एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कुल विक्रय मूल्य (SP) की गणना क्रय मूल्य (CP) में लाभ जोड़कर की जाती है। चूंकि आदित्य ने 1,100 रुपये में आम खरीदे और 150 रुपये का लाभ कमाया, इसलिए कुल विक्रय मूल्य 1,100 + 150 = 1,250 रुपये है।

बेचे गए आमों की संख्या कुल विक्रय मूल्य को प्रति आम विक्रय मूल्य से विभाजित करके निर्धारित की जाती है। इस प्रकार, बेचे गए आमों की संख्या 1,250 / 5 = 250 आम है।

फेंके गए आमों की संख्या खरीदे गए आमों की कुल संख्या और बेचे गए आमों की संख्या के बीच का अंतर है, जो कि 300 - 250 = 50 आम है।

फेंके गए आमों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, इस सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत = (फेंके गए आम / खरीदे गए कुल आम) × 100 प्रतिशत = (50 / 300) × 100 = (1 / 6) × 100 = 50 / 3 = 16 ⅔%

व्याख्या

N का मान ज्ञात करने के लिए, हम कार्य-दर सूत्र M₁ D₁ H₁/W₁ = M₂ D₂ H₂/W₂ का उपयोग करते हैं, जहाँ M व्यक्तियों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, H प्रतिदिन घंटों की संख्या है, और W पूरे किए गए कार्य की इकाइयाँ हैं।

पहली स्थिति में, M₁ = N+15, D₁ = 8, H₁ = 9, और W₁ = 36। दूसरी स्थिति में, M₂ = N+9, D₂ = 20, H₂ = 7, और W₂ = 64 (चूंकि शेष कार्य 100% - 36% = 64% है)।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

((N+15) × 8 × 9)/(36) = ((N+9) × 20 × 7)/(64)

बाएँ पक्ष को सरल करने पर: ((N+15) × 72)/(36) = 2(N+15)

दाएँ पक्ष को सरल करने पर: ((N+9) × 140)/(64) = ((N+9) × 35)/(16)

दोनों पक्षों को बराबर करने पर: 2(N+15) = (35(N+9))/(16) 32(N+15) = 35(N+9) 32N + 480 = 35N + 315 35N - 32N = 480 - 315 3N = 165 N = 55

व्याख्या

मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की लंबाई की आधी होती है। △ ABC में, चूंकि X और Y, AB और AC के मध्य बिंदु हैं, इसलिए हमारे पास संबंध XY = ½ BC है।

इस संबंध को दिए गए योग BC + XY = 18 में प्रतिस्थापित करने पर: BC + ½ BC = 18 ³⁄₂ BC = 18 BC = (18 × 2)/(3) = 12 इकाई।

BC के मान का उपयोग करने पर, हमें XY = ½ × 12 = 6 इकाई प्राप्त होता है। अंतर BC - XY की गणना 12 - 6 = 6 इकाई के रूप में की जाती है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin θ - cos θ = 0 को व्यवस्थित करने पर हमें sin θ = cos θ प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह sin³ θ - cos³ θ है। घनों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करते हुए, हम a = sin θ और b = cos θ प्रतिस्थापित करते हैं:

sin³ θ - cos³ θ = (sin θ - cos θ)(sin² θ + sin θ cos θ + cos² θ)

चूंकि यह दिया गया है कि sin θ - cos θ = 0, इसलिए संपूर्ण गुणनफल इस प्रकार हो जाता है:

0 · (sin² θ + sin θ cos θ + cos² θ) = 0

वैकल्पिक रूप से, चूंकि sin θ = cos θ है, इसलिए इनके घन भी समान होने चाहिए, अर्थात sin³ θ = cos³ θ। अतः, एक को दूसरे से घटाने पर शून्य प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100x है। विक्रेता वस्तु का मूल्य क्रय मूल्य से 60% अधिक अंकित करता है, इसलिए अंकित मूल्य (MP) 100x + 60x = 160x है।

विक्रय मूल्य अंकित मूल्य पर 10% और 20% की दो क्रमिक छूट देकर निर्धारित किया जाता है। छूट के बाद विक्रय मूल्य का सूत्र है: SP = MP × (1 - d₁) × (1 - d₂)। SP = 160x × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) SP = 160x × 0.9 × 0.8 SP = 160x × 0.72 = 115.2x

लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ (Gain) = SP - CP = 115.2x - 100x = 15.2x

प्रश्न के अनुसार, लाभ ₹1,064 है। हम समीकरण बना सकते हैं: 15.2x = 1064 x = (1064)/(15.2) = ¹⁰⁶⁴⁰⁄₁₅₂ = 70

