एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके व्यंजक का मान ज्ञात किया जाता है, जहाँ cot(90° - θ) = tan θ और sec(90° - θ) = csc θ होता है।

पहले पद के लिए, sec² 54° - cot² 36° = sec² 54° - tan² (90° - 36°) = sec² 54° - tan² 54°। सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करने पर, यह मान 1 है।

दूसरे पद के लिए, ³⁄₂ sin² 37° × sec² 53° = ³⁄₂ sin² 37° × csc² (90° - 53°) = ³⁄₂ sin² 37° × csc² 37°। चूँकि sin θ × csc θ = 1 है, इसलिए यह सरल होकर ³⁄₂ × 1 = ³⁄₂ हो जाता है।

तीसरे पद के लिए, (2)/(√(3)) tan 60° = (2)/(√(3)) × √3 = 2।

इन परिणामों का योग करने पर 1 + ³⁄₂ + 2 = 3 + ³⁄₂ = ⁹⁄₂ प्राप्त होता है।

व्याख्या

चोर सुबह 3:00 बजे से सुबह 4:00 बजे तक 1 घंटे अकेले यात्रा करता है, जिससे वह 57 किमी/घंटा × 1 घंटा = 57 किमी की दूरी तय करता है। चोर को पकड़ने के लिए, मालिक को दोनों वाहनों के बीच की सापेक्ष गति का उपयोग करके इस 57 किमी की दूरी के अंतर को पाटना होगा।

चूंकि दोनों एक ही दिशा में गति कर रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर होगी: सापेक्ष गति (Vᵣₑₗ) = 76 किमी/घंटा - 57 किमी/घंटा = 19 किमी/घंटा।

चोर को पकड़ने के लिए आवश्यक समय की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: समय = (दूरी) / (सापेक्ष गति) = (57 किमी) / (19 किमी/घंटा) = 3 घंटे।

पीछा शुरू होने के समय (सुबह 4:00 बजे) में इस अवधि को जोड़ने पर, मालिक चोर को सुबह 4:00 बजे + 3 घंटे = सुबह 7:00 बजे पकड़ लेता है।

व्याख्या

माना सविता की वर्तमान आयु x वर्ष है। पहली शर्त के अनुसार, रहीम की वर्तमान आयु 5x वर्ष है।

सात वर्षों में, सविता की आयु x + 7 वर्ष होगी और रहीम की आयु 5x + 7 वर्ष होगी। उस समय उनकी आयु के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया गया है:

5x + 7 = 3(x + 7)

समीकरण के दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:

5x + 7 = 3x + 21

चर को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 3x और 7 घटाने पर:

5x - 3x = 21 - 7 2x = 14 x = 7

सविता की वर्तमान आयु 7 वर्ष है। इसलिए, रहीम की वर्तमान आयु 5 × 7 = 35 वर्ष है।

व्याख्या

माना शंकु की त्रिज्या r, ऊँचाई h और तिर्यक ऊँचाई l है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π r l होता है और इसके आधार का क्षेत्रफल π r² होता है। दी गई शर्त के अनुसार, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का दोगुना है, इसलिए π r l = 2 π r²। इसे सरल करने पर l = 2r प्राप्त होता है, जिससे r = l/2 प्राप्त होता है।

एक लंब वृत्तीय शंकु में, तिर्यक ऊँचाई, त्रिज्या और ऊँचाई के बीच का संबंध l² = r² + h² होता है। इस समीकरण में r = l/2 रखने पर, हमें प्राप्त होता है: h² = l² - (l/2)² = l² - (l²)/(4) = (3l²)/(4)। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, ऊँचाई h = (l√3)/2 प्राप्त होती है।

दी गई तिर्यक ऊँचाई l = 6√3 सेमी है, इस मान को h के व्यंजक में रखने पर: h = (6√3) × √3/2 h = (6 × 3)/(2) = 18/2 = 9 सेमी।

व्याख्या

विभिन्न दरों के साथ कई अवधियों में अर्जित कुल साधारण ब्याज सूत्र SIₜₒₜₐₗ = (P × (R₁ T₁ + R₂ T₂ + R₃ T₃))/(100) द्वारा दिया जाता है, जहाँ P निवेश की गई मूल धनराशि है।

प्रत्येक अवधि के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पहले 8 वर्षों के लिए 7.25% पर: R₁ T₁ = 7.25 × 8 = 58 अगले 6 वर्षों के लिए 8.5% पर: R₂ T₂ = 8.5 × 6 = 51 अंतिम 4 वर्षों के लिए 6.5% पर: R₃ T₃ = 6.5 × 4 = 26

ब्याज के रूप में अर्जित मूलधन का कुल प्रतिशत है: 58 + 51 + 26 = 135%

अब, इसे दिए गए कुल ब्याज की राशि के बराबर रखने पर: 35,100 = (P × 135)/(100) P = (35,100 × 100)/(135)

