एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

x² - (1)/(x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करते हैं। इसे व्यंजक पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: x² - (1)/(x²⁾ = (x - ¹⁄ₓ)(x + ¹⁄ₓ)।

(x - ¹⁄ₓ) का मान 6 दिया गया है। (x + ¹⁄ₓ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = (x - ¹⁄ₓ)² + 4 का उपयोग करते हैं। इस सूत्र में दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: (x + ¹⁄ₓ)² = 6² + 4 (x + ¹⁄ₓ)² = 36 + 4 = 40

चूंकि x > 0 है, इसलिए योग x + ¹⁄ₓ धनात्मक होना चाहिए। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x + ¹⁄ₓ = √(40) = √(4 × 10) = 2√(10)

अब, अंतिम परिणाम ज्ञात करने के लिए हम दोनों पदों को गुणा करते हैं: x² - (1)/(x²⁾ = (x - ¹⁄ₓ)(x + ¹⁄ₓ) = 6 × 2√(10) = 12√(10)

व्याख्या

इस व्यंजक को त्रिकोणमिति की मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका का उपयोग करके हल किया जाता है, जो यह बताती है कि 1 + tan²A = sec²A। यह सर्वसमिका प्राथमिक सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 को cos²A से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। 1 + tan²A = sec²A के पदों को पुनर्व्यवस्थित करके और दोनों पक्षों से tan²A घटाकर, हम सीधे sec²A - tan²A = 1 प्राप्त करते हैं। यह संबंध उन सभी कोणों A के लिए मान्य है जहाँ sec A और tan A परिभाषित हैं।

व्याख्या

माना पिता, माता और पुत्र की मासिक आय क्रमशः F, M और S है। दिए गए औसत के आधार पर, प्रत्येक जोड़ी की कुल आय औसत को दो से गुणा करके ज्ञात की जाती है: F + M = 2 × 5000 = 10000 M + S = 2 × 6000 = 12000 F + S = 2 × 10000 = 20000

इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: 2(F + M + S) = 10000 + 12000 + 20000 = 42000 F + M + S = 21000

पिता की आय ज्ञात करने के लिए, तीनों की कुल आय में से माता और पुत्र की संयुक्त आय को घटाएं: F = (F + M + S) - (M + S) F = 21000 - 12000 = 9000

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। △ ABC ∼ △ PQR के लिए, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(ar(△ ABC))/(ar(△ PQR)) = ((BC)/(QR))²

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

¹⁶⁄₂₅ = ((20)/(QR))²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

⅘ = (20)/(QR)

QR के लिए हल करने पर:

4 × QR = 20 × 5

QR = ¹⁰⁰⁄₄

QR = 25 सेमी

व्याख्या

किसी व्यक्ति की कुल कमाई उसके द्वारा कार्य किए गए दिनों की संख्या और उसकी दैनिक मजदूरी दर के गुणनफल द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि दैनिक मजदूरी का अनुपात 4:5:3 दिया गया है, हम उनकी दैनिक मजदूरी को क्रमशः 4k, 5k और 3k के रूप में दर्शा सकते हैं। X, Y और Z की कुल कमाई की गणना उनके संबंधित कार्य दिवसों को इन मजदूरी दरों से गुणा करके की जाती है: X कमाता है 5 × 4k = 20k, Y कमाता है 7 × 5k = 35k, और Z कमाता है 10 × 3k = 30k। इन व्यक्तिगत कमाइयों का योग कार्य की कुल लागत के बराबर है, जो कि ₹3,400 है। इस प्रकार, 20k + 35k + 30k = 3400, जो सरल होकर 85k = 3400 हो जाता है। k का मान ज्ञात करने पर k = 3400 / 85 = 40 प्राप्त होता है। X द्वारा प्राप्त राशि ज्ञात करने के लिए, हम k के मान को X की कुल कमाई के समीकरण में रखते हैं: 20 × 40 = 800। वैकल्पिक रूप से, उनके कुल हिस्सों के सरलीकृत अनुपात 20:35:30 को 4:7:6 के रूप में उपयोग करते हुए, X का हिस्सा (4 / (4 + 7 + 6)) × 3400 = (4 / 17) × 3400 = 800 है।

व्याख्या

लिया गया कुल समय, यात्रा के समय और रुकने के कुल समय का योग है।

सबसे पहले, सूत्र समय = दूरी / गति का उपयोग करके यात्रा के समय की गणना करें। यात्रा का समय = 84 किमी / 36 किमी/घंटा = 7/3 घंटे। इसे मिनटों में बदलने पर: 7/3 × 60 = 140 मिनट।

इसके बाद, ठहराव (रुकने) की संख्या ज्ञात करें। राम प्रत्येक 10 किमी के अंत में रुकता है। 84 किमी की दूरी के लिए, ठहराव की संख्या 84 / 10 का पूर्णांक भाग है, जिसमें अंतिम गंतव्य पर रुकना शामिल नहीं है। ठहराव की संख्या = 84 // 10 = 8. रुकने का कुल समय = 8 ठहराव × 5 मिनट/ठहराव = 40 मिनट।

लिया गया कुल समय = 140 मिनट + 40 मिनट = 180 मिनट।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब उस जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि जीवा की लंबाई 40 सेमी है, इसलिए मध्य-बिंदु से एक छोर तक के खंड की लंबाई 20 सेमी होगी। यह खंड और केंद्र से लम्बवत दूरी (15 सेमी) एक समकोण त्रिभुज की भुजाएं बनाते हैं, जहां कर्ण वृत्त की त्रिज्या r है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: r = √(15² + 20²) r = √(225 + 400) r = √(625) = 25 सेमी