वस्तु का क्रय मूल्य 100x = 100 × 70 = 7000 है।

व्याख्या

पीछा करने की स्थिति में जहां दोनों पक्ष एक ही समय पर शुरू और समाप्त करते हैं, तय की गई दूरी उनकी चाल के सीधे आनुपातिक होती है क्योंकि d = v × t होता है। पुलिसकर्मी की चाल और चोर की चाल का अनुपात 12 : 10 दिया गया है, जो सरल होकर 6 : 5 हो जाता है। परिणामस्वरूप, पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात भी 6 : 5 है। अनुपात इकाइयों में इन दूरियों के बीच का अंतर 6 - 5 = 1 इकाई है। यह अंतर 300 m या 0.3 km के प्रारंभिक अंतराल को दर्शाता है जिसे पुलिसकर्मी को पूरा करना है। चूंकि 1 इकाई 0.3 km के बराबर है, इसलिए चोर द्वारा तय की गई कुल दूरी, जो 5 इकाइयों के अनुरूप है, की गणना 5 × 0.3 km = 1.5 km के रूप में की जाती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 है। पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर x² + 1 = 2x प्राप्त होता है। पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर, हमें द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह बीजगणितीय सर्वसमिका (x - 1)² = 0 के समतुल्य है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x - 1 = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 1। इस मान को व्यंजक x⁷ + (1)/(x¹¹⁷⁾ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1⁷ + (1)/(1¹¹⁷⁾ प्राप्त होता है। चूंकि 1 की कोई भी वास्तविक घात 1 ही होती है, इसलिए यह व्यंजक 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2 हो जाता है।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों के अनुसार, यदि किसी संख्या m को n से विभाजित करने पर शेषफल r प्राप्त होता है, तो k × m को n से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होगा जो k × r को n से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। दिया गया है कि m को 7 से विभाजित करने पर 5 शेषफल बचता है, जिसे हम m ≡ 5 (mod 7) लिख सकते हैं।

3m को 7 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मूल शेषफल को 3 से गुणा करते हैं: 3 × 5 = 15

अब, अंतिम शेषफल ज्ञात करने के लिए हम 15 को 7 से विभाजित करते हैं: 15 = (2 × 7) + 1

वैकल्पिक रूप से, किसी पूर्णांक k के लिए m को 7k + 5 के रूप में दर्शाकर, हम यह भी देख सकते हैं कि: 3m = 3(7k + 5) = 21k + 15 3m = 21k + 14 + 1 3m = 7(3k + 2) + 1

चूंकि 7(3k + 2) पूर्णतः 7 से विभाज्य है, इसलिए शेष बचा पद 1 ही शेषफल है।

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर है और इसकी गणना संबंध M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ M पुरुषों की संख्या को दर्शाता है और D दिनों की संख्या को दर्शाता है।

प्रारंभिक स्थितियों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ M₁ = 12 और D₁ = 10: कुल कार्य = 12 × 10 = 120 पुरुष-दिवस

उसी कार्य को D₂ = 6 दिनों में पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की कुल संख्या (M₂) ज्ञात करने के लिए: 120 = M₂ × 6 M₂ = ¹²⁰⁄₆ = 20 पुरुष

प्रश्न में अतिरिक्त आवश्यक पुरुषों की संख्या पूछी गई है। यह नई कुल संख्या और मूल समूह के बीच का अंतर है: अतिरिक्त पुरुष = M₂ - M₁ = 20 - 12 = 8 पुरुष

व्याख्या

बारी-बारी से कार्य करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर कुल कार्य ज्ञात करें। 9 और 36 का LCM 36 है, इसलिए मान लें कि कुल कार्य 36 इकाई है।

X की कार्यक्षमता 36 / 9 = 4 इकाई प्रति दिन है, और Y की कार्यक्षमता 36 / 36 = 1 इकाई प्रति दिन है। चूँकि वे X से शुरू करते हुए बारी-बारी से कार्य करते हैं, इसलिए 2 दिनों के एक चक्र में, पूरा किया गया कुल कार्य 4 + 1 = 5 इकाई है।

36 इकाई कार्य को पूरा करने के लिए, कुल कार्य को प्रति चक्र कार्य से विभाजित करके यह ज्ञात करें कि कितने पूर्ण 2-दिवसीय चक्र पूरे हुए हैं: 36 / 5 = 7 पूर्ण चक्र और शेष 1 इकाई बचती है। इन 7 चक्रों में 7 × 2 = 14 दिन लगते हैं और इसमें 7 × 5 = 35 इकाई कार्य पूरा होता है।

शेष 1 इकाई कार्य (36 - 35 = 1) अगले दिन X द्वारा किया जाना है। चूँकि X एक पूरे दिन में 4 इकाई कार्य कर सकता है, इसलिए X को शेष इकाई को पूरा करने में 1 / 4 दिन का समय लगेगा। इसलिए, आवश्यक कुल समय 14 + 1/4 = 14¼ दिन है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) है। (ab + bc + ca) का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिपद के वर्ग के सूत्र का उपयोग करते हैं: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)।

त्रिपद सूत्र में दिए गए मानों a + b + c = 20 और a² + b² + c² = 152 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 20² = 152 + 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 400 = 152 + 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है, जिससे 2(ab + bc + ca) = 248 प्राप्त होता है, जो ab + bc + ca = 124 देता है।

अंत में, लक्षित सर्वसमिका में मानों को प्रतिस्थापित करें: a³ + b³ + c³ - 3abc = 20 × (152 - 124)। कोष्ठक के अंदर के अंतर की गणना करने पर 152 - 124 = 28 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 20 × 28 = 560।

व्याख्या

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करके, हम a का मान ज्ञात कर सकते हैं:

6a² = 5046 a² = 841 a = √(841) = 29 सेमी

एक घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस सूत्र में परिकलित भुजा की लंबाई 29 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

V = 29³ V = 24389 सेमी³

यह व्युत्पत्ति पहले घन के द्वि-विमीय पृष्ठीय माप से उसकी रैखिक विमा ज्ञात करने और फिर उसके द्वारा घेरे गए त्रि-विमीय स्थान को ज्ञात करने के लिए उस विमा की घात तीन करने से प्राप्त होती है।