35,100 को 135 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 35,100 ÷ 135 = 260 P = 260 × 100 = 26,000

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x⁴ + (1)/(x⁴) = 142 से, हम सबसे पहले दोनों पक्षों में 2 जोड़कर और वर्गमूल लेकर x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 142 + 2 (x² + (1)/(x²))² = 144 x² + (1)/(x²) = √(144) = 12

इसी प्रकार, हम पुनः 2 जोड़कर x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करते हैं: x² + (1)/(x²) + 2 = 12 + 2 (x + ¹⁄ₓ)² = 14 x + ¹⁄ₓ = √(14)

इसके बाद, हम सूत्र a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) का उपयोग करके x³ + (1)/(x³) की गणना करते हैं: x³ + (1)/(x³) = (√(14))³ - 3(√(14)) x³ + (1)/(x³) = 14√(14) - 3√(14) = 11√(14)

x⁷ + (1)/(x⁷) का मान त्रिघात (cubic) और चतुर्थघात (quartic) पदों के गुणनफल से प्राप्त किया जाता है: (x³ + (1)/(x³))(x⁴ + (1)/(x⁴)) = x⁷ + (1)/(x⁷) + (x + ¹⁄ₓ) x⁷ + (1)/(x⁷) = (x³ + (1)/(x³))(x⁴ + (1)/(x⁴)) - (x + ¹⁄ₓ)

परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x⁷ + (1)/(x⁷) = (11√(14))(142) - √(14) x⁷ + (1)/(x⁷) = 1562√(14) - √(14) = 1561√(14)

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 36 इकाई है। A की कार्यक्षमता 36 / 12 = 3 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 36 / 18 = 2 इकाई प्रति दिन है।

चूंकि वे A से शुरू करते हुए बारी-बारी से काम करते हैं, इसलिए 2 दिनों के एक चक्र में (पहले दिन A और दूसरे दिन B), पूरा किया गया कुल कार्य 3 + 2 = 5 इकाई है। यह पता लगाने के लिए कि ऐसे कितने चक्र पूरे हुए हैं, हम कुल कार्य को एक चक्र में किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 36 / 5 = 7 चक्र और शेष 1 इकाई।

7 चक्रों में लगा समय 7 × 2 = 14 दिन है, और पूरा किया गया कार्य 7 × 5 = 35 इकाई है। शेष कार्य 36 - 35 = 1 इकाई है। 15वें दिन, काम करने की बारी A की है। चूंकि A की कार्यक्षमता 3 इकाई प्रति दिन है, इसलिए शेष 1 इकाई को पूरा करने में A द्वारा लिया गया समय 1 / 3 दिन है। इसलिए, कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय 14 + 1/3 = 14 ⅓ दिन है।

व्याख्या

जब दो लोग किसी कार्य को पूरा करने के लिए एक साथ काम करते हैं, तो लिया गया कुल समय सूत्र T = (xy)/(x + y) का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ x और y प्रत्येक व्यक्ति द्वारा लिया गया व्यक्तिगत समय है। इस मामले में, राइमा x = 15 दिन लेती है और जो y = 10 दिन लेता है।

इस सूत्र में इन मानों को रखने पर: T = (15 × 10)/(15 + 10) = ¹⁵⁰⁄₂₅ = 6

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, कुल कार्य को 15 और 10 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में मानें, जो कि 30 इकाई है। राइमा के कार्य करने की दर 30 / 15 = 2 इकाई प्रति दिन है, और जो के कार्य करने की दर 30 / 10 = 3 इकाई प्रति दिन है। उनके कार्य करने की संयुक्त दर 2 + 3 = 5 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, एक साथ मिलकर 30 इकाई कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 30 / 5 = 6 दिन है।

व्याख्या

जब लोग समान अवधि के लिए मिलकर काम करते हैं, तो उनकी मजदूरी उनकी कार्यक्षमताओं के अनुपात में वितरित की जाती है। कार्यक्षमता व्यक्तिगत रूप से कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

A, B और C की कार्यक्षमताओं का अनुपात है: कार्यक्षमता का अनुपात A : B : C = ⅒ : ¹⁄₁₅ : ¹⁄₂₀

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को 10, 15 और 20 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 60 है, से गुणा करें: अनुपात A : B : C = (⅒ × 60) : (¹⁄₁₅ × 60) : (¹⁄₂₀ × 60) = 6 : 4 : 3

अनुपात के भागों का कुल योग 6 + 4 + 3 = 13 इकाई है। ये 13 इकाइयाँ कुल मजदूरी 2,600 रुपये के संगत हैं। 1 इकाई का मान = ²⁶⁰⁰⁄₁₃ = 200