यह गणना 5 के गुणक द्वारा स्केल किए गए 3-4-5 पाइथागोरियन त्रिक का अनुसरण करती है, जहां 15:20:25 का संबंध 3(5):4(5):5(5) से है। वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: व्यास = 2 × 25 = 50 सेमी

व्याख्या

व्यंजक x⁸ - (1)/(x⁸) को सर्वसमिका a² - b² = (a+b)(a-b) का बार-बार उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है: x⁸ - (1)/(x⁸) = (x⁴ + (1)/(x⁴))(x⁴ - (1)/(x⁴)) = (x⁴ + (1)/(x⁴))(x² + (1)/(x²))(x² - (1)/(x²)) = (x⁴ + (1)/(x⁴))(x² + (1)/(x²))(x + ¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ)

दिया गया है x + ¹⁄ₓ = 3√2, हम व्यक्तिगत घटकों की गणना करते हैं:

x² + (1)/(x²) ज्ञात करने के लिए, (x + ¹⁄ₓ)² - 2 = (3√2)² - 2 = 18 - 2 = 16 का उपयोग करें।

x⁴ + (1)/(x⁴) ज्ञात करने के लिए, (x² + (1)/(x²))² - 2 = 16² - 2 = 256 - 2 = 254 का उपयोग करें।

x - ¹⁄ₓ ज्ञात करने के लिए, संबंध (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करें। (x - ¹⁄ₓ)² = 18 - 4 = 14. चूंकि x > 1 है, इसलिए x - ¹⁄ₓ = √(14) है।

अब, इन मानों को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: x⁸ - (1)/(x⁸) = 254 × 16 × 3√2 × √(14) x⁸ - (1)/(x⁸) = 4064 × 3√(28) x⁸ - (1)/(x⁸) = 12192 × 2√7 x⁸ - (1)/(x⁸) = 24384√7

व्याख्या

चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार, △ ADE ∼ △ ABC है। समरूप त्रिभुजों का गुण यह दर्शाता है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

(क्षेत्रफल(△ ADE))/(क्षेत्रफल(△ ABC)) = ((AD)/(AB))²

दिया गया है कि DE, △ ABC को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, इसलिए △ ADE का क्षेत्रफल, △ ABC के क्षेत्रफल का आधा है। अतः:

(क्षेत्रफल(△ ADE))/(क्षेत्रफल(△ ABC)) = ½

क्षेत्रफल अनुपात के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:

((AD)/(AB))² = ½ ⟹ (AD)/(AB) = (1)/(√(2))

हमें अनुपात DB:AB ज्ञात करना है। चूंकि D, AB पर स्थित है, इसलिए AB = AD + DB होगा, जिसका अर्थ है DB = AB - AD। दोनों पक्षों को AB से विभाजित करने पर:

(DB)/(AB) = (AB - AD)/(AB) = 1 - (AD)/(AB)

(AD)/(AB) का मान प्रतिस्थापित करने पर:

(DB)/(AB) = 1 - (1)/(√(2)) = (√2 - 1)/√2

इससे अनुपात DB:AB = √2 - 1 : √2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक [0.08 - {3.5 - 4.9 - (12.5 - 7.8 - 4.6)}] को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम लागू करते हैं, जो सबसे पहले सबसे आंतरिक कोष्ठक को हल करने का निर्देश देता है।

सबसे पहले, छोटे कोष्ठक () के अंदर के मान की गणना करें: 12.5 - 7.8 - 4.6 = 12.5 - 12.4 = 0.1

इसके बाद, इस मान को मझले कोष्ठक {} में रखें: {3.5 - 4.9 - 0.1} = 3.5 - 5.0 = -1.5

अंत में, मझले कोष्ठक से प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करके शेष व्यंजक को हल करें: 0.08 - (-1.5) = 0.08 + 1.5 = 1.58

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, भुजाओं के बीच का संबंध पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निर्धारित होता है: p² + b² = h², जहाँ p लंब है, b आधार है, और h कर्ण है। दिया गया है कि कर्ण h = 5 सेमी और आधार b = 3 सेमी है, लंबवत भुजा की गणना इस प्रकार की जाती है: p² + 3² = 5² p² + 9 = 25 p² = 16 p = 4 सेमी त्रिकोणमितीय अनुपात tan θ को कोण θ के सम्मुख भुजा (लंब) और कोण के आसन्न भुजा (आधार) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। θ को 4 सेमी लंबाई वाली भुजा के सम्मुख कोण मानने पर, मान है: tan θ = (लंब)/(आधार) = ⁴⁄₃

व्याख्या

एक आयत का परिमाप P, सूत्र P = 2(L + W) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ L लंबाई है और W चौड़ाई है। चूंकि चौड़ाई, लंबाई से 2 मीटर कम है, इसलिए संबंध W = L - 2 है। दिए गए परिमाप 68 मीटर को समीकरण में रखने पर:

68 = 2(L + (L - 2)) 68 = 2(2L - 2)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

34 = 2L - 2 36 = 2L L = 18

व्याख्या

मान लीजिए कि टैंक की कुल क्षमता अलग-अलग समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(12, 18, 36) = 36 इकाई है। पाइप A की भरने की दक्षता 36 / 12 = 3 इकाई प्रति मिनट है, और पाइप B के लिए, यह 36 / 18 = 2 इकाई प्रति मिनट है। चूंकि पाइप C टैंक को खाली करता है, इसलिए इसकी दक्षता को ऋणात्मक माना जाता है, जो कि 36 / 36 = -1 इकाई प्रति मिनट है।

जब तीनों पाइपों को एक साथ खोल दिया जाता है, तो संयुक्त शुद्ध भरने की दर उनकी दक्षताओं का योग होती है: 3 + 2 - 1 = 4 इकाई प्रति मिनट। इस संयुक्त दर पर 36-इकाई वाले टैंक को भरने के लिए आवश्यक समय की गणना कुल क्षमता को शुद्ध दर से विभाजित करके की जाती है: 36 / 4 = 9 मिनट।