व्याख्या

दो वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की लंबाई की गणना सूत्र L = √(d²⁾⁻⁽^R⁻ʳ⁾^^^² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी को दर्शाता है, और R तथा r दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। इस प्रश्न में, त्रिज्याएँ R = 6 सेमी और r = 2 सेमी हैं, और केंद्रों के बीच की दूरी d = 5 सेमी है।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: L = √(5²⁾⁻⁽⁶⁻²⁾^^^² L = √(25 - (4)²⁾ L = √(25 - 16) L = √9 L = 3 सेमी

व्याख्या

जब किसी वस्तु की कीमत में वृद्धि होती है, तो व्यय को स्थिर रखने के लिए, खपत में प्रतिशत कमी की गणना सूत्र (r)/(100 + r) × 100% का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r कीमत में प्रतिशत वृद्धि है। दिया गया है कि पेट्रोल की कीमत में 7% की वृद्धि होती है, सूत्र में r = 7 प्रतिस्थापित करने पर (7)/(100 + 7) × 100% = 700/107% प्राप्त होता है। 700 को 107 से विभाजित करने पर भागफल 6 और शेषफल 58 प्राप्त होता है। इस विषम भिन्न (improper fraction) को मिश्रित भिन्न 6 सही 58/107% के रूप में लिखा जा सकता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित होने वाला ब्याज समान रहता है। 4 वर्ष और 3 वर्ष के बाद के मिश्रधन के बीच का अंतर ठीक एक वर्ष का ब्याज देता है: I = 1708 - 1630 = 78। मूलधन P ज्ञात करने के लिए, 3 वर्ष के अंत में प्राप्त मिश्रधन में से 3 वर्षों का कुल ब्याज घटाएं। इसे P = 1630 - (3 × 78) के रूप में व्यक्त किया जाता है। 78 को 3 से गुणा करने पर 234 प्राप्त होता है। 1630 में से 234 घटाने पर 1396 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वास्तविक लाभ प्रतिशत कुल विक्रय मूल्य और वितरित की गई मात्रा के लिए आई वास्तविक लागत के अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है। मान लीजिए कि 1000 ग्राम का क्रय मूल्य 1000 इकाई है। दुकानदार केवल 940 ग्राम ही वितरित करता है, इसलिए उसका वास्तविक क्रय मूल्य (CP) 940 इकाई है। वह इस मात्रा को 1000 ग्राम के मूल्य पर 4% लाभ पर बेचता है, जिससे विक्रय मूल्य (SP) 1000 × (1 + 0.04) = 1040 इकाई हो जाता है।

वास्तविक लाभ की गणना SP - CP = 1040 - 940 = 100 इकाई के रूप में की जाती है। वास्तविक लाभ प्रतिशत का सूत्र इस प्रकार है:

वास्तविक लाभ % = (वास्तविक लाभ)/(वास्तविक CP) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: ¹⁰⁰⁄₉₄₀ × 100 = ¹⁰⁰⁰⁄₉₄ ≈ 10.6382%। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, वास्तविक लाभ प्रतिशत 10.64% है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का मध्यबिंदु त्रिभुज का परिकेंद्र होता है। ∠ A = 90° वाले △ ABC के लिए, भुजा BC कर्ण है। किसी भी त्रिभुज का परिकेंद्र उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। चूंकि D कर्ण BC का मध्यबिंदु है, यह परिकेंद्र के रूप में कार्य करता है, जिसका अर्थ है कि D से शीर्षों A, B और C की दूरियाँ बराबर हैं। गणितीय रूप से, इसे AD = BD = CD के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि D, BC का मध्यबिंदु है, इसलिए लंबाई BD और CD दोनों (BC)/(2) के बराबर हैं। परिणामस्वरूप, माध्यिका AD की लंबाई भी (BC)/(2) के बराबर है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, जहाँ पानी का क्रय मूल्य ₹0 प्रति लीटर माना जाता है, मिलाई गई मात्राओं का अनुपात इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:

(पानी की मात्रा)/(दूध की मात्रा) = (दूध का क्रय मूल्य - माध्य मूल्य)/(माध्य मूल्य - पानी का क्रय मूल्य)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: (पानी की मात्रा)/(दूध की मात्रा) = (32 - 28)/(28 - 0) (पानी की मात्रा)/(दूध की मात्रा) = ⁴⁄₂₈ (पानी की मात्रा)/(दूध की मात्रा) = ⅐

व्याख्या

मान लीजिए कि W और G क्रमशः एक महिला और एक लड़की की दैनिक कमाई को दर्शाते हैं। दी गई जानकारी के आधार पर, हम दैनिक कमाई के समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

पहले मामले के लिए: 5W + 9G = ¹⁸⁷²⁰⁄₉ = 2080 (समीकरण 1) दूसरे मामले के लिए: 9W + 16G = ⁵²⁰⁸⁰⁄₁₄ = 3720 (समीकरण 2)

W और G का मान ज्ञात करने के लिए, W के गुणांकों को बराबर करने के लिए समीकरण 1 को 9 से और समीकरण 2 को 5 से गुणा करें: 45W + 81G = 18720 45W + 80G = 18600

पहले समीकरण से दूसरे व्युत्पन्न समीकरण को घटाने पर G = 120 प्राप्त होता है। समीकरण 1 में G = 120 रखने पर: 5W + 9(120) = 2080 5W + 1080 = 2080 5W = 1000 ⟹ W = 200

13 दिनों में 12 महिलाओं और 7 लड़कियों की कुल कमाई की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल = 13 × (12W + 7G) कुल = 13 × (12 × 200 + 7 × 120) कुल = 13 × (2400 + 840) कुल = 13 × 3240 = 42120