अनुपात में C का हिस्सा 3 इकाइयों के संगत है। इसलिए: C की मजदूरी = 3 × 200 = 600

व्याख्या

जब कोई विक्रेता वस्तुओं को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है लेकिन गलत वजन का उपयोग करता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (त्रुटि)/(वास्तविक वजन - त्रुटि) × 100। वैकल्पिक रूप से, यदि x वह वजन है जो वास्तव में 1000 ग्राम के वास्तविक वजन के स्थान पर दिया गया है, तो सूत्र है: लाभ % = (1000 - x)/(x) × 100।

दिया गया लाभ 5⁵⁄₁₉% है, जिसे एक अनुचित भिन्न (improper fraction) में बदला जा सकता है: (5 × 19 + 5)/(19)% = ¹⁰⁰⁄₁₉%।

लाभ प्रतिशत को सूत्र में रखने पर: ¹⁰⁰⁄₁₉ = (1000 - x)/(x) × 100

दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करने पर: ¹⁄₁₉ = (1000 - x)/(x)

तिर्यक गुणा (Cross-multiplying) करने पर प्राप्त होता है: x = 19(1000 - x) x = 19000 - 19x 20x = 19000 x = ¹⁹⁰⁰⁰⁄₂₀ = 950 ग्राम

अतः, विक्रेता 1 किग्रा के स्थान पर 950 ग्राम देता है।

व्याख्या

△ PQR में, कोण योग गुणधर्म के अनुसार सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ PQR = 60° और ∠ PRQ = 30°, हम तीसरे कोण ∠ QPR के माप की गणना करते हैं: ∠ QPR = 180° - (∠ PQR + ∠ PRQ) ∠ QPR = 180° - (60° + 30°) = 90°

प्रश्न में कहा गया है कि △ PQR ≅ △ STU है। सर्वांगसम त्रिभुजों में, संगत भाग (कोण और भुजाएँ) बराबर होते हैं। सर्वांगसमता संकेतन से शीर्षों का मिलान करने पर, शीर्ष P, S के संगत है, Q, T के संगत है, और R, U के संगत है। यह दी गई जानकारी के अनुरूप है कि ∠ PQR = ∠ STU = 60° है। परिणामस्वरूप, ∠ TSU अपने संगत कोण ∠ QPR के बराबर होना चाहिए। चूंकि ∠ QPR = 90° है, इसलिए ∠ TSU = 90° होगा।

व्याख्या

9 से विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। संख्या 83061 के लिए, अंकों के योग की गणना 8 + 3 + 0 + 6 + 1 = 18 के रूप में की जाती है। चूंकि 18, 9 का एक गुणज है, इसलिए संख्या 83061, 9 से विभाज्य है।

व्याख्या

व्यंजक a : b :: b : c एक विततानुपात (continued proportion) को दर्शाता है, जिसका अर्थ गणितीय संबंध (a)/(b) = (b)/(c) है। तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर सूत्र b² = ac प्राप्त होता है, जहाँ b, a और c के बीच का मध्यानुपाती (mean proportional) है। यह दिया गया है कि b = 96, इसलिए हम b² = 96 × 96 = 9216 की गणना करते हैं। a और c के संभावित मानों को ज्ञात करने के लिए, उनका गुणनफल 9216 के बराबर होना चाहिए। युग्म a = 32 और c = 288 के लिए, गुणनफल 32 × 288 = 9216 है। चूंकि यह b² के मान से मेल खाता है, इसलिए यह युग्म विततानुपात की शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज का अंतःकेंद्र वह बिंदु होता है जहाँ तीनों आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं। किसी भी त्रिभुज ABC में, यदि I अंतःकेंद्र है, तो अंतःकेंद्र पर भुजा BC द्वारा अंतरित कोण को ∠ BIC के रूप में दर्शाया जाता है। त्रिभुज BIC में, कोणों का योग 180° होना चाहिए। चूंकि BI और CI कोण समद्विभाजक हैं, इसलिए △ BIC के आधार पर बनने वाले कोण (∠ B)/(2) और (∠ C)/(2) हैं। इसलिए, ∠ BIC = 180° - ((∠ B)/(2) + (∠ C)/(2))। △ ABC के लिए त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए, जहाँ ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° है, हम (∠ B + ∠ C)/(2) = 90° - (∠ A)/(2) प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर ∠ BIC = 180° - (90° - (∠ A)/(2)) = 90° + (∠ A)/(2) प्राप्त होता है। यह कथन असत्य है क्योंकि यह दावा करता है कि कोण सम्मुख शीर्ष के कोण से 90° अधिक है, न कि सम्मुख शीर्ष के कोण के आधे से 90° अधिक।