व्याख्या

उसी समय, सूर्य की किरणें समान उन्नयन कोण पर गिरती हैं, जिसका अर्थ है कि किसी वस्तु की ऊंचाई और उसकी छाया की लंबाई सीधे समानुपात में होती है। इस संबंध को सूत्र (h₁)/(s₁) = (h₂)/(s₂) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ h खंभे की ऊंचाई को दर्शाता है और s उसकी छाया की लंबाई को दर्शाता है।

दिया गया है: h₁ = 28 मीटर s₁ = 19.2 मीटर h₂ = 52.5 मीटर

इन मानों को समानुपात में रखने पर: (28)/(19.2) = (52.5)/(s₂)

s₂ के लिए हल करने पर: s₂ = (52.5 × 19.2)/(28)

19.2 और 28 को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 4 से विभाजित करने पर: s₂ = (52.5 × 4.8)/(7)

52.5 को 7 से विभाजित करने पर: s₂ = 7.5 × 4.8

गुणनफल की गणना करने पर: s₂ = 36 मीटर

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके निकाला जा सकता है, जो यह दर्शाती है कि cos θ = sin(90° - θ) और sin θ = cos(90° - θ) होता है।

पहले पद, (cos 41°)/(sin 49°) के लिए, हम देखते हैं कि 41° और 49° पूरक कोण हैं क्योंकि 41° + 49° = 90° है। सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर, cos 41° = sin(90° - 41°) = sin 49° प्राप्त होता है। इस प्रकार, यह भिन्न (sin 49°)/(sin 49°) = 1 हो जाती है।

दूसरे पद, (sin 51°)/(cos 39°) के लिए, हम देखते हैं कि 51° और 39° भी पूरक कोण हैं क्योंकि 51° + 39° = 90° है। सर्वसमिका का उपयोग करने पर, sin 51° = cos(90° - 51°) = cos 39° प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, यह भिन्न (cos 39°)/(cos 39°) = 1 हो जाती है।

दोनों पदों के मानों को आपस में जोड़ने पर 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

1000 ग्राम चावल का क्रय मूल्य ₹x दिया गया है। जब मशीन को बदला जाता है, तो यह 950 ग्राम के वास्तविक वजन के लिए 1000 ग्राम की रीडिंग दर्शाती है। इसलिए, वास्तव में बेची गई मात्रा के लिए विक्रेता द्वारा वहन की गई लागत 950 ग्राम चावल का क्रय मूल्य है।

950 ग्राम का क्रय मूल्य (CP) = ˣ⁄₁₀₀₀ × 950 = 0.95x

15% का लाभ अर्जित करने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) विक्रेता द्वारा वहन किए गए वास्तविक क्रय मूल्य का 115% होना चाहिए। विक्रेता ग्राहक से 1000 ग्राम की मशीन रीडिंग के आधार पर शुल्क लेता है। माना प्रति 1000 ग्राम आवश्यक विक्रय मूल्य SP है।

SP = वास्तविक CP × (1 + (लाभ %)/(100)) SP = 0.95x × (1 + ¹⁵⁄₁₀₀) SP = 0.95x × 1.15

गुणनफल की गणना करने पर: 0.95 × 1.15 = 0.95 × (1 + 0.15) = 0.95 + 0.1425 = 1.0925

अतः, विक्रय मूल्य 1.0925x होना चाहिए।

व्याख्या

मान लीजिए कि घनाभ की मूल लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः l, b और h हैं। मूल आयतन V = l × b × h है।

जब किसी मान में x% की वृद्धि होती है, तो नया मान मूल मान का (1 + x/100) गुना हो जाता है। दी गई प्रतिशत वृद्धियों के अनुसार: नई लंबाई l' = l × (1 + 200/100) = 3l नई चौड़ाई b' = b × (1 + 300/100) = 4b नई ऊंचाई h' = h × (1 + 300/100) = 4h

नया आयतन V' इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: V' = l' × b' × h' = (3l) × (4b) × (4h) = 48(l × b × h) = 48V

आयतन में वृद्धि नए आयतन और मूल आयतन के बीच का अंतर है: आयतन में वृद्धि = V' - V = 48V - V = 47V

इसलिए, घनाभ के आयतन में वृद्धि मूल आयतन की 47 गुना होगी।

व्याख्या

धारा के प्रतिकूल नाव की चाल, शांत जल में नाव की चाल और नदी के प्रवाह की चाल का अंतर होती है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: sᵤ = 45 - 15 = 30 किमी/घंटा। इसके विपरीत, धारा के अनुकूल चाल इन दोनों चालों का योग होती है, s_d = 45 + 15 = 60 किमी/घंटा।

माना तय की जाने वाली दूरी D है। धारा के प्रतिकूल यात्रा में लिया गया समय tᵤ = (D)/(sᵤ) = (D)/(30) है, और धारा के अनुकूल यात्रा में लिया गया समय t_d = (D)/(s_d) = (D)/(60) है।

प्रश्न के अनुसार, धारा के प्रतिकूल और धारा के अनुकूल यात्राओं के बीच समय का अंतर 9 घंटे है। इससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: tᵤ - t_d = 9 (D)/(30) - (D)/(60) = 9

D का मान ज्ञात करने के लिए, एक समान हर (common denominator) ज्ञात करें: (2D - D)/(60) = 9 (D)/(60) = 9 D = 9 × 60 = 540 किमी

