एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक त्रिभुज में, वह बिंदु जहाँ दो कोणों के आंतरिक समद्विभाजक मिलते हैं, अंतःकेंद्र (incenter) कहलाता है। ∠B और ∠C के समद्विभाजकों द्वारा इस अंतःकेंद्र पर बनने वाला कोण निम्नलिखित ज्यामितीय गुण द्वारा तीसरे कोण ∠A से संबंधित होता है:

∠ BOC = 90° + (∠ A)/2

दिए गए त्रिभुज △ ABC में, ∠A का मान 72° है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम ∠BOC के माप की गणना कर सकते हैं:

∠ BOC = 90° + (72°)/2

∠ BOC = 90° + 36°

∠ BOC = 126°

यह सूत्र त्रिभुजों के कोण योग गुणधर्म (angle sum property) से प्राप्त होता है। △ OBC में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ BOC = 180° - ((∠ B + ∠ C)/2) है। चूंकि ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A है, इसलिए यह व्यंजक सरल होकर 180° - ((180° - ∠ A)/2) हो जाता है, जिससे 90° + (∠ A)/2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 2π rh द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है। यह देखते हुए कि पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 3168 सेमी² है और ऊंचाई 48 सेमी है, हम त्रिज्या को निम्नानुसार निर्धारित कर सकते हैं:

2 × ²²⁄₇ × r × 48 = 3168

r के लिए हल करने पर: r = (3168 × 7)/(2 × 22 × 48) = (66 × 7)/(44) = (3 × 7)/(2) = 10.5 सेमी

एक बेलन का आयतन V सूत्र V = π r² h का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। r और h के मान प्रतिस्थापित करने पर:

V = ²²⁄₇ × (10.5)² × 48 V = ²²⁄₇ × 110.25 × 48 V = 22 × 15.75 × 48 V = 16632 सेमी³

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को सीधे मानक सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

(CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)

दिए गए मानों को रखने पर, जहाँ छूट 10% है और लाभ 20% है:

(CP)/(MP) = (100 - 10)/(100 + 20)

(CP)/(MP) = ⁹⁰⁄₁₂₀

अंश और हर दोनों को 30 से भाग देकर भिन्न को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(CP)/(MP) = ¾

अतः, क्रय मूल्य और अंकित मूल्य के बीच का अनुपात 3:4 है।

व्याख्या

कुल कार्य की गणना 4 और 12 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में की जाती है, जो कि 12 इकाई है। A की कार्यक्षमता 12/4 = 3 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 12/12 = 1 इकाई प्रति दिन है। जब वे मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 1 = 4 इकाई प्रति दिन होती है। 2 दिनों की अवधि में, पूरा किया गया कुल कार्य 4 × 2 = 8 इकाई है। शेष कार्य कुल कार्य में से पूरे किए गए कार्य को घटाकर प्राप्त होता है, जो कि 12 - 8 = 4 इकाई है। शेष बचे कार्य का भाग ज्ञात करने के लिए, शेष कार्य को कुल कार्य से विभाजित किया जाता है, जिससे ⁴⁄₁₂ प्राप्त होता है, जो सरल होकर ⅓ हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि पाइप A, B और C की भरने की दर क्रमशः a, b और c है, जहाँ c ऋणात्मक है क्योंकि यह एक निकास पाइप है। दिए गए समय के आधार पर, हम प्रति घंटे कार्य दर निर्धारित करते हैं: (A + B) की दर = (1)/(1.5) = ⅔ C की दर = -(1)/(4.5) = -²⁄₉ (A + C) की दर = ⅙

A और C की दरों का उपयोग करने पर: a + c = ⅙ a - ²⁄₉ = ⅙ a = ⅙ + ²⁄₉ = (3 + 4)/(18) = ⁷⁄₁₈ इकाई प्रति घंटा।

अब, A की दर को A और B की संयुक्त दर में प्रतिस्थापित करें: a + b = ⅔ ⁷⁄₁₈ + b = ⅔ b = ⅔ - ⁷⁄₁₈ = (12 - 7)/(18) = ⁵⁄₁₈ इकाई प्रति घंटा।

अकेले पाइप B द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय उसकी दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है: समय = (1)/(b) = ¹⁸⁄₅ = 3.6 घंटे। 0.6 घंटे को मिनट में बदलने के लिए, 60 से गुणा करें: 0.6 × 60 = 36 मिनट। इसलिए, कुल समय 3 घंटे 36 मिनट है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3y - (3)/(y) = 5 से शुरू करते हुए, उभयनिष्ठ गुणांक 3 को बाहर निकालने पर हमें 3(y - (1)/(y)) = 5 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर सरलीकृत संबंध y - (1)/(y) = ⁵⁄₃ प्राप्त होता है।

y² + (1)/(y²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करें। a = y और b = (1)/(y) प्रतिस्थापित करने पर, सर्वसमिका से प्राप्त होता है: (y - (1)/(y))² = y² + (1)/(y²⁾ - 2(y)((1)/(y)) (y - (1)/(y))² = y² + (1)/(y²⁾ - 2

अब, इस व्यंजक में y - (1)/(y) का मान प्रतिस्थापित करें: (⁵⁄₃)² = y² + (1)/(y²⁾ - 2 ²⁵⁄₉ = y² + (1)/(y²⁾ - 2

y² + (1)/(y²⁾ के लिए हल करने पर प्राप्त होता है: y² + (1)/(y²⁾ = ²⁵⁄₉ + 2 y² + (1)/(y²⁾ = (25 + 18)/(9) y² + (1)/(y²⁾ = ⁴³⁄₉