व्याख्या

VBODMAS नियम का पालन करते हुए, हम सबसे पहले 'का' (of) संक्रियाओं को हल करते हैं, उसके बाद भाग, गुणा, जोड़ और घटाव करते हैं।

सबसे पहले, 'का' (of) वाले भागों की गणना करें: 59.5 का ¹⁄₁₇ = (59.5)/(17) = 3.5 ⁷⁄₂ का 5 = 3.5 × 5 = 17.5

इसके बाद, मुख्य व्यंजक में भाग और गुणा को हल करें: 7.5 × (17.2 ÷ 8.6) + 3.5 - 17.5 7.5 × 2 + 3.5 - 17.5 15 + 3.5 - 17.5

अंत में, जोड़ और घटाव करें: 18.5 - 17.5 = 1

व्याख्या

चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष चाल Vᵣₑₗ = Vₚₒₗᵢ_cₑₘₐₙ - Vₜₕᵢₑ_f = 75 किमी/घंटा - 60 किमी/घंटा = 15 किमी/घंटा है। यह उस दर को दर्शाता है जिससे पुलिसकर्मी 3 किमी के प्रारंभिक अंतर को कम करता है। चोर को पकड़ने के लिए आवश्यक समय की गणना इस प्रकार की जाती है: t = (प्रारंभिक दूरी)/(सापेक्ष चाल) = (3 किमी)/(15 किमी/घंटा) = ⅕ घंटा। इस अंतराल के दौरान, चोर 60 किमी/घंटा की निरंतर चाल से यात्रा करता है। इसलिए, पकड़े जाने के क्षण तक चोर द्वारा तय की गई दूरी = चोर की चाल × समय = 60 किमी/घंटा × ⅕ घंटा = 12 किमी है।

व्याख्या

जब किसी समूह में एक व्यक्ति को दूसरे व्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो नए व्यक्ति के वजन की गणना जाने वाले व्यक्ति के वजन में वजन में हुए कुल परिवर्तन को जोड़कर की जाती है। समूह के वजन में कुल वृद्धि, व्यक्तियों की संख्या और औसत वजन में हुई वृद्धि का गुणनफल होती है।

नए व्यक्ति का वजन = प्रतिस्थापित व्यक्ति का वजन + (व्यक्तियों की संख्या × औसत वजन में वृद्धि)

चूंकि व्यक्तियों की संख्या 15 है और औसत वजन में 1.2 किग्रा की वृद्धि होती है, इसलिए वजन में कुल वृद्धि है: 15 × 1.2 = 18 किग्रा

प्रतिस्थापित किए गए व्यक्ति का वजन 51 किग्रा है। इसलिए, नए व्यक्ति का वजन है: 51 किग्रा + 18 किग्रा = 69 किग्रा

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं, cot(90° - θ) = tan θ और cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करने पर। व्यंजक का पहला पद, cot 85°, cot(90° - 5°) के बराबर है, जो सरल होकर tan 5° हो जाता है। दूसरा पद, cos 75°, cos(90° - 15°) के बराबर है, जो सरल होकर sin 15° हो जाता है। इन मानों को मूल व्यंजक cot 85° + cos 75° में प्रतिस्थापित करने पर tan 5° + sin 15° प्राप्त होता है।

व्याख्या

गणना मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) का अनुसरण करती है। समीकरण में दिए गए मानों x + y + z = 4 और x² + y² + z² = 12 को प्रतिस्थापित करने पर 4² = 12 + 2(xy + yz + zx) प्राप्त होता है। समीकरण को सरल करने पर 16 = 12 + 2(xy + yz + zx) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 4 = 2(xy + yz + zx) होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, व्यंजक का मान xy + yz + zx = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 5y + (5)/(y) = 11 है, हम उभयनिष्ठ पद 5 को बाहर निकालते हैं जिससे हमें 5(y + (1)/(y)) = 11 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर y + (1)/(y) = ¹¹⁄₅ प्राप्त होता है।

y² + (1)/(y²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं। a = y और b = (1)/(y) रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

(y + (1)/(y))² = y² + (1)/(y²⁾ + 2(y)((1)/(y)) (y + (1)/(y))² = y² + (1)/(y²⁾ + 2

समीकरण में y + (1)/(y) = ¹¹⁄₅ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

(¹¹⁄₅)² = y² + (1)/(y²⁾ + 2 ¹²¹⁄₂₅ = y² + (1)/(y²⁾ + 2

y² + (1)/(y²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

y² + (1)/(y²⁾ = ¹²¹⁄₂₅ - 2 y² + (1)/(y²⁾ = (121 - 50)/(25) y² + (1)/(y²⁾ = ⁷¹⁄₂₅

अनुचित भिन्न ⁷¹⁄₂₅ को मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए, हम 71 को 25 से विभाजित करते हैं, जिससे भागफल 2 और शेषफल 21 प्राप्त होता है। इस प्रकार, मान 2²¹⁄₂₅ है।