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करने पर, धारा के प्रतिकूल चाल का धारा के अनुकूल चाल से अनुपात 30:60 है, जो सरल होकर 1:2 हो जाता है। चूंकि एक निश्चित दूरी के लिए समय, चाल के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होता है, इसलिए धारा के प्रतिकूल लिए गए समय का धारा के अनुकूल लिए गए समय से अनुपात 2:1 होगा। अनुपात में 1 इकाई का अंतर प्रश्न में दिए गए 9 घंटों के बराबर है। इसलिए, धारा के प्रतिकूल लिया गया समय 2 × 9 = 18 घंटे है। दूरी की गणना चाल को समय से गुणा करके की जाती है: 30 किमी/घंटा × 18 घंटे = 540 किमी।

व्याख्या

जब लाभ और छूट प्रतिशत ज्ञात हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस प्रकार है: MP = CP × (100 + Gain%)/(100 - Discount%)

दिया गया है: CP = 2000, Gain% = 20, और Discount% = 20, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: MP = 2000 × (100 + 20)/(100 - 20) MP = 2000 × ¹²⁰⁄₈₀ MP = 2000 × ³⁄₂ MP = 3000

यह सूत्र इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि विक्रय मूल्य को एक ही समय में क्रय मूल्य पर 20 प्रतिशत की वृद्धि और अंकित मूल्य के 80 प्रतिशत मूल्य को दर्शाना चाहिए। लाभ-समायोजित क्रय मूल्य और छूट-समायोजित मूल्य के अनुपात को सरल करके, अंकित मूल्य 3,000 निर्धारित होता है।

व्याख्या

किसी संख्या के 33 से विभाज्य होने के लिए, उसे 3 और 11 दोनों से एक साथ विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 33 = 3 × 11 है। कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 का गुणज हो। 35508 के लिए, अंकों का योग 3 + 5 + 5 + 0 + 8 = 21 है। चूंकि 21, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 35508, 3 से विभाज्य है।

कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो। 35508 के मामले में, विषम स्थानों पर अंकों का योग 3 + 5 + 8 = 16 है, और सम स्थानों पर अंकों का योग 5 + 0 = 5 है। अंतर 16 - 5 = 11 है। चूंकि 11, 11 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 35508, 11 से विभाज्यता की शर्त को पूरा करती है। दोनों मानदंडों को पूरा करने के कारण, 35508, 33 से विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में मोटरबोट की गति u = 31x है और धारा की गति v = 6x है। धारा के अनुकूल (downstream) गति S_d = u + v = 31x + 6x = 37x है, और धारा के प्रतिकूल (upstream) गति Sᵤ = u - v = 31x - 6x = 25x है।

धारा के अनुकूल यात्रा करने में लिया गया समय T_d = 4 घंटे 10 मिनट है, जो 250 मिनट के बराबर है। चूंकि जाने और वापस आने दोनों यात्राओं के लिए तय की गई दूरी समान है, इसलिए लिया गया समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इस संबंध को Tᵤ / T_d = S_d / Sᵤ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अनुपात में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर Tᵤ = T_d × (S_d / Sᵤ) = 250 × (37x / 25x) प्राप्त होता है। इस गणना को सरल करने पर, हमें Tᵤ = 10 × 37 = 370 मिनट प्राप्त होते हैं। 370 मिनट को वापस घंटों और मिनटों में बदलने के लिए, हम इसे 60 से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 6 घंटे और 10 मिनट प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज (SI) अंतिम मिश्रधन और प्रारंभिक मूलधन के बीच का अंतर है। साधारण ब्याज (SI) = मिश्रधन (Amount) - मूलधन (Principal) = 38400 - 30000 = 8400

मानक साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है: 8400 = (30000 × 8 × T)/(100) 8400 = 300 × 8 × T 8400 = 2400 × T T = ⁸⁴⁰⁰⁄₂₄₀₀ T = ⁸⁴⁄₂₄ T = 3.5 वर्ष

व्याख्या

सभी पांच कॉलेजों में छात्रों की कुल संख्या 2080 है। आईआईटी दिल्ली, आईआईटी कानपुर और आईआईटी गुवाहाटी में छात्रों की संख्या का योग करने पर 430 + 350 + 400 = 1180 प्राप्त होता है। इसलिए, आईआईटी बॉम्बे (B) और आईआईटी मद्रास (M) में छात्रों की संयुक्त संख्या 2080 - 1180 = 900 है।

प्रश्न के अनुसार, आईआईटी बॉम्बे में छात्रों की संख्या आईआईटी मद्रास की तुलना में 20% कम है, जिससे संबंध B = M - 0.20M = 0.8M प्राप्त होता है। इसे संयुक्त कुल में प्रतिस्थापित करने पर: 0.8M + M = 900 1.8M = 900 ⟹ M = 500 B = 900 - 500 = 400

इसके बाद, इन दोनों कॉलेजों के लिए एप्लाइड और सिविल विभागों में छात्रों की संख्या की गणना करें: आईआईटी बॉम्बे में एप्लाइड विभाग में छात्र = 400 का 32% = 0.32 × 400 = 128 आईआईटी मद्रास में एप्लाइड विभाग में छात्र = 500 का 35% = 0.35 × 500 = 175 एप्लाइड विभाग में कुल छात्र = 128 + 175 = 303

आईआईटी बॉम्बे में सिविल विभाग में छात्र = 400 का 18% = 0.18 × 400 = 72 आईआईटी मद्रास में सिविल विभाग में छात्र = 500 का 25% = 0.25 × 500 = 125 सिविल विभाग में कुल छात्र = 72 + 125 = 197

इन दोनों कॉलेजों में एप्लाइड विभाग और सिविल विभाग के कुल छात्रों के बीच का अंतर 303 - 197 = 106 है।

व्याख्या

अनुज की यात्रा का कुल समय 8.5 घंटे है, जिसमें प्रत्येक 10 मिनट के 3 ठहराव शामिल हैं। अनुज के ठहराव की कुल अवधि 3 × 10 = 30 मिनट, या 0.5 घंटे है। इसलिए, उसके गाड़ी चलाने का वास्तविक समय 8.5 - 0.5 = 8 घंटे है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करने पर, स्थान A और स्थान B के बीच की दूरी 70 किमी/घंटा × 8 घंटे = 560 किमी है।