व्याख्या

जब सुरक्षा गार्ड चोर को पकड़ता है, तो उन दोनों ने प्रारंभिक बिंदु से समान कुल दूरी तय की होती है। चोर कुल 40 मिनट तक भागा (गार्ड के पीछा शुरू करने से 20 मिनट पहले + पीछा करने के दौरान 20 मिनट)। सुरक्षा गार्ड उसी दूरी को तय करने के लिए 20 मिनट तक भागा।

दूरी के सूत्र (दूरी = गति × समय) का उपयोग करते हुए, और यह ध्यान रखते हुए कि दूरी स्थिर (constant) है: v_thief × t_thief = v_guard × t_guard

दिए गए मानों को रखने पर: 12 m/h × 40 मिनट = v_guard × 20 मिनट

v_guard = (12 × 40)/(20) v_guard = 12 × 2 v_guard = 24 m/h

चूंकि सुरक्षा गार्ड चोर के समान दूरी को ठीक आधे समय में (40 मिनट की तुलना में 20 मिनट में) तय करता है, इसलिए गार्ड की गति चोर की गति से दोगुनी होनी चाहिए।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है। यहाँ मूलधन P = 32,400 और साधारण ब्याज SI = 11,664 दिया गया है, प्रश्न के अनुसार ब्याज की दर R, वर्षों की संख्या T का एक-चौथाई है। इससे संबंध R = (T)/(4) या T = 4R प्राप्त होता है।

इन मानों को साधारण ब्याज के सूत्र में रखने पर: 11,664 = (32,400 × R × 4R)/(100) 11,664 = 324 × 4R² 11,664 = 1,296R² R² = (11,664)/(1,296)

गणना करने पर, 1,296 × 9 = 11,664, इसलिए: R² = 9 R = √9 = 3

व्याख्या

माना गणित, अंग्रेजी और रसायन विज्ञान के लिए सीटों की प्रारंभिक संख्या क्रमशः 6x, 4x और 7x है। निर्दिष्ट प्रतिशत वृद्धि के बाद नई सीटों की गणना इस प्रकार की जाती है:

गणित की बढ़ी हुई सीटें = 6x × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 6x × 1.2 = 7.2x अंग्रेजी की बढ़ी हुई सीटें = 4x × (1 + ⁴⁰⁄₁₀₀) = 4x × 1.4 = 5.6x रसायन विज्ञान की बढ़ी हुई सीटें = 7x × (1 + ⁶⁰⁄₁₀₀) = 7x × 1.6 = 11.2x

बढ़ी हुई सीटों का अनुपात 7.2x : 5.6x : 11.2x है। दशमलव को हटाने के लिए पूरे अनुपात को 10 से गुणा करने पर 72 : 56 : 112 प्राप्त होता है। अनुपात के प्रत्येक भाग को उभयनिष्ठ गुणनखंड 8 से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर 9 : 7 : 14 हो जाता है।

व्याख्या

लॉरी की गति 66 किमी/घंटा दी गई है। प्रति मिनट चक्करों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले गति को सेंटीमीटर प्रति मिनट में बदलते हैं: v = (66 × 100,000 सेमी)/(60 मिनट) = 110,000 सेमी/मिनट।

एक पूरे चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि C के बराबर होती है, जिसकी गणना सूत्र C = 2π r का उपयोग करके की जाती है। दी गई त्रिज्या r = 182 सेमी और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर: C = 2 × ²²⁄₇ × 182 = 44 × 26 = 1144 सेमी।

प्रति मिनट चक्करों की संख्या N, एक मिनट में तय की गई कुल दूरी को एक चक्कर में तय की गई दूरी से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: N = (सेमी/मिनट में गति)/(सेमी में परिधि) = (110,000)/(1144) ≈ 96.153.

निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर, पहिया प्रति मिनट लगभग 96 चक्कर लगाता है।

व्याख्या

प्रारंभिक बचत की गणना मासिक आय और व्यय के बीच के अंतर के रूप में की जाती है: S = I - E = 80,000 - 45,000 = 35,000। आय में वास्तविक वृद्धि 80,000 का 16% है, जो कि 80,000 × 0.16 = 12,800 है। व्यय में वास्तविक वृद्धि 45,000 का 8% है, जो कि 45,000 × 0.08 = 3,600 है।

बचत में वृद्धि Δ S, आय में वृद्धि और व्यय में वृद्धि के बीच का अंतर है: Δ S = 12,800 - 3,600 = 9,200। बचत में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम बचत में परिवर्तन को प्रारंभिक बचत से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं:

बचत में प्रतिशत वृद्धि = (9,200)/(35,000) × 100 = ⁹²⁰⁄₃₅ = ¹⁸⁴⁄₇ ≈ 26.2857%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, बचत में प्रतिशत वृद्धि 26.29% है।

व्याख्या

माना पुत्र की वर्तमान आयु x वर्ष है। चूँकि महिला अपने पुत्र से 28 वर्ष बड़ी है, इसलिए उसकी वर्तमान आयु x + 28 वर्ष है।

तीन वर्षों में, पुत्र की आयु x + 3 होगी और महिला की आयु (x + 28) + 3 = x + 31 होगी। प्रश्न के अनुसार, तीन वर्षों में महिला की आयु उस समय उसके पुत्र की आयु की दोगुनी होगी। इस संबंध को निम्नलिखित रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

x + 31 = 2(x + 3) x + 31 = 2x + 6 31 - 6 = 2x - x 25 = x

x का मान ज्ञात करने पर पुत्र की वर्तमान आयु 25 वर्ष प्राप्त होती है।

व्याख्या

अनिल द्वारा अकेले लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, मान लें कि कुल कार्य 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। अनिल और बिपिन की कार्य की संयुक्त दर 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है। बिपिन की कार्य की व्यक्तिगत दर 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है। संयुक्त दर में से बिपिन की दर को घटाने पर अनिल की दर प्राप्त होती है: 4 - 3 = 1 इकाई प्रति दिन। अनिल द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को उसकी दर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जिसकी गणना 60 / 1 = 60 दिन के रूप में की जाती है। वैकल्पिक रूप से, सूत्र T = (xy) / (y - x) का उपयोग करके, जहाँ x = 15 और y = 20 है, समय (20 × 15) / (20 - 15) = 300 / 5 = 60 दिन है।