व्याख्या

व्यंजक (2tan A)/(1 + tan²⁾^A एक मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है जो sin 2A को निरूपित करती है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan²A = sec²A का उपयोग करने पर, व्यंजक को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

(2tan A)/(1 + tan²⁾^A = (2tan A)/(sec²⁾^A

tan A = (sin A)/(cos A) और sec²A = (1)/(cos²⁾^A प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(2 sin A)/(cos A){(1)/(cos²⁾^A} = 2 (sin A)/(cos A) · cos²A = 2sin Acos A

sine के लिए द्वि-कोण सूत्र (double-angle formula) यह बताता है कि sin 2A = 2sin Acos A, जो इस सर्वसमिका की पुष्टि करता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका यह बताती है कि sin A = cos (90° - A) होता है। व्यंजक के पहले पद पर इस सर्वसमिका को लागू करने पर, हम A = 50° + θ प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें sin (50° + θ) = cos (90° - (50° + θ)) प्राप्त होता है। कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर, हमें 90° - 50° - θ प्राप्त होता है, जो 40° - θ के बराबर है। इसलिए, sin (50° + θ) = cos (40° - θ) है। इसे वापस मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें cos (40° - θ) - cos (40° - θ) = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो क्रमिक परिवर्तनों x% और y% का शुद्ध प्रभावी प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दिया जाता है। प्रत्येक 30% की दो क्रमिक वृद्धियों के लिए, शुद्ध प्रतिशत वृद्धि 30 + 30 + (30 × 30)/(100) = 60 + 9 = 69% है।

प्रत्येक 30% की दो क्रमिक कमियों के लिए, शुद्ध प्रतिशत कमी की गणना x = -30 और y = -30 का उपयोग करके की जाती है, जिससे -30 - 30 + ⁽⁻³⁰⁾⁽⁻³⁰⁾⁄₁₀₀ = -60 + 9 = -51% प्राप्त होता है। इस शुद्ध कमी का परिमाण 51% है।

यह ज्ञात करने के लिए कि प्रतिशत के संदर्भ में वृद्धि (69%), कमी (51%) से कितनी अधिक है, सूत्र (मान₁ - मान₂)/(मान₂) × 100 का उपयोग करें।

(69 - 51)/(51) × 100 = ¹⁸⁄₅₁ × 100

अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर ⁶⁄₁₇ × 100 प्राप्त होता है। दशमलव मान की गणना करने पर, 600 ÷ 17 ≈ 35.294% प्राप्त होता है, जो लगभग 35.29% है।

व्याख्या

एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 2(lw + wh + hl) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l, w, और h क्रमशः घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को दर्शाते हैं। दिए गए विमाओं 5 सेमी, 7 सेमी और 11 सेमी को सूत्र में रखने पर, हमें 2(5 × 7 + 7 × 11 + 11 × 5) प्राप्त होता है। कोष्ठक के भीतर व्यक्तिगत गुणनफलों की गणना करने पर 2(35 + 77 + 55) प्राप्त होता है। इन मानों को जोड़ने पर 2(167) प्राप्त होता है, जो 334 सेमी² के बराबर है।

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय की गणना सूत्र T = (xy)/(x+y) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x और y प्रत्येक व्यक्ति द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को दर्शाते हैं। इस स्थिति में, पुरुष कार्य को x = 10 दिनों में पूरा करता है और महिला इसे y = 12 दिनों में पूरा करती है। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर T = (10 × 12)/(10 + 12) = ¹²⁰⁄₂₂ प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल करने पर परिणाम ⁶⁰⁄₁₁ दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

अधिकतम छूट की पहचान करने के लिए, प्रत्येक प्रस्ताव के लिए प्रतिशत की गणना करें। 'X खरीदें, Y मुफ्त पाएं' योजनाओं के लिए, छूट प्रतिशत सूत्र (Y)/(X+Y) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसका उपयोग करते हुए, योजना A ⁴⁄₆₊₄ × 100 = 40% की पेशकश करती है, जबकि योजना B ⁵⁄₅₊₅ × 100 = 50% की पेशकश करती है। x% और y% की क्रमिक छूट के लिए, समतुल्य एकल छूट x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दी जाती है। योजना C के लिए, इसका परिणाम 18 + 24 - (18 × 24)/(100) = 42 - 4.32 = 37.68% होता है। इन प्रभावी दरों की तुलना से पता चलता है कि 50% उपलब्ध अधिकतम छूट है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर लंब होती है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसमें केंद्र से दूरी (25 सेमी) कर्ण है और स्पर्श रेखा की लंबाई (20 सेमी) एक भुजा है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, त्रिज्या का वर्ग = 25 का वर्ग - 20 का वर्ग (625 - 400 = 225) है, जिससे त्रिज्या 15 सेमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: 8 + (-12) - (-17)। इसके परिणामस्वरूप 8 - 12 + 17 प्राप्त होता है, जिसकी गणना करने पर 13 प्राप्त होता है।