व्याख्या

शुद्ध विक्रय मूल्य की गणना अंकित मूल्य पर क्रमिक छूट लागू करके और फिर रिवॉर्ड पॉइंट्स के नकद मूल्य को घटाकर की जाती है।

सबसे पहले, 20% और 25% की दो क्रमिक छूटों के बाद मूल्य की गणना करें। क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करते हुए, प्रभावी छूट d_eff = 20 + 25 - (20 × 25)/(100) = 40% है। वैकल्पिक रूप से, छूट के बाद का मूल्य गुणक विधि का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: छूट के बाद मूल्य (Price_discounted) = 72000 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ²⁵⁄₁₀₀) छूट के बाद मूल्य (Price_discounted) = 72000 × ⅘ × ¾ = 72000 × ⅗ = 43200

इसके बाद, 2850 रिवॉर्ड पॉइंट्स का नकद मूल्य निर्धारित करें। चूंकि प्रत्येक पॉइंट का मूल्य ₹0.10 है: रिवॉर्ड मूल्य (Reward_Value) = 2850 × 0.10 = 285

अंत में, शुद्ध विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए छूट वाले मूल्य में से रिवॉर्ड मूल्य घटाएं: शुद्ध विक्रय मूल्य (Net_SP) = 43200 - 285 = 42915

व्याख्या

तीन चरों के घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) द्वारा दी जाती है। जब चरों का योग शून्य होता है, अर्थात (a + b + c) = 0, तो सर्वसमिका के दाईं ओर का गुणनफल दूसरे गुणनखंड के मान की परवाह किए बिना शून्य हो जाता है। इससे सरल समीकरण a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 प्राप्त होता है। समीकरण के दाईं ओर 3abc को स्थानांतरित करने पर, हमें a³ + b³ + c³ = 3abc प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(x + y)cos(x - y) = cos² x - sin² y का उपयोग करके, हम व्यंजक के दोनों पदों का विस्तार कर सकते हैं।

पहले पद के लिए, cos(36° + A)cos(36° - A) = cos² 36° - sin² A।

दूसरे पद के लिए, cos(54° + A)cos(54° - A) = cos² 54° - sin² A।

इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर cos² 36° + cos² 54° - 2sin² A प्राप्त होता है।

चूंकि 54° और 36° पूरक कोण हैं (54° = 90° - 36°), इसलिए cos 54° = sin 36° होगा। इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर, हमें cos² 36° + sin² 36° - 2sin² A प्राप्त होता है।

पाइथागोरस सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 द्वारा, व्यंजक सरल होकर 1 - 2sin² A हो जाता है।

द्वि-कोण सर्वसमिका (double angle identity) cos 2A = 1 - 2sin² A को लागू करने पर, व्यंजक का मान cos 2A है।

व्याख्या

हेडफ़ोन का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + Gain%) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। दिए गए मानों SP = 5520 और Gain = 20% को प्रतिस्थापित करने पर: CP = (5520 × 100)/(120) = (5520)/(1.2) = 4600.

₹4,370 के नए विक्रय मूल्य के लिए लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम इसकी तुलना क्रय मूल्य (CP) से करते हैं। चूंकि नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है (4370 < 4600), इसलिए यहाँ हानि होती है। हानि (Loss) = CP - नया SP = 4600 - 4370 = 230.

हानि प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: हानि% = (हानि)/(CP) × 100: हानि% = ²³⁰⁄₄₆₀₀ × 100 = ²³⁰⁄₄₆ = 5%।

व्याख्या

जनसंख्या में कुल वृद्धि 19200 - 18000 = 1200 है। पुरुषों और महिलाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम पहले कुल प्रतिशत वृद्धि की गणना करके एलीगेशन (मिश्रण) की विधि का उपयोग कर सकते हैं: (1200 / 18000) × 100 = 20/3%।

पुरुषों (5%) और महिलाओं (7%) की वृद्धि दर को औसत वृद्धि दर (20/3%) के साथ मिलाने (alligating) पर: पुरुष घटक का अनुपात 7 - 20/3 = 1/3 है। महिला घटक का अनुपात 20/3 - 5 = 5/3 है। पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 1/3 : 5/3 है, जो सरल होकर 1:5 हो जाता है।

वैकल्पिक रूप से, समीकरणों का उपयोग करके, माना पुरुषों की संख्या M और महिलाओं की संख्या F है। दिया गया है कि M + F = 18000 और 0.05M + 0.07F = 1200। पहले समीकरण को 0.05 से गुणा करने पर 0.05M + 0.05F = 900 प्राप्त होता है। इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर 0.02F = 300 प्राप्त होता है, इसलिए F = 15000। परिणामस्वरूप, M = 3000, जिससे अनुपात M:F = 3000:15000 = 1:5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक अकेले भरने वाले पाइप की कार्यक्षमता प्रति घंटे टैंक का 1/120 भाग है, जबकि एक अकेले खाली करने वाले पाइप की कार्यक्षमता प्रति घंटे टैंक का 1/54 भाग है। जब 8 भरने वाले पाइप और 3 खाली करने वाले पाइप एक साथ खोले जाते हैं, तो भरने की शुद्ध दर की गणना कुल भरने की दर में से कुल खाली करने की दर को घटाकर की जाती है।

शुद्ध कार्यक्षमता = 8 × (¹⁄₁₂₀) - 3 × (¹⁄₅₄)

भिन्नों को सरल करने पर: शुद्ध कार्यक्षमता = ¹⁄₁₅ - ¹⁄₁₈

इसे हल करने के लिए, 15 और 18 का एक सामान्य हर ज्ञात करें, जो कि 90 है: शुद्ध कार्यक्षमता = ⁶⁄₉₀ - ⁵⁄₉₀ = ¹⁄₉₀