व्याख्या

सल्फ्यूरस अम्ल (H₂SO₃) के मोलर द्रव्यमान की गणना इसके घटक तत्वों के परमाणु द्रव्यमानों को जोड़कर की जाती है: H ≈ 1.008 u, S ≈ 32.06 u, और O ≈ 16.00 u। H₂SO₃ का मोलर द्रव्यमान = (2 × 1.008) + (1 × 32.06) + (3 × 16.00) = 2.016 + 32.06 + 48.00 = 82.076 g/mol। किसी तत्व का प्रतिशत संघटन इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: द्रव्यमान % = ((परमाणु भार × परमाणुओं की संख्या)/(यौगिक का मोलर द्रव्यमान)) × 100। हाइड्रोजन (H) का प्रतिशत = ((2.016)/(82.076)) × 100 ≈ 2.46% है, जो लगभग 2.5% होता है। सल्फर (S) का प्रतिशत = ((32.06)/(82.076)) × 100 ≈ 39.06% है, जो लगभग 39% होता है। ऑक्सीजन (O) का प्रतिशत = ((48.00)/(82.076)) × 100 ≈ 58.48% है, जो लगभग 58.5% होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएं x और y हैं। दिया गया है कि योग x + y = 98 और अंतर x - y = 28 है, तो दोनों संख्याएं हैं: x = (98 + 28)/(2) = ¹²⁶⁄₂ = 63 y = (98 - 28)/(2) = ⁷⁰⁄₂ = 35

व्याख्या

शांत जल में नाव की गति u की गणना दी गई दूरी और समय का उपयोग करके की जाती है: u = (20 किमी)/(0.5 घंटे) = 40 किमी/घंटा। धारा के अनुकूल गति D, शांत जल में गति की 125% है, इसलिए D = 1.25 × 40 = 50 किमी/घंटा।

धारा के अनुकूल गति, नाव की गति और धारा की गति v का योग भी होती है, जिससे u + v = 50 प्राप्त होता है। u = 40 प्रतिस्थापित करने पर, हमें धारा की गति v = 10 किमी/घंटा प्राप्त होती है। धारा के प्रतिकूल गति U, नाव की गति और धारा की गति का अंतर है: U = u - v = 40 - 10 = 30 किमी/घंटा। धारा के प्रतिकूल 15 किमी की दूरी तय करने में लिया गया समय T = (दूरी)/(U) = ¹⁵⁄₃₀ = ½ घंटा है।

व्याख्या

जिस अवधि के लिए ब्याज की गणना की जानी है, उस दिनों की संख्या 24 जनवरी 2012 से 18 जून 2012 तक गिनकर निर्धारित की जाती है। ऋण लेने के दिन को छोड़कर, दिनों की संख्या इस प्रकार है: जनवरी (7 दिन), फरवरी (29 दिन, क्योंकि 2012 एक अधिवर्ष (लीप वर्ष) है), मार्च (31 दिन), अप्रैल (30 दिन), मई (31 दिन), और जून (18 दिन)। कुल समय T = 7 + 29 + 31 + 30 + 31 + 18 = 146 दिन।

चूंकि 2012 एक अधिवर्ष (लीप वर्ष) है, इसलिए वर्षों में समय T = ¹⁴⁶⁄₃₆₆ है। ब्याज की दर R = 8 ¾% = ³⁵⁄₄% है।

साधारण ब्याज (SI) = (P × R × T)/(100) SI = (78000 × 35)/(4) × ¹⁴⁶⁄₃₆₆{100} SI = (780 × 35 × 146)/(4 × 366) SI = (195 × 35 × 146)/(366) SI = ⁹⁹⁶⁴⁵⁰⁄₃₆₆ ≈ 2722.54

कुल राशि (A) = P + SI A = 78000 + 2722.54 = 80722.54

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, अर्चना द्वारा भुगतान की गई कुल राशि ₹80,723 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि माँ और पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः M और D है। पहली शर्त के आधार पर, सात वर्ष पूर्व माँ की आयु M - 7 थी और पुत्री की आयु D - 7 थी। उनके बीच का संबंध M - 7 = 7(D - 7) द्वारा दिया गया है, जिसे सरल करने पर M - 7D = -42 प्राप्त होता है। दूसरी शर्त से, अब से तीन वर्ष बाद, उनकी आयु क्रमशः M + 3 और D + 3 होगी। उनके बीच का संबंध M + 3 = 3(D + 3) है, जिसे सरल करने पर M - 3D = 6 प्राप्त होता है।

दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर, हम M को विलोपित करते हैं: (M - 3D) - (M - 7D) = 6 - (-42), जिससे 4D = 48 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप D = 12 आता है। दूसरे समीकरण में D = 12 प्रतिस्थापित करने पर M - 3(12) = 6 प्राप्त होता है, इसलिए M - 36 = 6, जिससे M = 42 प्राप्त होता है। ये आयु प्रश्न में दी गई दोनों शर्तों को संतुष्ट करती हैं। सात वर्ष पूर्व, उनकी आयु 35 और 5 वर्ष थी (35 = 7 × 5), और अब से तीन वर्ष बाद, उनकी आयु 45 और 15 वर्ष होगी (45 = 3 × 15)।