व्याख्या

60 इकाइयों (30 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य - LCM) के कुल कार्य के आधार पर, सुप्रजा और कौशल्या की दैनिक कार्यक्षमता क्रमशः 2 इकाइयाँ और 3 इकाइयाँ है। बारी-बारी से कार्य करते हुए, वे प्रत्येक 2 दिनों में 5 इकाइयाँ पूरी करती हैं। चूँकि कार्य का 75% भाग 45 इकाइयाँ है, इसलिए इसमें प्रत्येक 2 दिनों के ठीक 9 चक्र लगेंगे, जिसके परिणामस्वरूप 18 दिन होंगे।

व्याख्या

(A+B), (B+C), और (C+A) की संयुक्त दैनिक कार्यक्षमता 1/9 + 1/12 + 1/18 = 9/36 = 1/4 है। चूंकि यह योग 2(A+B+C) को दर्शाता है, इसलिए एक साथ मिलकर कार्य करने पर A, B, और C की कार्यक्षमता (1/4) / 2 = 1/8 होगी, जिसका अर्थ है कि वे इस परियोजना को 8 दिनों में पूरा कर सकते हैं।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र, स्पर्श बिंदुओं और बाह्य बिंदु द्वारा बनने वाले चतुर्भुज में, स्पर्श बिंदुओं पर बनने वाले कोण प्रत्येक 90 डिग्री के होते हैं। इसलिए, स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा अंतरित कोण संपूरक होते हैं: 180 - 24 = 156 डिग्री।

व्याख्या

A द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय सूत्र T_A = (xy)/(y - x) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ x, A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय है और y, B द्वारा अकेले लिया गया समय है। x = 8 और y = 24 मान रखने पर:

T_A = (8 × 24)/(24 - 8) T_A = ¹⁹²⁄₁₆ T_A = 12

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, मान लें कि कुल कार्य 8 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 24 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति दिन है, जबकि अकेले B की कार्यक्षमता 24 / 24 = 1 इकाई प्रति दिन है। A की कार्यक्षमता संयुक्त कार्यक्षमता और B की कार्यक्षमता का अंतर है, जो कि 3 - 1 = 2 इकाई प्रति दिन है। A द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 24 / 2 = 12 दिन है।

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज, कुल राशि और मूलधन के बीच का अंतर है, जो कि 12,300 - 9,840 = 2,460 है। साधारण ब्याज के सूत्र (I = P * R * T / 100) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2,460 = (9,840 * 5 * T) / 100, जिसे सरल करने पर 2,460 = 492 * T प्राप्त होता है, जिससे T = 5 वर्ष मिलता है।

व्याख्या

Q द्वारा 400 मीटर की दौड़ पूरी करने में लिया गया समय सूत्र समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करके निकाला जाता है। चूँकि Q की गति 2 मीटर/सेकंड दी गई है, इसलिए Q द्वारा लिया गया समय T_Q = ⁴⁰⁰⁄₂ = 200 सेकंड है। चूँकि P, Q को 2 सेकंड की शुरुआती बढ़त देता है और दोनों एक ही समय पर दौड़ पूरी करते हैं, इसलिए P वास्तव में Q से 2 सेकंड कम समय तक दौड़ता है। इसलिए, P द्वारा दौड़ पूरी करने में लिया गया समय T_P = T_Q - 2 = 200 - 2 = 198 सेकंड है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु की मूल कीमत P है। r% की मूल्य वृद्धि को गुणक (1 + ʳ⁄₁₀₀) द्वारा दर्शाया जाता है, और बाद में r% की कमी को गुणक (1 - ʳ⁄₁₀₀) द्वारा दर्शाया जाता है। यह देखते हुए कि अंतिम मूल्य 1 रुपये है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

P × (1 + ʳ⁄₁₀₀) × (1 - ʳ⁄₁₀₀) = 1

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करते हुए, दोनों गुणकों का गुणनफल इस प्रकार सरल हो जाता है:

P × (1² - (ʳ⁄₁₀₀)²) = 1 P × (1 - (r²)/(10000)) = 1

P को अलग करने के लिए, हम एक सामान्य हर (common denominator) लेकर कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को सरल करते हैं:

P × ((10000 - r²)/(10000)) = 1

दोनों पक्षों को भिन्न के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करके P का मान ज्ञात करने पर:

P = (10000)/(10000 - r²)