अनूप के लिए, 80 किमी/घंटा की गति से इस 560 किमी की दूरी को तय करने के लिए आवश्यक ड्राइविंग समय 560 / 80 = 7 घंटे है। अनूप प्रत्येक 15 मिनट के 4 ठहराव लेता है, जिससे कुल ठहराव का समय 4 × 15 = 60 मिनट, या 1 घंटा जुड़ जाता है। अनूप द्वारा स्थान B तक पहुँचने में लिया गया कुल समय उसके ड्राइविंग समय और ठहराव के समय का योग है, जो कि 7 घंटे + 1 घंटा = 8 घंटे है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - tan² A = 1 का उपयोग करके, हम इसे (sec A + tan A)(sec A - tan A) = 1 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूंकि दिया गया है कि sec A + tan A = 3, इसलिए sec A - tan A = ⅓ होगा।

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (sec A + tan A) + (sec A - tan A) = 3 + ⅓ 2 sec A = ¹⁰⁄₃ sec A = ⁵⁄₃

वैकल्पिक रूप से, किसी भी मान x = sec A + tan A के लिए, cos का मान सूत्र cos A = (2x)/(x² + 1) द्वारा दिया जाता है। x = 3 रखने पर: cos A = (2(3))/(3² + 1) = ⁶⁄₁₀ = ⅗

व्याख्या

द्विपद योग के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy द्वारा दी गई है। x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, सूत्र को x² + y² = (x + y)² - 2xy के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

इस व्यंजक में दिए गए मानों x + y = 7 और xy = 19 को प्रतिस्थापित करने पर:

x² + y² = (7)² - 2(19) x² + y² = 49 - 38 x² + y² = 11

व्याख्या

त्रिकोणमिति में मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका यह बताती है कि sin² θ + cos² θ = 1 है। व्यंजक cos² θ - sin² θ कोसाइन के लिए द्वि-कोण (double angle) सूत्र को दर्शाता है, जो कि cos 2θ है। चूंकि cos 2θ का मान θ के मान के साथ बदलता रहता है और यह निरंतर 1 के बराबर नहीं होता है, इसलिए समीकरण cos² θ - sin² θ ≡ 1 एक मान्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिका नहीं है। एक सर्वसमिका को उसके प्रांत (domain) के भीतर चर के सभी मानों के लिए सत्य होना चाहिए, लेकिन यह समानता केवल विशिष्ट बिंदुओं पर होती है जहाँ sin θ = 0 होता है।

व्याख्या

घनाभ के आयतन की गणना सूत्र V_घनाभ = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई का उपयोग करके की जाती है। दी गई विमाओं को रखने पर, V_घनाभ = 8 m × 8 m × 16 m = 1024 m³।

प्रश्न में कहा गया है कि घनाभ का आयतन, घन के आयतन (V_घन) का दोगुना है। इसलिए, V_घन = V_घनाभ / 2 = 1024 / 2 = 512 m³। यदि घन की भुजा a है, तो a³ = 512, जिससे a = ³√(512) = 8 m प्राप्त होता है।

घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र 6a² का उपयोग करके की जाती है। a का मान रखने पर, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 × (8 m)² = 6 × 64 m² = 384 m² है।

व्याख्या

प्रत्येक गुणनफल पद का अलग-अलग विस्तार करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

पहला पद: (a - 2b)(b - 3a) = ab - 3a² - 2b² + 6ab = -3a² + 7ab - 2b²

दूसरा पद: (a + b)(a - 3b) = a² - 3ab + ab - 3b² = a² - 2ab - 3b²

तीसरा पद (ऋणात्मक चिह्न सहित): -(b - 3a)(4a - 5b) = -(4ab - 5b² - 12a² + 15ab) = -(-12a² + 19ab - 5b²) = 12a² - 19ab + 5b²

अब, समान पदों को समूहीकृत करके सरल किए गए घटकों को संयोजित करें: a² वाले पद: -3a² + a² + 12a² = 10a² ab वाले पद: 7ab - 2ab - 19ab = -14ab b² वाले पद: -2b² - 3b² + 5b² = 0

इन परिणामों को संयोजित करने पर सरल व्यंजक प्राप्त होता है: 10a² - 14ab

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) का उपयोग करके की जा सकती है। a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca) प्रतिस्थापित करके, (a + b + c) और (ab + bc + ca) के दिए गए मानों का उपयोग करके इस सर्वसमिका को अधिक प्रत्यक्ष रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

इसे मूल सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)((a + b + c)² - 3(ab + bc + ca))

अब, दिए गए मानों a + b + c = 12 और ab + bc + ca = 47 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: a³ + b³ + c³ - 3abc = 12 × (12² - 3 × 47) a³ + b³ + c³ - 3abc = 12 × (144 - 141) a³ + b³ + c³ - 3abc = 12 × 3 a³ + b³ + c³ - 3abc = 36

व्याख्या

व्यंजक को VBODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: रेखा कोष्ठक (Vinculum), कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

चरण 1: वर्गाकार कोष्ठक के बाहर की अंकगणितीय संक्रियाओं को सरल कीजिए। 10 ÷ 5 × 1 + 3 = 2 × 1 + 3 = 2 + 3 = 5

चरण 2: सबसे आंतरिक कोष्ठक को हल कीजिए। (7 - 7 - 9) = 0 - 9 = -9

चरण 3: वर्गाकार कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल कीजिए। इस प्रकार की सरलीकरण समस्याओं में, आंतरिक संबंध का पहले मूल्यांकन करने के लिए घटाव अक्सर एक के भीतर एक (nested) होते हैं। 5 - (-9) = 14 8 - 14 = -6