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी d उनकी त्रिज्याओं r₁ और r₂ के योग के बराबर होती है, जिसे d = r₁ + r₂ के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस स्थिति में, वृत्तों की तीन उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं होती हैं। इनमें से दो प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (direct common tangents) होती हैं, जो ऐसी रेखाएं हैं जो दोनों वृत्तों को इस प्रकार स्पर्श करती हैं कि दोनों वृत्त रेखा के एक ही ओर स्थित होते हैं। तीसरी एक अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (transverse common tangent) होती है जो उस स्पर्श बिंदु से होकर गुजरती है जहां दोनों वृत्त मिलते हैं। यह अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा दोनों वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाले रेखाखंड पर लंबवत होती है। चूंकि वृत्त केवल एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं और एक-दूसरे को अतिव्याप्त (overlap) नहीं करते हैं, इसलिए कोई अन्य अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है, जिससे कुल 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं प्राप्त होती हैं।

व्याख्या

11 से विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो।

संख्या 9592330 के लिए, हम योग की गणना इस प्रकार करते हैं: विषम स्थानों पर अंकों का योग (पहले, तीसरे, पांचवें और सातवें अंक): 9 + 9 + 3 + 0 = 21 सम स्थानों पर अंकों का योग (दूसरे, चौथे और छठे अंक): 5 + 2 + 3 = 10

अब, हम इन योगों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं: अंतर = 21 - 10 = 11

चूंकि अंतर 11 है, जो कि 11 का एक गुणज है, इसलिए संख्या 9592330, 11 से विभाज्य है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण sin θ + sin² θ = 1 है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें sin θ = 1 - sin² θ प्राप्त होता है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 1 - sin² θ = cos² θ होता है। इसलिए, हम संबंध sin θ = cos² θ स्थापित कर सकते हैं।

इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें sin² θ = (cos² θ)² = cos⁴ θ प्राप्त होता है। हमें व्यंजक cos² θ + cos⁴ θ का मान ज्ञात करना है। इस व्यंजक में प्राप्त संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर, हम cos² θ को sin θ से और cos⁴ θ को sin² θ से प्रतिस्थापित करते हैं। यह व्यंजक को sin θ + sin² θ में परिवर्तित कर देता है। चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि sin θ + sin² θ = 1 है, इसलिए cos² θ + cos⁴ θ का मान भी 1 होगा।

व्याख्या

एक वृत्ताकार पथ पर गतिमान दो वस्तुओं के लिए विशिष्ट मिलन बिंदुओं की संख्या उनकी गतियों के अनुपात द्वारा निर्धारित होती है। जब दो व्यक्ति विपरीत दिशाओं में v₁ और v₂ गति से दौड़ते हैं, तो विशिष्ट मिलन बिंदुओं की संख्या उनकी गति के अनुपात के सरलतम रूप के पदों के योग द्वारा दी जाती है।

सबसे पहले, हम दी गई गतियों का सरलतम अनुपात ज्ञात करते हैं: v₁ : v₂ = 20 : 30 = 2 : 3

इस अनुपात में, माना x = 2 और y = 3 है। विपरीत दिशाओं में गति के लिए, विशिष्ट मिलन बिंदुओं की संख्या का सूत्र x + y है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: बिंदुओं की संख्या = 2 + 3 = 5

यह परिणाम पथ की वास्तविक लंबाई की परवाह किए बिना स्थिर रहता है, क्योंकि मिलन बिंदु सापेक्ष विस्थापन खंडों द्वारा निर्धारित होते हैं। हर बार जब वे मिलते हैं, तो वे सामूहिक रूप से ठीक एक परिधि को पूरा करते हैं। 20 + 30 = 50 मीटर/सेकंड की सापेक्ष गति और 100 मीटर के पथ को देखते हुए, वे प्रत्येक 2 सेकंड में मिलते हैं। 10 सेकंड में (तेज दौड़ने वाले धावक द्वारा 3 चक्कर और धीमे दौड़ने वाले धावक द्वारा 2 चक्कर पूरे करने में लिया गया समय), वे प्रारंभिक बिंदु पर लौटने और चक्र को दोहराने से पहले विशिष्ट स्थानों पर 5 बार मिल चुके होंगे।

व्याख्या

सुसान की टाइपिंग दर 12 / 6 = 2 पृष्ठ प्रति मिनट है। मैरी की टाइपिंग दर 6 / 12 = 0.5 पृष्ठ प्रति मिनट है। एक साथ काम करते समय, उनकी संयुक्त टाइपिंग गति उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है: Rₜₒₜₐₗ = 2 + 0.5 = 2.5 पृष्ठ प्रति मिनट। 32 मिनट में उनके द्वारा टाइप किए जा सकने वाले पृष्ठों की कुल संख्या की गणना इस संयुक्त दर को कुल समय से गुणा करके की जाती है: 2.5 × 32 = 80 पृष्ठ।

व्याख्या

यह सुनिश्चित करने के लिए कि S को कोई हानि न हो, T को उधार दी गई धनराशि से S द्वारा अर्जित ब्याज, S द्वारा R को भुगतान किए जाने वाले ब्याज के कम से कम बराबर होना चाहिए। माना S द्वारा उधार ली गई मूलधन राशि P है। प्रश्न के अनुसार, S, R को ₹17,000 का एक निश्चित ब्याज भुगतान करता है। जब S वही मूलधन P, T को उधार देता है, तो T मूलधन से 8.5% अधिक भुगतान करता है, जो S के लिए ब्याज आय है।