व्याख्या

कुल क्रय मूल्य की गणना खरीद मूल्य (2,400) में परिवहन लागत (600 केले x 0.25 = 150) जोड़कर की जाती है, जिससे यह 2,550 हो जाता है। ₹10 प्रति जोड़े की दर से 300 जोड़ों का कुल विक्रय मूल्य 3,000 है। लाभ प्रतिशत (450 / 2,550) x 100 है, जिसके परिणामस्वरूप लगभग 17.6% प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज की असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। इसलिए, x को इन शर्तों को पूरा करना चाहिए: x < 12 + 17 (x < 29) और x + 12 > 17 (x > 5), जिन्हें मिलाने पर 5 < x < 29 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी और चोर के बीच सापेक्ष गति 1 किमी/घंटा (11 किमी/घंटा - 10 किमी/घंटा) है। 6 मिनट में, सापेक्ष रूप से तय की गई दूरी 1 किमी/घंटा को 6/60 घंटे से गुणा करने पर प्राप्त होती है, जो 0.1 किमी या 100 मीटर के बराबर है। इसे 200 मीटर की प्रारंभिक दूरी से घटाने पर शेष दूरी 100 मीटर बचती है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)((a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)) का उपयोग करके, दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3(-1) = 7(7² - 3(11))। इसे सरल करने पर, a³ + b³ + c³ + 3 = 7(49 - 33) = 7(16) = 112 प्राप्त होता है, इसलिए a³ + b³ + c³ = 112 - 3 = 109।

व्याख्या

θ के किसी भी वास्तविक मान के लिए, पद sin²θ और cos²θ अंतराल [0, 1] के भीतर होते हैं। अंतराल [0, 1] में किसी भी आधार x के लिए, घातांक बढ़ाने पर परिणामी मान मूल आधार से कम या उसके बराबर होता है, जैसे कि n ≥ 1 के लिए xⁿ ≤ x होता है। दिए गए व्यंजक पर इस गुण को लागू करने पर, हम पाते हैं कि sin¹²θ = (sin²θ)⁶ ≤ sin²θ और cos²⁰θ = (cos²θ)¹⁰ ≤ cos²θ।

इन असमानताओं को जोड़ने पर sin¹²θ + cos²⁰θ ≤ sin²θ + cos²θ प्राप्त होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर, यह निष्कर्ष निकलता है कि sin¹²θ + cos²⁰θ ≤ 1। अधिकतम मान 1 उन विशिष्ट बिंदुओं पर प्राप्त होता है जहाँ एक पद 1 होता है और दूसरा 0 होता है। उदाहरण के लिए, यदि θ = 0 है, तो व्यंजक 0¹² + 1²⁰ = 1 हो जाता है, और यदि θ = π/2 है, तो यह 1¹² + 0²⁰ = 1 हो जाता है। इस प्रकार, व्यंजक का अधिकतम संभावित मान 1 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें: tan 60° = √3, cos 30° = √3{2}, sec 30° = (2)/(√(3)), और cot 60° = (1)/(√(3))।

व्यंजक इस प्रकार है: ⅔ tan² 60° + 3 cos² 30° - 2 sec² 30° - ¾ cot² 60°

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ⅔(√3)² + 3(√3{2})² - 2((2)/(√(3)))² - ¾((1)/(√(3)))²

प्रत्येक पद को सरल करने पर: ⅔(3) + 3(¾) - 2(⁴⁄₃) - ¾(⅓) 2 + ⁹⁄₄ - ⁸⁄₃ - ¼

4 हर वाले पदों को एक साथ समूहबद्ध करने पर: 2 + (⁹⁄₄ - ¼) - ⁸⁄₃ 2 + ⁸⁄₄ - ⁸⁄₃ 2 + 2 - ⁸⁄₃ 4 - ⁸⁄₃

एक एकल भिन्न में बदलने पर: (12 - 8)/(3) = ⁴⁄₃

दशमलव रूप में, ⁴⁄₃ लगभग 1.33 है।

व्याख्या

माना कि अभीष्ट संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, 72 का वर्ग, 216 और x के गुणनफल के बराबर है, जिसे 72² = 216 × x के रूप में लिखा जा सकता है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को x = (72 × 72)/(216) के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। हम इस गणना को यह ध्यान देकर सरल कर सकते हैं कि 216 = 72 × 3 है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = (72 × 72)/(72 × 3) प्राप्त होता है। अंश और हर से 72 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को काटने के बाद, यह व्यंजक x = ⁷²⁄₃ हो जाता है, जो सरल होकर 24 हो जाता है।