चूंकि शुद्ध कार्यक्षमता प्रति घंटे टैंक का 1/90 भाग है, इसलिए पूरे टैंक को भरने के लिए आवश्यक समय इस दर का व्युत्क्रम है: समय = (1)/(1/90) = 90 घंटे।

व्याख्या

व्यंजक tan x + cot x को मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। चूंकि tan x = (sin x)/(cos x) और cot x = (cos x)/(sin x) है, इसलिए उनका योग (sin x)/(cos x) + (cos x)/(sin x) = (sin² x + cos² x)/(sin x cos x) है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करने पर, यह व्यंजक सरल होकर (1)/(sin x cos x) हो जाता है।

दिया गया है कि sin x = ³⁄₁₀, cos x का मान cos x = √(1 - sin² x) = √(1 - (³⁄₁₀)²) = √(1 - ⁹⁄₁₀₀) = √(91){10} का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। इन मानों को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित प्राप्त होता है:

(1)/((3){10)(√(91){10})} = (1)/(3√(91)){100} = (100)/(3√(91))

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना सूत्र SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं।

दिया गया है MP = 4500 और पहली छूट d₁ = 20%, पहली छूट के बाद मूल्य 4500 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) = 4500 × ⅘ = 3600 है।

दूसरी छूट d₂ को 3600 के इस मध्यवर्ती मूल्य पर लागू किया जाता है ताकि 2400 का अंतिम विक्रय मूल्य प्राप्त किया जा सके। दूसरी छूट की राशि 3600 - 2400 = 1200 है।

दूसरी छूट प्रतिशत की गणना (छूट की राशि)/(पहली छूट के बाद मूल्य) × 100 के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ¹²⁰⁰⁄₃₆₀₀ × 100 = ⅓ × 100 = 33⅓% प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो। संख्या 97174 के लिए, विषम स्थानों पर अंक 9, 1 और 4 हैं, जिनका योग 9 + 1 + 4 = 14 है। सम स्थानों पर अंक 7 और 7 हैं, जिनका योग 7 + 7 = 14 है। इन दोनों योगों के बीच का अंतर 14 - 14 = 0 है। चूंकि परिणाम 0 है, इसलिए यह संख्या 11 के लिए विभाज्यता के मानदंड को पूरा करती है।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें एक ही दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। यहाँ, सापेक्ष गति = 50 किमी/घंटा - 40 किमी/घंटा = 10 किमी/घंटा है। इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, ⁵⁄₁₈ से गुणा करें:

सापेक्ष गति = 10 × ⁵⁄₁₈ = ²⁵⁄₉ मीटर/सेकंड

ट्रेनों द्वारा एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाइयों का योग है।

कुल दूरी = 130 मीटर + 120 मीटर = 250 मीटर

सूत्र समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति) का उपयोग करने पर:

समय = (250)/(25){9} = 250 × ⁹⁄₂₅ = 10 × 9 = 90 सेकंड

व्याख्या

मान लीजिए कि दो प्राकृत संख्याएँ a और b हैं। हमें दिया गया है कि (a + b)² = 784 और ab = 192 है। हमें उनके वर्गों के बीच का धनात्मक अंतर ज्ञात करना है, जो कि |a² - b²| है।

सर्वसमिका |a² - b²| = (a + b)|a - b| का उपयोग करके, हम सबसे पहले (a + b) और |a - b| के मान निर्धारित करते हैं।

दी गई जानकारी से: a + b = √(784) = 28

|a - b| ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय संबंध का उपयोग करते हैं: (a - b)² = (a + b)² - 4ab ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (a - b)² = 784 - 4(192) (a - b)² = 784 - 768 = 16 वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: |a - b| = √(16) = 4

अब, वर्गों के अंतर की गणना करने पर: |a² - b²| = (a + b) × |a - b| |a² - b²| = 28 × 4 = 112

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sec(90° - θ) = cscθ का उपयोग करने पर, अंश sec²(90° - θ) - cot²θ बदलकर csc²θ - cot²θ हो जाता है। पाइथागोरस सर्वसमिका 1 + cot²θ = csc²θ के अनुसार, csc²θ - cot²θ का मान 1 है।

हर के लिए, हम सर्वसमिका sin(90° - A) = cos A का उपयोग करते हैं। चूंकि 55° = 90° - 35° है, इसलिए sin 55° = cos 35° होगा, और इस प्रकार sin² 55° = cos² 35° होगा। कोष्ठक के भीतर का व्यंजक sin² 35° + cos² 35° हो जाता है, जो सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 के आधार पर 1 के बराबर है। इसलिए हर 2(1) = 2 है। मूल व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर ½ प्राप्त होता है, जो 0.5 के बराबर है।

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है। यह देखते हुए कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है, समीकरण 6a² = 24 है। दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर a² = 4 प्राप्त होता है, और वर्गमूल लेने पर भुजा की लंबाई a = 2 इकाई प्राप्त होती है। घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा निर्धारित किया जाता है। भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर, आयतन 2³ है, जो 8 घन इकाई के बराबर है।