चरण 4: चरण 1 और चरण 3 के परिणामों को संयोजित कीजिए। 5 - (-6) = 5 + 6 = 11

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार cot(90° - θ) = tanθ होता है। इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sec²θ - cot²(90° - θ) = sec²θ - tan²θ

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक सीधे सरल होकर 1 हो जाता है।

व्याख्या

B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को कार्य-दर सूत्र 1/D_A₊_B = 1/D_A + 1/D_B का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जहाँ D_A₊_B, A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय है, और D_A तथा D_B क्रमशः A और B द्वारा व्यक्तिगत रूप से लिया गया समय है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1/20 = 1/30 + 1/D_B। 1/D_B को हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर 1/D_B = 1/20 - 1/30 प्राप्त होता है। 60 के उभयनिष्ठ हर (common denominator) का उपयोग करने पर, गणना 1/D_B = 3/60 - 2/60 = 1/60 हो जाती है। इस प्रकार, D_B = 60 दिन।

वैकल्पिक रूप से, इकाई कार्य विधि (unit work method) का उपयोग करते हुए, मान लें कि कुल कार्य 20 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है। अकेले A की कार्यक्षमता 60 / 30 = 2 इकाई प्रति दिन है। B की कार्यक्षमता संयुक्त कार्यक्षमता और A की कार्यक्षमता के बीच का अंतर है, जो कि 3 - 2 = 1 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, B को अकेले कार्य समाप्त करने में 60 / 1 = 60 दिन लगेंगे।

व्याख्या

जब कार्यक्षमता स्थिर होती है, तो किसी कार्य को करने में लगने वाला समय पूरे किए गए कार्य की मात्रा के सीधे समानुपाती होता है। कार्य के एक अलग हिस्से के लिए समय ज्ञात करने के लिए, हम इस सिद्धांत के आधार पर एक अनुपात स्थापित कर सकते हैं कि प्रतिदिन किया जाने वाला कार्य समान रहता है।

श्रमिक कार्य का ⅗ भाग 12 दिनों में पूरा करता है। सबसे पहले, पूरे कार्य (1 इकाई) को पूरा करने में लगने वाला समय ज्ञात करें: पूरे कार्य का समय = 12 ÷ ⅗ = 12 × ⁵⁄₃ = 20 दिन।

अब, इस कुल समय को नए भिन्न पर लागू करके कार्य के ¾ भाग के लिए आवश्यक समय की गणना करें: ¾ कार्य के लिए समय = 20 × ¾ = 15 दिन।

इसकी गणना सीधे विचरण (direct variation) सूत्र (D₁)/(W₁) = (D₂)/(W₂) का उपयोग करके एक ही चरण में की जा सकती है, जहाँ D दिनों की संख्या है और W कार्य का भाग है: (12)/(3/5) = (D₂)/(3/4) 12 × ⁵⁄₃ = D₂ × ⁴⁄₃ 20 = ⁴⁄₃ D₂ D₂ = (20 × 3)/(4) = 15 दिन।

व्याख्या

औसत वजन की गणना व्यक्तिगत वजनों के योग को व्यक्तियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। अंकगणितीय माध्य के सूत्र का उपयोग करते हुए:

औसत = (Σ x)/(n)

यहाँ, वजन 49, 42, 61, 55, और 58 हैं, और लड़कियों की संख्या 5 है।

योग = 49 + 42 + 61 + 55 + 58 = 265

औसत = ²⁶⁵⁄₅ = 53 किग्रा

व्याख्या

पहले चरण में, तय की गई दूरी d₁ की गणना गति को समय से गुणा करके की जाती है: d₁ = 50 किमी/घंटा × 5 घंटे = 250 किमी।

दूसरे चरण में, गति v₂ में 20% की वृद्धि की जाती है, इसलिए v₂ = 50 × 1.2 = 60 किमी/घंटा। दूरी d₂ भी पहले चरण की दूरी से 20% अधिक है, इसलिए d₂ = 250 × 1.2 = 300 किमी। दूसरे चरण के लिए लिया गया समय t₂ = d₂ / v₂ = 300 / 60 = 5 घंटे है।

तीसरे चरण के लिए, पहले दो चरणों की औसत गति v₃, पहले दो चरणों की कुल दूरी को उनके कुल समय से विभाजित करके प्राप्त होती है: v₃ = (250 + 300) / (5 + 5) = 550 / 10 = 55 किमी/घंटा। दूरी d₃ दूसरे चरण की दूरी से 10% अधिक है, इसलिए d₃ = 300 × 1.1 = 330 किमी। तीसरे चरण के लिए लिया गया समय t₃ = d₃ / v₃ = 330 / 55 = 6 घंटे है।

तीनों चरणों के लिए लिया गया कुल समय प्रत्येक व्यक्तिगत चरण के समय का योग है: T = t₁ + t₂ + t₃ = 5 + 5 + 6 = 16 घंटे।

व्याख्या

प्रारंभिक मासिक बचत की गणना आय और व्यय के बीच के अंतर के रूप में की जाती है: S = 12,000 - 8,000 = 4,000।

मासिक आय में वृद्धि 12,000 का 10% है, जो कि 1,200 है। मासिक व्यय में वृद्धि 8,000 का 8% है, जो कि 640 है।

बचत में वृद्धि, आय में वृद्धि और व्यय में वृद्धि के बीच का अंतर है: 1,200 - 640 = 560।

बचत में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम बचत में हुई वृद्धि को प्रारंभिक बचत से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं: प्रतिशत वृद्धि = (560)/(4,000) × 100 = 14%