S के लिए बिना किसी लाभ-हानि (break-even) या लाभ कमाने की स्थिति की शर्त है: T से अर्जित ब्याज ≥ R को भुगतान किया गया ब्याज P का 8.5% ≥ 17,000 (8.5)/(100) × P ≥ 17,000

न्यूनतम मूलधन P ज्ञात करने के लिए, हम दोनों मानों को बराबर करते हैं: P = (17,000 × 100)/(8.5) P = (1,700,000)/(8.5) P = 2,00,000

अतः, S को न्यूनतम ₹2,00,000 उधार लेने चाहिए ताकि T से प्राप्त 8.5% ब्याज, R के प्रति ₹17,000 के ब्याज दायित्व को पूरी तरह से पूरा कर सके।

व्याख्या

कुल कार्य श्रमिकों की संख्या, लिए गए समय और उनकी कार्यक्षमता का गुणनफल होता है। माना M एक पुरुष की कार्यक्षमता को दर्शाता है और W एक महिला की कार्यक्षमता को दर्शाता है। दिए गए आंकड़ों के आधार पर, कुल कार्य को 8 × 10 × M = 10 × 12 × W के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह सरल होकर 80M = 120W, या M = 1.5W हो जाता है, जिसका अर्थ है कि एक पुरुष की कार्यक्षमता 1.5 महिलाओं के बराबर है।

महिला-दिनों के संदर्भ में कुल कार्य का उपयोग करने पर, हमारे पास 10 × 12 = 120 इकाई कार्य है। प्रश्न में 4 पुरुषों और 4 महिलाओं द्वारा लिए गए समय के बारे में पूछा गया है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 4M + 4W है। इस समीकरण में M = 1.5W प्रतिस्थापित करने पर 4(1.5W) + 4W = 6W + 4W = 10W प्राप्त होता है।

आवश्यक दिनों की संख्या की गणना कुल कार्य को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करके की जाती है: 120W / 10W = 12 दिन।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - 7x + 1 = 0 को x से विभाजित करने पर, हमें x - 7 + ¹⁄ₓ = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x + ¹⁄ₓ = 7 हो जाता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह x² - (1)/(x²) है, जिसे (x + ¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करते हैं। ज्ञात मान प्रतिस्थापित करने पर (x - ¹⁄ₓ)² = 7² - 4 = 49 - 4 = 45 प्राप्त होता है। इससे प्राप्त होता है कि x - ¹⁄ₓ = ±√(45) = 3√5।

शर्त 0 < x < 1 परिणाम के चिह्न को निर्धारित करती है। जब x, 0 और 1 के बीच होता है, तो इसका व्युत्क्रम ¹⁄ₓ, 1 से बड़ा होता है। परिणामस्वरूप, x < ¹⁄ₓ, जिससे अंतर x - ¹⁄ₓ ऋणात्मक हो जाता है। इसलिए, हमें x - ¹⁄ₓ = -3√5 लेना होगा।

इन मानों को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर x² - (1)/(x²) = (7)(-3√5) = -21√5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) की गणना अंकित मूल्य (MP) में से छूट को घटाकर की जाती है। सूत्र SP = MP × (100 - छूट%)/100 का उपयोग करने पर:

SP = 9,400 × (100 - 4) / 100 SP = 9,400 × 96 / 100 SP = 94 × 96

94 × 96 की त्वरित गणना करने के लिए, संख्याओं को (95 - 1)(95 + 1) के रूप में व्यक्त करके सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करें:

SP = 95² - 1² SP = 9,025 - 1 SP = 9,024

वैकल्पिक रूप से, पहले छूट की राशि की गणना करें। चूंकि 9,400 का 1% 94 है, इसलिए 4% की छूट 4 × 94 = 376 होगी। अंकित मूल्य में से इस छूट को घटाने पर 9,400 - 376 = 9,024 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल व्यय 150 रुपये है। 8 रुपये प्रति पेन की दर से 10 पेन की कीमत 10 × 8 = 80 रुपये है। 5 रुपये प्रति इरेज़र की दर से 10 इरेज़र की कीमत 10 × 5 = 50 रुपये है। पेन और इरेज़र की संयुक्त कीमत 80 + 50 = 130 रुपये है।

शार्पनर पर खर्च की गई शेष राशि 150 - 130 = 20 रुपये है। चूंकि प्रत्येक शार्पनर की कीमत 4 रुपये है, इसलिए खरीदे गए शार्पनर की संख्या 20 / 4 = 5 है।

खरीदी गई कुल वस्तुओं की संख्या = 10 पेन + 10 इरेज़र + 5 शार्पनर = 25 वस्तुएं।

प्रति वस्तु औसत मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: औसत मूल्य = (कुल लागत)/(कुल वस्तुएं) = ¹⁵⁰⁄₂₅ = 6

व्याख्या

कार्य की संयुक्त दर समूहों की व्यक्तिगत दरों का योग है। चूंकि 10 महिलाएं 6 दिनों में काम पूरा कर सकती हैं, इसलिए उनकी कार्य की संयुक्त दर ⅙ इकाई प्रति दिन है। इसी प्रकार, चूंकि 6 पुरुष उसी काम को 5 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए उनकी कार्य की संयुक्त दर ⅕ इकाई प्रति दिन है।

जब दोनों समूह मिलकर काम करते हैं, तो प्रति दिन कार्य की कुल दर की गणना इस प्रकार की जाती है: संयुक्त दर = ⅙ + ⅕ = (5 + 6)/(30) = ¹¹⁄₃₀

काम पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या संयुक्त दैनिक दर का व्युत्क्रम है: कुल दिन = ³⁰⁄₁₁ = 2 ⁸⁄₁₁

व्याख्या

जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। दिया गया है △ ABC ∼ △ PQR, समरूपता का अनुपात संगत भुजाओं AB और PQ द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अनुपात = (AB)/(PQ) = ⁴⁄₆ = ⅔