व्याख्या

484 का अभाज्य गुणनखंडन यह ध्यान देकर निर्धारित किया जाता है कि 484 = 22² है। चूंकि 22 = 2 × 11 है, इसलिए हमारे पास 484 = (2 × 11)² = 2² × 11² है। किसी भाजक के पूर्ण वर्ग होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में उसके अभाज्य गुणनखंडों के घातांक सम होने चाहिए। व्यंजक 2² × 11² में, अभाज्य गुणनखंड 2 के लिए उपलब्ध सम घातांक 0 और 2 हैं, और अभाज्य गुणनखंड 11 के लिए उपलब्ध सम घातांक 0 और 2 हैं।

पूर्ण वर्ग होने वाले भाजकों के योग की गणना इन सम घातों के योग के गुणनफल का उपयोग करके की जा सकती है: योग = (2⁰ + 2²) × (11⁰ + 11²) योग = (1 + 4) × (1 + 121) योग = 5 × 122 = 610

वैकल्पिक रूप से, व्यक्तिगत भाजक जो पूर्ण वर्ग हैं, वे 2⁰ × 11⁰ = 1, 2² × 11⁰ = 4, 2⁰ × 11² = 121, और 2² × 11² = 484 हैं। इन मानों को आपस में जोड़ने पर 1 + 4 + 121 + 484 = 610 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त C1 की एक जीवा जो छोटे वृत्त C2 की स्पर्श रेखा है, स्पर्श बिंदु P पर समद्विभाजित होती है। यह दो ज्यामितीय प्रमेयों से सिद्ध होता है। पहला, छोटे वृत्त की त्रिज्या OP स्पर्श बिंदु P पर स्पर्श रेखा AB पर लंबवत है। दूसरा, बड़े वृत्त C1 में, OP केंद्र से जीवा AB पर खींचा गया एक लंबवत रेखाखंड है। चूंकि किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए P, AB का मध्यबिंदु होना चाहिए। इस प्रकार, AP की लंबाई की गणना 12 / 2 = 6 सेमी के रूप में की जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि समूह में लोगों की प्रारंभिक संख्या n है। प्रारंभिक समूह की कुल आयु, औसत आयु को लोगों की संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होती है, जो कि 27n है। जब 25 वर्ष की औसत आयु वाले 4 नए मित्र शामिल होते हैं, तो इन नए सदस्यों की कुल आयु 4 × 25 = 100 होती है।

समूह में लोगों की कुल संख्या n + 4 हो जाती है, और उनकी नई औसत आयु 26 है। हम आयु के कुल योग के लिए समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं: 27n + 100 = 26(n + 4) 27n + 100 = 26n + 104 27n - 26n = 104 - 100 n = 4

मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करने पर, प्रारंभिक मित्रों की संख्या और नए मित्रों की संख्या का अनुपात, औसतों के बीच के अंतर का अनुपात होता है। प्रारंभिक औसत और कुल औसत के बीच का अंतर 27 - 26 = 1 है। कुल औसत और नए मित्रों के औसत के बीच का अंतर 26 - 25 = 1 है। इस प्रकार, लोगों की संख्या का अनुपात 1:1 है। चूंकि 4 नए मित्र हैं, इसलिए प्रारंभ में 4 मित्र थे।

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका को a² - b² = (a - b)(a + b) के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस सर्वसमिका को व्यंजक के अंश पर लागू करने पर, l² - m² को (l - m)(l + m) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसके बाद मूल व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जाता है: ((l - m)(l + m))/((l + m)²) यह देखते हुए कि हर गैर-शून्य है, हम अंश और हर दोनों को उभयनिष्ठ गुणनखंड (l + m) से विभाजित कर सकते हैं। इस निरसन से भिन्न सरल होकर (l - m)/(l + m) के रूप में आ जाता है।

व्याख्या

360° से अधिक के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मान आवधिकता सूत्र f(n · 360° + θ) = f(θ) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, जहाँ n एक पूर्णांक है।

व्यंजक को हल करने के लिए, मानक सीमा के भीतर समतुल्य कोण ज्ञात करके प्रत्येक पद को सरल किया जाता है:

csc 2910° = csc(8 · 360° + 30°) = csc 30° = 2.

sec 4260° = sec(11 · 360° + 300°) = sec 300°। चूँकि 300° चतुर्थ चतुर्थांश में है जहाँ secant धनात्मक होता है, इसलिए sec 300° = sec(360° - 60°) = sec 60° = 2.

tan 2565° = tan(7 · 360° + 45°) = tan 45° = 1.

cot 1755° = cot(4 · 360° + 315°) = cot 315°। चूँकि चतुर्थ चतुर्थांश में cotangent ऋणात्मक होता है, इसलिए cot 315° = cot(360° - 45°) = -cot 45° = -1.

इन व्यक्तिगत मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 2 + 2 + 1 + (-1) = 4.

व्याख्या

दिए गए पदों से संबंधित बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] है। इस समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 405 = ½ × 15 × [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 405 = 7.5 × [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] प्राप्त होता है। 405 को 7.5 से विभाजित करने पर 54 प्राप्त होता है, जो कि वांछित व्यंजक का मान है।

व्याख्या

खरगोशों की संख्या का कुल पालतू जानवरों की संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले राधिका के पास मौजूद पालतू जानवरों की कुल संख्या की गणना करें। पालतू जानवरों की कुल संख्या कुत्तों, खरगोशों और तोतों का योग है, जो कि 2 + 3 + 4 = 9 है। खरगोशों की संख्या 3 दी गई है। इसलिए, खरगोशों का कुल पालतू जानवरों की संख्या से अनुपात 3:9 है। इस अनुपात को दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 3 से विभाजित करके सरल किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप 1:3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ज्यामिति में, वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है। इससे Δ OTP एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसमें T पर समकोण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, भुजाओं के बीच का संबंध OT² + PT² = PO² है।