व्याख्या

P+Q की संयुक्त कार्यक्षमता 1/24 है, Q+R की 1/30 है, और P+R की 1/40 है। इन्हें हल करने पर, हमें व्यक्तिगत कार्यक्षमताएँ (कुल 120 इकाइयों के कार्य में से) P=2, Q=3, और R=1 प्राप्त होती हैं। नई कार्यक्षमताएँ X=8, Y=1.5, और Z=2.5 हैं, जिनका कुल योग 12 इकाई/दिन है, इसलिए कार्य 120/12 = 10 दिनों में पूरा हो जाएगा।

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), घातांक/क्रम (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)। हम सबसे आंतरिक कोष्ठक से शुरू करते हैं: 83 - 4 × 15 = 83 - 60 = 23। इसे वापस प्रतिस्थापित करते हुए, हम मझले कोष्ठक को हल करते हैं: 9 × 9 + 23 = 81 + 23 = 104। इसके बाद, हम बड़े कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करते हैं: 150 - 104 = 46। अब व्यंजक घटकर 325 + 276 ÷ 46 हो जाता है। संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, हम जोड़ से पहले भाग करते हैं: 276 ÷ 46 = 6। अंत में, 325 में 6 जोड़ने पर 325 + 6 = 331 प्राप्त होता है।

व्याख्या

लाभ की गणना करने के लिए, माना अंकित मूल्य (MP) 100 है। क्रय मूल्य (CP) अंकित मूल्य से 70% कम है, इसलिए CP = 100 - 70 = 30। 30% की छूट के बाद पहला विक्रय मूल्य (SP1) = 100 - 30 = 70 है, जिसके परिणामस्वरूप लाभ (P1) = 70 - 30 = 40 प्राप्त होता है। दूसरे विक्रय मूल्य (SP2) में छूट वाले मूल्य (70) पर 20% की अतिरिक्त छूट शामिल है, इसलिए SP2 = 70 - (0.20 * 70) = 56, जिसके परिणामस्वरूप लाभ (P2) = 56 - 30 = 26 प्राप्त होता है। सदस्यता कार्ड के साथ होने वाले लाभ का बिना सदस्यता कार्ड के होने वाले लाभ से अनुपात (26 / 40) * 100 = 65% है।

व्याख्या

दिया गया है कि (x - 1/x) = 2√2, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x² + 1/x² = 10 प्राप्त होता है। x⁶ - 1/x⁶ का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (x² - 1/x²)(x⁴ + 1 + 1/x⁴) का उपयोग कर सकते हैं। पहले, (x² - 1/x²)² = (x² + 1/x²)² - 4 = 100 - 4 = 96, इसलिए (x² - 1/x²) = √96 = 4√6। दूसरा, (x⁴ + 1/x⁴) = (x² + 1/x²)² - 2 = 100 - 2 = 98। अतः, x⁶ - 1/x⁶ = (4√6)(98 + 1) = 4√6 * 99 = 396√6।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2y + 2/y = 7 को 2 से भाग देने पर y + 1/y = 7/2 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर y² + 1/y² + 2 = 49/4 प्राप्त होता है, और 49/4 में से 2 घटाने पर परिणाम 41/4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक शंकु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र π * r * (l + r) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 3.14 * 6 * (10 + 6) = 3.14 * 6 * 16 = 301.44 वर्ग सेंटीमीटर।

व्याख्या

साइन फलन एक विषम फलन (odd function) है, जिसका अर्थ है कि यह सर्वसमिका sin(-θ) = -sin(θ) का पालन करता है। इस गुणधर्म को लागू करने पर, हम इस व्यंजक को sin(-405°) = -sin(405°) के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि साइन फलन 360° के आवर्तकाल के साथ आवर्ती (periodic) होता है, इसलिए हम इसके सह-अंतिम (coterminal) समतुल्य को खोजने के लिए 360° घटाकर कोण को सरल कर सकते हैं: 405° = 360° + 45°। इससे sin(405°) = sin(45°) प्राप्त होता है। मानक त्रिकोणमितीय मान sin(45°) = (1)/(√(2)) को देखते हुए, इसे हमारे मूल ऋणात्मक व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर -(1)/(√(2)) प्राप्त होता है।

व्याख्या

परीक्षा के लिए उत्तीर्ण अंक छात्र द्वारा प्राप्त अंकों और उन अंकों का योग हैं जिनसे छात्र अनुत्तीर्ण हुआ था। इसलिए, उत्तीर्ण अंक 210 + 14 = 224 हैं। प्रश्न के अनुसार, उत्तीर्ण प्रतिशत 35% है। यदि M परीक्षा के अधिकतम अंकों को दर्शाता है, तो M का 35%, 224 के बराबर है।

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर: ³⁵⁄₁₀₀ × M = 224 M = (224 × 100)/(35)

224 और 35 दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 से विभाजित करने पर: M = (32 × 100)/(5) M = 32 × 20 M = 640