सबसे पहले, △ PQR की भुजाओं की लंबाई का योग करके उसका परिमाप ज्ञात कीजिए:

△ PQR का परिमाप = PQ + QR + RP = 6 + 9 + 12 = 27 सेमी

मान लीजिए P_A_B_C, △ ABC का परिमाप है। समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार:

P_A_B_C / {△ PQR का परिमाप} = ⅔

△ PQR के परिमाप का ज्ञात मान प्रतिस्थापित करने पर:

P_A_B_C = 27 × ⅔ = 9 × 2 = 18 सेमी

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के लिए, तृतीय अनुपाती c को सतत अनुपात (continued proportion) के गुण द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ a:b = b:c है। इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

c = (b²)/(a)

दिए गए मान a = 25 और b = 35 के लिए, तृतीय अनुपाती की गणना इस प्रकार है:

c = (35²)/(25)

c = (35 × 35)/(25)

अंश और हर दोनों को दो बार 5 से विभाजित करने पर:

c = 7 × 7

c = 49

व्याख्या

नया अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक अनुपात 2:3:5 के प्रत्येक भाग पर प्रतिशत वृद्धि लागू करते हैं। माना प्रारंभिक वेतन क्रमशः 200, 300 और 500 हैं।

15% की वृद्धि के बाद पिता का नया वेतन = 200 × (1 + ¹⁵⁄₁₀₀) = 200 × 1.15 = 230 है। 10% की वृद्धि के बाद माता का नया वेतन = 300 × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) = 300 × 1.10 = 330 है। 20% की वृद्धि के बाद पुत्री का नया वेतन = 500 × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 500 × 1.20 = 600 है।

उनके नए वेतन का परिणामी अनुपात 230 : 330 : 600 है। प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड 10 से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर 23 : 33 : 60 हो जाता है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 4πr² द्वारा दिया जाता है। 4πr² को 9π के बराबर रखने पर r² = 2.25 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या r, 1.5 इकाई है। चूंकि व्यास, त्रिज्या का दोगुना होता है, इसलिए गेंद का व्यास 3 इकाई है।

व्याख्या

त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² द्वारा दिया जाता है।

दी गई त्रिज्या r = 7 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 60°, और π = ²²⁄₇ है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

A = (60°)/(360°) × ²²⁄₇ × 7²

A = ⅙ × ²²⁄₇ × 7 × 7

अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 को निरस्त करके व्यंजक को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

A = ⅙ × 22 × 7

A = ¹⁵⁴⁄₆

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

A = ⁷⁷⁄₃ सेमी²

व्याख्या

दिया गया समीकरण 65% × 350 - x% × 250 + 40% × 120 = 158 है। x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले ज्ञात प्रतिशत पदों की गणना करें। 350 के 65% का मान 0.65 × 350 = 227.5 के रूप में परिकलित किया जाता है। 120 के 40% का मान 0.4 × 120 = 48 है। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 227.5 - 2.5x + 48 = 158 प्राप्त होता है, जहाँ 2.5x, ˣ⁄₁₀₀ × 250 को दर्शाता है।

बाईं ओर के संख्यात्मक पदों को मिलाने पर, 227.5 + 48 = 275.5 प्राप्त होता है। अब समीकरण सरल होकर 275.5 - 2.5x = 158 हो जाता है। x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम 275.5 में से 158 घटाते हैं जिससे हमें 2.5x = 117.5 प्राप्त होता है। 117.5 को 2.5 से विभाजित करने पर x = 47 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2cot x = 5 से, हमें cotangent फलन का मान cot x = ⁵⁄₂ प्राप्त होता है। व्यंजक (2cos x - sin x)/(2cos x + sin x) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को sin x से विभाजित करते हैं। चूंकि cot x = (cos x)/(sin x) है, इसलिए व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(2(cos x)/(sin x)) - (sin x)/(sin x){2((cos x)/(sin x)) + (sin x)/(sin x)} = (2cot x - 1)/(2cot x + 1)

इस परिवर्तित सूत्र में सीधे दिए गए मान 2cot x = 5 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(5 - 1)/(5 + 1) = ⁴⁄₆

भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलने पर ⅔ प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, मूल व्यंजक में सीधे 2cos x = 5sin x प्रतिस्थापित करने पर (5sin x - sin x)/(5sin x + sin x) प्राप्त होता है, जो सरल होकर (4sin x)/(6sin x) = ⅔ हो जाता है।

व्याख्या

SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार, दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि संगत भुजाओं के दो युग्म समान अनुपात में हों और इन भुजाओं के बीच के अंतर्गत कोण बराबर हों। △ ABC और △ DEF में, दिया गया समानुपात (AB)/(DE) = (BC)/(FD) है। पहले त्रिभुज में भुजाएँ AB और BC उभयनिष्ठ शीर्ष B को साझा करती हैं, जिसका अर्थ है कि ∠ B उनके बीच का अंतर्गत कोण है। इसी प्रकार, दूसरे त्रिभुज में, भुजाएँ DE और FD उभयनिष्ठ शीर्ष D साझा करती हैं, जिससे ∠ D अंतर्गत कोण बन जाता है। SAS समरूपता की शर्त को पूरा करने के लिए, अंतर्गत कोण बराबर होने चाहिए, जिसके लिए ∠ B = ∠ D होना आवश्यक है।

व्याख्या

प्रारंभिक बिंदु पर दोनों साइकिल चालकों के मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लगने वाले समय की गणना करनी होगी और फिर उन समयों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।