दिया गया है PT = 12 सेमी और PO = 13 सेमी, मान लीजिए त्रिज्या OT, r है। r² + 12² = 13² r² + 144 = 169 r² = 169 - 144 r² = 25 r = √(25) = 5 सेमी

यह परिणाम मानक पाइथागोरस त्रिक (5, 12, 13) से प्राप्त होता है, जहाँ 13 कर्ण है।

व्याख्या

इसे हल करने के लिए, मान लीजिए कि कुल कार्य 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 90 इकाई है। A की कार्यक्षमता 90 / 18 = 5 इकाई/दिन है, और B की कार्यक्षमता 90 / 30 = 3 इकाई/दिन है। A कार्य पूरा होने से 16⅔ दिन (जो कि ⁵⁰⁄₃ दिन है) पहले कार्य छोड़कर चला गया, जिसका अर्थ है कि B ने अंतिम ⁵⁰⁄₃ दिनों तक अकेले कार्य किया। इन अंतिम दिनों के दौरान B द्वारा पूरा किया गया कार्य 3 × ⁵⁰⁄₃ = 50 इकाई है। शेष कार्य, जिसे A और B ने शुरुआत में एक साथ मिलकर पूरा किया था, 90 - 50 = 40 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 3 = 8 इकाई/दिन है। इसलिए, A द्वारा कार्य किए गए दिनों की संख्या (वह अवधि जिसके दौरान उन्होंने एक साथ कार्य किया) 40 / 8 = 5 दिन है।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की चाल u किमी/घंटा है और धारा की चाल v किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल चाल D = u + v है और धारा के प्रतिकूल चाल U = u - v है। दोनों स्थितियों में लिए गए समय के आधार पर, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

(60)/(D) + (40)/(U) = 12.5

(84)/(D) + (63)/(U) = 18.9

दूसरे समीकरण में, 18 घंटे 54 मिनट को 18.9 घंटे में परिवर्तित किया गया है क्योंकि 54/60 = 0.9 है। इस समीकरण निकाय को हल करने के लिए, मान लीजिए x = 1/D और y = 1/U है। समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:

60x + 40y = 12.5 84x + 63y = 18.9

पहले समीकरण को 1.4 से गुणा करने पर 84x + 56y = 17.5 प्राप्त होता है। इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर:

(84x + 63y) - (84x + 56y) = 18.9 - 17.5 7y = 1.4 y = 0.2 = ⅕

चूंकि 1/U = 1/5 है, इसलिए हमें U = 5 प्राप्त होता है। y = 0.2 का मान 60x + 40(0.2) = 12.5 में रखने पर:

60x + 8 = 12.5 60x = 4.5 x = (4.5)/(60) = ³⁄₄₀

चूंकि 1/D = 3/40 है, इसलिए हमें D = ⁴⁰⁄₃ प्राप्त होता है। शांत जल में नाव की चाल, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल चालों का औसत है:

u = (D + U)/(2) = (40)/(3) + 5{2} = (55)/(3){2} = ⁵⁵⁄₆ ≈ 9.17

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, शांत जल में नाव की चाल 9 किमी/घंटा है।

व्याख्या

गोवा से उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की तुलना में अर्हता प्राप्त करने वाले उम्मीदवारों के प्रतिशत की गणना सूत्र P = (Qual)/(App) × 100 का उपयोग करके की जाती है। वर्ष 2015 में, गोवा से उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की संख्या 7200 थी और अर्हता प्राप्त करने वाले उम्मीदवारों की संख्या 850 थी, जिसके परिणामस्वरूप प्रतिशत ⁸⁵⁰⁄₇₂₀₀ × 100 ≈ 11.81% प्राप्त होता है।

अन्य वर्षों से इसकी तुलना करने पर: वर्ष 2012 के लिए, प्रतिशत ⁸¹⁰⁄₇₈₀₀ × 100 ≈ 10.38% है; वर्ष 2013 के लिए, यह ⁸⁰⁰⁄₇₅₀₀ × 100 ≈ 10.67% है; वर्ष 2014 के लिए, यह ⁹²⁰⁄₈₈₀₀ × 100 ≈ 10.45% है; और वर्ष 2016 के लिए, यह ⁵⁶⁰⁄₇₄₀₀ × 100 ≈ 7.57% है। चूंकि इन गणनाओं में 11.81% सबसे अधिक मान है, इसलिए गोवा के लिए अर्हता प्रतिशत वर्ष 2015 में सबसे अधिक था।

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है। 2 वर्ष बाद कुल मिश्रधन A, ⁸⁄₇P दिया गया है। अर्जित साधारण ब्याज (SI), मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: SI = A - P = ⁸⁄₇P - P = ⅐P।

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P · R · T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ R वार्षिक ब्याज दर है और T वर्षों में समय है, हम SI = ⅐P और T = 2 मान प्रतिस्थापित करते हैं:

⅐P = (P · R · 2)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने पर प्राप्त होता है:

⅐ = (2R)/(100)

R का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2R = ¹⁰⁰⁄₇ R = ⁵⁰⁄₇

विषम भिन्न ⁵⁰⁄₇ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर, हमें 7⅐ प्राप्त होता है। अतः, वार्षिक ब्याज दर 7⅐% है।

व्याख्या

मान लीजिए कि तीन छोटे घनों की भुजाएँ 3x, 4x और 5x हैं। जब इन घनों को पिघलाकर एक बड़ा घन बनाया जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। इसलिए, तीनों छोटे घनों के आयतनों का योग परिणामी बड़े घन के आयतन के बराबर होता है।

