = 22%:

(MP)/(650) = (100 + 20)/(100 - 22)

(MP)/(650) = (120)/(78)

MP ज्ञात करने के लिए, दाईं ओर के अनुपात को सरल करें। 120 और 78 दोनों 6 से विभाज्य हैं, जिससे भिन्न घटकर निम्नलिखित हो जाती है:

(MP)/(650) = (20)/(13)

अब, दोनों पक्षों को 650 से गुणा करके MP की गणना करें:

MP = (20/13) × 650

चूँकि 650 ÷ 13 = 50, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

MP = 20 × 50 = 1000

वस्तु का अंकित मूल्य £1,000 है।

व्याख्या

x³ - (1)/(x³⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले x - ¹⁄ₓ का मान निर्धारित करते हैं। सर्वसमिका (x² + (1)/(x²⁾)² = (x² - (1)/(x²⁾)² + 4 का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

(x² + (1)/(x²⁾)² = (4√6)² + 4 = 96 + 4 = 100

वर्गमूल लेने पर, चूंकि x > 1 है, हमें x² + (1)/(x²⁾ = 10 प्राप्त होता है। इसके बाद, हम संबंध (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²⁾ - 2 का उपयोग करते हैं:

(x - ¹⁄ₓ)² = 10 - 2 = 8

चूंकि x > 1 दिया गया है, इसलिए x - ¹⁄ₓ धनात्मक होना चाहिए, अतः x - ¹⁄ₓ = √8 = 2√2। x³ - (1)/(x³⁾ के लिए व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x - ¹⁄ₓ) से प्राप्त होता है। मान 2√2 प्रतिस्थापित करने पर:

x³ - (1)/(x³⁾ = (2√2)³ + 3(2√2)

x³ - (1)/(x³⁾ = 16√2 + 6√2 = 22√2

व्याख्या

दीवार के कुल आयतन की गणना उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करके की जाती है। सूत्र V_wₐₗₗ = L × B × H का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: V_wₐₗₗ = 14 m × 0.125 m × 5 m = 8.75 m³

आवश्यक ईंटों की संख्या दीवार के कुल आयतन को एक ईंट के आयतन से विभाजित करके निर्धारित की जाती है। सूत्र N = V_wₐₗₗ / V_bᵣᵢ_cₖ का उपयोग करके: N = (8.75)/(0.0014)

गणना को सरल बनाने के लिए, दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को 10,000 से गुणा करें: N = ⁸⁷⁵⁰⁰⁄₁₄ = 6250

व्याख्या

दिए गए संबंध 8 cot A = 7 से, यह प्राप्त होता है कि cot A = ⅞। एक समकोण त्रिभुज में, cot A को आधार और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम लंब p = 8 और आधार b = 7 ले सकते हैं।

कर्ण h को पाइथागोरस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: h = √(p² + b²) = √(8² + 7²) = √(64 + 49) = √(113)

sin A का मान लंब और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: sin A = ᵖ⁄ₕ = (8)/(√(113))

यह परिणाम भुजाओं की लंबाई को sine के मानक त्रिकोणमितीय अनुपात में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

व्याख्या

a : b :: c : d के रूप वाले एक समानुपात में, बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे ad = bc के रूप में व्यक्त किया जाता है। दिए गए समानुपात 28 : 98 :: 98 : y के लिए, हम समीकरण में मान प्रतिस्थापित करते हैं:

28 × y = 98 × 98

y का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

y = (98 × 98)/(28)

98 और 28 दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 14 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

y = (7 × 98)/(2)

आगे 98 को 2 से विभाजित करने पर:

y = 7 × 49

y = 343

व्याख्या

कार्यकुशलता, किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। माना B की कार्यकुशलता 100 है। चूंकि A, B से 40% अधिक कुशल है, इसलिए A की कार्यकुशलता 140 है। A और B की कार्यकुशलता का अनुपात 140 : 100 है, जिसे सरल करने पर 7 : 5 प्राप्त होता है।

कुल कार्य को कार्यकुशलता और समय के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। A के डेटा का उपयोग करने पर: कुल कार्य = A की कार्यकुशलता × A द्वारा लिया गया समय = 7 × 31 = 217 इकाई

जब A और B मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यकुशलता उनकी व्यक्तिगत कार्यकुशलताओं का योग होती है: संयुक्त कार्यकुशलता = 7 + 5 = 12 इकाई/दिन

दोनों द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय है: समय = (कुल कार्य)/(संयुक्त कार्यकुशलता) = ²¹⁷⁄₁₂ दिन

व्याख्या

9 की विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। संख्या 6234a6 के लिए, अंकों का योग 6 + 2 + 3 + 4 + a + 6 = 21 + a है। विभाज्यता की शर्त को पूरा करने के लिए, 21 + a को 9 का एक गुणज होना चाहिए। 21 से बड़ा 9 का सबसे छोटा गुणज 27 है। 21 + a = 27 रखने पर a = 6 प्राप्त होता है। चूंकि 6 एक एकल-अंकीय संख्या है, यह संख्या 623466 को सही ढंग से पूरा करती है जिससे इसके अंकों का योग 27 हो जाता है, जो 9 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका को a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस सूत्र में दी गई शर्त (a - b) = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक a³ - b³ = 1 · (a² + ab + b²) हो जाता है। यह सीधे a² + ab + b² में सरल हो जाता है, जो घनों के अंतर के मान को दर्शाता है जब रैखिक अंतर एक होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। कुल कार्य = LCM(8, 18) = 72 इकाई।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) है: A की कार्यक्षमता (E_A) = 72 / 8 = 9 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता (E_B) = 72 / 18 = 4 इकाई/दिन