पहले साइकिल चालक द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय T₁ = (दूरी)/(गति) = ⁷⁵⁄₃₀ = 2.5 घंटे है, जिसे ⁵⁄₂ घंटे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे साइकिल चालक द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय T₂ = ⁷⁵⁄₂₅ = 3 घंटे, या ³⁄₁ घंटे है।

साइकिल चालक प्रारंभिक बिंदु पर उस समय मिलेंगे जो T₁ और T₂ दोनों का गुणज होगा। ऐसा पहला अवसर LCM(T₁, T₂) पर होता है। भिन्नों के लिए, LCM की गणना इस प्रकार की जाती है:

LCM(⁵⁄₂, ³⁄₁) = (LCM(5, 3))/(HCF(2, 1))

इन मानों की गणना करने पर LCM(5, 3) = 15 और HCF(2, 1) = 1 प्राप्त होता है। इसलिए, प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय ¹⁵⁄₁ = 15 घंटे है।

व्याख्या

P और Q की कार्यकुशलता का अनुपात 2 : 1 है। चूंकि लिया गया समय कार्यकुशलता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए P और Q द्वारा लिए गए समय का अनुपात 1 : 2 है। माना P द्वारा लिया गया समय x दिन है और Q द्वारा लिया गया समय 2x दिन है। दिया गया है कि P, Q से 40 दिन कम समय लेता है:

2x - x = 40 x = 40

इस प्रकार, अकेले कार्य पूरा करने में P को 40 दिन और Q को 80 दिन लगते हैं। एक साथ मिलकर कार्य करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त कार्य के सूत्र का उपयोग करते हैं:

समय = (कार्य)/(कुल कार्यकुशलता)

माना कुल कार्य 40 और 80 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 80 इकाई है। P की कार्यकुशलता = ⁸⁰⁄₄₀ = 2 इकाई/दिन Q की कार्यकुशलता = ⁸⁰⁄₈₀ = 1 इकाई/दिन संयुक्त कार्यकुशलता = 2 + 1 = 3 इकाई/दिन

एक साथ मिलकर लिया गया समय = ⁸⁰⁄₃ = 26.66... दिन।

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, दिनों की पूर्ण संख्या 27 है।

व्याख्या

माना मतदाता सूची में नामांकित व्यक्तियों की कुल संख्या x है। डाले गए मतों की संख्या x का 98% या 0.98x है, क्योंकि नामांकित व्यक्तियों में से 2% ने भाग नहीं लिया। प्रश्न के अनुसार, उम्मीदवार A को कुल नामांकित मतदाताओं का 43% प्राप्त हुआ, इसलिए A के मत 0.43x हैं। चूंकि उम्मीदवार A ने उम्मीदवार B को 200 मतों से हराया, इसलिए B के मत 0.43x - 200 हैं।

डाले गए मतों की कुल संख्या वैध मतों और अवैध मतों का योग है। वैध मत A और B द्वारा प्राप्त मतों का योग हैं। इसलिए, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: 0.98x = (0.43x) + (0.43x - 200) + 500

समीकरण को सरल करने पर: 0.98x = 0.86x + 300 0.12x = 300 x = (300)/(0.12) = 2500

नामांकित मतदाताओं की कुल संख्या 2500 है। प्रश्न में डाले गए कुल मतों की संख्या पूछी गई है, जो नामांकित मतदाताओं का 98% है: डाले गए कुल मत = 0.98 × 2500 = 2450

व्याख्या

दिया गया व्यंजक sin 25° sin 65° - cos 25° cos 65° है। इसे एक ऋणात्मक चिह्न को उभयनिष्ठ लेकर -(cos 25° cos 65° - sin 25° sin 65°) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B का उपयोग करने पर, जहाँ A = 25° और B = 65° है, यह व्यंजक सरल होकर -cos(25° + 65°) हो जाता है। कोणों का योग करने पर -cos 90° प्राप्त होता है। चूँकि cos 90° का मान 0 होता है, इसलिए परिणाम 0 है। वैकल्पिक रूप से, पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके जहाँ sin θ = cos(90° - θ) होता है, हमें sin 65° = cos 25° और cos 65° = sin 25° प्राप्त होता है। इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर sin 25° cos 25° - cos 25° sin 25° = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

8 की विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों। संख्या 98998 के लिए, अंतिम तीन अंक 998 हैं। 998 को 8 से विभाजित करने पर 998 ÷ 8 = 124 प्राप्त होता है और शेषफल 6 बचता है, क्योंकि 8 × 124 = 992 होता है। चूंकि अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए पूरी संख्या 98998 भी 8 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है। पहली संख्या तीसरी संख्या से 17% अधिक है, जिससे 100 + 17 = 117 प्राप्त होता है। दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 50% अधिक है, जिससे 100 + 50 = 150 प्राप्त होता है। पहली संख्या का दूसरी संख्या से अनुपात 117 : 150 के रूप में व्यक्त किया जाता है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 3 से विभाजित करके इस अनुपात को सरल करने पर प्राप्त होता है: ¹¹⁷⁄₃ : ¹⁵⁰⁄₃ = 39 : 50

व्याख्या

व्यंजक (cos x - sin x)² + (cos x + sin x)² को मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² + (a + b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। a = cos x और b = sin x रखने पर, यह व्यंजक 2(cos² x + sin² x) हो जाता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² x + sin² x = 1 को लागू करने पर, व्यंजक का मान 2(1) = 2 प्राप्त होता है। दी गई शर्त cos x + sin x = √2cos x, x के कुछ विशिष्ट मानों के लिए ही लागू होती है, लेकिन इस सर्वसमिका का परिणाम x के सभी मानों के लिए स्थिर रहता है।

व्याख्या

श्रमिकों की संख्या और एक निश्चित कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है, जो सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ द्वारा संचालित होता है, जहाँ M व्यक्तियों की संख्या है और D दिनों की संख्या है।

दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: M₁ = 14 व्यक्ति D₁ = 60 दिन

दूसरी स्थिति के लिए: M₂ = 30 व्यक्ति D₂ = ?