भुजा A वाले घन का विकर्ण सूत्र d = A√3 द्वारा दिया जाता है। चूंकि विकर्ण 18√3 सेमी दिया गया है, हम बड़े घन की भुजा ज्ञात कर सकते हैं: A√3 = 18√3 A = 18 सेमी

बड़े घन का आयतन A³ = 18³ है। तीनों छोटे घनों के आयतनों का योग है: (3x)³ + (4x)³ + (5x)³ = 18³ 27x³ + 64x³ + 125x³ = 5832 216x³ = 5832

x के लिए हल करने पर: x³ = ⁵⁸³²⁄₂₁₆ = 27 x = ³√(27) = 3

x के मान को वापस अनुपातों में रखने पर, तीनों घनों की भुजाएँ हैं: पहला घन: 3 × 3 = 9 सेमी दूसरा घन: 4 × 3 = 12 सेमी तीसरा घन: 5 × 3 = 15 सेमी

व्याख्या

कार्यक्षमता का संबंध इस कथन से स्थापित होता है कि 1 पुरुष या 2 महिलाओं या 3 लड़कों को कार्य पूरा करने में समान समय लगता है। इसका अर्थ है कि 1 पुरुष (M) की कार्य दर 2 महिलाओं (W) और 3 लड़कों (B) की कार्य दर के बराबर है, जिसे 1M = 2W = 3B के रूप में व्यक्त किया जाता है।

1 पुरुष, 1 महिला और 1 लड़के द्वारा मिलकर लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम कार्य तुल्यता के सूत्र का उपयोग करते हैं:

समय = (दिन) / [ (पुरुष_and / पुरुष_or) + (महिला_and / महिला_or) + (लड़का_and / लड़का_or) ]

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

समय = 121 / (1 + ½ + ⅓)

हर को सरल करने के लिए, 1, 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 6 है:

¹⁄₁ + ½ + ⅓ = (6 + 3 + 2)/6 = ¹¹⁄₆

अब, इसे वापस समय के समीकरण में रखें:

समय = 121 / (11/6) = (121 × 6) / 11

समय = 11 × 6 = 66

इस प्रकार, एक पुरुष, एक महिला और एक लड़का मिलकर कार्य को 66 दिनों में पूरा करेंगे।

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज ABC और PQR सर्वांगसम हैं (△ ABC ≅ △ PQR), इसलिए उनकी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हैं। दिया गया है कि ∠ A = ∠ P = 90°, इसलिए दोनों समकोण त्रिभुज हैं। △ ABC में, भुजा BC कर्ण है क्योंकि यह 90° के कोण के सम्मुख है। सर्वांगसमता से, भुजा AC, भुजा PR के संगत है, जिसका अर्थ है AC = PR = 5 सेमी।

समकोण त्रिभुज ABC में, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AB² + AC² = BC² ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: AB² + 5² = 13² AB² + 25 = 169 AB² = 169 - 25 AB² = 144 AB = √(144) = 12 सेमी।

मानक पाइथागोराई त्रिक (5, 12, 13) के अनुसार, भुजा AB का मान 12 सेमी निर्धारित होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच के मध्यानुपाती की गणना सूत्र √(a × b) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मान a = 7 और b = 112 के लिए, मध्यानुपाती √(7 × 112) है।

गणना को सरल बनाने के लिए, 112 को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें: 112 = 7 × 16। इसे वर्गमूल में प्रतिस्थापित करने पर √(7 × 7 × 16) प्राप्त होता है। इसे √(7² × 4²) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो सरल होकर 7 × 4 हो जाता है। परिणामी मान 28 है।

व्याख्या

कुल कार्य एक पुरुष की क्षमता द्वारा परिभाषित किया जाता है जो इसे 60 दिनों में पूरा करता है। मानक कार्य-दर समस्याओं में, आमतौर पर एक लड़के की कार्यक्षमता को एक पुरुष की कार्यक्षमता के बराबर माना जाता है। परिणामस्वरूप, 6 लड़कों का एक समूह इस कार्य को 60 / 6 = 10 दिनों में पूरा करता है। प्रश्न में कहा गया है कि 4 महिलाएँ या 6 लड़के कार्य को समान संख्या में दिनों में पूरा करते हैं, जिसका अर्थ है कि 4 महिलाओं को भी कार्य पूरा करने के लिए 10 दिनों की आवश्यकता होती है। 5 महिलाओं के लिए आवश्यक समय निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करते हैं, जहाँ M श्रमिकों की संख्या है और D दिनों की संख्या है: 4 महिलाएँ × 10 दिन = 5 महिलाएँ × D₂ 40 = 5 × D₂ D₂ = 40 / 5 = 8

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि जीवा की लंबाई 40 सेमी दी गई है, इसलिए लम्ब द्वारा बनाए गए प्रत्येक खंड की लंबाई 40 / 2 = 20 सेमी है।

त्रिज्या (r), केंद्र से लम्बवत दूरी (15 सेमी) और आधी जीवा की लंबाई (20 सेमी) द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

r² = 15² + 20² r² = 225 + 400 r² = 625 r = √(625) = 25 सेमी

वैकल्पिक रूप से, यह 5 के गुणक द्वारा बढ़ाए गए 3-4-5 पाइथागोरस त्रिक (triplet) अनुपात का अनुसरण करता है, जहाँ 3 × 5 = 15 और 4 × 5 = 20 है, जिससे कर्ण 5 × 5 = 25 सेमी प्राप्त होता है।