वैकल्पिक रूप से, भारित औसत (weighted averages) की अवधारणा का उपयोग करते हुए, जहाँ आय, व्यय और बचत का योग है, हम व्यय और बचत के अनुपात को 8,000:4,000 के रूप में दर्शा सकते हैं, जो सरल होकर 2:1 हो जाता है। माना बचत में प्रतिशत वृद्धि x है। 10 = ((2 × 8) + (1 × x))/(2 + 1) 30 = 16 + x x = 14%

व्याख्या

पहली राशि पर अर्जित साधारण ब्याज, मिश्रधन में से मूलधन को घटाकर प्राप्त किया जाता है: साधारण ब्याज (SI) = 8,320 - 6,400 = 1,920। सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, हम वार्षिक ब्याज दर निर्धारित करने के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 1,920 = (6,400 × R × 3)/(100)। इसे सरल करने पर 1,920 = 192R प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप R = 10% वार्षिक प्राप्त होता है।

यह ज्ञात करने के लिए कि उसी दर पर 5 वर्षों में ₹7,200 की राशि कितनी हो जाएगी, हम नए साधारण ब्याज की गणना करते हैं: SI = (7,200 × 10 × 5)/(100) = 3,600। अंतिम मिश्रधन इस ब्याज को मूलधन में जोड़कर प्राप्त किया जाता है: 7,200 + 3,600 = 10,800।

व्याख्या

A की कार्यक्षमता B की कार्यक्षमता की 3.5 गुना है, जिसे अनुपात E_A : E_B = 3.5 : 1 = 7 : 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि लिया गया समय कार्यक्षमता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए कार्य पूरा करने के लिए A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात T_A : T_B = 2 : 7 है।

माना A द्वारा लिया गया समय 2x दिन है और B द्वारा लिया गया समय 7x दिन है। प्रश्न के अनुसार, समय का अंतर 45 दिन है: 7x - 2x = 45 5x = 45 x = 9

इसलिए, अकेले कार्य पूरा करने में A को 2 × 9 = 18 दिन और B को 7 × 9 = 63 दिन लगते हैं। मिलकर कार्य करने पर लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त कार्य के सूत्र का उपयोग करते हैं: Timeₜₒ_gₑₜₕₑᵣ (एकसाथ लिया गया समय) = (T_A × T_B)/(T_A + T_B) Timeₜₒ_gₑₜₕₑᵣ = (18 × 63)/(18 + 63) = (18 × 63)/(81)

63 और 81 दोनों को 9 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है: (18 × 7)/(9) = 2 × 7 = 14 दिन

व्याख्या

व्यंजक 50 - [20 + (30 - (25 - 5))] को BODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो सबसे आंतरिक कोष्ठक से शुरू करके सबसे बाहरी कोष्ठक तक हल करके संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है।

सबसे पहले, सबसे आंतरिक कोष्ठक के भीतर की गणना की जाती है: 25 - 5 = 20

अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 50 - [20 + (30 - 20)]

इसके बाद, शेष कोष्ठक को सरल किया जाता है: 30 - 20 = 10

अब व्यंजक है: 50 - [20 + 10]

फिर, वर्गाकार कोष्ठक के भीतर की संक्रिया को पूरा किया जाता है: 20 + 10 = 30

अंतिम घटाव इस प्रकार है: 50 - 30 = 20

व्याख्या

माना A का क्रय मूल्य 100 है। चूंकि A वस्तु को B को 25% लाभ पर बेचता है, इसलिए B का क्रय मूल्य 100 × 1.25 = 125 है।

C का क्रय मूल्य, A के क्रय मूल्य से 30% अधिक दिया गया है, इसलिए C का क्रय मूल्य 100 × 1.30 = 130 है।

B द्वारा अर्जित लाभ, उस मूल्य (जिस पर B ने C को बेचा) और उस मूल्य (जिस पर B ने A से खरीदा था) के बीच का अंतर है। इस प्रकार, B का लाभ = 130 - 125 = 5 है।

B द्वारा अर्जित लाभ प्रतिशत की गणना B के क्रय मूल्य पर की जाती है: B का लाभ % = (लाभ)/(B का क्रय मूल्य) × 100 = ⁵⁄₁₂₅ × 100 = ¹⁄₂₅ × 100 = 4%

व्याख्या

किमी/घंटा में चाल की गणना करने के लिए, सबसे पहले दूरी को मीटर से किलोमीटर में और समय को मिनट से घंटे में बदलें। दूरी 3300 मीटर = ³³⁰⁰⁄₁₀₀₀ = 3.3 किमी है। समय 45 मिनट = ⁴⁵⁄₆₀ घंटे = 0.75 घंटे है।

मानक चाल सूत्र का उपयोग करने पर: चाल = (दूरी)/(समय) चाल = (3.3 किमी)/(0.75 घंटा) चाल = ³³⁰⁄₇₅ = 4.4 किमी/घंटा

वैकल्पिक रूप से, चाल की गणना पहले मीटर प्रति मिनट में चाल ज्ञात करके और फिर उसे किमी/घंटा में बदलकर की जा सकती है: मीटर/मिनट में चाल = ³³⁰⁰⁄₄₅ = ²²⁰⁄₃ मीटर/मिनट किमी/घंटा में बदलने के लिए, ⁶⁰⁄₁₀₀₀ से गुणा करें: चाल = ²²⁰⁄₃ × ⁶⁰⁄₁₀₀₀ = 22 × 0.2 = 4.4 किमी/घंटा

व्याख्या

क्रमिक छूटों और अंतिम विक्रय मूल्य (SP) के बीच का संबंध गुणक विधि (multiplier method) द्वारा निर्धारित किया जाता है। 100 के अंकित मूल्य (MP) के लिए, 31.6% की एकल समतुल्य छूट के परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य (SP) = 100 × (1 - 0.316) = 68.4 प्राप्त होता है।