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 14 × 60 = 30 × D₂ 840 = 30 × D₂ D₂ = ⁸⁴⁰⁄₃₀ D₂ = 28

चूंकि कुल कार्य (मैन-डेज) 840 पर स्थिर रहता है, इसलिए कार्यबल को बढ़ाकर 30 व्यक्ति करने से आवश्यक समय घटकर 28 दिन हो जाता है।

व्याख्या

बाहर की गई संख्या को मूल आठ संख्याओं के योग और शेष सात संख्याओं के योग के बीच के अंतर की गणना करके ज्ञात किया जा सकता है। संख्याओं के एक समूह का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: योग = औसत × संख्या।

8 संख्याओं का प्रारंभिक योग = 8 × 18 = 144 शेष 7 संख्याओं का योग = 7 × 20 = 140

बाहर की गई संख्या इन दोनों योगों के बीच का अंतर है: बाहर की गई संख्या = 144 - 140 = 4

वैकल्पिक रूप से, विचलन (deviation) की अवधारणा का उपयोग करते हुए, शेष संख्याओं का औसत 18 से बढ़कर 20 हो गया, जो कि प्रति संख्या 2 की वृद्धि है। 7 संख्याओं के लिए, यह कुल 7 × 2 = 14 की वृद्धि को दर्शाता है। यह वृद्धि इसलिए हुई क्योंकि बाहर की गई संख्या मूल औसत 18 से 14 इकाई कम थी। अतः, बाहर की गई संख्या 18 - 14 = 4 है।

व्याख्या

माना दो संख्याएँ x और y हैं। प्रश्न के अनुसार, उनके योग का घन (x + y)³ = 1728 है। दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर x + y = ³√(1728) = 12 प्राप्त होता है। हमें यह भी दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल xy = 32 है।

उनके घनों का योग, x³ + y³, ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)

सर्वसमिका में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ = 1728 - 3(32)(12) x³ + y³ = 1728 - 3(384) x³ + y³ = 1728 - 1152 x³ + y³ = 576

वैकल्पिक रूप से, ऐसी दो संख्याओं की पहचान करने पर जिनका योग 12 और गुणनफल 32 है, हमें 8 और 4 प्राप्त होते हैं। सीधे उनके घनों के योग की गणना करने पर 8³ + 4³ = 512 + 64 = 576 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अशोक (S_A) और भरत (S_B) की गति का अनुपात S_A : S_B = 2⅔ : 1 = ⁸⁄₃ : 1 दिया गया है, जिसे सरल करने पर 8 : 3 प्राप्त होता है। चूँकि दोनों धावक एक ही समय पर विजयी बिंदु पर पहुँचते हैं, इसलिए लिया गया समय स्थिर है। स्थिर समय के लिए, तय की गई दूरी गति के सीधे समानुपाती होती है (D ∝ S)। इसलिए, अशोक द्वारा तय की गई दूरी (D_A) और भरत द्वारा तय की गई दूरी (D_B) का अनुपात भी 8 : 3 है।

मान लीजिए कि विजयी बिंदु की दूरी D है। अशोक पूरी दूरी D तय करता है, जबकि भरत, जिसे 160 मीटर की बढ़त मिली है, D - 160 की दूरी तय करता है। उनकी गति के आधार पर अनुपात स्थापित करने पर: (D)/(D - 160) = ⁸⁄₃

वज्र-गुणन (Cross-multiplying) करने पर 3D = 8(D - 160) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 3D = 8D - 1280 प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 5D = 1280 प्राप्त होता है। D के लिए हल करने पर D = ¹²⁸⁰⁄₅ = 256 मीटर प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करने पर, दूरी की इकाइयों के बीच का अंतर 8 - 3 = 5 इकाई है। यह अंतर भरत को दी गई बढ़त को दर्शाता है, इसलिए 5 इकाई 160 मीटर के बराबर है। इसलिए, एक इकाई = ¹⁶⁰⁄₅ = 32 मीटर है। चूँकि अशोक विजयी बिंदु तक पहुँचने के लिए 8 इकाई तय करता है, इसलिए कुल दूरी 8 × 32 = 256 मीटर है।

व्याख्या

व्यंजक का मान पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, जो यह बताती है कि sin(90° - θ) = cos θ। चूंकि 32° + 58° = 90° है, इसलिए कोण 58° को 90° - 32° के रूप में लिखा जा सकता है।

सर्वसमिका लागू करने पर: sin 58° = sin(90° - 32°) = cos 32°

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin² 58° = cos² 32°

दिए गए व्यंजक में इस संबंध को प्रतिस्थापित करने पर: cos² 32° - sin² 58° = cos² 32° - cos² 32° = 0

व्याख्या

व्यंजक 64x³ + 38x²y + 20xy² + y³ का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए मानों x = 3 और y = -4 को प्रत्येक पद में अलग-अलग प्रतिस्थापित करें।

पहला पद 64x³ = 64 × 3³ = 64 × 27 = 1728 है। दूसरा पद 38x²y = 38 × 3² × (-4) = 38 × 9 × (-4) = -1368 है। तीसरा पद 20xy² = 20 × 3 × (-4)² = 20 × 3 × 16 = 960 है। चौथा पद y³ = (-4)³ = -64 है।

इन मानों को आपस में जोड़ने पर व्यंजक का कुल मान प्राप्त होता है: 1728 - 1368 + 960 - 64 = 360 + 960 - 64 = 1320 - 64 = 1256।