चूंकि वे B से शुरू करते हुए बारी-बारी से कार्य करते हैं, इसलिए हम 2-दिन के चक्र में किए गए कार्य की गणना करते हैं: 1 चक्र में कार्य (पहला दिन: B, दूसरा दिन: A) = 4 + 9 = 13 इकाई।

पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए: चक्रों की संख्या = 72 / 13 = 5 चक्र (शेषफल के साथ) 5 चक्रों (10 दिनों) में किया गया कार्य = 13 × 5 = 65 इकाई। शेष कार्य = 72 - 65 = 7 इकाई।

11वें दिन, B की बारी है: B द्वारा किया गया कार्य = 4 इकाई। 11 दिनों के बाद शेष कार्य = 7 - 4 = 3 इकाई।

12वें दिन, A की बारी है। A शेष 3 इकाइयों को पूरा करता है: A द्वारा लिया गया समय = (शेष कार्य)/(A की कार्यक्षमता) = ³⁄₉ = ⅓ दिन।

लिया गया कुल समय = 11 + ⅓ = 11 ⅓ दिन।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (1 + sin t)/(4(1 - sin t)) - (1 - sin t)/(4(1 + sin t)) है। उभयनिष्ठ पद ¼ को बाहर निकालने पर ¼ [ (1 + sin t)/(1 - sin t) - (1 - sin t)/(1 + sin t) ] प्राप्त होता है।

भिन्नों को घटाने के लिए, हरों का गुणा करके एक समान हर ज्ञात कीजिए: (1 - sin t)(1 + sin t) = 1 - sin² t = cos² t। अंश (1 + sin t)² - (1 - sin t)² हो जाता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करने पर, जहाँ a = 1 और b = sin t है, अंश सरल होकर 4(1)(sin t) = 4 sin t हो जाता है।

इन्हें वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ¼ [ (4 sin t)/(cos² t) ] = (sin t)/(cos² t)

इसे tan t = (sin t)/(cos t) और sec t = (1)/(cos t) की परिभाषाओं का उपयोग करके पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है: (sin t)/(cos t) · (1)/(cos t) = tan t sec t

व्याख्या

शुद्ध लाभ प्रतिशत क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: शुद्ध % = a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀, जहाँ a मूल्य वृद्धि प्रतिशत है और b छूट प्रतिशत है। दिया गया है a = 40 और b = -10, गणना इस प्रकार है: 40 - 10 + (40 × (-10))/(100) = 30 - 4 = 26%।

वैकल्पिक रूप से, आधार मूल्य विधि का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि क्रय मूल्य 100 है। 40% मूल्य वृद्धि अंकित मूल्य को 140 बना देती है। इसके बाद अंकित मूल्य पर 10% की छूट दी जाती है, जो कि 140 का 10% = 14 है। अंतिम विक्रय मूल्य 140 - 14 = 126 है। लाभ प्रतिशत क्रय मूल्य के सापेक्ष विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 126 - 100 = 26% है।

व्याख्या

कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो। संख्या 9454351626 को 11 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम इकाई के स्थान से शुरू करते हुए इन योगों की गणना करते हैं:

विषम स्थानों पर अंकों का योग: 6 + 6 + 5 + 4 + 4 = 25 सम स्थानों पर अंकों का योग: 2 + 1 + 3 + 5 + 9 = 20

विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 25 - 20 = 5 है। यह परिणाम दर्शाता है कि 9454351626, 11 से विभाज्य नहीं है और 5 शेषफल बचता है। संख्या को 11 से विभाज्य बनाने के लिए, हमें एक ऐसा मान जोड़ना होगा जो संख्या को 11 के अगले गुणज तक बढ़ा दे। इस आवश्यक मान की गणना भाजक में से वर्तमान शेषफल को घटाकर की जाती है: 11 - 5 = 6।

व्याख्या

किसी कर्मचारी की कार्यक्षमता, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। माना सोहन की कार्यक्षमता E_S = 1 इकाई/दिन है। चूंकि अजीत, सोहन से 4 गुना तेजी से कार्य करता है, इसलिए अजीत की कार्यक्षमता E_A = 4 × 1 = 4 इकाई/दिन है।

कुल कार्य, सोहन की कार्यक्षमता और उसके द्वारा कार्य पूरा करने में लिए गए समय का गुणनफल है: कुल कार्य = E_S × सोहन द्वारा लिए गए दिन = 1 × 20 = 20 इकाई

जब अजीत और सोहन मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता है: E_A₊_S = E_A + E_S = 4 + 1 = 5 इकाई/दिन

दोनों द्वारा मिलकर कार्य समाप्त करने में लिया गया समय है: समय = (कुल कार्य)/(E_A₊_S) = ²⁰⁄₅ = 4 दिन