5%, 10%, और p% की क्रमिक छूटों के बाद अंतिम विक्रय मूल्य (SP) को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) × (1 - (d₃)/(100)) 68.4 = 100 × (1 - ⁵⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ᵖ⁄₁₀₀) 68.4 = 100 × 0.95 × 0.9 × (1 - ᵖ⁄₁₀₀) 68.4 = 85.5 × (1 - ᵖ⁄₁₀₀)

अज्ञात छूट कारक का मान ज्ञात करने के लिए: 1 - ᵖ⁄₁₀₀ = (68.4)/(85.5) 1 - ᵖ⁄₁₀₀ = ⁶⁸⁴⁄₈₅₅ अंश और हर दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों से विभाजित करने पर (पहले 9 से, फिर 19 से): 1 - ᵖ⁄₁₀₀ = ⁷⁶⁄₉₅ = ⅘ 1 - ᵖ⁄₁₀₀ = 0.8

p की गणना करने पर: ᵖ⁄₁₀₀ = 1 - 0.8 = 0.2 p = 20

वैकल्पिक रूप से, पहली दो छूटों के लिए क्रमिक छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करने पर: 5 + 10 - (5 × 10)/(100) = 14.5% p के साथ इस संयुक्त मान का उपयोग करने पर: 14.5 + p - (14.5 × p)/(100) = 31.6 0.855p = 31.6 - 14.5 0.855p = 17.1 p = (17.1)/(0.855) = 20

व्याख्या

वास्तविक गति 72 किमी/घंटा है और यात्रा का समय 7.5 घंटे है, जिससे दूरी 540 किमी प्राप्त होती है। गति में 25% की वृद्धि करने पर नई गति 90 किमी/घंटा हो जाती है, जो इस दूरी को 6 घंटे (540/90) में तय करती है। बचा हुआ समय प्रारंभिक 7.5 घंटे और नए 6 घंटे के बीच का अंतर है, जो कि 1.5 घंटे या 1 घंटा 30 मिनट है।

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए व्यंजक को सरल किया जाता है: सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक (5/4 + 11/4) का मान 4 होता है; फिर (38 - 4) का मान 34 होता है; मझला कोष्ठक {75 + 34} का मान 109 होता है; बड़ा कोष्ठक [142 - 109] का मान 33 होता है; और अंत में, 264 - 33 का मान 231 होता है।

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का उपयोग किया जाता है: (1 * 126 + 1 * 135 + 2 * x) / (1 + 1 + 2) = 153. समीकरण 126 + 135 + 2x = 612 को हल करने पर 2x = 351 प्राप्त होता है, जिससे x = 175.5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

आवश्यक आटे की मात्रा लोगों की संख्या के सीधे समानुपातिक होती है। ऐकिक नियम का उपयोग करते हुए, एक व्यक्ति के लिए आवश्यक आटे की मात्रा आटे के प्रारंभिक वजन को लोगों की प्रारंभिक संख्या से विभाजित करके निर्धारित की जाती है:

प्रति व्यक्ति आटा = (2.4 किग्रा)/(15) = 0.16 किग्रा

36 लोगों के लिए आवश्यक कुल आटे की गणना करने के लिए, प्रति व्यक्ति आवश्यक मात्रा को लोगों की कुल संख्या से गुणा करें:

आवश्यक कुल आटा = 0.16 किग्रा × 36 = 5.76 किग्रा

इसे सीधे समानुपात सूत्र x₁/y₁ = x₂/y₂ का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है:

(2.4)/(15) = ˣ⁄₃₆

x = (2.4 × 36)/(15)

x = (86.4)/(15) = 5.76 किग्रा

व्याख्या

वापस की गई राशि (मिश्रधन) A, मूलधन P का ⁹⁄₅ है, जिसे A = 1.8P के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस अवधि के दौरान अर्जित साधारण ब्याज I, मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है, जिसकी गणना I = A - P = 1.8P - P = 0.8P के रूप में की जाती है। साधारण ब्याज के सूत्र I = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ T = 4 वर्ष है, हम दर R ज्ञात करने के लिए मान प्रतिस्थापित करते हैं।

0.8P = (P × R × 4)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने पर, समीकरण 0.8 = (4R)/(100) हो जाता है। दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर 80 = 4R प्राप्त होता है। R के लिए हल करने पर R = ⁸⁰⁄₄ = 20 प्राप्त होता है। अतः ब्याज की दर 20% वार्षिक है।

व्याख्या

माना पुलिसकर्मी की चाल Vp है और चोर की चाल Vt है। दिया गया है कि Vt = 0.8 Vp, सापेक्ष चाल Vp - Vt = 0.2 Vp है। सूत्र दूरी = सापेक्ष चाल × समय का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: 0.5 किमी = (0.2 Vp) × (12/60) घंटे, जिसे सरल करने पर 0.5 = 0.04 Vp प्राप्त होता है, जिससे Vp = 12.5 किमी/घंटा मिलता है। इस प्रकार, चोर की चाल 0.8 × 12.5 = 10 किमी/घंटा है।

व्याख्या

टैंक की क्षमता को 9/2 और 36/5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में लिया जाता है, जो कि 36 इकाई है। भरने वाला पाइप प्रति घंटे 8 इकाई भरता है, और खाली करने वाला पाइप प्रति घंटे 5 इकाई खाली करता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक 2 घंटे (एक चक्र) में शुद्ध रूप से 3 इकाई भरी जाती है। 10 चक्रों (20 घंटे) के बाद, टैंक में 30 इकाई भर जाती है। 21वें घंटे में, भरने वाले पाइप को शेष 6 इकाइयों (36 - 30 = 6) को भरना होगा, जिसमें 6/8 या 3/4 घंटा लगता है। इस प्रकार, आवश्यक कुल समय 20 ¾ घंटे है।